Đề Xuất 5/2022 # Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác # Top Like

Xem 12,474

Cập nhật nội dung chi tiết về Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác mới nhất ngày 22/05/2022 trên website Expressrotaryhotpot.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến nay, bài viết này đã thu hút được 12,474 lượt xem.

--- Bài mới hơn ---

  • Chương Iii. §3. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Học Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Cực Hay, Có Đáp Án
  • Chuyên Đề Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi công thức lượng giác thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

    1. Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác

    Khi giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác … để đưa về dạng góc cơ bản.

    Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $frac1{sin x} + frac1{sin left( {x – frac{{3pi }2} right)}}$ $ = 4sin left( frac{{7pi }4 – x} right).$

    b. $sin ^4x + cos ^4x$ $ = frac78cot left( x + frac{pi 3} right)cot left( frac{pi 6 – x} right).$

    c. $frac{{{sin ^4}2x + {cos ^4}2x}}{tan left( {frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right)}}$ $ = cos ^44x.$

    a. Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung $x – frac{3pi }2$ và $frac{7pi }4 – x$ mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa đưa $2$ cung này về cùng một cung $x$. Để làm được điều đó ta có thể sử dụng công thức cộng cung hoặc công thức về các góc đặc biệt.

    Điều kiện: $sin x ne 0$, $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne kfracpi 2,k in Z.$

    $PT Leftrightarrow frac1{sin x} + frac1{cos x}$ $ = – 2sqrt 2 left( cos x + sin x right)$ $ Leftrightarrow left( sin x + cos x right)left( sqrt 2 sin 2x + 1 right) = 0.$

    Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là: $x = – fracpi 4 + kpi $, $x = – fracpi 8 + kpi $, $x = frac{5pi }8 + kpi $ $left( k in Z right).$

    b. Điều kiện: $sin left( x + frac{pi 3} right).sin left( frac{pi 6 – x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos left( 2x + frac{pi 6} right) ne cos fracpi 2 = 0.$

    Do $left( x + frac{pi 3} right) + left( frac{pi 6 – x} right) = fracpi 2$ nên $PT Leftrightarrow sin ^4x + cos ^4x = frac78$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^22x = frac78$ $ Leftrightarrow sin 2x = pm frac12$. Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pm fracpi {12} + kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    c. Nhận xét: Từ tổng hai cung $left( frac{pi 4 – x} right) + left( frac{pi 4 + x} right) = fracpi 2$ nên $tan left( frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right) = 1.$

    Điều kiện 1: $cos left( frac{pi 4 – x} right)cos left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x + cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$

    Điều kiện 2: $sin left( frac{pi 4 – x} right)sin left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x – cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$

    $PT Leftrightarrow sin ^42x + cos ^42x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^24x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 2cos ^44x – cos ^24x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos ^24x = 1

    cos ^24x = – frac12left( loại right)

    endarray right.$ $ Leftrightarrow sin 4x = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    sin 2x = 0

    cos 2x = 0left( loại right)

    endarray right.$

    Vậy phương trình có nghiệm $x = kfracpi 2.$

    2. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức biến đổi tích thành tổng

    Khi giải phương trình lượng giác mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của $sin$ (hoặc $cos$) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích.

    a. Nhận xét: Bài có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số $sin$ (hàm số $cos$) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý: $x + 6x$ $ = 2x + 5x$ $ = 3x + 4x.$ Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích.

    $PT Leftrightarrow left( sin 6x + sin x right)$ $ + left( sin 5x + sin 2x right) + left( sin 4x + sin 3x right) = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin frac{7x}2left( cos frac{{5x}2 + cos fracx2 + cos frac{3x}2} right) = 0$ $ Leftrightarrow 4sin frac{7x}2cos frac{3x}2left( 2cos x + 1 right) = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm $x = frac{k2pi }7$, $x = fracpi 3 + frac{k2pi }3$, $x = pm frac{2pi }3 + k2pi $ $left( k in Z right).$

    b. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nhân ba của $sin$ và $cos$ nhưng lời giải sẽ phức tạp hơn. Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng.

