Ôn Tập Phần Giới Hạn (Kèm Lời Giải)

--- Bài mới hơn ---

  • Hocthue.net: Tổng Hợp Sách, Giáo Trình, Bài Giảng, Bài Tập Xác Suất Thống Kê (Có Lời Giải)
  • Bài Tập Ôn Luyện Lập Trình Oop & Interface
  • Bài Tập Tự Luận Java Cơ Bản Có Lời Giải
  • Bài Tập Câu Lệnh Điều Kiện Switch Case
  • Java: Bài Tập Phần Class
  • Chúng ta đã cùng đi gần hết bộ sách của Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Nếu ai đã từng theo dõi chúng tôi ngay từ những bài đầu tiên chắc hẳn sẽ hiểu bộ tài liệu nó quý giá như thế nào đối với chúng ta, mỗi phần đều bao gồm lý thuyết và phần thực hành theo các câu hỏi trắc nghiệm có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.

    Ở bộ sách về phần giới hạn này có độ dài khoảng 135 trang, bao gồm cả lý thuyết và phần thực hành theo hình thức trắc nghiệm có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết, ở nắm sâu hơn chúng ta nên tải về in thành sách hoặc thi thực hành tiếp theo link thử bên dưới.

    Các em nếu không muốn mất thời gian tải đề về in để làm bài thì có thể Ôn thi theo chuyên đề – Toán lớp 11 (kèm đáp án và lời giải chi tiết)  hoàn toàn miễn phí tại đường link này. Đáp án và lời giải sẽ hiển thị ngay dưới mỗi câu trả lời khi các em thi xong, nếu thấy hay nhấn like, share, theo dõi Fanpage Hoctai.

    MỤC LỤC

    • GIỚI HẠN
    • PHẦN I – ĐỀ BÀI
    • GIỚI HẠN DÃY SỐ
      • A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
      • B – BÀI TẬP
        • DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
        • DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
        • GIỚI HẠN HÀM SỐ
      • A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
      • B – BÀI TẬP
        • DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM
        • DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
        • DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
        • DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC
        • DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC
    • HÀM SỐ LIÊN TỤC
      • A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
      • B – BÀI TẬP
        • DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
        • DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
        • DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
      • ÔN TẬP CHƯƠNG IV
      • PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI
    • GIỚI HẠN DÃY SỐ
      • A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
      • B – BÀI TẬP
        • DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
        • DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
    • GIỚI HẠN HÀM SỐ
      • A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
      • B – BÀI TẬP
        • DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM
        • DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
        • DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
        • DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC
        • DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC
    • HÀM SỐ LIÊN TỤC
      • A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
      • B – BÀI TẬP
        • DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
        • DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
        • DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
    • ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV

    Nếu các em không mình mất thời gian tải và in đề làm bài thì có thể tham gia thi online miễn phí có kèm lời giải chi tiết tại chúng tôi .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Vở Bài Tập Ngữ Văn Lớp 9 (Tập 1)
  • Ma Trận Space Phân Tích Môi Trường Và Cạnh Tranh Của Doanh Nghiệp
  • Ma Trận Ge Là Gì ?
  • Giải Bài Tập Ngữ Văn Lớp 7
  • Giáo Trình Thương Mại Quốc Tế
  • Luyện Tập Giới Hạn Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Giới Hạn Của Dãy Số Và Hàm Số
  • Giải Bài Tập Về Định Giá Trái Phiếu
  • Một Số Bài Tập Nâng Cao Hóa 8 Có Đáp Án
  • Bài Tập Nâng Cao Hóa 8
  • 40 Bài Tập Nâng Cao Hóa 8
  • Trường THPT Bình Mỹ

    Tổ chuyên môn: Toán

    …………………………….

    GIÁO ÁN

    Tên bài: Luyện tập giới hạn hàm số.

    Tiết: 57. Chương: IV

    Họ và tên sinh viên: Lý Hồng Hào. MSSV: DTO055063

    Họ và tên giáo viên hướng dẫn: Phạm Văn Lường.

    Ngày tháng năm 2009

    Mục đích, yêu cầu:

    – Kiến thức: Củng cố kiến thức giới hạn hàm số.

    – Kỹ năng, kỹ xảo cơ bản: vận dụng định nghĩa, tính chất… vào việc giải bài tập.

    – Tư tưởng: rèn luyện tính cẩn thận trong khi làm bài tập.

    II. Phương pháp, phương tiện:

    – Gợi mở, đặt vấn đề.

    – Phát huy tính tích cực của học sinh.

    – Sử dụng SGK, hình vẽ, thước thẳng, compa…

    III. Tiến trình:

    – Ổn định lớp: kiểm tra sỉ số ( 1′ )

    – Kiểm tra bài củ: ( 4′ )

    1) Nêu định nghĩa giới hạn hàm số?

    2) Định lý 1, định lý 2?

    – Tiến trình bài học:

    Thời gian

    Nội dung ghi bảng

    Hoạt động của GV và HS

    15 phút

    10 phút

    Bài 4. Tìm các giới hạn sau:

    a)

    b)

    a)

    d)

    Giải:

    -GV: Hướng dẫn HS giải câu b, c, f bài 3 (trang 132). Hỏi HS hướng giải:

    b) khử dạng vô định bằng cách nào?

    c) ta có thể khử dạng vô định không? bằng cách nào?

    -HS: dự kiến trả lời

    b) Áp dụng hằng đẳng thức .

    c) Có thể khử dạng vô định bằng cách nhân lượng liên hiệp

    -GV: gọi HS lên bảng giải bài tập.

    -HS: lên bảng giải.

    -GV: yêu cầu HS trình bày lời giải của mình cho cả lớp.

    -HS: trình bày. Các HS khác lắng nghe theo dõi.

    -GV: gọi một HS nhận xét về bài làm của bạn.

    -HS: nhận xét.

    -GV: nhận xét và sửa chữa (nếu có sai sót).

    -GV: gọi HS lên bảng giải.

    -HS: lên bảng giải.

    -GV: yêu cầu học sinh trình bày lời giải của mình.

    -HS: trình bày và giải thích (nếu có thắc mắc của các bạn khác).

    -GV: nhận xét và sữa chữa (nếu có sai sót).

    -GV: gọi HS nêu hướng giải?

    -HS:

    a) áp dụng định lý 1 (tích các lim).

    d) áp dụng định lý 1 (thương các lim).

    -GV: gọi HS lên bảng giải bài tập.

    -HS: giải bài tập.

    -GV: yêu cầu HS trình bày bài giải của mình.

    -HS: trình bày.

    -GV: hỏi các HS còn lại có thắc mắc gì về bài làn của bạn không?

    -HS: hỏi (nếu có).

    -HS: trả lời các câu hỏi của các bạn khác (nếu có).

    -GV: nhận xét và sửa chữa (nếu có sai sót).

    IV. Củng cố: (3 phút)

    -Khi tính giới hạn hàm số, cần lưu ý đến các phương pháp thích hợp để dạng vô định: nhân chia với lượng liên hiệp, áp dụng hằng đẳng thức…

    -Lưu ý giới hạn bên trái và bên phải.

    -Sử dụng linh hoạt các tính chất đã học.

    Bài tập về nhà: (2 phút)

    Giải các bài tập còn lại.

    Bài 1: dùng định nghĩa.

    Bài 2: giới hạn vô cực.

    Bài 3: tương tự.

    Bài 4

    --- Bài cũ hơn ---

  • Pp Mới Giải Một Lớp Bài Tập Khó Vê Giới Hạn Trong Ct Thpt
  • Một Số Bài Tập Mẫu Sql(Phân I)
  • Bài Tập Tổng Hợp Sql Kèm Đáp Án
  • 25 Ví Dụ Về Ôn Tập Sql Quản Lý Sinh Viên
  • Bài Tập Sql Giải Đề Thi Tuyển Lập Trình Viên Của Fpt Fsoft
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 2: Dãy Số Có Giới Hạn Hữu Hạn (Nâng Cao)

    --- Bài mới hơn ---

  • Soạn Bài Tập Đọc: Cây Dừa Trang 88 Sgk Tiếng Việt 2 Tập 2
  • Bài Văn Tả Cây Dừa Lớp 7 Chi Tiết Hay Nhất
  • Thuyết Minh Về Cây Dừa
  • Tả Cây Dừa Nơi Vườn Quê
  • Phát Biểu Cảm Nghĩ Về Cây Dừa
  • Sách giải toán 11 Bài 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

    Bài 5 (trang 134 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm các giới hạn sau:

    Bài 6 (trang 134 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm limun với

    Bài 7 (trang 135 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (un) xác định bởi:

    Bài 8 (trang 135 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho một tam giác đều ABC canh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1…, tam giác An+1Bn+1Cn+1có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn…Gọi p1, p2, …, pn ,… và S1, S2, …., Sn , chúng tôi thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A1B1C1, A2B2C2,…, AnBnCn

    a) Tìm giới hạn của các dãy số (P n ) và (S n)

