Tổng Hợp Các Bài Toán Có Lời Văn Lớp 2

--- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Tiếng Anh Lớp 7 Tập 2 (Không Đáp Án)
  • Một Số Bài Toán Nâng Cao Lớp 2 Có Lời Giải
  • Bản Mềm: 120 Bài Toán Cơ Bản Và Nâng Cao Lớp 2
  • Giải Cùng Em Học Toán Lớp 2 Tập 1
  • Toán Lớp 2 Nâng Cao Có Lời Giải
  • Các dạng bài toán có lời văn lớp 2

    Các dạng bài tập toán lớp 2

    A. Các bước để giải bài toán có lời văn lớp 2

    Bước 1: Tìm hiều nội dung và tóm tắt bài toán

    + Tìm được các từ khóa quan trọng trong đề bài như “ít hơn”, “nhiều hơn”, “tất cả”, …

    + Sau đó tóm tắt bài toán

    Bước 2: Tìm các giải bài toán

    + Chọn phép tính giải thích hợp

    + Đặt lời giải thích hợp

    Bước 3: Trình bày bài giải

    B. Bài tập về các bài toán có lời văn lớp 2

    Bài 1: Đàn bò thứ nhất có 46 con, đàn bò thứ hai có 38 con. Hỏi hai đàn bò có bao nhiêu con?

    Bài 2: Hồng có 32 que tính, Lan cho Hồng thêm 18 que tính. Hỏi Hồng có tất cả bao nhiêu que tính?

    Bài 3: Hùng có 56 viên bi, Hùng cho Dũng 19 viên bi. Hỏi Hùng còn lại bao nhiêu viên bi?

    Bài 4: Hai lớp 2A và 2B trồng được 74 cây, lớp 2A trồng được 36 cây. Hỏi lớp 2B trồng được bao nhiêu cây?

    Bài 5: Một cửa hàng ngày thứ nhất bán được 24 cái ca, ngày thứ hai bán nhiều hơn ngày thứ nhất 18 cái ca. Hỏi ngày thứ hai cửa hàng bán được bao nhiêu cái ca?

    Bài 6: Đoạn dây thứ nhất dài 46dm, đoạn dây thứ nhất dài hơn đoạn dây thứ hai 18dm. Hỏi đoạn dây thứ hai dài bao nhiêu đêximet?

    Bài 7: An có nhiều hơn Bình 16 viên bi, An lại mua thêm 6 viên bi. Hỏi An nhiều hơn Bình tất cả bao nhiêu viên bi?

    Bài 8: Bao gạo thứ nhất cân nặng 54kg, bao gạo thứ nhất nhẹ hơn bao gạo thứ hai 16kg. Hỏi bao gạo thứ hai nặng bao nhiêu kilogam?

    Bài 9: Một đàn vịt có 100 con ở dưới ao và 100 con ở trên bờ. Bây giờ 10 con vịt dưới ao lên bờ phơi nắng. Hỏi bây giờ:

    a) Dưới ao còn bao nhiêu con vịt?

    b) Trên bờ có bao nhiêu con vịt?

    c) Số vịt ở trên bờ và số vịt ở dưới ao hơn kém nhau bao nhiêu con?

    d) Số vịt ở cả trên bờ và dưới ao là bao nhiêu con?

    Bài 10: Con ngỗng cân nặng 11kg. Con ngỗng cân nặng hơn con vịt 8 kg. Con gà cân nặng ít hơn con vịt 2 kg. Hỏi con ngỗng cân nặng hơn con gà mấy kg?

    C. Lời giải các bài toán có lời văn lớp 2

    Bài 1:

    Hai đàn bò có số con là:

    46 + 38 = 84 (con)

    Đáp số: 84 con bò

    Bài 2:

    Hồng có tất cả số que tính là:

    32 + 18 = 50 (que tính)

    Đáp số: 50 que tính

    Bài 3:

    Hùng còn lại số viên bi là:

    56 – 19 = 37 (viên bị)

    Đáp số: 37 viên bi

    Bài 4:

    Lớp 2B trồng được số cây là:

    74 – 36 = 38 (cây)

    Đáp số: 38 cây

    Bài 5:

    Ngày thứ hai cửa hàng bán được số ca là:

    24 + 18 = 42 (cái)

    Đáp số: 42 cái ca

    Bài 6:

    Đoạn dây thứ hai dài số đề xi mét là:

    46 – 18 = 28 (dm)

    Đáp số: 28dm

    Bài 7:

    An nhiều hơn Bình số viên bi là:

    16 + 6 = 22 (viên bi)

    Đáp số: 22 viên bi

    Bài 8:

    Bao gạo thứ hai nặng số ki-lô-gam là:

    54 + 16 = 70 (kg)

    Đáp số: 70kg

    Bài 9:

    a) Dưới ao bây giờ còn số con vịt là

    100 -10 = 90 (con vịt)

    b) Trên bờ bâu giờ có số con vịt là:

    100 + 10 = 110 (con vịt)

    c) Số vịt ở trên bờ hơn số vịt ở dưới ao số con là:

    110 – 90 = 20 (con vịt)

    d) Số vịt ở cả trên bờ và dưới ao là:

    110 + 90 = 200 (con vịt)

    Đáp số:

    a, 90 con vịt

    b, 110 con vịt

    c, 20 con vịt

    d, 200 con vịt

    Bài 10:

    Con vịt nặng số ki-lô-gam là:

    11 – 8 = 3(kg)

    Con gà nặng số ki-lô-gam là:

    3 – 2 = 1 (kg)

    Con ngỗng nặng hơn con gà số ki-lô-gam là:

    11 – 1 = 10 (kg)

    Đáp số: 10kg

    Ngoài giải toán có lời văn lớp 2 trên, để ôn tập môn toán lớp 2 các em học sinh có thể tham khảo các lời giải toán lớp 2, Toán lớp 2 nâng cao và bài tập môn Toán lớp 2 đầy đủ khác, để học tốt môn Toán hơn và chuẩn bị cho các bài thi đạt kết quả cao.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Tiếng Anh Lớp 2 Theo Chủ Đề
  • Bài Tập & Kiến Thức Tiếng Anh Lớp 2
  • 19 Đề Thi Học Kì 1 Môn Tiếng Việt Lớp 2 Có Đáp Án Tải Nhiều Nhất
  • Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán, Tiếng Việt Lớp 2
  • Giải Vở Bài Tập Lịch Sử 7 Bài 21: Ôn Tập Chương 4
  • Tổng Hợp Các Bài Toán Có Lời Văn Lớp 1

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Giải Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • 18 Bài Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • Giải Bài Tập Địa Lý 6 Bài 1: Vị Trí, Hình Dạng Và Kích Thước Của Trái Đất
  • Giải Bài Tập Lịch Sử Lớp 6 Bài 1: Sơ Lược Về Môn Lịch Sử
  • Giải Bài Tập Địa Lý 6 Bài 2: Bản Đồ. Cách Vẽ Bản Đồ
  • Giải toán có lời văn lớp 1

    Các bài Toán có lời văn lớp 1

    Viết số thích hợp vào chỗ chấm để có bài toán rồi giải bài toán: Bài 1:

    Bài toán: Có … con mèo đang chơi, có thêm … con mèo đi tới. Hỏi có tất cả bao nhiêu con mèo?

    Lời giải:

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 2:

    Bài toán: Có … mèo mẹ và … mèo con. Hỏi có tất cả bao nhiêu con mèo?

    Lời giải:

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Viết tiếp câu hỏi để có bài toán Bài 3:

    Bài toán: Có 2 con vịt dưới nước và 3 con vịt trên bờ. Hỏi

    …………………………………………………………………………………………?

    Lời giải:

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 4:

    Bài toán: Có … con chim đậu trên cành, thêm … con chim bay tới.

    Hỏi …………………………………………………………………………………………….?

    Lời giải:

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 5:

    Bài toán: Lúc đầu trên cành có … con chim, có … con chim bay đi. Hỏi trên cành còn lại bao nhiêu con chim?

    Lời giải:

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 6:

    Bài toán: Có … chú thỏ đang ngồi, và … chú thỏ đi nơi khác.

    Hỏi…………………………………………………………………………………………?

    Lời giải:

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 7:

    Bài toán: Trên cành có … con chim, có thêm … con chim bay tới.

    Hỏi ……………………………………………………………………………………………?

    Lời giải:

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 8:

    Bài toán: trên cây có … quả táo và … quả rụng xuống đất.

    Hỏi……………………………………………………………………………………………?

    Lời giải:

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài tập bổ sung

    Bài 1. Hồng có 8 que tính, Lan có 2 que tính. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu que tính?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 2. Cành trên có 10 con chim, cành dưới có 5 con chim. Hỏi có tất cả bao nhiêu con chim?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 3. Lớp 1B có 33 bạn, lớp 1C có 30 bạn. Hỏi cả hai lớp có tất cả bao nhiêu bạn?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 4. Tháng trước Hà được 15 điểm 10, tháng này Hà được 11 điểm 10. Hỏi cả hai tháng Hà được tất cả bao nhiêu điểm 10?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 5. Hoa có 16 cái kẹo, Hà cho Hoa thêm 3 cái kẹo nữa. Hỏi Hoa có tất cả bao nhiêu cái kẹo?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 6. Tú có 1 chục quyển vở, Tú được thưởng 5 quyển vở nữa. Hỏi tú có tất cả bao nhiêu quyển vở?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 7. Huệ có 2 chục bút chì, mẹ mua thêm cho Huệ 5 bút chì nữa. Hỏi Huệ có tất cả bao nhiêu bút chì?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 8. Tổ Một làm được 20 lá cờ, tổ Hai làm được 1 chục lá cờ .Hỏi cả hai tổ làm được tất cả bao nhiêu lá cờ?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 9. Hồng có 16 que tính, Hồng được bạn cho thêm 2 que tính. Hỏi Hồng có bao nhiêu que tính?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 10. Trong vườn nhà Nam trồng 20 cây bưởi và 3 chục cây cam. Hỏi trong vườn nhà Nam trồng được tất cả bao nhiêu cây?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 11. Hải có 25 viên bi, Nam có nhiều hơn Hải 2 chục viên bi. Hỏi Nam có bao nhiêu viên bi?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 12. Lớp 1B có 34 học sinh, lớp 1B hơn lớp 1A là 4 học sinh. Hỏi lớp 1A có bao nhiêu học sinh?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 13. Tùng có 36 bóng bay, Tùng có nhiều hơn Toàn 5 bóng bay. Hỏi Toàn có bao nhiêu bóng bay?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 14. Trong vườn nhà Nam trồng 28 cây bưởi, số cây bưởi nhiều hơn số cây cam là 2 chục cây. Hỏi trong vườn nhà Nam trồng bao nhiêu cây cam?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 15. Nhà An có 32 con gà, nhà An có ít hơn nhà Tú 2 chục con. Hỏi nhà Tú có bao nhiêu con gà?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 16. Hoàng có 25 nhãn vở, Hoàng kém Thanh 2 chục nhãn vở. Hỏi Thanh có bao nhiêu nhãn vở?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 17. Lan có 42 que tính, Lan kém Hoa 2 chục que tính. Hỏi Hoa có bao nhiêu que tính?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 18. Đàn gà có 45 con gà. Người ta bán đi một số con gà thì còn lại 2 chục con gà. Hỏi người ta đã bán bao nhiêu con gà?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 19. Năm nay Hoàng 9 tuổi. Hoàng nhiều hơn Nam 2 tuổi. Hỏi năm nay Nam mấy tuổi?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 20. Năm nay con 13 tuổi, con kém mẹ 25 tuổi. Hỏi năm nay mẹ bao nhiêu tuổi?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 21. Bạn Lan có 2 chục quyển vở, bạn Lan có ít hơn bạn Huệ 5 quyển vở. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu quyển vở?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 22. Quyển vở của Hà có 96 trang. Hà đã viết hết 42 trang. Hỏi quyển vở của Hà còn lại bao nhiêu trang chưa viết?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 23. Lớp 1A có 33 học sinh, lớp 1B có 3 chục học sinh. Hỏi cả 2 lớp có bao nhiêu học sinh?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 24. Bạn Tuấn có 3 chục viên bi, bạn Toàn có ít hơn bạn Tuấn 1 chục viên bi. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu viên bi?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 25. Năm nay Hoàng 9 tuổi. Hoàng nhiều hơn Nam 3 tuổi. Hỏi năm nay Nam mấy tuổi?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 26. Nam có 45 cái nhãn vở, bạn Nam ít hơn bạn Hà 2 chục nhãn vở. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu nhãn vở?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 27. Lớp 1A có 38 học sinh, lớp 1A nhiều hơn lớp 1B 4 học sinh. Hỏi cả hai lớp có bao nhiêu học sinh?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 28. Lan có 52 nhãn vở, Lan ít hơn Hải 3 chục nhãn vở. Hỏi Hải có bao nhiêu nhãn vở?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 29. Lan hái được 20 bông hoa, Mai hái được 10 bông hoa. Hỏi cả hai bạn hái được bao nhiêu bông hoa?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 30. Lớp 1A vẽ được 20 bức tranh, lớp 1B vẽ được 30 bức tranh. Hỏi cả 2 lớp vẽ được bao nhiêu bức tranh?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 31. Hoa có 30 cái nhãn vở, mẹ mua thêm cho Hoa 10 cái nhãn vở nữa. Hỏi Hoa có tất cả bao nhiêu nhãn vở?

    (Điền số vào tóm tắt rồi giải bài toán)

    Tóm tắt

    Có: . . . . . nhãn vở

    Thêm: . . . . . nhãn vở

    Có tất cả: . . . . .. nhãn vở?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 32. Đàn vịt có 13 con ở dưới ao và 5 con ở trên bờ. Hỏi đàn vịt đó có tất cả mấy con?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 33. Tâm có 15 quả bóng, Nam có ít hơn Tâm 4 quả bóng. Hỏi Nam có bao nhiêu quả bóng …………………………………………………………………………

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 34. Giải bài toán theo tóm tắt sau:

    Tóm tắt

    Có: 15 cây hoa

    Trồng thêm: 4 cây

    Có tất cả: ……cây hoa

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 35. Một cửa hàng có 30 xe máy, đã bán 10 xe máy. Hỏi của hàng còn lại bao nhiêu xe máy?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 36. Thùng thứ nhất đựng 30 gói bánh. Thùng thứ hai đựng 20 gói bánh. Hỏi cả hai thùng đựng bao nhiêu gói bánh?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 37. Trên tường có 14 bức tranh, người ta treo thêm 4 bức tranh nữa. Hỏi trên tường có tất cả bao nhiêu bức tranh?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 38. Một hộp bút có 12 bút xanh và 3 bút đỏ. Hỏi hộp đó có tất cả bao nhiêu cây bút?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 39. Lan gấp được một chục chiếc thuyền, Hùng gấp được 30 cái. Hỏi cả hai bạn gấp được bao nhiêu chiếc thuyền?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 40. Hà có 1 chục nhãn vở, mẹ mua cho Hà thêm 20 nhãn vở nữa. Hỏi Hà có tất cả bao nhiêu nhãn vở?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ……………………………………………………………………………….

    Bài 41. Có 40 con gà mái và một chuc con gà trống. Hỏi có tất cả bao nhiêu con gà?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 42. Tổ một trồng được 20 cây, tổ hai trồng được 10 cây. Hỏi cả hai tổ trồng được bao nhiêu cây?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 43. Cửa hàng có 30 cái nơ xanh và 20 cái hồng. Hỏi cửa hàng có tất cả bao nhiêu cái nơ? (2 điểm)

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 44. Bình có 20 viên bi, anh cho Bình thêm 3 chục viên bi nữa. Hỏi Bình có tất cả bao nhiêu viên bi? (Lưu ý bài này phải đổi 3 chục = 30)

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 45. Anh có 3 chục cái bánh. Anh cho em 10 cái bánh. Hỏi anh còn lại bao nhiêu cái bánh?

    Tóm tắt……… Đổi:………………………………….Bài giải…………

    ……………………………………………………………………………

    ……………………………………………………………………………

    Bài 46. Tổ Một có 60 bông hoa, cô giáo cho thêm 3 chục bông nữa. Hỏi tổ Một có tất cả bao nhiêu bông hoa?

    Tóm tắt……… Đổi:………………………………….Bài giải…………

    ……………………………………………………………………………

    ……………………………………………………………………………

    Bài 47. Ông Thu trồng được 20 cây cam và 10 cây chuối. Hỏi ông Thu đã trồng được tất cả bao nhiêu cây?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 48. Ngăn thứ nhất có 40 quyển sách, ngăn thứ hai có 30 quyển sách. Hỏi cả hai ngăn có tất cả bao nhiêu quyển sách?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 49. Giải bài toán theo tóm tắt sau

    Có: 10 viên bi

    Thêm: 8 viên bi

    Có tất cả ….. viên bi?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 50. Giải bài toán theo tóm tắt sau

    Thùng thứ nhất: 20 gói bánh

    Thùng thứ hai: 10 gói bánh

    Cả hai thúng có tất cả ….. gói bánh?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Bài 51. Giải bài toán theo tóm tắt sau

    Nam có: 50 viên bi

    Cho bạn: 20 viên bi

    Nam còn lại …….. viên bi?

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    ………………………………………………………………………………..

    Ngoài tài liệu trên, các em học sinh có thể tham khảo các lời giải toán lớp 1, Toán lớp 1 nâng cao và bài tập môn Toán lớp 1 đầy đủ khác, để học tốt môn Toán hơn và chuẩn bị cho các bài thi đạt kết quả cao.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 6 Bài 13: Ước Và Bội
  • Giải Sách Bài Tập Toán 6 Bài 13: Ước Và Bội
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 6 Bài 13: Ước Và Bội
  • Các Bài Toán Về Ứng Dụng Tỉ Lệ Bản Đồ
  • Dạng Toán Tổng – Hiệu Lớp 4

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Trang 65: Bài Mét Vuông Chi Tiết Nhất
  • Cách Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Và Hệ Phương Trình
  • Giải Toán Lớp 4 Trang 170, 171, Bài 1, 2, 3, 4, 5 Sgk (2021) ▶️ Wiki 1 Phút ◀️
  • Kunci Jawaban Brain Test 2 Prison Escape Level 1
  • Đáp Án Điên Não Level 1
  • Phương pháp giải toán lớp 4

    Ta có :

    Bài tập SGK trang 47 :

    Bài 1 : Tuổi bố và tuổi con cộng lại là 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. hỏi bố bao nhiêu tuổi , con bao nhiêu tuổi ?

    Nhận xét :

    • tuổi bố + tuổi con = 58 tuổi
    • tuổi bố – tuổi con = 38 tuổi

    —————– Giải. —————-

    Số tuổi của bố :

    (58 + 38) : 2 = 48 tuổi.

    Số tuổi của con :

    58 – 48 = 10 tuổi.

    Đáp số : 48 tuổi và 10 tuổi.

    Bài 2 : Một lớp có 48 học sinh. Số học sinh trai hơn số học sinh gái là 4 em. Hỏi lớp học có bao nhiêu học sinh trai, bao nhiêu học sinh gái ?

    Nhận xét :

    • số học sinh trai + số học sinh gái = 48 học sinh.
    • số học sinh trai – số học sinh gái = 4 học sinh.

    —————– Giải. —————–

    số học sinh gái là :

    (48 – 4) : 2 = 22 học sinh.

    số học sinh trai là :

    48 – 22 = 26 học sinh.

    Đáp số : 26 học sinh trai và 22 học sinh gái.

    Bài 3 : Cả hai lớp 4A và 4B trồng được 600 cây. lớp 4A trồng được ít hơn lớp 4B là 50 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây ?

    Nhận xét :

    • số cây lớp 4A + số cây lớp 4B = 600 cây
    • số cây lớp 4B – số cây lớp 4A = 50 cây

    —————– Giải. —————–

    Số cây lớp 4A trồng được là :

    (600 – 50) : 2 = 275 cây.

    Số cây lớp 4B trồng được là :

    600 – 275 = 325 cây.

    Đáp số : 275 cây và 325 cây.

    ==============================================

    Văn ôn – Võ luyện :

    Dạng 1 toán tổng – hiệu (ẩn tổng) :

    Bài 1: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 102m chiều dài hơn chiều rộng 11m tính diện tích hình chữ nhật.

    Phân tích :

    • chiều dài – chiều rộng  = 11m [hiệu = 11]
    • chu vi 102m . Dựa vào công thức  chu vi hình chữ nhật , ta tìm được : tổng = phân nửa chu vi.

    —————– Giải. —————–

    nửa chu vi hình chữ nhật :

    102 : 2 = 51m.

    chiều rộng của hình chữ nhật là :

    (51 – 11) : 2 = 20m.

    chiều dài  của hình chữ nhật là :

    51 – 20 = 31m.

    diện tích hình chữ nhật là :

    31 x 20 = 620 m2 .