    $PT Leftrightarrow frac12left( cos 4x + cos 2x right)cos ^2x$ $ + frac12left( cos 4x – cos 2x right)sin ^2x$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }8$

    $ Leftrightarrow cos 4xleft( {{sin ^2}x + {cos ^2}x} right)$ $ + cos 2xleft( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }4$ $ Leftrightarrow cos 4x + cos ^22x = frac{2 – 3sqrt 2 }4$

    $ Leftrightarrow cos 4x = – frac{sqrt 2 }2$ $ Leftrightarrow x = pm frac{3pi }{16} + kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$

    c. $PT Leftrightarrow 1 – cos 2x + sin x$ $ – sin 2x + cos 3x – cos x = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin ^2x + sin x$ $ – 2sin xcos x – 2sin 2xsin x = 0$

    $ Leftrightarrow sin xleft( 2sin x – 2cos x – 2sin 2x + 1 right) = 0$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    sin x = 0

    2left( sin x – cos x right) – 4sin xcos x + 1 = 0

    endarray right.$

    Đáp số: $x = kpi $, $x = pm fracpi 3 + k2pi $, $x = – fracpi 6 + k2pi $, $x = frac{7pi }6 + k2pi $ $(k ∈ Z).$

    d. $PT Leftrightarrow 2sin xcos x + sin x$ $ – sin ^3x + cos x – cos ^3x = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin xcos x + sin xcos ^2x$ $ + cos xsin ^2x = 0$ $ Leftrightarrow sin xcos xleft( 2 + sin x + cos x right) = 0.$

    Đáp số: $x = kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$

    a. Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số $sin$ và tổng hai cung $frac{6x + 2x}2 = 4x$ mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích.

    $PT Leftrightarrow cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2cos 2x + 1 right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 4x = 0

    cos 2x = – frac12

    endarray right.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + frac{kpi }4$, $x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k ∈ Z).$

    b. $PT Leftrightarrow frac{1 – cos 6x}x – frac{1 + cos 8x}2$ $ = frac{1 – cos 10x}2 – frac{1 + cos 12x}2$

    $ Leftrightarrow left( cos 12x + cos 10x right) $ $- left( cos 8x + cos 6x right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos 11xcos x – 2cos 7xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow cos xleft( cos 11x – cos 7x right) = 0$ $ Leftrightarrow cos xsin 9xsin 2x = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = kfracpi 9$, $x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    c. Điều kiện: $cos x ne 0.$

    $PT Leftrightarrow frac12left[ 1 – cos left( {x – frac{pi 2} right)} right]frac{{{sin ^2}x}}{{{cos ^2}x}}$ $ = frac12left( 1 + cos x right)$ $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)sin ^2x = left( 1 + cos x right)cos ^2x$

    $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)left( 1 + cos x right)left( sin x + cos x right) = 0.$

    Đáp số: Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pi + k2pi $, $x = – fracpi 4 + kpi $ $left( k in Z right).$

    d. $PT Leftrightarrow frac{1 + cos 6x}2cos 2x$ $ – frac{1 + cos 2x}2 = 0$ $ Leftrightarrow cos chúng tôi 2x – 1 = 0$

    $ Leftrightarrow cos 8x + cos 4x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow 2cos ^24x + cos 4x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow cos 4x = 1 Leftrightarrow x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    a. $PT Leftrightarrow sin 7x – sin x$ $ – left( 1 – 2{{sin ^2}2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos chúng tôi 3x – cos 4x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2sin 3x – 1 right) = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + kfracpi 4$, $x = fracpi {18} + kfrac{2pi }3$, $x = frac{5pi }{18} + kfrac{2pi }3$ $(k∈Z).$

    b. $left( {1 + cos 2x right)^2} + left( {1 + sin 2x right)^2} = 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + cos 2x = – 1$

    $ Leftrightarrow sqrt 2 cos left( 2x – frac{pi 2} right) = – 1$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 2 + kpi

    x = – fracpi 4 + kpi

    endarray right.left( k in Z right)$

    c. $PT Leftrightarrow – sqrt 3 cos x + sin x = 0$ $ Leftrightarrow frac12sin x – frac{sqrt 3 }2cos x = 0$ $ Leftrightarrow sin left( x – frac{pi 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$

    d. $PT Leftrightarrow 3tan ^3x – tan x$ $ + frac{3left( {1 + sin x right)}}{{{cos ^2}x}} – 4left( 1 + sin x right) = 0$

    $ Leftrightarrow tan xleft( 3{{tan ^2}x – 1} right)$ $ + left( 1 + sin x right)left( 3{{tan ^2}x – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( 3{{tan ^2}x – 1} right)left( tan x + 1 + sin x right) = 0$

    Trường hợp 1: $tan x = pm frac1{sqrt 3 }$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $left( k in Z right).$

    Trường hợp 2: $1 + sin x + tan x = 0$ $ Leftrightarrow sin x + cos x + sin xcos x = 0$ (phương trình đối xứng với $sin$ và $cos$).

