Bài Tập Về Phương Trình Lượng Giác Có Lời Giải

--- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Có Lời Giải Tập 1 Biến Đổi Lương Giác Và Hệ Thưc Lượng 2
  • Các Dạng Toán Phương Trình Lượng Giác, Phương Pháp Giải Và Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
  • Các Dạng Bài Tập Toán Về Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn Và Phương Pháp Giải
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Tham Số M
  • Phương Trình Logarit, Bất Phương Trình Logarit Và Bài Tập Áp Dụng
  • Bài tập về phương trình Lượng giác có lời giải

    Baøi taäp veà phöông trình löôïng giaùc   1. 2 2 sin  x + π 1 1 + = 4  sin x cos x π  2 sin  x +  π sin x + cos x π 4   ⇔ 2 2 sin(x + ) = ⇔ 2 2 sin  x +  = 4 sin x cos x 4 sin x cos x  π π    sin(x + 4 ) = 0  x = − 4 + kπ π  1   ⇔ 2 sin  x +   2 −  = 0 ⇔   sin x cos x ≠ 0 ⇔   sin 2x ≠ 0 4  sin x cos x       2sin x cos x = 1   sin 2x = 1    π  π  x = − 4 + kπ ⇒ sin 2x = sin  − 2  = − 1 ≠ 0 π   ⇔ ⇔ x = ± + kπ 4 π π   sin 2x = 1 ⇔ 2x = 2 + k2π ⇔ x = 4 + kπ  3 3 5 5 2. C1. sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) (k ∈ Z) ⇔ sin 3 x − 2 sin 5 x = 2 cos 5 x − cos 3 x ⇔ sin 3 x (1 − 2 sin 2 x ) = cos 3 x (2 cos 2 x − 1) ⇔ sin 3 x cos 2 x = cos 3 x cos 2 x  cos 2x = 0  cos 2x = 0 ⇔ 3 ⇔ 3 ⇔ 3  sin x = cos x  tg x = 1 3 3 5 5 C2. sin x + cos x = 2(sin x + cos x )  cos 2x = 0 π π π π π ⇔ x = + m ∨ x = + kπ ⇔ x = + m (m ∈ Z)  tgx = 1 4 2 4 4 2  ⇔ (sin 3 x + cos 3 x )(sin 2 x + cos 2 x ) = 2(sin 5 x + cos 5 x ) ⇔ sin 3 x cos 2 x + cos 3 x sin 2 x = sin 5 x + cos 5 x ⇔ sin 3 x (cos 2 x − sin 2 x ) = cos 3 x (cos 2 x − sin 2 x )  cos2 x − sin 2 x = 0  cos2 x − sin 2 x = 0 ⇔ (cos x − sin x)(cos x − sin x) = 0 ⇔  3 3 ⇔   cos x − sin x = 0  cos x = sin x 2 2 3 3 2 2 π π ⇔  cos x − sin x = 0 ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = + k (k ∈ Z) 42  cos x = sin x 3. sin 2 x = cos 2 2x + cos 2 3x 1 − cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x ⇔ = + ⇔ (cos 4x + cos 2x) + (1 + cos 6x) = 0 2 2 2 ⇔ 2 cos 3x cos x + 2 cos 2 3x = 0 ⇔ 2 cos 3x (cos x + cos 3x ) = 0 ⇔ 4 cos 3x cos 2 x cos x = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos 2 x = 0 ∨ cos 3x = 0 ⇔ x = π π π π π + kπ ∨ x = + k ∨ x= + k 2 4 2 6 3 (k ∈ Z) 6 6 8 8 4. sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) ⇔ sin 6 x − 2 sin 8 x = 2 cos 8 x − cos 6 x ⇔ sin 6 x(1 − 2 sin 2 x ) = cos 6 x(2 cos 2 x − 1) ⇔ sin 6 x cos 2x = cos 6 x cos 2x π π  x= + m  cos 2 x = 0  cos 2 x = 0  cos 2x = 0 4 2 ⇔ x = π + m π (m ∈ Z) ⇔ 6  sin x = cos 6 x ⇔  tg 6 x = 1 ⇔  tgx = ± 1 ⇔  π  4 2    x = ± + kπ 4  5. sin x − cos x + sin x + cos x = 2 1 ⇔ ( sin x − cos x + sin x + cos x ) 2 =4 ⇔ 1 − sin 2 x + 1 + sin 2 x + 2 sin 2 x − cos 2 x = 4 ⇔ 2 cos 2 x = 2 ⇔ cos 2x = 1 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = k π 2 13 cos 2 2x 8 13 2 3 2 ⇔ (cos x ) − (sin x ) 3 = cos 2 2 x 8 6 6 6 . cos x − sin x = ⇔ (cos 2 x − sin 2 x )(cos 4 x + sin 4 x + sin 2 x cos 2 x ) = ⇔ cos 2x (1 − 13 cos 2 2x 8 1 1 13 sin 2 2x + sin 2 2x ) = cos 2 2x ⇔ cos 2x (8 − 2 sin 2 2x ) = 13 cos 2 2x 2 4 8 cos 2x = 0 cos 2 x = …

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chương Iii. §6. Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình: Lý Thuyết Và Các Dạng Bài Thường Gặp
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 9
  • Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Hệ Phương Trình Lớp 9 Có Đáp Án
  • Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Có Lời Giải Tập 1 Biến Đổi Lương Giác Và Hệ Thưc Lượng 2

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Dạng Toán Phương Trình Lượng Giác, Phương Pháp Giải Và Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
  • Các Dạng Bài Tập Toán Về Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn Và Phương Pháp Giải
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Tham Số M
  • Phương Trình Logarit, Bất Phương Trình Logarit Và Bài Tập Áp Dụng
  • Giải Phương Trình Logarit Bằng Cách Đưa Về Cùng Cơ Số
  • Published on

    Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace

    https://www.facebook.com/garmentspace.blog

    My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/

    Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi’s, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY -TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG – Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công