    Đáp số : 620 m2 .

    Dạng 2 toán tổng – hiệu (ẩn hiệu) :

    Bài 2: Bố hơn con 31 tuổi, biết rằng 4 năm nữa tổng số tuổi của hai bố con là 51 tuổi. Hỏi hiện nay con bao nhiêu tuổi? Bố bao nhiêu tuổi?

    Phân tích :

    Dựa vào đặc điểm về thời gian (tuổi) : hiệu số tuổi của hai người luôn luôn không đổi tại mọi thời điểm.

    Ở 4 năm nữa :

    tuổi bố + tuổi con = 51 tuổi.

    tuổi bố – tuổi con = 31 tuổi.

    —————– Giải. —————–

    Sau 4 năm nữa, hiệu số tuổi của hai bố con luôn luôn không đổi là 31 tuổi.

    số tuổi của con sau 4 năm nữa là :

    (51 – 31) : 2 = 10 tuổi.

    số tuổi của con ở hiện nay là :

    10 – 4 = 6 tuổi.

    số tuổi của bố ở hiện nay là :

    6 + 31 = 37 tuổi.

    Đáp số : 6 tuổi – 37 tuổi.

    bài 3 : ý chứa ý (rất hay) :

    Hiện nay tổng số tuổi của anh và em là 26, khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay thì tổng số tuổi của hai người là 18. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.

    ĐS : 11 tuổi – 15 tuổi.

    ==============================================

    Phương pháp :

    • Bước 1 : Xác định tổng và hiệu.
    • Bước 2 : Đại lượng nào là số bé – Đại lượng nàolà số lớn.
    • Bước 3 : Áp dụng công thức.

    Dạng toán Tổng hiệu :

    Like this:

    Số lượt thích

    Đang tải…

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Dạy Toán Có Lời Văn Cho Học Sinh Tiểu Học
  • Brain Out Level 173 Vắt Sữa Giải
  • Brain Out Level 36 Giúp Họ Qua Sông Giải
  • Brain Out Level 186 Nhập Mật Khẩu Giải
  • Brain Out Đếm Kiến – Đáp Án Brain Out Level 1 Đến 225
  • Tổng Hợp Các Đề Toán Cao Cấp 2 Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Đề Thi Hk2 Toán 12
  • Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 12 Có Đáp Án
  • Bài Tập Về Sổ Kế Toán Và Hình Thức Sổ Kế Toán
  • Bài Giải Đề Thi Toán Thpt Quốc Gia 2022
  • Một Số Bài Toán Hình Học Lớp 7 Cực Hay Có Đáp Án
  • TỔNG HỢP ĐỀ TOÁN CAO CẤP 2

    Đề 3 :

    Câu 1: tính gần đúng:

    Câu 2 : Tính tích phân sau:

    Câu 3 .Xét tính phân kì và hội tụ của Câu 4: Giải phương trình vi phân:

    Câu 5: Giải phương

    trình sai phân:

    Đề 4 :

    Câu 1. Tìm cực trị của hàm số:

    Câu 2. tính

    Câu 3 tính tích phân

    Câu 4 : Giải phương

    trình vi phân

    Câu 5: Giải phương trình

    sai phân

    Đề 5:

    Câu 1: Tìm cực trị của hàm

    số: Câu 2: Tính nguyên

    hàm:

    Câu 3: xét tính phân kỳ hội tụ Câu 4:tính vi phân

    Câu 5 : Giải pt sai phân :

    Câu 5: gpt sai phân

    Đề 7

    Câu 1 : Tìm cực trị :

    Câu 2 : Tính tích phân của

    Câu 3 : Xét tính hội tụ phân kì

    của tích phân từ 0 đến 2 của

    Câu 4 : PTVP

    Câu 5 : PTSP Đề 9 :

    Câu 1: tính gần đúng

    Câu 2: tính tích phân

    Câu 3: tích phân Câu 4: vi phân

    Câu 5: sai phân

    Đề 11:

    Câu 1. Tìm cực trị: Câu 2. Tính tích phân:

    Câu 5.Giải ptrình sai phân:

    Đề 14

    Câu 1 : tính gần đúng :

    Câu 2 : tính tích phân :Câu 3 Xác định sự hội tụ phân kì : Câu 4: Tính vi phân

    Câu 5 : Tính sai phân :

    Đề 16 :

    Câu 1 . tính giá trị gần đúng câu 2 tính tích phân

    Câu 3 xét tính hội tụ hay

    phân kì Câu 4 giải

    phương trình vi phân

    Câu 5 giải phương trình

    sai phân

    Đề 18

    Câu 1 : Tính gần đúng Câu 2 : tính tích phân Câu 3 : xét tính hội tụ, phân kỳ Câu 4 : Giải pt vi phân

    Câu 3: xét hội tụ phân kì của

    Câu 4: vi phân

    Câu 5: sai phân

    Đề 22 :

    Câu 1: Tìm cực trị

    Câu 2 : tìm nguyên hàm

    Câu 3 : xét hội tụ phân kỳ

    Câu 4: ptvp

    Câu 5 : pt sai phân

    Đề 23 :

    1 Tìm cực trị :

    2.Tính tích phân

    3.Xét tính hội tụ, phân kỳ 4.Giải phương trình

    5.Giải phương trình

    Câu3.Tích phân

    Câu 4: Giải phương trình vi

    phân

    Câu5: Giải ptrình sai phân:

    Đề 30

    Câu 1: Tính gần đúng

    Câu 2:Tính tích phân

    Câu 3:Xét tính hội tụ phân kì

    của tích phân

    Câu 4:Giải phương trình vi phân: Câu 5:Giải phương trình sai phân:

    Đề 31

    Câu 1 : Tính gần đúng

    Câu 2 : Tính tích phân

    với ;

    Câu 3 : xét tính hội tụ và phân kỳ

    Câu 4 : giải pt vi phân

    Đề 32

    Câu 1 .Tìm miền xđ và

    biểu diễn qua đồ thị Câu 2 .

    Tích phân

    Câu 3 . Xét tính hội tụ hay phân kỳ của tích phân

    Câu 4 . Giải pt vi phân

    Câu 5 . Giải pt sai phân

    Đề khoa A

    Câu 1. tính

    Câu 2. Tích phân

    Câu 3 : Tích phân Câu 4. Tính Vi phân Câu 5 : Giải pt Sai phân

    Đề khoa H

    Bài 1: Tìm cực trị:

    Bài 2 tích phân

    Bài 3 tính hội tụ Bài 4 . gpt vp

    Bài 5 tính sai phân.

    3. xét ht,pk: 4. gpt:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đề Thi Toán Cao Cấp Ueh Có Đáp Án Chi Tiết
  • Tranh Cãi Gay Gắt Bài Toán Lớp 3 Tính Số Lãi Của Bác Nông Dân, Tưởng Đơn Giản Mà Đầy Người Lớn Cũng Sai Be Bét
  • Giải Thích Bài Toán Mua Bò
  • Giải Bài Toán Bằng Logo
  • Top 40 Đề Thi Toán Lớp 1 Có Đáp Án
  • Các Bài Toán Vận Dụng Tính Chất Và Dấu Hiệu Chia Hết Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Hình Học Lớp 6 Cơ Bản Và Nâng Cao
  • Bộ Đề Thi Học Kì 2 Môn Ngữ Văn Lớp 6
  • 30 Đề Thi Học Kì 1 Lớp 6 Môn Ngữ Văn Năm 2022
  • Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Tiếng Anh Lớp 6 Lần 1 Năm 2022
  • Đề Kiểm Tra Học Kì Ii Môn Vật Lý Lớp 6 Hay ( Có Đáp Án) Hay Lắm
  • Bài viết này sẽ hệ thống lại một số bài toán vận dụng tính chất và dấu hiệu chia hết cùng lời giải, qua đó giúp các em dễ dàng ghi nhớ và vận dụng khi gặp các bài toán chia hết.

    I. Tóm tắt lý tuyết về tính chất và dấu hiệu chia hết

    – Bất kỳ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó

    – Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

    – Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0

    – Bất cứ só nào cũng chia hết cho 1

    – Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a=b.

    – Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a+b chia hết cho m; a-b chia hết cho m

    – Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m, a-b không chia hết cho m

    – Nếu a chia hế cho b và a chia hết cho c mà (b;c)=1 thì a chia hết cho b.c

    – Nếu a.b chia hết cho c và (b,c)=1 thì a chia hế cho c

    – Nếu a chia hiết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên

    – Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n

    – Nếu a.b chia hết cho m và m là số nguyên tốt thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m

    – Nếu a chia hết cho m thì a n chia hết cho m với mọi n là số tự nhiên

    – Nếu a chia hết cho b thì a n chia hết cho b n với mọi n là số tự nhiên

    II. Các bài toán vận dụng tính chất và dấu hiệu chia hết

    – Dựa vào các dấu hiệu và tính chất chia hết

    a) 26.2020 chia hết cho 13

    b) 2014.2019 chia hết cho 3

    c) 1411.2020 chia hết cho 17

    Chứng minh rằng (7a) 2020 chia hết cho 49 ∀a∈N.

    ⇒(7a) 2020 chia hết cho 49 ∀a∈N.

    – Từ dấu hiệu chia hết cho 3 và chia hết cho 9, ta có:

    ⇒ (a+2+0+2+0) chia hết cho 3

    ⇒ (a+4) chia hết cho 3

    ⇒ a = 2

    a) 36 + 81 + 171 chia hết cho 9

    b) 135 + 275 + 335 chia hết cho 5

    c) 2124 – 204 chia hết cho 4

    d) 6433 – 2058 chia hết cho 7

    a) A = 1 + 3 + 3 2 +…+ 3 11 chia hết cho 40.

    ⇒ A chia hết cho 40.

    ⇒ B chia hết cho 30.

    – Vận dụng các tính chất và dấu hiệu chia hết.

    – Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1 và a+2

    – Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: b, b+1

    ⇒ Tích hai số là: b(b + 1)

    ⇒ Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.

    – Gọi hai số chẵn liên tiếp là: 2a và 2a+2 (a∈N)

    – Khi đó ta có: 2a.(2a+2) = 4a.(a+1)

    – Ta thấy, a(a+1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên theo ví dụ 2 thì a(a+1) chia hết cho 2.

    ⇒ 4.a.(a+1) chia hết cho 4.2

    ⇒ 4.a.(a+1) chia hết cho 8.

    – Kết luận: 2a.(2a+2) luôn chia hế cho 8, (∀a∈N).

    ◊ Với mọi số tự nhiên a (a chẵn hoặc a lẻ) ta có thể viết: a = 2k hoặc a = 2k + 1 (với k∈N).

    – Với a = 2k ta có:

    (a+3)(a+6) = (2k+3)(2k+6) = 2.(2k+3)(k+3) chia hết cho 2.

    – Với a = 2k + 1 ta có:

    (a+3).(a+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2).(2k+7) chia hết cho 2.

    – Vậy với mọi số tự nhiên a thì (a+3)(a+6) chia hết cho 2.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đề Thi Học Kì 2 Lớp 6 Môn Giáo Dục Công Dân Năm 2014
  • Đề Thi Giáo Dục Công Dân Lớp 6 Học Kì 2
  • Bài 21.1, 21.2, 21.3, 21.4, 21.5 Trang 66 Sbt Vật Lí 6
  • Bài Tập Tiếng Anh Lớp 6 Chương Trình Mới Unit 7: Television
  • Bài Tập Tiếng Anh Lớp 6 Thí Điểm Unit 7: Television
  • Tổng Hợp Các Bài Tập Vật Lý 12 Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • 1000 Bài Tập Trắc Nghiệm Vật Lí 12 Có Đáp Án
  • Giải Bài Tập Sbt Vật Lý 12 Bài 8
  • Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 5: Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Giải Bài 9, 10, 11 Trang 91 Sbt Sinh Học 9: Chương Vii Hệ Sinh Thái
  • Giải Bài 10 Trang 11 Sbt Sinh Học 9
  • Gọi P là hình chiếu của điểm N lên trục x. Chứng minh rằng điểm P là dao động điều hòa.

    Gọi P là hình chiếu của điểm N lên trục Ox. Khi đó ta có tọa độ x = OP, tại điểm P sẽ có phương trình là Xp = ONsin(ωt + φ)

    Vì hàm sin và hàm cosin là một dao động điều hòa, nên dao động của điểm P được gọi là dao động điều hòa.

    Khảo sát sự dao động của con lắc lò xo khi nằm ngang. Tìm công thức của lực lò xo khi kéo về?

    Con lắc lò xo được coi là một hệ dao động điều hòa. Ta có công thức của lực kéo về khi tác dụng vào con lắc lò xo là F = -kx (x là li độ của vật m, k là độ cứng của lò xo, “-” là lực F đang hướng về vị trí cân bằng.

    Hãy chọn đáp án đúng

    Có một con lắc đơn đang dao động với biên độ góc nhỏ. Chu kì của con lắc đơn sẽ không đổi khi nào?

    1. Khi chiều dài của con lắc thay đổi.
    2. Khi gia tốc trọng trường thay đổi.
    3. Khi biên độ góc tăng đến 30 .
    4. Khi khối lượng của con lắc thay đổi.

    Đáp án là D. Vì ta thấy chu kỳ của con lắc đơn chỉ phụ thuộc vào 2 yếu tố là g và l, chứ không phụ thuộc vào yếu tố khối lượng m. Do đó khối lượng của con lắc thay đổi thì chu kỳ của con lắc đơn sẽ không đổi.

    Dao động tắt dần có đặc điểm như thế nào và tại sao?

    Thực tế khi con lắc bị kéo ra khỏi vị trí cân bằng thì biên độ dao động sẽ giảm dần khi thả ra. Và dao động đó gọi là dao động tắt dần. Lý do vì con lắc dao động sẽ chịu lực cản của không khí. Lực cản này chính là một lực ma sát làm tiêu hao đi năng lực của con lắc, giúp chuyển hóa cơ năng thành nhiệt năng. Nên biên độ dao động của con lắc sẽ giảm dần và dừng lại.

    Trình bày phương pháp giản đồ Fre – nen giúp tìm được dao động tổng hợp của dao động điều hòa khi có phương cùng tần số

    Lần lượt vẽ hai vecto quay để biểu diễn hai phương trình dao động, sau đó vẽ tiếp vecto tổng của hai vecto trên. Vecto tổng chính là vecto quay để biểu diễn phương trình của dao động tổng hợp đó.

    Hãy dự đoán xem chu kì dao động T của một con lắc đơn sẽ phụ thuộc vào những đại lượng của nó như thế nào? Làm sao để kiểm tra từng dự đoán đó trên thí nghiệm?

    Dự đoán chu kì T của con lắc đơn sẽ phụ thuộc vào những đại lượng l, m và α0. Nên để kiểm tra những dự đoán đó thì chúng ta cần tiến hành thí nghiệm, đó là thay đổi một đại lượng đồng thời giữ không đổi hai đại lượng.

    Khi O dao động thì mặt nước sẽ có hình dạng như thế nào? Mẩu nút chai có bị đẩy ra xa dao động O không?

    Khi O dao động thì các gợn sóng hình tròn đồng tâm O sẽ lan dần ra trên mặt nước. Nên mẩu của nút chai sẽ không bị đẩy ra xa O, nó chỉ dao động lên xuống tại một điểm.

    Đề bài: Sự phản xạ của sóng bên trên vật cản cố định có những đặc điểm như thế nào?

    Nếu một vật cản cố định thì tại điểm phản xạ, sóng phản xạ sẽ luôn ngược pha với sóng tới, cuối cùng sẽ triệt tiêu lẫn nhau.

    Hãy nêu ví dụ cụ thể chứng tỏ rằng âm truyền với một tốc độ hữu hạn.

    Ví dụ 1: Ta thường thấy tia chớp chói sáng xuất hiện khi trời mưa giông, sau một khoảng thời gian lâu thì xuất hiện tiếng sấm.

    Ví dụ 2: Một người đánh kẻng cách chúng ta khoảng từ 150m đến 200m, Chúng ta thường nghe tiếng dùi đánh vào kẻng trước sau đó mới nghe thấy tiếng kẻng.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Vật Lý Lớp 12 Có Lời Giải
  • Bài Tập Về Hệ Thấu Kính Đồng Trục Ghép Sát, Công Thức Tính Và Cách Giải
  • Giải Bài Tập Vật Lý 10 Bài 2: Chuyển Động Thẳng Đều
  • Giải Bài Tập Vật Lý 10 Bài 34: Chất Rắn Kết Tinh. Chất Rắn Vô Định Hình
  • Tổng Hợp Các Dạng Bài Tập Vật Lý 10 Và Cách Giải
  • Các Dạng Giải Toán Có Lời Văn Lớp 4 Hay Nhất

    --- Bài mới hơn ---

  • Toán Có Lời Văn Ở Lớp 4 Với Dạng Bài Toán
  • Một Số Biện Pháp Rèn Kĩ Năng Giải Toán Có Lời Văn Cho Học Sinh Lớp 4
  • Chuyên Đề: Một Số Biện Pháp Nâng Cao Chất Lượng Giải Toán Có Lời Văn Cho Hs Lớp 4&5 Chuyen De Giai Toan Lop 5 Doc
  • Đề Tài Rèn Kĩ Năng Giải Toán Có Lời Văn Cho Học Sinh Lớp 4
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Giúp Học Sinh Lớp 4 Khắc Phục Các Lỗi Khi Thực Hiện Giải Toán Có Lời Văn
  • Các Dạng GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN LỚP 4 Hay Nhất. Tổng hợp các dạng Toán Có lời Văn Lớp 4 chuẩn chương trình Tiểu Học. Tự học Online xin giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn tham khảo Các Dạng GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN LỚP 4.

    – Có 4 thùng dầu như nhau chứa tổng cộng 112 lít. Hỏi có 16 thùng như thế thì chứa được bao nhiêu lít ?

    – Biết 28 bao lúa như nhau thì chứa tổng cộng 1260 kg. Hỏi nếu có 1665 kg lúa thì chứa trong bao nhiêu bao ?

    – Xe thứ nhất chở 12 bao đường, xe thứ hai chở 8 bao đường, xe thứ hai chở ít hơn xe thứ nhất 192 kg đường. Hỏi mỗi xe chở bao nhiêu kg đường ?

    – Hai xe ôtô chở tổng cộng 4554 kg thức ăn gia súc, xe thứ nhất chở 42 bao, xe thứ hai chở nhiều hơn xe thứ nhất 15 bao. Hỏi mỗi xe chở bao nhiêu kg ?

    – Cửa hàng có 15 túi bi, cửa hàng bán hết 84 viên bi và còn lại 8 túi bi. Hỏi trước khi bán cửa hàng có bao nhiêu viên bi ?

    – Có một số lít nước mắm đóng vào các can. Nếu mỗi can chứa 4 lít thì đóng được 28 can. Hỏi nếu mỗi can chứa 8 lít thì đóng được bao nhiêu can ?

    – Giải được các bài toán tìm số TBC dạng:

    1- Một kho gạo, ngày thứ nhất xuất 180 tấn, ngày thứ hai xuất 270 tấn, ngày thứ ba xuất 156 tấn. Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng đã xuất được bao nhiêu tấn gạo ?

    2 – Hằng có 15000 đồng, Huệ có nhiều hơn Hằng 8000 đồng. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu tiền?

    – Hằng có 15000 đồng, Hằng có ít hơn Huệ 8000 đồng. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu tiền?

    3 – Lan có 125000 đồng, Huệ có nhiều hơn Lan 37000 đồng. Hồng có ít hơn Huệ 25000 đồng. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?

    – Lan có 125000 đồng, như vậy Lan có nhiều hơn Huệ 37000 đồng nhưng lại ít hơn Hồng 25000 đồng. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?

    4 – Hằng có 15000 đồng, Huệ có số tiền bằng 3/5 số tiền của Hằng. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu tiền?

    – Hằng có 15000 đồng, Hằng có số tiền bằng 3/5 số tiền của Huệ. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu tiền?

    5- Lan có 126000 đồng, Huệ có số tiền bằng 2/3 số tiền của Lan. Hồng có số tiền bằng 3/4 số tiền của Huệ. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?

    – Lan có 126000 đồng, Huệ có số tiền bằng 2/3 số tiền của Lan và bằng 3/4 số tiền của Hồng. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?

    7 – Một đoàn xe chở hàng. Tốp đầu có 4 xe, mỗi xe chở 92 tạ hàng; tốp sau có 3 xe, mỗi xe chở 64 tạ hàng. Hỏi:

    1. Trung bình mỗi tốp chở được bao nhiêu tạ hàng ?
    2. Trung bình mỗi xe chở được bao nhiêu tạ hàng ?

    8- Trung bình cộng của ba số là 48. Biết số thứ nhất là 37, số thứ hai là 42. Tìm số thứ ba.

