Tổng Hợp Các Đề Toán Cao Cấp 2 Có Lời Giải

--- Bài mới hơn ---

  • Đề Thi Hk2 Toán 12
  • Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 12 Có Đáp Án
  • Bài Tập Về Sổ Kế Toán Và Hình Thức Sổ Kế Toán
  • Bài Giải Đề Thi Toán Thpt Quốc Gia 2022
  • Một Số Bài Toán Hình Học Lớp 7 Cực Hay Có Đáp Án
  • TỔNG HỢP ĐỀ TOÁN CAO CẤP 2

    Đề 3 :

    Câu 1: tính gần đúng:

    Câu 2 : Tính tích phân sau:

    Câu 3 .Xét tính phân kì và hội tụ của Câu 4: Giải phương trình vi phân:

    Câu 5: Giải phương

    trình sai phân:

    Đề 4 :

    Câu 1. Tìm cực trị của hàm số:

    Câu 2. tính

    Câu 3 tính tích phân

    Câu 4 : Giải phương

    trình vi phân

    Câu 5: Giải phương trình

    sai phân

    Đề 5:

    Câu 1: Tìm cực trị của hàm

    số: Câu 2: Tính nguyên

    hàm:

    Câu 3: xét tính phân kỳ hội tụ Câu 4:tính vi phân

    Câu 5 : Giải pt sai phân :

    Câu 5: gpt sai phân

    Đề 7

    Câu 1 : Tìm cực trị :

    Câu 2 : Tính tích phân của

    Câu 3 : Xét tính hội tụ phân kì

    của tích phân từ 0 đến 2 của

    Câu 4 : PTVP

    Câu 5 : PTSP Đề 9 :

    Câu 1: tính gần đúng

    Câu 2: tính tích phân

    Câu 3: tích phân Câu 4: vi phân

    Câu 5: sai phân

    Đề 11:

    Câu 1. Tìm cực trị: Câu 2. Tính tích phân:

    Câu 5.Giải ptrình sai phân:

    Đề 14

    Câu 1 : tính gần đúng :

    Câu 2 : tính tích phân :Câu 3 Xác định sự hội tụ phân kì : Câu 4: Tính vi phân

    Câu 5 : Tính sai phân :

    Đề 16 :

    Câu 1 . tính giá trị gần đúng câu 2 tính tích phân

    Câu 3 xét tính hội tụ hay

    phân kì Câu 4 giải

    phương trình vi phân

    Câu 5 giải phương trình

    sai phân

    Đề 18

    Câu 1 : Tính gần đúng Câu 2 : tính tích phân Câu 3 : xét tính hội tụ, phân kỳ Câu 4 : Giải pt vi phân

    Câu 3: xét hội tụ phân kì của

    Câu 4: vi phân

    Câu 5: sai phân

    Đề 22 :

    Câu 1: Tìm cực trị

    Câu 2 : tìm nguyên hàm

    Câu 3 : xét hội tụ phân kỳ

    Câu 4: ptvp

    Câu 5 : pt sai phân

    Đề 23 :

    1 Tìm cực trị :

    2.Tính tích phân

    3.Xét tính hội tụ, phân kỳ 4.Giải phương trình

    5.Giải phương trình

    Câu3.Tích phân

    Câu 4: Giải phương trình vi

    phân

    Câu5: Giải ptrình sai phân:

    Đề 30

    Câu 1: Tính gần đúng

    Câu 2:Tính tích phân

    Câu 3:Xét tính hội tụ phân kì

    của tích phân

    Câu 4:Giải phương trình vi phân: Câu 5:Giải phương trình sai phân:

    Đề 31

    Câu 1 : Tính gần đúng

    Câu 2 : Tính tích phân

    với ;

    Câu 3 : xét tính hội tụ và phân kỳ

    Câu 4 : giải pt vi phân

    Đề 32

    Câu 1 .Tìm miền xđ và

    biểu diễn qua đồ thị Câu 2 .