    Bài 9 (trang 135 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số:

    a) 0,444…;

    b) 0,2121…;

    c) 0,32111…;

    Bài 10 (trang 135 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R

    C 1 là đường tròn gồm 2 nửa đường tròn đường kính AB/2 ,…

    C 2 là đường tròn gồm 4 nửa đường tròn đường kính AB/4 ,…

    C n là đường tròn gồm 2 n nửa đường tròn đường kính AB/2 n

    Gọi P n là độ dài cạnh của C n ,S n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C n và đoạn thẳng AB

    b) Tìm giới hạn của các dãy số (P n ) và (S n )

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Giải Toán Đố Lớp 2
  • 14 Bài Dạng Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình (Ôn Kì 2 Lớp 8 Toán)
  • Bài 37,38,39 Trang 30 Toán Lớp 8 Tập 2: Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình (Tiếp Theo)
  • 13. Chủ Đề Bài Toán Giải Bằng Hai Phép Tính (Cơ Bản)
  • Giáo Án Toán Lớp 3
  • Bài Tập Giới Hạn Dãy Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Bài Tập Đại Cương Về Kim Loại, Trắc Nghiệm Hóa Học Lớp 12
  • Phân Dạng Và Các Phương Pháp Giải Toán Chuyên Đề Giới Hạn
  • Phương Pháp Giải Bài Tập Về Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 2: Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Giải Bài Tập Sgk Sinh Học Lớp 12 Bài 2: Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Bài tập giới hạn dãy số – có lời giải chi tiết. Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp: + Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số + Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

    Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp:

    + Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

    + Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

    Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

    Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng cóthể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này.

    Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉta rút ra nhận xét như sau.

    + Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng + – vô cùng

    + Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu

    Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau:

    + Nếu bậc của tử béhơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.

    Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn cóthể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác.

    Thật vậy, sử dụng nhận xét đóta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tổng Hợp Ứng Dụng Giải Bài Tập Tốt Nhất Trên Smartphone
  • Giải Sách Bài Tập Vật Lí 10
  • Giải Bài Tập Vật Lý 10 Bài 33: Các Nguyên Lí Của Nhiệt Động Lực Học
  • Giải Bài Tập Vật Lý 10 Bài 33: Các Nguyên Lý Của Nhiệt Động Lực Học
  • Cách Giải Bài Tập Nguyên Lí 1 Nhiệt Động Lực Học Hay, Chi Tiết
  • 143 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Vecto Trong Không Gian Quan Hệ Vuông Góc
  • Bài Tập Hóa Học Nâng Cao Môn Hóa Lớp 8
  • Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • 3 Dạng Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử Cơ Bản Nhất
  • Bài Tập Hai Mặt Phẳng Song Song
  • I HN DÃY S 3 3 6n 2n 1 lim n 2n − + − 2 2 1 n 2n lim 5n n − + + 3 2 3 2n 4n 3n 3 lim n 5n 7 − + + − + 2 4 2n n 2 lim 3n 5 − + + + 2 3 2 n 4n 5 lim 3n n 7 + − + + 5 4 3 2 n n n 2 lim 4n 6n 9 + − − + + 2 2 7n 3n 2 lim n 5 − + + 3 2 3n 2n 1 lim 2n n + − − 3 2 2 2n 1 5n lim 5n 12n 3 − + ++ 5 3 5 4 3n 7n 11 lim n n 3n − + − + − 2 6 5 2n 3 lim n 5n − + 2 2 2n n lim 1 3n − − 3 3n n lim n 2 + + 4 2 2n 3n 2 lim 2n n 3 + − − + 3 6 3n 7n 5n 8 lim n 12 − − + + 2n 1 n 1 lim 3n 2 + − + + ( )3lim 3n 7n 11− + 4 2lim 2n n n 2− + + 3 3lim 1 2n n+ − 2 1 2 ... n lim n + + + 2 n 2 4 ... 2n lim 3n n 2 + + + + − 3 3 3 4 3 1 2 ... n lim n n 3n 2 + + + + + + 2 n. 1 3 ... (2n 1) lim 2n n 1 + + + − + + 3 3 3 2 1 2 ... n lim 11n n 2 + + + + + ( ) 22 3 3 3 n n 11 2 ... n 4 + + + + = 2 n 2 n 2 2 2 1 ... 3 3 3 lim 1 1 1 1 ... 5 5 5 + + + + + + + + n n n 4 lim 2.3 4+ n n 3 1 lim 2 1 + − n n n 3 2.5 lim 7 3.5 − + n n n n 4 5 lim 2 3.5 − + n n n 1 n 1 ( 3) 5 lim ( 3) 5+ + − + − + ( )lim 3n 1 2n 1− − − ( )lim n 1 n n+ − ( )2lim n n 1 n+ + − ( )2 2lim n n n 1− + ( )2lim n n 2 n 1+ + − + ( )lim n 3 n 5+ − − ( )2lim n n 3 n− + − 1lim n 2 n 1+ − + GII HN HÀM S 1. ( )2 2 lim 3x 7x 11 x→ + + 2. ( ) 21 7x 11 lim 4 2x x x→ + + 3. ( )( ) x 2 3x 1 2 3x lim x 1→− + − + 4. 0 7x 11 lim 2 1 x x x→ + − 5. 2 3 lim 4 x x → − 6. 2x 9 x 3 lim 9x x→ − − 7. 2 3x 3x x 5 lim x 2→−∞ − + − 8. 4 4 2x 2x 3x 5 lim x 2x→−∞ − + − 9. 6 5 3x 3x 2x 5 lim 3x 2→+∞ − + − 10. 6 3x x 5x 1 lim 5x 2→−∞ − + − 11. 2 3 2x x 5 lim 6x 3x 2→−∞ + − + 12. x 3 3 x lim 3 x+→ − − 13. x 3 3 x lim 3 x−→ − − 14. x 3 3 x lim 3 x→ − − 15. x 0 x 2 x lim x x+→ + − 16. 2 x 2 4 x lim 2 x−→ − − 17. 3 2x 2 x 2 2 lim x 2→− + − 18. 4 2x 3 x 27x lim 2x 3x 9→ − − − 19. 4 2x 2 x 16 lim x 6x 8→− − + + 20. ( )( ) 5 3 3 2 3x 2x x 1 lim 2x 1 x x→+∞ + − − + 21. 2 x x x 2x lim 2x 3→−∞ + + + 22. ( ) 4 2x x lim x 1 2x x 1→+∞ + + + 23. ( )3 2 x lim 2x 5x 3x 1 →+∞ − + − 24. 4 2 x lim 2x 5x 1 →+∞ − + 143 BAI TAP GIOI HAN DAY SO - HAM SO - WWW.MATHVN.COM 1 www.MATHVN.com 25. x 2 2x 1 lim x 2+→ + − 26. x 2 2x 1 lim x 2−→ + − 27. ( )3 2 x lim 2x 5x 3x 1 →+∞ − + − 28. 3 2x x 5 lim x 1→+∞ − + 29. 3 2x 2 x 8 lim x 4→ − − 31. ( ) ( ) 2 2 x 3 2x 5x 3 lim x 3−→ − + − + 32. 3 2x 0 x 1 1 lim x x→ + − + 33. 2 3x 2x x 10 lim 9 3x→+∞ + + − 34. 3 2x 3 x 3 3 lim x 3→− + − 35. 2x 4 x 2 lim x 4x→ − − 36. 2x 1 x 1 lim x x+→ − − 37. 2 x 0 x x 1 1 lim 3x→ + + − 38. 3x 3 3 x lim 27 x − → − − 39. 3 2x 2 x 8 lim x 2x+→ − − 2 2x 2 x 3x 10 lim 3x 5x 2→ + − − − 2 x 2 x 4 lim x 2→ − − 2 2x 1 x 4x 3 lim (x 1)→ − + − x 1 x 1 lim 1 x→ − − 2 x 3 x 2x 15 lim x 3→ + − − 2 x 5 x 2x 15 lim x 5→− + − + 3 x 1 x 1 lim x(x 5) 6→ − + − 2 2x 4 x 3x 4 lim x 4x→− + − + 2 2x 4 x 5x 6 lim x 12x 20→− − + − + 3 2 2x 2 x 3x 2x lim x x 6→− + + − − 4 2x 1 x 1 lim x 2x 3→ − + − 3 2 2x 2 x 4x 4x lim x x 6→− + + − − 2 x 2 x 5 3 lim . x 2→ + − − 4 x 7 x 9 2 lim x 7→ + − − x 5 5 x lim 5 x→ − − x 2 3x 5 1 lim x 2→ − − − x 0 x lim 1 x 1→ + − 2x 1 x 1 lim 6x 3 3x→− + + + 2 x 0 1 x x 1 lim x→ + + − 2x 5 x 4 3 lim x 25→ + − − ( ) 2 x 0 1 2x x 1 x lim x→ − + − + x 3 x 3 lim 2x 10 4→ − + − x 6 x 2 2 lim x 6→ − − − 2x 1 2x 3x 1 lim x 1→ − + − 2x 1 x 1 lim x 2x 3→ − + − x 0 5 x 5 x lim x→ + − − x 0 1 x 1 x lim x→ + − − x 1 2x 1 x lim x 1→ − − − 2 x 0 1 x x x 1 lim x→ + − + + 2 2x 1 3x 2 4x x 2 lim x 3x 2→ − − − − − + 2 x 0 1 3x x 1 x lim x→ − + − + x 4 3 5 x lim 1 5 x→ − + − − x 2 x x 2 lim 4x 1 3→ − + + − 2 x 1 x x lim x 1→ − − 3 2x 1 x 1 lim x 3 2→− + + − 2 2x 0 4 x 2 lim 9 x 3→ − − − − x 9 7 2x 5 lim x 3→ + − − 2 2x x 3x 10 lim 3x 5x 2→+∞ + − − − 2 3x x 4 lim x 2→−∞ − − 2 2x x 4x 3 lim (x 1)→+∞ − + − 2 x x 2x 15 lim x 5→−∞ + − + 2 1 lim ( 5) 6x x x x→+∞ − + − 2 4x x 3x 4 lim x 4x→−∞ + − + 4 3 2x x 5x 6 lim x 12x 20→+∞ − + − + 3 2 5x x 3x 2x lim x x 6→−∞ + + − − 2 1 lim 2 3x x x x→−∞ − + − 3 6 4 2x x 4x 4 lim x x 6→−∞ − + − − x 2 8 2x 2 lim x 2+→− + − + x 0 2 x 3x lim 3 x 2x+→ − − ( ) 2 3x 1 ; x 1 f x x 1 ; x 1 − ≤ = x 1 lim f (x) → 2mx ; x 2 f (x) 3 ; x 2 ≤ = > x 2 lim f (x) → 2x 5x 6 ; x 2 f (x) mx 4 ; x 2 = + ≤ Tìm m hàm s có gii hn khi x 2→ ( )2 2 x lim x x 1 x 2 →+∞ + − − ( )2 2 x lim x 7x 1 x 3x 2 →+∞ − + − − + ( )2 2 x lim x 4x 1 x 9x →+∞ − + − − ( )2 2 x lim x 2x 1 x 6x 3 →+∞ − + − − + ( )2lim 4 7 2 x x x x →+∞ − − − + 2 www.MATHVN.com 60 BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ chúng tôi 1, 2 2 n 2n 1 lim 3n n 3 - + + - 2, ( )( ) 2 n 1 n 2 lim n 3n 1 + + - + - 3, ( )( ) ( )( ) n 1 2n 5 lim 3n 1 n 2 + - - + 4, 2 n n n 1 lim n 3 - + + 5, 3 3 2 n 4n 1 lim 4n n 2 - + - + - 6, ( )n n 3 lim n 1 + + - 7, 4n 6 lim n 1 + - 8, ( ) ( ) 2 2 n 1 3n lim 2n 1 + - - 9, ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 n 1 n 1 lim n 1 n 1 + - - + + - 10, ( )( )2 3 n 1 3n 2 lim n 2n 1 - + - + - 11, ( )( )2 2 4 3 n 3n 6 2n n 1 lim 8n 4n 1 + + - - + - 12, ( )( ) ( )( ) 2 2 3 n 3 2n 4n 1 lim 6n 2n 1 2n 1 - - + - + - - 13, 24n n 1 lim n 3 + + - - 14, 2n 1 3n 1 lim 6n n 1 + - - - - + 15, 3 2n n 2n 4n lim 2n n 4n 1 + - - - - + 16, ( )2007 2007 2000 2n 1 1 lim n 3n - - - 17, ( )( )( ) ( ) 2 3 32 3n 1 n 2 3n 1 lim 2n 1 - + - - + 18, n 1 2 lim n 3 + - + 19, 3 38n 2n 1 3n lim 2n 4 n 7 + - + - + 20, 2 22n 1 n 1 lim n 1 + - + + 21, 2 1 2 3 ... n lim n + + + + 22, ( ) 2 n 1 3 5 ... 2n 1 lim 3n n 1 + + + + + - + 23, 3 2n 1 n 2n lim 3n n 2n 1 + - + - + 24, ( )2 2 2 n 3n 1 n 2n 1 lim 5n 3n 2 + + + - - + 25, 3 3 2n 3n 1 3n 4 lim 3n 1 + + - + - 26, ( )( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 5n 3n 1 2n 6 lim 2n 1 3n 1 + - + + - - 27, ( )n 2 n 3n 1 lim n n 2n 6 + - - + 28, ( )2 5 4n 1 2n 4n 2 lim n 3n 1 + - + + - 29, ( )2 2 n n 3 4n 7 lim 2n 4 - + - + 30, ( ) ( ) 3 3 2 2 n 7 4n 1 2n 1 lim 3n 2 + - + - - 31, n n n 2 3 lim 3 1 + + 32, n 1 n 1 n n 2 3 lim 2 3 + ++ + 33, ( ) ( ) n n n n 1 2 3 lim 2 3 + - + - - 34, n n n 1 n 2 5 3 lim 5 3+ + - + 35, ( )2lim n 3n 10- - 36, ( )3lim n 4n 1- + - 37, ( )4lim 2n 3 n 1- - + 38, ( )3lim 2n n 1- + 39, ( )3lim n n 1- + 40, 22n n lim n 1 - + 41, 2 3 3n 3n 1 lim 2n 2n 1 + - - + 42, ( )2n 1 n lim 3n 2 - - + 43, ( )3 3 4 2n 1 n 2n 1 lim 2n 3n 2 - + - + + - 44, ( ) ( ) ( ) 2 42 3 2n 1 n 1 lim 4n 3 - - + + 45, n n 3n 1 lim 5n 7 + - + 46, ( )2lim n n 5 n+ + - 47, ( )2lim 4n 3n 1 2n- + - 48, ( )2lim n 2 n n+ - 49, ( )2lim n 2 n+ - 50, ( )2lim n 3n 1 2n- + - 51, ( )2lim n 4n 2 n 2+ + - + 52, ( )2 2lim 2n 1 2n n 1+ - + + 53, ( )lim n n 3 n 1+ - + 54, ( )lim n 5 2n 3 2n 1+ + - - 55, 2 1 lim n 1 n 2+ - + 56, 2n 1 n lim 2n 5 n 2 + - - - + 57, ( )3n 2 2n 1 n 2 lim n 3 + - - - + 58, ( )3 3 2lim n 2n 1 n+ + - 59, ( )32 3 2lim n 3n n n 2n+ + + - 60, ( )3 3 2 2lim n 3n 1 n 2n+ + - +

