Tuyển Tập Các Lời Giải Hay Cho Các Bài Toán Hình Học Phẳng Khó

--- Bài mới hơn ---

  • Soạn Bài Bài Ca Ngất Ngưởng (Chi Tiết)
  • Soạn Bài Bài Ca Ngất Ngưởng
  • Soạn Văn Lớp 11: Bài Ca Ngất Ngưởng
  • Soạn Bài: Bài Ca Ngất Ngưởng (Nguyễn Công Trứ)
  • Đọc Hiểu Bài Ca Ngất Ngưởng
  • Tuyển tập các lời giải hay cho các bài toán hình

    học phẳng khó(Số 1)(Tháng 9/2016)

    Đôi điều về chuyên mục: Trong tuyển tập lớn này, tôi sẽ mỗi tháng đưa ra năm

    lời giải cho năm bài toán khác nhau mà tôi cho là hay. Sau một tháng nhận email

    phản hồi của các bạn(các lời giải khác mà các bạn nghĩ là hay hơn,mở rộng các bài

    toán,…), tôi sẽ biên tập lại chúng để viết chúng trong phần phản hồi bạn đọc ở số

    tiếp theo. Cuối mỗi tháng sẽ có list bài của tháng sau để các bạn tiện theo dõi.

    Bài toán 1(Nguyễn Văn Linh): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có

    trực tâm H. P là một điểm thuộc cung BC không chứa A của (O)(P 6= B, C).P 0 đối

    xứng P qua BC. (OP P 0 ) cắt AP tại G. Chứng minh rằng trực tâm tam giác AGO

    nằm trên HP 0 .

    Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Gọi AH cắt (AGO) tại điểm J khác A. Thế thì:

    ∠JOG = ∠HAG = ∠GP P 0 (do AH//P P 0 )=180◦ − ∠GOP 0 do đó O, P 0 , J thẳng

    hàng. Lại có: ∠GJO = ∠P AO = ∠GP O = ∠GP 0 O do đó tam giác GJP 0 cân tại

    G. Lại có: ∠JGP 0 = ∠AOP = 2∠ACP . Lại có: ∠AHP 0 = ∠HP P 0 = ∠ACP (do

    1

    nếu gọi AH cắt lại (O) tại D thì HDP P 0 là hình thang cân nên dĩ nhiên ∠HP P 0 =

    ∠ACP ) do đó G là tâm (JHP 0 ). Ta gọi K là giao (JHP 0 ) cắt (AGO) tại điểm K

    khác J.

    Lại có: ∠GKO = ∠OAG = ∠GP O = ∠GP 0 O do đó ∠OP 0 K = ∠OKP 0 nên

    OK = OP 0 vậy khi đó dĩ nhiên K đối xứng P 0 qua GO từ đó GK = GH = GP 0 mà

    ∠GHJ = ∠GJH = 180◦ − ∠AJG = ∠AOG = ∠AKG vậy thì K cũng đối xứng H

    qua AG. Vậy theo định lí về đường thẳng Steiner thì trực tâm tam giác AGO nằm

    trên HP 0 (đpcm).

    Nhận xét: Ở lời giải trên tác giả đã có một lời giải khác với lời giải gốc của người ra

    đề. Điểm thú vị của lời giải trên chính là việc không cần nhất thiết chỉ ra trực tâm

    của tam giác đó.

    Bài toán 2(Kiểm tra trường hè Titan tháng 8/2016): Cho tam giác ABC nội

    tiếp đường tròn (O) có: H là trực tâm và AM là trung tuyến tam giác ABC. AM

    cắt lại (O) tại điểm N . Ba đường thẳng: qua H vuông góc AN, BC, KN cắt nhau

    tạo thành tam giác XY Z. Chứng minh rằng: (XY Z) tiếp xúc (O).

    Lời giải(Nguyễn Duy Khương):

    Gọi tia M H cắt (O) tại điểm J, gọi AD là đường cao của tam giác ABC. Hiển nhiên

    ta có: AJ, HP, M D là các đường cao của tam giác AHM suy ra AJ, HP, BC đồng

    quy tại điểm Y . Hay là A, J, Y thẳng hàng.

    Ta đi chứng minh rằng J thuộc (XY Z). Ta có: HDY J nội tiếp do đó XY JZ nội

    tiếp khi và chỉ khi:

    2

    (JX, KX) ≡ (AH, JH)(modπ) hay là tứ giác JHKX nội tiếp.

    Lại có: (JK, XK) ≡ (JA, N A) ≡ (JD, Y D) ≡ (JH, Y H)(modπ) vậy ta có: JHKX

    nội tiếp hay là J thuộc (XY Z). Vậy tức là J thuộc (XY Z) và (O). Vì J thuộc (O) và

    (XY Z) mà A, J, Y thẳng hàng nên khi gọi Y G, AL là các đường kính (XY Z) và (O)

    thì GJL ⊥ Y A, ta có: ∠JGY = ∠JXY = ∠JKA = ∠JLA do đó GY kAL vậy hiển

    nhiên 4GJY ∼ 4AJL do I, O lần lượt là trung điểm GY và AL nên ∠IJY = ∠OJA

    hay là thu được I, J, O thẳng hàng hay (XY Z) tiếp xúc (O)(đpcm).

    Nhận xét: Bài toán này hay nhưng không quá khó rất phù hợp để lấy làm bài thi

    trong 1 đề kiểm tra định kì. Ở bài toán trên ta thấy được tiếp điểm J sinh ra cực kì

    hay và hợp lí. Cách giải trên tuy dài hơn lời giải gốc xong lại thể hiện tư duy chứng

    minh tiếp xúc rất hay đó là sử dụng vị tự.

    Độc giả có thể tham khảo lời giải gốc và của bài toán mở rộng ở đây .

    Lời giải trên được tác giả đề nghị không phải là ngắn gọn nhất. Có thể kể đến ý

    tưởng biến đổi tỉ số phương tích của tác giả Mẫn Bá Tuấn-học sinh chuyên Toán

    THPT chuyên ĐHSP Hà Nội. Ở đây xin nêu cách này bởi sự khai thác triệt để

    giả thiết tiếp xúc trong đề bài.

    Các bài toán đề nghị tháng sau

    :

    7

    Bài toán 6(Hà Nội TST 2021-2016): Cho đường tròn đường kính AB. Lấy điểm

    C trên nửa đường tròn này sao cho 90◦ < ∠AOC < 180◦ . Lấy K là 1 điểm thay đổi

    trên đoạn OC. Vẽ các tiếp tuyến AD, AE đến đường tròn (K; KC). Chứng minh

    rằng DE, AC, BK đồng quy tại 1 điểm.

    Bài toán 7(Trần Quang Hùng-T12/466-THTT): Cho tam giác ABC nhọn

    không cân nội tiếp đường tròn (O). Lấy P là 1 điểm thuộc tam giác ABC sao

    cho AP vuông góc BC. Kẻ P E, P F lần lượt vuông góc AB, AC( E, F thuộc AB

    và AC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt lại (O) tại G. Chứng minh rằng

    GP, BE, CF đồng quy tại 1 điểm.

    Bài toán 8(Trích HNEU TST 2014-2015): Cho tam giác ABC có các đường

    cao AD, BE, CF . Các đường tròn đường kính AB và AC cắt các tia DF và DE

    tại các điểm Q và P . Gọi N là tâm ngoại tiếp tam giác DEF . Chứng minh rằng:

    AN ⊥ P Q.

    Bài toán 9(Đề thi chọn HSG khối 10,chuyên ĐHSP,2015-2016):Cho tứ giác

    ABCD nội tiếp đường tròn (O). M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Giả sử

    AD cắt BC tại E và 2 đường chéo cắt nhau tại điểm F . EF cắt AB và CD lần lượt

    tại các điểm P và Q.

    a) Chứng minh rằng M, N, P, Q nội tiếp đường tròn tâm T .

    b) Chứng minh rằng OT, N P, M Q đồng quy.

    Bài toán 10(Nguyễn Duy Khương): Cho tam giác ABC sao cho AB + AC =

    2BC. Tam giác nội tiếp trong đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp

    xúc BC, CA, AB tại D, E, F . AI cắt lại đường tròn (O) tại J khác A. Một đường

    thẳng d qua A song song với BC cắt EF tại M .Chứng minh rằng:∠JDM = 90◦ .

    8

    1

    Lời giải 1(Nguyễn Duy Khương): Gọi BK cắt lại (O) tại điểm thứ hai J. Gọi

    JA cắt DE tại điểm N . Do ∠KJA = ∠KDA = 90◦ do đó tứ giác JADE nội tiếp.

    Do (O) tiếp xúc (K) nên áp dụng tính chất trục đẳng phương thì tiếp tuyến chung

    tại C của (O), (K),DE và JA đồng quy tại 1 điểm N . Gọi DE cắt BK tại điểm M .

    Kẻ tiếp tuyến thứ hai N S tới (K) thế thì do N C đã là tiếp tuyến tới (K) nên ta có:

    DSCE là 1 tứ giác điều hoà do đó hiển nhiên là ta có: A, S, C thẳng hàng. Gọi M

    là giao điểm của BK và DE. Gọi I là trung điểm DE.

    Do M là trực tâm tam giác AN K nên: M N.M I = M J.M K = M D.M E(do

    A, J, K, D, E đồng viên). Vậy ta thu được: (N M, DE) = −1(theo hệ thức M aclaurin)

    suy ra: C(N M, DE) = −1 mà ở trên ta đã chỉ ra được: C(N S, DE) = −1. Do đó:

    S, C, M thẳng hàng. Vậy AC, BK, DE đồng quy tại điểm M (đpcm).