    1. 1. LƯỢNG GIÁCMỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH
    2. 2. VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 7 – 2011
    3. 4. LỜI CẢM ƠN Trong quá trình biên soạn, chúng tôi xin cám ơn đến những bạn đã cung cấp tài liệu tham khảo và vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc bản đánh máy, tạo điều kiện hoàn thành cuốn sách này : – Tô Nguyễn Nhật Minh (ĐH Quốc Tế chúng tôi – Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế chúng tôi – Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế chúng tôi – Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa chúng tôi – Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong chúng tôi – Nguyễn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bội Châu Tp.Vinh) – Phan Đức Minh (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội) và một số thành viên diễn đàn MathScope.
    4. 5. MỤC LỤC TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ …………………………………1 CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC ………………………………………………..4 2.1 CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC ……………………………..7 BÀI TẬP TỰ LUYỆN………………………………………………………………………..15 2.2 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC………………………………………………………21 BÀI TẬP TỰ LUYỆN………………………………………………………………………..33 2.3 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC SUY TỪ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÁC CHO TRƯỚC ………………………………………………….36 BÀI TẬP TỰ LUYỆN………………………………………………………………………..45 2.4 CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN SỐ………………………………………………………………………………………….46 BÀI TẬP TỰ LUYỆN………………………………………………………………………..51 CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC…………………………………52 3.1 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC ………55 BÀI TẬP TỰ LUYỆN………………………………………………………………………..77 3.2 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC………………………………………………………………………….81 BÀI TẬP TỰ LUYỆN……………………………………………………………………….133 3.3 NHẬN DẠNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC…..143 BÀI TẬP TỰ LUYỆN……………………………………………………………………….191
    5. 6. ĐỌC THÊM : TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC …………………………………………..199 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………………………….205
    6. 7. Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử 1 CHƯƠNG 1 SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ I. KHÁI NIỆM Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Sâu xa hơn, ở khía cạnh hiện đại hơn, định nghĩa hàm lượng giác là chuỗi vô hạn hoặc là nghiệm của phương trình vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kỳ. ( Dạng đồ thị hàm sin ) II. LỊCH SỬ Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác được cho là thực hiện đầu tiên bởi Hipparchus(1) (180-125 TCN), người đã lập bảng tính độ dài các cung tròn và chiều dài của dây cung tương ứng. Sau đó, Ptomely(2) tiếp tục phát triển công trình, tìm ra công thức cộng và trừ cho và , Ptomely cũng đã suy diễn ra được công thức hạ bậc, cho phép ông lập bảng tính với bất kỳ độ chính xác cần thiết nào. Tuy nhiên, những bảng tính trên đều đã bị thất truyền. Các phát triển tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, công trình của Surya Siddhanta(3) (thế kỷ 4-5) định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. Đến thế kỷ 10, người Ả Rập đã dùng cả 6 hàm lượng giác cơ bản với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân. Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác cơ bản đều được phát triển nhằm phục vụ trong các công trình thiên văn học, cụ thể là dùng để tính toán các đồng hồ mặt trời.
    7. 8. Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử 2 Ngày nay, chúng được dùng để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, giữa các mốc giới hạn hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. Rộng hơn nữa, chúng được áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác : quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, dược khoa, hóa học, lý thuyết số, địa chấn học, khí tượng học, hải dương học… Ta lấy ví dụ từ một bài toán sau trích từ Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight, Darkness and Time : Việc mô hình hóa về số giờ chiếu sáng của mặt trời là hàm thời gian trong năm tại nhiều vĩ độ khác nhau. Cho biết Philadelphia nằm ở vĩ độ Bắc, tìm hàm biểu thị số giờ chiếu sáng của mặt trời tại Philadelphia. Chú ý rằng mỗi đường cong tương tự với một hàm số sin mà bị di chuyển và kéo căng ra. Tại độ cao của Philadelphia, thời gian chiếu sáng kéo dài 14,8 giờ vào ngày 21 tháng 6 và 9,2 giờ vào ngày 21 tháng 12, vậy nên biên độ của đường cong (hệ số kéo căng theo chiều dọc) là : Hệ số nào mà chúng ta cần để kéo căng đồ thị hình sin theo chiều ngang nếu chúng ta đo thời gian trong ngày? Bởi có 365 ngày/ năm, chu kỳ của mô hình nên là 365. Nhưng mà giai đoạn của là , nên hệ số kéo căng theo chiều ngang là :
    8. 9. Chương 1 : Sơ lược về khái niệm và lịch sử 3 Chúng ta cũng để ý rằng đường cong bắt đầu một chu trình của nó vào ngày 21 tháng 3, ngày thứ 80 của năm nên chúng ta phải phải dịch chuyển đường cong về bên phải 80 đơn vị. Ngoài ra, chúng ta phải đưa nó lên trên 12 đơn vị. Do đó chúng ta mô hình hóa số giờ chiếu sáng của của mặt trời trong năm ở Philadelphia vào ngày thứ của năm bằng hàm số : Khi – thì – thì Vậy ta có điều phải chứng minh. Giải: Đặt Ta có : ( ) Do đó Bài 7: Chứng minh Bài 6: Chứng minh (ĐH Đà Nẵng 1998) www.VNMATH.com
    9. 18. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 12 Giải: Ta có điều cần chứng minh tương đương với Điều này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh. Giải: Ta có : ( ) ( ) Do đó, ta có điều phải chứng minh. Giải: Ta có : Bài 9: Chứng minh ( ) Bài 8: Chứng minh www.VNMATH.com
    10. 19. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 13 ( ) Do đó, ta có điều phải chứng minh. Giải: Đặt Ta có : Áp dụng công thức trên, ta được : Nhân lại, ta được : √ Vậy √ √ Bài 10: Chứng minh (ĐHSP Hải Phòng 2001) www.VNMATH.com
    11. 20. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 14 Giải:  Ta có : Sử dụng công thức này, ta được : ……………………………………….. Cộng lại, ta có được điều phải chứng minh.  Ta sử dụng công thức Ta có : Vậy ta có điều phải chứng minh. ( ) ( ) Bài 11: Chứng minh rằng www.VNMATH.com
    12. 21. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 15 – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2.1.1. Chứng minh các đẳng thức sau a. b. c. 2.1.2. Chứng minh 2.1.3. Chứng minh ( ) ( ) Áp dụng tính tổng : 2.1.4. Chứng minh 2.1.5. Chứng minh , , là nghiệm của phương trình Từ đó suy ra giá trị của www.VNMATH.com
    13. 22. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 16 2.1.6. Cho 3 góc thỏa Chứng minh 2.1.7. Chứng minh 2.1.8. Chứng minh (ĐHQG Hà Nội 1996) 2.1.9. Chứng minh c) Ta có : d) Ta có điều cần chứng minh tương đương với : www.VNMATH.com
    14. 25. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 19 2.1.5. Sử dụng công thức Cho , ta có : √ Suy ra 2.1.6. Áp dụng công thức : 2.1.9. Cần chứng minh 2.1.16. a. Cần chứng minh Suy ra b. Ta có điều cần chứng minh tương đương với 2.1.17. Để ý rằng 2.1.18. Áp dụng công thức 2.1.19. Ta chỉ cần chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) www.VNMATH.com
    15. 27. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 21 2.1.21. Sử dụng công thức sau : 2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC – Ở loại bài tập này, ngoài các công thức biến đổi cơ bản, ta cần chú ý thêm các công thức sau : ( ) ( ) ( ) – Nhờ cung liên kết ta có thể đưa các cung lớn hơn hay cung âm về cung trong khoảng . – Khi cần rút gọn biểu thức Ta dùng công thức – Khi cần rút gọn biểu thức Ta viết Và dùng công thức biến đổi tích thành tổng để rút gọn. – Ngoài ra, để tính giá trị một biểu thức ta chứng tỏ các số hạng trong biểu thức là nghiệm của một phương trình, từ đó ta dùng công thức Viète(4) để tính tổng hoặc tích của lượng phải tìm. – Cần nhớ lại công thức Viète bậc 3 sau: Gọi là 3 nghiệm của phương trình thì www.VNMATH.com
    16. 28. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 22 { Từ đó có thể suy ra Giải: Ta có : ( ) Giải: Nếu ta có { Bài 7: Tìm 1 phương trình bậc 3 có các nghiệm là Từ đó, tính tổng Bài 6: Cho phương trình có 2 nghiệm . Hãy tính biểu thức sau đây theo . www.VNMATH.com
    17. 33. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 27 Thì là 3 nghiệm của phương trình bậc 3 Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy phương trình cần tìm là Suy ra . Giải: ể ằ ệ ủ ươ √ √ √ √ √ Bài 8: Chứng minh rằng (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) www.VNMATH.com
    18. 34. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 28 Hay Từ ta có (loại vì không thỏa 3 nghiệm trên) Như vậy ệ ủ ươ ịnh lý Viète, ta có { Đặt { √ √ √ √ √ √ Khi đó { √ √ Suy ra Do đó √ Nên √ √ Vậy √ √ √ √ √ √ www.VNMATH.com
    19. 35. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 29 Giải: Từ hệ ta có : { Suy ra Do đó { { Giải: Từ giả thuyết, ta có : Vì nên { Bài 9: Tính tổng Với . Bài 10: Cho Hãy tìm www.VNMATH.com
    20. 36. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 30 ( ) Giải: Ta có : √ √ √ √ √ √ Giải: Ta có : ( ) à í ( ) Bài 12: (ĐH Huế 1996) √ √ Bài 11: Rút gọn biểu thức sau www.VNMATH.com
    21. 37. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 31 Mặt khác : Do nên Suy ra ( ) Giải: Ta sẽ áp dụng vào bài toán trên bằng hằng đẳng thức Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ệ ủ ươ ( ) Như vậy : ệ ủ ươ ịnh lý Viète, ta có : { Suy ra Bài 13: Tính giá trị của biểu thức www.VNMATH.com
    22. 38. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 32 Giải: Ở bài toán này, ta thấy . Do đó, theo định lý Viète, ta có : { Mặt khác : ( ) ( ) Áp dụng bất đẳng thức : Ta được : Cần chứng minh bất đẳng thức : Thật vậy, với , ta có : (√ √ √ √ √ √ ) Bài 14: Cho là 3 nghiệm của phương trình : Chứng minh rằng www.VNMATH.com
    23. 39. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 33 Do đó, Vậy ta có được điều phải chứng minh. – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2.2.1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 2.2.2. Tìm 1 phương trình bậc 3 có các nghiệm là Từ đó, tính tổng 2.2.3. Cho Tính . 2.2.4. Tính , biết ( ) 2.2.5. Rút gọn các biểu thức sau : www.VNMATH.com
    24. 40. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 34 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ √ √ √ √ ⏟ ấ ( ( )) 2.2.6. Tính 2.2.7. Tính biết www.VNMATH.com
    25. 41. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 35 2.2.8. Tính theo biết 2.2.9. Cho . Tính giá trị của các biểu thức sau 2.2.10. Cho . Tính 2.2.11. Cho . Tính 2.2.12. Cho và . Tính . – GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2.2.3. Đặt { 2.2.7. Để ý www.VNMATH.com
    26. 42. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 36 2.2.8. Từ hệ thức Ta biến đổi theo . 2.2.9. Để ý bậc của tử bằng bậc của mẫu, do có giá trị thực nên , từ đó ta lần lượt chia tử và mẫu cho đối với và cho cho . 2.2.10. Để ý 2.2.11. Để ý 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC SUY TỪ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÁC CHO TRƯỚC – Đây là loại bài tập chứng minh đẳng thức lượng giác có điều kiện và từ điều kiện kết hợp với các công thức lượng giác phù hợp để suy ra điều cần phải chứng minh. Giải: Ta có : Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 2: Chứng minh rằng nếu và Thì Bài 1: Cho { . Chứng minh rằng : www.VNMATH.com
    27. 43. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 37 Giải: Ta có : ( ) ( ) Suy ra Giải: Ta có : Khi đó : Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 3: Cho Chứng minh rằng www.VNMATH.com
    28. 44. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 38 Giải: Ta có : và thì tồn tại ít nhất 1 điểm sao cho . Như vậy, ta thấy Bài 4: Cho và thỏa Chứng minh rằng : có nghiệm (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) www.VNMATH.com
    29. 45. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 39 { ụ ụ Giải: Ta có : ( ) ( ) Vậy √ √ Lấy suy ra : √ √ Giải: Ở bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức Bài 9: Chứng minh rằng nếu , với thỏa các điều kiện xác định cần thiết thì { Bài 8: Cho Chứng minh rằng : √ √ √ www.VNMATH.com
    30. 48. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 42 Giải: Đặt { Ta cần chứng minh: Hay Thật vậy, ta có : Vậy ta có điều phải chứng minh. Giải: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức, ta có : Do đó, Bài 11: Cho 3 số đôi một khác nhau và 4 góc được liên hệ với nhau bởi hệ thức : Chứng minh rằng Bài 10: Cho . Chứng minh rằng : www.VNMATH.com
    31. 49. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 43 Tương tự vậy, ta có : Cộng 3 đẳng thức lại, ta được : Bài 12: Cho Chứng minh rằng : (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) www.VNMATH.com
    32. 50. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 44 Giải: Từ giả thuyết, ta có : Hay ( ) ( ) Đặt Bài 1: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào www.VNMATH.com
    33. 54. Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 48 Mà nên Do đó, Tương tự, ta có : Suy ra Ta xét : ( ) ( ) b. Ta có : Ta thấy : Và ( ) Suy ra d. Ta có : Mà ( ) www.VNMATH.com
    34. 72. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 66 ( ) ( ) Và ( ) ( ) ( ) Suy ra f. Ta có : Bài 10: a. Cho tam giác , . Chứng minh rằng (ĐH Cần Thơ 1998) b. Chứng minh rằng : trong tam giác nếu theo thứ tự tạo thành cấp số cộng thì cũng tạo thành cấp số cộng. (ĐH Thương Mại Hà Nội 2000) c. Cho tam giác có . Chứng minh rằng (Tạp chí “Toán học và Tuổi trẻ”) www.VNMATH.com
    35. 76. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 70 Theo định lý hàm số sin, ta có điều phải chứng minh. c. Theo định lý hàm số sin, ta suy ra Áp dụng tính chất tỷ lệ thức, ta có : Ở đẳng thức này ta thấy được nên Giả sử thì hay . Khi đó Mặt khác, do nên . Đến đây, ta có được mâu thuẫn. Do đó : (vì ) Bài 11: Cho tam giác có là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh các đẳng thức sau : www.VNMATH.com
    36. 77. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 71 Giải: a. Ta cần chứng minh : Thật vậy, ta có : Mà theo định lý hàm số sin, ta được : Suy ra Mặt khác, ta lại có : { Do đó, b. Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) www.VNMATH.com
    37. 78. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 72 c. Ta có : d. Theo định lý hàm số sin, ta có : Vậy ta có điều phải chứng minh. e. Ta thấy tam giác vuông tại nên Tương tự, ta có : Mặt khác, ta lại có : Nên www.VNMATH.com
    38. 79. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 73 Giải: Trước hết ta sẽ chứng minh : Thật vậy ta có : ( ) Lại có : Tương tự thì ta cũng có : Vậy là nghiệm của phương trình sau : Theo định lý Viète thì : Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 12: Cho tam giác . Chứng minh rằng ta luôn có : (Đề nghị Olympic 30-4, 2007) www.VNMATH.com
    39. 80. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 74 Giải: a. Ta có : ( ) Bài 13: Chứng minh rằng trong tam giác ta luôn có : a. b. c. d. e. www.VNMATH.com
    40. 81. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 75 e. Ta có : Mặt khác, theo công thức Heron, ta có : Suy ra Vậy . Giải: a. Ta có : Bài 14: Chứng minh rằng trong tam giác , ta luôn có www.VNMATH.com
    41. 82. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 76 Ta lại có : Suy ra b. Ta có : Do đó, điều cần chứng minh tương đương với ( ) Tương tự vậy, ta có : www.VNMATH.com
    42. 83. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 77 Mà ta lại có : Vậy cộng 3 đẳng thức trên, ta có được điều phải chứng minh. – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.1.1. Cho tam giác . Chứng minh rằng 3.1.2. Cho tam giác , và Chứng minh rằng . (ĐH Cần Thơ 2000) 3.1.3. Cho tam giác có : Chứng minh rằng : . (ĐH Tổng Hợp 1995) 3.1.4. Cho tam giác có . Chứng minh rằng . (Định lý Steiner(6) – Lehmus(7) ) 3.1.5. Cho tam giác thỏa hệ thức : Chứng minh rằng : www.VNMATH.com
    43. 84. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 78 (ĐH Dược Hà Nội 1998) 3.1.6. Cho tam giác có . Chứng minh rằng tam giác nhọn và . 3.1.7. Trong tam giác , chứng minh rằng : √ – GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.1.1. a. Theo định lý hàm số sin, ta có : b. Cần chứng minh c. Áp dụng định lý các hình chiếu d. Áp dụng định lý hàm số cos e. Sử dụng công thức www.VNMATH.com
    44. 85. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 79 3.1.2. Để ý, từ giả thuyết ta có : ( ) ( ) 3.1.3. Để ý : 3.1.4. Ta sử dụng công thức về độ dài phân giác trong : √ √ ( ) Do đó, √ b. Ta có : √ √ √ √ Bài 1: Cho tam giác , chứng minh rằng : www.VNMATH.com
    45. 90. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 84 Suy ra Tương tự, ta có : ( ) Do đó, ( ) Suy ra www.VNMATH.com
    46. 91. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 85 Vậy ta được : f. Áp dụng bất đẳng thức cơ bản đã chứng minh ở câu b, ta được : – Nếu góc tù thì b. Ta có : . Suy ra – Nếu góc không tù thì ( ) c. Ta có : d. Ta có : www.VNMATH.com
    47. 93. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 87 Mặt khác : ( ) e. Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : f. Ta có : Suy ra Do đó, g. Ta có : ( ) ( ) ( ) Suy ra ( ) Do đó, www.VNMATH.com
    48. 94. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 88 Giải: a. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ √ b. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ c. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ d. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ e. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ f. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ ọn √ Bài 3: Cho tam giác , chứng minh rằng : www.VNMATH.com
    49. 95. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 89 g. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ h. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ Chú ý : Từ câu e, f, g, h ta rút ra được kết quả sau : Giải: a. Ta có 2 cách chứng minh : Cách 1: Sử dụng đẳng thức . Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Suy ra √ Cách 2: Ta có Mặt khác : √ ọ √ ọ √ √ Bài 4: Cho tam giác , chứng minh rằng : www.VNMATH.com
    50. 96. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 90 Nên Tương tự, ta được : ( ) Do đó, Ta đặt : { { Ta đưa điều cần chứng minh tương đương với ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. c. Bất đẳng thức tương đương với Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( ) Áp dụng bất đẳng thức cơ bản, ta có : Do đó, Vì { ( ) ( ) { ( ) Nên ( ) Hay Xét hàm số ( ) ( √ ) √ Do đó, √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi { ̂ ̂ ̂ Giải: – Nếu thì – Nếu thì Vậy ta luôn có ( ) ( ) ( ) Mặt khác ( ) Bài 22: Cho tam giác vuông tại . Chứng minh rằng www.VNMATH.com
    51. 125. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 119 Nên Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác vuông cân tại . Giải: Ta xét hàm số Theo bất đẳng thức Jensen, ta có : ( ) Do đó, ( ) ( ) Mà theo bất đẳng thức cơ bản, ta có : √ Mặt khác do tam giác nhọn, suy ra Và hàm số đồng biến nên ta có ( ) √ Do đó, ( ) √ ( ) √ Bài 23: Cho tam giác nhọn. Chứng minh rằng (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) www.VNMATH.com
    52. 126. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 120 Giải: Ta xét hàm số √ ( ) √ √ √ √ √ ( √ ) √ Do đó, theo bất đẳng thức Jensen, ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) Hay ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Giải: Ta xét hàm số ( ) Vậy hàm số đồng biến. Suy ra Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có : { Bài 25: Cho tam giác nhọn, chứng minh rằng ( ) √ ( ) √ ( ) √ √ Bài 24: Cho tam giác nhọn. Chứng minh rằng www.VNMATH.com
    53. 127. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 121 Do đó, Giải: Theo đẳng thức cơ bản, ta có : Bất đẳng thức trên tương đương với √ ( ) Ta xét hàm số √ ( ) √ √ √ Từ bảng biến thiên, ta có : √ Áp dụng bất đẳng thức trên, ta suy ra { √ √ √ Cộng 3 bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh. Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. √ ( ) Bài 26: Cho tam giác nhọn. Chứng minh rằng www.VNMATH.com
    54. 128. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 122 Giải: Giả sử . Ta suy ra Ta có : ( ) Ta xét hàm số Do đó, Giả sử : Suy ra { √ Khi đó √ √ Vậy ta có điều phải chứng minh. Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ ⏟ ố √( √ ) Do đó, √( √ ) √ Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có : √ √ √ √ √ Bài 30: Cho tam giác . Chứng minh rằng www.VNMATH.com
    55. 131. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 125 Suy ra √( √ ) √ Hay √( √ ) √ Vậy √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Chú ý: Chứng minh tương tự bài toán trên, ta có các bất đẳng thức sau : Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( √ ) ( √ ) ⏟ ố √ ( √ ) ( √ ) ( √ ) Bài 31: Cho tam giác . Chứng minh rằng √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ www.VNMATH.com
    56. 132. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 126 Do đó, ( √ ) ( √ ) ( ) Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có : √ Suy ra ( √ ) √ ( √ ) ( √ ) Vậy ( √ ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Chú ý: Chứng minh tương tự bài toán trên, ta có các bất đẳng thức sau : Giải: Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bài 32: Cho tam giác . Chứng minh rằng với , ta có : www.VNMATH.com
    57. 133. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 127 Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có : Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy { √ √( ) Suy ra Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Chú ý: Chứng minh tương tự bài toán trên, ta có bất đẳng thức sau : Giải: Ta có : ( ) ( ) Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( ) (⏟ ố ⏟ ố ) ( ) √ √ Bài 33: Cho tam giác . Chứng minh rằng ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) www.VNMATH.com
    58. 134. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 128 Do đó, √ √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác cân ở và có góc thỏa mãn : Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ⏟ ố √ Suy ra √ ( √ √ √ ) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta được : √ √ √ √ √ √ √ √ √ Bài 34: Cho tam giác . Chứng minh rằng www.VNMATH.com
    59. 135. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 129 Do đó, √ √ Mặt khác, theo bất đẳng thức cơ bản, ta có : Vậy √ √ √ √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ⏟ ( ) ố √ ( ) Do đó, ta được ( ) ( ) ( ) Áp dụng bất đẳng thức cơ bản { Ta suy ra ( ) Hay Bài 35: Cho tam giác . Chứng minh rằng www.VNMATH.com
    60. 136. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 130 Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Chú ý: Từ bài toán trên, ta có kết quả sau : Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : (√ ) (√ ) ⏟ ố √ √ ( ) ( ) ( ) √ (ĐH Kỹ Thuật Quân Sự 1997) √ √ √ √ √ √ √ (ĐH Bách Khoa chúng tôi 1995) √ √ √ √ √ √ ọ (ĐH Ngoại Thương 1996) √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2007) www.VNMATH.com
    61. 141. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 135 ọ (Đề nghị Olympic 30-4, 2010) 3.2.2. Cho tam giác nhọn, chứng minh rằng với √ √ √ ( √ ) 3.2.3. Chứng minh rằng ( ) 3.2.4. Cho tam giác có diện tích là . Gọi và là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác , chứng minh rằng √ 3.2.5. Cho tam giác có thỏa . Chứng minh rằng 3.2.6. Cho tam giác có 2 góc thỏa Chứng minh rằng (ĐH Bách Khoa Hà Nội 1998) 3.2.7. Cho tam giác có các góc thỏa mãn : Chứng minh rằng √ www.VNMATH.com
    62. 142. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 136 3.2.8. Cho tam giác có . Chứng minh rằng 3.2.9. Cho tam giác có độ dài 3 đường phân giác trong đều nhỏ hơn . Chứng minh rằng √ 3.2.10. Cho tam giác nhọn thì ( ) √ √ ( ) – GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.2.1. a. Điều cần chứng minh tương đương với r. Theo định lý hàm số sin, ta có : Bất đẳng thức tương đương với ( ) www.VNMATH.com
    63. 146. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 140 ( ) Ta có : ( ) s. Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) t. Ta có : Để ý ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.2.2. Chứng minh tương tự Bài 9 câu b, để ý rằng ( √ ) 3.2.3. Ta có : Để ý 3.2.4. Để ý Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : ( ) ( ) Suy ra www.VNMATH.com
    64. 148. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 142 √ √ 3.2.5. Ta có : Mặt khác theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : Do đó 3.2.6. Để ý Và √ 3.2.7. Để ý Do đó, chọn góc sao cho Khi đó √ 3.2.8. Từ giả thuyết ta có . Do đó, bất đẳng thức tương đương với ( ] Khi đó ta chỉ cần khảo sát hàm số ( ] 3.2.9. Để ý : Giả sử . Ta suy ra www.VNMATH.com
    65. 149. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 143 { ̂ ̂ ̂ Mặt khác ( ) Do ̂ ̂ ̂ ̂ √ √ 3.2.10. a. Ta xét hàm số ( ) b. Ta xét hàm số ( ) c. Ta xét hàm số ( ) 3. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC – Đây là loại toán cơ bản được tổng kết các loại toán và từ những phương pháp trên. Khi một tam giác thỏa 1 hay 2 đẳng thức hoặc bất đẳng thức giữa các cạnh và hàm số lượng giác của các góc, ta phải tìm tính chất của tam giác đó, chẳng hạn như : tìm số đo của góc, chứng tỏ giá trị hàm lượng giác của góc, hoặc chứng minh là tam giác cân, vuông, đều… – Một số kỹ thuật cần chú ý : nếu giả thuyết cho từ 2 hệ thức hoặc bất đẳng thức trở lên, ta phải biến đổi hệ thức dễ trước, ngoài ra ta phải để ý sử dụng bất đẳng thức ở dạng trên. www.VNMATH.com
    66. 150. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 144 Giải: a. Giả thuyết tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) { { b. Giả thuyết tương đương với √ Bài 1: Tính các góc của tam giác , biết rằng (ĐH Mở Hà Nội 2000) (ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật chúng tôi 2001) (ĐH Sư Phạm Hà Nội 2001) www.VNMATH.com
    67. 151. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 145 ( ) ( ) { { c. Giả thuyết tương đương với √ √ Ta thấy đây là phương trình bậc 2 có nghiệm . Khi đó Suy ra . Như vậy √ √ Do đó : Giải: a. Theo định lý hàm số sin, ta có : √ √ { √ Theo định lý hàm số cos, ta được : √ √ √ Bài 2: Tính các góc của tam giác biết (ĐH An Ninh 1998) (Tuyển sinh Khối A 2004) www.VNMATH.com
    68. 152. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 146 √ √ Do đó, . b. Giả thuyết tương đương với √ √ Mặt khác : Do tam giác không tù nên ⏟ Bài 13: Chứng minh rằng tam giác vuông nếu nó thỏa mãn hệ thức (ĐH Cần Thơ 1996) (ĐH Sư Phạm Vinh 2001) www.VNMATH.com
    69. 166. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 160 Vậy tam giác vuông tại . c. Theo định lý hàm số sin, ta có Do đó, giả thuyết tương đương với Từ ta suy ra : . Do đó, Từ ; theo định lý Viète, ta có là nghiệm của phương trình Mà trong tam giác ta luôn có : { Dấu xảy ra khi và chỉ khi { . Vậy tam giác đều. www.VNMATH.com
    70. 174. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 168 Giải: a. Ta kí hiệu { Từ ta nhận xét không là góc lớn nhất vì nếu lớn nhất thì cạnh đối diện cũng lớn nhất và theo định lý hàm số sin, ta sẽ có { Điều này mâu thuẫn với giả thuyết. Vậy phải là góc nhọn. Ta được : nên 2 vế của 2 bất đẳng thức và đều dương. Do đó { Vì nên . Vậy . Từ ta có Mặt khác, do hàm số nghịch biến trong khoảng nên từ ta có { { { { Bài 18: Chứng minh rằng tam giác đều nếu thỏa mãn hệ thức (ĐH Kiến Trúc Hà Nội 1997) (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1997) (ĐH Sư Phạm Vinh 1999) www.VNMATH.com
    71. 175. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 169 Như vậy, . Tóm lại, ta chứng minh được tam giác đều. b. Ta có : www.VNMATH.com
    72. 179. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 173 Theo đẳng thức cơ bản, ta có : Do đó, Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy thì : √ Suy ra √ √ Trong khi đó : √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Vậy tam giác đều. b. Theo đẳng thức cơ bản, ta có : Do đó, giả thuyết tương đương với Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : { √ √ √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Vậy tam giác đều. c. Ta có : ( ) www.VNMATH.com
    73. 180. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 174 Do đó, giả thuyết tương đương với Do đó, giả thuyết tương đương với Mặt khác : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ệ ủ ươ ệ ủ ươ ệ ủ ươ Bài 24: Nhận dạng tam giác nếu biết rằng Và √ www.VNMATH.com
    74. 188. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 182 Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √( ) ( √ )( √ ) √ Do đó, ( ) ( ) ( ) ( ) Do đó, Mặt khác, theo định lý hàm số sin, ta lại có : Nên Ta biết rằng Điều này không thể xảy ra. Vậy không tồn tại tam giác thỏa mãn hai hệ thức đã cho. b. Từ giả thuyết, ta viết lại thành Theo định lý các hình chiếu và định lý hàm số cos, ta có : { Do đó, giả thuyết tương đương với Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : www.VNMATH.com
    75. 190. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 184 Nên Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có : Do đó, dấu xảy ra khi và chỉ khi . Vậy tam giác đều, có độ dài các cạnh bằng . c. Hệ đã cho được viết lại thành { Xét , ta đặt . Khi đó : Ta xét hàm số Do đó, hàm số đồng biến. Ta thấy là nghiệm của phương trình và là hàm hằng nên là nghiệm duy nhất của phương trình. Suy ra : Xét , ta đặt . Khi đó : Ta xét hàm số Suy ra và là hai nghiệm duy nhất của phương trình. Với thì . Với thì (vô lý). Vậy tam giác đều. d. Theo các đẳng thức cơ bản, ta có : { Kết hợp với giả thuyết, ta suy ra www.VNMATH.com
    76. 191. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 185 Tương đương tam giác nhọn. Giả sử : { Theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có : Ta viết lại bất đẳng thức trên thành Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Vậy tam giác đều. Giải: a. Theo định lý hàm số cos, ta có : { Do đó, giả thuyết tương đương với Theo định lý hàm số sin, ta viết hệ thức trên thành Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : Suy ra : ( ) Ta xét hàm số ( ) ( ) ( ) Bài 29: Xác định hình dạng của tam giác có 3 góc thỏa mãn (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) www.VNMATH.com
    77. 197. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 191 √ Từ bảng biến thiên, ta được √ Do đó, ( ) √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi { Vậy tam giác đều. – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.3.1. Tính các góc của tam giác nếu nó thỏa mãn (ĐH Công Đoàn 2001) (ĐH Vinh 2000) (ĐH An Ninh 2000) { √ (ĐH Ngoại Thương chúng tôi 1998) www.VNMATH.com
    78. 198. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 192 { { } 3.3.2. Hãy xác định các góc của tam giác , biết rằng √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) 3.3.3. Tính các góc của tam giác nhọn biết (Đề nghị Olympic 30-4, 2007) 3.3.4. Tính số đo các góc của tam giác có diện tích và các cạnh thỏa mãn hệ thức : (√ ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) 3.3.5. Tính diện tích tam giác , biết rằng 3.3.6. Cho tam giác có các góc thỏa mãn Tính . 3.3.7. Chứng minh tam giác cân khi các góc thỏa mãn hệ thức www.VNMATH.com
    79. 199. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 193 { 3.3.8. Chứng minh tam giác vuông khi nó thỏa mãn hệ thức ( ) √ 3.3.9. Chứng minh rằng tam giác đều nếu nó thỏa mãn hệ thức www.VNMATH.com
    80. 200. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 194 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( √ )( √ ) { { 3.3.10. Cho tam giác nhọn thỏa điều kiện www.VNMATH.com
    81. 201. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 195 Chứng minh rằng tam giác là tam giác đều. (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) 3.3.11. Nhận dạng đặc điểm của tam giác nếu biết √ √ √ √ √ √ √ – GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.3.1. a. Theo đẳng thức cơ bản, giả thuyết tương đương với www.VNMATH.com
    82. 202. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 196 (Tam giác đều) b. Biến đổi tương đương, chú ý xét trường hợp và (Tam giác có góc ) c. Theo đẳng thức cơ bản, ta có (Tam giác có góc ) d. Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √ √ Theo định lý hàm số sin, ta lại có : √ Suy ra ( √ ) √ (Tam giác vuông cân ở ) e. Từ giả thuyết ta suy ra tam giac không tù. Do đó { { (Tam giác vuông cân ở hoặc ở hoặc đều) 3.3.2. ế [ ] √ ẫ Do đó, ( ) ( ) Giả sử , chỉ có thể xảy ra khả năng ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) Theo bất đẳng thức Jensen, ta có : www.VNMATH.com
    83. 203. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 197 ( ) √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi { { 3.3.3. Áp dụng đẳng thức cơ bản : Khi đó giả thuyết tương đương với Ta sẽ xét hàm số ( ) ậ ả ế ( ) ( ) 3.3.4. Theo bất đẳng thức Cauchy, với ta có : (Dấu xảy ra khi và chỉ khi và ) √ √ Do √ √ ( √ ) ( √ ) √ √ Khi đó, chọn , ta có : (√ ) www.VNMATH.com
    84. 204. Chương 3 : Hệ thức lượng trong tam giác 198 Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác cân tại và góc . 3.3.10. Đề đã cho được viết lại Ta sẽ chứng minh : ( ) ( ) ( ) Ta đặt : { { Do đó, điều cần chứng minh tương đương với ( ) ( ) ( ) www.VNMATH.com