    – Trung bình cộng của ba số là 94. Biết số thứ nhất là 85 và số thứ nhất hơn số thứ hai là 28. Tìm số thứ ba.

    – Một cửa hàng nhập về ba đợt, trung bình mỗi đợt 150 kg đường. Đợt một nhập 170 kg và nhập ít hơn đợt hai 40 kg. Hỏi đợt ba cửa hàng đã nhập về bao nhiêu kg ?

    – Một cửa hàng nhập về ba đợt, trung bình mỗi đợt 150 kg đường. Đợt một nhập 168 kg, và nhập bằng 4/5 đợt hai. Hỏi đợt ba cửa hàng đã nhập về bao nhiêu kg ?

    – Khối lớp 5 của trường em có 3 lớp, trung bình mỗi lớp có 32 em. Biết lớp 5A có 33 học sinh và nhiều hơn lớp 5B là 2 em. Hỏi lớp 5C có bao nhiêu học sinh ?

    9 – An có 18 viên bi, Bình có 16 viên bi, Hùng có số viên bi bằng trung bình cộng số bi của An và Bình. Hỏi Hùng có bao nhiêu viên bi ?

    – An có 18 viên bi, Bình có 16 viên bi, Hùng có 23 viên bi. Dũng có số viên bi bằng trung bình cộng số bi của An, Bình và Hùng. Hỏi Dũng có bao nhiêu viên bi ?

    – An có 18 viên bi, Bình có nhiều hơn An16 viên bi, Hùng có ít hơn Bình11 viên, Dũng có số viên bi bằng trung bình cộng số bi của An, Bình và Hùng. Hỏi Dũng có bao nhiêu viên bi ?

    – An có 18 viên bi, Bình có 16 viên bi, Hùng có số viên bi bằng trung bình cộng số bi của An và Bình, Dũng có số bi bằng trung bình cộng số bi của Bình và Hùng. Hỏi Dũng có bao nhiêu viên bi ?

    1- Tìm số trung bình cộng của các số tự nhiên từ 20 đến 28.

    – Tìm số trung bình cộng của các số tự nhiên chẵn từ 30 đến 40.

    2 – Lan và Huệ có 102000 đồng. Lan và Ngọc có 231000 đồng. Ngọc và Huệ có 177000 đồng. Hỏi trung bình mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?

    3- Trung bình cộng số tuổi của bố, mẹ và Hoa là 30 tuổi. Nếu không tính tuổi bố thì trung bình cộng số tuổi của mẹ và Hoa là 24. Hỏi bố Hoa bao nhiêu tuổi ?

    – Trung bình cộng số tuổi của bố, mẹ, Mai và em Mai là 23 tuổi. Nếu không tính tuổi bố thì trung bình cộng số tuổi của mẹ, Mai và em Mai là 18 tuổi. Hỏi bố Mai bao nhiêu tuổi ?

    – ở một đội bóng, tuổi trung bình của 11 cầu thủ là 22 tuổi. Nếu không tính đội trưởng thì tuổi trung bình của 10 cầu thủ là 21 tuổi. Hỏi đội trưởng bao nhiêu tuổi.

    4 – Một tháng có 15 lần kiểm tra. Sau 10 lần kiểm tra đầu thì điểm trung bình của An là 7. Hỏi với các lần kiểm tra còn lại, trung bình mỗi lần phải đạt bao nhiêu điểm để điểm trung bình của cả tháng là 8 điểm.

    5 – An có 18 viên bi, Bình có 16 viên bi, Hùng có số viên bi bằng trung bình cộng số bi của cả ba bạn. Hỏi Hùng có bao nhiêu viên bi ?

    – An có 18 viên bi, Bình có 16 viên bi, Hùng có số viên bi nhiều hơn trung bình cộng số bi của ba bạn là 2 viên. Hỏi Hùng có bao nhiêu viên bi ?

    – An có 18 viên bi, Bình có 16 viên bi, Hùng có số viên bi kém trung bình cộng số bi của ba bạn là 2 viên. Hỏi Hùng có bao nhiêu viên bi ?

    6 – Có 4 thùng dầu, trung bình mỗi thùng đựng 17 lít, nếu không kể thùng thứ nhất thì trung bình mỗi thùng còn lại chứa 15 lít. Hỏi thùng thứ nhất chứa bao nhiêu lít dầu

    7 – Trung bình cộng tuổi bố, mẹ, và chị Lan là 29 tuổi. TBC số tuổi của bố, và chị Lan là 26 tuổi. Biết tuổi Lan bằng 3/7 số tuổi mẹ. Tính số tuổi của mỗi người.

    – Trung bình cộng số tuổi của bố và mẹ là 39 tuổi. TBC số tuổi của bố, mẹ và Lan là 30 tuổi. Biết tuổi Lan bằng 2/7 số tuổi bố. Tính số tuổi của mỗi người.

    – Trung bình cộng số tuổi của bố, mẹ, Bình và Lan là 24 tuổi. TBC số tuổi của bố, mẹ và Lan là 28 tuổi. Biết tuổi Bình gấp đôi tuổi Lan, tuổi Lan bằng 1/6 tuổi mẹ. Tìm số tuổi của mỗi người.

    – Trung bình cộng tuổi ông, tuổi bố và tuổi cháu là 36 tuổi. TBC số tuổi của bố và cháu là 23 tuổi. Biết ông hơn cháu 54 tuổi. Tìm số tuổi của mỗi người.

    – TBC của số số thứ nhất, số thứ hai và số thứ ba là 26. TBC của số số thứ nhất và số thứ hai là 21. TBC của số thứ hai và số thứ ba là 30. Tìm mỗi số.

    – Gia đình An hiện có 4 người nhưng chỉ có bố và mẹ là đi làm. Lương tháng của mẹ là 1100000 đồng, lương của bố gấp đôi lương của mẹ. Mỗi tháng mẹ đều để dành 1500000 đồng. Hỏi:

    1. Mỗi tháng trung bình mỗi người đã tiêu bao nhiêu tiền ?
    2. Nếu Lan có thêm một người em nữa mà mẹ vẫn để dành như trước thì số tiền tiêu trung bình hàng tháng của mỗi người sẽ giảm đi bao nhiêu tiền ?

    III/ Toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó:

    – Một hình chữ nhật có hiệu hai cạnh liên tiếp là 24 cm và tổng của chúng là 92 cm. Tính diện tích của hình chữ nhật đã cho.

    1 – Tìm hai số lẻ có tổng là 186. Biết giữa chúng có 5 số lẻ.

    2- Hai ông cháu hiện nay có tổng số tuổi là 68, biết rằng cách đây 5 năm cháu kém ông 52 tuổi. Tính số tuổi của mỗi người.

    3 – Hùng và Dũng có tất cả 45 viên bi. Nếu Hùng có thêm 5 viên bi thì Hùng có nhiều hơn Dũng 14 viên. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi.

    – Hùng và Dũng có tất cả 45 viên bi. Nếu Hùng cho đi 5 viên bi thì Hùng có nhiều hơn Dũng 14 viên. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi.

    6 – Lớp 4A có 32 học sinh. Hôm nay có 3 bạn nữ nghỉ học nên số nam nhiều hơn số nữ là 5 bạn. Hỏi lớp 4A có bao nhiêu học sinh nữ, bao nhiêu học sinh nam ?

    7 – Hùng và Dũng có tất cả 46 viên bi. Nếu Hùng cho Dũng 5 viên bi thì số bi của hai bạn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi.

    – Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 120 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 5m và bớt

    chiều dài đi 5 m thì mảnh đất hình chữ nhật đó trở thành một mảnh đất hình vuông. Tính

    diện tích mảnh đất hình chữ nhật trên.

    – Hai thùng dầu có tất cả 116 lít. Nếu chuyển 6 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai thì lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu ?

    8 – Tìm hai số có tổng là 132. Biết rằng nếu lấy số lớn trừ đi số bé rồi cộng với tổng của chúng thì được 178.

    – Tìm hai số có tổng là 234. Biết rằng nếu lấy số thứ nhất trừ đi số thứ hai rồi cộng với hiệu của chúng thì được 172.

    9 – An và Bình có tất cả 120 viên bi. Nếu An cho Bình 20 viên thì Bình sẽ có nhiều hơn An 16 viên. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi ?

    – An và Bình có tất cả 120 viên bi. Nếu An cho Bình 20 viên thì Bình có ít hơn An 16 viên. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi ?

    10 – Hai kho gạo có 155 tấn. Nếu thêm vào kho thứ nhất 8 tấn và kho thứ hai 17 tấn thì số gạo ở mỗi kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn gạo ?

    – Ngọc có tất cả 48 viên bi vừa xanh vừa đỏ. Biết rằng nếu lấy ra 10 viên bi đỏ và hai viên bi xanh thì số bi đỏ bằng số bi xanh. Hỏi có bao nhiêu viên bi mỗi loại ?

    11 – Hai người thợ dệt dệt được 270 m vải. Nếu người thứ nhất dệt thêm 12m và người thứ hai dệt thêm 8 m thì người thứ nhất sẽ dệt nhiều hơn người thứ hai 10 m. hỏi mỗi người đã dệt được bao nhiêu m vải ?

    12* – Hai thùng dầu có tất cả 132 lít. Nếu chuyển 12lít từ thùng 1 sang thùng 2 và chuyển 7

    lít từ thùng 2 sang thùng 1 thì thùng 1 sẽ có nhiều hơn thùng 2 là 14 lít. Hỏi lúc đầu mỗi

    thùng có bao nhiêu lít dầu ?

    1- Tổng của hai số là một số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5. Biết nếu thêm vào số bé 35 đơn vị thì ta được số lớn. Tìm mỗi số.

    2 – Trên một bãi cỏ người ta đếm được 100 cái chân vừa gà vừa chó. Biết số chân chó nhiều hơn chân gà là 12 chiếc. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó ?

    – Trên một bãi cỏ người ta đếm được 100 cái mắt vừa gà vừa chó. Biết số chó nhiều hơn số gà là 12con. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó ?

    3 – Tìm hai số có hiệu là 129. Biết rằng nếu lấy số thứ nhất cộng với số thứ hai rồi cộng với tổng của chúng thì được 2010.

    – Một phép trừ có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là 7652. Hiệu lớn hơn số trừ 798 đơn vị. Hãy tìm phép trừ đó.

    – Tìm hai số có hiệu là 22. Biết rằng nếu lấy số lớn cộng với số bé rồi cộng với hiệu của chúng thì được 116.

    – Tìm hai số có hiệu là 132. Biết rằng nếu lấy số lớn cộng với số bé rồi trừ đi hiệu của chúng thì được 548.

    4 – Lan đi bộ vòng quanh sân vận động hết 15 phút, mỗi phút đi được 36 m. Biết chiều dài sân vận động hơn chiều rộng là 24 m. Tính diện tích của sân vận động.

    5- Hồng có nhiều hơn Huệ 16000 đồng. Nếu Hồng có thêm 5000 đồng và Huệ có thêm 11000 đồng thì cả hai bạn sẽ có tất cả 70000 đồng. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?

    – Hồng có nhiều hơn Huệ 16000 đồng. Nếu Hồng cho đi 5000 đồng và Huệ cho 11000 đồng thì cả hai bạn sẽ có tất cả 70000 đồng. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?

    1-Tổng 2 số là số lớn nhất có 3 chữ số. Hiệu của chúng là số lẻ nhỏ nhất có 2 chữ số. Tìm mỗi số.

    – Tìm hai số có tổng là số lớn nhất có 4 chữ số và hiệu là số lẻ bé nhất có 3 chữ số.

    – Tìm hai số có tổng là số bé nhất có 4 chữ số và hiệu là số chẵn lớn nhất có 2 chữ số.

    2 – Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 2.

    1 – An và Bình mua chung 45 quyển vở và phải trả hết số tiền là 72000 đồng. Biết An phải trả nhiều hơn Bình 11200. Hỏi mỗi bạn đã mua bao nhiêu quyển vở.

    2* – Tổng của 3 số là 1978. Số thứ nhất hơn tổng hai số kia là 58 đơn vị. Nếu bớt ở số thứ hai đi 36 đơn vị thì số thứ hai sẽ bằng số thứ ba. Tìm 3 số đó.

    3* – Ba bạn Lan, Đào, Hồng có tất cả 27 cái kẹo. Nếu Lan cho Đào 5 cái, Đào cho Hồng 3 cái, Hồng lại cho Lan 1 cái thì số kẹo của ba bạn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu cái kẹo ?

    4*- Trung bình cộng số tuổi của bố, tuổi An và tuổi Hồng là 19 tuổi, tuổi bố hơn tổng số tuổi của An và Hồng là 2 tuổi, Hồng kém An 8 tuổi. Tính số tuổi của mỗi người.

    IV/ Dạng toán: Tìm phân số của một số

    Bài 1: Mẹ 49 tuổi ,tuổi con bằng 2/7 tuổi mẹ .Hỏi con bao nhiêu tuổi?

    Bài 2: Mẹ 36 tuổi ,tuổi con bằng 1/6 tuổi mẹ hỏi bao nhiêu năm nữa tuổi con bằng 1/3 tuổi mẹ?

    Bài 3: Bác An có một thửa ruộng .Trên thửa ruộng ấy bác dành 1/2 diện tích để trồng rau. 1/3 Để đào ao phần còn lại dành làm đường đi. Biết diện tích làm đường đi là 30 . Tính diện tích thửa ruộng.

    Bài 4: Trong đợt kiểm tra học kì vừa qua ở khối 4 thầy giáo nhận thấy. 1/2 Số học sinh đạt điểm giỏi, 1/3 số học sinh đạt điểm khá, 1/10 số học sinh đạt trung bình còn lại là số học sinh đạt điểm yếu. Tính số học sinh đạt điểm yếu biết số học sinh giỏi là 45 em.

    Nhận xét: Để tìm được số học sinh yếu thì cần tìm phân số chỉ số học sinh yếu.

    Cần biết số học sinh của khối dựa vào số học sinh giỏi

    Bài 5:

      a) Một cửa hàng nhận về một số hộp xà phòng. Người bán hàng để lại 1/10 số hộp bầy ở quầy, còn lại đem cất vào tủ quầy. Sau khi bán 4 hộp ở quầy người đo nhận thấy số hộp xà phòng cất đi gấp 15 lần số hộp xà phòng còn lại ở quầy. Tính số hộp xà phòng cửa hàng đã nhập.

    Nhận xét: ở đây ta nhận thấy số hộp xà phòng cất đi không thay đổi vì vậy cần bám vào đó bằng cách lấy số hộp xà phòng cất đi làm mẫu số. Tìm phân số chỉ 4 hộp xà phòng.

    1. b) Một cửa hàng nhận về một số xe đạp. Người bán hàng để lại 1/6 số xe đạp bầy bán ,còn lại đem cất vào kho. Sau khi bán 5 xe đạp ở quầy người đo nhận thấy số xe đạp cất đi gấp 10 lần số xe đạp còn lại ở quầy. Tính số xe đạp cửa hàng đã nhập.
    2. c) Trong đợt hưởng ứng phát động trồng cây đầu năm ,số cây lớp 5a trồng bằng 3/4 số cây lớp 5b. Sau khi nhẩm tính thầy giáo nhận thấy nếu lớp 5b trồng giảm đi 5 cây thì số cây lúc này của lớp 5a sẽ bằng 6/7 số cây của lớp 5b.

    Sau khi thầy giáo nói như vậy bạn Huy đã nhẩm tính ngay được số cây cả 2 lớp trồng được. Em có tính được như bạn không ?

    Bài 6: Một giá sách có 2 ngăn .Số sách ở ngăn dưới gấp 3 lần số sách ở ngăn trên. Nếu chuyển 2 quyển từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ở ngăn dưới sẽ gấp 4 lấn số sách ở ngăn trên. Tính số sách ở mỗi ngăn.

    Bài 7: Hai kho có 360 tấn thóc. Nếu lấy 1/3 số thóc ở kho thứ nhất và 2/ 5 số thóc ở kho thứ 2 thì số thóc còn lại ở 2 kho bằng nhau.

    1. Tính số thóc lúc đầu mỗi kho.
    2. Hỏi đã lấy ra ở mỗi kho bao nhiêu tấn thóc.

    Bài 8: Hai bể chứa 4500 lít nước, người ta tháo ở bể thứ nhất 2/5 bể. Tháo ở bể thứ hai là 1/4 bể thì số nước còn lại ở hai bể bằng nhau. Hỏi mỗi bể chứa bao nhiêu lít nước.

    Bài 9: Hai bể chứa 4500 lít nước . người ta tháo ở bể thứ nhất 500 lít .Tháo ở bể thứ hai là 1000 lít thì số nước còn lại ở hai bể bằng nhau. Hỏi mỗi bể chứa bao nhiêu lít nước.

    V/Toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó:

    1- Tìm hai số có tổng là 80 và tỉ số của chúng là 3 : 5.

    2 – Hai thùng dầu chứa tổng cộng 126 lít. Biết số dầu ở thùng thứ nhất bằng 5/2 số dầu ở thùng thứ hai. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?

    3- Hai lớp 4A và 4B trồng được 204 cây. Biết lớp 4A có 32 học sinh, lớp 4B có 36 học sinh, mỗi học sinh đều trồng được số cây bằng nhau. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?

    1- Khối 5 có tổng cộng 147 học sinh, tính ra cứ 4 học sinh nam thì có 3 học sinh nữ. Hỏi khối lớp 5 có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ ?

    – Dũng chia 64 viên bi cho Hùng và Mạnh. Cứ mỗi lần chia cho Hùng 3 viên thì lại chia cho Mạnh 5 viên bi. Hỏi Dũng đã chia cho Hùng bao nhiêu vien bi, cho Mạnh bao nhiêu viên bi?

    – Hồng và Loan mua tất cả 40 quyển vở. Biết rằng 3 lần số vở của Hồng thì bằng 2 lần số vở của Loan. Hỏi mỗi bạn mua bao nhiêu quyển vở?

    2 – Tổng số tuổi hiện nay của hai ông cháu là 65 tuổi. Biết tuổi cháu bao nhiêu tháng thì tuổi ông bấy nhiêu năm. Tính số tuổi hiện nay của mỗi người.

    3 – Tìm hai số có tổng là 480. Biết nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 5.

    – Tìm hai số có tổng là 900. Biết nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 3 và số dư là 4.

    – Tìm hai số có tổng là 129. Biết nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 6 và số dư là 3.

    – Tìm hai số có tổng là 295. Biết nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 8 và số dư là 7.

    – Tìm hai số a, b biết rằng khi chia a cho b thì được thương là 5 dư 2 và tổng của chúng là 44.

    – Tìm hai số có tổng là 715. Biết rằng nếu thêm một chữ số 0 vào bên phải số bé thì được số lớn.

    – Tìm hai số có tổng là 177. Nếu bớt số thứ nhất đi 17 đơn vị và thêm vào số thứ hai 25 đơn

    vị thì số thứ nhất sẽ bằng 2/3 số thứ hai.

    1- Tổng 2 số là số lớn nhất có 3 chữ số. Tỉ số của chúng là 4/5. Tìm mỗi số.

    3 – Hiện nay tuổi bố gấp 4 lần tuổi con. Biết rằng 5 năm nữa thì tổng số tuổi của hai bố con là 55 tuổi. Hỏi hiện nay bố bao nhiêu tuổi ? Con bao nhiêu tuổi ?

    – Hiện nay tuổi con bằng 2/7số tuổi mẹ. Biết rằng 5 năm trước thì tổng số tuổi của hai mẹ con là 35 tuổi. Hỏi hiện nay bố bao nhiêu tuổi ? Con bao nhiêu tuổi ?

    4 – Trên một bãi cỏ người ta đếm được 112 cái chân vừa trâu vừa bò. Biết số bò bằng 3/4 số trâu. Hỏi có bao nhiêu con bò, bao nhiêu con trâu ?

    – Trên một bãi cỏ người ta đếm được 112 cái chân vừa gà vừa chó. Biết số chân gà bằng 5/2 số chân chó. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

    5 – Hiện nay trung bình cộng số tuổi của bố và Lan là 21 tuổi. Biết số tuổi của Lan bằng 2/5 số tuổi của bố. Tính số tuổi của mỗi người.

    6 – Minh đố Hạnh: ” Thời gian từ đầu ngày đến giờ bằng 3/5 thời gian từ bây giờ đến hết ngày. Đố bạn bây giờ là mấy giờ? “. Em hãy giúp Hạnh giải đáp câu đố của Minh.

    7 – Tìm hai số biết rằng số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai. Nếu lấy số thứ nhất cộng với số thứ hai rồi cộng với tổng của chúng thì được 168.