    2

    --- Bài cũ hơn ---

  • Công Nghệ 11 Bài 3: Thực Hành Vẽ Các Hình Chiếu Của Vật Thể Đơn Giản
  • Lý Thuyết Công Nghệ 10 Bài 52: Thực Hành: Lựa Chọn Cơ Hội Kinh Doanh (Hay, Chi Tiết).
  • Thực Hành: Lực Chọn Cơ Hội Kinh Doanh Trang 161 Sgk Công Nghệ 10
  • Bài 4: Thực Hành: Tìm Hiểu Những Cơ Hội Và Thách Thức Tòan Cầu Hóa Đối Với Các Nước Đang Phát Triển
  • Soạn Bài Ý Nghĩa Văn Chương (Chi Tiết)
  • Tuyển Chọn Các Bài Toán Hay Về Hình Học Phẳng Có Lời Giải Hướng Dẫn

    --- Bài mới hơn ---

  • Tuyển Chọn Các Bài Toán Hay Về Hình Học Phẳng Có Lời Giải Hướng Dẫn (Tài Liệu Free)
  • Các Bài Toán Giải Bằng Phân Tích Cấu Tạo Số
  • Giải Toán 12 Bài 5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Trang 32 Sbt Sinh Học 9: Trắc Nghiệm Trang 32 Chương Ii Nhiễm Sắc Thể Sbt Sbt Sinh Học 9
  • Soạn Bài : Những Câu Hát Than Thân
  • Các kì thi HSG tỉnh và thành phố nhằm chọn ra đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia trong năm học 2010 – 2011 đã diễn ra sôi nổi vào những ngày cuối năm trước và đã để lại nhi ề u ấn tượng sâu sắc. Bên cạnh những bất đẳng thức, những hệ phương trình hay những bài toán số học, tổ hợp, ta không thể quên được dạng toán vô cùng quen thuộc, vô cùng thú vị và cũng xuất hiện thường trực hơn cả, đó chính là những bài toán hình học phẳng. Nhìn xuyên suốt qua các bài toán ấy, ta sẽ phát hiện ra sự xuất hiện của những đường tròn, những tam giác, tứ giác; cùng với những sự k ế t hợp đặc biệt, chúng đã tạo ra nhi ề u vấn đ ề thật đẹp và thật hấp dẫn. Có nhi ề u bài phát biểu thật đơn giản nhưng ẩn chứa đằng sau đó là những quan hệ khó và chỉ có thể giải được nhờ những định lý, những ki ế n thức ở mức độ nâng cao như: định lý Euler, đường tròn mixtilinear, định lý Desargues, điểm Miquel,… Rồi cũng có những bài phát biểu thật dài, hình vẽ thì phức tạp nhưng lại được giải quy ế t bằng một sự k ế t hợp ngắn gọn và khéo léo của những đi ề u quen thuộc để tạo nên lời giải ấn tượng.

    Nhằm tạo cho các bạn yêu Toán có một tài liệu tham khảo đầy đủ và hoàn chỉnh v ề những nội dung này, chúng tôi đã dành thời gian để tập hợp các bài toán, trình bày lời giải thật chi ti ế t và sắp x ế p chúng một cách tương đối theo mức độ dễ đ ế n khó v ề lượng ki ế n thức cần dùng cũng như hướng ti ế p cận. Với ề nội dung, mong rằng “ề u hơn nét đẹp cực kì quy ế n rũ của bộ môn này! hơn 50 bài toán đa dạng v hình thức và phong phú v Tuyển chọn các bài toán hình học phẳng trong đ thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm học 2010 – 2011” sẽ giúp cho các bạn có dịp thưởng thức, cảm nhận, ngắm nhìn nhi

    Xin chân thành cảm ơn các tác giả đ ề bài, các thành viên của diễn đàn http://forum.mathscope.org đã gửi các đ ề toán và trình bày lời giải lên diễn đàn.

    Cảm ơn các bạn.

    Phan Đức Minh – Lê Phúc Lữ

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Công Nghệ Lớp 11 Bài 3: Thực Hành: Vẽ Các Hình Chiếu Của Vật Thể Đơn Giản
  • Giải Địa Lí 11 Bài 4: Thực Hành Tìm Hiểu Những Cơ Hội Và Thách Thức Của Toàn Cầu Hóa Đối Với Các Nước Đang Phát Triển
  • Địa Lí 11 Bài 4: Thực Hành Tìm Hiểu Những Cơ Hội Và Thách Thức Của Toàn Cầu Hóa Đối Với Các Nước Đang Phát Triển
  • Địa Lí 11 Bài 4 Ngắn Nhất: Thực Hành: Tìm Hiểu Những Cơ Hội Và Thách Thức Của Toàn Cầu Hóa Đối Với Các Nước Đang Phát Triển.
  • Soạn Văn Lớp 6 Bài Nghĩa Của Từ Ngắn Gọn Hay & Đúng Nhất
  • Tuyển Chọn Các Bài Toán Hay Về Hình Học Phẳng Có Lời Giải Hướng Dẫn (Tài Liệu Free)

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Bài Toán Giải Bằng Phân Tích Cấu Tạo Số
  • Giải Toán 12 Bài 5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Trang 32 Sbt Sinh Học 9: Trắc Nghiệm Trang 32 Chương Ii Nhiễm Sắc Thể Sbt Sbt Sinh Học 9
  • Soạn Bài : Những Câu Hát Than Thân
  • Soạn Bài Những Câu Hát Than Thân (Ngắn Gọn)
  • Lời nói đầu Các kì thi HSG tỉnh và thành phố nhằm chọn ra đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia trong

    năm học 2010 – 2011 đã diễn ra sôi nổi vào những ngày cuối năm trước và đã để lại nhiều ấn tượng sâu

    sắc. Bên cạnh những bất đẳng thức, những hệ phương trình hay những bài toán số học, tổ hợp, ta không

    thể quên được dạng toán vô cùng quen thuộc, vô cùng thú vị và cũng xuất hiện thường trực hơn cả, đó

    chính là những bài toán hình học phẳng. Nhìn xuyên suốt qua các bài toán ấy, ta sẽ phát hiện ra sự xuất

    hiện của những đường tròn, những tam giác, tứ giác; cùng với những sự kết hợp đặc biệt, chúng đã tạo

    ra nhiều vấn đề thật đẹp và thật hấp dẫn. Có nhiều bài phát biểu thật đơn giản nhưng ẩn chứa đằng sau

    đó là những quan hệ khó và chỉ có thể giải được nhờ những định lý, những kiến thức ở mức độ nâng

    cao như: định lý Euler, đường tròn mixtilinear, định lý Desargues, điểm Miquel,… Rồi cũng có những

    bài phát biểu thật dài, hình vẽ thì phức tạp nhưng lại được giải quyết bằng một sự kết hợp ngắn gọn và

    khéo léo của những điều quen thuộc để tạo nên lời giải ấn tượng.

    Nhằm tạo cho các bạn yêu Toán có một tài liệu tham khảo đầy đủ và hoàn chỉnh về những nội dung

    này, chúng tôi đã dành thời gian để tập hợp các bài toán, trình bày lời giải thật chi tiết và sắp xếp chúng

    một cách tương đối theo mức độ dễ đến khó về lượng kiến thức cần dùng cũng như hướng tiếp cận. Với

    hơn 50 bài toán đa dạng về hình thức và phong phú về nội dung, mong rằng “Tuyển chọn các bài toán

    hình học phẳng trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm học 2010 – 2011″ sẽ giúp cho các

    bạn có dịp thưởng thức, cảm nhận, ngắm nhìn nhiều hơn nét đẹp cực kì quyến rũ của bộ môn này!

    Xin chân thành cảm ơn các tác giả đề bài, các thành viên của diễn đàn http://forum.mathscope.org đã

    gửi các đề toán và trình bày lời giải lên diễn đàn.

    Tài liệu với dung lượng lớn có thể còn nhiều thiếu sót, rất mong bạn đọc góp thêm ý kiến để tiếp tục

    hoàn thiện cuốn tài liệu này. Các ý kiến đóng góp xin gửi vào hai hòm thư

    Cảm ơn các bạn.

    Phan Đức Minh – Lê Phúc Lữ

    3

    Các kí hiệu và từ viết tắt sử dụng trong tài liệu

    ,

    R r

    Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

    đpcm Điều phải chứng minh

    4

    Phần một: Đề bài

    Bài 2.

    Cho tam giác

    ABC

    ACBC

    . Gọi

    21

    , RR lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác

    GACGBC, , trong đó

    G

    là trọng tâm tam giác

    ABC

    . Hãy so sánh

    21

    , RR .

    (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre, Bến Tre)

    (Đề thi HSG Đồng Tháp, vòng 2)

    BD

    . Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OPQOMQOMP ,, bằng nhau.

    (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11 THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp)

    BP

    . Chứng minh rằng

    MK BP

    .

    (Đề chọn đội tuyển THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định)

    Bài 20.

    Gọi IG, là trọng tâm, tâm nội tiếp tam giác

    ABC

    . Đường thẳng qua

    G

    và song song với

    BC

    cắt

    ACAB, theo thứ tự tại

    bc

    CB , . Các điểm

    abca

    BAAC ,,, được xác định tương tự. Các điểm

    cba

    III ,,

    theo thứ tự là tâm nội tiếp các tam giác

    ccbbaa

    BGAAGCCGB ,, . Chứng minh rằng

    cba

    CIBIAI ,, đồng

    quy tại một điểm trên

    GI

    .

    (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN)

    7

    đồng quy.

    (Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên ĐHSP HN)

    2.

    , ,

    M N P

    thẳng hàng.

    (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11, THPT chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình) 8

    (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN)

    10

    11

    đồng quy.

    (Đề chi chọn đội tuyển Hải Phòng)

    Bài 49.

    Cho hình thang

    ABCD

    (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Đại học Vinh)

    Phần hai: Lời giải

    BD

    . Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OPQOMQOMP ,, bằng nhau.

    (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11 THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp)

    Lời giải.

    M

    Q

    P

    O

    A

    B

    D

    C

    15

    Tương tự, ta suy ra đpcm.

    18

    19

    20

    22

    chuyển động trên một tia bất kì có gốc

    A

    và không nằm trên đường thẳng

    AB

    thì

    MN

    đi qua điểm

    D

    được xác định như trên.

    23

    24

    đồng quy.