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Về Phương Trình Lượng Giác Có Lời Giải
  • Chương Iii. §6. Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình: Lý Thuyết Và Các Dạng Bài Thường Gặp
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 9
  • Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Hệ Phương Trình Lớp 9 Có Đáp Án
  • Phương Trình Lượng Giác Chứa Căn Và Phương Trình Lượng Giác Chứa Giá Trị Tuyệt Đối

    --- Bài mới hơn ---

  • Kiến Thức Cơ Bản Đại Số Lớp 10: Phương Trình Và Hệ Phương Trình
  • Tính Toán Ma Trận Và Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Mathematica
  • Chuyên Đề “Phương Trình Nghiệm Nguyên”
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa – Khử – Du Học & Lao Động
  • PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH

    LƯỢNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

    A) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN

    Cách giải : Áp dụng các công thức

    A 0 B

    A B

    0

    A B A

    ≥ ≥⎧ ⎧= ⇔ ⇔⎨ ⎨ B= =⎩ ⎩

    2

    B 0

    A B

    A B

    ≥⎧= ⇔ ⎨ =⎩

    Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng

    giác nên ta xử lý điều kiện B bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ 0≥

    các bài toán quá phức tạp.

    Bài 138 : Giải phương trình ( )5cos x cos2x 2sin x 0 *− + =

    ( )* 5cos x cos2x 2sin x⇔ − = −

    2

    sin x 0

    5cos x cos2x 4sin x

    ≤⎧⇔ ⎨ − =⎩

    ( ) (2 2

    sin x 0

    5cos x 2cos x 1 4 1 cos x

    ≤⎧⎪⇔ ⎨ − − = −⎪⎩ )

    = 2

    sin x 0

    2cos x 5cos x 3 0

    ≤⎧⇔ ⎨ + −⎩

    ( )

    sin x 0

    1cos x cos x 3 loại

    2

    ≤⎧⎪⇔ ⎨ = ∨ = −⎪⎩

    ≤⎧⎪⇔ π⎨ = ± + π ∈⎪⎩

    π⇔ = − + π ∈

    sin x 0

    x k2 , k

    3

    x k2 , k

    3

    Bài 139 : Giải phương trình

    3 3 3 3sin x cos x sin x cot gx cos xtgx 2sin2x+ + + =

    Điều kiện :

    cos x 0

    sin 2x 0

    sin x 0 sin 2x 0

    sin 2x 0

    sin2x 0

    Lúc đó :

    ( ) 3 3 2 2* sin x cos x sin x cos x cos xsin x 2sin2x⇔ + + + =

    ( ) ( )2 2sin x sin x cos x cos x cos x sin x 2sin2x⇔ + + + =

    ( ) ( )2 2sin x cos x sin x cos x 2sin 2x⇔ + + =

    ( )2

    sin x cos x 0

    sin x cos x 2sin2x

    + ≥⎧⎪⇔ ⎨ + =⎪⎩

    ( )

    sin x 02 sin x 0

    44

    sin2x 1 nhận do sin2x 01 sin2x 2sin2x

    ( )

    ⎧ π ⎧ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨π π π⎪ ⎪= + π ∈ = + π ∨ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

    sin x 0 sin x 0

    4 4

    5x k , k x m2 x m2 loại , m

    4 4 4

    π⇔ = + π ∈ x m2 ,m

    4

    Bài 140 : Giải phương trình ( )π⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

    21 8sin chúng tôi 2x 2sin 3x *

    4

    +

    Ta có : (*)

    2 2

    sin 3x 0

    4

    1 8sin2x cos 2x 4sin 3x

    4

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π⎛ ⎞⎪ + = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ +

    ( )

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π⎡ ⎤⎪ + + = − +⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

    sin 3x 0

    4

    1 4 sin 2x 1 cos 4x 2 1 cos( 6x )

    2

    ( ) (

    sin 3x 0

    4

    1 4sin2x 2 sin6x sin2x 2 1 sin6x

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎪ ⎜ ⎟⇔ ⎝ ⎠⎨⎪ + + − = +⎩ )

