Xem 23,958
Cập nhật nội dung chi tiết về Một Số Phương Pháp Tính Lũy Thừa Của Ma Trận Vuông mới nhất ngày 24/05/2022 trên website Expressrotaryhotpot.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến nay, bài viết này đã thu hút được 23,958 lượt xem.
--- Bài mới hơn ---
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÍNH LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VUÔNG
Giáo viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
ThS. Nguyễn Hoàng Xinh
Nguyễn Thị Mỹ Cầm
MSSV: 1110007
Lớp: SP Toán K37
Cần Thơ, 2022
1
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
LỜI CẢM ƠN
Trong cuộc sống không có sự thành công nào mà không dựa trên sự nỗ lực,
quyết tâm của cá nhân cùng với sự giúp đỡ hỗ trợ của mọi người. Với lòng biết ơn
sâu sắc, em xin gửi đến quý Thầy Cô Bộ môn Toán nói riêng, Khoa Sư phạm nói
chung lời cảm ơn chân thành vì đã tạo điều kiện để em được học tập, nghiên cứu, mở
rộng kiến thức cũng như tạo cơ hội để em có thể thực hiện và hoàn thành luận này.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hoàng Xinh đã tận tâm
hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng hết sức mình để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Song cũng
không thể tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu
từ quý Thầy cô và bạn đọc để luận văn của em hoàn thiện hơn.
Cuối lời, em xin kính chúc quý Thầy Cô dồi dào sức khỏe, thành công trong
công tác giảng dạy và cuộc sống.
Cần Thơ, ngày 20 tháng 04 năm 2022
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Mỹ Cầm
2
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông…………….5
1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
tính trực tiếp…………………………………………………………………………………………5
1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
quy nạp toán học……………………………………………………………….10
1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
sử dụng nhị thức Newton………………………………………………………20
1.4 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
chéo hóa ma trận……………………………………………………………….27
1.5 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
đưa về dạng chuẩn Jordan………………………………………………………35
1.6 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp
sử dụng định lý Cayley – Hamilton……………………………………………41
Chương 2: Bài tập và lời giải…………………………………………………….45
PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
3
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
4
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA
MA TRẬN VUÔNG
1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp tính trực tiếp
1.1.1 Phương pháp
Phân tích ma trận về các ma trận đặc biệt như ma trận đơn vị, ma trận không.
1.1.2 Các ví dụ
a) Ví dụ 1
2014
Giải
503
b) Ví dụ 2
Trong M 2
3
cho
Giải
5
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
671
*
Giải
Ta thấy A4 0 An 0, n 4
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
d) Ví dụ 4
Chứng minh rằng A2014 0 thì A2 0 .
ii)
Tìm ma trận A để n
: An I 2
Giải
i)
2014
Ta có A
d
với d là một số thực nào đó.
c 2014
e
với e là số thực nào đó.
cn
Từ giả thiết An I 2 a n c n 1 . Vì thế xảy ra các trường hợp:
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
tất
cả
ma
a, b, c, d , n
trận
sao
cho
với
*
Giải
0 0
Ta thấy A
là một ma trận cần tìm.
0 0
*
Trường hợp 1: c 0
b 0
Từ hệ phương trình ta có:
a d c 0
4
Từ đẳng thức:
c3 ac a d d 2c
8
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
Từ
4
a d
3
ta có c = a+d thay vào phương trình trên ta được:
a(a d ) d 2 (a d ) ad 0
Trường hợp 2: b 0
0 0 b 0 0 c d d e
,
,
,
,
Vậy các ma trận cần tìm là a a b 0 0 c 0 0 0
Với a, b, c, d, e, f là các số thực.
f) Ví dụ 6
, tính An , n
*
Giải
Xét ánh xạ f :
a bi
Dễ dàng chứng minh f là một đẳng cấu trường.
9
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
Xét g :
a
Dễ dàng chứng minh g là một đẳng cấu trường.
2
cos n sin n
rn
sin n cos n
1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp quy nạp toán học
1.2.1 Phương pháp
10
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
Bước 1: Tính các lũy thừa A2 , A3 , A4 ,…
Bước 2: Dự đoán công thức tổng quát An
Bước 3: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đã
dự đoán ở bước 2.