    Tích phân

    Câu 3 . Xét tính hội tụ hay phân kỳ của tích phân

    Câu 4 . Giải pt vi phân

    Câu 5 . Giải pt sai phân

    Đề khoa A

    Câu 1. tính

    Câu 2. Tích phân

    Câu 3 : Tích phân Câu 4. Tính Vi phân Câu 5 : Giải pt Sai phân

    Đề khoa H

    Bài 1: Tìm cực trị:

    Bài 2 tích phân

    Bài 3 tính hội tụ Bài 4 . gpt vp

    Bài 5 tính sai phân.

    3. xét ht,pk: 4. gpt:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đề Thi Toán Cao Cấp Ueh Có Đáp Án Chi Tiết
  • Tranh Cãi Gay Gắt Bài Toán Lớp 3 Tính Số Lãi Của Bác Nông Dân, Tưởng Đơn Giản Mà Đầy Người Lớn Cũng Sai Be Bét
  • Giải Thích Bài Toán Mua Bò
  • Giải Bài Toán Bằng Logo
  • Top 40 Đề Thi Toán Lớp 1 Có Đáp Án
  • Bài Tập Toán Cao Cấp 2 Có Lời Giải Mp3 Ogg For Free

    --- Bài mới hơn ---

  • Giáo Trình Toán Cao Cấp A3 (Giải Tích Hàm Nhiều Biến)
  • Một Vài Kinh Nghiệm Giúp Học Sinh Lớp 1 Giải Bài Toán Có Lời Văn Skkn Day Giai Toan Co Loi Van Cho Hs Lop 1 20122013 Doc
  • Bài 1, 2, 3, 4 Trang 84 Sgk Toán 4
  • Giải Bài Tập Trang 84 Sgk Toán 4: Chia Cho Số Có Hai Chữ Số
  • Giải Toán Lớp 4 Ôn Tập Về Hình Học
  • Related: Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải full mp3 free , 128kb 320kb high quality Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải karaoke nhac chuong nhac cho mien phi, tai nhac chuong Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, tron bo free download Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải xem phim online, free album Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, tuyen chon Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, greats hit Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, hay nhat Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, bai hat Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải moi nhat, hat karaoke Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, beat Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải instrumental music, nhac beat Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải slideshow music karaoke, lastest Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, update Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, sexy Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, camera Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải webcam, lastest Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải, moi nhat Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải trailer, Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải vietsub, Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải lyric, Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải official, 720 Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải youtube vimeo veoh youku clipvn zing, Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải rapidshare mediafire hotfile, Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải torrent download, Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải full free download, Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải rar Zip password mediafire Mp3 bài tập toán cao cấp 2 có lời giải Crack serial keygen cd key

    --- Bài cũ hơn ---

  • 5 Bước Giải Bài Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • Hướng Dẫn Giải Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • Dạy Học Sinh Dạng Toán Có Lời Văn Ở Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 10 Bài 1: Mệnh Đề
  • Phương Trình Lượng Giác (Đầy Đủ)
  • Tổng Hợp Tài Liệu Bài Tập Và Đề Thi Môn Toán Cao Cấp 2 (Giải Tích)

    --- Bài mới hơn ---

  • Tính Chất Khả Vi Được Suy Ra Từ Tính Khả Tích
  • Giải Dùm Mấy Bài Giải Tích Hàm Này Với.
  • Đề Cương Ôn Tập Môn Giải Tích 2 De Cuong On Tap Mon Giai Tich 2 Doc
  • Hàm Số Khả Vi Và Vi Phân Toàn Phần
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 8: Diện Tích Xung Quanh Của Hình Chóp Đều
  • 1.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số

    – Biến số

    – Quan hệ hàm số

    – Đồ thị hàm số

    – Khái niệm hàm ngược

    – Một số đặc trưng của hàm số: Hàm số đơn điệu (hàm số đơn điệu tăng hay hàm số đồng biến/hàm số đơn điệu giảm hay hàm số nghịch biến); Hàm số bị chặn; Hàm số chẵn, hàm số lẻ; Hàm số tuần hoàn

    – Các hàm số sơ cấp: Hàm hằng: f(x) = C; Hàm số luỹ thừa: f(x) = x^a; Hàm số mũ: f(x) = e^x; Hàm số logarit: f(x) = log_a(x); Các hàm số lượng giác: f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tanx, f(x) = cotx; Các hàm số lượng giác ngược

    – Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế: Hàm cung và hàm cầu; Hàm sản xuất ngắn hạn; Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận; Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm;