    (Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên ĐHSP HN)

    25

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tuyển Chọn Các Bài Toán Hay Về Hình Học Phẳng Có Lời Giải Hướng Dẫn
  • Giải Bài Tập Sgk Công Nghệ Lớp 11 Bài 3: Thực Hành: Vẽ Các Hình Chiếu Của Vật Thể Đơn Giản
  • Giải Địa Lí 11 Bài 4: Thực Hành Tìm Hiểu Những Cơ Hội Và Thách Thức Của Toàn Cầu Hóa Đối Với Các Nước Đang Phát Triển
  • Địa Lí 11 Bài 4: Thực Hành Tìm Hiểu Những Cơ Hội Và Thách Thức Của Toàn Cầu Hóa Đối Với Các Nước Đang Phát Triển
  • Địa Lí 11 Bài 4 Ngắn Nhất: Thực Hành: Tìm Hiểu Những Cơ Hội Và Thách Thức Của Toàn Cầu Hóa Đối Với Các Nước Đang Phát Triển.
  • Các Bài Toán Hình Học Lớp 9 Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Soạn Anh 7: Unit 9. Neighbors
  • Soạn Anh 7: Unit 8. At The Post Office
  • Unit 8. Films. Lesson 5. Skills 1
  • Skills 1 Trang 22 Unit 8 Tiếng Anh 7 Mới
  • Unit 3. Community Service. Lesson 5. Skills 1
  • , Working at Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên

    Published on

    Cac bai-toan-hinh-hoc-on-thi-vao-lop-10

    1. 4. N y x O K F E M BA 3. Rõ ràng đây là câu hỏi khó đối với một số em, kể cả khi hiểu rồi vẫn không biết giải như thế nào , có nhiều em may mắn hơn vẽ ngẫu nhiên lại rơi đúng vào hình 3 ở trên từ đó nghĩ ngay được vị trí điểm C trên nửa đường tròn. Khi gặp loại toán này đòi hỏi phải tư duy cao hơn. Thông thường nghĩ nếu có kết quả của bài toán thì sẽ xảy ra điều gì ? Kết hợp với các giả thiết và các kết quả từ các câu trên ta tìm được lời giải của bài toán. Với bài tập trên phát hiện M là trực tâm của tam giác không phải là khó, tuy nhiên cần kết hợp với bài tập 13 trang 72 sách Toán 9T2 và giả thiết M là điểm chính giữa cung AC ta tìm được vị trí của C ngay. Với cách trình bày dưới mệnh đề “khi và chỉ khi” kết hợp với suy luận cho ta lời giải chặt chẽ hơn. Em vẫn có thể viết lời giải cách khác bằng cách đưa ra nhận định trước rồi chứng minh với nhận định đó thì có kết quả , tuy nhiên phải trình bày phần đảo: Điểm C nằm trên nửa đường tròn mà thì AD là tiếp tuyến. Chứng minh nhận định đó xong ta lại trình bày phần đảo: AD là tiếp tuyến thì . Từ đó kết luận. 4. Phát hiện diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) chính là hiệu của diện tích tứ giác AOCD và diện tích hình quạt AOC thì bài toán dễ tính hơn so với cách tính tam giác ADC trừ cho diện tích viên phân cung AC. Bài 3 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); nó cắt Ax, By lần lượt ở E và F. 1. Chứng minh: 2. Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng. 3. Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh . 4. Khi MB = .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a. BÀI GIẢI CHI TIẾT 1. Chứng minh: . EA, EM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau ở E nên OE là phân giác của . Tương tự: OF là phân giác của . Mà và kề bù nên: (đpcm) hình 4 2. Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng. ” 0 60BC =” 0 60BC = · 0 EOF 90= MK AB⊥ 3 · 0 EOF 90= ·AOM ·BOM ·AOM·BOM· 0 90EOF =
    2. 5. Ta có: (tính chất tiếp tuyến) Tứ giác AEMO có nên nội tiếp được trong một đường tròn. Tam giác AMB và tam giác EOF có:, (cùng chắn cung MO của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO. Vậy Tam giác AMB và tam giác EOF đồng dạng (g.g). 3. Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh . Tam giác AEK có AE // FB nên: . Mà : AE = ME và BF = MF (t/chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên . Do đó MK // AE (định lí đảo của định lí Ta- let). Lại có: AE AB (gt) nên MK AB. 4. Khi MB = .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a. Gọi N là giao điểm của MK và AB, suy ra MN AB. FEA có MK//AE nên (1). BEA có NK//AE nên (2). Mà (do BF // AE) nên hay (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra . Vậy MK = NK. Tam giác AKB và tam giác AMB có chung đáy AB nên: . Do đó. Tam giác AMB vuông ở M nên tg A = . Vậy AM = và MB = = (đvdt). Lời bàn: (Đây là đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của tỉnh Hà Nam) . Từ câu 1 đến câu 3 trong quá trình ôn thi vào lớp 10 chắc chắn thầy cô nào cũng ôn tập, do đó những em nào ôn thi nghiêm túc chắc chắn giải được ngay, khỏi phải bàn, những em thi năm qua ở tỉnh Hà Nam xem như trúng tủ. Bài toán này có nhiều câu khó, và đây là một câu khó mà người ra đề khai thác từ câu: MK cắt AB ở N. Chứng minh: K là trung điểm MN. · · 0 90EAO EMO= = · · 0 180EAO EMO+ = *· · 0 EOF 90AMB = =· ·MAB MEO= MK AB⊥ AK AE KF BF = AK ME KF MF = ⊥⊥ 3 ⊥ ∆MK FK AE FA = ∆NK BK AE BE = FK BK KA KE = FK BK KA FK BK KE = + + FK BK FA BE = MK KN AE AE = 1 2 AKB AMB S KN S MN = = 1 2 AKB AMBS S= 3 MB MA = · 0 60MAB⇒ = 2 a3 2 a⇒1 1 3 . . . 2 2 2 2 AKB a a S⇒ = 21 3 16 a
    3. 6. x H Q I N M O C BA K x H Q I N M O C BA Nếu chú ý MK là đường thẳng chứa đường cao của tam giác AMB do câu 3 và tam giác AKB và AMB có chung đáy AB thì các em sẽ nghĩ ngay đến định lí: Nếu hai tam giác có chung đáy thì tỉ số diện tích hai tam giác bằng tỉ số hai đường cao tương ứng, bài toán qui về tính diện tích tam giác AMB không phải là khó phải không các em? Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với AB, đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi giao điểm của MO và AC là I. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMQI nội tiếp. b) . c) CN = NH. (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh) BÀI GIẢI CHI TIẾT a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp: Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) OA = OC (bán kính đường tròn (O)) Do đó: MO AC . (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) . Hai đỉnh I và Q cùng nhìn AM dưới Hình 5 một góc vuông nên tứ giác AMQI nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh:. Tứ giác AMQI nội tiếp nên Hình 6 (cùng phụ ) (2). có OA = OC nên cân ở O. (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra . c) Chứng minh CN = NH. Gọi K là giao điểm của BC và tia Ax. Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)). AC BK , AC OM OM // BK. Tam giác ABK có: OA = OB, OM // BK MA = MK. Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho có NH // AM (cùng AB) ta được: · ·AQI ACO= ⊥· 0 90MIA⇒ = · 0 90AQB = · 0 90MQA⇒ = · ·AQI ACO= · ·AQI AMI= ·MAC AOC∆· ·CAO ACO⇒ =· ·AQI ACO= · 0 90ACB =⊥⊥⇒⇒ ABM∆ ⊥
    4. 8. · · · · CDB CAB CAB CFA  =  = x F E D C B O A Từ (1) và (2) suy ra: chúng tôi = chúng tôi c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp: Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) ( cùng phụ ) Do đó tứ giác CDEF nội tiếp. Cách khác và có: chung và (suy từ chúng tôi = chúng tôi nên chúng đồng dạng (c.g.c). Suy ra: . Vậy tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp. d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi: Ta có: (do BD là phân giác ) . Tứ giác AOCD là hình thoi OA = AD = DC = OC AD = DC = R Vậy thì tứ giác AOCD là hình thoi. Tính diện tích hình thoi AOCD theo R: . Sthoi AOCD = (đvdt). Hình 8 Lời bàn 1. Với câu 1, từ gt BD là phân giác góc ABC kết hợp với tam giác cân ta nghĩ ngay đến cần chứng minh hai góc so le trong và bằng nhau. 2. Việc chú ý đến các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn kết hợp với tam giác AEB, FAB vuông do Ax là tiếp tuyến gợi ý ngay đến hệ thức lượng trong tam giác vuông quen thuộc. Tuy nhiên vẫn có thể chứng minh hai tam giác BDC và BFE đồng dạng trước rồi suy ra chúng tôi = chúng tôi Với cách thực hiện này có ưu việc hơn là giải luôn được câu 3. Các em thử thực hiện xem sao? 3. Khi giải được câu 2 thì câu 3 có thể sử dụng câu 2 , hoặc có thể chứng minh như bài giải. 4. Câu 4 với đề yêu cầu xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD trở thành hình thoi không phải là khó. Từ việc suy luận AD = CD = R nghĩ ngay đến cung AC bằng 1200 từ đó suy ra số đo góc ABC ·FAC· ·CDB CFA⇒ = ∆DBC∆FBE∆ µBBD BC BF BE = · ·EFBCDB = · ·ABD CBD=·ABC” “AD CD⇒ = ⇔ ⇔” ” 0 60AD DC⇔ = =” 0 120AC⇔ =· 0 60ABC⇔ = · 0 60ABC = ” 0 120 3AC AC R= ⇒ = 2 1 1 3 . . . 3 2 2 2 R OD AC R R= = ·ODB·OBD ” 0 120 3AC AC R= ⇒ =
    5. 9. H N F E CB A bằng 600 . Tính diện tích hình thoi chỉ cần nhớ công thức, nhớ các kiến thức đặc biệt mà trong quá trình ôn tập thầy cô giáo bổ sung như ,…….. các em sẽ tính được dễ dàng. Bài 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F ; BF cắt EC tại H. Tia AH cắt đường thẳng BC tại N. a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp. b) Chứng minh FB là phân giác của . c) Giả sử AH = BC . Tính số đo góc của ∆ABC. BÀI GIẢI CHI TIẾT a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp: Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) Tứ giác HFCN có nên nội tiếp được trong đường tròn đường kính HC) (đpcm). b) Chứng minh FB là tia phân giác của góc EFN: Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn đường kính BC). (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn đường kính HC). Suy ra: . Vậy FB là tia phân giác của góc EFN (đpcm) c) Giả sử AH = BC. Tính số đo góc BAC của tam giác ABC: FAH và FBC có: , AH = BC (gt), (cùng phụ ). Vậy FAH = FBC (cạnh huyền- góc nhọn). Suy ra: FA = FB. AFB vuông tại F; FA = FB nên vuông cân. Do đó . Bài 7 (Các em tự giải) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cát nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp. b) Chứng minh AD. AC = AE. AB. c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA DE. ·EFN ·BAC · · 0 90BFC BEC= = · · 0 180HFC HNC+ = · ·EFB ECB=”BE · ·ECB BFN=¼HN · ·EFB BFN= ∆∆· · 0 AFH 90BFC= =· ·FAH FBC=·ACB∆∆ ∆· 0 45BAC = ⊥
    6. 10. = // O FE C DBA d) Cho biết OA = R , . Tính BH. BD + CH. CE theo R. Bài 8 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn AB và kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường thẳng CD và F là chân đường vuông góc hạ từ D xuống đường thẳng AC. Chứng minh: a) Tứ giác EFDA nội tiếp. b) AF là phân giác của . c) Tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng. d) Các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích. (Trích đề thi tốt nghiệp và xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001) BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp: Ta có: (gt). Hai đỉnh E và F cùng nhìn AD dưới góc 900 nên tứ giác EFDA nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh AF là phân giác của góc EAD: Ta có: . Vậy ( so le trong) Tam giác AOC cân ở O (vì OA = OC = R) nên . Do đó: . Vậy AF là phân giác của góc EAD (đpcm). c) Chứng minh tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng: EFA và BDC có: (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFDA). . Vậy EFA và BDC đồng dạng (góc- góc). d) Chứng minh các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích: SACD = và SABF = . (1) BC // DF (cùng AF) nên hay DF. AC = chúng tôi (2). Từ (1) và (2) suy ra : SACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: có thể giải 2 cách khác nữa). · 0 60BAC = ·EAD · · 0 AFD 90AED = = // AE CD AE OC OC CD ⊥ ⇒ ⊥ · ·EAC CAD= · ·CAO OCA=· ·EAC CAD= ∆∆ · ·EFA CDB=”AE · · · · · ·EAC CAB EAF BCD CAB DCB  = ⇒ = = ∆∆ 1 . 2 DF AC 1 .AF 2 BC ⊥ AF BC AC DF =
    7. 11. O P K M H A C B Bài 9 Cho tam giác ABC ( ) nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến tiếp tuyến đó. AH cắt đường tròn (O) tại M (M ≠ A). Đường vuông góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và AB tại P. a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp. b) Chứng minh ∆MAP cân. c) Tìm điều kiện của ∆ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng. BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp: Ta có : (gt), (gt) Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối nhau bằng 1800 nên nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh tam giác MAP cân: AH // OC (cùng vuông góc CH) nên (so le trong) AOC cân ở O (vì OA = OC = R) nên . Do đó: . Vậy AC là phân giác của . Tam giác MAP có AK là đường cao (do AC MP), đồng thời là đường phân giác nên tam giác MAP cân ở A (đpcm). Cách 2 Tứ giác MKCH nội tiếp nên (cùng bù ). (cùng bằng sđ), (hai góc đồng vị của MP// CB). Suy ra: . Vậy tam giác AMP cân tại A. c) Tìm điều kiện cho tam giác ABC để ba điểm M; K; O thẳng hàng: Ta có M; K; P thẳng hàng. Do đó M; K; O thẳng hàng nếu P O hay AP = PM. Kết hợp với câu b tam giác MAP cân ở A suy ra tam giác MAP đều. Do đó . Đảo lại: ta chứng minh P O: Khi (do AC là phân giác của ) . Tam giác MAO cân tại O có nên MAO đều. Do đó: AO = AM. Mà AM = AP (do MAP cân ở A) nên AO = AP. Vậy P O. Trả lời: Tam giác ABC cho trước có thì ba điểm M; K và O thẳng hàng. · 0 45BAC < · 0 90MHC =· 0 90MKC = · ·MAC ACO= ∆· ·ACO CAO=· ·MAC CAO=·MAB⊥ · ·AMP HCK=·HMK· ·HCA CBA=1 2 “AC· ·CBA MPA= · ·AMP APM= ≡ · 0 30CAB =· 0 30CAB = ≡ · 0 30CAB = ⇒· 0 60MAB =·MAB· 0 60MAO =∆∆≡ · 0 30CAB =
    8. 12. / / //// H QP I O N M CB A Bài 10 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N ( A≠ M&N). Gọi I, P và Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OH, BH, và CH. Chứng minh: a) b) Tứ giác BMNC nội tiếp. c) Điểm I là trực tâm tam giác APQ. BÀI GIẢI a) Chứng minh : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)). Nên Tam giác ANH vuông tại N. (do AH là đường cao của ABC) nên tam giác AHC vuông ở H. Do đó (cùng phụ ). b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp: Ta có : (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN). (câu a). Vậy: . Do đó tứ giác BMNC là một tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh I là trực tâm tam giác APQ: OA = OH và QH = QC (gt) nên QO là đường trung bình của tam giác AHC. Suy ra: OQ//AC, mà AC AB nên QO AB. Tam giác ABQ có AH BQ và QO AB nên O là trực tâm của tam giác. Vậy BO AQ. Mặt khác PI là đường trung bình của tam giác BHO nên PI // BO. Kết hợp với BO AQ ta được PI AQ. Tam giác APQ có AH PQ và PI AQ nên I là trực tâm tam giác APQ (đpcm). Bài 11 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C là điểm bất kỳ thuộc đường tròn đó (C≠ A&B). M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và BC. Các đường thẳng BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và BC cắt nhau ở P. Chứng minh: a) Tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. b) KN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. BÀI GIẢI · ·AHN ACB= · ·AHN ACB= · 0 90ANH = · 0 90AHC =∆· ·AHN ACB=·HAC · ·AMN AHN= · ·AHN ACB= · ·AMN ACB= ⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥
    9. 13. H / / = = P O K I N M C BA a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó: Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)). Do đó: Tứ giác ICPN có nên nội tiếp được trong một đường tròn. Tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICPN là trung điểm của đoạn thẳng IP. b) Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tam giác INP vuông tại N, K là trung điểm IP nên . Vậy tam giác IKN cân ở K . Do đó (1). Mặt khác (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN đường tròn (K)) (2) N là trung điểm cung CB nên . Vậy NCB cân tại N. Do đó : (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra , hai góc này ở vị trí đồng vị nên KN // BC. Mặt khác ON BC nên KN ON. Vậy KN là tiếp tuyến của đường tròn (O). Chú ý: * Có thể chứng minh * hoặc chứng minh . c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định: Ta có (gt) nên . Vậy OM là phân giác của . Tương tự ON là phân giác của , mà và kề bù nên . Vậy tam giác MON vuông cân ở O. Kẻ OH MN, ta có OH = chúng tôi = R. = không đổi. Vậy khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định (O; ). · · 0 90ACB ANB= = · · 0 90ICP INP= = · · 0 180ICP INP+ = 1 2 KN KI IP= = · ·KIN KNI= · ·NKP NCP= ” “CN BN CN NB= ⇒ =∆ · ·NCB NBC=· ·INK IBC= ⊥⊥ · · ·0 0 90 90KNI ONB KNO+ = ⇒ = · · ·0 0 90 90KNA ANO KNO+ = ⇒ = ¼ ¼AM MC=· ·AOM MOC=·AOC ·COB·AOC·COB· 0 90MON = ⊥2 2 2 2 R 2 2 R
    10. 14. / / // // H O K E D C B A _ = = / / O K H E D C B A Bài 12 Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa A và E , dây DE không qua tâm O). Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K . a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn . b) Chứng minh HA là tia phân giác của c) Chứng minh : . BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp: (tính chất tiếp tuyến) Tứ giác ABOC có nên nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC: AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Suy ra . Do đó . Vậy HA là tia phân giác của góc BHC. c) Chứng minh : ABD và AEB có: chung, (cùng bằng sđ ) Suy ra : ABD ~ AEB Do đó: (1) ABK và AHB có: chung, (do ) nên chúng đồng dạng. Suy ra: (2) Từ (1) và (2) suy ra: chúng tôi = AK. AH === = (do AD + DE = AE và DE = 2DH). Vậy: (đpcm). Bài 13 Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Trên đường tròn (O;R) lấy điểm M sao cho . Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là N. ·BHC 2 1 1 AK AD AE = + · · 0 90ABO ACO= = · · 0 180ABO ACO+ = ” “AB AC=· ·AHB AHC= 2 1 1 AK AD AE = + ∆∆ ·BAE· ·ABD AEB=1 2 “BD ∆∆ 2 . AB AD AB AD AE AE AB = ⇒ = ∆∆ ·BAH· ·ABK AHB=” “AB AC= 2 . AK AB AB AK AH AB AH = ⇒ = 1 . AH AK AE AD ⇒ = 2 2 . AH AK AE AD ⇒ =( )2 . AD DH AE AD +2 2 . AD DH AE AD + = . AD AD ED AE AD + + . AE AD AE AD +1 1 AD AE + 2 1 1 AK AD AE = + · 0 60MAB =
    11. 15. 60° O J IN M B A a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM). b) Kẻ các đường kính MOI của đường tròn (O; R) và MBJ của đường tròn (B; BM). Chứng minh N, I và J thẳng hàng và JI . JN = 6R2 c) Tính phần diện tích của hình tròn (B; BM) nằm bên ngoài đường tròn (O; R) theo R. BÀI GIẢI a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM). Ta có . (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)). Điểm M và N thuộc (B;BM); AM MB và AN NB. Nên AM; AN là các tiếp tuyến của (B; BM). b) Chứng minh N; I; J thẳng hàng và JI .JN = 6R2 . (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O và tâm B). Nên IN MN và JN MN . Vậy ba điểm N; I và J thẳng hàng. Tam giác MJI có BO là đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R. Tam giác AMO cân ở O (vì OM = OA), nên tam giác MAO đều. AB MN tại H (tính chất dây chung của hai đường tròn (O) và (B) cắt nhau). Nên OH = . Vậy HB = HO + OB = . Vậy JI . JN = 2R . 3R = 6R2 c) Tính diện tích phần hình tròn (B; BM) nằm ngoài đường tròn (O; R) theo R: Gọi S là diện tích phần hình tròn nằm (B; BM) nằm bên ngoài hình tròn (O; R). S1 là diện tích hình tròn tâm (B; BM). S2 là diện tích hình quạt MBN. S3 ; S4 là diện tích hai viên phân cung MB và NB của đường tròn (O; R). Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4). Tính S1: . Vậy: S1 = . Tính S2: S2 = = Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB. Squạt MOB = . OA = OB SMOB = SAMB = = = Vậy S3 = = S4 (do tính chất đối xứng). Từ đó S = S1 – (S2 + 2S3) · · 0 90AMB ANB= = ⊥ ⊥ · · 0 90MNI MNJ= =⊥⊥ · 0 60MAO = ⊥ 1 1 2 2 OA R= 3 2 2 R R R+ = 3 2. 3 2 R NJ R⇒ = = · “0 0 60 120MAB MB= ⇒ =3MB R⇒ = ( ) 2 2 3 3R Rπ π= · 0 60MBN = ⇒ ( ) 2 0 0 3 60 360 Rπ 2 2 Rπ · 0 120MOB = ⇒2 0 2 0 .120 360 3 R Rπ π = ⇒1 2 1 1 . . . 2 2 AM MB 1 . 3 4 R R 2 3 4 R 2 3 Rπ 2 3 4 R −
    12. 16. _ // // = M O I H D C BA = – = (đvdt). Bài 14 Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB . Trên tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn này lấy điểm C sao cho AC = AB . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của đường tròn (O; R), với D là tiếp điểm. a) Chứng minh rằng ACDO là một tứ giác nội tiếp. b) Gọi H là giao điểm của AD và OC. Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH; AD. c) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai M. Chứng minh . d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB. Tính diện tích phần của hình tròn này nằm ngoài đường tròn (O; R). BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp: (tính chất tiếp tuyến). Tứ giác ACDO có nên nội tiếp được trong một đường tròn. b) Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH; AD: CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OD =R và AH = HD Tam giác ACO vuông ở A, AH OC nên = =. Vậy AH = và AD = 2AH = . c) Chứng minh : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) . Hai đỉnh H và M cùng nhìn AC dưới góc 900 nên ACMH là tứ giác nội tiếp. Suy ra: . Tam giác ACB vuông tại A, AC = AB(gt) nên vuông cân. Vậy . Do đó : . d) Tính diện tích hình tròn (I) nằm ngoài đường tròn (O) theo R: Từ và mà (do CAB vuông cân ở B). Nên Tứ giác HMBO nội tiếp . Do đó . Vậy tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB là trung điểm MB. Gọi S là diện tích phần hình tròn (I) ở ngoài đường tròn (O). 2 3 Rπ2 2 2 2 3 2 3 2 R R Rπ π  + − ÷ ÷   2 2 11 3 3 6 R Rπ + · 0 45MHD = · · 0 90CAO CDO= = · · 0 180CAO CDO+ = OC AD⇒ ⊥ ⊥ 2 2 2 1 1 1 AH AO AC = + ( ) 22 1 1 2R R + 2 5 4R 2 5 5 R4 5 5 R · 0 45MHD = · 0 90AMB =· 0 90CMA⇒ =· ·ACM MHD= · 0 45ACB = · 0 45MHD = · 0 90CHD =· 0 45MHD =· 0 45CHM⇒ =· 0 45CBA =∆ · ·CHM CBA= ⇒· · 0 90MHB MOB= =
    13. 17. E I K H ON M D C BA S1 là diện tích nửa hình tròn đường kính MB. S2 là diện tích viên phân MDB. Ta có S = S1 – S2 . Tính S1: . Vậy S1 = . Tính S2: S2 = SquạtMOB – SMOB = = . S = ( ) = . Bài 15 Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm . Gọi H làđiểm nằm giữa A và B sao cho AH = 1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB). a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp. b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tg. c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH. BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra . Tứ giác MNAC có nên nội tiếp được trong một đường tròn. b) Tính CH và tg ABC. AB = 6 (cm) ; AH = 1 (cm) HB = 5 (cm). Tam giác ACB vuông ở C, CH AB CH2 = AH . BH = 1 . 5 = 5 (cm). Do đó tg ABC = . c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O): Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNAC). (so le trong của MN // CD) và (cùng chắn ) Nên . Do sđ sđ . Suy ra CN là tiếp tuyến của đường tròn (O). (xem lại bài tập 30 trang 79 SGK toán 9 tập 2). d) Chứng minh EB đi qua trung điểm của CH: ” 0 90 2MB MB R= ⇒ = 2 2 1 2 . 2 2 4 R Rπ π   = ÷ ÷  ∆2 0 2 0 .90 360 2 R Rπ − 2 2 4 2 R Rπ − ∗2 4 Rπ − 2 2 4 2 R Rπ − 2 2 R ·ABC · 0 90ACB = · 0 90MCA =µ µ 0 180N C+ = ⇒ ⊥⇒ 5CH⇒ = 5 5 CH BH = · ·NCA NMA=· ·NMA ADC=· ·ADC ABC=”AC· ·NCA ABC=· 1 2 ABC = “AC· 1 2 NCA⇒ = “AC
    14. 18. / /? _ αK E H M O D C B A Gọi K là giao điểm của AE và BC; I là giao điểm của CH và EB. KE//CD (cùngvới AB) (đồng vị). (cùng chắn cung BD). (đối đỉnh) và (cùng chắn ). Suy ra: cân ở E. Do đó EK = EC. Mà EC = EA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên EK = EA. có CI // KE và có IH // AE . Vậy mà KE = AE nên IC = IH (đpcm). Bài 16 Cho đường tròn tâm O, đường kính AC. Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K (K nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ CD (E không trùng C và D), AE cắt BD tại H. a) Chứng minh tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp. b) Chứng minh AD2 = AH. AE. c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm. Tính chu vi hình tròn (O). d) Cho . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác MBC cân tại M. Tính góc MBC theo để M thuộc đường tròn (O). Hướng dẫn c) Tính BK = 12 cm, CK = 16 cm, dùng hệ thức lượng tính được CA = 25 cm R = 12,5 cm. Từ đó tính được C = 25 d) M (O) ta cần có tứ giác ABMC nội tiếp. Từ đó tính được . Bài 17 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc xAC cắt nửa đường tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E. a) Chứng minh ∆ABE cân. b) Đường thẳng BD cắt AC tại K, cắt tia Ax tại F . Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp. c) Cho . Chứng minh AK = 2CK. Bài 18 Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN không đi qua tâm O. Gọi I là trung điểm MN. ⊥· ·AKB DCB⇒ =· ·DAB DCB=· ·DAB MAN=· ·MAN MCN=¼MN · ·EKC ECK KEC= ⇒ ∆ KBE∆⇒CI BI KE BE = ABE∆⇒IH BI AE BE = CI IH KE AE = ·BCD α= α ⇒ π ∈ ⇔· · 0 180ABM ACM+ =·0 0 90 2 180 2 MBC α ⇔ + + = · 0 180 4 MBC α− = · 0 30CAB =