    ⎧ π ⎧ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨ π π⎪ ⎪= = + π ∨ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

    sin 3x 0 sin 3x 0

    4 4

    1 5sin 2x x k x k , k

    2 12 12

    So lại với điều kiện sin 3x 0

    4

    π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

    Khi x k thì

    12

    π• = + π

    sin 3x sin 3k cosk

    4 2

    π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ⎡= ⎢−⎢⎣

    1 , nếu k chẵn nhận

    1, nếu k lẻ loại

    π• = + π5Khi x k thì

    12

    π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = + π = − + π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

    3sin 3x sin 3k sin k

    4 2 2

    ⎞⎟⎠

    ( )

    ( )

    −⎡= ⎢⎢⎣

    1,nếu k chẵn loại

    1, nếu k lẻ nhận

    Do đó ( ) ( )π π⇔ = + π ∨ = + + π ∈ 5* x m2 x 2m 1 ,m

    12 12

    Bài 141 : Giải phương trình ( )1 sin2x 1 sin2x 4cos x *

    sin x

    − + + =

    Lúc đó : ( )* 1 sin2x 1 sin2x 2sin2x⇔ − + + =

    ( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 )

    2 22 2 1 sin 2x 4sin 2x

    sin2x 0

    ⎧⎪ + − =⇔ ⎨ ≥⎪⎩

    2 21 sin 2x 2sin 2x 1

    sin2x 0

    ⎧⎪ − =⇔ ⎨ ≥⎪⎩

    2 4 2

    2

    1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1

    1sin 2x

    2

    sin2x 0

    ⎧ − = −⎪⎪⇔ ≥⎨⎪ ≥⎪⎩

    +

    ( )2 2sin 2x 4sin 2x 3 0

    1sin 2x

    2

    ⎧ − =⎪⇔ ⎨ ≥⎪⎩

    ⎧ −= ∨ =⎪⎪⇔ ⎨⎪ ≥⎪⎩

    3 3sin 2x sin 2x

    2 2

    2sin 2x

    2

    3sin2x

    2

    ⇔ =

    π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ 22x k2 2x k2 , k

    3 3

    π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ x k x k , k

    6 3

    Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trị tuyệt đối

    ( ) ≠⎧⎪⇔ ⎨ − + + =⎪⎩

    ⇔ − + + =

    sin x 0

    *

    cos x sin x cos x sin x 2sin 2x

    cos x sin x cos x sin x 2sin 2x

    Bài 142 : Giải phương trình ( )+ + + =sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 *

    Đặt

    sin

    3t sin x 3 cos x sin x cos x

    cos

    3

    π

    = + = + π

    1t sin x 2sin x

    3 3cos

    3

    π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

    ( ) + =* thành t t 2

    ⇔ = −

    − ≥ ≤⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨= − + − + =⎩ ⎩

    ≤⎧⇔ ⇔ =⎨ = ∨ =⎩

    2 2

    t 2 t

    2 t 0 t 2

    t 4 4t t t 5t 4 0

    t 2

    t 1

    t 1 t 4

    Do đó ( ) *

    π π π π π⎛ ⎞⇔ + = ⇔ + = + π + = + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

    1 5sin x x k2 hay x k2 , k

    3 2 3 6 3 6

    π π⇔ = − + π ∨ = + π ∈ x k2 x k2 , k

    6 2

    Bài 143 : Giải phương trình

    ( ) ( ) ( )+ + = +3 tgx 1 sin x 2 cos x 5 sin x 3cos x *

    Chia hai vế của (*) cho cos x 0≠ ta được

    ( ) ( ) ( )* 3 tgx 1 tgx 2 5 tgx 3⇔ + + = +

    Đặt u tgx 1 với u= + ≥ 0

    x

    Thì 2u 1 tg− =

    (*) thành ( ) ( )2 23u u 1 5 u 2+ = +

    3 23u 5u 3u 10 0⇔ − + − =

    ( ) ( )2u 2 3u u 5 0⇔ − + + =

    ( )2u 2 3u u 5 0 vô nghiệm⇔ = ∨ + + =

    Do đó ( ) ⇔* tgx 1 2+ =

    tgx 1 4⇔ + =

    tgx 3 tg với

    2 2

    π π⎛ ⎞⇔ = = α − < α <⎜ ⎟⎝ ⎠ ,x k kα π⇔ = + ∈

    Bài 144 : Giải phương trình ( ) ( )11 cos x cos x cos2x sin4x *2− + =

    ( ) ( )* 1 cos x cos x cos2x sin 2x cos2x⇔ − + =

    ≥⎧⇔ − +⎨ =⎩

    cos x 0

    hay 1 cos x cos x sin 2x

    cos 2x 0

    =

    ⎧ ≥≥⎧ ⎪⎪⇔ ≥⎨ ⎨π= + π ∈⎪ ⎪⎩ + − =⎩

    2

    cos x 0cos x 0

    hay sin 2x 0

    2x k , k

    2 1 2 (1 cos x)cosx sin 2x

    ⎧ ≥≥⎧ ⎪⎪⇔ ≥⎨ ⎨π π= + ∈⎪ ⎪⎩ + − = ≥ ≥⎩

    2

    cos x 0cos x 0

    hay sin 2x 0

    x k , k

    4 2 1 2 (1 cos x)cosx sin 2x ( VT 1 VP )

    ≥⎧≥ ⎪⎧ ≥⎪ ⎪⇔ ⎨ ⎨π π= ± + π = ± + π ∈ =⎪ ⎪⎩ ⎪ − =⎩

    2

    cos x 0

    cos x 0 sin 2x 0

    hay5x h hay x h , h sin 2x 1

    4 4

    (1 cos x ) cos x 0

    π⇔ = ± + π ∈

    = =⎧ ⎧⎨ ⎨= ⇒ = = ⇒ = ⇒ =⎩ ⎩

    x h , h

    4

    sin 2x 1 sin 2x 1

    hay hay

    cos x 0 ( sin 2x 0 ) cos x 1 ( sin x 0 sin 2x 0 )

    π⇔ = ± + π ∈ x h , h

    4

    Bài 145 : Giải phương trình ( ) ( ) ( )3 3sin x 1 cot gx cos x 1 tgx 2 sin x cos x *+ + + =

    ( ) 3 3sin x cos x cos x sin x* sin x cos x 2 sin x cos

    sin x cos x

    + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x

    ( ) ( )2 2sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x⇔ + + =

    sin x cos x 0

    1 sin2x 2sin2x

    + ≥⎧⇔ ⎨ + =⎩

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪+ ≥⎧ ⎪ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨= π⎩ ⎪ = + π ∈⎪⎩

    sin x 0sin x cos x 0 4

    sin 2x 1

    x k , k

    4

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π⎪ + = + π ∈⎪⎩

    sin x 0

    4

    x k , k

    4 2

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π π π⎪ + = + π + = + π ∈⎪⎩

    sin x 0

    4

    3x h2 hay x h2 , h

    4 2 4 2

    π⇔ = + π ∈ x h2 , h

    4

    Bài 146 : Giải phương trình ( )cos2x 1 sin2x 2 sin x cos x *+ + = +

    Điều kiện cos2x 0và sin x 0

    4

    π⎛ ⎞≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥

    Lúc đó : ( ) ( )22 2* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔ − + + = +

    ( ) ( )2 22 2cos x sin x cos x sin x 2 cos2x cos x sin x⇔ − + + + +

    ( )4 sin x cos x= +

    ( ) ( ) ( )cos x cos x sin x sin x cos x cos2x 2 sin x cos x⇔ + + + = +

    sin x cos x 0

    cos x cos2x 2

    + =⎡⇔ ⎢ + =⎣

    ( )

    tgx 1

    cos2x 2 cos x * *

    = −⎡⇔ ⎢ = −⎢⎣

    2

    tgx 1

    cos2x 4 4cos x cos x

    = −⎡⇔ ⎢ = − +⎣

    2tgx 1 cos x 4cosx 5 0⇔ = − ∨ + − =

    ( )tgx 1 cos x 1 cos x 5 loại⇔ = − ∨ = ∨ = −

    π⇔ = − + π ∨ = π ∈ x k x k2 , k

    4

    Thử lại : ( )π π⎛ ⎞• = − + π = − =⎜ ⎟⎝ ⎠x k thì cos2x cos 0 nhận4 2

    Và ( )sin x sin k 0 nhận

    4

    π⎛ ⎞+ = π =⎜ ⎟⎝ ⎠

    ( )• = π =x k2 thì cos 2x 1 nhận

    và ( )cos x cos 0 nhận

    4 4

    Do đó (*) π⇔ = − + π ∨ = π ∈ x k x k2 , k

    4

    Chú ý : Tại (**) có thể dùng phương trình lượng giác không mực

    ( ) cos x cos2x 2* *

    sin x cos x 0

    ⎧ + =⎪⇔ ⎨ + ≥⎪⎩

    2

    cos x 1

    cos2x 2cos x 1 1

    sin x cos x 0

    =⎧⎪⇔ = −⎨⎪ + ≥⎩

    =

    π ∈

    =⎧⇔ ⇔ =⎨ + ≥⎩

    cos x 1

    x 2k , k

    sin x cos x 0

    Cách khác

    ( ) ( )22 2* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔ − + + = +

    ( )⇔ + − + + = +2(cos x sin x).(cos x sin x ) cos x sin x 2 cos x sin x

    ( )

    cos x sin x 0

    cos x sin x 0 hay

    cos x sin x cos x sin x 2

    cos x sin x 0

    tgx 1 hay

    2cos x 2 cos 2x 4

    cos x sin x 0

    tgx 1 hay

    cos x cos 2x 2

    =⎧π⇔ = − + π ∈ ⎨ =⎩

    cos x 1

    x k , k hay

    cos 2x 14

    π⇔ = − + πx k hay = π ∈

    4

    x 2k , k

    BÀI TẬP

    1. Giải phương trình :

    a/ 1 sin x cosx 0+ + =

    b/

    2

    2

    4xcos cos x

    3 0

    1 tg x

    =−

    c/ sin x 3 cos x 2 cos2x 3 sin 2x+ = + +

    d/ 2sin x 2sin x 2 2sin x 1− + = −

    e/ = −−

    3tgx2 3sin x 3

    2 sin x 1

    f/

    2 4sin 2x cos 2x 1 0

    sin cos x

    + − =

    g/ + − + =28 cos 4x cos 2x 1 cos 3x 1 0

    h/ 2sin x sin x sin x cosx 1+ + + =

    k/ 25 3sin x 4 cos x 1 2cos x− − = −

    l/ 2cos2x cos x 1 tgx= +

    2. Cho phương trình :

    ( )1 sin x 1 sin x mcos x 1+ + − =

    a/ Giải phương trình khi m = 2

    b/ Giải và biện luận theo m phương trình (1)

    3. Cho f(x) = 3cos62x + sin42x + cos4x – m

    a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 0

    b/ Cho ( ) 2 2g x 2cos 2x 3cos 2x 1= + . Tìm tất cả các giá trị m để phương

    trình f(x) = g(x) có nghiệm.

    ( )ĐS : 1 m 0≤ ≤

    4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

    1 2cosx 1 2sin x m+ + + =

    ( )ĐS : 1 3 m 2 1 2+ ≤ ≤ +

    B) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI

    Cách giải : 1/ Mở giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa

    2/ Áp dụng

    A B A• = ⇔ = ±B

    ≥≥ ≥⎧⎧ ⎧• = ⇔ ⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨ <⎧= ± ==⎩ ⎩⎩ 2 2

    B 0B 0 A 0 A 0

    A B = −⎩A B A BA B A B

    Bài 147 : Giải phương trình ( )cos3x 1 3 sin3x *= −

    ( )

    2 2

    1 3 sin3x 0

    *

    cos 3x 1 2 3 sin3x 3sin 3x

    ⎧ − ≥⎪⇔ ⎨ = − +⎪⎩

    ⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − = − +⎩ 2 2

    1sin 3x

    3

    1 sin 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x

    ⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − =⎩ 2

    1sin 3x

    3

    4 sin 3x 2 3 sin 3x 0

    ⎧ ≤⎪⎪⇔ ⎨⎪ = ∨ =⎪⎩

    1sin 3x

    3

    3sin 3x 0 sin 3x

    2

    ⇔ =

    π⇔ = ∈

    sin 3x 0

    kx , k

    3

    Bài 148 : Giải phương trình ( )3sin x 2 cos x 2 0 *+ − =

    ( )* 2 cos x 2 3sin⇔ = − x

    2 2

    2 3sin x 0

    4cos x 4 12sin x 9sin x

    − ≥⎧⇔ ⎨ = − +⎩

    ( )

    ⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − = − +⎩ 2 2

    2sin x

    3

    4 1 sin x 4 12sin x 9sin x

    ⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − =⎩ 2

    2sin x

    3

    13sin x 12sin x 0

    ⎧ ≤⎪⎪⇔ ⎨⎪ = ∨ =⎪⎩

    2sin x

    3

    12sin x 0 sin x

    13

    ⇔ =

    ⇔ = π ∈

    sin x 0

    x k , k

    Bài 149 : Giải phương trình ( )sin x cos x sin x cos x 1 *+ + =

    Đặt t sin x cos x 2 sin x

    4

    π⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

    Với điều kiện : 0 t 2≤ ≤

    Thì 2t 1 2sin xcos= + x

    Do đó (*) thành :

    2t 1 t 1

    2

    − + =

    ( )

    2t 2t 3 0

    t 1 t 3 loại

    ⇔ + − =

    ⇔ = ∨ = −

    Vậy ( ) ⇔* 21 1 2sin xcos= + x

    ⇔ =

    π⇔ = ∈

    sin 2x 0

    kx , k

    2

    Bài 150 : Giải phương trình ( )sin x cos x 2sin 2x 1 *− + =

    Đặt ( )t sin x cos x điều kiện 0 t 2= − ≤ ≤

    Thì 2t 1 sin2= − x

    ( ) ( )2* thành: t 2 1 t 1+ − =

    ( )

