Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn (Có Lời Giải)

--- Bài mới hơn ---

  • Những Bí Ẩn Toán Học Hàng Trăm Năm Chưa Có Lời Giải
  • Nhà Toán Học Nổi Tiếng Khẳng Định Đã Giải Được Bài Toán Thiên Niên Kỷ
  • Những Bài Toán Siêu Kinh Điển Chưa Tìm Ra Lời Giải
  • Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 Có Lời Giải Chi Tiết
  • Bai Giang Phuong Trinh Vi Phan
  • Ôn thi đại học chuyên đề bất phương trình chứa căn thức

    Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ chứa căn thức

    Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ chứa căn có lời giải là tài liệu ôn thi đại học môn Toán, luyện thi THPT Quốc gia môn Toán hay, giúp các bạn đạt điểm tối đa khi làm phần bài tập bất phương trình chứa căn trong đề thi đại học. Mời các bạn tham khảo.

    Chuyên đề bất phương trình vô tỉ Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình chứa căn thức Ôn thi Đại học – Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn

    GIỚI THIỆU

    Kể từ năm 2005 đến nay, đề thi đại học môn toán có bài toán về bất phương trình chứa căn:

    Bài 1: (Đề thi đại học Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

    Bài 2: (Đề thi đại học Khối B năm 2012): Giải bất phương trình:

    Bài 3: (Đề thi đại học Khối A năm 2005): Giải bất phương trình:

    Bài 4: (Đề thi đại học Khối A năm 2010): Giải bất phương trình:

    ĐỊNH HƯỚNG

    1. Bài 1 thuộc Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai.
    2. Bài 2 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn bậc hai.
    3. Bài 3 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau.
    4. Bài 4, bài 5 thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều căn.

    Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, bài giảng này sẽ được chia thành 4 phần (4 dạng bất phương trình).

    • Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phương pháp để giải.
    • Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập.

    1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MỘT CĂN BẬC HAI

    Ví dụ 1: (Đề thi đại học Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

    ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây là một dạng bất phương trình đơn giản dạng AB ≥ 0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó. Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

    f(x).√gx) ≥ 0, với f(x) và g(x) có nghĩa

    Giải

    Bất phương trình tương đương với:

    Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là

    Mời các bạn tải file đầy đủ về tham khảo!

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 (Hai) Đầy Đủ Nhất
  • Các Dạng Toán Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn, Cách Giải Và Tính Nhẩm Nghiệm Nhanh
  • Bài Toán Giải Bằng Hai Phép Tính (Tiếp Theo)
  • Viết Câu Lời Giải Cho Bài Toán Có Lời Văn
  • Đề Tài Biên Pháp Rèn Kĩ Năng Viết Câu Lời Giải Trong Giải Toán Có Lời Văn Cho Học Sinh Lớp 1
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Căn, Bất Phương Trình Chứa Căn

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Bất Phương Trình
  • Giải Phương Trình Mũ Logarit Hay Và Khó Lớp 12
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Phương Trình Mũ Và Logarit File Word
  • Trắc Nghiệm Lượng Giác (Kèm Lời Giải)
  • Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

    Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

    1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2

    Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.

    Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).

    2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

    Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là

    3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn

    Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.

    4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

    Ví dụ 1. Giải phương trình

    $$sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    cup left{ { – 1} right}$.

    Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$left$.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tổng Hợp Đề Kiểm Tra 1 Tiết Toán 11 Chương 1 Đại Số (Có Đáp Án)
  • Tuyển Chọn Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 Cơ Bản
  • Chiến Thắng 30/4 Mở Trang Mới Trong Sự Nghiệp Xây Dựng Và Bảo Vệ Tổ Quốc
  • Cuộc Chiến Chấm Dứt 45 Năm Trước Qua Cái Nhìn Của Du Học Sinh!
  • Sự Thật Về Cuộc Di Tản Trước Giải Phóng Miền Nam Năm 1975 – Viện Nghiên Cứu Phát Triển Phương Đông
  • Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chia sẻ cách giải các bất phương trình vô tỷ và các dạng bất phương trình vô tỉ thường gặp. Các phương pháp, kỹ thuật xử lý bất PT vô tỷ.

    10 kỹ thuật xử lý bất phương trình vô tỉ gồm:

    • Phương pháp biến đổi tương đương
    • Kỹ thuật chia điều kiện
    • Kỹ thuật khai căn
    • Kỹ thuật phân tích thành nhân tử
    • Kỹ thuật nhân chia liên hợp
    • Kỹ thuật đặt ẩn phụ – Đặt ẩn phụ lượng giác
    • Kỹ thuật đánh giá trong bất phương trình
    • Kỹ thuật sử dụng tích vô hướng của véc tơ để giải bất phương trình
    • Kỹ thuật khảo sát hàm số để đánh giá bất phương trình vô tỉ
    • Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm

    Phương pháp biến đổi tương đương

    Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Cộng trừ hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Nhân chia hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn dương hoặc âm mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình. Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương. Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.

    Kỹ thuật lũy thừa hai vế

    Ở kỹ thuật này, đặc biệt chú ý tới điều kiện của bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.

    Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.

    Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh.

  • Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản.
  • Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp.
  • Phương pháp đặt ẩn phụ

    Một số yêu cầu là: Dạng này học sinh cần nhớ cách đặt ẩn và từ đó mở rộng cho bài toán tương tự chú ý tới các điều kiện của ẩn.

    – Nhớ được cách xét tính đơn điệu của một hàm số, lập bảng biến thiên…

    – Nhớ các bất đẳng thức.

    – Thường áp dụng cho các Bài toán bất phương trình vô tỉ đặc thù, phức tạp không có thuật toán cụ thể nhưng

    hay có trong các kì thi đại học các năm gần đây. Hai bất đẳng thức cơ bản nhất là: Bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopski

    Để giải bất phương trình ta khảo sát hoặc căn cứ vào tính chất của các hàm số đưa ra bảng biến thiên và từ

    bảng biến thiên đưa ra kết luận.

    Đây là cách đánh giá bất phương trình vô tỉ khá thông minh, các cách làm được dựa vào kinh nghiệm của người giải bài tập. Dựa vào mức độ va chạm với các loại bài tập đó.

    10 kỹ thuật xử lý bất phương trình vô tỉ gồm:

    Phương pháp biến đổi tương đương

    Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Cộng trừ hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Nhân chia hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn dương hoặc âm mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình. Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương. Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.

    Kỹ thuật lũy thừa hai vế

    Ở kỹ thuật này, đặc biệt chú ý tới điều kiện của bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.

    Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.

    • Phương pháp biến đổi tương đương
    • Kỹ thuật chia điều kiện
    • Kỹ thuật khai căn
    • Kỹ thuật phân tích thành nhân tử
    • Kỹ thuật nhân chia liên hợp
    • Kỹ thuật đặt ẩn phụ – Đặt ẩn phụ lượng giác
    • Kỹ thuật đánh giá trong bất phương trình
    • Kỹ thuật sử dụng tích vô hướng của véc tơ để giải bất phương trình
    • Kỹ thuật khảo sát hàm số để đánh giá bất phương trình vô tỉ
    • Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm

    Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh.

    Một số yêu cầu là: Dạng này học sinh cần nhớ cách đặt ẩn và từ đó mở rộng cho bài toán tương tự chú ý tới các điều kiện của ẩn.

    – Nhớ được cách xét tính đơn điệu của một hàm số, lập bảng biến thiên…

    – Nhớ các bất đẳng thức.

    – Thường áp dụng cho các Bài toán bất phương trình vô tỉ đặc thù, phức tạp không có thuật toán cụ thể nhưng

    hay có trong các kì thi đại học các năm gần đây. Hai bất đẳng thức cơ bản nhất là: Bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopski

  • Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản.
  • Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp.
  • Kỹ thuật khảo sát hàm số để đánh giá bất phương trình

    Để giải bất phương trình ta khảo sát hoặc căn cứ vào tính chất của các hàm số đưa ra bảng biến thiên và từ

    bảng biến thiên đưa ra kết luận.

    Đây là cách đánh giá bất phương trình vô tỉ khá thông minh, các cách làm được dựa vào kinh nghiệm của người giải bài tập. Dựa vào mức độ va chạm với các loại bài tập đó.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cđ Một Số Dạng Pt Vô Tỷ Và Cách Giải
  • Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  • Giải Toán 11 Bài 3. Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
  • Chỉ Cần 20 Bước Là Giải Được Bất Kỳ Khối Rubik Nào, Nhưng Mất 36 Năm Nghiên Cứu Ta Mới Tìm Ra Con Số 20 ‘thần Thánh’
  • Bí Kíp Giải Rubik Cực Chuẩn Chỉ Trong ‘nháy Mắt’
  • Phương Trình Chứa Căn Thức

    --- Bài mới hơn ---

  • Lập Trình C: Giải Phương Trình Bậc 2
  • Viết Chương Trình Giải Phương Trình Bậc Nhất Ax + B = 0
  • Vấn Đề Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn: Ax + B = 0
  • Vấn Đề Giải Phương Trình Chứa Căn Bậc 3
  • Công Thức Tính Delta Và Delta Phẩy Phương Trình Bậc 2
  • 1. PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA

    Dạng 1 : Phương trình

    Dạng 2: Phương trình Tổng quát:

    Dạng 3: Phương trình

    (chuyển về dạng 2)

    +) (1)

    và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : (2)

    Dạng 4:

    Chú ý: – Phương trình (2) là phương trình hệ quả của ph tr (1).

    – Phép bình phương 2 vế của một phương trình mà không có điều kiện cho 2 vế không âm là một phép biến đổi hệ quả. Sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại.

    Giải các phương trình sau:

    1) 2) 3)

    4) 5) 6)

    7) 8) 9)

    10) 11) 12)

    13) 14) 15)

    16) 17)

    18) 19) 20)

    (20)

    Nhận xét :

    Nếu phương trình : Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả

    (21)

    Nhận xét :

    Nếu phương trình : Mà có : thì ta biến đổi sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả

    2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

    Dạng 1: Các phương trình có dạng :

    * , đặt

    * , đặt

    * đặt

    Chú ý:

    * Nếu không có điều kiện cho t, sau khi tìm được x thì phải thử lại

    Bài 1. Giải các phương trình sau: 7)

    1) 2) 3)

    4) 5) 6)

    Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm?

    a) b)

    Bài 3. Cho phương trình:

    a. Giải phương trình khi m = 12 b. Tìm m để phương trình có nghiệm?