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lời Giải Toán Lớp 9
  • Đáp Án Củng Cố Và Ôn Luyện Tiếng Anh 9 Tập 2
  • Củng Cố Và Ôn Luyện Toán 9 Tập 1
  • Củng Cố Và Ôn Luyện Toán 9
  • Skills Trang 10 Unit 6 Sgk Tiếng Anh 11 Mới
  • Các Phương Pháp Giải Toán Hình Học Không Gian

    --- Bài mới hơn ---

  • Skkn Giai Toan Hinh Hoc Lop 5
  • Rèn Kĩ Năng Giải Toán Có Nội Dung Hình Học Cho Học Sinh Lớp 5
  • Phương Pháp Giải Bài Toán Về Đường Tròn Môn Hình Học Lớp 9
  • Đề Tài Phương Pháp Giải Bài Toán Quang Hình Học Lớp 9
  • Phương Pháp Giải Bài Toán Quang Hình Học Lớp 9
  • Các phương pháp giải Toán hình học không gian

    Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

    bao gồm các dạng toán và phương pháp giải bài toán hình học không gian. Hi vọng qua các bí quyết giải toán này, các bạn học sinh khi làm toán sẽ giải bài tập nhanh hơn, tiếp kiệm thời gian bài thi hơn. Đây sẽ là tài liệu hữu ích dành cho các bạn tham khảo nhằm học tốt môn Toán THPT, ôn thi THPT Quốc gia môn Toán hiệu quả.

    306 bài tập trắc nghiệm hình học không gian lớp 12

    Bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện (Có đáp án)

    Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Hình học không gian

    Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Hình học giải tích trong mặt phẳng

    GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

    Mở đầu

    Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh, nhưng nếu biết đưa ra phương pháp giải cho từng dạng toán, kiên trì hướng dẫn học sinh thực hiện theo đúng phương pháp đó, thì việc học và giải toán hình học không gian sẽ đỡ khó hơn rất nhiều và mỗi học sinh đều có thể học và giải những đề thi đại học phần hình học không gian một cách nhẹ nhàng.

    Một số phương pháp giải toán Hình Học Không Gian

    BÀI TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

    * Phương pháp:

    Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.

    • Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy.
    • Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.

    Cách 2: Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng // thì chỉ cần tìm 1 điểm chung, khi đó giao tuyến sẽ đi qua điểm chung và // với 2 đường thẳng này

    BÀI TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

    * Phương pháp:

    – Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P).

    – Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:

    1. Tìm một mp (Q) chứa a.

    2. Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).

    3. Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ (P).

    BÀI TOÁN 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

    * Phương pháp:

    Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt.

    BÀI TOÁN 4: Chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy.

    * Phương pháp:

    – Cách 1: Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.

    Tìm A = a ∩ b.

    Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P) ∩ (Q) = c.

    – Cách 2: Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.

    BÀI TOÁN 5: Tìm tập hợp giao điểm M của 2 đường thẳng di động a, b.

    * Phương pháp:

    – Tìm mp (P) cố định chứa a.

    – Tìm mp (Q) cố định chứa b.

    – Tìm c = (P) ∩ (Q). Ta có M thuộc c.

    – Giới hạn.

    BÀI TOÁN 6: Dựng thiết diện của mp(P) và một khối đa diện T.