    1.2. Dãy số và giới hạn của dãy số

    – Dãy số

    – Giới hạn của dãy số: Khái niệm dãy số hội tụ, nguyên lý hội tụ, giới hạn vô hạn,

    – Đại lượng vô cùng bé

    – Các định lý cơ bản về giới hạn: Các quy tắc tính giới hạn

    – Cấp số nhân và ứng dụng trong phân tích tài chính: giá trị hiện tại và giá trị tương lai

    1.3. Giới hạn của hàm số

    – Khái niệm giới hạn của hàm số: Định nghĩa, giới hạn một phía

    – Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản

    – Các định lý cơ bản về giới hạn: Tính chất của hàm số có giới hạn hữu hạn, các quy tắc tính giới hạn, các dạng vô định

    – Hai giới hạn cơ bản dạng vô định

    – Vô cùng bé và vô cùng lớn

    1.4. Hàm số liên tục

    – Khái niệm hàm số liên tục: Hàm số liên tục tại một điểm

    – Các phép toán sơ cấp đối với các hàm số liên tục

    – Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng

    2.1. Đạo hàm của hàm số

    – Khái niệm đạo hàm

    – Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản

    – Các quy tắc tính đạo hàm

    – Đạo hàm của hàm hợp

    2.2. Vi phân của hàm số

    – Khái niệm vi phân và liên hệ với đạo hàm

    – Các quy tắc tính vi phân

    2.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao. Công thức Taylor và Công thức Maclaurin

    – Đạo hàm cấp cao

    – Vi phân cấp cao

    – Khai triển Taylor và Khai triển Maclaurin

    CHƯƠNG 3. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

    3.2. Giới hạn và tính liên tục

    – Giới hạn của hàm 2 biến

    – Giới hạn của hàm n biến

    – Hàm số liên tục

    3.3. Đạo hàm riêng và vi phân

    – Số gia riêng và số gia toàn phần

    – Đạo hàm riêng

    – Đạo hàm riêng của hàm hợp

    – Vi phân

    – Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

    – Ứng dụng trong kinh tế học

    3.5. Hàm ẩn

    – Hàm ẩn một biến

    – Hàm ẩn n biến

    – Hệ hàm ẩn

    – Tỷ lệ thay thế cận biên

    – Phân tích tĩnh so sánh trong kinh tế học

    CHƯƠNG 4. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

    4.3. Các bài toán về sự lựa chọn của người tiêu dùng

    – Bài toán tối đa hoá lợi ích

    – Bài toán tối thiểu hoá chi phí

    – Phương trình Slutsky

    CHƯƠNG 5. PHÉP TOÁN TÍCH PHÂN

    5.1. Nguyên hàm và tích phân bất định

    – Nguyên hàm của hàm số

    – Tích phân bất định

    – Các công thức tích phân cơ bản

    5.3. Một số dạng tích phân cơ bản

    – Tích phân của các phân thức hữu tỷ

    – Tích phân của một số biểu thức chứa căn

    – Tích phân của một số biểu thức lượng giác

    5.4. Tích phân xác định

    – Khái niệm tích phân xác định

    – Điều kiện khả tích

    – Các tính chất cơ bản của tích phân xác định

    – Liên hệ với tích phân bất định

    – Phương pháp đổi biến

    – Phương pháp tích phân từng phần

    – Tích phân suy rộng

    CHƯƠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

    6.3. Một số phương trình vi phân phi tuyến cấp 1 có thể giải được

    – Phương trình phân ly biến số

    – Một số phương trình đưa được về dạng phân ly biến số

    – Phương trình Bernoulli

    – Phương trình vi phân toàn phần và phương pháp thừa số tích phân

    – Ví dụ áp dụng: Xác định hàm cầu khi biết hàm số biểu diễn hệ số co dãn của cầu theo giá

    CHƯƠNG 7. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

    3/Đề thi Toán cao cấp 2 (cập nhật sau)

    3.1. Đề kiểm tra 20%

    + Tổng hợp đề kiểm tra giữa kỳ.