1.2.2 Các ví dụ
a) Ví dụ 1
1.1
Chứng minh 1.1 bằng phương pháp quy nạp toán học
n 1 công thức 1.1 đúng.
Giả sử công thức 1.1 đúng với n k , k
*
Chứng minh công thức 1.1 đúng với n k 1, tức là chứng minh:
*
.
1 2014
.
Chọn n 2014 ta được: A2014
1
0
Sử dụng Maple
11
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
*
Giải
Dự đoán: Bn 3n1.B , với n
*
1.2
.
Chứng minh 1.2 bằng phương pháp quy nạp toán học
n 1 , công thức 1.2 đúng.
Giả sử công thức 1.2 đúng với n k , k
*
, ta có: Bk 3k 1.B .
Chứng minh công thức 1.2 đúng với n k 1 , tức là chứng minh:
Bk 1 3k.B .
Thậy vậy:
12
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
Bk 1 3k.B 3k 1.B.B 3k 1.3B 3k.B .
Vậy Bn 3n1.B, n
*
.
Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả
Giả sử n = 1993
Theo cách giải trên ta được: A1993
31992 31992 31992
A1993 : 31992 31992 31992
31992 31992 31992
c) Ví dụ 3
*
.
Giải
13
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
22 I
Ta tính được: A2
O
1.3
Chứng minh công thức 1.3 bằng phương pháp quy nạp toán học.
n 1 : công thức 1.3 đúng.
Giả
sử
công
thức
1.3
đúng
với
n k, k
*
.Ta
có:
Ta chứng minh 1.3 đúng với n k 1, tức là chứng minh
Thậy vậy:
*
Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả
Giả sử n = 100, theo cách giải trên thì:
14
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
A100
d) Ví dụ 4
1.4
Chứng minh 1.4 bằng phương pháp quy nạp toán học.
15
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
n 1 , công thức 1.4 đúng.
Giả sử công thức 1.4 đúng với n k , k
*
Chứng minh công thức (1.4) đúng với n k 1, tức là chứng minh
*
.
Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả
1993
Giả sử n = 1993, theo cách giải trên thì: A
Bây giờ ta sử dụng Maple để giải.
16
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
7
6 2
n
) , cho ma trận A
. Tính A với n nguyên dương.
0 1
1.5
Ta sẽ chứng minh 1.5 bằng quy nạp toán học.
n 1 , hiển nhiên 1.5 đúng.
Giả sử 1.5 đúng với n k , k
*
Ta sẽ chứng minh 1.5 đúng với n k 1, tức là chứng minh:
6 2
1 0
k 1
Ak 1
nếu k 1 lẻ, A
nếu k 1 chẵn
0 1
0 1
17
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
Thậy vậy:
nguyên dương.
Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả
Giả sử n 2014 , n 2022 theo cách giải trên thì:
18
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
cos x sin x
Tính A2014 với A
.
sin x cos x
Giải
Ta tính được:
cos 2 x sin 2 x 3 cos3x sin 3x 4 cos 4 x sin 4 x
A2
, A sin 3x cos3x , A sin 4 x cos 4 x .
sin 2 x cos 2 x
cos nx sin nx
Dự đoán: An
, n
sin nx cos nx
1.6
*
Ta sẽ chứng minh 1.6 bằng quy nạp toán học.
n 1 , hiển nhiên 1.6 đúng.
Giả sử 1.6 đúng với n k , k
*
cos kx sin kx
, ta có: Ak
.
sin kx cos kx
Thật vậy
cos kx sin kx cos x sin x
Ak 1 Ak A
sin kx cos kx sin x cos x
19
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông
cos(2014 x) sin(2014 x)
A2014 :
sin(2014 x) cos(2014 x)
1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp sử dụng
nhị thức Newton
1.3.1 Phương pháp
Giả sử A là ma trận vuông cấp k, tính lũy thừa bậc n của ma trận A với n nguyên
dương.
Bước 1 : Phân tích A = B+ C, trong đó BC = CB, B, C là các ma trận tính lũy
thừa dễ dàng.
n
Bước 2: An B C Cnk B nk C k
n
k 0
20
GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh
SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm
--- Bài cũ hơn ---
Bạn đang đọc nội dung bài viết Một Số Phương Pháp Tính Lũy Thừa Của Ma Trận Vuông trên website Expressrotaryhotpot.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!