    * Phương pháp:

    Muốn tìm thiết diện của mp(P) và khối đa diện T, ta đi tìm đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của T. Để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của T, ta thực hiện theo các bước:

    1. Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T.

    2. Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này từ đó làm tương tự ta tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng.

    BÀI TOÁN 7: Chứng minh một đường thẳng a đi qua 1 điểm cố định. * Phương pháp:

    Ta chứng minh: a = (P) ∩ (Q) trong đó (P) là một mặt phẳng cố định và (Q) di động quanh một đường thẳng b cố định. Khi đó a đi qua: I = (P) ∩ b.

    BÀI TOÁN 8: Chứng minh 2 đường thẳng a, b song song. * Phương pháp:

    • Cách 1: Ta chứng minh: a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh // trong hình học phẳng như: Ta lét, đường trung bình, … để chứng minh: a // b.
    • Cách 2: Chứng minh: a, b cùng // với một đường thẳng thứ ba c.
    • Cách 3: Áp dụng định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với 2 đường thẳng ấy.

    BÀI TOÁN 9: Tìm góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b. * Phương pháp:

    * Chú ý: Ta nên chọn O thuộc a hoặc b khi đó ta chỉ cần vẽ một đường thẳng // với đường còn lại.

    BÀI TOÁN 10: Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P). * Phương pháp:

    – Cách 1: Ta chứng minh: a // với một đường thẳng . Khi không thấy được b ta làm theo các bước:

    – Cách 2: Chứng minh:

    BÀI TOÁN 11: Dựng thiết diện song song với một đương thẳng a cho trước. * Phương pháp:

    Ta dựa vào tính chất: Mặt phẳng song song với đường thẳng a, nếu cắt mặt phẳng nào chứa a thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với a.

    BÀI TOÁN 12: Chứng minh 2 mặt phẳng song song. * Phương pháp:

    Chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.

    BÀI TOÁN 13: Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mp cho trước. * Phương pháp:

    Dựa vào Định lý: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mp thứ ba thì 2 giao tuyến // nhau.

    Mời tham gia Thi và Tải đề thi THPT Quốc gia MIỄN PHÍ

    Link đề thi trực tuyến: Link tải tài liệu thi thử THPT Quốc gia 2021 MIỄN PHÍ:

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Vật lý

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Hóa học

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Sinh học

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Ngữ văn

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Lịch sử

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Địa lý

    Đề thi thử THPT Quốc gia môn Tiếng Anh

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Toán Lớp 6 Tập 2
  • Giải Bài Tập Trang 39, 40 Sgk Hình Học 12, Giải Toán Lớp 12 Bài 1, 2,
  • Giải Toán 7 Bài 6. Tam Giác Cân
  • Toán Hình Hoc Bài Cạnh Góc Cạnh Hai Tam Giac Bang Nhau Canh Goc Canh Ppt
  • Giải Toán Lớp 4 Trang 102, 103 Hình Bình Hành, Đáp Số Bài 1,2,3 Sgk
  • Các Câu Hình Học Toán 8 Giải Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Toán Lớp 8 Ôn Tập Chương 3 Phần Đại Số
  • Giải Toán 8 Bài 3. Diện Tích Tam Giác
  • Giải Toán 8 Bài 6. Diện Tích Đa Giác
  • Giải Toán Lớp 8 Bài 7: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình (Tiếp)
  • Toán 8 Bài 7: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình (Tiếp)
  • Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI

    HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

    Tham gia Nhóm: Chuyên đề Toán THCS để cập nhật nhiều hơn

    Tại: https://www.facebook.com/groups/chuyen.de.toan.thcs/

    Câu 1 : Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ

    thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên

    cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

    Chứng minh : ∆OEM vuông cân.

    Chứng minh : ME // BN.

    Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.

    Hướng dẫn giải

    E

    A

    B

    1

    1

    O

    2

    3

    M

    1

    D

    C

    H’

    H

    N

    a. Xét ∆OEB và ∆OMC

    Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC

    . Mặt khác: BE = CM ( gt )

    Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)

    OE = OM và

    Lại có

    vì tứ giác ABCD là hình vuông

    kết hợp với OE = OM

    ∆OEM vuông cân tại O

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    b. Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông

    AB = CD và AB // Chọn đáp án D.

    + AB // CD

    ( Theo ĐL Ta- lét) (*)

    AB // CN

    Mà BE = CM (gt) và AB = CD

    AE = BM thay vào (*)

    ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)

    Ta có :

    c. Gọi H’ là giao điểm của OM và BN

    Từ ME // BN

    vì ∆OEM vuông cân tại O

    ∆OMC

    ( cặp góc so le trong)

    ∆BMH’ (g.g)

    ,kết hợp

    ∆OMB

    ( hai góc đối đỉnh)

    ∆CMH’ (c.g.c)

    Vậ y

    Mà CH

    BN ( H

    BN)

    H

    H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm).

    Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo

    BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.

    Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

    Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

    Chứng minh rằng : chúng tôi = CB.CK

    Chứng minh rằng : chúng tôi + chúng tôi = AC2.

    Hướng dẫn giải

    Chứng minh :

    Suy ra: BE = DF

    Do đó : Tứ giác BEDF là hình bình hành.

    b. Ta có:

    Chứng minh :

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    .

    H

    C

    B

    F

    O

    E

    A

    K

    D

    c. Chứng minh :

    Chứng minh :

    Mà : CD = AB

    Suy ra : chúng tôi + chúng tôi = chúng tôi + chúng tôi = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

    Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.

    Kẻ MEAB, MFAD.

    a. Chứng minh:

    b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

    c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

    Hướng dẫn giải

    a. Chứng minh:

    đpcm

    b. DE, BF, CM là ba đường cao của

    đpcm

    c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

    không đổi

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    lớn nhất

    (AEMF là hình vuông)

    là trung điểm của BD.

    Câu 4: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O.

    Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC

    theo thứ tự ở M và N.

    a, Chứng minh rằng OM = ON.

    b, Chứng minh rằng .

    c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính

    SABCD.

    Hướng dẫn giải

    a. Lập luận để có

    ,

    Lập luận để có

    OM = ON

    b, Xét

    Từ (1) và (2)

    để có

    OM.(

    (1), xét

    để có

    (2)

    )

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    từ đó có (OM + ON).

    C.

    ,

    Chứng minh được

    Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2

    SAOD = 2008.2009

    Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)

    Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D

    cắt AC tại E.

    Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài

    đoạn BE theo .

    Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM

    và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM

    Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .

    Hướng dẫn giải

    1. + Hai tam giác ADC và BEC có:

    Góc C chung.

    +

    (CDE

     CAB đồng dạng)

    Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

    Suy ra:

    do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:

    Nên

    2. Ta có:

    (do

    )

    (tam giác AHD vuông vân tại H)

    nên

    (do

    Do đó

    )

    (c.g.c), suy ra:

    3. Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

    Suy ra:

    , mà

    Do đó:

    .

    Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua A vẽ đường

    thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng

    song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng minh rằng:

    a) DK = CI

    b) EF // CD

    c) AB2 = CD.EF

    Hướng dẫn giải

    a. Tứ giác ABCK có:

    AB // CK (AB // CD, K

    CD)

    AK // BC (gt)

    ABCK là hình bình hành

    CK = AB

    DK = CD – CK = CD – AB

    (1)

    Chứng minh tương tự, ta có DI = AB

    IC = CD – DI = CD – AB

    (2)

    Từ (1) và (2) suy ra: DK = IC

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    A

    B

    F

    E

    D

    b.

    K

    I

    C

    DEK có AB // DK, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:

    (3)

    FIC có AB // IC, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:

    (4)

    Mà: DK = IC (câu a)

    (5)

    Từ (3), (4), (5) suy ra:

    EF // KC (định lý Ta-lét đảo)

    AKC có

    EF // CD

    c. Ta có:

    (vì AB = CK)

    (6)

    BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có:

    (7)

    BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có:

    Mà DI = AB

    Suy ra:

    (8)

    Từ (6), (7), (8) suy ra:

    AB2 = CD. EE

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    Câu 7: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD

    lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH

    cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.

    1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

    2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.

    Chứng minh rằng: AC = 2EF.

    3. Chứng minh rằng: .

    Hướng dẫn giải

    (cùng phụ

    1. Ta có

    )

    AB = AD ( gt)

    (ABCD là hình vuông)

    (g.c.g)

    Nên. AE = DM

    Lại có AE // DM ( vì AB // DC )

    Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành

    Mặt khác.

    (gt)

    Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    b. Ta có

    (g.g)

    hay

    Lại có

    ( AB=BC, AE=AF)

    (cùng phụ

    )

    (c.g.c)

    , mà

    BC = 2AE

    (gt)

    nên BC2 = (2AE)2

    E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

    Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)

    3. Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

    Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

    hay

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    (Pytago)

    (đpcm)

    Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh

    AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này

    cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

    a) Chứng minh: chúng tôi = ED.EC.

    b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng

    BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.

    c) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.

    Chứng minh .

    Hướng dẫn giải

    a) Chứng minh chúng tôi = chúng tôi Chứng minh

    EBD đồng dạng với

    ECA (g-g)

    – Từ đó suy ra

    b) Kẻ MI vuông góc với BC (

    . Ta có

    BIM đồng dạng với

    BDC (g-g)

    (1)

    Tương tự:

    ACB đồng dạng với

    ICM (g-g)

    Từ (1) và (2) suy ra

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    (2)

    (không đổi)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    E

    D

    A

    M

    Q

    B

    c) Chứng minh

    – Chứng minh

    P

    I

    BHD đồng dạng với

    DPB đồng dạng với

    C

    H

    DHC (g-g)

    CQD (c-g-c)

    .

    Câu 9:Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang

    ABCD (AB//CD). Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC

    lần lượt tại M và N.

    a) Chứng minh OM=ON.

    b) Chứng minh .

    c) Biết Tính ?

    Hướng dẫn giải

    a/ Ta có

    Do MN//DC

    b/ Do MN//AB và CD

    Do đó:

    Tương tự:

    OM=ON.

    .

    (1)

    (2)

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    Từ (1);(2)

    c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng t ỉ s ố gi ữa 2

    cạnh đáy tương ứng.

    Do vậy :

    Nhưng

    nên

    Tương tự

    .