    Tài liệu đính kèm:

    • Bai_tap_ve_gioi_han_cua_day_so_ham_so.pdf

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số
  • Đáp Án Bài Tập Csdl
  • Bài Tập Toán Lớp 2 Cơ Bản Và Nâng Cao Cho Bé
  • Hệ Mật Mã Khối Và Các Thuật Toán Mã Hóa Khối Kinh Điển: Des
  • Des Là Gì? Code Ví Dụ Des Bằng Java
  • Bài Tập Về Giới Hạn Của Dãy Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Kế Toán Thuế Gtgt Có Lời Giải
  • Bài Tập Về Thuế Giá Trị Gia Tăng (Vat) Có Lời Giải
  • Tổng Hợp Bài Tập Thuế Có Lời Giải Theo Luật Mới
  • Dạng Bài Tập Tính Thuế Gtgt Theo Phương Pháp Khấu Trừ (Có Lời Giải)
  • 11 Câu Trắc Nghiệm: Vectơ Trong Không Gian Có Đáp Án (Phần 1).
  • 4.1 Biết rằng dãy số có giới hạn là 0.

    ( 4.2 Cho biết dãy số có giới hạn hữu hạn, còn dãy số không có giới hạn hữu hạn. Dãy số + ) có thể có giới hạn hữu hạn không ?

    lim ≤ a) Cho hai dãy số và . Biết = − ∞ và với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy khi n → + ∞ ?

    b) Tìm lim với = − n !

    4.5 Tính các giới hạn sau :

    4.8 Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi :

    Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi n → + ∞ Tìm giới hạn đó.

    1 , − 1/ 2 , 1/ 4 , − 1/ 8 , . . . , . . 4.9 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .

    4.10 Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3

    4.11 Cho dãy số có số hạng tổng quát là :

    = sin α + α + + . . . α với α ≠ π/ 2 + k/ π .