    Bài 4. Cho phương trình: (Đ3)

    a. Giải phương trình với m = -3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm?

    Dạng 2: Các phương trình có dạng: Đặt

    Bài 1. Giải các phương trình sau:

    a) (QGHN-HVNH’00) b) – 2

    c) (AN’01) d)

    e) (Đ36) g) (TN- KA, B ‘01)

    h) i) (KTQS‘01)

    Bài 2. Cho phương trình: (ĐHKTQD – 1998)

    a. Giải phương trình khi a = 3. b. Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?

    Bài 3. Cho phương trình: (Đ59)

    a. Giải phương trình với m = 3. b. Tìm m để phương trình có nghiệm?

    Bài 4. Cho phương trình: (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000)

    a. Giải phương trình khi m = 2. b. Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.

    Bài 5. Tìm a để PT sau có nghiệm:

    Tất cả bài tập 2, 3, 4, 5 ta có thể sáng tạo thêm những câu hỏi hoặc những bài tập sau:

    Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất? (ĐK cần và đủ)

    Tìm a để phương trình đã cho vô nghiệm?

    Dạng 3: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu. (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn )

    Từ những phương trình tích ,

    Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .

    Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .Bài 1. Giải phương trình :

    Giải: Đặt , ta có :

    Bài 2. Giải phương trình :

    Giải:

    Đặt : Khi đó phương trình trở thành :

    Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn :

    Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau

    Bài 3. Giải phương trình sau :

    Giải:

    Nhận xét : đặt , pttt: (1)

    Ta rút thay vào thì được pt:

    Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương .

    Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo

    Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được:

    Bài 4. Giải phương trình:

    Giải .

    Bình phương 2 vế phương trình:

    Ta đặt : . Ta được:

    Ta phải tách làm sao cho có dạng chính phương .

    Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích

    Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau

    1) 2) 3)

    4) 5) 6)

    7) 8)

    (9)

    Một số dạng khác.

    1) 2) 3)

    4) 5) 6)

    7) 8)

    10) (Đ141) 11)

    Dạng 4: . Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

    Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách

    Xét phương trình trở thành :

    thử trực tiếp

    Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

    Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .

    a) . Phương trình dạng :

    Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu

    Xuất phát từ đẳng thức :

    Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:

    Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”

    Bài 1. Giải phương trình :

    Giải: Đặt

    Phương trình trở thành : Tìm được:

    Bài 2. Giải phương trình :

    Bài 3: giải phương trình sau :

    Giải:

    Đk:

    Nhận xt : Ta viết

    Đồng nhất thức ta được:

    Đặt , ta được:

    Ta được :

    Bài 4. Giải phương trình :

    Giải:

    Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

    Pt có nghiệm :

    b).Phương trình dạng :

    Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.

    Bài 1. giải phương trình :

    Giải:

    Ta đặt : khi đó phương trình trở thành :

    Bài 2.Giải phương trình sau :

    Giải

    Đk . Bình phương 2 vế ta có :

    Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ :

    Do .

    Bài 3. giải phương trình :

    Giải:

    Đk . Chuyển vế bình phương ta được:

    Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt

    .

    Nhưng may mắn ta có : . Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết .

    Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

    Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

    Xuất phát từ đẳng thức , Ta có

    Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .

    Bài 1. Giải phương trình :

    Giải : , ta có : , giải hệ ta được:

    Bài 2. Giải phương trình sau :

    Giải . Ta đặt : , khi đó ta có :

    Bài 3. Giải các phương trình sau

    3. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.

    Sử dụng đẳng thức

    a3-b3 Û (a-b)(a2+ab+b2)=0 Û a=b

    Bài 1. Giải phương trình :

    Giải:

    Bi 2. Giải phương trình :

    Giải:

    + , không phải là nghiệm

    + , ta chia hai vế cho x:

    Bài 3. Giải phương trình:

    Giải:

    pt

    Bài 4. Giải phương trình :

    Giải:

    Đk:

    Chia cả hai vế cho :

    Dùng hằng đẳng thức

    Biến đổi phương trình về dạng :

    Bài 1. Giải phương trình :

    Giải:

    Đk: khi đó pt đ cho tương đương :

    Bài 2. Giải phương trình sau :

    Giải:

    Đk: phương trình tương đương :

    Bài 3. Giải phương trình sau :

    Giải : pttt

    ĐS: x=1.

    Bài tập đề nghị

    Giải các phương trình sau :

    1) 4) 8)

    2) (với n Î N; n ³ 2) 5) (ĐHDL ĐĐ’01)

    3) 6)

    7) (1) (HVKT QS – 2001)

    4. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC

    1. (ĐHSPHN2’00) 2.

    3. 4.

    5. 8) (Đ8)

    9. (BKHN- 2001)

    5. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

    1. 2.

    3. 4.