    3.2. Đề thi Toán 2

    + Đề thi Toán 2 – K54

    + Đề thi Toán 2 – K55

    + Đề thi Toán 2 – K56

    --- Bài cũ hơn ---

  • Ôn Tập Chương Iii. Nguyên Hàm. Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Sách Giáo Khoa Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao
  • Công Thức Giải Tích Các Phép Toán Vector Và Tensor
  • Môn Giải Tích Tiếng Anh Là Gì? Mục Đích Của Việc Học Môn Giải Tích
  • Tóm Lược Một Số Kiến Thức Về Đại Số Tổ Hợp Ứng Dụng Trong Tin Học
  • Bài Giảng Toán Cao Cấp

    --- Bài mới hơn ---

  • Dịch Tiếng Anh Chuyên Ngành Vật Lý
  • Từ Vựng Và Thuật Ngữ Tiếng Anh Chuyên Ngành Toán Học
  • Dịch Tiếng Anh Sang Tiếng Việt Trực Tuyến
  • Ct Tính Chu Vi, Diện Tích Hình Thang 【Thường
  • Hướng Dẫn Giải Bài Toán Hình Tam Giác
  • 10/13/2012 1 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Ứng dụng của tích phân xác định §4. Tích phân suy rộng §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1. Định nghĩa * Hàm số ( )F x được gọi là một nguyên hàm của ( )f x trên khoảng ( ; )a b nếu ( ) ( ), ( ; )F x f x x a b    . Ký hiệu ( )f x dx (đọc là tích phân). Nhận xét * Nếu ( )F x là nguyên hàm của ( )f x thì ( )F x C cũng là nguyên hàm của ( )f x . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất 1) . ( ) ( ) ,k f x dx k f x dx k   ¡ 2) ( ) ( )f x dx f x C   3) ( ) ( )d f x dx f x dx  4) k k kx x  tùy ý ( 1,k n ). Lập tổng tích phân: 1 1 ( )( ) n k k k k f x x       . §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )f x xác định trên a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia Ký hiệu là ( ) . b a I f x dx  Giới hạn hữu hạn (nếu có) 1max( ) 0 lim k kk x x I     được gọi là tích phân xác định của ( )f x trên đoạn ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx     3) ( ) 0; ( ) ( ) a b a a a b f x dx f x dx f x dx     4) ( ) ( ) ( ) , ( ) 0 b a f x x a b f x dx     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 6) ( ) ( ), m f x M x a b    ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a     9) Nếu ( )f x liên tục trên đoạn : ( ) ( )( ) b a c a b f x dx f c b a    . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2.2. Công thức Newton – Leibnitz Nếu ( )f x liên tục trên   thì: ( ) 0f x dx    . 3) Hàm số ( )f x liên tục và chẵn trên  nên 0I  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2 1( ) ( ) b a S f x f x dx     2 1( ) ( ) d c S g y g y dy     a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng S S Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 2y x và 4y x . A. 1 15 S  ; B. 2 15 S  C. 4 15 S  ; D. 8 15 S  . Giải. Hoành độ giao điểm: 2 4 1, 0x x x x     0 1 2 4 2 4 1 0 4 ( ) ( ) . 15 S x x dx x x dx C          10/13/2012 5 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Cách khác Hoành độ giao điểm 2 4 1, 0x x x x     1 1 2 4 2 4 1 0 2S x x dx x x dx        1 2 4 0 4 2 ( ) . 15 x x dx C    Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 2x y và 2y x  . Giải. Biến đổi: 2 2 2 2 x y x y y x x y             . Tung độ giao điểm: 2 2 1, 2y y y y     22 2 2 3 11 1 1 27 ( 2) 2 . 2 3 6 S y y dy y y y                   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 1xy e  , 2 3xy e  và 0x  . A. 1ln 4 2  ; B. ln 4 1 2  ; C. 1 ln 2 2  ; D. 1ln 2 2  Giải. Hoành độ giao điểm: 21 3x xe e   2 2 0 2 ln 2x x xe e e x        . ln 2ln 2 2 2 00 1 ( 2) 2 2 x x x xS e e dx e e x            1 1ln 4 ln 4 2 2 A     . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Tính diện tích hình elip 2 2 2 2 : 1 x y S a b   . Giải. Phương trình tham số của elip là: cos , t    thì: ( ). ( ) .S y t x t dt     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 2 2 0 0 sin .( sin ) sinS b t a t dt ab t dt       2 0 1 cos2 2 t ab dt ab      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 3.2. Tính độ dài l của đường cong a) Đường cong có phương trình tổng quát Cho cung “AB có phương trình ( ), . b AB a l f x dx  VD 5. Tính độ dài cung parabol 2 2 x y  từ gốc tọa độ O(0; 0) đến điểm 11; 2 M       . 10/13/2012 6 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Ta có: 1 1 2 2 0 0 1 ( ) 1l y dx x dx     1 2 2 0 1 1 ln 1 2 x x x x              2 1 ln 1 22 2   . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Cho cung “AB có phương trình tham số ( ) , . b a V f x dx  Giải. 1 1 ln ( ln ) e e V x dx x x x       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Tính V do 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b   quay quanh Ox. Giải. Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y b y a x a b a      . Vậy   2 2 2 2 2 4 3 a a b V a x dx ab a       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Vật thể quay quanh Oy Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )x g y , 0x  , y c và y d quay quanh Oy là: 2f x x a b   . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )y f x và trục hoành là: ( ) b a S f x dx  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Cho hàm số ( ) 0, ( 0)a b     . Giới hạn (nếu có) của ( ) b a f x dx   khi 0  được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của ( )f x trên [ ; )a b . Ký hiệu: 0 ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số * Định nghĩa tương tự: 0 ( ) lim ( ) a b b a f x dx f x dx     (suy rộng tại a ); 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx      (suy rộng tại a , b ). * Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 10. Khảo sát sự hội tụ của 0 , 0 b dx I b x   . Giải * Trường hợp α = 1: 0 0 0 lim lim ln ln lim ln b bdx I x b x                . * Trường hợp α khác 1: 1 0 0 0 1 lim lim lim 1 b b bdx I x dx x x                   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số   1 1 1 0 1 , 1lim 11 , 1. b b                 Vậy § Với 1  : 1 1 b I    (hội tụ). § Với 1  : I   (phân kỳ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 11. Tính tích phân 1 3 2 1 6 3 1 9 dx I x    . A. 3 I    ; B. 3 I   ; C. 6 I   ; D. I  . Giải. 1 1 3 3 12 1 6 6 (3 ) arcsin 3 31 (3 ) d x I x B x        . 10/13/2012 11 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 12. Tính tích phân 3 2 1 . ln e dx I x x   . Giải. Đặt lnt x 21 1 1 33 3 2 0 0 0 3 3 dt I t dt t t        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 13. Tính tích phân 2 2 1 dx I x x    . Giải. Ta có: 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 dx I dx x x x x           2 0 1 1 1 lim 1 dx x x         2 0 1 1 lim ln x x          . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 14. Tích phân suy rộng 1 0 ( 1)(2 ) x dx I x x x      hội tụ khi và chỉ khi: A. 1  ; B. 1 2   ; C. 1 2   ; D.   ¡ . 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1. Chú ý Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x b: thì ( ) b a f x dx và ( ) b a g x dx có cùng tính chất (với b là cận suy rộng). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Khi 0x  thì 1 2 1 1 . ( 1)(2 ) 2 2 x x x x x x x       : I hội tụ 1 1 0 2 1 2 dx x    hội tụ 1 11 2 2 C       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. 1 1 2 2 0 0( 1)sin ( 1)sin x dx dx I x x x x        . VD 15. Tích phân suy rộng 1 2 0 1 ( 1)sin x I dx x x      phân kỳ khi và chỉ khi: A. 1  ; B. 1 2   ; C. 1 2   ; D.   ¡ . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số I phân kỳ 1 2 0 ( 1)sin x dx x x     phân kỳ. Do 1 1 1 12 0 0 0 2( 1)sin dx dx dx xx x x     : hội tụ nên Vậy I phân kỳ 1 11 2 2 B       . Mặt khác, 1 1 1 12 0 0 0 2( 1)sin x dx x dx dx xx x x        : . 10/13/2012 12 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Chú ý * Cho 1 2I I I  với 1 2, ,I I I là các tích phân suy rộng ta có: 1) 1I và 2I hội tụ I hội tụ. 2) 1 2 ( ) 0 I I    phaân kyø hoặc 1 2 ( ) 0 I I     phaân kyø thì I phân kỳ. 3) 1 2 ( ) 0 I I    phaân kyø hoặc 1 2 ( ) 0 I I     phaân kyø thì chưa thể kết luận I phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 16. 1 2 0 1 sin x I dx x x     phân kỳ khi và chỉ khi: A. 1 4   ; B. 1 4   ; C. 1 2   ; D.   ¡ . Giải. Ta có: 1 1 1 22 2 0 0sin sin x dx dx I I I x x x x       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Mặt khác: 1) 1 1 1 2 32 3 0 0 0 2sin dx dx dx I x x x x      : . 2) 1 1 2 0 0 sin x dx I x x    . Vậy 1 2I I I  phân kỳ với mọi D  ¡ .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Xuất Bản Bản Tiếng Việt Sách “giải Tích” Của James Stewart
  • Ra Mắt Sách ‘giải Tích Cho Kinh Doanh, Kinh Tế Học, Khoa Học Sự Sống Và Xã Hội’
  • Giải Bài Tập 1 Trang 43 Sgk Giải Tích 12
  • Lý Thuyết & Giải Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học
  • Giáo Trình Giải Tích 2 Bùi Xuân Diệu
  • Đề Thi Có Lời Giải Môn Toán Vmo 2022