    Tìm giới hạn của

    4.12 Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212… (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

    4.13 Giới hạn của dãy số với = là :

    D. Không tồn tại .

    4.15 lim ( – ) n bằng :

    4.16 Nếu S = 1 + 0,9 + + + …. + + … thì :

    D. Không thể tính được S.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giới Hạn, Đạo Hàm Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit
  • 60 Bài Tập Trắc Nghiệm Giới Hạn Của Dãy Số Có Đáp Án Chi Tiết (Phần 1)
  • Top 40 Đề Thi Toán Lớp 2 Cơ Bản, Nâng Cao Có Đáp Án
  • 700 Bài Tập Trắc Nghiệm Giải Tích 12 Chọn Lọc, Có Đáp Án
  • Thuật Toán Mã Hóa Và Giải Mã Des
  • 60 Bài Tập Trắc Nghiệm Giới Hạn Của Dãy Số Có Đáp Án Chi Tiết (Phần 1)

    --- Bài mới hơn ---

  • Giới Hạn, Đạo Hàm Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit
  • Bài Tập Về Giới Hạn Của Dãy Số
  • Bài Tập Kế Toán Thuế Gtgt Có Lời Giải
  • Bài Tập Về Thuế Giá Trị Gia Tăng (Vat) Có Lời Giải
  • Tổng Hợp Bài Tập Thuế Có Lời Giải Theo Luật Mới
  • Bài 1: bằng:

    Bài 2: bằng:

    Đáp án: C

    Cách 1

    Đáp án C

    Cách 2 (phương pháp loại trừ). Từ các định lí ta thấy:

    Các dãy ở phương án A,B đều bằng 0, do đó loại phương án A,B

    Do đó loại phương án D

    Chọn đáp án C

    Bài 4: Tổng của cấp số nhân vô hạn: là:

    Bài 5: Tìm giá trị đúng của

    Đáp án: C

    Ta có:

    là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 1 và công bội là 1/2. Khi đó:

    Vậy S = 2√2.

    Chọn đáp án C.

    Bài 6: Tổng của cấp số nhân vô hạn: là:

    Bài 7: có giá trị bằng:

    Đáp án: D

    Bài 8: Tính giới hạn:

    Bài 9: bằng:

    Bài 10: bằng:

    Đáp án: A

    Cách 1. Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức nên kết quả

    Đáp án là A

    Cách 2. Chia tử và mẫu của phân thức cho n 4(n 4 là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức) rồi tính. Đáp án A

    Bài 11: Tính giới hạn:

    Bài 12: Tính giới hạn:

    Đáp án: D

    Ta có:

    Khi đó

    Chọn đáp án D

    Bài 13: Tổng của cấp số nhân vô hạn là:

    Bài 14: Tổng của cấp số nhân vô hạn là:

    Đáp án: B

    Cách 1. Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu là số dương nên kết quả

    Đáp án là B

    Cách 2. Chia tử và mẫu của phân thức cho n 4(n 4 là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức) rồi tính. Đáp án B

    Bài 16: Tính giới hạn:

    Bài 17: Cho dãy số (u n) với . Tính limu n

    Đáp án: A

    u n là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u 1 = 1/2 và q = (-1)/2.

    Do đó

    Đáp án A

    Bài 18: Tổng của cấp số nhân vô hạn: là:

    Bài 19: Tính = ?

    Bài 20: có giá trị bằng:

    A. 0

    B. 1

    C. 2/3

    D. 5/3

    Đáp án: A

    Cách 1.

    Tính được suy ra đáp án là A

    Cách 2. Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu thức bằng nhau và tỉ số hệ số của cúng bằng 1/5. Chỉ có dãy ở phương án A thoả mãn. Vậy đáp án là A.

    Bài 21: Tính

    Đáp án: C

    Ta có

    Chọn đáp án C

    Bài 22: Tính giới hạn

    Đáp án: A

    Ta có

    A. Cấp số nhân lùi vô hạn (u n) có công bội q thì tổng

    B. Cấp số nhân lùi vô hạn (u n) có u 1 = 4, S = 4/3 ⇒

    Bài 24: Tính giới hạn:

    Bài 25: có giá trị bằng:

    A. 1

    B. 2

    C. 4

    D. +∞

    Bài 26: Tính

    Bài 27: bằng:

    A. 0

    B. 1/4

    C. 1/2

    D. +∞

    D. 50; 25; 12,25; 6,125;3,0625

    Đáp án: C

    Áp dụng công thức :

    Suy ra 5 số hạng đầu tiên của dãy số: 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125

    Chọn C

    Bài 29: Tính

    Bài 30: Cho dãy số (u n) với . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

    KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2004 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

    Đăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại chúng tôi

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Top 40 Đề Thi Toán Lớp 2 Cơ Bản, Nâng Cao Có Đáp Án
  • 700 Bài Tập Trắc Nghiệm Giải Tích 12 Chọn Lọc, Có Đáp Án
  • Thuật Toán Mã Hóa Và Giải Mã Des
  • Dòng Điện Trong Chất Bán Dẫn, Điôt (Diode) Bán Dẫn Và Tranzito Có Công Dụng Gì?
  • Dòng Điện Trong Chất Bán Dẫn, Điôt (Diode) Bán Dẫn Và Tranzito Có Công Dụng Gì? Vật Lý 11 Bài 17
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Sbt Toán 11 Bài 3: Cấp Số Cộng
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 3: Hàm Số Liên Tục
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
  • Bài 25, 26, 27, 28, 29, 30 Trang 11 Sbt Toán 9 Tập 2
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số
  • VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 2: Giới hạn của hàm số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.

    Giới hạn của hàm số

    Bài 2.1 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

    a) lim x→5 x+3/x−3

    Giải:

    a) – 4 ; b) + ∞

    Bài 2.3 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x→+∞

    b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

    Giải:

    a) Xét hai dãy số (a n) với a n=2nπ và (b n) với (b n)=π/2+2nπ(n∈N∗)

    Ta có, lima n=lim2nπ=+∞

    limb n=lim(π/2+2nπ)

    =limn(π/2n+2π)=+∞

    limsina n=limsin2nπ=lim0=0

    limsinb n=limsin(π/2+2nπ)=lim1=1

    Như vậy, an→+∞,bn→+∞ nhưng limsina n≠limsinb n. Do đó, theo định nghĩa, hàm số y=sinx không có giới hạn khi x→+∞

    Bài 2.4 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Giải:

    Do đó, limn →+∞ f(xn).g(xn)=L.M

    Từ định nghĩa suy ra lim x→−∞ f(x).g(x)=L.M

    Bài 2.5 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Tìm giới hạn của các hàm số sau:

    a) f(x)=x 2 −2x−3/x−1 khi x→3;

    c) k(x)= khi x→−∞;

    e) h(x)=x−15/x+2 khi x→−2+ và khi x→−2−

    Giải:

    a) 0;

    b) −∞;

    c) lim x→−∞

    =lim x→−∞=+∞

    e) −∞ và +∞

    Bài 2.6 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số 11 và giải tích 11

    Tính các giới hạn sau:

    d) lim x→5 x−5/√x−√5

    e) lim x→+∞=x−5/√x+√5

    f) lim x→−2 √x2+5−3/x+2

    g) lim x→1 √x−1/√x+3−2

    Giải:

    a) lim x→−3x+3/x 2+2x−3=lim x→−3x+3/(x−1)(x+3)=lim x→−3 1/x−1=−1/4

    b)

    c) lim x→+∞x−1/x 2−1=lim x→+∞

    d) lim x→5 x−5/√x−√5

    =lim x→5(√x−√5)(√x+√5)/√x−√5

    =lim x→5(√x+√5)=2√5

    e)

    lim x→+∞ x−5/√x+√5

    =lim x→+∞=+∞

    f) lim x→−2 √x2+5−3/x+2

    g)

    lim x→1 √x−1/√x+3−2

    =lim x→1(√x−1)(√x+3+2)/x+3−4

    =lim x→1(√x−1)(√x+3+2)/x−1

    =lim x→1(√x−1)(√x+3+2)/(√x−1)(√x+1)

    =lim x→1 √x+3+2/√x+1=2

    h) lim x→+∞1−2x+3x 3/x 3−9=limx→+∞

    i)

    j)

    Bài 2.7 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Tính giới hạn của các hàm số sau khi x→+∞ và khi x→−∞

    a) f(x)=

    b) f(x)=x+

    c) f(x)=

    Giải:

    a) Khi x→+∞

    lim x→+∞=lim x→+∞

    =lim x→+∞=lim x→+∞

    Khi x→−∞

    =lim x→−∞−x/x+2=lim x→−∞

    b) Khi x→+∞

    lim x→+∞(x+)

    =lim x→+∞

    =lim x→+∞x=+∞

    Khi x→−∞

    lim x→−∞(x+)

    =lim x→−∞

    =lim x→−∞

    =lim x→−∞

    =lim x→−∞

    =lim x→−∞

    c) Khi x→+∞

    lim x→+∞()

    =lim x→+∞

    = lim x → + ∞

    = lim x → + ∞

    Khi x→−∞

    lim x→−∞

    =lim x→−∞

    =lim x→−∞

    = limx→−∞

    Bài 2.8 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Cho hàm số f(x)=2x 2−15x+12/x 2 −5x+4 có đồ thị như hình 4

    a) Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm f(x) số khi x→1+;x→1 ;x→4+;x→4 ;x→+∞;x→−∞

    b) Chứng minh dự đoán trên.