    8 – Tìm hai số biết số thứ nhất bằng 3/4 số thứ hai. Biết rằng nếu bớt ở số thứ nhất đi 28 đơn vị thì được tổng mới là 357.

    – Tìm hai số biết số thứ nhất bằng 3/4 số thứ hai. Biết rằng nếu thêm vào số thứ hai 28 đơn vị thì được tổng mới là 357.

    – Tìm hai số biết số thứ nhất bằng 3/4 số thứ hai. Biết rằng nếu bớt ở số thứ nhất đi 28 đơn vị và thêm vào số thứ hai là 35 đơn vị thì được tổng mới là 357.

    9 – Bác Ba nuôi cả gà và vịt tổng cộng 80 con. Bác Ba đã bán hết 10 con gà và 7 con vịt nên còn lại số gà bằng 2/5 số vịt. Hỏi lúc chưa bán, bác Ba có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con vịt?

    – Một nông trại có tổng số gà và vịt là 600 con. sau khi bán đi 33 con gà và 7 con vịt thì số vịt còn lại bằng 2/5 số gà. Hỏi sau khi bán, nông trại còn lại bao nhiêu con gà, bao nhiêu con vịt?

    1 – Tìm hai số có TBC bằng 92 và thương của chúng bằng 3.

    Dạng5: Dạng tổng hợp.

    1 – Trên một bãi cỏ người ta đếm được 112 cái chân vừa trâu vừa bò. Biết số chân bò bằng 3/4 số chân trâu. Hỏi có bao nhiêu con bò, bao nhiêu con trâu ?

    2 – Tuổi Hồng bằng 1/2 tuổi Hoa, tuổi Hoa bằng 1/4 tuổi bố, tổng số tuổi của Hồng là 36 tuổi. Hỏi mỗi người bao nhiêu tuổi?

    3 – Cho trước sơ đồ. Dựa vào sơ đồ hãy nêu bài toán ( với các cách theo quan hệ tỉ số – hiệu – tổng).

    4- Trong một hộp có 48 viên bi gồm ba loại: bi xanh, bi đỏ, bi vàng. Biết số bi xanh bằng tổng số bi đỏ và bi vàng; số bi xanh cộng với số bi đỏ thì gấp 5 lần số bi vàng. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu viên bi?

    5- Một phép chia có thương là 6, số dư là 3. Tổng của số bị chia, số chia là 199. Tìm số bị chia và số chia.

    – Một phép chia có thương là 5, số dư là 4. Tổng của số bị chia, số chia, thương và số dư là 201. Tìm số bị chia và số chia.

    – Khi thực hiện phép chia hai số tự nhiên thì được thương là 6 và dư 51. Biết tổng của số bị chia và số chia, thương và số dư là 969. Hãy tìm số bị chia và số chia trong phép chia.

    6*- Ba lớp cùng góp bánh để liên hoan cuối năm. Lớp 5A góp 5 kg bánh, lớp 5 B đem đến 3 kg cùng loại. Số bánh đó đủ dùng cho cả ba lớp nên lớp 5C không phải mua mà phải trả lại cho hai lớp kia 24000 đồng. Hỏi mỗi lớp 5A, 5B nhận lại bao nhiêu tiền? ( biết rằng ba lớp góp bằng nhau )

    VI/Toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó:

    – Học sinh cần hiểu được cơ sở của cách làm.

    – Nắm được các bước giải bài toán.

    – Giải tốt các dạng bài tập :

    1- Mai có nhiều hơn Đào 27000 đồng. Biết số tiền của Đào gấp 3 số tiền của Mai. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?

    – Mai có nhiều hơn Đào 27000 đồng. Biết số tiền của Đào bằng 1/3 số tiền của Mai. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?

    2- Có hai mảnh vườn. Mảnh 1 có diện tích bằng 2/5 diện tích mảnh 2 và kém mảnh 2 là 1350 m2. Tính diện tích mỗi mảnh vườn.

    – Tìm hai số có hiệu là 72, biết số lớn bằng 5/2 số bé.

    – Dũng có nhiều hơn Hùng 57 viên bi, biết số bi của Dũng bằng 7/4 số bi của Hùng. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

    – Tìm hai số biết tỉ số của chúng bằng 4/7 và nếu lấy số lớn trừ đi số bé thì được kết quả bằng 360.

    – Dũng có nhiều hơn Minh 36 viên bi. Biết 3/7 số bi của Dũng thì bằng số bi của Minh. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

    3- Hai lớp 4A và 4B cùng tham gia trồng cây. Biết lớp 4A có 32 học sinh, lớp 4B có 36 học

    sinh, mỗi học sinh đều trồng được số cây bằng nhau vì thế lớp 4A đã trồng ít hơn lớp 4B là

    12 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây ?

    4- Sân trường em hình chữ nhật có chiều rộng bằng 3/5 chiều dài và kém chiều dài 26 m. Tính chu vi và diện tích của sân trường.

    – Tìm hai số có hiệu là 516, biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 4.

    – Hai số có hiệu bằng 216, biết rằng nếu thêm một chữ số 0 vào bên phải số bé thì được số lớn.

    – Tìm hai số có hiệu là 36. Nếu thêm vào số trừ 14 đơn vị và bớt ở số bị trừ đi 8 đơn vị thì số trừ sẽ bằng 3/5 số bị trừ.

    4- Tìm hai số, biết số thứ nhất hơn số thứ hai 83 đơn vị và nếu thêm vào số thứ nhất 37 đơn vị thì được số mới bằng 8/3 số thứ hai.

    1- Hiệu 2 số là số chẵn lớn nhất có 2 chữ số. Số bé bằng 3/5 số lớn. Tìm mỗi số.

    2- Tìm hai số, biết số bé bằng 5/7 số lớn, và nếu lấy số lớn trừ số bé rồi cộng với hiệu của chúng thì được kết quả là 64.

    3- Mẹ sinh Hà năm mẹ 25 tuổi. Hiện nay số tuổi của Hà bằng 2/7 số tuổi của mẹ. Tính số tuổi hiện nay của mỗi người.

    5- Tìm hai số biết số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai. Biết rằng nếu thêm vào số thứ nhất đi 13 đơn vị và bớt ở số thứ hai đi 8 đơn vị thì hiệu của chúng là 6.

    6- Một đàn trâu bò có số trâu bằng 4/7 số bò. Nếu bán mỗi loại 15 con thì số bò hơn số trâu là 24 con. Hỏi đàn trâu bò có tất cả bao nhiêu con ?

    – Một cửa hàng có số gạo tẻ gấp 3 lần số gạo nếp, cửa hàng đã bán 12kg gạo tẻ và 7 kg gạo nếp thì phần còn lại của số gạo tẻ hơn số gạo nếp là 51 kg. Hỏi trước khi bán, cửa hàng có bao nhiêu kg gạo mỗi loại ?

    – Hoa và Hương có một số tiền. Biết số tiền của Hoa bằng 3/8 số tiền của Hương. Nếu Hoa tiêu hết 9000 đồng và Hương tiêu hết 15000 đồng thì Hương còn nhiều hơn Hoa 39000 đồng. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?

    7- Một gia đình nuôi một số gà và vịt. Biết số gà bằng 3/7 số vịt. Nếu bán đi 6 con gà và mua thêm 9 con vịt thì số vịt hơn số gà là 29 con. Hỏi có tất cả bao nhiêu con gà và vịt ?

    8- Một trại chăn nuôi có một số dê và cừu. Biết số gà bằng 3/7 số vịt. Nếu có thêm 8 con dê và 15 con cừu thì số cừu hơn số dê là 35 con. Hỏi có tất cả bao nhiêu con dê và cừu ?

    – Tìm hai số biết hiệu và thương của chúng đều bằng 5.

    – Tìm A và B biết ( A + B ): 2 = 21và A : B = 6

    1 – Trên một bãi cỏ người ta đếm thấy số chân trâu nhiều hơn số chân bò là 24 chiếc. Biết số chân bò bằng 2/5 số chân trâu. Hỏi có bao nhiêu con bò, bao nhiêu con trâu ?

    2 – Tìm hai số có hiệu là 165, biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 7 và số dư là 3.

    – Tìm hai số a, b biết hiệu của chúng là 48và khi chia a cho b thì được thương là 6 dư 3.

    3* An có nhiều hơn Bình 24 cái kẹo. biết rằng nếu An cho Bình 6 cái kẹo thì số kẹo của Bình bằng 2/5 số kẹo của An. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên kẹo?

    – Tìm hai số biết số thứ nhất bằng 2/5 số thứ hai và nếu giẩm số thứ nhất 12 đơn vị thì được số mới kém số thứ hai 87 đơn vị.

    ” Tang tảng lúc trời mới rạng đông

    Rủ nhau đi hái mấy quả bòng

    Mỗi người 5 quả thừa 5 quả

    Mỗi người 6 quả một người không “

    Hỏi có bao nhiêu người, bao nhiêu quả bòng ?

    – Hùng mua 16 quyển vở, Dũng mua 9 quyển vở cùng loại và trả ít hơn Hùng 22400 đồng. Hỏi mỗi bạn đã trả hết bao nhiêu tiền mua vở ?

    – Hiện nay bà 60 tuổi, bố 28 tuổi, mẹ 24 tuổi và con 2 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tổng số tuổi của bố, mẹ và con bàng tuổi của bà ?

    – Hồ thứ nhất chứa 1600 lít nước, hồ thứ hai chứa 1600 lít nước. Người ta tháo ra cùng một lúc ở hồ thứ nhất mỗi phút 30 lít nước và ở hồ thứ hai mỗi phút 10 lít. Hỏi sau bao lâu thì số nước còn lại trong hai hồ bằng nhau ?

    – Hồng mua 4 bút chì và 8 quyển vở phải trả hết 23600 đồng, Lan mua 4 bút chì và 10 quyển vở phải trả hết 28000 đồng. Tính giá tiền một bút chì, một quyển vở. ( mở rộng )

    – An có một số bi và một số túi, nếu An bỏ vào mỗi túi 9 viên thì còn thừa 15 viên, còn nêu bỏ vào mỗi túi 12 viên thì vừa đủ. Hỏi An có bao nhiêu bi và bao nhiêu túi ?

    – Cô giáo chia kẹo cho các em bé. Nếu có chia cho mỗi em 3 chiếc thì cô còn thừa 2 chiếc, còn nếu chia cho mỗi em 4 chiếc thì bị thiếu mất 2 chiếc. Hỏi cố giáo có tất cả bao nhieu chiếc kẹo và cô đã chia cho bao nhiêu em bé?

    – Trên một đoạn đường dài 780, người ta trồng cây hai bên đường, cứ cách 30m thì trồng một cây. Hỏi người ta đã trồng tất cả bao nhiêu cây ? ( Biết rằng hai đầu đường đều có trồng cây )

    – Người ta cưa một cây gỗ dài 6m thành những đoạn dài bằng nhau, mỗi đoạn dài 4 dm, mỗi lần cưa mất 2 phút. Hỏi phải cưa bao nhiêu lâu mới xong?

    – Một cuộn dây thép dài 56m. Người ta định chặt để làm đinh, mỗi cái đinh dài 7cm . Hỏi thời gian chặt là bao nhiêu, biết rằng mỗi nhát chặt hết 2 giây.

    – Một người thợ mộc cưa một cây gỗ dài 12m thành những đoạn dài 15dm. Mỗi lần cưa hết 6 phút. thời gian nghỉ tay giữa hai lần cưa là 2 phút. Hỏi người ấy cưa xong cây gỗ hết bao nhiêu lâu? ( 54 phút )

    – Có một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng 15m, chiều dài 24m. Người ta dựng cọc để làm hàng rào, hai cọc liên tiếp cách nhau 3m. Hỏi để rào hết miếng đất thì cần phải có bao nhiêu cọc ?

    – Người ta mắc bóng đèn màu xung quanh một bảng hiệu hình chữ nhật có chiều dài 25dm, rộng 12dm, hai bóng đèn liên tiếp cách nhau 2cm. Hỏi phải mắc tất cả bao nhiêu bóng đèn

    – Quãng đường từ nhà Lan đến trường có tất cả 52 trụ điện, hai trụ điện liên kề cách nhau 50m. Hỏi quãng đường nhà Lan đến trường dài bao nhiêu m ? ( biết hai đầu đường đều có trụ điện )

    – Muốn lên tầng ba của một ngôi nhà cao tầng phải đi qua 52 bậc cầu thang. Vậy phải đi qua bao nhiêu bậc cầu thang để đến tầng sáu của ngôi nhà này ? Biết rằng số bậc cầu thang của mỗi tầng là như nhau.

    --- Bài cũ hơn ---

  • 110 Đề Thi Học Kì 1 Môn Toán Lớp 4 Năm 2022 Tải Nhiều
  • Giải Vở Bài Tập Tiếng Việt Lớp 4 Tập 1 Tuần 1
  • Hướng Dẫn Giải Tiếng Anh Lớp 4 Mới: Unit 1
  • Giải Bài Tập Tiếng Anh Lớp 4 Mới Unit 1: Nice To See You Again
  • Giải Bài Tập Sbt Tiếng Anh Lớp 4 Chương Trình Mới Unit 1: Nice To See You Again
  • Các Bài Toán Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Toán Lớp 6 Bài 5: Phép Cộng Và Phép Nhân
  • Các Dạng Toán Về Phép Cộng Và Phép Nhân
  • Tóm Tắt Kiến Thức Toán Lớp 6 Bài 5: Phép Cộng Vàphép Nhân
  • Đáp Án Sách Mai Lan Hương Lớp 8
  • Đáp Án Sách Mai Lan Hương Lớp 10
  • Bài 4: Cuối năm học tại một trường THCS có 1200 đội viên đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ thuộc bốn khối 6, 7, 8, 9 . Trong đó số đội viên khối 6 chiếm tổng số ; số đội viên khối 7 chiếm 25% tổng số ; số đội viên khối 9 bằng số đội viên khối 8. Tìm số đội viên đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ của mỗi khối.

    Bài 5: Một lớp có 50 học sinh. số học sinh giỏi chiếm số học sinh cả lớp. Số học sinh trung bình bằng 40% số học sinh giỏi. Còn lại là học sinh khá.

    a. Tính số học sinh mỗi loại của lớp.

    b. Tính tỉ số phầm trăm của số học sinh khá, giỏi, trung bình so với học sinh cả lớp.

    CÁC BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI – LỚP 6 Bài 1: Lớp 6A có 40 học sinh.Cuối năm số học sinh loại giỏi chiếm 10% tổng số học sinh cả lớp.Số học sinh khá bằng số học sinh loại giỏi. Còn lại là học sinh trung bình. Tính số học sinh mỗi loại? HD: Số học sinh giỏi là: – Số học sinh khá là: – Số học sinh trung bình là: Đáp số: Giỏi: 4 hs Khá: 6 hs Trung Bình: 30 hs Bài 2: Khối 6 của một trường có tổng cộng 90 học sinh. Trong dịp tổng kết cuối năm thống kê được: Số học sinh giỏi bằng số học sinh cả khối, số học sinh khá bằng 40% số học sinh cả khối. Số học sinh trung bình bằng số học sinh cả khối, còn lại là học sinh yếu kém. Tính số học sinh mỗi loại. Số học sinh giỏi của trường là: (học sinh) – Số học sinh khá của trường là: (học sinh) – Số học sinh trung bình của trường là: (học sinh) – Số học sinh yếu của trường là:90 – (15 + 36 + 30) = 9 (học sinh) Bài 3: Ở lớp 6B số HS giỏi học kì I bằng số HS cả lớp. Cuối năm học có thêm 5 HS đạt loại giỏi nên số HS giỏi bằng số HS cả lớp. Tính số HS của lớp 6A? Bài 4: Cuối năm học tại một trường THCS có 1200 đội viên đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ thuộc bốn khối 6, 7, 8, 9 . Trong đó số đội viên khối 6 chiếm tổng số ; số đội viên khối 7 chiếm 25% tổng số ; số đội viên khối 9 bằng số đội viên khối 8. Tìm số đội viên đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ của mỗi khối. Bài 5: Một lớp có 50 học sinh. số học sinh giỏi chiếm số học sinh cả lớp. Số học sinh trung bình bằng 40% số học sinh giỏi. Còn lại là học sinh khá. a. Tính số học sinh mỗi loại của lớp. b. Tính tỉ số phầm trăm của số học sinh khá, giỏi, trung bình so với học sinh cả lớp. Bài 6: Một đội công nhân sửa chữa một đoạn đường trong ba ngày. Ngày thứ nhất sửa 59 đoạn đường, ngày thứ hai sửa 14 đoạn đường. Ngày thứ ba sửa 7m còn lại. Hỏi đoạn đường cần sửa dài bao nhiêu mét. Bài 7: Lớp 6A có 40 học sinh gồm 3 loại: Giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi chiếm số học sinh cả lớp. Số học sinh trung bình bằng số học sinh còn lại a) Tính số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp 6A b) Tính tỷ số phần trăm của số học sinh trung bình so với học sinh cả lớp Giải a) – Số học sinh giỏi của lớp 6A là: (học sinh) số học sinh còn lại là 40 – 5 = 35 (học sinh) – Số học sinh trung bình của lớp 6A là: (học sinh) – Số học sinh khá của lớp 6A là: 35 -15 = 10 (học sinh) b) % = 35% Bài 8: Kết quả học lực cuối học kỳ I năm học 2012 – 2013 cuả lớp 6A xếp thành ba loại: Giỏi; Khá; Trung bình. Biết số học sinh khá bằng số học sinh giỏi; số học sinh trung bình bằng số học sinh giỏi. Hỏi lớp 6A có bao nhiêu học sinh; biết rằng lớp 6A có 12 học sinh khá? HD: Số học sinh giỏi của lớp 6A là: (học sinh) Số học sinh trung bình của lớp 6A là: (học sinh) Tổng số học sinh của lớp 6A là: (học sinh) Đáp số: 36 học sinh Bài 9: Biết diện tích của một khu vườn là 250m2. Trên khu vườn đó người ta trồng các loại cây cam, chuối và bưởi. Diện tích trồng cam chiếm 40% diện tích khu vườn. Diện tích trồng chuối bằng diện tích trồng cam. Phần diện tích còn lại là trồng bưởi. Hãy tính: Diện tích trồng mỗi loại cây ; Tỉ số diện tích trồng cam và diện tích trồng bưởi ; Tỉ số phần trăm của diện tích trồng cam và diện tích trồng chuối. Bài 10: Một mãnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng là 20 m và chiều dài bằng 1,5 lần chiều rộng . a) Tính diện tích mãnh vườn. b) Người ta lấy một phần đất vườn để trồng cây ăn quả, biết rằng diện tích trồng cây ăn quả là 180m2 . Tính diện tích trồng cây ăn quả. c) Phần diện tích còn lại người ta trồng hoa. Hỏi diện tích trồng hoa chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích mãnh vườn. Bài 11: Một trường học có 120 học sinh khối 6 gồm ba lớp : lớp 6A1 chiếm số học sinh khối 6. Số học sinh lớp 6A2 chiếm số học sinh khối 6. Số còn lại là học sinh lớp 6A3 .Tính số học sinh mỗi lớp. Bài 12 : Một lớp học có 44 học sinh gồm ba loại : giỏi, khá và trung bình. Số học sinh trung bình chiếm số học sinh cả lớp. Số học sinh khá bằng số học sinh còn lại. Tính số học sinh giỏi của lớp đó ? Bài 13 : Lớp 6A có 45 học sinh. Trong đó, số học sinh trung bình chiếm số học sinh cả lớp. Tổng số học sinh khá và giỏi chiếm số học sinh trung bình, còn lại là học sinh yếu kém. Tính số học sinh yếu kém của lớp 6A? Bài 14 : Tuấn có tất cả 54 viên bi gồm ba màu là xanh, cam, tím. Trong đó, số viên bi xanh chiếm tổng số viên bi, số viên bi cam chiếm số viên bi còn lại. Tính xem Tuấn có bao nhiêu viên bi màu tím ? Bài 15 : Một lớp học có 40 học sinh gồm ba loại : giỏi, khá và trung bình. Số học sinh khá chiếm số học sinh cả lớp. Số học sinh giỏi chiếm số học sinh còn lại. Tính số học sinh trung bình của lớp đó ? Bài 16: Lớp 6A có 40 học sinh. Điểm kiểm tra Toán gồm 4 loại: Giỏi, khá, trung bình và yếu. Trong đó số bài đạt điểm giỏi chiếm tổng số bài, số bài đạt điểm khá chiếm số bài đạt điểm giỏi. Loại yếu chiếm số bài còn lại. a) Tính số bài kiểm tra mỗi loại của lớp. b) Tính tỉ số phần trăm học sinh đạt điểm trung bình, yếu so với học sinh cả lớp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đáp Án Ngữ Văn Lớp 6 Tập 2
  • Đề Thi Học Kì 1 Lớp 6 Môn Văn Có Đáp Án Năm Học 2014
  • Tham Khảo Đề Thi Học Kì 1 Lớp 6 Môn Văn Có Đáp Án Tuyển Chọn Hay Nhất 2022
  • Đáp Án Lưu Hoằng Trí Unit 1 Lớp 6
  • Lưu Hoằng Trí Lớp 6 Có Đáp Án
  • Bài Tập Nâng Cao Toán Lớp 4: Dạng Toán Tổng Và Hiệu

    --- Bài mới hơn ---

  • I. Những Bài Toán Cổ Hay Lớp 4 ( Có Đáp Án ) I Nhung Bai Toan Co Hay Lop 4 Co Dap An Doc
  • Hướng Dẫn Giải Bài Toán Lớp 4 Tìm Phân Số Của Một Số
  • Quy Trình Giải Một Bài Toán Tiểu Học Hay
  • Các Bài Toán Nâng Cao Lớp 4 Có Đáp Án
  • Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 6
  • Bài tập ôn tập Toán lớp 4

    Bài tập nâng cao Toán lớp 4: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

    Bài tập Toán lớp 4: Dạng Toán Tổng và hiệu được VnDoc sưu tầm, biên soạn, chỉnh lý và tổng hợp giúp các học sinh luyện tập các dạng bài về toán tổng và hiệu từ cơ bản tới nâng cao. Hi vọng tài liệu này giúp các em học sinh tự củng cố kiến thức, luyện tập và nâng cao cách giải bài tập Toán lớp 4, cũng như giúp các thầy cô có thêm tư liệu ra đề luyện tập cho học sinh. Mời các em cùng các thầy cô tham khảo.