    .Vậy

    d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K

    nên H, K nằm trong đoạn CD

    Do

    Ta có

    .

    Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE

    Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :

    (Do

    .

    ĐẶT BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8-NH-2020-2021

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)

    Đặt mua tại: https://xuctu.com/

    FB: facebook.com/xuctu.book/

    Email: [email protected]

    Đặt online tại biểu mẫu:

    https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau

    Câu 10:

    tại H.

    Tính tổng:

    Chứng minh: chúng tôi + chúng tôi = BC

    Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.

    Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN.

    Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm

    cố định.

    Hướng dẫn giải

    a. Trước hết chứng minh:

    Tương tự có:

    ;

    Nên

    =

    =1

    b. Trước hêt chứng minh

    =

    CDH

    CFB

    BDH

    BEC

    BH.BE = BD.BC

    CH.CF = CD.CB.

    BH.BE + chúng tôi = BC.(BD + CD) = BC (đpcm)

    A

    E

    F

    H

    M

    I

    B

    K

    N

    D

    C

    O

    c. Trước hết chứng minh:

    AEF

    ABC

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    CDE

    CAB

    mà EB AC nên EB là phân giác của góc DEF.

    Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.

    Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF

    nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)

    d. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có

    OMH =

    ONC (c.c.c)

    Mặt khác ta cũng có

    .(1)

    OCH cân tại O nên:

    Từ (1) và (2) ta có:

    .(2)

    HO là phân giác của góc BHC

    Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và p/giác của góc BHC nên O là

    điểm cố định.

    Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O.

    Câu 11: Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên

    cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là

    trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E.

    Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N.

    1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh.

    2/ Chứng minh: AK2 = KC . KE.

    3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam

    giác CME luôn có chu vi không đổi.

    4/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G. Chứng minh rằng không phụ

    thuộc vào vị trí của điểm M. Hướng dẫn giải

    1. + Từ MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE

    + Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE  KM

    + Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau

    nên MNKE là hình thoi.

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

    A

    B

    M

    N

    I

    K

    2:

    D

    E

    C

    G

    + Từ tính chất hình vuông có  ACK = 45 0.

    + Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM.

    3:

    + Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK

    nên EK = MB + ED.

    + Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK

    Nên AI là trung trực của MK

    Do đó ME = EK.

    + Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a.

    4:

    + Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó

    1

    1

    1

    1

    .

    2

    2 =

    2

    AM

    AG

    AK

    AG 2

    + Tam giác AKG vuông tại A nên AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do đó

    AK2 . AG2 = KG2 . AD2.

    + Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nên ta có

    AK2 . AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay

    1

    1

    1

    AK 2  AG 2

    1

     2 , suy ra

    2

    2 =

    2

    2

    AK

    AG

    a2

    AK . AG

    a

    Câu 12: Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm M

    chuyển động trên cạnh DC (MD, MC) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho

    MAN = 45o, DB thứ tự cắt AM, AN tại E và F.

    1. Chứng minh:  ABF  AMC

    2.Chứng minh AFM = AEN = 90o

    Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:

    0918.972.605(Zalo)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài 54 Trang 34 Sgk Toán 8 Tập 2
  • Giải Toán 8 Bài 10 Chia Đơn Thức Cho Đơn Thức
  • Giải Toán Lớp 8 Bài 2: Hình Hộp Chữ Nhật (Tiếp)
  • Bài Tập Phần Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình (Tiếp) Sách Giáo Khoa Toán Lớp 8
  • Bài Tập Phần Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Sách Giáo Khoa Toán Lớp 8
  • Các Dạng Toán Hình Học Lớp 5

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Lesson 1 Unit 12 Trang 12,13 Sgk Tiếng Anh Lớp 5 Mới
  • Đề Thi Học Kì 2 Môn Khoa Học Lớp 5 Năm Học 2021
  • Lời Giải Vở Bài Tập Tiếng Việt Lớp 3 (Tập 2)
  • Lời Giải Sách Lưu Hoằng Trí 7 Trang 178
  • Bài 1 Trang 147 Sgk Địa Lí 10
  • Trong quá trình học tập để đạt được kết quả cao đồng thời nắm vững kiến thức về môn toán học một cách hiệu quả ngoài việc học trên lớp cũng như chương trình giảng dạy theo bộ sách giáo khoa cải cách các Bạn cần phải tìm hiểu và cần nên sưu tầm thêm một số tư liệu về những dạng bài tập hay chịu khó nghiên cứu các tài liệu về bộ môn toán học lớp 5 nếu làm được điều đó chúng tôi tin chắc rằng Bạn sẽ rất thành công và trở thành người giỏi môn Toán thực sự .Chính vì vậy chúng tôi cũng cố gắng biên soạn và sưu tầm kho một cách đầy đủ và đa dang nhằm giúp Bạn có thêm tài liệu tham khảo , trong quá trình sưu tầm và biên soạn đội ngũ Giáo viên chuyên Toán của Gia Sư Tài Năng Việt cũng không tránh khỏi những sai sót mong các Bạn thông cảm và đóng góp thêm để kho tài liệu môn Toán lớp 5 ngày càng phong phú và bổ ích hơn. Xin chân thành cám ơn sự đóng góp ý kiến của các Bạn!

    Gia Sư Dạy Kèm Tài Năng Việt chuyên cung cấp gia sư dạy kèm:

    Gia Sư Dạy kèm lớp 1 đến lớp 12 và luyện thi đại học tất cả các môn.

    – Dạy kèm Toán, Tiếng việt, Chính tả, rèn chữ đẹp, Dạy báo bài Từ lớp 1 đến lớp 5.

    – Dạy kèm cho các em chuẩn bị vào lớp 1, Rèn chữ đẹp.

    – Luyện thi cấp tốc các chứng chỉ tiếng anh: Toiec, Lelts, Toefl…

    Gia Sư Tiếng anh Dạy từ căn bản và nâng cao, anh văn thiếu nhi.

    – Dạy kèm các ngoại ngữ: Hoa, Hàn, Nhật, Pháp…

    – Dạy kèm Tin Học từ căn bản đến nâng cao.

    – Dạy kèm các môn năng khiếu: Đàn: Organ, Piano…Dạy vẻ: Mỹ thuật, Hội họa.

    Gia sư dạy kèm lớp 5 là được chúng tôi lựa chọn là các bạn có thành tích học tập giỏi, có điểm thi đại học cao, với các bạn ấy có phương pháp học tập tốt, quản lý thời gian hiệu quả. Sẽ hướng dẩn các em theo phương pháp đó thật tốt.

    – Ôn tập lại những kiến thức đã học ở trường.

    – Dạy sát chương trình, dạy sâu kiến thức, dạy kỹ chuyên môn.

    – Kỹ năng làm bài thi trắc nghiệm.

    – Luôn nâng cao và mở rộng kiến thức cho các em.

    – Nhận dạy thử tuần đầu không thu phí.

    (Để được tư vấn Miễn phí) Qúy Phụ Huynh Học Sinh Có Nhu Cầu Vui Lòng Xin Liên Hệ

    ĐT số: DĐ: 0908.193.734 – 0918.793.586 Hoặc Truy Cập Vào Trang web : chúng tôi

    --- Bài cũ hơn ---

  • Soạn Bài: Hoa Học Trò Trang 43 Sgk Tiếng Việt 4 Tập 2
  • Soạn Bài: Thắng Biển Trang 76 Sgk Tiếng Việt 4 Tập 2
  • Tập Làm Văn Lớp 4: Tóm Tắt Tin Tức
  • Giải Vở Bài Tập Toán 4 Bài 132: Luyện Tập Chung
  • Sách Giáo Khoa Toán 6 Tập 1
  • Các Bài Toán Về Hình Học Lớp 5 (Có Đáp Án)

    --- Bài mới hơn ---

  • 15 Đề Luyện Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 5
  • Đề Thi Cuối Học Kì 2 Môn Toán Lớp 5 Theo Thông Tư 22 Có Đáp Án
  • Top 20 Đề Thi Học Kì 2 Toán Lớp 5 Năm 2021
  • 300 Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5 Có Đáp Án
  • 8 Dạng Toán Về Chuyển Động Dành Cho Học Sinh Lớp 5 (Dạng 3)
  • CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 5

    : Hình bình hành ABCD có cạnh AB = BC. Biết cạnh AB dài hơn cạnh BC là 1dm. Hỏi chu vi hình bình hành là bao nhiêu xăng- ti-mét?

    Trả lời: Chu vi hình bình hành đó là … cm.

    A. 8 B. 80 C. 40 D. 16

    Câu 2: Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi gấp 5 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 9cm, tăng chiều dài thêm 4cm thì miếng bìa trở thành một hình vuông. Diện tích miếng bìa ban đầu là …

    A. 75 B. 150 C. 1242 D. 100

    : Một người rào xung quanh khu đất hình chữ nhật có chiều dài 28m, chiều rộng 15m hết 43 chiếc cọc. Hỏi người đó rào xung quanh khu đất hình vuông có cạnh 25m thì hết bao nhiêu chiếc cọc? Biết khoảng cách giữa 2 cọc là như nhau.

    Trả lời: Số cọc cần tìm là …

    A. 86 B. 50 C. 172 D. 25

    Câu 4: Một tấm bìa hình bình hành có chu vi 4dm. Chiều dài hơn chiều rộng 10cm và bằng chiều cao. Tính diện tích tấm bìa đó.

    Trả lời: Diện tích tấm bìa đó là … .

    A. 375 B. 144/5 C. 15 D. 135

    Câu 5: Tìm diện tích của 1/3 tấm bìa hình vuông có cạnh dài 1/2 m.

    Trả lời: Diện tích của 1/3 tấm bìa đó là … .

    A. 2/3 B. 1/12 C. 3/4 D.1/4

    : Một hình chữ nhật được chia thành 12 hình vuông bằng nhau và được xếp thành 3 hàng. Hỏi chu vi của hình chữ nhật là bao nhiêu nếu chu vi của mỗi hình vuông nhỏ là 12cm?

    Trả lời: Chu vi hình chữ nhật đó là … cm.

    A. 432 B. 42 C. 108 D. 14

    : Chiều rộng của khu đất hình chữ nhật A là 105m, bằng 7/12 chiều dài của nó. Hỏi chu vi của mảnh vườn B là bao nhiêu biết chu vi của mảnh vườn B bằng 5/6 chu vi khu đất A.