    Giải:

    a) Dự đoán:

    b) Ta có

    và x 2−5x+4<0 với mọi x∈(1;4) nên lim x→1+2x 2−15x+12/x 2 −5x+4=+∞

    lim x→4−(2x 2 −15x+12)=−16<0,

    và x 2−5x+4<0 với mọi x∈(1;4) nên lim x→4−2x 2−15x+12/x 2 −5x+4=+∞

    lim x→+∞2x 2−15x+12/x 2−5x+4=lim x→+∞

    lim x→−∞2x 2−15x+12/x 2−5x+4=lim x→−∞

    Bài 2.9 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Cho hàm số

    Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x→1? Tìm giới hạn này.

    Giải:

    lim x→1+f(x)=lim x→1+(1/x−1−3/x3−1)

    lim x→1−f(x)=lim x→1−(mx+2)=m+2

    f(x) có giới hạn khi x→1⇔m+2=1⇔m=−1. Khi đó lim x→1 f(x)=1

    Bài 2.10 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Cho khoảng K,x 0∈K và hàm số y=f(x) xác định trên K∖{x 0}

    Giải:

    Từ định nghĩa suy ra f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    Bài 2.11 trang 165 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích

    Cho hàm số xác định trên khoảng (a;+∞)

    Chứng minh rằng nếu lim x→+∞ f(x)=−∞ thì luôn tồn tại ít nhất một sốc thuộc (a;+∞) sao cho f(c)<0

    Giải:

    Theo định nghĩa suy ra −f(x n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    Đặt c=x k ta có f(c)<0

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Sbt Toán 8 Bài 12: Hình Vuông
  • Giải Sbt Toán 8 Bài 12: Hình Vuông
  • Câu 1, 2, 3 Trang 30 Vở Bài Tập (Sbt) Toán 5 Tập 2
  • Bài 48 Trang 60 Sbt Toán 9 Tập 2
  • Câu 1, 2, 3 Trang 43 Vở Bài Tập (Sbt) Toán 4 Tập 1
  • Chuyên Đề Giới Hạn Của Dãy Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Sinh Học 12 Bài 2: Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Sgk Sinh Học Lớp 12 Bài 2: Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Giải Bài Tập Sgk Sinh 12 Nâng Cao Bài 2: Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Sinh Học 12 Bài 2: Phiên Mã Và Dịch Mã
  • Published on