    5. (HVCNBC’01) 6. (Đ24) 8.

    7. . 8.

    6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

    6.1. Nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung

    Phương pháp

    Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm

    Ví dụ

    Bài 1 . Giải phương trình sau :

    Giải:

    Ta nhận thấy : v

    Ta có thể trục căn thức 2 vế :

    Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .

    Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :

    Giải: Để phương trình có nghiệm thì :

    Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

    , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :

    Dễ dàng chứng minh được :

    Bài 3. Giải phương trình :

    Giải :Đk

    Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

    Ta chứng minh :

    Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3

    6.2. Đưa về “hệ tạm “

    a) Phương pháp

    Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà :

    ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :

    , khi đĩ ta có hệ:

    b) Ví dụ

    Bài 4. Giải phương trình sau :

    Giải:

    Ta thấy :

    không phải là nghiệm

    Xét

    Trục căn thức ta có :

    Vậy ta có hệ:

    Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=

    Bài 5. Giải phương trình :

    Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.

    Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn

    Bài tập đề nghị

    Giải các phương trình sau :

    (HSG Toàn Quốc 2002)

    (OLYMPIC 30/4-2007)

    Giải các phương trình sau:

    1) 2) 3)

    4) 5) 6)

    7)

    8)

    9)

    7. PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ

    1. Dùng hằng đẳng thức :

    Từ những đánh giá bình phương : , phương trình dạng Û

    2. Dùng bất đẳng thức

    Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình

    Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình:

    Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó :

    Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được

    Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):

    Giải: Đk

    Ta có :

    Dấu bằng

    Bài 2. Giải phương trình :

    Giải: Đk:

    Biến đổi pt ta có :

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

    Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

    Dấu bằng

    Bài 3. giải phương trình:

    Ta chứng minh : và

    Bài tập đề nghị .

    Bài 1: Giải các phương trình sau

    Bài 2: Giải các phương trình sau:

    1) 2)

    3) 4)

    5) 6) 7)

    8) 9) (Đ11)

    10) 11)

    8. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ .

    Dạng 1: Đưa về hệ phương trình bình thường. Hoặc hệ đối xứng loại một.

    Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v

    Bài 1. Giải phương trình:

    Đặt

    Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là

    Bài 2. Giải phương trình:

    Điều kiện:

    Đặt

    Ta đưa về hệ phương trình sau:

    Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.

    Bài 3. Giải phương trình sau:

    Điều kiện:

    Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau:

    Vậy

    Bài 4. Giải phương trình:

    Giải

    Điều kiện:

    Đặt .

    Khi đó ta được hệ phương trình:

    Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau

    (ĐHTCKTHN – 2001)

    (ĐHDL HP’01)

    (Đ12)

    (DL Hùng vương- 2001)

    (CĐ mẫu giáo TW1- 2001)

    (Đ142)

    Dạng 2: Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai.

    Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

    Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản

    Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình :

    Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ

    Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình :

    Tương tự cho bậc cao hơn :

    Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ???

    Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được.

    Giải phương trình:

    Điều kiện:

    Ta có phương trình được viết lại là:

    Đặt thì ta đưa về hệ sau:

    Trừ hai vế của phương trình ta được

    Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là:

    Kết luận: Nghiệm của phương trình là

    Bài 2. Giải phương trình:

    Giải

    Điều kiện

    Ta biến đổi phương trình như sau:

    Đặt ta được hệ phương trình sau:

    Với . Với

    Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau

    1) 2) 3) (x2 + 3x – 4)2 + 3(x2 + 3x – 4) = x + 4

    4) 5) 6) 7)

    8) (ĐHAN-D) 9) 10)

    11) 12) 13) 14)

    9. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM.

    Các bước:

    Tìm tập xác định của phương trình.

    Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó.

    Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến(nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình.

    Ví dụ. Giải phương trình sau: (1)

    Giải:

    Tập xác định: D = R. Đặt f(x) =

    Ta có:

    Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập M=

    Ta thấy f(-1)=0 Þ x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có:

    Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):

    x

    -∞ -1 +∞

    f’(x)

    ÷ú ÷ú ÷ú

    F(x)

    +∞

    0 3

    -∞ -3

    Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 Û x = -1. Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm x = -1.

    Bài tập tương tự:

    Giải các phương trình sau:

    1) 2)

    Từ bài 2, ta có bài tập 3.

    3) 4)

    5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

    6) (ĐH.A’08) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:

    10. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ.

    Ví dụ. Giải phương trình sau: (1)

    Giải:

    Tập xác định: D = [-1; 1]. (2)

    Do (2) nên đặt x = cost (*), với 0 £ t £ p (A)

    Khi đó phương trình (1) trở thành: (3)

    Với t Î (A), ta có:

    Đặt X = cost + sint (5), (B)Þ X2 = 1 + chúng tôi Þ chúng tôi =

    Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X:

    Ta thấy chỉ có nghiệm X = và X = – + 1 là thoả mãn điều kiện (B).

    + Với X = , thay vào (5) ta được:

    Vì t Î (A) nên ta có t = . Thay vào (*) ta được: x = cos= (thoả mãn tập xác định D).