    Lưu ý: Nếu không tìm thấy nút Tải về bài viết này, bạn vui lòng kéo xuống cuối bài viết để tải về.

    A. Kiến thức cần nhớ về bài toán tổng và hiệu

    1. Một số công thức cơ bản

    Công thức 1: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

    Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng – số lớn)

    Công thức 2: Số bé = (tổng – hiệu) : 2

    Số lớn = Số bé + hiệu (hoặc tổng – số bé)

    2. Các dạng toán nâng cao về tổng và hiệu a, Dạng toán ẩn tổng

    + Cần tìm ra đại lượng đã ẩn

    + Áp dụng công thức tính tổng hiệu

    + Kiểm tra và kết luận

    Số bị trừ + số trừ + hiệu = số bị trừ + số bị trừ = 2 x số bị trừ

    Tổng hai số = số thứ nhất + số thứ hai

    Số thứ nhất + số thứ hai + tổng = tổng + tổng = 2 x tổng

    + Đọc đề và phân tích kĩ yêu cầu của bài toán.

    + Ghi nhớ công thức:

    Tổng là một số lẻ = 1 số lẻ + 1 số chẵn

    Tổng là một số chẵn = 1 số lẻ + 1 số lẻ = 1 số chẵn + 1 số chẵn

    + Vận dụng công thức tính tổng hiệu vào tính toán.

    + Kiểm tra kết quả và kết luận.

    + Lưu ý: Giữa 2 số có n số thì tổng cộng có n + 2 (số)

    Hiệu 2 số = số khoảng x khoảng cách (Ví dụ 20 số chẵn liên tiếp tạo thành 19 khoảng, mỗi khoảng cách là 2 đơn vị. Vậy hiệu 2 số là 2 x 19 = 38)

    Số lớn = (tổng + hiệu): khoảng cách

    c, Dạng tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

    + Đọc và phân tích đề

    + Áp dụng công thức tính tổng hiệu

    + Kiểm tra và kết luận

    + Áp dụng công thức tính tổng hiệu

    + Kiểm tra và kết luận

    + Lưu ý hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian.

    B. Bài tập vận dụng về bài toán tổng và hiệu

    I. Bài tập trắc nghiệm

    Câu 1: Công thức tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó là:

    A. Số bé = (tổng – hiệu) : 2

    B. Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

    C. Cả A và B đều đúng

    D. Cả A và B đều sai

    Câu 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là 489 và hiệu là 33

    A. Số lớn: 260; số bé: 228 B. Số lớn: 261; số bé: 225

    C. Số lớn 260; số bé: 225 D. Số lớn 261; số bé: 228

    Câu 3: Nhà Lan thu hoạch được 342kg hoa quả gồm lê và táo. Biết số táo nhiều hơn số lê 16kg. Tính khối lượng mỗi quả nhà Lan thu hoạch được

    A. Số táo: 180kg; số lê: 160kg B. Số táo: 179kg; số lê: 160kg

    C. Số táo: 179kg; số lê: 163kg D. Số táo: 180kg; số lê 163kg

    Câu 4: Tổng của 2 số là số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau, hiệu của 2 số là số chẵn nhỏ nhất có 3 chữ số. Hai số đó là:

    A. Số lớn: 4989; số bé: 4889 B. Số lớn: 4988; số bé: 4888

    C. Số lớn: 4986; số bé: 4886 C. Số lớn: 4984; số bé: 4884

    Câu 5: Hiện nay tổng số tuổi của mẹ và con là 46 tuổi. Biết rằng 6 năm nữa, con sẽ kém mẹ 20 tuổi. Tính tuổi của mỗi người hiện nay

    A. Mẹ 33 tuổi; con 13 tuổi B. Mẹ 40 tuổi; con 20 tuổi

    C. Mẹ 25 tuổi; con 3 tuổi D. Mẹ 34 tuổi; con 14 tuổi

    II. Bài tập tự luận 1. Dạng toán khi biết tổng và hiệu

    Bài 1: Tìm 2 số biết tổng và hiệu của chúng lần lượt là:

    a, 24 và 6; b, 60 và 12; c, 325 và 99

    Bài 2: Trường Tiểu học A có tất cả 1354 học sinh, biết số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 62 bạn. Tính số học sinh nam, số học sinh nữ của trường ?

    Bài 3: Một hình chữ nhật có hiệu chiều rộng và chiều dài là 16 cm và tổng của chúng là 100 cm. Tính diện tích của hình chữ nhật đã cho ?

    Bài 4: Tìm hai số biết tổng của hai số bằng 58, hiệu của hai số bằng 10?

    Bài 5: Hai lớp 4A và 4B trồng được 620 cây. Lớp 4A trồng được ít hơn lớp 4B là 70 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?

    Bài 6: Một lớp học có 48 học sinh. Số học sinh nam hơn số học sinh nữ là 10 em. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ?

    Bài 8: Hai phân xưởng làm được 1460 sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất làm được ít hơn phân xưởng thứ hai 210 sản phẩm. Hỏi mỗi phân xưởng làm được bao nhiêu sản phẩm?

    Bài 9: Thu hoạch từ hai thửa ruộng được 10 tấn 7 tạ thóc. Thu hoạch được ở thửa ruộng thứ nhất được nhiều hơn ở thửa ruộng thứ hai 11 tạ thóc. Hỏi thu hoạch được ở mỗi thửa ruộng bao nhiêu ki-lô-gam thóc?

    Bài 10: Hai thùng chứa được tất cả 750 lít nước. Thùng bé chứa được ít hơn thùng to 112 lít nước. Hỏi mỗi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?

    2. Dạng toán Ẩn tổng

    Bài 11: Tổng của hai số là một số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5. Biết nếu thêm vào số bé 35 đơn vị thì ta được số lớn. Tìm mỗi số ?

    Bài 12: Mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 54m, chiều dài hơn chiều rộng 5m. Hỏi diện tích của mảnh vườn là bao nhiêu m2?

    Bài 13: Một phép trừ có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là 8622. Hiệu lớn hơn số trừ 790 đơn vị. Hãy tìm phép trừ đó ?

    Bài 14: Số thứ nhất hơn số thứ hai là 115. Biết rằng nếu lấy số thứ nhất cộng với số thứ hai rồi cộng với tổng của chúng thì được 2246 ?

    Bài 15: Một phép trừ có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là 1920. Hiệu lớn hơn số trừ 688 đơn vị. Hãy tìm phép trừ đó ?

    Bài 16: Tất cả học sinh của lớp xếp hàng 3 thì được 12 hàng. Số bạn gái ít hơn số bạn trai là 4. Hỏi lớp đó có bao nhiêu bạn trai, bao nhiêu bạn gái ?

    Bài 17: Cho một phép trừ hai số mà tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu số bằng 2022. Hiệu số lớn hơn số trừ là 165. Hãy tìm số bị trừ và số trừ của phép tính đó ?

    Bài 18: Hà có nhiều hơn Mai 16 quyển truyện. Nếu Mai mua thêm 10 quyển và Hà mua thêm 4 quyển thì 2 bạn có tổng cộng 50 quyển. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu quyển truyện?

    Bài 19: Tìm hai số có hiệu bằng 724, biết rằng nếu lấy số thứ nhất cộng với số thứ hai rồi cộng với tổng của chúng thì được 4784 ?

    Bài 21: Tìm hai số chẵn có tổng bằng 200 và giữa chúng có 4 số lẻ ?

    Bài 22: Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 837, biết giữa 2 số đó có tất cả 4 số chẵn ?

    Bài 23: Tìm 3 số chẵn liên tiếp biết tổng của 3 số đó bằng 738 ?

    Bài 24: Tìm hai số lẻ có tổng 548 và giữa chúng có 6 số lẻ khác?

    Bài 25: Tìm hai số lẻ có tổng 432 và giữa chúng có 20 số lẻ khác ?

    Bài 26: Tìm hai số chẵn biết tổng của chúng bằng 292 và giữa chúng có tất cả 7 số chẵn khác?

    Bài 27: Tìm hai số lẻ có tổng bằng 220 và giữa chúng có 5 số chẵn ?

    Bài 28: Tìm hai số lẻ có tổng bằng 338 và giữa chúng có 20 số chẵn ?

    Bài 29: Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 837, biết giữa 2 số đó có tất cả 4 số chẵn ?

    Bài 30: Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 389, biết giữa 2 số đó có tất cả 12 số lẻ ?

    Bài 32: Hai kho gạo có 155 tấn. Nếu thêm vào kho thứ nhất 8 tấn và kho thứ hai 17 tấn thì số gạo ở mỗi kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn gạo?

    Bài 33: Hai người thợ dệt dệt được 270 m vải. Nếu người thứ nhất dệt thêm 12m và người thứ hai dệt thêm 8 m thì người thứ nhất sẽ dệt nhiều hơn người thứ hai 10 m. Hỏi mỗi người đã dệt được bao nhiêu mét vải?

    Bài 34: Lớp 4A có 32 học sinh. Hôm nay có 3 bạn nữ nghỉ học nên số nam nhiều hơn số nữ là 5 bạn. Hỏi lớp 4A có bao nhiêu học sinh nữ, bao nhiêu học sinh nam?

    Bài 35: Hai thùng dầu có tất cả 116 lít. Nếu chuyển 6 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai thì lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?

    Bài 36: An và Bình có tất cả 120 viên bi. Nếu An cho Bình 20 viên thì Bình sẽ có nhiều hơn An 16 viên. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

    Bài 37: Hùng và Dũng có tất cả 45 viên bi. Nếu Hùng có thêm 5 viên bi thì Hùng có nhiều hơn Dũng 14 viên. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi ?

    Bài 38: Ngọc có tất cả 48 viên bi vừa xanh vừa đỏ. Biết rằng nếu lấy ra 10 viên bi đỏ và hai viên bi xanh thì số bi đỏ bằng số bi xanh. Hỏi có bao nhiêu viên bi mỗi loại?

    Bài 39: Hai lớp 4A và 4B có tất cả 82 học sinh. Nếu chuyển 2 học sinh ở lớp 4A sang lớp 4B thì số học sinh 2 lớp sẽ bằng nhau. Tính số học sinh của mỗi lớp ?

    5. Dạng toán ẩn cả tổng và hiệu

    Bài 40: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 120m. Tính diện tích thửa ruộng đó, biết nếu tăng chiều rộng 5m và giảm chiều dài 5m thì thửa ruộng đó trở thành hình vuông ?

    Bài 41: Tìm hai số có tổng là số lớn nhất có 4 chữ số và hiệu là số lẻ bé nhất có 3 chữ số ?

    Bài 42: Tìm hai số có tổng là số bé nhất có 4 chữ số và hiệu là số chẵn lớn nhất có 2 chữ số ?

    Bài 43: Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 2 ?

    Bài 44: Tìm hai số, biết tổng hai số là số lớn nhất có hai chữ số. Hiệu hai số là số lẻ bé nhất có hai chữ số ?

    Bài 45: Tìm hai số biết hiệu hai số là số lớn nhất có 1 chữ số và tổng hai số là số lớn nhất có ba chữ số ?

    Bài 46: Hai số lẻ có tổng là số nhỏ nhất có 4 chữ số và ở giữa hai số lẻ đó có 4 số lẻ. Tìm hai số đó ?

    Bài 47: Tổng 2 số là số lớn nhất có 3 chữ số. Hiệu của chúng là số lẻ nhỏ nhất có 2 chữ số. Tìm mỗi số ?

    Bài 49: Anh hơn em 5 tuổi. Biết rằng 5 năm nữa thì tổng số tuổi của hai anh em là 25 tuổi. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay?

    Bài 50: Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?

    Bài 51: Ông hơn cháu 56 tuổi, biết rằng 3 năm nữa tổng số tuổi của ông cháu sẽ bàng 80 tuổi. Hỏi hiện nay ông bao nhiêu tuổi ? Cháu bao nhiêu tuổi ?

    Bài 52: Tuổi chị và tuổi em cộng lại được 36 tuổi. Em kém chị 8 tuổi. Hỏi chị bao nhiêu tuổi, em bao nhiêu tuổi?

    Bài 53: Bố hơn con 28 tuổi; 3 năm nữa số tuổi của cả hai bố con tròn 50. Tính tuổi hiện nay của mỗi người ?

    Bài 54: Bố hơn con 30 tuổi. Biết 5 năm nữa tổng số tuổi của 2 bố con là 62 tuổi. Tính tuổi 2 bố con hiện nay ?

    Bài 55: Cha hơn con 32 tuổi. Biết 4 năm nữa tổng số tuổi của 2 cha con là 64 tuổi. Tính tuổi 2 cha con hiện nay ?

    C. Lời giải bài tập về tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

    I. Bài tập trắc nghiệm II. Bài tập tự luận Bài 1:

    a, Số lớn là:

    (24 + 6) : 2 = 15

    Số bé là:

    24 – 15 = 9

    Đáp số: 9 và 15

    b, Số lớn là:

    (60 + 12) : 2 = 36

    Số bé là:

    60 – 36 = 24

    Đáp số: 24 và 36

    c, Số lớn là:

    (325 + 99) : 2 = 212

    Số bé là:

    325 – 212 = 113

    Đáp số: 113 và 212

    Bài 2:

    Số học sinh nam của trường là:

    (1354 + 62) : 2 = 708 (học sinh)

    Số học sinh nữ của trường là:

    1354 – 708 = 646 (học sinh)

    Đáp số: nam: 708 học sinh, nữ: 646 học sinh

    Bài 3:

    Chiều dài hình chữ nhật là:

    (16 + 100) : 2 = 58 (cm)

    Chiều rộng hình chữ nhật là:

    100 – 58 = 44 (cm)

    Diện tích hình chữ nhật là:

    58 x 44 = 2552 (cm²)

    Đáp số: 2552 cm²

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hướng Dẫn Giải Bài Toán Lớp 4 Chuyên Đề “tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Hiệu Của Hai Số Đó”
  • Một Vài Biện Pháp Giúp Học Sinh Lớp 4 Giải Tốt Dạng Toán Có Lời Văn
  • 6 Dạng Toán Đặc Trưng Của Bài Toán Lớp 4 Nâng Cao Về Tổng Hiệu
  • Một Vài Phương Pháp Và Các Bước Tiến Hành Giúp Học Sinh Lớp 4 Giải Toán Có Lời Văn Mot So Phuong Phap Giup Hs Giai Toan Co Loi Van Doc
  • Giải Bài Toán Có Lời Văn Chỉ Với 2 Bước Đơn Giản Là Ra Kết Quả Đúng
  • Tổng Hợp Các Dạng Toán Về Phương Trình Đường Thẳng Trong Các Đề Thi (Có Lời Giải)

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Dạng Toán Về Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz Và Bài Tập
  • 8 10 Bài Tập Phép Đồng Dạng File Word Có Lời Giải Chi Tiết
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Phương Trình Mặt Phẳng Có Đáp Án
  • Giải Sbt Bài 1. Quy Tắc Đếm
  • Giải Sbt Công Nghệ 7 Bài 33: Một Số Phương Pháp Chọn Lọc Và Quản Lý Giống Vật Nuôi
  • Published on

    Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời giải) (hệ trục Oxy). được Sưu tầm & biên soạn: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ . Tài liệu có 59 trang file word. Các bài toán đều có hướng dẫn giải rõ ràng và chi tiết. Đây là tài liệu không thể thiếu cho các em đang ôn thi THPT quốc gia môn Toán