    Trả lời: Chu vi mảnh vườn B là ……… m. (475)

    : Một hình vuông có diện tích bằng 4/9 diện tích của một hình bình hành có đáy 25cm và chiều cao 9cm. Tính cạnh của hình vuông.

    Trả lời: Cạnh hình vuông đó dài ……… cm. (10)

    Câu 9: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Nếu mỗi chiều tăng 1m thì được hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 26 . Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu.

    A. 50m B 48m C. 54m D. 60m

    Câu 10: Một hình thoi có đường chéo thứ nhất là 3/5 m và bằng 2/3 đường chéo thứ hai. Tính diện tích hình thoi đó.

    Trả lời: Diện tích hình thoi đó là … .

    A. 6/25 B. 27/100 C. 27/50 D. 27/5

    Xem đầy đủ và tải về file word TẠI ĐÂ Y

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 5 Có Đáp Án
  • Đề Thi Hsg Toán + Tv Lớp 5 Có Đáp Án
  • Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 5
  • Một Số Biện Pháp Rèn Kỹ Năng Giải Toán Có Lời Văn Cho Học Sinh Lớp 5
  • Hyip, Make Money Online, Crypto, Bitcoin,: Sáng Kiến Kinh Nghiệm Toán 5: Đổi Mới Phương Pháp Giảng Dạy Để Nâng Cao Chất Lượng Giải Toán Có Lời Văn Cho Học Sinh Lớp 5
  • Một Số Bài Toán Hình Học Lớp 7 Cực Hay Có Đáp Án

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Học Tốt Môn Toán Hình Lớp 7
  • Hướng Dẫn Giải Bài Toán Hình Học Lớp 6 Với 4 Bước Đơn Giản
  • Bài Tập Hình Bình Hành Chọn Lọc, Có Đáp Án
  • Giải Bài Tập Trang 87 Sgk Toán 8 Tập 2 Bài 53, 54, 55
  • 40 Đề Thi Toán Vào Lớp 10 Chọn Lọc
  • Những bài tính góc của học sinh lớp 7 (có đáp án) hay cực.

    Bài 1: Tính các góc tam giác ABC cao AH, trung AD chia góc BAC thành 3góc nhau. Bài 2: Cho ABC có hat(ACB)=300. cao AH BC. D là trung AB. Tính góc BCD. Bài 3: Cho DeltaABC có góc C = 300 và BC = 2AB . Tính các góc A,B. Bài 4: Cho tam giác ABC ở ngoài tam giác các tam giác ABE và ACF. H là tâm ABE. I là trung BC. Tính các góc FIH. Bài 5: Cho tam giác ABC, ở ngoài ta các tam giác ACB1 và ABC1. K và L, là trung AC1 và CB1, M BC sao cho BM = 3MC . Tính các góc tam giác KLM. Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân A. M ý trên AC, tia Ax vuông góc BM. H là giao Ax BC và K là tia tia HC sao cho HK = HC. tia Ky vuông góc BM. I là giao Ky AB. Tính góc AIM. Bài 7: Cho Delta ABC có góc B=450; Góc C=1200. Trên tia tia CB D sao cho CD = 2CB. Tính hat(ADB Bài 8: Cho tam giác ABC , có góc A = 90 độ. AC = 3AB. Trên AC 1 D sao cho DA = 2 DC. Tính hat(ADB)+hat(ACD) Bài 9: Cho tam giác ABC, phía ngoài tam giác các tam giác vuông cân A là tam giác ADB và tam giác ACE. P, Q, M là trung BD, CE và BC. Tính các góc tam giác PQM. Bài 10: Cho tam giác ABC, các cao A và B, các không các . Hãy tính các góc tam giác ABC. Bài 11: Cho tam giác ABC cao AH, phân giác BD và góc AHD = 45 độ. Tính góc ADB. Bài 12: Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc B = . Trên tia tia AB H sao cho BH = 2 AC. Tính góc BHC. Bài 13: Cho tam giác ABC cân A. Có góc A = 400. Trên BC không A tia Bx sao cho góc CBx = 100. Trên Bx E sao cho BE = BA. Tính góc BEC. Bài 14: Cho tam giác ABC vuông cân ở A. E trong tam giác sao cho góc AEC góc ECA = 15 độ. Tính góc AEB. Bài 15: Cho tam giác cân ABC có góc ở A 20 độ. Các M,N theo trên AB. AC sao cho góc BCM = 50 độ, góc CBN = 60 độ.

    Đáp án:

    Bài 1: DK vuông góc AC Suy ra DK = HD = 1/2DB = 1/2 DC Suy ra góc C 30 độ. suy ra góc A = 90 độ và góc B 60 độ. Bài 2: AH =1/2BC (gt) mà AH =1/2AC (do góc C = 30 độ) Suy ra AC = BC nên DC là phân giác góc C. góc BCD 15 độ. Bài 3: BH vuông góc AC. minh H trùng A là xong. (còn )

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Giải Đề Thi Toán Thpt Quốc Gia 2021
  • Bài Tập Về Sổ Kế Toán Và Hình Thức Sổ Kế Toán
  • Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 12 Có Đáp Án
  • Đề Thi Hk2 Toán 12
  • Tổng Hợp Các Đề Toán Cao Cấp 2 Có Lời Giải
  • Địa Chỉ Các Trang Web Hướng Dẫn Giải Bài Tập Cho Học Sinh Hay Nhất

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Sbt Toán 12 Bài 2: Mặt Cầu
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 2: Dãy Số
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 4: Cấp Số Nhân
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Quy Tắc Đếm
  • Giải Sbt Tiếng Anh 9 Mới Unit 2: Vocabulary
  • Nếu bạn đang học lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 có nhu cầu ôn luyện, làm bài tập, tìm bài giải cho các môn Văn học, Toán học, Lịch sử, Địa lý, Vật Lý, Hóa học, Sinh học, Tiếng Anh… thì có thể tham khảo một số website sau:

    Các trang web hướng dẫn làm bài tập, ôn luyện các môn

    http://vietsciences.free.fr/ Môn khoa học.

    http://vi.wikipedia.org/wiki/Trang_Ch%C3%ADnh – Trang tư liệu lịch sử, văn hóa….(Có đủ thứ tất cả vì đây là bách khoa toàn thư ,kể cả triết học khi vào bạn hãy gõ từ “triết học” mà mình cần tìm)

    http://diendantoanhoc.net/ Môn Toán học.

    http://ephysicsvn.com/ver2/ Môn Vật lý

    http://thuvienvatly.com/bai-giang.htm Môn Vật lý

    TRang này có cả giáo trình điện tử về vật lý lớp 10,11,12.Các bạn nào yêu thích thì có thể vào download về.Rất nhiều tài liệu hữu ích

    Ngoài ra còn có các đoạn phim minh hoạ mà chúng ta có thể xem để hiểu thêm về bài học cùa chúng ta nhất là giành cho những ai yêu vật lý

    http://thuvienvatly.com/video.htm

    http://hoahocvietnam.com/ Môn hóa học

    *Các chuyên đề về hóa học lớp 12 .

    http://www3.tuoitre.com.vn/Tuyensinh/Index.aspx?ArticleID=149406&ChannelID=345

    http://www.sinhhocvietnam.com/vn/modules.php?name=Music Môn sinh học

    http://www.informatik.uni-leipzig.de/~duc/sach/dvsktt/index.html Môn lịch sử

    Các trang web học tập trực tuyến khác.

    http://forum.fithou.net.vn/index.aspx

    http://baigiang.wru.edu.vn:82/login/index.php

    Ebook toán ,lý ,hoá ,văn lớp 10, lớp 11, lớp 12

    http://www.echip.com.vn/echiproot/html/software.html

    Trang web ôn tập, luyện thi trực tuyến:

    http://www.hocmai.vn

    Trang web học tập rất hữu ích . Với các bài kiểm tra 15 phút trắc nghiệm . Các bạn có thể khám phá thêm tại đấy .

    Hiện tại học mãi (http://www.hocmai.vn) cũng đang có cuộc thi tú tài số diễn ra tới hết năm . Các bạn có thể tham gia . Mình tin rằng sẽ rất hữu ích

    http://www.thitracnghiem.com/tracnghiem/tracnghiem.php

    http://vatlysupham.com/dovui/quiz.php

    http://thuvienkhoahoc.com/dethi/VLOS:Trang_Ch%C3%ADnh

    Các trang web làm bài tập Toán dưới dạng game dành cho học sinh

    1. chúng tôi là trang web dành cho giáo viên, học sinh, nhà nghiên cứu, kể cả phụ huynh và các đối tượng công tác trong ngành giáo dục. Trong trang web này cũng có luôn cả phần hỏi đáp và cả phần diễn đàn nhằm để trao đổi với nhau.

    www.pthis.org lấy hình ảnh mèo làm biểu tượng xuyên suốt. Các bé có thể tìm thấy những khái niệm toán học đơn giản thông qua các trò chơi, các mẹo vặt…

    Mathleague giới thiệu một vài quyển sách hay, những bài test và cả những phần mềm hữu dụng (www.mathleague.com).

    www.fleetkids.com dành cho học sinh tiểu học với rất nhiều games khác nhau.

    www.funbrain.com/numbers.html bao gồm 17 games chủ yếu là đá bóng, đua xe…

    www.mathcats.com giới thiệu các khái niệm toán học thông qua các games, các mẹo vặt…

    Trang web học về nghệ thuật

    BBC dành riêng một trang để giới thiệu về khá nhiều môn, trong đó bao gồm các môn khoa học tự nhiên, lịch sử, âm nhạc… dành cho cấp 1 và cấp 2. Các bạn có thể vào trang webhttp://www.bbc.co.uk/schools/

    Trang web chúng tôi thích hợp cho những người thích màu sắc. Bên cạnh đó, còn có games giúp thư giãn.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập C Có Lời Giải
  • Học Jquery Cơ Bản Và Nâng Cao
  • Bài Tập C/c++ Có Lời Giải Pdf
  • Tổng Hợp Bài Tập Javascript Có Code Mẫu
  • Tổng Hợp Các Bài Tập Javascript Cơ Bản Có Lời Giải 2021
  • Web hay
  • Guest-posts
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100