    + Với X = – + 1, thay vào (5) ta được:

    Khi đó, ta có:

    Þ

    Từ (**) và (6) suy ra cost = . Thay vào (5), ta được x = .

    Nhưng chỉ có nghiệm x = thoả mãn tập xác định D.

    Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x = và x = .

    Bài tập tương tự. 1) (HVQHQT- 2001) 2)

    3) 4)

    1. Giải các phương trình sau:

    1) 8) 15)

    2) 9) 16)

    3) 10) 17)

    4) 11) 18)

    6) 13) 20)

    7) 14) 21)

    2. Giải các phương trình sau:

    1) 9)

    2) 10)

    3) 11)

    4) 12)

    5) 13)

    6) 14)

    7) 15)

    3. Giải các phương trình sau: (ẩn phụ ® hệ) 1)

    2) 3) 4)

    4. Giải các phương trình sau (Đánh giá) 1)

    3) 2) 4)

    5. Tìm m để phương trình có nghiệm.

    1) 2) 4)

    6. Tìm m để phương trình có nghiệm.

    1) 4) 2) 5)

    3) 6)

    7. Giải phương trình, hệ phương trình:

    a) b) c)

    d) e) f)

    11. XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ HÌNH HỌC

    11.1 Dùng tọa độ của véc tơ

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có

    Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương

    , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

    11.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác

    Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi .

    Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc

    Bài tập: giải phương trình, hệ phương trình sau:

    3)

    4)

    5)

    MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC:

    I/ Dạng 1: Giải phương trình.

    1/ (Dự bị 2 khối D 2006) : , .

    2/ (Dự bị 1 khối B 2006) : ,.

    3/ (Dự bị 1 khối B 2005) : .

    4/ ( ĐH KD-2005) ;

    5/ ( ĐH KD-2006) : ,

    6/ ; 7/

    8/ ; 9/

    10/ ; 11/ .

    12/.

    II/ Dạng 2: Giải bất phương trình.

    1/ (Dự bị 2 khối B 2005) : ;

    2/ (Dự bị 1 khối D 2005) : ;

    3/ ( ĐH KD – 02) ;

    4/ ( ĐH KA-05) ;

    5/ ( ĐH KA-04) ;

    6/ ( ĐH KA-2010):

    III/ Dạng 3: Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm .

    Thông thường ở dạng này ta sử dụng một trong các phương pháp sau:

    * PP1: Sử dụng tính chất đồng biến ,nghịch biến của hàm số.

    * PP2: Sử dụng tương giao của các đồ thị hàm số.

    1/ (Dự bị 1 khối B 2007) : Tìm m để phương trình: có nghiệm.

    2/ (Dự bị 1 khối A 2007) :Tìm m để bất phương trình :

    có nghiệm .

    3/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình có nghiệm thực .

    4/ ( ĐH KB-2007) CMR với giá trị của mọi m, phương trình có 2

    nghiệm thực phân biệt .

    5/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình ,

    có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

    6/ (Khối D-2004): CMR: phương trình sau có đúng một nghiệm :.

    7/ ( ĐH KB-2004): Xác định m để phương trình sau có nghiệm :

    .

    8/ ( ĐH KB-2006): Tìm m để pt: có 2 nghiệm thực phân biệt

    9/ (Khối B-2010) Giải phương trình (x Î R).

    10/ (Khối D-2010) Giải phương trình

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Và Chính Xác Cho Học Sinh
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Phương Trình Và Hàm Số Bậc 4
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn Đặc Biệt Môn Toán Lớp 10
  • Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Bài Tập Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Có Đáp Án

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Phương Trình Bậc Hai Online, Cực Nhanh Tại Giaitoannhanh.com
  • Công Cụ Máy Tính Online: Tính Nhanh, Giải Phương Trình, Căn Bậc
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 4
  • Pt Asinx+Bcosx=C Phuong Trinh Asinx Bcosx C Tg Tiet 4 Ppt
  • Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Ax+By=C
  • Bài tập Giải phương trình chứa dấu căn có đáp án

    Giải các phương trình sau:

    Bài 1:

    Bài 2:

    Bài 3:

    Bài 4:

    Bài 5:

    Đáp án và hướng dẫn giải

    Bài 1:

    ĐK: x ≥ 0; y ≥ 1

    Phương trình tương đương với:

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 5)

    ĐK: x ≥ 2; y ≥ 3; z ≥ 5

    Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 7; 14)

    ĐK: x ≥ -1; y ≥ -2; z ≥ -3

    Phương trình tương đương với:

    Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 7; 13)

    Bài 2:

    ĐK: x ≥ 0

    Trục căn thức ở mẫu, phương trình có dạng:

    ⇔ x + 3 = x + 2√x + 1

    ⇔ √x = 1

    ⇔ x = 1 (TMĐK)

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

    ĐK x ≥ 1

    Phương trình có dạng:

    ⇔ x = 2 (TMĐK)

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

    Phương trình có nghiệm x = ±√7

    ĐK: x ≥ (-1)/2

    Phương trình có dạng:

    + Xét 1/2 ≤ x < 1, phương trình có dạng:

    ⇔ 2x – 1 = 1 ⇔ x = 1 (không TMĐK)