    http://giavienb.net/

    1. 1. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 1 Jun . 17 C E  Bài 1Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )2;1(,)1;2(  BA , träng t©m G cña tam gi¸c n”m trªn ®-êng th¼ng 02  yx . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b”ng 27 2 Hướng dẫn:V× G n”m trªn ®-êng th¼ng 02  yx nªn G cã täa ®é )2;( ttG  . Khi ®ã ( 2;3 )AG t t    , ( 1; 1)AB     VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ     1)3()2(2 2 1 .. 2 1 22 2 22  ttABAGABAGS = 2 32 t NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b”ng 27 2 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b”ng 27 9 6 2  . VËy 2 3 9 2 2 t   , suy ra 6t hoÆc 3t . VËy cã hai ®iÓm G : )1;3(,)4;6( 21  GG . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn 3 ( )C G A Bx x x x   vµ 3 ( )C G A By y y y   . Víi )4;6(1 G ta cã )9;15(1 C , víi )1;3(2 G ta cã )18;12(2 C Bài 2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Hướng dẫn:Gọi  là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB Ta có   6 6 4 , 4 2 2 d A      Vì  là đường trung bình của  ABC    ; 2 ; 2.4 2 8 2d A BC d A     Gọi phương trình đường thẳng BC là: 0x y a   Từ đó: 46 6 8 2 12 16 282 aa a a            Nếu 28a   thì phương trình của BC là 28 0x y   , trường hợp này A nằm khác phía đối với BC và  , vô lí. Vậy 4a  , do đó phương trình BC là: 4 0x y   . Đường cao kẻ từ A của ABC là đường thẳng đi qua A(6;6) và BC : 4 0x y   nên có phương trình là 0x y  . Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình 0 2 4 0 2 x y x x y y              Vậy H (-2;-2) VìBC có phương trình là 4 0x y   nên tọa độ B có dạng: B(m; -4-m) Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-m;m) Suy ra:  5 ; 3 , ( 6; 10 )CE m m AB m m          ;Vì CE AB nên      . 0 6 5 3 10 0ABCE a a a a           2 0 2 12 0 6 a a a a        Vậy     0; 4 4;0 B C    hoặc     6;2 2; 6 B C    . B H
    2. 6. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 6 Jun . 17 độ các đỉnh của tam giác. Bài 16. Bài 17 . 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 35 30 25 20 15 10 5 5 10 15 x+y-5=0 Hướng dẫn: * tìm M’ là điểm đối xứng của M qua BD * Viết pt đường cao AH . (Đi qua H, có vtpt:n =HM’ * Tìm các điểm A và B thuộc các đường phân giác BD và đường cao AH ,đối xứng nhau qua M c M’ M H B D 10 8 6 4 2 2 4 6 10 5 5 10 x+7y-31=0 Hướng dẫn: * Viết pt đường thẳng (D) đi qua M và tạo với đt d 1 góc 45°, Đỉnh B là giao của (D) và d * Viết pt đường thẳng (D’) đi qua N và vuông góc với (D). Đỉnh C là giao của d và (D’) * Từ đó suy ra đỉnh A ( Bài toán có nhiều hướng giải khác nhau) A’ C’ A M N C B 6 4 2 2 4 6 15 10 5 5 x+y+3=0 x-4y-2=0 Hướng dẫn: *Do tam giác ABC cân tại A, nên khi dựng hình bình hành AMEM’ thì AMEM’ là hình thoi và tâm I là hình chiếu của M trên đường cao AH. * Từ đó ta có cách xác định các đỉnh A,B,C như sau: +viết pt đt EM ( đi qua M,//d ); Xác dịnh giao điểm E cảu ME và đường cao AH. +Xác định hình chiếu I của M trên AH,và xác định tọa độ của A + xác định B là giao của MA và d +Xác định C là điểm đối xứng của B qua AH H I M’ E B M(1;1) A C
    3. 8. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 8 Jun . 17 Bài 21 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm        A 1;0 ,B 2;4 ,C 1;4 ,D 3;5  và đường thẳng d:3x y 5 0   . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau Hướng dẫn:M thuộc d thi M(a;3a-5 ) – Mặt khác :     1 3;4 5, : 4 3 4 0 3 4 x y AB AB AB x y                 1 4 4;1 17; : 4 17 0 4 1 x y CD CD CD x y             – Tính :       1 2 4 3 3 5 4 4 3 5 1713 19 3 11 , , 5 5 17 17 a a a aa a h M AB h             – Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì : 1 2 11 13 19 3 115.13 19 17. 3 111 1 . . 12 13 19 11 32 2 5 17 8 a aa a a AB h CD h a a a                 – Vậy trên d có 2 điểm :  1 2 11 27 ; , 8;19 12 12 M M       Bài 22. Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC , biết tọa độ chân các đường cao tương ứng là A’,B’,C’. Hướng dẫn: Bài chúng tôi hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C Hướng dẫn: – Nếu C nằm trên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a-1;2a).- Ta có :   0 2 , 2 2 d B d    . – Theo giả thiết :       2 21 4 . , 2 2 2 2 0 2 2 S AC d B d AC a a        2 2 1 3 28 8 8 4 2 2 1 0 1 3 2 a a a a a a                 Gọi H là trực tâm ABC,Dễ c/m dược A’H,B’H,C’H là các đường phân giác trong của tam giác A’B’C’. và viết được phương trình của A’H, ,Từ đó suy ra phương trình của BC. A’ C’ B’ H B C A
    4. 9. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 9 Jun . 17 – Vậy ta có 2 điểm C : 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 ; , ; 2 2 2 2 C C                   Bài 24.Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )5;2(,)1;1( BA , ®Ønh C n”m trªn ®-êng th¼ng 04 x , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n”m trªn ®-êng th¼ng 0632  yx . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Hướng dẫn: – Tọa độ C có dạng : C(4;a) ,     5 3;4 1 1 : 4 3 7 0 3 4 AB AB x y AB x y              – Theo tính chát trọng tâm ; 1 2 4 1 3 3 1 5 6 3 33 A B C G G A B C GG x x x x x y y y a a yy                       – Do G nằm trên : 2x-3y+6=0 , cho nên : 6 2.1 3 6 0 2 3 a a            . – Vậy M(4;2) và     4.4 3.2 7 1 1 15 , 3 . , 5.3 2 2 216 9 ABCd C AB S AB d C AB          (đvdt) Bài 25.Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi )2;1(,)1;2(  BA , träng t©m G cña tam gi¸c n”m trªn ®-êng th¼ng 02  yx . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b”ng13,5 . Hướng dẫn:Ta có : M là trung điểm của AB thì M 3 1 ; 2 2       . Gọi C(a;b) , theo tính chất trọng tam tam giác : 3 3 3 3 G G a x b y       ; Do G nằm trên d :   3 3 2 0 6 1 3 3 a b a b         – Ta có :       3 52 1 1;3 : 3 5 0 , 1 3 10 a bx y AB AB x y h C AB              – Từ giả thiết :   2 5 2 51 1 . , 10. 13,5 2 2 210 ABC a b a b S AB h C AB         2 5 27 2 32 2 5 27 2 5 27 2 22 a b a b a b a b a b                     – Kết hợp với (1) ta có 2 hệ :  1 2 20 6 6 3 2 32 3 38 38 38 20 ; , 6;12 3 3 36 6 122 22 3 18 6 b a b a b a b a a C C a b a b ba b a a                                                    Bài 26Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y – 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích ABC .
    5. 10. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 10 Jun . 17 Hướng dẫn:- Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vuông góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ phương       2 1; 3 : 1 3 x t n AC t R y t          – Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : 2 1 3 1 0 x t y t x y           Giải ta được : t=2 và C(4;-5). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B(3a+7;a) . M là trung điểm của AB 3 9 1 ; 2 2 a a M         . – Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :   3 9 1 1 0 3 1; 2 2 2 a a a B            – Ta có :       122 1 1; 3 10, : 3 5 0, ; 1 3 10 x y AB AB AB x y h C AB               Vậy :   1 1 12 . , 10. 6 2 2 10 ABCS AB h C AB   (đvdt). Bài 27 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Hướng dẫn:- Gọi B(a;b) suy ra M 5 2 ; 2 2 a b       . M nằm trên trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1). – B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên :    : x a t BC t R y b t      . Từ đó suy ra tọa độ N : 6 2 3 6 2 6 0 6 2 a b t x a t a b y b t x x y b a y                       3 6 6 ; 2 2 a b b a N           . Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a ) – Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2) – Từ (1) và (2) :     2 14 0 37 37;88 , 20; 31 5 2 9 0 88 a b a B C a b b                  Bài 28Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng  : 3 8 0x y   , ‘:3 4 10 0x y    và điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng  , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  ‘. Hướng dẫn:: – Gọi tâm đường tròn là I , do I thuộc   2 3 : 2 3 ; 2 2 x t I t t y t             – A thuộc đường tròn     2 2 3 3IA t t R     (1) A(5;2) B C x+y-6=0 2x-y+3=0 M N
    6. 11. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 11 Jun . 17 – Đường tròn tiếp xúc với    3 2 3 4 2 10 13 12 ‘ 5 5 t t t R R             . (2) – Từ (1) và (2) :           2 2 2 2 213 12 3 3 25 3 3 13 12 5 t t t t t t             Bài 29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 2 2 ( ): – 2 – 2 1 0,C x y x y   2 2 ( ‘): 4 -5 0C x y x   cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ‘)C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB Hướng dẫn:* Cách 1. – Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương   1 ; : x at u a b d y bt        – Đường tròn        1 1 1 2 2 2: 1;1 , 1. : 2;0 , 3C I R C I R   , suy ra :           2 2 2 2 1 2: 1 1 1, : 2 9C x y C x y       – Nếu d cắt  1C tại A :   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 1 ;2 t M ab b a b t bt Ab a b a bt a b                 – Nếu d cắt  2C tại B :   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 6 6 6 0 1 ;6 t M a ab a b t at Ba a b a bt a b                   – Theo giả thiết : MA=2MB  2 2 4 *MA MB  – Ta có : 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 4 ab b a ab a b a b a b a b                               2 2 2 2 2 2 2 2 6 :6 6 04 36 4. 36 6 :6 6 0 b a d x yb a b a b a d x ya b a b                    * Cách 2. – Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= 1 2  . ( Học sinh tự làm ) Bài 30 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm (1;0)H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2)K , trung điểm cạnh AB là (3;1)M . Hướng dẫn:- Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến      1; 2 : 2 2 0 2 4 0KH AC x y x y           . – B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương    1; 2 1 ; 2KH B t t      . – M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t). – Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2) – Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,    2 2;4 , 3;4BC t t HA      . Theo tính chất đường cao kẻ từ A :    . 0 3 2 2 4 4 0 1HA BC t t t            . Vậy : C(-2;1). H(1;0) K(0;2) M(3;1) A B C
    7. 12. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 12 Jun . 17 – (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương       4 4 2;6 // 1;3 : 1 3 x y BA u AB         3 8 0x y    – (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến        3;4 :3 2 4 2 0HA BC x y       3 4 2 0x y    . Bài 31 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình   2 2 1 : 4 5 0C x y y    và   2 2 2 : 6 8 16 0.C x y x y     Lập phương trình tiếp tuyến chung của  1C và  2 .C Hướng dẫn:: – Ta có :               2 2 22 1 1 1 2 2 2: 2 9 0;2 , 3, : 3 4 9 3; 4 , 3C x y I R C x y I R            – Nhận xét :  1 2 19 4 13 3 3 6I I C       không cắt  2C – Gọi d : ax+by+c =0 ( 2 2 0a b  ) là tiếp tuyến chung , thế thì :    1 1 2 2, , ,d I d R d I d R      2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 4 22 3 4 2 3 4 3 4 23 4 3 2 b c a b c b cb c a b ca b b c a b c a b c b ca b c a b a b a b                                 2 3 2 2 0 a b a b c       . Mặt khác từ (1) :    2 2 2 2 9b c a b    – Trường hợp : a=2b thay vào (1) :       2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 4 2 9 4 41 4 0. ‘ 4 41 45 2 3 5 4 b b c b b c b b b bc c c c c c b                     – Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :        1 2 3 5 2 3 5 : 1 0 2 2 3 5 2 3 5 4 0 2 4 d x y x y                   1 2 3 5 2 3 5 : 1 0 2 2 3 5 2 3 5 4 0 2 4 d x y x y            – Trường hợp : 2 3 2 b a c   , thay vào (1) : 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 b a b b a a b a b           2 2 2 2 0, 20 2 2 3 4 0 4 4 , 6 3 3 6 a b a cb c b a a b b ab a a a b a c b c                           – Vậy có 2 đường thẳng : 3 :2 1 0d x   , 4 :6 8 1 0d x y   Bài 32 Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với đường thẳng : 2 0d x y   tại điểm A có hoành độ bằng 4. Hướng dẫn:- Do A thuộc d : A(4;2)
    8. 13. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 13 Jun . 17 – Giả sử (H) :       2 2 2 2 2 2 16 4 1 * 1 1 x y A H a b a b        – Mặt khác do d tiếp xúc với (H) thì hệ sau có 12 nghiệm bằng nhau :    2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 02 2 2 2 b a x a x a a bb x a y a b b x a x a b y x y x y x                              4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 ‘ 4 4 4 4 0 4a a b a a a b a b a b a b a b b a a b                – Kết hợp với (1) :   2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 4 8 16 0 4 : 1 8 44 4 8 b a a b b b b x y H a b a b a                           Bài 33 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Hướng dẫn:- Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ : 2 1 0 21 13 ; 7 14 0 5 5 x y B x y             – Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:     21 5 1; 2 : 13 2 5 x t u BC y t             – Ta có :    , 2 2 2 ,AC BD BIC ABD AB BD       – (AB) có  1 1; 2n    , (BD) có   1 2 2 1 2 n . 1 14 15 3 1; 7 os = 5 50 5 10 10 n n c n n              – Gọi (AC) có     2 2 2 a-7b 9 4 , os AC,BD os2 = 2cos 1 2 1 10 550 n a b c c a b                 – Do đó :    22 2 2 2 2 2 5 7 4 50 7 32 31 14 17 0a b a b a b a b a ab b            – Suy ra :         17 17 : 2 1 0 17 31 3 0 31 31 : 2 1 0 3 0 a b AC x y x y a b AC x y x y                         – (AC) cắt (BC) tại C 21 5 13 7 14 5 2 ; 5 15 3 3 3 0 x t y t t C x y                       – (AC) cắt (AB) tại A :   2 1 0 7 7;4 3 0 4 x y x A x y y               – (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) : 7 4 2 x t y t     
    9. 14. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 14 Jun . 17 – (AD) cắt (BD) tại D : 7 7 98 46 4 2 ; 15 15 15 7 14 0 x t y t t D x y                  – Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 …..làm tương tự . Bài 34 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG Hướng dẫn::- B thuộc d suy ra B : 5 x t y t      , C thuộc d’ cho nên C: 7 2x m y m     . – Theo tính chất trọng tâm :  2 9 2 2, 0 3 3 G G t m m t x y          – Ta có hệ : 2 1 2 3 1 m t m t m t             – Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) . Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ chỉ phương  3;4u   , cho nên (BG):   20 15 82 13 4 3 8 0 ; 3 4 5 5 x y x y d C BG R            – Vậy đường tròn có tâm C(5;1) và có bán kính R=       2 213 169 : 5 1 5 25 C x y     Bài 35Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1 Hướng dẫn:- Đường (AB) cắt (BC) tại B 2 5 1 0 12 23 0 x y x y        Suy ra : B(2;-1). . (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng (BC) có hệ số góc k’= 2 5 , do đó ta có : 2 12 5tan 2 2 1 12. 5 B     . Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta có : 2 2 55tan 2 5 21 5 m m C m m      . Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tanB=tanC, hay ta có : 8 2 5 4 102 5 2 2 5 2 2 5 9 2 5 4 105 2 12 m m mm m m m mm m                    – Trường hợp :     9 9 : 3 1 9 8 35 0 8 8 m AC y x x y           – Trường hợp : m=12 suy ra (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại vì nó //AB ). – Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 . Bài 36 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : A(2;3) B C x+y+5=0 x+2y-7=0 G(2;0) M A B C 2x-5y+1=0 M(3;1) H 12x-y-23=0
    10. 15. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 15 Jun . 17 B(2;-1) A C x+2y-5=0 3x-4y+27=0 H K (C1) : (x – 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Hướng dẫn:- Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15. (C’) có J(1;2) và R’=5. Gọi d là tiếp tuyến chung có phương trình : ax+by+c=0 ( 2 2 0a b  ). – Khi đó ta có :        2 2 2 2 5 12 2 , 15 1 , , 5 2 a b c a b c h I d h J d a b a b           – Từ (1) và (2) suy ra : 5 12 3 6 3 5 12 3 2 5 12 3 6 3 a b c a b c a b c a b c a b c a b c                   9 3 2 2 a b c a b c        . Thay vào (1) : 2 2 2 5a b c a b    ta có hai trường hợp : – Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) :    2 2 2 2 2 2 7 25 21 28 24 0a b a b a ab b       Suy ra : 14 10 7 14 10 7 175 10 7 : 0 21 21 21 14 10 7 14 10 7 175 10 7 : 0 21 21 21 a d x y a d x y                               – Trường hợp :      2 2 2 2 23 2 1 : 7 2 100 96 28 51 0 2 c a b b a a b a ab b           . Vô nghiệm . ( Phù hợp vì : 16 196 212 ‘ 5 15 20 400IJ R R         . Hai đường tròn cắt nhau ) . Bài 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2 x y 2x 8y 8 0     . Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6. Hướng dẫn:Đường thẳng d’ song song với d : 3x+y+m=0 – IH là khoảng cách từ I đến d’ : 3 4 1 5 5 m m IH       – Xét tam giác vuông IHB : 2 2 2 25 9 16 4 AB IH IB             2 19 ‘:3 19 01 16 1 20 21 ‘:3 21 025 m d x ym m m d x y                    Bài 38.Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y- 5=0 Hướng dẫn:- Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) và vuông góc với (AH) suy ra (BC): 2 3 1 4 x t y t       , hay :   2 1 4 3 7 0 4;3 3 4 x y x y n             – (BC) cắt (CK) tại C :   2 3 1 4 1 1;3 2 5 0 x t y t t C x y                 – (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến  ;n a b  Suy ra (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*). Gọi 4 6 10 2 os = 5 16 9 5 5 5 KCB KCA c          
    11. 16. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 16 Jun . 17 – Tương tự :    2 2 2 2 2 2 2 a+2b a+2b 2 os = 2 4 55 5 c a b a b a b a b                2 0 3 0 3 0 3 4 0 4 4 1 3 0 4 3 5 0 3 3 a b y y a ab b a x y x y                        – (AC) cắt (AH) tại A :  1 2 3 3 0 5 3 4 27 0 31 58231 5;3 , ; 25 254 3 5 0 25 3 4 27 0 582 25 y y x x y A Ax x y x y y                                – Lập (AB) qua B(2;-1) và 2 điểm A tìm được ở trên . ( học sinh tự lập ). Bài 39.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuôngtại A, phương trình đường thẳng BC là : 3 x – y – 3 = 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếptam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . Hướng dẫn:- Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho y=0 suy ra x=1 , B(1;0) . Gọi A(a;0) thuộc Ox là đỉnh của góc vuông ( a khác 1 ).. Đường thẳng x=a cắt (BC) tại C :   ; 3 1a a  . – Độ dài các cạnh : 2 2 2 1 , 3 1 2 1AB a AC a BC AB AC BC a          – Chu vi tam giác : 2p=    3 3 1 1 3 1 2 1 3 3 1 2 a a a a a p             – Ta có : S=pr suy ra p= S r .(*) Nhưng S=   21 1 3 . 1 3 1 1 2 2 2 AB AC a a a     . Cho nên (*) trở thành :      2 3 2 31 3 3 3 1 1 1 1 2 3 1 2 4 1 2 3 a a a a a                 – Trọng tâm G :       1 2 3 2 3 12 1 7 4 3 3 7 4 3 2 3 63 3 ; 3 33 1 3 2 2 3 2 3 6 3 3 3 G G G G a x x G a y y                                  2 2 1 2 3 12 1 1 4 3 3 1 4 3 2 3 63 3 ; 3 33 1 3 2 2 3 2 3 6 3 3 3 G G G G a x x G a y y                                 Bài 40.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : 012422  yxyx và đường thẳng d : 01  yx . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến Hướng dẫn:
    12. 17. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 17 Jun . 17 – M thuộc d suy ra M(t;-1-t). . Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì MAIB là hình vuông ( A,B là 2 tiếp điểm ). Do đó AB=MI= IA 2 =R 2 = 6 2 2 3 . – Ta có :     2 2 2 2 2 2 8 2 3MI t t t       – Do đó :     1 2 2 2 2 2; 2 1 2 8 12 2 2 2; 2 1 t M t t t M                 . * Chú ý : Ta còn cách khác – Gọi d’ là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d’ có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) . – Nếu d’ là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì d(I;d’)=R 2 2 2 6 1 k kt t k                  2 2 2 2 2 2 2 6 1 4 2 2 2 2 4 2 0t k t k t t k t t k t t                  – Từ giả thiết ta có điều kiện :      2 2 2 2 2 2 4 2 0 ‘ 4 2 4 2 4 0 4 2 1 4 2 t t t t t t t t t t t                         –   1 22 2 1 2 2 1 2 2 6 1 ‘ 19 0 2 ;2 12 t k k t t t k k M k kt                         Bài 41.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho elip (E) : 044 22  yx .Tìm những điểm N trên elip (E) sao cho : 0 21 60ˆ FNF ( F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip (E) ) Hướng dẫn:: – (E) : 2 2 2 2 2 1 4, 1 3 3 4 x y a b c c         – Gọi     2 2 0 0 0 0 1 0 2 0 1 2 4 4 3 3 ; 2 ; 2 2 2 2 3 x y N x y E MF x MF x F F                . Xét tam giác 1 2FMF theo hệ thức hàm số cos :   2 2 2 0 1 2 1 2 1 22 os60F F MF MF MFMF c      2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x                                   0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 00 4 2 1 3 3 9 32 13 3 12 8 4 8 12 4 4 9 94 2 33 x y x x x x y yx                             M x+y+1=0 A B I(2;1)
    13. 18. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 18 Jun . 17 – Như vậy ta tìm được 4 điểm : 1 2 3 4 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 ; , ; , ; , ; 3 3 3 3 3 3 3 3 N N N N                                  Bài 42.Trong mă ̣t phẳng to ̣a đô ̣Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng  : 2x + 3y + 4 =0 Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng  sao cho đường thẳng AB và  hợp với nhau góc 450 . Hướng dẫn:- Gọi d là đường thẳng qua A(1;1) có véc tơ pháp tuyến  ;n a b  thì d có phương trình dạng : a(x-1)+b(y-1)=0 (*). Ta có  2;3n   . – Theo giả thiết :      20 2 2 2 2 2 3 1 os d, os45 2 2 3 13 213 a b c c a b a b a b                   2 2 1 1 : 1 1 0 5 4 0 5 55 24 5 0 5 :5 1 1 0 5 6 0 a b d x y x y a ab b a b d x y x y                             – Vậy B là giao của d với  cho nên : 1 1 2 2 5 4 0 5 6 032 4 22 32 ; , : ; 2 3 4 0 2 3 4 013 13 13 13 x y x y B B B B x y x y                             Bài 43.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng 052:1  yxd . d2: 3x +6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. Hướng dẫn:: – Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau : 3 6 7 2 5 9 3 8 03 5 5 3 6 7 2 5 3 9 22 0 3 5 5 x y x y x y x y x y x y                     – Lập đường thẳng 1 qua P(2;-1) và vuông góc với tiếp tuyến : 9x+3y+8=0 . 1 2 1 : 3 5 0 9 3 x y x y          – Lập 2 qua P(2;-1) và vuông góc với : 3x-9y+22=0 2 2 1 : 3 5 0 3 9 x y x y           Bài 44.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: 1 916 22  yx . Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). Hướng dẫn:: – (H) có    2 2 2 1 216, 9 25 5 5;0 , 5;0a b c c F F       . Và hình chữ nhật cơ sở của (H) có các đỉnh :        4; 3 , 4;3 , 4; 3 , 4;3    . – Giả sử (E) có : 2 2 2 2 1 x y a b   . Nếu (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) thì ta có phương trình :  2 2 2 25 1c a b   – (E) đi qua các điểm có hoành độ 2 16x  và tung độ  2 2 2 16 9 9 1 2y a b     – Từ (1) và (2) suy ra :   2 2 2 2 40, 15 : 1 40 15 x y a b E     Bài 45.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 4 3 4 0x y x    Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A
    14. 19. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 19 Jun . 17 Hướng dẫn:- (C) có I( 2 3;0 ), R= 4 . Gọi J là tâm đường tròn cần tìm : J(a;b)       2 2 ‘ : 4C x a y b     -Do (C) và (‘) tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách IJ =R+R’   2 2 2 2 2 3 4 2 6 4 3 28a b a a b          – Vì A(0;2) là tiếp điểm cho nên :       2 2 0 2 4 2a b    – Do đó ta có hệ :     2 2 2 2 2 222 2 3 36 4 3 24 4 02 4 a b a a b a b ba b                  – Giải hệ tìm được : b=3 và a=       2 2 3 ‘ : 3 3 4C x y     . * Chú ý : Ta có cách giải khác . – Gọi H là hình chiếu vuông góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b – Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra : 4 2 3 2 IJ 6 2 3 IA IO OA IH HJ ba       – Từ tỷ số trên ta tìm được : b=3 và a= 3 . Bài 46.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Hướng dẫn:- Hình vẽ : ( Như bài 12 ). – Tìm tọa độ B là nghiệm của hệ :   2 1 0 7;3 7 14 0 x y B x y        . – Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và       7 1; 2 : 3 2 BC x t AB u BC y t            1 2 17 0 2 BCx y k       . Mặt khác : 1 1 1 1 17 2, tan 1 17 2 31 7 2 BD ABk k         – Gọi (AC) có hệ số góc là k 2 1 2 7 1 2tan 37 3tan 2 17 1 tan 41 1 7 9 k k k k               – Do đó : 17 28 4 3 21 4 7 1 3 7 31 28 4 3 21 1 k k k k k k k k                 – Trường hợp : k=1 suy ra (AC) : y=(x-2)+1 , hay : x-y-1=0 . – C là giao của (BC) với (AC) :   7 3 2 1, 6;5 1 0 x t y t t C x y              – A là giao của (AC) với (AB) :   7 3 2 0, 1;0 2 1 0 x t y t t A x y             – (AD) //(BC) suy ra (AD) có dạng : 2x+y+m=0 (*) , do qua A(1;0) : m= -2 . Cho nên (AD) có phương trình : 2x+y-2=0 . I(-2 2 ;0) A(0;2) y x
    15. 20. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 20 Jun . 17 – D là giao của (AD) với (BD) :   2 2 0 0;2 7 14 0 x y D x y        – Trường hợp : k=- 17 31 cách giải tương tự ( Học sinh tự làm ). Bài 47. Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2); B (3;4). Tìm điểm M() sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn:- M thuộc  suy ra M(2t+2;t ) – Ta có :     2 22 2 2 2 2 3 2 5 8 13 2 10 16 26MA t t t t MA t t           Tương tự :     2 22 2 2 1 4 5 12 17MB t t t t       – Do dó : f(t)=  2 2 15 4 43 ‘ 30 4 0 15 t t f t t t         . Lập bảng biến thiên suy ra min f(t) = 641 15 đạt được tại 2 26 2 ; 15 15 15 t M          Bài chúng tôi đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của AB Hướng dẫn:- Đường tròn (C) :      2 2 /( )1 3 4 1;3 , 2, 1 1 4 2 0M Cx y I R P M             nằm trong hình tròn (C) . – Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương   2 ; : 4 x at u a b d y bt         – Nếu d cắt (C) tại A,B thì :           2 2 2 2 2 1 1 4 2 2 0 1at bt a b t a b t          ( có 2 nghiệm t ) . Vì vậy điều kiện :       2 2 2 2 2 ‘ 2 3 2 3 0 *a b a b a ab b         – Gọi    1 1 2 22 ;4 , 2 ;4A at bt B at bt     M là trung điểm AB thì ta có hệ :         1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 0 0 8 8 0 a t t a t t t t b t t b t t                     . Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được :   1 2 2 2 2 2 4 0 0 : : 6 0 1 1 a b x y t t a b a b d d x y a b                       Bài 49.Viết phương trình các tiếp tuyến của e líp (E): 2 2 1 16 9 x y   , biết tiếp tuyến đi qua điểmA(4;3) Hướng dẫn:- Giả sử đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến  ;n a b  qua A(4;3) thì d có phương trình là :a(x-4)+b(y-3)=0 (*) , hay : ax+by-4a-3b (1) . – Để d là tiếp tuyến của (E) thì điều kiện cần và đủ là :   22 2 .16 .9 4 3a b a b   2 2 2 2 0 : 3 0 16 9 16 24 9 24 0 0 : 4 0 a d y a b a ab b ab b d x                  Bài 50.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2my + m2 – 24 = 0 có tâm I và đường thẳng : mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12. Hướng dẫn:- (C) :     2 2 1 25 (1; ), 5x y m I m R      .
    16. 21. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 21 Jun . 17 – Nếu d : mx +4y=0 cắt (C) tại 2 điểm A,B thì   2 2 2 2 4 16 4 2 24 0 1 16 4 m y x m m x x m                     – Điều kiện : 2 ‘ 25 0m m R      . Khi đó gọi 1 1 2 2; , ; 4 4 m m A x x B x x                  2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 16 25 8 16 4 16 m m m AB x x x x x x m            – Khoảng cách từ I đến d = 2 2 4 5 16 16 m m m m m     – Từ giả thiết : 2 2 22 2 51 1 25 25 . .8 . 4 5 12 2 2 1616 16 mm m S AB d m mm m             2 22 2 2 2 25 5 3 25 25 9 16 16 m m m m m m         – Ta có một phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp . Bài 51.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x – y – 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y – 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC Hướng dẫn: – (AB) cắt (AC) tại A :   2 0 3;1 2 5 0 x y A x y         – B nằm trên (AB) suy ra B(t; t-2 ), C nằm trên (AC) suy ra C(5-2m;m) – Theo tính chất trọng tâm :     2 8 3 2 1;22 13 1 7 5 5;3 2 3 G G t m x m Ct m t m t m t B y                       Bài 52.Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + 9 = 0. Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm AB suy ra M(3;3 ) . d’ là đường trung trực của AB thì d’ có phương trình : 1.(x-3)- 2(y-3)=0 , hay : x-2y+3=0 . – Tâm I của (C) nằm trên đường thẳng d’ cho nên I(2t-3;t) (*) – Nếu (C) tiếp xúc với d thì    3 2 3 9 5 10 , 210 10 t t t h I d R t R         . (1) – Mặt khác : R=IA=     2 2 5 2 5t t   . (2) . – Thay (2) vào (1) :      2 2 2 210 5 2 5 4 5 30 50 10 2 t t t t t t        2 6 34 12 2 0 6 34 t t t t            . Thay các giá trị t vào (*) và (1) ta tìm được tọa độ tâm I và bán kính R của (C) . * Chú ý : Ta có thể sử dụng phương trình (C) : 2 2 2 2 0x y ax by c     ( có 3 ẩn a,b,c) – Cho qua A,B ta tạo ra 2 phương trình . Còn phương trình thứ 3 sử dụng điều kiện tiếp xúc của (C) và d : khoảng cách từ tâm tới d bằng bán kính R .
    17. 22. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 22 Jun . 17 Bài chúng tôi đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C’) tâm M(5, 1) biết (C’) ắt (C) tại các điểm A, B sao cho 3AB . Hướng dẫn:- Đường tròn (C) :       2 2 1 2 3 1; 2 , 3x y I R       . – Gọi H là giao của AB với (IM). Do đường tròn (C’) tâm M có bán kính R’ = MA . Nếu AB= 3 IA R  , thì tam giác IAB là tam giác đều , cho nên IH= 3. 3 3 2 2  ( đường cao tam giác đều ) . Mặt khác : IM=5 suy ra HM= 3 7 5 2 2   . – Trong tam giác vuông HAM ta có 2 2 2 249 3 13 ‘ 4 4 4 AB MA IH R      – Vậy (C’) :     2 2 5 1 13x y    . Bài 54.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®-êng trßn (C) cã ph-¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9 vµ ®-êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®-êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®-îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®-êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu”ng. Hướng dẫn: – (C) có I(1;-2) và bán kính R=3 . Nếu tam giác ABC vuông góc tại A ( có nghĩa là từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau ) khi đó ABIC là hình vuông . Theo tính chất hình vuông ta có IA= IB 2 (1) . – Nếu A nằm trên d thì A( t;-m-t ) suy ra :     2 2 1 2IA t t m     . Thay vào (1) :     2 2 1 2 3 2t t m       2 2 2 2 1 4 13 0t m t m m       (2). Để trên d có đúng 1 điểm A thì (2) có đúng 1 nghiệm t , từ đó ta có điều kiện :     22 10 25 0 5 0 5m m m m             .Khi đó (2) có nghiệm kép là :  1 2 0 1 5 1 3 3;8 2 2 m t t t A            Bài 55.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x – 3y – 12 = 0 và (d2): 4x + 3y – 12 = 0. Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy. Hướng dẫn:- Gọi A là giao của  1 2 4 3 12 0 , : 3;0 Ox 4 3 12 0 x y d d A A x y          – Vì (BC) thuộc Oy cho nên gọi B là giao của 1d với Oy : cho x=0 suy ra y=-4 , B(0;-4) và C là giao của 2d với Oy : C(0;4 ) . Chứng tỏ B,C đối xứng nhau qua Ox , mặt khác A nằm trên Ox vì vậy tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A . Do đó tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I(a;0). – Theo tính chất phân giác trong : 5 5 4 9 4 4 4 IA AC IA IO OA IO AO IO IO         4 4.3 4 9 9 3 OA IO    . Có nghĩa là I( 4 ;0 3 ) I M A B H I(1;-2) B C A x+y+m=0
    18. 23. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 23 Jun . 17 – Tính r bằng cách :    5 8 51 1 15 1 1 18 6 . .5.3 2 2 2 2 2 15 5 AB BC CA S BC OA r r r             . Bài 56.Trong mặt phẳng toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : :3 4 4 0x y    . Tìm trên  hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15 Hướng dẫn:- Nhận xét I thuộc  , suy ra A thuộc  : A(4t;1+3t) . Nếu B đối xứng với A qua I thì B có tọa độ B(4-4t;4+3t)     2 2 16 1 2 9 1 2 51 2AB t t t       – Khoảng cách từ C(2;-5) đến  bằng chiều cao của tam giác ABC : 6 20 4 6 5     – Từ giả thiết :         0 0;1 , 4;41 1 . 5.1 2 .6 15 1 2 1 2 2 1 4;4 , 0;1 t A B S AB h t t t A B              Bài 57.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp 2 2 ( ): 1 9 4 x y E   và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn:- A,B có hoành độ là hoành độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của (E) , chúng nằm trên đường thẳng y-2=0 . C có hoành độ và tung độ dương thì C nằm trên cung phần tư thứ nhất – Tam giác ABC có AB=6 cố định . Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ C đến AB lớn nhất . – Dễ nhận thấy C trùng với đỉnh của bán trục lớn (3;0) Bài 58.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; – 3), B(3; – 2), cã diÖn tÝch b”ng 3 2 vµ träng t©m thuéc ®-êng th¼ng  : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C. Hướng dẫn:- Do G thuộc  suy ra G(t;3t-8). (AB) qua A(2;-3) có véc tơ chỉ phương  1;1u AB    , cho nên (AB) : 2 3 5 0 1 1 x y x y        . Gọi M là trung điểm của AB : M 5 5 ; 2 2       . – Ta có : 5 5 5 11 ; 3 8 ; 3 2 2 2 2 GM t t t t                     . Giả sử C 0 0;x y , theo tính chất trọng tâm ta có :    0 0 0 0 5 2 5 22 2 2 5;9 19 1 9 1911 3 8 2 3 2 x t t x t GC GM C t t y t y t t                                    – Ngoài ra ta còn có : AB= 2 ,      3 2 5 9 19 8 4 3 , 10 10 t t t h C         – Theo giả thiết :   4 31 1 3 . , 2 2 4 3 3 10 2 2 210 t S AB h C t           2 2 4 3 5 7 6 5 ; 7 9 5 3 3 2 4 3 90 9 24 29 0 4 3 5 6 5 7 ;9 5 7 3 3 t C t t t t C                                    Bài 59.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ( ;0) 2 I
    19. 24. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 24 Jun . 17 Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó Hướng dẫn:- Do A thuộc (AB) suy ra A(2t-2;t) ( do A có hoành độ âm cho nên t<1) – Do ABCD là hình chữ nhật suy ra C đối xứng với A qua I : C 3 2 ;t t  . – Gọi d’ là đường thẳng qua I và vuông góc với (AB), cắt (AB) tại H thì : 1 ‘: 2 2 x t d y t        , và H có tọa độ là H 0;1 . Mặt khác B đối xứng với A qua H suy ra B 2 2 ;2t t  . – Từ giả thiết : AB=2AD suy ra AH=AD , hay AH=2IH     2 2 1 2 2 1 2 1 4 t t        22 1 1 05 5 10 5 4. 1 1 1 1 2 14 t t t t t t t                    – Vậy khi t =         1 2;0 , 2;2 , 3;0 , 1; 2 2 A B C D    . * Chú ý : Ta còn có cách giải khác nhanh hơn – Tính   1 0 2 52 ; 25 h I AB     , suy ra AD=2 h(I,AB)= 5 – Mặt khác :     2 2 2 2 2 2 22 5 25 5 4 4 4 4 AB AD IA IH IH IH AD         IA=IB = 5 2 -Do đó A,B là giao của (C) tâm I bán kính IA cắt (AB) . Vậy A,B có tọa độ là nghiệm của hệ :    2 2 2 2 2 0 2;0 , 2;21 5 2 2 x y A B x y                    (Do A có hoành độ âm – Theo tính chất hình chữ nhật suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại : C(3;0) và D(-1;-2) Bài 60.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0CH x y   , phân giác trong :2 5 0BN x y   .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn:- Đường (AB) qua A(1;-2) và vuông góc với (CH) suy ra (AB): 1 2 x t y t       . – (AB) cắt (BN) tại B: 1 2 5 2 5 0 x t y t t x y               Do đó B(-4;3).Ta có : 1 2 1 1, 2 tan 1 2 3 AB BNk k            – Gọi A’ đối xứng với A qua phân giác (BN) thì A’ nằm trên (AB). Khi đó A’ nằm trên d vuông góc với (BN) 1 2 : 2 x t d y t        C H B N A(1;-2) x-y+1=0 2x+y+5=0
    20. 25. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 25 Jun . 17 – d cắt (BN) tại H :   1 2 : 2 1 1; 3 2 5 0 x t H y t t H x y                  . – A’ đối xứng với A qua H suy ra A'(-3;-4) . (BC) qua B,A’ suy ra :  1; 7u      4 : 3 7 x t BC y t        . (BC) cắt (CH) tại C: 4 3 13 9 3 7 ; 4 4 4 1 0 x t y t t C x y                      – Tính diện tích tam giác ABC : – Ta có :   2 5 1 1 9 9 10 . ( , ) .2 59 2 2 4, 2 2 2 2 ABC AB S AB h C AB h C AB          Bài 61.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 03:1  yxd và 06:2  yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Hướng dẫn:- Theo giả thiết , tọa độ tâm I 3 0 9 3 ; 6 0 2 2 x y I x y              . Gọi M là trung điểm của AD thì M có tọa độ là giao của : x-y-3=0 với Ox suy ra M(3;0). Nhận xét rằng : IM // AB và DC , nói một cách khác AB và CD nằm trên 2 đường thẳng // với 1d ( có  1; 1n    . -A,D nằm trên đường thẳng d vuông góc với 1d 3 : x t d y t       . Giả sử A  3 ;t t  (1), thì do D đối xứng với A qua M suy ra D(3-t;t) (2) . – C đối xứng với A qua I cho nên C(6-t;3+t) (3) . B đối xứng với D qua I suy ra B( 12+t;3-t).(4) – Gọi J là trung điểm của BC thì J đối xứng với M qua I cho nên J(6;3). Do đó ta có kết quả là : : 3 2MJ AB AD   . Khoảng cách từ A tới 1d :    1 1 2 , 2 , . 2 ABCD t h A d S h A d MJ   12 2 3 2 12 12 12 ABCD tt S t t          . Thay các giá trị của t vào (1),(2),(3),(4) ta tìm được các đỉnh của hình chữ nhật :                 1 3;1 , 4; 1 , 7;2 , 11;4 1 4; 1 , 2;1 , 5;4 , 13;2 t A D C B t A D C B          Bài 62.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H): và điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB Hướng dẫn:- Giải sử d có véc tơ chỉ phương  ;u a b  , qua M(2;1) 2 : 1 x at d y bt       – d cắt (H) tại 2 điểm A,B thì A,B có tọa độ :     2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 1 2 3 x at at bt y bt x y                   2 2 x y 1 2 3  