    1. 1. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 1 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số I. Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là L hay (un) dần tới L khi n dần tới vô cực (n   ), nếu  lim 0.n n u L    Kí hiệu:   nlim hay u khi n + .n n u L L       Chú ý:    lim limn n n u u   . 2. Một số định lý:  Định lí 1: Giả sử lim nu L , khi đó:  33lim ,limn nu L u L   Nếu 0, 0nu n L    và lim nu L  Định lí 2: Giả sử lim ,lim ,n nu L v M c const    lim( )n nu v L M    lim( )n nu v L M    lim( . ) .n nu v L M , lim . .ncu c L  lim ( 0)n n u L M v M    Định lí 3: Cho 3 dãy số ( ),( ),( )n n nu v w . Nếu ,n n nu v w n   và lim lim limn n nu w L v L     Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 1 u q  1q  II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Dãy số có giới hạn  : lim nu    mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi. 2. Dãy số có giới hạn  : lim nu    mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi.
    2. 2. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 2 Chú ý: lim lim( )    n nu u 3. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực: o Qui tắc 1: lim nu lim nv lim .n nu v       o Qui tắc 2: lim nu Dấu của lim nv L lim .n nu v       o Qui tắc 3: lim 0nu L  Dấu của L lim 0, 0n nv v  Dấu của lim nv lim n n u v +   –  
    3. 3. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 3 Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng có thể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này. Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: 3 3 2 3 2 3 3 2 3 6 5 5 3 6 lim lim 4 74 3 7 3 n n n n n n n n n n n                  3 2 3 6 5 5 lim 4 7 33 n n n n        Vì khi n   thì 3 2 3 lim 0 6 lim 0 4 lim 0 7 lim 0 n n n n               b. Ta có biến đổi: 4 2 2 4 6 2 1 lim 1 5 3 n n n n     = 4 4 2 2 4 2 4 4 4 2 2 1 6 6 2 1 lim lim 1 51 5 3 3 n n n n n n n n n n                  2 4 4 2 2 1 6 lim 1 5 3 n n n n      =-2 Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: a. 3 2 2 3 5 3 6 lim 4 3 7 n n n n n     c. 2 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n     b. 4 2 2 4 6 2 1 lim 1 5 3 n n n n     d. 2 2 2 3 1 lim 1 n n n     e. 2 4 2022 lim 4 1 n n n    f.    n n n 2 1 4 lim 3 2
    4. 4. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 4 Vì khi n   thì 2 4 2 2 lim 0 1 lim 0 5 lim 0 n n n          c. Ta có biến đổi: 2 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n                      2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 3 lim lim 2 13 2 1 3 n nn n n n n n n n                2 2 1 3 2 2 lim 32 1 3 n n n n Vì khi n   thì 2 2 1 lim 0 3 lim 0 2 lim 0 1 lim 0 n n n n               d. Ta có biến đổi: 2 2 2 3 1 lim 1 n n n     2 2 2 2 3 1 2 lim 1 1 n n n n n               2 2 3 1 2 lim 1 1 n n n      2  Vì khi n   thì 2 3 lim 0 1 lim 0 n n       e. Ta có biến đổi: 2 2 2 22 2022 4 4 2022 4 2022 4 2022 4 lim lim lim lim 31 114 1 4 4 14 n n n n n n n nn n n nn                    
    5. 5. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 5 Vì khi n   thì 2 2022 lim 0 1 lim 0 n n       f. Ta có biến đổi: 2 2 2 11 4 1 4 1 4 1 4 5 lim lim lim 3 2 23 2 3 33 n n n n nn nn n n              Vì khi n   thì 2 1 lim 0 2 lim 0 n n       Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: 4 2 3 3 2 lim 2 n n n    4 2 4 3 2 3 2 1 lim 2 1 n n n n n              = 2 4 2 3 2 1 lim 2 1 n n n n           Vì lim .n   và 2 4 2 3 2 1 lim 1 2 1 n n n          b) Ta có biến đổi: Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau: a. 4 2 3 3 2 lim 2 n n n    c.     4 2 3 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n b) 4 2 2 8 3 2 1 lim 3 4 2 n n n n n      d. 4 3 3n 2n 5 lim 2n 4    
    6. 6. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 6 4 2 2 8 3 2 1 lim 3 4 2 n n n n n      4 2 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 8 3 2 1 lim 3 4 2 n n n n n n n n n n n n n n                2 3 4 2 2 3 2 1 8 lim 3 4 2 n n nn n n                 Do 2 lim n   và 2 3 4 2 3 2 1 8 8 0 0 0n n nlim 4 0 3 4 0 0 22 n n                     c. Ta có biến đổi:     4 2 3 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n                  4 4 2 2 4 3 2 3 3 1 3 2 2 3 lim lim 2 13 2 1 3 n n n n n n n n n n               2 4 3 1 3 2 lim 2 1 3 n n n n n Vì 2 4 3 lim 1 3 2 2 lim 0 2 1 3 3 n n n n n                      . Nên                 2 4 3 1 3 2 lim 2 1 3 n n n n n d. Ta có biến đổi: 4 3 3n 2n 5 lim 2n 4     4 3 4 3 4 3 33 2 5 2 5n 3 3 n n n nlim lim n. 44 2n 2 nn                          Do lim n   và 3 4 3 2 5 3 3 0 0 3n nlim 0 4 2 0 22 n                  
    7. 7. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 7 Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: 2 2 2 22 22 2 2 2 1 2 1 2 1 0 lim lim lim 0 2 42 42 4 11 n n n n n n n nn n n nn n n             Vì khi n   thì 2 2 2 lim 0 1 lim 0 4 lim 0 n n n          b. Ta có biến đổi: 3 3 2 3 33 33 3 5 1 5 5 0 lim lim lim 0 13 13 1 33 n n n n n n nn nn n          Do : Vì khi n   thì 2 3 3 1 lim 0 5 lim 0 1 lim 0 n n n          Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉ ta rút ra nhận xét như sau. + Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng  + Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau: a. 2 2 1 lim 2 4 n n n    b. 3 5 lim 3 1 n n  
    8. 8. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 8 + Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0. Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác. Thật vậy, sử dụng nhận xét đó ta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau: Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn 3 2 2 3 1 lim 3 2 n n n n     bằng: a. 2 3 b. 0 c.  d. 3 Đáp án: C Vì bậc cao nhất của tử là bậc 3 có hệ số dương và bậc cao nhất của mẫu là bậc 1 nên giới hạn này bằng  Bài tập 2: Giới hạn 3 2 3 1 lim 4 2 n n n n      bằng: a.  b. 1 4  c.  d. 0 Đáp án: A Vì bậc cao nhất của tử là bậc 3 có hệ số âm và bậc cao nhất của mẫu là bậc 1 nên giới hạn này bằng  Bài tập 3: Giới hạn 2 3 3 1 lim 2 1 n n n    bằng: a. 3 2 b. 1 4  c.  d. 0 Đáp án: D
    9. 9. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 9 Vì bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba. Nên giới hạn này có giới hạn bằng 0. Bài tập 4: Giới hạn 2 2 3 5 1 lim 2 3 n n n n      bằng: a. 3 2 b. 3 2  c. 0 d.  Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng -3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng 2 . Nên giới hạn này bằng 3 2  Bài tập 5: Giới hạn 4 2 3 5 lim 2 7 n n n n    bằng: a. 4 b. 1 2 c.  d.  Đáp án: C Ta có: 4 2 3 5 lim 2 7 n n n n    4 2 4 3 1 5 1 lim 7 2 n n n n n              = 2 4 1 5 1 lim 7 2 n n n n           Vì lim .n   và 2 4 1 5 1 1 lim 7 22 n n n          Bài tập 6: Giới hạn 2 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n     bằng: a. 2 3 b. 3 c. 1 2  d. 0 Đáp án: A
    10. 10. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 10 Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng 2 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 2 3 Bài tập 7: Giới hạn 3 2 2 1 lim 4 3 n n n    bằng: a.  b. 0 c. 2 d. 1 3 Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc 1 và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 0. Bài tập 8: Giới hạn 3 2 3 3 2 lim 4 n n n n    bằng: a. 3 4 b. 1 3 c.  d. 3 Đáp án: D Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng 3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc ba có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 3. Bài tập 9: Giới hạn 4 2 lim ( 1)(2 )( 1) n n n n   bằng: a. 4 b. 1 2 c. 1 d.  Đáp án: C Bậc cao nhất của tử là bậc bốn có hệ số bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc bốn có hệ số bằng 1 . Nên giới hạn này bằng 1. Bài tập 10: Giới hạn 2 4 1 lim 2 1 n n n    bằng:
    11. 11. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 11 a. 1 2 b. 0 c.  d. 1 Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc 4 nên giới hạn này bằng 0 Bài tập 11: Giới hạn 4 2 3 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n     bằng: a.-3 b. 4 3 c. 1 2  d.  Vì bậc cao nhất của tử là bậc 4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc 3 nên giới hạn này bằng  Bài tập 12: Giới hạn 2 2 4 1 2 1 lim 4 1 n n n n n       bằng: a. 2 b. 4 c.  d. 0 Đáp án: A Sau khi biến đổi ta có bậc cao nhất của tử là bậc nhất có tổng các hệ số bằng 4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất có tổng các hệ số bằng 2. Nên giới hạn này bằng 2. Thật vậy ta cần chứng minh :                      2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 4 1 2 1 1 1 4 2 4 1 2 1 4 lim lim lim 2 24 14 1 4 1 1 1 n n n n n n nn n n n n n n n n n nnn n n Bài tập 13: Giới hạn      2 2 3 4 lim 2 n n n n bằng: a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 Đáp án: B Thực hiện tương tự câu trên Bài tập 14: Giới hạn     32 6 4 2 1 lim 1 n n n n bằng:
    12. 12. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 12 a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 Đáp án: B Thực hiện tương tự câu trên Bài tập 15: Giới hạn (2 1)( 3) lim ( 1)( 2) n n n n n     bằng: a.  b. 3 2 c. 2 3 d. 2 Đáp án: D Ta có biến đổi:          2 2 (2 1)( 3) 2 7 3 lim lim ( 1)( 2) 3 2 n n n n n n n n n n Do đó: Bậc cao nhất của tử là bậc hai hệ số bằng 2. Bậc cao nhất của mẫu là bậc hai hệ số bằng 1. Nên giới hạn này bằng 2. Bài tập 16: Giới hạn      2 2 2 4 4 1 lim 3 1 n n n n n bằng: a. 3 3 1 b. 1 3 1 c. 1 3 d. 4 3 Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài trên. Bài tập 17: Giới hạn 2 2 2 lim 4 2 n n   bằng: a. 1 b. 1 4 c. 1 2 d. -1 Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài trên. Bài tập 18: Giới hạn 33 8 1 lim 2 5 n n   bằng:
    13. 13. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 13 a. 4 b.  c. 1 5  d. 1 Đáp án: D Thật vậy, bậc cao nhất của tử là bậc nhất hệ số bằng 3 8 2 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất hệ số bằng 2. Do đó, giới hạn này có giới hạn bằng 1. Bài tập 19: Giới hạn 4 2 4 3 lim 3 2 n n n    bằng: a. 4 3 b. 1 3 c.  d. 4 Đáp án: C Bậc lớn nhất của tử là 2 hệ số bằng 4 2 , bậc lớn nhất của mẫu là bậc nhất nên giới hạn này có giới hạn bằng  Bài tập 20: Giới hạn 4 2 4 2 3 2 3 1 lim 1 n n n n n       bằng: a. -3 b.  c. 2 d. 1 Đáp án: B Bậc lớn nhất của tử là bậc 4 hệ số bằng -3, bậc của mẫu là bậc 2 nên giới hạn này bằng  Bài tập 21: Giới hạn 2 3 1 lim 3 2 2 n n n    bằng: a. 3 b. 1 c. 3 d.0 Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 22: Giới hạn 2 2 3 2 1 lim 4 2 n n n n     bằng:
    14. 14. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 14 a. 3 2 b. 3 4 c. 1 2 d.  Đáp án: D Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 23: Giới hạn 2 4 1 lim 3 2 1 2 n n n n     bằng: a. 4 3 b. 4 3 2 c. 0 d. 2 Đáp án: B Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 24: Giới hạn 4 3 2 2 3 4 lim 3 2 n n n n n     bằng: a.  b. 3 3 c.  d. 1 3  Đáp án: B Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 25: Giới hạn 1 lim n n n n    bằng: a. 1 b.  c. -1 d. 1 2 Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 26: Giới hạn 3 3 8 4 2 lim 5 1 n n n    bằng:
    15. 15. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 15 a. 8 5 b.  c. 2 5 d. 4 5 Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 27: Giới hạn 2 4 lim 1 n n n n  bằng: a.2 b. 4 c.  d. 0 Đáp án: D Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 28: Giới hạn 2 1 2 3 … lim 2 1 n n n       bằng: a. 0 b. 1 4 c. 1 2 d.  Đáp án: B Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta có:       2 2 2 22 1 11 2 3 … 2lim lim lim lim 2 1 2 1 4 2 22 2 1 n n n nn n n n n n n n nn n                 Áp dụng các nhận xét ở giới hạn dãy hữu tỉ ta có giới hạn này bằng 1 4
    16. 16. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 16 Loại 2: Giới hạn của dãy có căn thức. Phương pháp : Nếu dãy số có chứa căn thức mà không có dạng hữu tỉ để xét bậc, thì ta tiến hành nhân thêm lượng liên hiệp để tính giới hạn. Nhưng đồng thời các em cũng sử dụng nhận xét ở tính giới hạn hữu tỉ. Lưu ý : + Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc hai :    2 2 A B A B A B    + Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc ba :       2 2 3 3 2 2 3 3 A B A AB B A B A B A AB B A B           Sau khi nhân thêm lượng liên hiệp ta cũng có thể sử dụng nhận xét về giới hạn của dãy số hữu tỉ để có thể tinh giới hạn nhanh hơn. Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi:                          n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim 2 lim 2 2 2 2 lim lim lim 1 22 2 1 1 b. Ta có biến đổi: Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: a.   n n n2 lim 2 b.    2 lim 2 3n n n c.   3 3 lim 2n n d. 1 lim 3 2 2 1n n   e.  2 lim 1 2 5n n n    f.  3 3 2 2 lim 3 1 4n n n n   