    --- Bài mới hơn ---

  • Bình Luận Về Đề Thi Imo 2022
  • Tiến Sĩ Lê Bá Khánh Trình Hội Ngộ Người Chấm Giải Đặc Biệt Cho Mình Sau 40 Năm
  • Ts Lê Bá Khánh Trình Nói Về Thành Tích Của Đội Imo Việt Nam
  • Ts Lê Bá Khánh Trình: Học Sinh Thi Olympic Toán Biết Học Và Chơi
  • Olympic Toán Quốc Tế 2022, Việt Nam Bị Loại Khỏi Top 10
  • LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI VMO 2022

    Trần Nam Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quang Hùng

    aff

    Lê Phúc Lữ – Nguyễn Văn Huyện

    1. Lờinóiđầu

    st

    Vậy là đã 7 năm chúng tôi đồng hành cùng các cuộc thi toán với những bài Giải và bình

    thi VMO và TST như một cố gắng đóng góp cho cộng đồng những tài liệu chất lượng, bổ

    n

    2. Thông tin bản quyền

    Ep

    Bản quyền thuộc về tất cả các thành viên trong nhóm biên soạn (Trần Nam Dũng, Võ Q

    Cẩn, Trần Quang Hùng, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Văn Huyện).

    Đây là thành quả của quá trình lao động miệt mài của nhóm để chia sẻ đến cộng đồng. M

    đều có thể xem tài liệu MIỄN PHÍ. Tuy nhiên, vui lòng ghi rõ nguồn khi chia sẻ.

    3. Đề thi

    3.1. Ngày thithứ nhất (05/01/2017)

    Bài 1 (5.0 điểm).

    Cho a là một số thực và xét dãy

    số .u

    định bởi

    n / xác

    u1 D a;

    unC1

    r

    8n 2 N :

    2

    Bài 2 (5.0 điểm).

    Tồn tại hay không đa thức P .x/ với hệ số nguyên thỏa mãn

    p3

    p3

    p

    p

    P 1 C 2 D 1 C 2 và P 1 C 5 D 1 C 3 5‹

    aff

    Bài 3 (5.0 điểm).

    Cho tam giác

    ABC nhọn, không cân nội tiếp đường

    .O/:tròn

    GọiH là trực

    tâm của tam giác

    ABC vàE; F lần lượt là chân các đường cao hạ từB;

    các

    C Iđỉnh

    AH cắt

    .O/ tại D (D khác A).

    a) Gọi I là trung điểm của

    AH I E I cắtBD tạiM vàF I cắtCD tạiN :Chứng minh

    rằng M N ? OH :

    st

    b) Các đường thẳng

    DE ; DF cắt.O / lần lượt tại

    P ; Q (P vàQ khácD ). Đường tròn

    ngoại tiếp tam giác

    AEF cắt.O / vàAO lần lượt tại

    R vàS (R vàS khácA). Chứng

    minh rằng BPC; Q và RS đồng quy.

    n

    ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được đi

    hàng đó và tập các số nguyên dương được điền trên cột đó không giao nhau; nếu mộ

    và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đ

    các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau.