    22t t 1 0

    1t 1 t loại dođiều kiện

    2

    ⇔ − − =

    ⇔ = ∨ = −

    khi t = 1 thì 21 1 sin2= − x

    ⇔ =

    π⇔ = ∈

    sin 2x 0

    kx , k

    2

    Bài 151 : Giải phuơng trình ( )4 4sin x cos x sin x cos x *− = +

    ( ) ( ) ( )2 2 2 2* sin x cos x sin x cos x sin x cos x⇔ + − = +

    cos2x sin x cos x⇔ − = +

    2

    cos2x 0

    cos 2x 1 2 sin x cos x

    − ≥⎧⎪⇔ ⎨ = +⎪⎩

    2

    cos2x 0

    1 sin 2x 1 sin2x

    ≤⎧⎪⇔ ⎨ − = +⎪⎩

    2

    cos2x 0

    sin2x sin 2x

    ≤⎧⎪⇔ ⎨ = −⎪⎩

    cos2x 0

    sin2x 0

    ≤⎧⇔ ⎨ =⎩

    2

    cos2x 0

    cos2x 1

    cos 2x 1

    ≤⎧⇔ ⇔⎨ =⎩

    = −

    π⇔ = + π ∈ x k , k

    2

    Bài 152 : Giải phương trình ( )23 sin2x 2cos x 2 2 2cos2x *− = +

    Ta có : ( ) ( )2 2* 2 3 sin x cos x 2cos x 2 2 2 2cos x 1⇔ − = + −

    3 1cos x sin x cos x cos x

    2 2

    ⎛ ⎞⇔ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

    =

    cos chúng tôi x cos x

    6

    π⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

    cos x 0 cos x 0

    cos x 0

    sin x 1 sin x 1

    6 6

    > <⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ∨ ∨π π⎨ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩ = −

    > <⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ∨ ∨π π π π⎨ ⎨− = + π ∈ − = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

    cos x 0 cos x 0

    cos x 0

    x k2 , k x k2 , k

    6 2 6 2

    > <⎧ ⎧π ⎪ ⎪⇔ = + π ∈ ∨ ∨π π⎨ ⎨= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

    cos x 0 cos x 0

    x k , k 22 x k2 , k x k2 , k

    3 3

    π⇔ = + π ∈ x k , k

    2

    Bài 153 : Tìm các nghiệm trên ( )0,2π của phương trình :

    ( )sin3x sin x sin2x cos2x *

    1 cos2x

    − = +−

    Ta có : ( ) 2cos2xsin x* 2 co

    42 sin x

    s 2x π⎛ ⎞⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠−

    Điều kiện : sin x 0 x k≠ ⇔ ≠ π

    ( )* 2 cos2x 2 cos 2x

    4

    π⎛ ⎞⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠−

    ( )

    π⎛ ⎞⇔ = ± − + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

    π⇔ = + π ∈

    π π⇔ = + ∈

    π π∈ π = =

    2x 2x k2 , k

    4

    4x k2 , k

    4

    kx , k

    16 2

    9Do x 0, nên x hay x

    16 16

    Khi ( )x ,2∈ π π thì sinx < 0 nên :

    ( )

    ( )

    ( )

    π⎛ ⎞⇔ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

    π⎛ ⎞⇔ π − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

    π⇔ − = ± π − + π ∈

    π⇔ = + π ∈

    π π⇔ = + ∈

    * cos 2x cos 2x

    4

    cos 2x cos 2x

    4

    2x 2x k2 , k

    4

    54x k2 , k

    4

    5 kx , k

    16 2

    Do ( )x ,2∈ π π π π= ∨ = •21 29nên x x

    16 16

    Bài 154 Cho phương trình : 6 6sin x cos x a sin 2x (*)+ =

    Tìm a sao cho phương trình có nghiệm.

    Ta có :

    ( ) ( )

    ( )

    + = + − +

    = + −

    = −

    6 6 2 2 4 2 2 4

    22 2 2 2

    2

    sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x

    sin x cos x 3sin x cos x

    31 sin 2x

    4

    Đặt t = sin 2x điều kiện 0 t 1≤ ≤

    thì (*) thành : ( )− =231 t at * *

    4

    1 3 t a

    t 4

    ⇔ − = (do t = 0 thì (**) vô nghiệm)

    Xét ( ]= − =1 3y t trên D

    t 4

    0,1

    thì 2

    1 3y ‘ 0

    t 4

    = − − <

    Do đó : (*) có nghiệm 1a

    4

    ⇔ ≥ •

    Bài 155 Cho phương trình ( )= +2cos 2x m cos x 1 tgx *

    Tìm m để phương trình có nghiệm trên 0,

    3

    π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

    Đặt t = tgx thì

    Vậy : (*) thành: ( )21 t m 1 t * *− = + (chia 2 vế cho ) 2cos 0≠

    Khi 0 x

    3

    π≤ ≤ thì t 0, 3⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦

    Vậy (**)

    ( ) ( ) ( )2 1 t 1 t1 tm 1

    1 t 1 t

    − +−⇔ = = = − ++ + t 1 t

    Xét ( )y 1 t 1 t trên 0, 3⎡ ⎤= − + ⎣ ⎦

    Ta có

    ( ) ( ) ( )− − + + −= − + + =+ +

    − − ⎡ ⎤⇔ = < ∀ ∈ ⎣ ⎦+

    1 t 2 1 t 1 t

    y ‘ 1 t

    2 1 t 2 1 t

    3t 1y ‘ 0 t 0, 3

    2 1 t

    Do đó : (*) có nghiệm trên 0,

    3

    π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )1 3 1 3 m 1⇔ − + ≤ ≤ •

    BÀI TẬP

    1. Giải các phương trình

    2

    2

    a/ sin x cox 1 4sin2x

    b/ 4sin x 3 cos x 3

    1c/ tgx cot gx

    cos x

    1 1 1 1 3cosd/ 2 2

    sin x 1 cos x 1 cos x sin x

    1e/ cot gx tgx

    sin x

    f/ 2cos x sin x 1

    1 cos x 1 cos xg/ 4sin x

    cos x

    1 cos2x 1h/ 2 cos x

    sin x 2

    m/ cos2x 1

    − = −

    + =

    = +

    ⎛ ⎞++ − = − ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠

    = +

    − =

    + + − =

    − ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

    + +

    x

    3 3

    2

    sin x cos xsin2x

    2

    n/ cos x sin3x 0

    1r/ cot gx tgx

    sin x

    s/ cos x 2sin2x cos3x 1 2sin x cos2x

    tg x 1o/ tgx 1

    tgx 1 tgx 1

    p/ sin x cos x sin x cos x 2

    +=

    + =

    = +

    + − = + −

    = + +− −

    − + + =

    2. sin x cos x a sin 2x 1+ + =

    Tìm tham số a dương sao cho phương trình có nghiệm

    3. Cho phương trình: sin x cos x 4sin 2x m− + =

    a/ Giải phương trình khi m = 0

    b/ Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS 652 4 m

    16

    − ≤ ≤ )

    Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi ĐH Vĩnh Viễn)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Bài Tập Vận Dụng
  • Chuyên Đề: Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • Các Bài Toán Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích.
  • Kmno4 + Hcl = Kcl + Mncl2 + Cl2 + H2O
  • Kmno4 = O2 + Mno2 + K2Mno4
  • Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác

    --- Bài mới hơn ---

  • Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết
  • Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Giải 9 Bài Pt Mũ & Log Bằng Ẩn Số Phụ
  • 9 Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Đề Tài:phương Pháp Giải Pt Nghiệm Nguyên
  • Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác

    A. Phương pháp giải

    + Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .

    + Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình

    + Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình ; bất phương trình lượng giác đã được học

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1. Cho f(x)= sin 2x. Giải phương trình f’ ( x)=0?

    Hướng dẫn giải

    + Ta có đạo hàm: f,m ‘ (x)=2cos2x

    + Để f’ ( x)=0 ⇔ 2.cos2x= 0 hay cos2x= 0

    A. x≠π/6+kπ B. x≠π/6+k2π C. x≠π/3+kπ D. Tất cả sai

    Hướng dẫn giải

    + Điều kiện : x+ π/3≠π/2+kπ hay x≠π/6+kπ

    + Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:

    Ví dụ 3. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y’=0

    Hướng dẫn giải

    Ví du 4. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y’=0

    Hướng dẫn giải

    Ví du 5. Cho hàm số: y=2 cos⁡( 2x- π/3). Giải phương trình y’=4

    Hướng dẫn giải

    Đạo hàm của hàm số đã cho :

    Ví dụ 6 Cho hàm số y= x+ sin 2x. Giải phương trình y’= 0

    Hướng dẫn giải

    Đạo hàm của hàm số là : y’=1+2cos2x

    Hướng dẫn giải

    Hàm số đã cho xác định với mọi x.

    Ta có đạo hàm: y’=3+2sin2x

    Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤sin⁡2x ≤1 ⇔ – 2 ≤2sin2x ≤2

    ⇔ ≤3+2sin2x ≤5

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.

    Chọn D.

    Ví dụ 8. Cho hàm số y=x 3+ 3x+ sin 3 x. Giải bất phương trình y’ ≥0

    Hướng dẫn giải

    Ta có đạo hàm: y’=3x 2+ 3+ 3sin 2 x. cosx

    Với mọi x ta có; cosx ≥ – 1 ⇒ 3sin 2 x.cosx ≥ – chúng tôi 2 x

    ⇒ 3+ 3sin 2x.cosx ≥ 3- chúng tôi 2 x ⇔ 3+ 3sin 2x.cosx ≥ chúng tôi 2 x ( 1)

    Lại có 3x 2 ≥0 ∀ x (2)

    Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:

    Vậy với mọi x ta luôn có: y’ ≥0

    Chọn C.

    Ví dụ 9. Cho hàm số y= cos( 2π/3+2x) . Khi đó phương trình y’=0 có nghiệm là:

    Hướng dẫn giải

    Chọn B.

    Ví dụ 10.Cho hàm số y= cot 2 π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y’=0 là:

    Hướng dẫn giải

    Ví dụ 11. Cho hàm số : y= 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y’= 0

    Hướng dẫn giải

    Ta có đạo hàm : y’= -6 sin⁡3x-6cos2x

    Để y’= 0 thì – 6 sin 3x – 6 cos2x= 0

    ⇔sin3x+ cos2x= 0 ⇔ sin3x= – cos2x

    C. Bài tập vận dụng

    Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f’ ( x)=0?

    Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx – 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y’=0

    Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y’=0

    Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos⁡( 4x- π/6). Giải phương trình y’=1

    Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y’= 2

    A. x=π/3+kπ B. x=π/6+kπ C. x=kπ/2 D. x=kπ

    Câu 7: Cho hàm số y= x 3 +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^’ ≤0

    Ta có đạo hàm: y’=3x 2+3+3cos3x

    ⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)

    Chọn B. .

    Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin 2 x. Giải bất phương trình y’≥0

    Điều kiện: x ≥0

    Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2

    Câu 10: Cho hàm số y= tan( x 3 + 3x 2+ 3x+ 9). Giải phương trình y’=0?

    A. x= 0 B. x = 2 C. x= -1 D. Đáp án khác

    + Điều kiện cos⁡( x 3+3x 2+3x+9)≠0

    Chọn C.

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay Giải Nhanh Trắc Nghiệm Lượng Giác
  • Cách Tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Tích Của Chúng
  • Phương Trình Bậc Hai, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Pt Chuyen De Phuong Trinh Bac Hai Dinh Ly Viet Giai Bai Toan Docx
  • Luyện Tập Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Phương Trình Bậc Hai Trong Java
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác Có Điều Kiện
  • Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp
  • Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Toán Lớp 11
  • Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Lý Thuyết Hệ Phương Trình Có Cấu Trúc Đặc Biệt Toán 10
  • Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa va thì cần điều kiện để và có nghĩa. Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản . Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại. 1.1-Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. a) Giải và biện luận phương trình (1) Do nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt. -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= . Ta có: Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt. Ví dụ 1: Giải phương trình Giải: Ta nhận thấy không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt = Khi đó ta có: Vậy phương trình có 2 họ ngiệm Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Do nên Vậy phương trình có hai họ nghiệm . b) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng đi biện luận (b) theo m Bước 1: Nếu phương trình vô nghiệm . Bước 2: Nếu ta xét 2 khả năng: -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt, giả sử góc. Khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt khi đó đặt = .Ta có: Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: Do nên Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Vì và không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc sao cho Ta có: Vậy phương trình có hai họ nghiệm . c) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình Giải : Do nên ta có: Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt . Từ đó ta có Vậy phương trình có một họ nghiệm. d) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng đi biện luận theo Bước1: Đặt điều kiện Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (1) Giải: Điều kiện (*) Ta có: (1) Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Ta nhận thấy nên ta có Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức. 1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp. 1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng 1: (1) Cách giải: Đặt , điều kiện Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo , giải tìm chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm Dạng 2: (2) Cách giải: Đặt điều kiện ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo , giải tìm rồi tìm Dạng 3: (3) Cách giải: Điều kiện Đặt ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo , chú ý khi tìm được nghiệm cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: (4) Cách giải: Điều kiện Đặt . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Phương trình (1) Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện Ta có: Ta thấy không thoả mãn điều kiện. Do đó (*) Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2 Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: Bài 6: Giải phương trình: Bài 7: Giải phương trình: Bài 8: Giải phương trình Bài 9: Giải phương trình 1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với a)Định nghĩa: Phương trình trong đó a, b, c và được gọi là phương trình bậc nhất đối với b) Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước Bước 1:Kiểm tra -Nếu < phương trình vô nghiệm -Nếu khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho , ta được Vì nên tồn tại góc sao cho Khi đó phương trình (1) có dạng Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải Cách 2: Thực hiện theo các bước Bước 1: Với thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không? Bước 2: Với Đặt suy ra Khi đó phương trình (1) có dạng Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x. * Dạng đặc biệt: . . . Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng , và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác . Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1) Giải : Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho ta được Đặt . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng Vậy phương trình có 2 nghiệm Cách 2:-Ta nhận thấy là nghiệm của phương trình -Với . Đặt ,lúc đó Phương trình (1) sẽ có dạng Hay Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Ta biến đổi phương trình (2) Ta có: Suy ra < Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau Ví Dụ 3: Giải phương trình Giải : Cách 1:Thực hiện phép biến đổi (3) Đặt Phương trình (3) sẽ được viết thành Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai họ nghiệm Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn. Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt và ta cũng thu được nghiệm chẵn (*) trong đó là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 4: Giải phương trình: Giải: (4) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Bài tập: Giải các phương trình sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với và . a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với , là phương trình. (1) trong đó a, b, c, d b) Cách giải : Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử hoặc . Chẳng hạn nếu chia cho ta làm theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra: xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không? Bước 2: Với chia cả hai vế cho lúc đó phương trình (1) trở thành Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình đã cho về phương trình Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát trong đó Khi đó ta cũng làm theo 2 bước : Bước 1: Kiểm tra xem có phải là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Nếu .Chia cả hai vế của phương trình trên cho ta sẽ được phương trình bậc n theo . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : (1) Giải: Cách 1: Phương trình (1) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Cách 2: +) Thử với vào phương trình (1) ta có vô lí. Vậy không là nghiệm của phươngtrình. +)Với Chia cả hai vế của phương trình cho ta được Vậy phương trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải : Ta nhận thấy có thể biểu diễn được qua . Luỹ thừa bậc ba biểu thức ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải Phương trình (2) +) Xét với . Khi đó phương trình có dạng mâu thuẫn Vậy phương trình không nhận làm nghiệm +) Với . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho ta được : . Đặt phương trình có được đưa về dạng: Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình . Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất. Ví Dụ 3: Giải phương trình: (3) Giải : Điều kiện Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng : Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ta được : (do vô nghiệm) nên: Phương trình (*) Vậy phương trình có một họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Đặt ta được : Vậy phương trình có một họ nghiệm Bài tập : Giải các phương trình sau : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1.2.4-Phương trình đối xứng đối với và . a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với và là phương trình dạng trong đó (1) b) Cách giải: Cách 1: Do nên ta đặt . Điều kiện Suy ra và phương trình (1) được viết lại: Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải Cách 2: Đặt thì nên phương trình (1) trở thành . Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình bằng cách đặt và lúc đó Ví Dụ Minh Hoạ : Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Cách 1: Đặt điều kiện . Lúc đó Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng Với không thoả mãn điều kiện nên (*) Cách 2: Đặt . Khi đó phương trình có dạng (*’) Ta thấy không thoả mãn Do đó (*’) Vậy phương trình có hai họ nghiệm *Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải phương trình Cách giải: Phương trình (1) có thể viết *Quy ước: Khi có nhiều dấu trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Ta có (2) Ta có (3) (4) (6) Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm. Bài toán 2: Giải phương trình: với (1) Cách giải: Ta có: Đến đây chúng ta đã biết cách giải Tương tự cho phương trình Ví Dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Điều kiện (3) Giải (4) Giải (5): Đặt (*) Suy ra . Phương trình (5) trở thành Kết hợp với điều kiện (*) thì bị loại Với ta có Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy phương trình có ba họ nghiệm Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2. Ví dụ 4: Giải phương trình: Giải : Ta có: Phương trình (1) có dạng Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Ví Dụ 5: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện: Phương trình (2) (loại) Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng và . * Phương trình có dạng Cách giải: Bước 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về dạng đại số Bước 2: Giải phương trình loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x Ví dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Phương trình (1) Đặt , phương trình (2) trở thành hay Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện Ta có: Phương trình (2) (3) Đặt , phương trình (3) có dạng Với thì nên (4) Suy ra ( thoả mãn điều kiện(2)). Vậy là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Bài tập:Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG. Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp. Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau: 1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp. Ví Dụ: Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện (*) Khi đó (1) Thay vào (*) xem có thoả mãn hay không ? Suy ra không thoả mãn (*) . Vậy phương trình (1) vô nghiệm . 1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác). Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình. Ví Dụ: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện Khi đó phương trình (1) Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác. sin cos Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 1.3.3- Phương pháp đại số. Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số. * Ví Dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện Khi đó (1) Gía trị này là nghiệm của (1) nếu Điều này đúng vì là số lẻ còn là số chẵn Vậy nghiệm của phương trình là Bài tập: 1: Tìm các nghiệm thuộc của phương trình 2: Giải phương trình: 3: Giải phương trình: 4: Giải phương trình: 5: Giải phương trình: 6: Giải phương trình:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác Và Ứng Dụng (Nâng Cao)
  • Giáo Án Chủ Đề Tự Chọn 11 Tiết 7: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Trắc Nghiệm Lượng Giác (Kèm Lời Giải)
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Phương Trình Mũ Và Logarit File Word
  • Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác

    --- Bài mới hơn ---

  • Chương Iii. §3. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Học Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Cực Hay, Có Đáp Án
  • Chuyên Đề Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi công thức lượng giác thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

    1. Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác

    Khi giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác … để đưa về dạng góc cơ bản.

    Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $frac1{sin x} + frac1{sin left( {x – frac{{3pi }2} right)}}$ $ = 4sin left( frac{{7pi }4 – x} right).$

    b. $sin ^4x + cos ^4x$ $ = frac78cot left( x + frac{pi 3} right)cot left( frac{pi 6 – x} right).$

    c. $frac{{{sin ^4}2x + {cos ^4}2x}}{tan left( {frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right)}}$ $ = cos ^44x.$

    a. Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung $x – frac{3pi }2$ và $frac{7pi }4 – x$ mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa đưa $2$ cung này về cùng một cung $x$. Để làm được điều đó ta có thể sử dụng công thức cộng cung hoặc công thức về các góc đặc biệt.

    Điều kiện: $sin x ne 0$, $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne kfracpi 2,k in Z.$

    $PT Leftrightarrow frac1{sin x} + frac1{cos x}$ $ = – 2sqrt 2 left( cos x + sin x right)$ $ Leftrightarrow left( sin x + cos x right)left( sqrt 2 sin 2x + 1 right) = 0.$

    Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là: $x = – fracpi 4 + kpi $, $x = – fracpi 8 + kpi $, $x = frac{5pi }8 + kpi $ $left( k in Z right).$

    b. Điều kiện: $sin left( x + frac{pi 3} right).sin left( frac{pi 6 – x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos left( 2x + frac{pi 6} right) ne cos fracpi 2 = 0.$

    Do $left( x + frac{pi 3} right) + left( frac{pi 6 – x} right) = fracpi 2$ nên $PT Leftrightarrow sin ^4x + cos ^4x = frac78$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^22x = frac78$ $ Leftrightarrow sin 2x = pm frac12$. Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pm fracpi {12} + kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    c. Nhận xét: Từ tổng hai cung $left( frac{pi 4 – x} right) + left( frac{pi 4 + x} right) = fracpi 2$ nên $tan left( frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right) = 1.$

    Điều kiện 1: $cos left( frac{pi 4 – x} right)cos left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x + cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$

    Điều kiện 2: $sin left( frac{pi 4 – x} right)sin left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x – cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$

    $PT Leftrightarrow sin ^42x + cos ^42x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^24x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 2cos ^44x – cos ^24x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos ^24x = 1

    cos ^24x = – frac12left( loại right)

    endarray right.$ $ Leftrightarrow sin 4x = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    sin 2x = 0

    cos 2x = 0left( loại right)

    endarray right.$

    Vậy phương trình có nghiệm $x = kfracpi 2.$

    2. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức biến đổi tích thành tổng

    Khi giải phương trình lượng giác mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của $sin$ (hoặc $cos$) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích.

    a. Nhận xét: Bài có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số $sin$ (hàm số $cos$) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý: $x + 6x$ $ = 2x + 5x$ $ = 3x + 4x.$ Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích.

    $PT Leftrightarrow left( sin 6x + sin x right)$ $ + left( sin 5x + sin 2x right) + left( sin 4x + sin 3x right) = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin frac{7x}2left( cos frac{{5x}2 + cos fracx2 + cos frac{3x}2} right) = 0$ $ Leftrightarrow 4sin frac{7x}2cos frac{3x}2left( 2cos x + 1 right) = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm $x = frac{k2pi }7$, $x = fracpi 3 + frac{k2pi }3$, $x = pm frac{2pi }3 + k2pi $ $left( k in Z right).$

    b. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nhân ba của $sin$ và $cos$ nhưng lời giải sẽ phức tạp hơn. Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng.

    $PT Leftrightarrow frac12left( cos 4x + cos 2x right)cos ^2x$ $ + frac12left( cos 4x – cos 2x right)sin ^2x$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }8$

    $ Leftrightarrow cos 4xleft( {{sin ^2}x + {cos ^2}x} right)$ $ + cos 2xleft( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }4$ $ Leftrightarrow cos 4x + cos ^22x = frac{2 – 3sqrt 2 }4$

    $ Leftrightarrow cos 4x = – frac{sqrt 2 }2$ $ Leftrightarrow x = pm frac{3pi }{16} + kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$

    c. $PT Leftrightarrow 1 – cos 2x + sin x$ $ – sin 2x + cos 3x – cos x = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin ^2x + sin x$ $ – 2sin xcos x – 2sin 2xsin x = 0$

    $ Leftrightarrow sin xleft( 2sin x – 2cos x – 2sin 2x + 1 right) = 0$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    sin x = 0

    2left( sin x – cos x right) – 4sin xcos x + 1 = 0

    endarray right.$

    Đáp số: $x = kpi $, $x = pm fracpi 3 + k2pi $, $x = – fracpi 6 + k2pi $, $x = frac{7pi }6 + k2pi $ $(k ∈ Z).$

    d. $PT Leftrightarrow 2sin xcos x + sin x$ $ – sin ^3x + cos x – cos ^3x = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin xcos x + sin xcos ^2x$ $ + cos xsin ^2x = 0$ $ Leftrightarrow sin xcos xleft( 2 + sin x + cos x right) = 0.$

    Đáp số: $x = kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$

    a. Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số $sin$ và tổng hai cung $frac{6x + 2x}2 = 4x$ mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích.

    $PT Leftrightarrow cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2cos 2x + 1 right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 4x = 0

    cos 2x = – frac12

    endarray right.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + frac{kpi }4$, $x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k ∈ Z).$

    b. $PT Leftrightarrow frac{1 – cos 6x}x – frac{1 + cos 8x}2$ $ = frac{1 – cos 10x}2 – frac{1 + cos 12x}2$

    $ Leftrightarrow left( cos 12x + cos 10x right) $ $- left( cos 8x + cos 6x right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos 11xcos x – 2cos 7xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow cos xleft( cos 11x – cos 7x right) = 0$ $ Leftrightarrow cos xsin 9xsin 2x = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = kfracpi 9$, $x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    c. Điều kiện: $cos x ne 0.$

    $PT Leftrightarrow frac12left[ 1 – cos left( {x – frac{pi 2} right)} right]frac{{{sin ^2}x}}{{{cos ^2}x}}$ $ = frac12left( 1 + cos x right)$ $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)sin ^2x = left( 1 + cos x right)cos ^2x$

    $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)left( 1 + cos x right)left( sin x + cos x right) = 0.$

    Đáp số: Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pi + k2pi $, $x = – fracpi 4 + kpi $ $left( k in Z right).$

    d. $PT Leftrightarrow frac{1 + cos 6x}2cos 2x$ $ – frac{1 + cos 2x}2 = 0$ $ Leftrightarrow cos chúng tôi 2x – 1 = 0$

    $ Leftrightarrow cos 8x + cos 4x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow 2cos ^24x + cos 4x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow cos 4x = 1 Leftrightarrow x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    a. $PT Leftrightarrow sin 7x – sin x$ $ – left( 1 – 2{{sin ^2}2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos chúng tôi 3x – cos 4x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2sin 3x – 1 right) = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + kfracpi 4$, $x = fracpi {18} + kfrac{2pi }3$, $x = frac{5pi }{18} + kfrac{2pi }3$ $(k∈Z).$

    b. $left( {1 + cos 2x right)^2} + left( {1 + sin 2x right)^2} = 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + cos 2x = – 1$

    $ Leftrightarrow sqrt 2 cos left( 2x – frac{pi 2} right) = – 1$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 2 + kpi

    x = – fracpi 4 + kpi

    endarray right.left( k in Z right)$

    c. $PT Leftrightarrow – sqrt 3 cos x + sin x = 0$ $ Leftrightarrow frac12sin x – frac{sqrt 3 }2cos x = 0$ $ Leftrightarrow sin left( x – frac{pi 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$

    d. $PT Leftrightarrow 3tan ^3x – tan x$ $ + frac{3left( {1 + sin x right)}}{{{cos ^2}x}} – 4left( 1 + sin x right) = 0$

    $ Leftrightarrow tan xleft( 3{{tan ^2}x – 1} right)$ $ + left( 1 + sin x right)left( 3{{tan ^2}x – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( 3{{tan ^2}x – 1} right)left( tan x + 1 + sin x right) = 0$

    Trường hợp 1: $tan x = pm frac1{sqrt 3 }$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $left( k in Z right).$

    Trường hợp 2: $1 + sin x + tan x = 0$ $ Leftrightarrow sin x + cos x + sin xcos x = 0$ (phương trình đối xứng với $sin$ và $cos$).

    Giải phương trình này được: $x = fracpi 4 pm arccos left( frac{{sqrt 2 – 1}2} right) + k2pi $ $left( k in Z right).$

    4. Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức)

    Ví dụ 6. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $left( {sin frac{x2 + cos fracx2} right)^2} + sqrt 3 cos x = 2.$

    b. $cot x – tan x + 4sin 2x = frac2{sin 2x}.$

    c. $tan x = cot x + 2cot ^32x.$

    d. $tan x + cot x = 2left( sin 2x + cos 2x right).$

    a. $PT Leftrightarrow 1 + 2sin fracx2cos fracx2$ $ + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow sin x + sqrt 3 cos x = 2$

    $ Leftrightarrow frac12sin x + frac{sqrt 3 }2cos x = 1$ $ Leftrightarrow sin left( x + frac{pi 3} right) = frac12$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = – fracpi 6 + k2pi

    x = fracpi 2 + k2pi

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    b. Nhận xét: Từ sự xuất hiện của $cot x – tan x$ và $sin 2x$ ta xem chúng có mối quan hệ nào?