    + Xét 1 ≤ x < 5/2,phương trình có dạng:

    ⇔ phương trình nghiệm đúng với 1 ≤ x < 5/2

    + Xét 5/2 ≤ x < 5,phương trình có dạng:

    ⇔ x = 5/2 (TMĐK)

    + Xét x ≥ 5, phương trình có dạng:

    ⇔ x = 13 (TMĐK)

    Vậy nghiệm của phương trình là:

    1 ≤ x ≤ 5/2;x = 13

    ĐKXĐ: x ≥ 5/2.Phương trình có dạng:

    Giải ra ta có nghiệm 5/2 ≤ x ≤ 3

    Giải ra ta có nghiệm là 1 ≤ x ≤ 10

    Bài 3:

    Cách giải tương tự VD2

    a) Phương trình có nghiệm duy nhất x = -3

    b) Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

    Bài 4:

    ĐKXĐ: x ≥ 1/3

    Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2/3

    Cách giải tương tự câu a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.

    Phương trình viết dưới dạng

    Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

    d) Phương trình viết dưới dạng

    Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

    e) Phương trình có nghiệm x = 0; x =1

    Bài 5:

    Dấu bằng xảy ra khi x = -2; y = 2

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-2; 2)

    Khi đó phương trình tương đương với:

    Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

    chuong-1-can-bac-hai-can-bac-ba.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Và Bài Tập Vận Dụng
  • Chuyên Đề Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Cực Hay, Có Đáp Án
  • Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác
  • Học Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Bài Tập: Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyen De Giai Bai Toan Bang Cach Lap Phuong Trinh Lop 8
  • Chuyên Đề: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Giải Bài 1,2,3,4,5 Trang 88 Sgk Hình Học Lớp 10: Phương Trình Đường Elip
  • Giải Bài Tập Trang 87, 88 Sgk Đại Số 10 Bài 1, 2, 3, 4, 5
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
  • Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Đáp án và hướng dẫn giải Bài 1:

    ĐK: x ≥ 0; y ≥ 1

    Phương trình tương đương với:

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 5)

    ĐK: x ≥ 2; y ≥ 3; z ≥ 5

    Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 7; 14)

    ĐK: x ≥ -1; y ≥ -2; z ≥ -3

    Phương trình tương đương với:

    Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 7; 13)

    Bài 2:

    ĐK: x ≥ 0

    Trục căn thức ở mẫu, phương trình có dạng:

    ⇔ x + 3 = x + 2√x + 1

    ⇔ √x = 1

    ⇔ x = 1 (TMĐK)

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

    ĐK x ≥ 1

    Phương trình có dạng:

    ⇔ x = 2 (TMĐK)

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

    Phương trình có nghiệm x = ±√7

    ĐK: x ≥ (-1)/2

    Phương trình có dạng:

    + Xét 1/2 ≤ x < 1, phương trình có dạng:

    ⇔ 2x – 1 = 1 ⇔ x = 1 (không TMĐK)

    + Xét 1 ≤ x < 5/2,phương trình có dạng:

    ⇔ phương trình nghiệm đúng với 1 ≤ x < 5/2

    + Xét 5/2 ≤ x < 5,phương trình có dạng:

    ⇔ x = 5/2 (TMĐK)

    + Xét x ≥ 5, phương trình có dạng:

    ⇔ x = 13 (TMĐK)

    Vậy nghiệm của phương trình là:

    1 ≤ x ≤ 5/2;x = 13

    ĐKXĐ: x ≥ 5/2.Phương trình có dạng:

    Giải ra ta có nghiệm 5/2 ≤ x ≤ 3

    Giải ra ta có nghiệm là 1 ≤ x ≤ 10

    Bài 3:

    Cách giải tương tự VD2

    a) Phương trình có nghiệm duy nhất x = -3

    b) Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

    Bài 4:

    ĐKXĐ: x ≥ 1/3

    Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2/3

    Cách giải tương tự câu a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.

    Phương trình viết dưới dạng

    Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

    d) Phương trình viết dưới dạng

    Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

    e) Phương trình có nghiệm x = 0; x =1

    Bài 5:

    Dấu bằng xảy ra khi x = -2; y = 2

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-2; 2)

    -2(x – 2) 2 + 5 ≤ 5 ∀x

    Khi đó phương trình tương đương với:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chương Iii. §5. Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Phương Trình Cân Bằng Nhiệt: Giải Bài Tập C1,c2,c3 Vật Lý 8 Trang 89
  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Sgk Bài 25: Phương Trình Cân Bằng Nhiệt
  • Giải Bài Tập Vật Lý 8 Bài 25: Phương Trình Cân Bằng Nhiệt
  • Cách Giải Bài Tập Phương Trình Cân Bằng Nhiệt Nâng Cao Cực Hay .
  • Đề Tài Giải Phương Trình Có Chứa Dấu Căn Bậc Hai

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Trùng Phương, Phương Trình Tích
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
  • Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)
  • Trong quá trình dạy học, tôi đã nghiên cứu và tham khảo các tài liệu về chuyên đề đại số và giải tích ở cấp trung học phổ thông. Tôi thấy rằng việc hệ thống lại các dạng cơ bản và phương giải phương trình chứa căn cho học sinh lớp 10 là thực sự cần thiết, nhằm giúp cho học sinh lớp 10 ( học theo chương trình mới ) tiếp cận với việc giải một phương trình có dấu căn bậc hai một cách hiệu quả và có hệ thống. với lí do đó, tôi đã viết đề tài này.