    17. 17. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 17                  2 2 2 2 2 3 2 3 lim 2 3 lim 2 3 n n n n n n n n n n n n                             2 2 2 2 22 2 3 2 3 lim lim 2 3 2 3 3 2 2 3 2 lim lim 1 1 12 32 3 1 11 1 n n n n n n n n n n n n n n nn n 2 2 3n n n   là biểu thức liên hợp của 2 2 3n n n   c. Ta có biến đổi:         2 233 3 3 33 3 3 2 233 33 2 2 2. lim 2 lim 2 2. n n n n n n n n n n n n                         3 3 3 3 2 22 23 33 3 3 33 3 2 2 lim lim 2 2. 2 2. n n n n n n n n n n n n                 2 233 33 2 lim 0 2 2.n n n n       d. Ta có biến đổi:      1 3 2 2 1 lim lim 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 lim lim 3 2 2 1 3 2 2 1 n n n n n n n n n n n n n n                           e. Ta có biến đổi:
    18. 18. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 18          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 5 1 2 5 lim 1 2 5 lim 1 2 5 1 2 5 2 5 lim lim 1 2 5 1 2 5 2 5 lim 1 1 2 5 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                            f. Ta có biến đổi:              3 33 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 lim 3 1 4 lim 3 1 4 lim 3 1 4 lim 3 1 lim 4 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                          Đặt:     3 3 2 1 2 2 lim 3 1 lim 4 L n n n L n n n             Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc ba.             3 3 2 1 2 3 3 33 2 3 2 3 2 2 2 3 33 2 3 2 2 3 2 3 2 3 33 2 3 2 2 2 2 3 33 2 3 2 2 lim 3 1 3 1 3 1 3 1 lim 3 1 3 1 3 1 lim 3 1 3 1 3 1 lim 3 1 3 1 L n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                           Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc hai.
    19. 19. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 19     2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 lim 4 lim 4 4 4 lim lim 2 4 4 n n n n n n L n n n n n n n n n n n n n n n n                      Vậy:    3 3 2 2 1 2lim 3 1 4 1 2 1n n n n L L           Hướng dẫn giải a) Ta có biến đổi:             2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 3 2 1 3 2 1 lim 3 2 1 lim 3 2 1 3 2 1 3 2 2 1 lim lim 3 2 1 3 2 1 5 1 5 lim 23 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                            b)Ta có biến đổi:    1 1 3 lim lim 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 lim lim 1 3 2 n n n n n n n n n n n n n n                           c) Ta có biến đổi: Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau: a) 2 lim( 3 2 1)n n n    b) 1 lim 1 3n n   c) 2 lim( 3 1 1)n n n    d) 2 4 4 lim 2 1 n n n n           
    20. 20. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 20     2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 1 1 lim 3 1 1 lim 3 1 1 3 1 1 3 2 lim lim 3 1 1 3 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                    d) Ta có biến đổi:             2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 44 4 lim lim 2 1 2 1 4 4 4 4 4 4 lim lim 1 2 1 4 4 2 1 4 4 n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                     Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn 2 3 1 lim 1 n n n n     bằng: a. 1 b. 1 2 c.  d. 0 Đáp án: D Ta có biến đổi:             2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 13 1 lim lim 1 1 3 1 3 1 3 1 lim lim 0 1 3 1 1 3 1 n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                              Vì bậc của tử là bậc nhất và bậc lớn nhất của mẫu là bậc hai. Nên giới hạn này bằng 0. Bài tập 2: Giới hạn 2 3 2 lim 3 2 n n n n    bằng: a.   2 3 3 2 b.   2 3 3 1 c. 3 3 d. 1 2
    21. 21. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 21 Đáp án: B Ta có biến đổi:            2 2 2 2 2 2 3 2 3 23 2 lim lim 3 2 3 2 3 2 2 2 2 lim 3 3 13 2 3 2 n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n                 Bài tập 3: Giới hạn 2 2 lim( 2 1 2 1)n n   bằng: a. 1 b. 4 c.  d. 0 Đáp án: D Ta có biến đổi:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 lim 2 1 2 1 lim 2 1 2 1 2 1 2 1 2 lim lim 0 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n                          Bậc lớn nhất của tử là bậc 0 và bậc lớn nhất của mẫu là bậc nhất. Do đó, giới hạn này bằng 0. Bài tập 4: Giới hạn lim( 3 2 3 2)n n   bằng: a. 9 b.  c. 0 d. 6 Đáp án: C Ta có biến đổi:     3 2 3 2 3 2 3 2 lim 3 2 3 2 lim 3 2 3 2 3 2 3 2 4 lim lim 0 3 2 3 2 3 2 3 2 n n n n n n n n n n n n n n                         
    22. 22. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 22 Bài tập 5: Giới hạn lim ( 3 2)n n n   bằng: a.  b. 5 c. 3 2 d. 0 Đáp án: A Ta có biến đổi:        3 2 3 2 lim 3 2 lim 3 2 3 2 lim lim 3 2 3 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n                           Bài tập 6: Giới hạn 3 2 3 2 1 1 lim 4 3 n n n n n n      bằng: a.  b. 0 c. 1 2 d.   1 2 2 1 Đáp án: D Ta có biến đổi:          3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 2 1 1 2 1 lim lim 4 3 4 3 2 1 2 1 lim 4 3 2 1 2 1 1 lim lim 4 3 2 1 4 3 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                           Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu sau khi nhân phân phối ta được bậc ba hệ số bằng  2 2 1 . Nên giới hạn này có giới hạn bằng   1 2 2 1
    23. 23. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 23 Bài tập 7: Giới hạn 3 3 2 4 lim 1 n n n n     bằng: a. 0 b. 1 c. 2 d.  Đáp án: A Ta có biến đổi:                 2 3 3 33 3 3 2 3 3 2 3 33 3 2 3 3 2 3 33 3 2 2 3 33 3 2 2 4 2 4 2 4 2 4 lim lim 1 1 2 4 2 4 2 4 lim 1 2 4 2 4 2 4 lim 0 1 2 4 2 4 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                                             
    24. 24. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 24 Dạng 3: Dãy số chứa lũy thừa – Mũ Phương pháp: Tương tự như dãy hữu tỉ, ta tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với cơ số lớn nhất Một số công thức lưu ý: + nn n a a b b        + 1 n n a a   + 1 n n a a + 1 1n  Giới hạn của lũy thừa: lim 0n a  với 0 1a  . Hướng dẫn giải a. Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 5n ta được 22 5 1 155 5lim lim 3 5 332. 3. 2. 3 5 5 5 n n n n n n n n n n               Vì 2 0 1 5 3 0 1 5         nên ta có 2 lim 0 5 3 lim 0 5 n n                 b. Ta có biến đổi: 1 1 1 3 2 3 .3 2 .2 3.3 2.2 lim lim lim 25.3 4.2 5.3 2.2 5.3 4. 2 n n n n n n nn n n n n            Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 3n ta được Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau: a. 2 5 lim 2.3 3.5 n n n n   b. 1 1 1 3 2 lim 5.3 4.2 n n n n      c. 1 1 1 3 2 5 lim 5.5 3.2 3 n n n n n n        d. 10 1 lim 2 5 n n n   e. 9 1 lim 3 1 n n  
    25. 25. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 25 23 2 3 2.3. 2. 333 3lim lim 2 53 25. 2. 5 2. 3 3 3 n n n n n n nn n n                Vì 2 0 1 3   nên 2 lim 0 3 n       c. Ta có biến đổi: 1 1 1 3 2 5 3 .3 2 .2 5 3.3 2.2 5 lim lim lim 5.5 3.2 3 5.5 3.2 3 .3 5.5 3.2 3.3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n                  Chia tử và mẫu cho 5n ta được: 3 23 2 5 3. 2. 13. 2. 15 55 5 5lim lim 5 2 3 52 35. 3. .3 5 3. 3. 5 5 5 5 5 n n n n n n n n n n n n n n n n                               Vì 2 0 1 5 3 0 1 5         nên ta có 2 lim 0 5 3 lim 0 5 n n                 d. Ta có biến đổi: chia tử và mẫu cho 10n ta được 110 1 1 10 1 1010 10lim lim lim 2 52 5 1 1 10 10 5 2 n n n n n n n n nn n n n                        Vì 1 0 1 10 1 0 1 5 1 0 1 2             nên ta có 1 lim 0 10 1 lim 0 5 1 lim 0 2 n n n                          e. Chia tử và mẫu cho 3n ta được:
    26. 26. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 26 19 1 1 99 1 9 9lim lim lim 1 3 13 1 1 1 3 3 3 n n n n n n nn n n                   Vì 1 0 1 9 1 0 1 3         nên ta có 1 lim 0 9 1 lim 0 3 n n                 Lưu ý: Khi chia cho 3n vào trong căn bậc hai nghĩa là chia cho 9n Trích dẫn: Cũng tương tự giới hạn của dãy số hữu tỉ. Ta cũng hoàn toàn có thể tự nhẩm được kết quả của giới hạn dãy số dạng này. Bằng cách quan sát hệ số của những số mũ với cơ số lớn nhất ở tử và mẫu. Từ đó ta hoàn toàn có thể tính nhanh để thực hiện những bài toán giới hạn dưới dạng trắc nghiệm. Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn 1 3 lim 4 3 n n   bằng: a. 1 4 b.  c. 1 d. 3 4 Đáp án: C Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 1. Bài tập 2: Giới hạn 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n    bằng: a. 1 b. 7 c. 3 5 d. 7 5 Đáp án: B Thật vậy trước khi nhận xét ta có biến đối       1 4.3 7 4.3 7 .7 lim lim 2.5 7 2.5 7 n n n n n n n n
    27. 27. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 27 Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 7 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 7. Bài tập 3: Giới hạn 1 2 4 6 lim 5 8 n n n n     bằng: a. 0 b. 6 8 c.  d. 4 5 Đáp án: A Thật vậy trước khi nhận xét ta có biến đối           1 2 2 4 6 4 .4 6 .6 4.4 36.6 lim lim lim 5 8 5 8 5 8 n n n n n n n n n n n n q Nhận xét: Cơ số cao nhất của tử là 6 và cơ số cao nhất của mẫu là 8. Nên giới hạn đó bằng 0. Bài tập 4: Giới hạn 1 2 5 lim 1 5 n n n    bằng: a. 2 b. 1 5 c. 2 5 d. 5 Đáp án: D Ta có biến đổi:       1 2 5 2 5.5 lim lim 1 5 1 5 n n n n n n Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 5 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 5. Bài tập 5: Giới hạn 1 2.3 7 lim 5 2.7 n n n n    bằng: a. 2 b. 1 5 c. 1 2  d. 0 Đáp án: C
    28. 28. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 28 Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là -1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 2 nên giới hạn đó bằng 1 2  . Bài tập 6: Giới hạn 1 1 2.3 6 lim 2 (3 5) n n n n    bằng: a.  b. 1 2 c.1 d. 1 3 Đáp án: D Ta có biến đổi:            1 1 2.3 6 1 2.3 6 1 2.3 6 lim lim lim 2 (3 5) 2 (3.3 5) 3.6 5.2 n n n n n n n n n n n n Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 3 nên giới hạn đó bằng 1 3 . Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa Phương pháp 1: Dùng định lí kẹp Phát biểu: Cho 3 dãy số ( ),( ),( )n n nu v w . Nếu ,n n nu v w n   và lim lim limn n nu w L v L    Một số kiến thức cũ: 1 sin 1u    + 1 cos 1u   Hướng dẫn giải Ta có nhận xét: Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sin(3 ) lim n n
    29. 29. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 29  1 sin 3 1 1 sin(3 ) 1 n n n n n       Ta có: 1 lim 0 1 lim 0 n n             nên sin(3 ) lim 0 n n  Hướng dẫn giải Ta có:  2 2 2 cos3 cos3 cos3 lim 2 lim 2 lim 2 lim n n n n n n                          Thực hiện tương tự bài tập mẫu 1 ta được:   2 2 2 1 cos 3 1 1 cos(3 ) 1 n n n n n       Ta có: 2 2 1 lim 0 1 lim 0 n n             nên cos(3 ) lim 0 n n  Do đó: 2 cos3 lim 2 2 n n          Hướng dẫn giải Ta có: ( 1) ( 1) ( 1) lim 1 lim lim1 lim 1 1 1 1 n n n n n n               Ta có nhận xét : Bài tập mẫu 3: Chứng minh rằng: ( 1) lim 1 1 1 n n        Bài tập mẫu 2: Chứng minh rằng: 2 cos3 lim 2 2 n n         
    30. 30. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 30     1 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n             Mà: 1 lim 0 1 1 lim 0 1 n n                 nên ( 1) lim 0 1 n n    Do đó: ( 1) lim 1 1 1 n n        Bài tập trắc nghiệm tương tự Bài tập 1: Giới hạn sin3 lim 2 1 n n n   bằng : a. 1 2 b. 3 2 c. 0 d.  Đáp án: A Ta có biến đổi: sin3 sin3 lim lim lim 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n       Mà khi n dần ra  thì ta có : 1 lim 2 1 2 sin3 lim 0 2 1 n n n n         Nên: sin3 1 lim 2 1 2 n n n    Bài tập 2: Giới hạn sin 3 n n u n  bằng a.  b. 1 c. 3 d. 0 Đáp án: D Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp
    31. 31. Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 31 Bài tập 3: Giới hạn 2 cos 3 2 n n n u n    bằng : a. 2 3 b. 1 3 c. 0 d.  Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp Bài tập 4: Giới hạn 1 2 2 ( 1) 2 lim 5 cos n n n n     bằng : a.  b. 2 5 c. 2 5  d. 1 5  Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp Bài tập 5: Giới hạn 2 1 2 2 ( 1) cos 3 n n n u n n      bằng a. 2 3 b. 3 2 c. 2 3  d. 1 Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp Bài tập 6: Giới hạn sin cos sin 2 n n n u n n   bằng a. 2 b. 2 c. 0 d. 4  Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tổng Hợp Bài Tập Đại Cương Về Kim Loại Có Lời Giải Đầy Đủ Và Chi Tiết
  • Giáo Án Đại Số Và Giải Tích 11
  • Bài 1,2,3,4,5,6 Trang 57,58 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11: Nhị Thức Niu
  • Giáo Án Văn 9 Bài Xưng Hô Trong Hội Thoại
  • Soạn Bài Xưng Hô Trong Hội Thoại
  • Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số