    Ta có: $cot x – tan x$ $ = frac{{{cos ^2}x – {sin ^2}x}}{sin xcos x}$ $ = 2frac{cos 2x}{sin 2x}$. Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau:

    Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow 2frac{cos 2x}{sin 2x} + 4sin 2x$ $ = frac2{sin 2x}cos 2x + 2sin ^22x = 1$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 1

    cos 2x = – frac12

    endarray right.$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$

    Chú ý: Ta có thể đặt $t = tan x$ $ Rightarrow cot x = frac1t$, $sin 2x = frac{2t}{1 – {t^2}}$ đưa phương trình về ẩn $t$ để giải.

    c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} – frac{cos x}{sin x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow – 2frac{cos 2x}{sin 2x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow cot 2x + cot ^32x = 0$

    $ Leftrightarrow cot 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2$ $(k∈Z).$

    d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} + frac{cos x}{sin x}$ $ = 2left( sin 2x + cos 2x right)$ $ Leftrightarrow frac2{sin 2x} = 2left( sin 2x + cos 2x right)$

    $ Leftrightarrow 1 = sin ^22x + sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow cos ^22x = sin 2xcos 2x$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    tan 2x = 1

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 4 + kfracpi 2

    x = fracpi 8 + kfracpi 2

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    . Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $cos ^6x – sin ^6x = frac{13}8cos ^22x.$

    b. $frac{2left( {{{cos ^6}x + {sin ^6}x} right) – sin xcos x}}{sqrt 2 – 2sin x} = 0.$

    c. $frac{{{cos ^4}x + {sin ^4}x}}{5sin 2x}$ $ = frac12cot 2x – frac1{8sin 2x}.$

    d. $cot x = tan x + frac{2cos 4x}{sin 2x}.$

    a. Nhận xét: Xuất hiện $cos ^6x – sin ^6x$ ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức $a^3 – b^3.$

    $PT Leftrightarrow left( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$$left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x + {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$

    $ Leftrightarrow cos 2xleft( 1 – frac{12{sin ^2}2x + frac14{sin ^2}2x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( 8 – 2{{sin ^2}2x – 13cos 2x} right) = 0$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    2cos ^22x – 13cos 2x + 6 = 0

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    cos 2x = frac12

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 4 + kfracpi 2

    x = pm fracpi 6 + kpi

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    b. Điều kiện: $sin x ne frac1{sqrt 2 }$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl

    x ne fracpi 4 + k2pi

    x ne frac{3pi }4 + k2pi

    endarray right.$

    $PT Leftrightarrow 2left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x – {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ – sin xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow 2 – 6sin ^2xcos ^2x – sin xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow 3sin ^22x + sin 2x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $ $(k∈Z).$

    Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: $x = frac{5pi }4 + k2pi $ $left( k in Z right).$

    c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{1 – frac{12{sin ^2}2x}}{5sin 2x}$ $ = frac12frac{cos 2x}{sin 2x} – frac1{8sin 2x}$ $ Leftrightarrow cos ^22x – 5cos 2x + frac94 = 0$

    $ Leftrightarrow cos 2x = frac12$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $(k∈Z).$

    d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{2cos 2x}{sin 2x} = frac{2cos 4x}{sin 2x}$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac12$ $ Leftrightarrow x = pm frac{2pi }3 + kpi $ $(k∈Z).$

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Chóng
  • Giải Hệ Pt Bằng Pp Thế Vnxike2 Ppt
  • Chương Iv. §3. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giáo Án Đại Số Lớp 9 Tiết 50: Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giáo Án Môn Đại Số Lớp 9 Năm 2009
  • Phương Trình Lượng Giác (Đầy Đủ)

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Toán Lớp 10 Bài 1: Mệnh Đề
  • Dạy Học Sinh Dạng Toán Có Lời Văn Ở Lớp 1
  • Hướng Dẫn Giải Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • 5 Bước Giải Bài Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • Bài Tập Toán Cao Cấp 2 Có Lời Giải Mp3 Ogg For Free
  • I/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.

    1. Phương trình: .

    + Nếu (hay )

    thì phương trình vô nghiệm

    + Nếu (hay )

    Khi đó:

    VD 01. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) ; b) ;

    c) ; d) ;

    e) ; f) ; g) ;

    h) ; i) ; j) ;

    Lưu ý:

    (1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm sin (arcsin) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

    (2). Các trường hợp đặc biệt:

    2. Phương trình: .

    + Nếu (hay )

    thì phương trình vô nghiệm

    + Nếu (hay )

    Khi đó:

    VD 02. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) ; b) ;

    c) ; d) ;

    e) ; f) ; g) ;

    h) ; i) ; j) ;

    Lưu ý:

    (1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm cos (arccos) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

    (2). Các trường hợp đặc biệt:

    3. Phương trình: ,

    VD 03. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) ; b) ; c) ;

    d) ; e) ; f) ;

    Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan (arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

    4. Phương trình: ,

    VD 04. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) ; b) ; c) ;

    d) ; e) ; f) ;

    Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan (arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

    5. Mở rộng:

    Mở rộng 1. Sử dụng MTBT để giải phương trình lượng giác:

    VD 05. Giải các phương trình sau:

    a) b) c)

    Mở rộng 2. (Cung chứa bội):

    VD 06. Giải các phương trình sau:

    a) b) c)

    Mở rộng 3. (Cung chứa tổng):

    VD 07. Giải các phương trình sau:

    a) b) c)

    d) e) f)

    g) h) i)

    Mở rộng 4. Phương trình tích (đơn giản):

    A.B = 0

    VD 08. Giải các phương trình sau:

    a) b) c)

    d) e) f)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Trắc Nghiệm Lượng Giác Có Đáp Án
  • Chuyên Đề : Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
  • Bài 6: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình (Tiếp Theo)
  • Giải Bài 35,36,37,38,39,40 Trang 19,20 Sgk Toán 6 Tập 1: Phép Cộng Và Phép Nhân
  • Đáp Án Lưu Hoằng Trí Lớp 9
  • Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

    --- Bài mới hơn ---

  • Lý Thuyết Giải Các Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Thường Gặp
  • Giáo Án Đại Số 11 Chương 1 Tiết 11: Thực Hành Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Bằng Máy Tính Bỏ Túi Casio Fx 500Ms
  • Phương Trình Hóa Học Đầy Đủ Chi Tiết Nhất
  • Kỹ Thuật Giải Phương Trình Hàm
  • Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Hàm Số Lượng Giác
  • Giải phương trình lượng giác cơ bản

    A. Phương pháp giải

    + Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx= m thì phương trình này có hai họ nghiệm là:

    Chú ý: phương trình sinx= m chỉ có nghiệm khi: – 1 ≤ m ≤ 1.

    + Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx=m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:

    + Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx= m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

    + Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

    + Các trường hợp đặc biệt :

    * Sinx=0 ⇔ x=kπ

    * Sinx= 1 ⇔ x= π/2+k2π

    * Sinx= -1 ⇔ x= (-π)/2+k2π

    * cos= 0 ⇔ x= π/2+kπ

    * cosx= 1 ⇔ x=k2π

    * cosx=- 1 ⇔ x= π+k2π

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1. Hỏi x=7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?

    A. 2sinx – √3=0.

    B. 2sinx+ √3=0.

    C. 2cosx- √3=0

    D.2cosx+ √3=0.

    Lời giải

    Chọn A

    Cách 1.

    Với x=7π/3 , suy ra .

    Cách 2. Thử x=7π/3 lần lượt vào các phương trình.

    Ví dụ 2. Giải phương trình sin(2x/3- π/3)=0.

    A. x=kπ (k∈Z)

    B. .

    C. .

    D. .

    Lời giải.

    Chọn D.

    Ta có : sin(2x/3- π/3)=0.

    ⇔ 2x/3- π/3=kπ (k∈Z)

    ⇔ 2x/3= π/3+kπ ⇔ x= π/2+ k3π/2 ( k∈Z).

    Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y= sin3x và y= sinx bằng nhau?

    A.

    B.

    C.

    D.

    Lời Giải.

    Chọn B.

    Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: sin 3x= sinx

    Ví dụ 4. Giải phương trình cot(3x-1)= -√3

    A.

    B.

    C.

    D.

    Lời Giải.

    Chọn A.

    Ta có cot(3x-1)= -√3 ⇒ cot(3x-1)= cot(-π/6) .

    ⇔ 3x-1= (-π)/6+kπ ⇔ x= 1/3- π/(18 )+k. π/3 = 1/3+ 5π/(18 )+(k-1). π/3

    Đặt k- 1=l suy ra nghiệm phương trình x= 1/3+ 5π/(18 )+l. π/3

    A. sinx= √2/2

    B. sinx= √2/2

    C. cotx= 1

    D.cot2x = 1

    Lời giải

    Chọn C.

    Ta có: tanx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

    Xét đáp án C, ta có cotx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

    Cách 2. Ta có đẳng thức tanx=1/cotx . Kết hợp giả thiết tanx=1, ta được cotx=1. Vậy hai phương trình tanx= 1 và cotx= 1 là tương đương.

    Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm?

    A. 1

    B. 2

    C. 3

    D. Vô số.

    Lời giải

    Chọn C.

    Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx= a.

    Do đó, phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi

    Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

    Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos(2x- π/3)-m=2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

    A. T= 6

    B. T=3

    C. T= – 3

    D. T= – 6

    Lời giải

    Chọn D.

    Phương trình cos(2x- π/3)-m=2 ⇔ cos(2x- π/3)= m+2.

    Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

    – 1 ≤ m+2 ≤ 1 ⇔ – 3 ≤ m ≤ -1.

    Mà m nguyên nên m∈{-3;-2;-1}

    Suy ra: T= – 3+ ( -2)+ (-1)= – 6

    Ví dụ 8. Giải phương trình: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

    A. -π/12+kπ

    B. π/12+kπ

    C. -π/3+kπ

    D. -π/4+kπ

    Lời giải

    Ta có: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

    ⇔ π/3+x= π/4+kπ ( k∈Z)

    ⇔ x= π/4- π/3+kπ= (-π)/12+kπ

    Chọn D .

    Ví dụ 9. Giải phương trình: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2

    A. x= π/3+4kπ hoặc x= (- π)/3+k4π)

    B. x= π/12+4kπ hoặc x= (- π)/12+k4π)

    C. x= π/3+4kπ hoặc x= (- 7π)/3+k4π)

    D. Đáp án khác

    Lời giải

    Ta có: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2 hay cos⁡((x+ π)/4)= cos π/3

    Chọn C

    Ví dụ 10. Giải phương trình : sinx= 2/5

    A. x= α+k2π hoặc x= – α+k2π

    B. x= α+k2π hoặc x= π+ α+k2π

    C. x= α+kπ hoặc x= π- α+kπ

    D. x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

    Với sinα= 2/5

    Lời giải

    Vì – 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5

    Khi đó sinx= 2/5 ⇔ sinx= sinα nên x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

    Chọn D

    Ví dụ 11. Giải phương trình tanx= 2

    A. 2+ kπ

    B. arctan 2+ kπ

    C.2+ k2π

    D. arctan 2+ k 2π

    Lời giải

    Ta có: tanx = 2 ⇒ x= arctan2+ kπ ( k∈Z)

    Chọn B.

    Ví dụ 12. Giải phương trình : cot⁡(π/3+x)=cot(π+x)/2

    A. π/3+ k4π

    B. π/3+ k2π

    C. π/3+ kπ

    D. π/6+ kπ

    Lời giải

    Ta có: cot⁡(π/3+x)=cot (π+x)/2

    ⇒ π/3+x= (π+x)/2+kπ với k∈Z

    ⇒ x- x/2= π/2- π/3+kπ

    ⇒ x/2= π/6+kπ x=π/3+ k2π

    Chọn B.

    Ví dụ 13. Giải phương trình cos(40 0+ x)= cos( 80 0 -x)

    D. Cả A và C đúng

    Lời giải

    Chọn A.

    Ví dụ 14. Giải phương trình: cos(x+ 10 0) = 1/3

    A.

    B.

    C.

    D.

    Lời giải

    Ta có: cos( x+10 0) = 1/3

    Chọn C.

    C. Bài tập vận dụng

    Câu 1: Giải phương trình cos(π/3-x)=0

    A. – π/2+l2π

    B. – π/3+l2π

    C. π/6+l2π

    D. – π/6+l2π

    Câu 2: Phương trình: sin( 2x/3- π/3)=0 có nghiệm là:

    A.

    B.x=kπ .

    C.

    D.

    Câu 3: Nghiệm của phương trình: sinx.(2cosx-√3)=0 là:

    A.

    B.

    C.

    D.

    Chọn A

    D.

    Câu 4:Cho phương trình sin(x-10 0) = 2m+ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm ?

    A. 1

    B.2

    C. 3

    D .4

    Câu 5: Giải phương trình sinx= -1/3

    A.

    B.

    C.

    D.

    Chọn C.

    Ta có: sinx=-1/3

    D.

    Câu 6: Giải phương trình cot x = 3

    A. arccot 3 + k. π ( k∈Z)

    B. arctan 3 + k. π ( k∈Z)

    C. arccot 3 + k. 2π ( k∈Z)

    D. – arccot 3 + k. π ( k∈Z)

    Câu 7: Giải phương trình cos(x+ π)/3= (- 1)/2

    A.

    B.

    C.

    D.

    Chọn B

    Câu 8: Giải phưởng trình sinx=sin⁡(2x- π/3)

    A.

    B.

    C.

    D.

    Chọn D.

    Câu 9:

    Câu 10: Giải phương trình tanx=(- √3)/3

    A. – π/6+kπ

    B. π/6+kπ

    C. – π/3+kπ

    D. π/3+k2π

    Câu 11: Giải phương trình cot( x- π/2)=cot⁡( (π/4-x)

    A. 3π/8+kπ

    B. 3π/8+kπ/2

    C. 3π/4+kπ/2

    D. 3π/4+kπ

    Câu 12: Giải phương trình tanx = cot( x+ π/3)

    A. π/12+ kπ

    B. π/6+ kπ/2

    C. π/12- kπ/2

    D. π/3+ kπ

    Câu 13: Giải phương trình sinx = cosx

    A. π/4+k2π

    B. π/4+kπ

    C. π/2+kπ

    D. Đáp án khác

    Lời giải

    Ta có: sinx = cosx

    ⇒ sinx= sin(π/2-x)

    .

    Chọn B.

    Câu 14: Nghiệm của phương trình sin3x= cosx là:

    A. .

    B. .

    C. .

    D. .

    Lời giải

    Chọn A.

    Ta có: sin3x= cosx

    .