    Đây là một đề tài nhỏ nhằm phục vụ cho việc dạy học môn toán cho học sinh lớp 10 ở chương trình nâng cao và bổ trợ kiến thức cho học sinh lớp 10 ban cơ bản trong tiết học tự chọn ( có thể thực hành trong 2 hoặc 3 tiết dạy ), trong chuyên đề này tôi đề cặp đến dạng toán:

    GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH COÙ CHÖÙA DAÁU CAÊN BAÄC HAI

    Đối với phần này, tôi hệ thống lại một số dạng toán cơ bản thường thấy khi giải phương trình có dấu căn bậc hai gồm có các nội dung sau:

    1. Tìm tập nghiệm của phương trình thông qua tập xác định của phương trình.

    2. Dạng cơ bản của phương trình có chứa dấu căn bậc hai

    3. Giải một phương trình chứa dấu căn bậc hai bằng cách đổi biến

    4. Dùng phương pháp bất đẳng thức và đánh giá ước lượng hai vế của phương trình

    5. Phương pháp biến thiên hằng số

    6. Một số dạng toán khác

    7. Phương trình chứa dấu căn bậc hai có chứa tham số.

    Xin cảm ơn các thầy cô ở trường THPT Phước Thiền đã chân thành góp ý kiến cho tôi hoàn thành đề tài.

    Mặt dù có nhiều cố gắng, nhưng do kinh nghiệm không nhiều nên thiếu sót là điều không tránh khỏi, mong các thầy cô chân thành góp ý để tôi có kinh nghiệm tốt hơn trong công tác dạy học môn toán.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Oxi Hóa Ancol Là Gì? Phương Trình Oxi Hóa Ancol Và Các Dạng Bài Tập
  • Bài Tập Cân Bằng Phương Trình Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Bttn Tổng Hợp Phản Ứng Oxi Hóa Khử (Có Lời Giải Chi Tiết)
  • Một Số Phương Pháp Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn

    --- Bài mới hơn ---

  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Kỹ Năng Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn “chương 3, Đại Số 10 Cb”
  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Có Ẩn Dưới Dấu Căn Toán 10
  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn Bậc Hai
  • Ptlg Bậc I Dạng Asin X + Bcosx = C Phuong Trinh Asinx Bcosx C Tg Tiet 4 Ppt
  • Tổng Hợp Lý Thuyết Về Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình

    Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

    Lý thuyết & Phương pháp giải

    Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:

    – Nâng luỹ thừa hai vế.

    – Phân tích thành tích.

    – Đặt ẩn phụ.

    Các dạng phương trình sau ta có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương:

    Phương trình có dạng a.f(x) + b.√(f(x) ) + c = 0 ta đặt √(f(x)) = t

    Ngoài ra ta còn có phương pháp phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp

    Với A, B không đồng thời bằng không

    Ví dụ minh họa

    Bài 1: Giải phương trình sau √(2x-3) = x-3

    Hướng dẫn:

    Ta có

    Bài 2: Giải phương trình sau

    Hướng dẫn:

    Phương trình tương đương với phương trình

    Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 1

    Bài 3: Giải phương trình sau √(2x-1) + x 2 – 3x + 1 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có

    Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2 – √2

    Bài 4: Giải phương trình sau x 2 + √(x 2 + 11) = 31

    Hướng dẫn:

    Đặt t = √(x 2 + 11), t ≥ 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành:

    t 2 + t – 42 = 0 ⇔

    Vì t ≥ 0 ⇒ t = 6, thay vào ta có √(x 2 + 11) = 6

    x 2 + 11 = 36 ⇔ x = ±5

    Vậy phương trình có nghiệm là x = ±5

    Bài 5: Giải phương trình sau

    Hướng dẫn:

    Đặt t = √(3x 2 – 2x + 2), điều kiện t ≥ 0. Khi đó √(3x 2 – 2x + 9) = √(t 2 + 7)

    Phương trình trở thành √(t 2 + 7) + t = 7

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = (1 ± √22)/3

    Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn
  • Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Đối Xứng, Phản Đối Xứng
  • Giải Phương Trình Bậc 2 Trong Java
  • Phương Trình Trùng Phương Lớp 9: Lý Thuyết, Cách Giải, Các Dạng Bài Tập
  • Cách Tính Delta Và Delta Phẩy Phương Trình Bậc 2
  • Chuyên Đề Phương Trình Chứa Căn Thức

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Và Bài Tập Vận Dụng
  • Bài Tập Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Có Đáp Án
  • Giải Phương Trình Bậc Hai Online, Cực Nhanh Tại Giaitoannhanh.com
  • Công Cụ Máy Tính Online: Tính Nhanh, Giải Phương Trình, Căn Bậc
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 4
  • Giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai là rất quan trọng trong các cấp học, từ THCS đến THPT tuy nhiên ở cấp THPT không đơn thuần là cho sẵn phương trình bậc nhất, bậc hai để giải mà thường lồng ghép dưới nhiều hình thức của các bài toán khác nhau. Cụ thể nhất là trong chương trình toán lớp 10 của chương trình Cơ bản hay Nâng cao điều có phương trình chứa căn thức.