    --- Bài mới hơn ---

  • 143 Bài Tập Giới Hạn Dãy Số
  • Chuyên Đề Vecto Trong Không Gian Quan Hệ Vuông Góc
  • Bài Tập Hóa Học Nâng Cao Môn Hóa Lớp 8
  • Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • 3 Dạng Bài Tập Cân Bằng Phản Ứng Oxi Hóa Khử Cơ Bản Nhất
  • 6. Các ví dụ:

    Ví dụ 1: Không tồn tại giới hạn kép, nhưng tồn tại giới hạn lặp

    Xét ví dụ 2 ở mục 4.

    Ta có:

    Ví dụ 2: Các giới hạn lặp tồn tại nhưng khác nhau

    Ta xét hàm số

    Khi đó: ,

    Ví dụ 3: Tồn tại giới hạn kép, nhưng không tồn tại giới hạn lặp

    nhưng không tồn tại

    7. Liên tục:

    Hàm số f(x; y) được gọi là liên tục tại nếu:

    1. f(x; y) xác định tại

    2. Tồn tại

    3.

    Hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền xác định Df

    Nhận xét: Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là một hàm liên tục, thương của hai hàm liên tục là một hàm liên tục (nếu hàm ở mẫu số khác không).

    Bài tập giải mẫu:

    Bài 1: Tính giới hạn của hàm số:

    Ta chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn.

    Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường cong parabol : (k – hằng số). Ta có :

    Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau.

    Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0)

    Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:

    Nhưng:

    Còn:

    Vậy hàm số đã cho không có giới hạn

    Bài 2: Tìm giới hạn của hàm số:

    Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng : (k – hằng số). Ta có :

    Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau.

    Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0)

    Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:

    Nhưng:

    Còn:

    Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

    Cách 3: Chuyển hàm số đã cho về tọa độ cực ta có: x = r.cosφ ; y = r.sinφ. Và khi (x; y) → (0;0) thì r → 0.

    Khi đó ta có:

    Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào góc quay φ, nên giá trị giới hạn sẽ thay đổi khi φ thay đổi.

    Bài 3: Tìm giới hạn của hàm số:

    Bài này chỉ khác bài trên ở chỗ tử số có thêm x. Tuy nhiên, kết quả bài toán này hoàn toàn thay đổi. ta sẽ chứng minh giới hạn hàm số sẽ bằng 0 khi (x;y) → (0; 0)

    Vậy theo định lý giới hạn kẹp ta có được giới hạn hàm số bằng 0 khi (x; y) → (0;0)

    Việc ta tìm cách tính giới hạn bằng cách sử dụng định lý kẹp cho bài trên xuất phát từ việc ta chuyển hàm số về tọa độ cực thì giá trị giới hạn của hàm số luôn bằng 0 khi tiến về 0, với mọi giá trị φ. Chính điều này, là điều kiện cần (nhưng không đủ) giúp cho ta biết được giá trị giới hạn hàm số là tồn tại và bằng o.

    Bài 4: Tìm giới hạn của hàm số:

    Các bạn có thể chứng minh bài toán này không có giới hạn bằng cách chuyển về tọa độ cực, hoặc xét dãy điểm tiến về (0;0) theo đường tròn: (k – hằng số) (xuất phát từ việc trong hàm số có chứa nên ta xây dựng đường tròn đi qua gốc tọa độ), hoặc bạn cũng có thể xét 2 dãy điểm khác nhau cùng tiến về (0; 0) là:

    Bình chọn

    Share this:

    Like this:

    Số lượt thích

    Đang tải…

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đáp Án Bài Tập Csdl
  • Bài Tập Toán Lớp 2 Cơ Bản Và Nâng Cao Cho Bé
  • Hệ Mật Mã Khối Và Các Thuật Toán Mã Hóa Khối Kinh Điển: Des
  • Des Là Gì? Code Ví Dụ Des Bằng Java
  • Tài Liệu Bài Tập Về Diode Có Lời Giải, Bài Tập Diode Có Lời Giải
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100