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giai Thừa Với Bài Toán Tổ Hợp
  • Giai Thừa Lớn Chứa Giai Thừa Bé Và Ứng Dụng
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 Es Plus
  • Giải Toán 10 Bài 2. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn
  • Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình
  • Phương Trình Lượng Giác Và Ứng Dụng (Nâng Cao)

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác
  • Phương Trình Lượng Giác Có Điều Kiện
  • Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp
  • Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Toán Lớp 11
  • Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) chúng tôi Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” chúng tôi - 1 - MỤC LỤC Trang Ths. Lê Văn Đoàn chúng tôi Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 2 - chúng tôi CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG Công thức cơ bản ● 2 2sin x cos x 1+ = ● tan chúng tôi 1= ● sin x tan x cos x = ● cos x cotx sin x = ● os 2 2 1 1 tan x c x + = ● 2 2 1 1 cot x sin x + = Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba ● sin2x 2sin chúng tôi x= ● 2 2 2 2 cos x sin x cos2x 2cos x 1 1 2 sin x  −=  − = − ● os2 1 c 2xsin x 2 − = ● os os2 1 c 2x c x 2 + = ● 3sin 3x 3 sin x 4 sin x= − ● 3cos 3x 4 cos x 3cos x= − Công thức cộng cung ● ( )sin a b chúng tôi chúng tôi b± = ± ● ( )osc a b chúng tôi chúng tôi b± = ∓ ● ( ) tana tanb tan a b 1 tana.tanb + + = − ● ( ) tana tan b tan a b 1 tana.tanb − − = + ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x   + + =   −  ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x   − − =   +  Công thức biến đổi tổng thành tích ● a b a b cosa cosb 2cos .cos 2 2 + − + = ● a b a b cosa cosb 2sin .sin 2 2 + − − =− ● a b a b sina sin b 2sin .cos 2 2 + − + = ● a b a b sina sin b 2cos .sin 2 2 + − − = ● ( )sin a b tana tanb cosa.cosb + + = ● ( )sin a b tana tanb cosa.cosb − − = Công thức biến đổi tích thành tổng ● ( ) ( )cos a b cos a b cosa.cosb 2 + + − = ● ( ) ( )sin a b sin a b sin a.cosb 2 + + − = ● ( ) ( )cos a b cos a b sin chúng tôi b 2 − − + = Một số công thức thông dụng khác ● π π sinx cosx 2 sin x 2cos x 4 4       + = + = −         ● π π sinx cosx 2 sin x 2cos x 4 4       − = − = +         ● 4 4 2 1 cos4x cos x sin x 1 s 3 1 in 2x 2 4 + + = − = ● 6 6 2 3 cos4x cos x sin x 1 s 5 3 in 2x 4 8 + + = − = Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) chúng tôi Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” chúng tôi - 3 - Một số lưu ý: Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x cos x  = α  = α là: 1 1− ≤α ≤ . Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.  Phương trình chứa tan x , điều kiện: ( ) cos x 0 x k k 2 π ≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ .  Phương trình chứa cotx , điều kiện: ( ) sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ ℤ .  Phương trình chứa cả tan x và cotx , điều kiện: ( ) x k. k 2 π ≠ ∈ ℤ . Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện:  Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.  Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm. Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác AM có số đo là k2 n π α + 0 0 k.360hay a n   +    với k ,n +∈ ∈ℤ ℕ thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau". Ví dụ 1: Nếu sđ AM k2 3 π = + π thì có một điểm M tại vị trí 3 π (ta chọn k 0= ). Ví dụ 2: Nếu sđ AM k 6 π = + π thì có 2 điểm M tại vị trí 6 π và 7 6 π (ta chọn k 0,k 1= = ). Ví dụ 3: Nếu sđ 2AM k. 4 3 π π = + thì có 3 điểm M tại các vị trí 11; 4 12 π π và 19 12 π , ( )k 0;1;2= . Ví dụ 4: Nếu sđ k2AM k. 4 2 4 4 π π π π = + = + thì có 4 điểm M tại các vị trí 4 π , 3 4 π , 5 4 π ; 7 4 π (ứng với các vị trí k 0,1,2,3= ). Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x k 6 π =− + π và x k 3 π = + π Biểu diễn cung x k 6 π = − + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: 6 π − và 5 6 π Biểu diễn cung x k 3 π = + π trên đường tròn thì có Để giải được phương trình lượng giác cũng như các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác" Ths. Lê Văn Đoàn chúng tôi Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 4 - chúng tôi 2 điểm tại các vị trí: 3 π và 4 3 π . Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và cung tổng hợp là: x k 3 2 π π = + Đối với phương trình 2 2 1 1 cos x cos x 2 2 1 1 sin x sin x 2 2    = = ±   ⇔   = = ±    ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là: 2 2 2 2 1 cos x 2cos x 1 0 cos2x 0 2 1 cos2x 02sin x 1 0 sin x 2   = − = =  ⇔ ⇔   =− =  =   . Tương tự đối với phương trình 2 2 sin x 1 sin x 1 cos x 1cos x 1  = = ± ⇔  = ±=  ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức 2 2sin x cos x 1+ = . Lúc đó: 2 2 2 2 sin x 1 cos x 0 cos x 0 sin x 0cos x 1 sin x 0   = = =  ⇔ ⇔   == =    Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''  Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.  Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là ( )cos cos−α = α , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: ( ) ( ) ( ) sin sin , tan tan , cot tan−α =− α −α =− α −α =− α  Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là ( )sin sinπ−α = α , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: ( ) ( ) ( ) cos cos , tan tan , cot tanπ−α =− α π−α = − α π−α = − α  Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là: sin cos , cos sin , tan cot , cot tan 2 2 2 2        π π π π         −α = α −α = α −α = α −α = α                        Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: sin u cos v= Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình sin u sin v= , vậy còn phương trình sin u cos v= thì sao ? Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u cos v sin u sin v 2  π  = ⇔ = −    ( ) u v k2 u v k2 , k 2 2 π π = − + π ∨ = + + π ∈ ℤ . Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như 2sin x cos x 3  π  = −    pi/3 5pi/6 4pi/3 –pi/6 O Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) chúng tôi Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” chúng tôi - 5 - thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.  Một số cung góc hay dùng khác: ( ) ( ) sin x k2 sin x cos x k2 cos x  + π =   + π = và ( ) ( ) ( ) sin x k2 sin x k cos x k2 cos x  + π + π =− ∈  + π + π =− ℤ . A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Dạng: u v k2 sin u sin v u v k2  = + π= ⇔  = π− + π Đặc biệt: sin x 0 x k sin x 1 x k2 2 sin x 1 x k2 2  = ⇒ = π π = ⇒ = + π  π = − ⇒ =− + π Dạng: u v k2 cosu cos v u v k2  = + π= ⇔  = − + π Đặc biệt: cos x 0 x k 2 cos x 1 x k2 cos x 1 x k2  π = ⇒ = + π = ⇒ = π  = − ⇒ = π+ π Dạng: tanu tan v u v k Ðk : u,v k 2 = ⇔ = + π π ≠ + π Đặc biệt: tan x 0 x k tan x 1 x k 4  = ⇔ = π  π = ± ⇔ = ± + π Dạng: cotu cotv u v k Ðk : u,v k = ⇔ = + π ≠ π Đặc biệt: cotx 0 x k 2 cotx 1 x k 4  π = ⇔ = + π   π = ± ⇔ = ± + π BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈    Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗ Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗ Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗ Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗ Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7 4 sin x sin x 43 sin x 2  π  + = − ∗   π   −    Bài 7. Giải phương trình: ( ) 4 4 7 sin x cos x cot x cot x 8 3 6    π π   + = + − ∗         Ths. Lê Văn Đoàn chúng tôi Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 6 - chúng tôi Bài 8. Giải phương trình: ( ) 4 4 4sin 2x cos 2x cos 4x tan x tan x 4 4 + = ∗    π π   − +         Bài 9. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 3x sin sin 1 10 2 2 10 2    π π   − = +         Bài 10. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin2x sin x 1 4 4    π π   − = +         Bài 11. ( ) 38 cos x cos 3x 1 3  π + =    Bài 12. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2 sin x 1 4  π + =    Bài 13. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x 1 4  π − =    Bài 14. Giải phương trình: ( ) cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗ Bài 15. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x 2 + + = ∗ . Bài 16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗ . Bài 17. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗ Bài 18. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗ Bài 19. Giải phương trình: ( )sin 2 2 5x 9x cos 3x sin7x 2 2cos 4 2 2  π  + = + − ∗    Bài 20. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x cos 2x cos 3x= + ∗ Bài 21. Giải phương trình: ( ) 22sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗ Bài 22. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗ Bài 23. Giải phương trình: ( ) 3 3 3sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗ Bài 24. Giải phương trình: ( ) 2 3cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + ∗ Bài 25. Giải phương trình: ( ) 3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗ Bài 26. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 22sin x 1 3cos 4x 2sin x 4 4 cos x 3+ + − + = ∗ Bài 27. Giải phương trình: ( ) ( ) 6 6 8 8sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗ Bài 28. Giải phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10 5sin x cos x 2 sin x cos x cos2x 4 + = + + ∗ Bài 29. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 5sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗ Bài 30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗ Bài 31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x 8 − − = ∗ Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) chúng tôi Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” chúng tôi - 7 - Bài 32. Giải phương trình: ( ) 1cos x cos2x cos 4x cos 8x 16 = ∗ Bài 33. Giải phương trình: ( ) 34 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗ Bài 34. Giải phương trình: ( ) 1cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x 2 + + + + =− ∗ Bài 35. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos x sin x 1 0 tan x 3 + − − = ∗ + Bài 36. Giải phương trình: ( ) 2 1 sin2x cos2x 2 sin x sin2x 1 cot x + + = ∗ + Bài 37. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x cotx 2 sin2x cos2x+ = + ∗ Bài 38. Giải phương trình: ( ) 2tan x tan x tan 3x 2− = ∗ Bài 39. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 11tan x cot x cot 2x 3 + + = ∗ Bài 40. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 x x sin tan x cos 0 2 4 2  π − − = ∗    Bài 41. Giải phương trình: ( ) ( ) 2sin2x cotx tan2x 4 cos x+ = ∗ Bài 42. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2cot x tan x 16 1 cos 4x cos2x − = + ∗ Bài 43. Giải phương trình: ( ) 12 tan x cot2x 2 sin2x 2sin2x + = + ∗ Bài 44. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 sin x tan x 2 1 cos x 0 tan x sin x + − + = ∗ − Bài 45. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 cos x 1 cos x 1 tan x sin x 1 sin x tan x 24 1 sin x − + + − = + + ∗ − Bài 46. Giải phương trình: ( ) cos 3x tan5x sin7x= ∗ Bài 47. Giải phương trình: ( ) 1 1sin2x sin x 2cotx 2 sin x sin2x + − − = ∗ Bài 48. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4sin x cos x 1 tan x cot2x sin2x 2 + = + ∗ Bài 49. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan chúng tôi 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗ Bài 50. Giải phương trình: ( ) x cotx sin x 1 tan x tan 4 2   + + = ∗    Ths. Lê Văn Đoàn chúng tôi Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 8 - chúng tôi HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung x,2x,3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung x,2x,3x , ta nên đưa về cung trung gian 2x nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung x ". Bài giải tham khảo ( ) ( ) ( )3 2 3 24 cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0 4 cos x 8 cos x 0∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos x 0 N 4 cos x cos x 2 0 x k , k cos x 2 L 2  = π⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈ = ℤ . 0,5 k 3,9 3 5 7 Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ; k2 2 2 2 2   − ≤ ≤≈  π π π π π   ∈ ∈ ⇔ ≤ + π ≤ ⇔ ⇒ ∈       ∈    ℤ ℤ . Bài giải tham khảo ( ) ( )( )2cos x 1 2 sin x cos x 2sin x cos x sin x∗ ⇔ − + = − ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin x 2cos x 1 0⇔ − + − − = ( ) ( ) ( )( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin x 0 2cos x 1 sin x cos x 0 ⇔ − + − = ⇔ − + =   ( ) x k22cos x 1 0 cos x cos 3 k; l3 sin x cos x 0 tan x 1 x l 4  π π  = ± + π − =  =  ⇔ ⇔ ⇔ ∈ + = π = − = − + π   ℤ . Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos Bài giải tham khảo ( ) 3 2 3 24 cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0 2cos x cos x 2cos x 1 0∗ ⇔ − + − − − = ⇔ + − − = ( ) ( ) ( )( ) 2 2cos x 2cos x 1 2cos x 1 0 2cos x 1 cos x 1 0⇔ + − + = ⇔ + − = Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈    Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002 Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006 Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) chúng tôi Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh” chúng tôi - 9 - Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 ( ) ( ) 2 sin x 0 x k 2cos x 1 sin x 0 k;l1 2 cos x x l2 2 3  = = π   ⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈π = − = ± + π   ℤ . Bài giải tham khảo ( ) ( ) 2sin x cos x 2 sin x cos x 2cos x 0∗ ⇔ + + + = ( ) ( ) sin x cos x 2cos x sin x cos x 0⇔ + + + = ( )( ) sin x cos x 1 2cos x 0⇔ + + = ( ) sin x cos x tan x 1 x k 4 k; l1 2 2cos x cos x cos x l22 3 3  π = − =−  = − + π   ⇔ ⇔ ⇔ ∈π  π= − =  = ± + π     ℤ . Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế ( ) ( )2sin x 1 2cos x 1 2 sin x cos x 1 cos x∗ ⇔ + − + = + ( ) ( ) 22sin x cos x 2 sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 cos x 0⇔ + = + ⇔ + − + = ( )( ) ( ) 21 x k2cos x 3cos x 1 sin2x 1 0 k, l2 sin2x 1 x l 4  π  = ± + π = − ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= = + π   ℤ . Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung 3x 2 π − và 7 x 4 π − giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau đây Bài giải tham khảo Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: ( )sin a b chúng tôi chúng tôi b± = ± Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7 4 sin x sin x 43 sin x 2  π  + = − ∗   π   −    Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗ Trích đề thi tuyển sinh Đại

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giáo Án Chủ Đề Tự Chọn 11 Tiết 7: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Trắc Nghiệm Lượng Giác (Kèm Lời Giải)
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Phương Trình Mũ Và Logarit File Word
  • Giải Phương Trình Mũ Logarit Hay Và Khó Lớp 12
  • Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn Đặc Biệt Môn Toán Lớp 10
  • Phương Trình Và Hàm Số Bậc 4
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Và Chính Xác Cho Học Sinh
  • Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Các phương trình lượng giác cơ bản

    sinx=m

  • m ∈ thì:
    • cosx=cosα (α = SHIFT sin)
    x = ±α + chúng tôi (α: rad, k∈Z)

    • hoặc cosx=cosa
    x = ±a + k.360° (a: độ°, k∈Z)
    • Nếu m không là “giá trị đặc biệt” thì:
    • x = ±arccosm + chúng tôi (arc = SHIFT cos)
    • Đặc biệt:

    tanx=m

    • tanx=tanα (α = SHIFT tan)
    • hoặc tanx=tana
    • Nếu m “không là giá trị đặc biệt thì
    • x = arctan(m) + k.pi

    cotx=m

    • cotx=cotα (α = SHIFT tan(1/m))
    • hoặc cotx=cota
    • Nếu m “không là giá trị đặc biệt thì
    • x = arccot(m) + k.pi

    Xem lại các giá trị lượng giác của các góc, cung đặc biệt:

    Một số dạng toán

    Biến đổi

    • sinf(x) = -sing(x) = sin(-g(x))
    • sinf(x) = cosg(x) → sinf(x) = sin(pi/2 – g(x))
    • sinf(x) = -cosg(x) → cosg(x) = -sinf(x) = sin(-f(x)) → cosg(x) = cos(pi/2 – f(x))
    • Khi có , ta thường “hạ bậc tăng cung”.

    Tìm nghiệm và số nghiệm

    1) Giải phương trình A với x ∈ a.

    • Trước hết tìm họ nghiệm của phương trình a.
    • Xét x trong a. Lưu ý k ∈ Z. Khi tìm được k, quay lại họ nghiệm để tìm ra nghiệm x.

    2) Tìm số nghiệm k

    • Các bước tương tự như trên.
    • Tìm được k → số nghiệm.

    Tìm giâ trị lớn nhất và nhỏ nhất

    Tìm nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất

    • Giải phương trình

    1) Với nghiệm âm lớn nhất

    • Xét x < 0 (k ∈ Z)
    • Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.

    2) Với nghiệm dương nhỏ nhất

  • Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.
  • Tìm tập giá trị

    Tìm tập giá trị của phương trình A.

  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100