    21. 26. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 26 Jun . 17         2 2 2 2 2 3 2 2 2 6 3 2 4 3 4 0(1)at bt a b t a b t           – Điều kiện :     2 2 2 2 2 3 2 0 ‘ 4 3 4 3 2 0 a b a b a b            (*). Khi đó  1 12 ;1 ,A at bt  và tọa độ của B :  2 22 ;1B at bt  , suy ra nếu M là trung điểm của AB thì : 4+a  1 2 1 24 0t t t t     – Kết hợp với 2 1 2 1 2 2 22 2 2 3 2 3 4 4 2 3 2 2 3 2 3 t t t t t t a b b a b a             – Áp dụng vi ét cho (1) :   1 2 2 2 4 3 2 1 2 1 0 3 : 3 2 3 b a x y x y t t b a d a b a b a a                – Vậy d : 3(x-2)=(y-1) hay d : 3x-y-5=0 . Bài 63.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  có phương trình x+2y-3=0 và hai điểm A(1;0),B(3;-4). Hãy tìm trên đường thẳng  một điểm M sao cho : 3MA MB   là nhỏ nhất Hướng dẫn:- D M  3 2 ;M t t   có nên ta có :    2 2; ,3 6 ; 3 12MA t t MB t t        . Suy ra tọa độ của       2 2 3 8 ; 4 14 3 8 4 14MA MB t t MA MB t t             . – Vậy : f(t) =     2 2 2 8 4 14 80 112 196t t t t     . Xét g(t)= 2 80 112 196t t  , tính đạo hàm g'(t)= 160t+112. g'(t)=0 khi 112 51 51 15.169 196 80 80 80 80 t g              – Vậy min 3 196 14MA MB     , đạt được khi t= 51 80  và 131 51 ; 40 80 M        Bài 64.Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn :   2 2 1 : 13C x y  và     2 2 2 : 6 25C x y   cắt nhau tại A(2;3).Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt    1 2,C C theo hai dây cung có độ dài bằng nhau Hướng dẫn: – Từ giả thiết :        1 2: 0;0 , 13. ; 6;0 , ‘ 5C I R C J R   – Gọi đường thẳng d qua A(2;3) có véc tơ chỉ phương   2 ; : 3 x at u a b d y bt         – d cắt  1C tại A, B :    2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 0 13 x at a b y bt a b t a b t t a b x y                          2 2 2 2 2 3 3 2 ; b b a a a b B a b a b          . Tương tự d cắt  2C tại A,C thì tọa độ của A,C là nghiệm của hệ :     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 10 6 2 3 8 3 3 ; 6 25 x at a b a ab b a ab b y bt t C a b a b a b x y                          – Nếu 2 dây cung bằng nhau thì A là trung điểm của A,C . Từ đó ta có phương trình :
    22. 27. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 27 Jun . 17     2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ; : 2 3 310 6 2 4 6 9 0 3 3 ; // ‘ 3;2 2 2 x a d b ab y ta ab b a ab a b a b a b u b b u                              Suy ra : 2 3 : 3 2 x t d y t       . Vậy có 2 đường thẳng : d: x-2=0 và d’: 2x-3y+5=0 Bài 65.Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+y+1=0 trung tuyến từ đỉnh C có phương trình : 2x-y-2=0 . Viết phường trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn:- Đường thẳng d qua A(3;0) và vuông góc với (BH) cho nên có véc tơ chỉ phương  1;1u   do đó d : 3x t y t     . Đường thẳng d cắt (CK) tại C :   3 4 1; 4 2 2 0 x t y t t C x y               – Vì K thuộc (CK) : K(t;2t-2) và K là trung điểm của AB cho nên B đối xứng với A qua K suy ra B(2t- 3;4t- 4) . Mặt khác K lại thuộc (BH) cho nên : (2t- 3)+(4t-4)+1=0 suy ra t=1 và tạo độ B(-1;0) . Gọi (C) :  2 2 2 2 2 2 2 0 0x y ax by c a b c R         là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cho (C) qua lần lượt A,B,C ta được hệ : 1 9 6 0 2 4 4 0 0 5 2 8 0 6 a a c a c b a b c c                     – Vậy (C) : 2 21 25 2 4 x y         Bài 66.Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(1;-1) ,B(2;1), diện tích bằng 11 2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x+y-4=0 . Tìm tọa độ đỉnh C ? Hướng dẫn:- Nếu G thuộc d thì G(t;4-3t). Gọi C( 0 0; )x y . Theo tính chất trọng tâm : 0 0 0 0 1 2 3 33 12 9 4 3 3 x t x t y y t t             Do đó C(3t-3;12-9t). -Ta có :   2 1 1 ( ): 2 3 0 1 21;2 1 2 5 x y AB x y AB AB                B C K H A(3;0) x+y+1=0 2x-y-2=0
    23. 28. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 28 Jun . 17 – h(C,AB)=    2 3 3 12 9 3 15 21 5 5 t t t      . Do đó :   1 . , 2 ABCS AB h C AB    32 17 2632 ; 15 21 15 211 11 15 5 515 5 15 21 11 202 2 25 4 1;0 15 3 t Ct t t S t t t C                         Bài 67.Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh (-4;5) và một đường chéo có phương trình : 7x- y+8=0 . Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuông Hướng dẫn:- Gọi A(-4;8) thì đường chéo (BD): 7x-y+8=0. Giả sử B(t;7t+8) thuộc (BD). – Đường chéo (AC) qua A(-4;8) và vuông góc với (BD) cho nên có véc tơ chỉ phương     4 7 4 5 7; 1 : 7 39 0 5 7 1 x t x y u AC x y y t                  . Gọi I là giao của (AC) và (BD) thì tọa độ của I là nghiệm của hệ :   4 7 1 1 9 5 ; 3;4 2 2 2 7 8 0 x t y t t I C x y                     – Từ B(t;7t+8) suy ra :    4;7 3 , 3;7 4BA t t BC t t        . Để là hình vuông thì BA=BC : Và BAvuông góc với BC       2 0 4 3 7 3 7 4 0 50 50 0 1 t t t t t t t t                    0 0;8 1 1;1 t B t B         . Tìm tọa độ của D đối xứng với B qua I         0;8 1;1 1;1 0;8 B D B D       – Từ đó : (AB) qua A(-4;5) có     4 5 4;3 : 4 3 AB x y u AB       (AD) qua A(-4;5) có     4 5 3; 4 : 3 4 AD x y u AB         (BC) qua B(0;8) có     8 3; 4 : 3 4 BC x y u BC        (DC) qua D(-1;1) có     1 1 4;3 : 4 3 DC x y u DC       * Chú ý : Ta còn cách giải khác – (BD) : 7 8y x  , (AC) có hệ số góc 1 7 k   và qua A(-4;5) suy ra (AC): 31 7 7 x y   . -Gọi I là tâm hình vuông :   2 2 3;47 8 31 7 7 A C I A C I I I C C x x x y y y Cy x x y                – Gọi (AD) có véc tơ chỉ phương       0 ; , : 1;7 7 os45u a b BD v a b uv u v c           2 2 7 5a b a b    . Chọn a=1, suy ra     3 3 3 : 4 5 8 4 4 4 b AD y x x      
    24. 29. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 29 Jun . 17 Tương tự :         4 4 1 3 3 7 : 4 5 , : 3 4 3 3 3 4 4 4 AB y x x BC y x x            và đường thẳng (DC):   4 4 3 4 8 3 3 y x x       Bài 68.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(-1;0) và đường tròn ( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất. Hướng dẫn:-         2 2 : 4 2 36 4;2 , 6C x y I R      – Nhận xét : P/(M,C)=1+8-16=-7<0 suy ra E nằm trong (C) – Gọi d là đường thẳng qua E(-1;0) có véc tơ chỉ phương   1 ; : x at u a b d y bt         – Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm M,N có tọa độ là nghiệm của hệ :        2 2 2 2 2 1 2 5 2 7 0 4 2 36 x at y bt a b t a b t x y                   . (1) – Gọi M(-1+at;bt),N( -1+at’;bt’) với t và t’ là 2 nghiệm của (1). Khi đó độ dài của dây cung MN     2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ‘ 2 18 20 11 ‘ ‘ ‘ a ab b a t t b t t t t a b a b a b a b                – 2 2 2 2 18 20 11 18 20 11 2 2 1 1 b b t t ba a t t ab a                            . Xét hàm số f(t)= 2 2 18 20 11 1 t t t    – Tính đạo hàm f'(t) cho bằng 0 , lập bảng biến thiên suy ra GTLN của t , từ đó suy ra t ( tức là suy ra tỷ số a/b ) ). Tuy nhiên cách này dài * Chú ý : Ta sử dụng tính chất dây cung ở lớp 9 : Khoảng cách từ tâm đến dây cung càng nhỏ thì dây cung càng lớn – Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d bất kỳ qua E(-1;0). Xét tam giác vuông HIE ( I là đỉnh ) ta luôn có : 2 2 2 2 IH IE HE IE IH IE     . Do đó IH lớn nhất khi HE=0 có nghĩa là H trùng với E . Khi đó d cắt (C) theo dây cung nhỏ nhất . Lúc này d là đường thẳng qua E và vuông góc với IE cho nên d có véc tơ pháp tuyến  5;2n IE    , do vậy d: 5(x+1)+2y=0 hay : 5x+2y+5=0 . Bài chúng tôi tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là: x + 2y – 5 = 0 và 3x – y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; – 3). Hướng dẫn:- Ta thấy B là giao của (AB) và (BC) cho nên tọa độ B là nghiệm của hệ : 9 2 5 0 7 3 7 0 22 7 x x y x y y                9 22 ; 7 7 B         . Đường thẳng d’ qua A vuông góc với (BC) có     1 3; 1 1;3 3 u n k         . (AB) có A B C x+2y-5=0 3x-y+7=0 F(1;-3)
    25. 30. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 30 Jun . 17 1 2 ABk   . Gọi (AC) có hệ số góc là k ta có phương trình : 11 1 1 15 5 33 11 82 3 3 15 5 3 1 1 15 5 3 45 31 1 2 3 3 7 kk k kk k k k k kk k                             – Với k=-     1 1 : 1 3 8 23 0 8 8 AC y x x y         – Với k=     4 4 : 1 3 4 7 25 0 7 7 AC y x x y         Bài 70.Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB Hướng dẫn:- Gọi A     0 0 0 0 0 0; 2; 3 , 7; 7x y MA x y NA x y         . – Do A là đỉnh của tam giác vuông cân cho nên AM vuông góc với AN hay ta có :       2 2 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 2 7 3 7 0 9 4 7 0MA NA x x y y x y x y                – Do đó A nằm trên đường tròn (C) :     2 2 0 03 2 20x y    – Đường tròn (C) cắt d tại 2 điểm B,C có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình :         2 2 2 2 2 31 7 31 73 2 20 50 396 768 028 7 2 207 31 0 x y x yx y y yy yx y                          – Do đó ta tìm được : 198 2 201 99 201 99 201 ; 50 25 25 y y       , tương ứng ta tìm được các giá trị của x : 82 7 201 82 7 201 ; 25 25 x x     . Vậy : 82 7 201 99 201 ; 25 25 A         và tọa độ của điểm 82 7 201 99 201 ; 25 25 A         Bài 71. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1: 2x + y + 5 = 0, d2: 3x + 2y – 1 = 0 và điểm G(1;3). Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm. Biết A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và 2d Hướng dẫn:- Tìm tọa độ A là nghiệm của hệ :   2 5 0 11 11;17 3 2 1 0 17 x y x A x y y                – Nếu C thuộc    1 2; 2 5 , 1 2 ; 1 3d C t t B d B m m        – Theo tính chất trọng tâm của tam giác ABC khi G là trọng tâm thì : 2 10 1 2 133 11 2 3 2 3 2 3 3 t m t m t m t m                13 2 13 2 35 2 13 2 3 2 24 24 t m t m t m m m m                    – Vậy ta tìm được : C(-35;65) và B( 49;-53). A B C G M 2x+y+5=0 3x+2y-1=0
    26. 31. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 31 Jun . 17 Bài 72.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d: 3x – 22y – 6 = 0, sao cho từ điểm M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) mà đường thẳng AB đi qua điểm C (0;1). Hướng dẫn:- (C) :     2 2 3 1 25x y    , có I(3;-1) và R=5 . – Gọi    1 1 2 2; , ;A x y B x y là 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến kẻ từ M . – Gọi M 0 0 0 0; 3 22 6 0 (*)x y d x y     – Hai tiếp tuyến của (C) tại A,B có phương trình là : –        1 13 3 1 1 25 1x x y y      và : –        2 23 3 1 1 25 2x x y y      – Để 2 tiếp tuyến trở thành 2 tiếp tuyến kẻ từ M thì 2 tiếp tuyến phải đi qua M ; –        1 0 1 03 3 1 1 25 3x x y y      và –        2 0 2 03 3 1 1 25 4x x y y      Từ (3) và (4) chứng tỏ (AB) có phương trình là :        0 03 3 1 1 25 5x x y y      – Theo giả thiết thì (AB) qua C(0;1) suy ra :    0 0 0 03 3 2 1 25 3 2 14 0(6)x y x y          – Kết hợp với (*) ta có hệ : 0 0 0 0 0 0 1 3 22 6 0 16 ; 116 3 2 14 0 3 3 y x y M x y x                        Bài 73.Trong mặt phẳng Oxy : Cho hai điểm A(2 ; 1), B( – 1 ; – 3) và hai đường thẳng d1: x + y + 3 = 0; d2 : x – 5y – 16 = 0. Tìm tọa độ các điểm C,D lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Hướng dẫn:- Trường hợp : Nếu AB là một đường chéo +/ Gọi I( 1 ; 1 2       , đường thẳng qua I có hệ số góc k suy ra d: y=k(x-1/2)-1 +/ Đường thẳng d cắt 1d tại C     4 1 2 11 2 7 2 3 0 2 1 k x ky k x k yx y k                          4 7 2 ; 2 1 2 1 k k C k k          . Tương tự d cắt 2d tại B : 1 1 2 5 16 0 y k x x y               – Từ đó suy ra tọa độ của B . Để ABCD là hình bình hành thì : AB=CD .Sẽ tìm được k * Cách khác : – Gọi C(t;-t-3) thuộc 1d , tìm B đối xứng với C qua I suy ra D (1-t;t+1) – Để thỏa mãn ABCD là hình bình hành thì D phải thuộc 2d :  1 5 1 16 0t t      Suy ra t=- 10 3 và D 13 7 ; 3 3       và C 10 1 ; 3 3       chúng tôi – Trường hợp AB là một cạnh của hình bình hành . +/ Chọn C (t;-t-3) thuộc 1d và D (5m+16;m) thuộc 2d M A B I(3;-1) H C(0;1) 3x-22y-6=0
    27. 32. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 32 Jun . 17 +/ Để ABCD là hình bình hành thì : AC=BD AB //CD    +/ Ta có :                 2 2 2 2 2 2 2 22 4 5 17 3 2 4 5 17 3 5 16 3 17 7 55 0 3 4 t t m m t t m m m t m t m t                              2 2 2 13 88 89 0 17 55 7 t t m m m t             . Giải hệ này ta tìm được m và t , thay vào tọa độ của C và D Bài 74.Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1;2), hai đường cao xuất phát từ A và B lần lượt có phương trình là x + y = 0 và 2x – y + 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC. Hướng dẫn:- (AC) qua C(1;2) và vuông góc với đường cao BK cho nên có :     1 2 2; 1 : 2 5 0 2 1 x y u AC x y             – (AC) cắt (AH) tại A : 3 2 1 0 3 11 55 ; 2 5 0 11 5 5 5 5 x x y A AC x y y                      – (BC) qua C(1;2) và vuông góc với (AH) suy ra     1 1;1 : 2 BC x t u BC y t         – (BC) cắt đường cao (AH) tại B 1 3 1 1 2 ; 2 2 2 0 x t y t t B x y                    – Khoảng cách từ B đến (AC) : 1 1 5 9 1 5 9 92 . 2 5 205 2 5 2 5 S        Bài 75.Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm 1F ( – 4; 0), 2F ( 4;0) và điểm A(0;3). a) Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm A và có hai tiêu điểm 1F , 2F . b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc (E) sao cho M 1F = 3M 12F Hướng dẫn:- Giả sử (E) : 2 2 2 2 1 x y a b   (1) . Theo giả thiết thì : c=4  2 2 2 16 2c a b    – (E) qua A(0;3) suy ra : 2 2 9 1 9b b    , thay vào (2) ta có   2 2 2 25 : 1 25 9 x y a E    – M thuộc (E)     2 2 0 0 0 0; 1 2 25 9 x y M x y    . Theo tính chất của (E) ta có bán kính qua tiêu 1 0 2 0 1 2 0 0 0 4 4 4 4 25 5 , 5 3 5 3 5 5 5 5 5 8 MF x MF x MF MF x x x                  . Thay vào (2) ta có 2 0 02 551 551 8 8 y y    Bài 76.Trong mp Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm P(1;3). a.Viết phương trình các tiếp tuyến PE, PF của đường tròn (C), với E, F là các tiếp điểm. b.Tính diện tích tam giác PEF.
    28. 33. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 33 Jun . 17 Hướng dẫn:- (C):       2 2 3 1 4 3; 1 , 2x y I R       – Giả sử đường thẳng qua P có véc tơ pháp tuyến      ; : 1 3 0n a b d a x b y      Hay : ax+by-(a+3b)=0 (*). – Để d là tiếp tuyến của (C) thì khoảng cách từ tâm I đến d bằng bán kính : 2 2 2 2 3 3 2 4 2 2 a b a b a b a b a b             2 2 2 2 2 4 3 0a b a b ab b               0 1 0 1 0 4 3 0 4 4 1 3 0 3 4 6 0 3 3 b a x x b a b b a a x a y x y                        -Ta có : PI=2 5 , PE=PF= 2 2 20 4 4PI R    . Tam giác IEP đồng dạng với IHF suy ra : IF 2 5 IF 2 4 5 , IH 2 5 5 5 5 EP IP EP IH EH EH IE          2 8 1 1 8 8 32 2 5 chúng tôi 2 2 55 5 5 5 EPFPH PI IH S         Bài 77.Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng d1: 2x + y  1 = 0, d2: 2x  y + 2 = 0. Viết pt đường tròn (C) có tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 và d2. Hướng dẫn:- Gọi I(a;0) thuộc Ox . Nếu (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng thì :       1 2 1 , , , h I d h I d h I d R        2 1 2 2 1 5 5 2 1 2 5 a a a R           . Từ (1) : a= 1 4 , thay vào (2) : R=   2 25 1 5 : 10 4 100 C x y          Bài 78.Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng d1: 2x  3y + 1 = 0, d2: 4x + y  5 = 0. Gọi A là giao điểm của d1 và d2. Tìm điểm B trên d1 và điểm C trên d2 sao cho ABC có trọng tâm G(3; 5). Hướng dẫn:- Tọa độ A là nghiệm của hệ : 2 3 1 0 7 3 ; 4 5 0 8 2 x y A x y             –    1 21 2 ;1 3 , ;5 4B d B t t C d C m m       . Tam giác ABC nhận G(3;5) làm trọng tâm : 7 57 1 2 9 2 8 8 3 15 1 3 5 4 15 3 4 2 2 t m t m t m t m                          I(3;-1)E F P(1;3) O x y H
    29. 34. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 34 Jun . 17 Giải hệ trên suy ra : 31 67 88 ; 5 5 5 207 207 257 ; 40 40 10 t B m C                     Bài chúng tôi đường tròn (C): x2 + y2  2x  4y + 3 = 0. Lập pt đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng : x  2 = 0 Hướng dẫn:Ta có (C):       2 2 1 2 2 1;2 , 2x y I R      – Gọi J là tâm của (C’) thì I và J đối xứng nhau qua d : x=2 suy ra J(3;2) và (C) có cùng bán kính R . Vậy (C’):     2 2 3 2 2x y    đối xứng với (C) qua d . Bài 80.Trong mpOxy, cho ABC có trục tâm H 13 13 ; 5 5       , pt các đường thẳng AB và AC lần lượt là: 4x  y  3 = 0, x + y  7 = 0. Viết pt đường thẳng chứa cạnh BC. Hướng dẫn:- Tọa độ A là nghiệm của hệ : 4 3 0 7 0 x y x y        Suy ra : A(2;5).   3 12 ; // 1; 4 5 5 HA u            . Suy ra (AH) có véc tơ chỉ phương  1; 4u   . (BC) vuông góc với (AH) cho nên (BC) có  1; 4n u    suy ra (BC): x- 4y+m=0 (*). – C thuộc (AC) suy ra C(t;7-t ) và   13 22 ; 1;4 5 5 ABCH t t u CH               . Cho nên ta có :   13 22 4 0 5 5;2 5 5 t t t C             . – Vậy (BC) qua C(5;2) có véc tơ pháp tuyến        1; 4 : 5 4 2 0n BC x y        (BC): 4 3 0x y    Bài 81.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y  3 = 0 và 2 điểm A(1; 1), B(3; 4). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1. Hướng dẫn:- M thuộc d suy ra M(t;3-t) . Đường thẳng (AB) qua A(1;1) và có véc tơ chỉ phương     1 1 4; 3 : 3 4 4 0 4 3 x y u AB x y             – Theo đầu bài :  3 4 3 4 1 8 5 5 t t t             3 3;0 13 13; 10 t M t M        * Chú ý : Đường thẳng d’ song song với (AB) có dạng : 3x+4y+m=0 . Nếu d’ cách (AB) một khoảng bằng 1 thì h(A,d’)=1 3 4 1 5 m    2 ‘:3 4 2 0 12 ‘:3 4 12 0 m d x y m d x y               . Tìm giao của d’ với d ta tìm được M . Bài 82.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC có đỉnh A(4; 3), đường cao BH và trung tuyến CM có pt lần lượt là: 3x  y + 11 = 0, x + y  1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C A(2;5) B C E K H 4x-y-3=0 x+y-7=0
    30. 35. chúng tôi – Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tập các bài Toán về Đường thẳng trong các đề thi Sưu tầm & biên soạn:Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ Page 35 Jun . 17 Hướng dẫn:Đường thẳng (AC) qua A(4;3) và vuông góc với (BH) suy ra (AC) : 4 3 3 x t y t      (AC) cắt trung tuyến (CM) tại C :   4 3 3 2 6 0 3 5;6 1 0 x t y t t t C x y                  – B thuộc (BH) suy ra B(t;3t+11 ). Do (CM) là trung tuyến cho nên M là trung điểm của AB , đồng thời M thuộc (CM) . 4 3 14 ; 2 2 t t M           4 3 14 1 0 4 2 2 t t M CM t           . Do đó tọa độ của B(-4;-1) và M(0;1 ). Bài 83.Trong mpOxy, cho elip (E): 2 2 1 8 4 x y   và đường thẳng d: x  2 y + 2 = 0. Đường thẳng d cắt elip (E) tại 2 điểm B, C. Tìm điểm A trên elip (E) sao cho ABC có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn:-Do đường thẳng d cố định cho nên B,C cố định , có nghĩa là cạnh đáy BC của tam giác ABC cố định . – Diện tích tam giác lớn nhất khi khoảng cách từ A ( trên E) là lớn nhất – Phương trình tham số của (E) :  2 2 sin 2 2 sin ;2cos 2cos x t A t t y t      – Ta có :   2 2 sin 2 2 ost+2 , 3 t c h A d      4sin2 2 sin ost 4 4 3 3 3 xt c          . Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi sin 1 4 x        . sin 1 2 2 2, 2 4 4 2 4 3 2 2 2, 2sin 1 4 2 44 x x k x k x y x k x k x yx                                                         Nhận xét : Thay tọa độ 2 điểm A tìm được ta thấy điểm  2; 2A  thỏa mãn . B H C M A(4;3) 3x-y+11=0 x+y-1=0 2 2-2 2 2 y x O -2 2 x- 2 y+2=0 B CA -2 2 A

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phép Quay Và Phép Vị Tự Lớp 11
  • 20 Câu Trắc Nghiệm: Phép Vị Tự Có Đáp Án (Phần 1).
  • Mama 2022 Tại Nhật Và Bộ Sưu Tập Những Khoảnh Khắc “mặn Mà” Của Bts
  • Bts Và Sức Công Phá Không Tưởng Tại Mama 2022
  • Kết Quả Mama 2022 Tại Hồng Kông: Bts Giật Daesang Kép, Twice Khóc Cạn Nước Mắt Khi 3 Năm Liên Tiếp Thắng Giải Daesang Bài Hát Của Năm!
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100