    Phương trình chứa căn thức là loại phương trình mà đa số học sinh khi tiếp cận giải thường mắc phải không ít những sai lầm trong quá trình giải đó là: Thiếu điều kiện để căn thức có nghĩa hoặc khi bình phương hai vế ta thường được phương trình hệ quả ( nên dễ xuất hiện nghiệm ngoại lai) nhưng học sinh vẫn nghĩ là phương trình tương đương, hoặc rất khó khăn khi nhận dạng cách giải trong các phương trình chứa nhiều căn thức .

    Vì thế muốn giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quan hơn về các bài toán phương trình chứa căn thức tôi viết chuyên đề này giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận các loại phương trình chứa căn thức trong chương trình lớp 10 và có thể dựa vào đó để tiếp cận và khai thác sâu hơn các bài toán chứa căn thức trong các kì thi cao đẳng và đại học.

    Trong quá trình viết tôi đã cố gắng sắp xếp các dạng toán theo thứ tự của các cấp độ nhận thức: Biết- hiểu- thông hiểu và vận dụng để học sinh dễ tiếp cận. Sau mỗi ví dụ có hướng dẫn giải và có lời bình giúp học sinh khắc sâu được những kỹ năng quan trọng khi tiếp cận giải bài toán chứa căn thức, đồng thời có bài tập tương tự giúp học sinh tự rèn luyện để có được kỹ năng giải hợp lý các bài toán chứa căn thức.

    Tuy đã cố gắng nhưng cũng chỉ mang tính chủ quan nên không tránh khỏi sai sót và hạn chế. Mong quý đồng nghiệp góp ý tôi rất chân thành cám ơn !

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Cực Hay, Có Đáp Án
  • Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác
  • Học Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Chương Iii. §3. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Cực Hay, Có Đáp Án

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Và Bài Tập Vận Dụng
  • Bài Tập Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Có Đáp Án
  • Giải Phương Trình Bậc Hai Online, Cực Nhanh Tại Giaitoannhanh.com
  • Công Cụ Máy Tính Online: Tính Nhanh, Giải Phương Trình, Căn Bậc
  • Cách giải phương trình chứa dấu căn cực hay, có đáp án

    Lý thuyết và Phương pháp giải

    Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn có nhiều cách giải, sau đây là một số phương pháp thường dùng:

    + Nâng lên lũy thừa

    + Đặt ẩn phụ

    + Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

    + Sử dụng bất đẳng thức, đánh giá hai vế của phương trình

    Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

    a) (√x – 2)(5 – √x) = 4 – x

    Hướng dẫn:

    a) Dạng 1: Đưa phương trình đã cho về phương trình tích

    ĐK: x ≥ 0

    (√x – 2)(5 – √x) = 4 – x

    ⇔ (√x – 2)(5 – √x) = (2 – √x)(2 + √x)

    ⇔ (√x – 2)(5 – √x + 2 + √x) = 0

    ⇔ 7(√x – 2) = 0

    ⇔ √x – 2 = 0 ⇔ x = 4

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

    b) Dạng 2: Đánh giá điều kiện của phương trình.

    ĐK:

    Thay x = 5 vào phương trình thấy không thỏa mãn

    Vậy phương trình vô nghiệm

    c) Dạng 3: Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

    Vậy phương trình có nghiệm x = 1

    d) Dạng 4: Đánh giá 2 vế của phương trình.

    Vế trái của phương trình

    Vế phải của phương trình 6 – (x + 1) 2 ≤ 6

    Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = -1

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1

    Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

    Chú ý: Các phương trình trên đều quy về phương trình dạng:

    A + B + C = 0 (*)

    Trong đó: A, B, C ≥ 0 nên phương trình (*) ⇔ A = B = C = 0.

    Hướng dẫn:

    ĐK: x ≥ 0; y ≥ 1; z ≥ 2

    Phương trình tương đương với:

    Vậy phương trình có nghiệm x = -3.

    Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

    Hướng dẫn:

    ĐK: x ≠ 0; x ≠ 1; x ≥ (-1)/3

    Do ∀x thỏa mãn ĐK nên

    2x – 1 = 0 ⇔ x = 1/2 (TMĐK)

    Vậy phương trình có nghiệm x = 1/2

    Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

    Phương pháp giải: Phương trình có dạng:

    Dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về: m + n = c + mn.

    Hướng dẫn:

    Đặt

    Phương trình có dạng: a + b = 1 + ab

    ⇔ a – 1 + b – ab = 0

    ⇔ a – 1 + b(1 – a) = 0

    ⇔ (a – 1)(1 – b) = 0

    Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

    chuong-1-can-bac-hai-can-bac-ba.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác
  • Học Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Chương Iii. §3. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Chóng
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100