    Giải phương trình này được: $x = fracpi 4 pm arccos left( frac{{sqrt 2 – 1}2} right) + k2pi $ $left( k in Z right).$

    4. Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức)

    Ví dụ 6. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $left( {sin frac{x2 + cos fracx2} right)^2} + sqrt 3 cos x = 2.$

    b. $cot x – tan x + 4sin 2x = frac2{sin 2x}.$

    c. $tan x = cot x + 2cot ^32x.$

    d. $tan x + cot x = 2left( sin 2x + cos 2x right).$

    a. $PT Leftrightarrow 1 + 2sin fracx2cos fracx2$ $ + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow sin x + sqrt 3 cos x = 2$

    $ Leftrightarrow frac12sin x + frac{sqrt 3 }2cos x = 1$ $ Leftrightarrow sin left( x + frac{pi 3} right) = frac12$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = – fracpi 6 + k2pi

    x = fracpi 2 + k2pi

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    b. Nhận xét: Từ sự xuất hiện của $cot x – tan x$ và $sin 2x$ ta xem chúng có mối quan hệ nào?

    Ta có: $cot x – tan x$ $ = frac{{{cos ^2}x – {sin ^2}x}}{sin xcos x}$ $ = 2frac{cos 2x}{sin 2x}$. Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau:

    Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow 2frac{cos 2x}{sin 2x} + 4sin 2x$ $ = frac2{sin 2x}cos 2x + 2sin ^22x = 1$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 1

    cos 2x = – frac12

    endarray right.$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$

    Chú ý: Ta có thể đặt $t = tan x$ $ Rightarrow cot x = frac1t$, $sin 2x = frac{2t}{1 – {t^2}}$ đưa phương trình về ẩn $t$ để giải.

    c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} – frac{cos x}{sin x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow – 2frac{cos 2x}{sin 2x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow cot 2x + cot ^32x = 0$

    $ Leftrightarrow cot 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2$ $(k∈Z).$

    d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} + frac{cos x}{sin x}$ $ = 2left( sin 2x + cos 2x right)$ $ Leftrightarrow frac2{sin 2x} = 2left( sin 2x + cos 2x right)$

    $ Leftrightarrow 1 = sin ^22x + sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow cos ^22x = sin 2xcos 2x$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    tan 2x = 1

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 4 + kfracpi 2

    x = fracpi 8 + kfracpi 2

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    . Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $cos ^6x – sin ^6x = frac{13}8cos ^22x.$

    b. $frac{2left( {{{cos ^6}x + {sin ^6}x} right) – sin xcos x}}{sqrt 2 – 2sin x} = 0.$

    c. $frac{{{cos ^4}x + {sin ^4}x}}{5sin 2x}$ $ = frac12cot 2x – frac1{8sin 2x}.$

    d. $cot x = tan x + frac{2cos 4x}{sin 2x}.$

    a. Nhận xét: Xuất hiện $cos ^6x – sin ^6x$ ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức $a^3 – b^3.$

    $PT Leftrightarrow left( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$$left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x + {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$

    $ Leftrightarrow cos 2xleft( 1 – frac{12{sin ^2}2x + frac14{sin ^2}2x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( 8 – 2{{sin ^2}2x – 13cos 2x} right) = 0$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    2cos ^22x – 13cos 2x + 6 = 0

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    cos 2x = frac12

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 4 + kfracpi 2

    x = pm fracpi 6 + kpi

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    b. Điều kiện: $sin x ne frac1{sqrt 2 }$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl

    x ne fracpi 4 + k2pi

    x ne frac{3pi }4 + k2pi

    endarray right.$

    $PT Leftrightarrow 2left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x – {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ – sin xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow 2 – 6sin ^2xcos ^2x – sin xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow 3sin ^22x + sin 2x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $ $(k∈Z).$

    Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: $x = frac{5pi }4 + k2pi $ $left( k in Z right).$

    c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{1 – frac{12{sin ^2}2x}}{5sin 2x}$ $ = frac12frac{cos 2x}{sin 2x} – frac1{8sin 2x}$ $ Leftrightarrow cos ^22x – 5cos 2x + frac94 = 0$

    $ Leftrightarrow cos 2x = frac12$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $(k∈Z).$

    d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{2cos 2x}{sin 2x} = frac{2cos 4x}{sin 2x}$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac12$ $ Leftrightarrow x = pm frac{2pi }3 + kpi $ $(k∈Z).$

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Chóng
  • Giải Hệ Pt Bằng Pp Thế Vnxike2 Ppt
  • Chương Iv. §3. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giáo Án Đại Số Lớp 9 Tiết 50: Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giáo Án Môn Đại Số Lớp 9 Năm 2009
  • Bạn đang đọc nội dung bài viết Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác trên website Expressrotaryhotpot.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!

  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100