    Ep

    a) Với n D 5; tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa

    để tồn tại cách điền

    k sốcân đối cho cách tô màu

    đối xứng ở hình bên dưới.

    A

    B

    D

    C

    b) Vớin D 2022;tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa

    để với mọi cách tô màu đối xứng, luôn tồn tại

    cách điền số kcân đối.

    3

    3.2. Ngày thithứ hai(06/01/2017)

    Bài 5 (6.0 điểm).

    Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn hệ thức

    f xf .y/

    f .x/ D 2f .x/ C xy

    với mọi số thực x; y:

    a)

    aff

    kD1

    b)

    2016

    st

    kD1

    n

    Ep

    Về cấu trúc, đề thi gồm 7 bài toán. Ngày đầu có 4 bài, mỗi bài được 5 điểm thuộc 4 phâ

    Giải tích, đại số, hình học, tổ hợp. Ngày thứ hai có ba bài thuộc ba phân môn: Đại số, số

    hợp với số điểm tương ứng là 6, 7, 7.

    Đề thi ngày thứ nhất, trừ bài cuối là khá cơ bản và quen thuộc.

    Bài 1 là bài giải tích yêu cầu khảo sát sự hội tụ của một x

    dãy

    D f .n

    hồi; dạng

    xn / :

    nC1 truy

    Về nguyên tắc, dạng dãy số này khó khảo sát hơn dạng

    x nC1

    dãyDtruy

    f .x hồi

    n / vì

    2 nC3

    các hệ số của hàm

    f không hằng mà biến thiên

    n theo

    :Tuy nhiên, nếu để

    ý dần đến

    q nC1

    1

    2 khin dần đến vô cùng thì ta có thể “quy về” dãy

    x nC1sốDdạng

    C x n C 14 và dự

    2

    đoán được giới hạn bằng

    3 :Từ đó dùng bổ đề quen thuộc: “Nếu tồn qtại2 số

    . 0thực

    ;1 /

    sao cho

    x nC1 q x n C bn vớilim bn D 0 thì ta có

    lim xn D 0″, thì từ đánh giá đơn giản

    j unC1

    3j

    3j C

    ta sẽ suy ra kết luận bài toán. Ở đây, chú ý là câu b) cũng làm hoàn toàn tương t

    kiện đối với

    a chẳng qua là uđể

    2 xác định. Chú ý là dạng bài dãy số này đã xuất hiện ở

    hai kỳ VMO gần đây (2012 và 2022) với cùng cách giải tương tự thông qua bổ đề nói

    4

    aff

    Bài 2 là một bài toán về xác định đa thức thoả mãn một điều kiện cho trước. Bài nà

    học sinh nắm vững lý thuyết về đa thức tối thiểu của số đại số thì sẽ giải rất nhanh.

    ta có định lý rất cơ bản sau:

    P .Nếu

    x /vàQ.x / là các đa thức đơn khởi, hệ số nguyên có

    chung nghiệm ˛ và Q . x / là bất khả quy thì P . x / chia hết cho Q . x / :

    p3

    p

    Ta đặtQ.x / D P .x C 1/

    1 thì 2 và 5 tương ứng sẽ là nghiệm của đa thức

    Q.x / x vàQ.x / 3x 1 :Vì các đa thức

    x 3 2 vàx 2 5 bất khả quy trên

    Z nên từ

    3

    2

    đây sẽ suy ra ngay

    Q.x / x D .x

    2 / S . xvàQ.x

    /

    / 3x 1 D .x

    5/T.x/:

    3

    2

    Từ đây sẽ 2x

    ra C 1 D .x

    2 / S . x /. x

    5 / T . x /Đến

    : đây, chọn

    x D 7 sẽ suy

    ra điều mâu thuẫn vì vế phải chia hết cho 1 1 ; còn vế trái thì không.

    st

    n

    Ý tưởng dạng này đã xuất hiện trong các kỳ VMO, nhưng từ rất lâu, cụ thể là VMO 1

    Trước đó nhiều

    năm,

    VMO 1984 có bài tìm đa thức đơn khởi hệ số nguyên bậc nhỏ

    p

    p3

    có nghiệm là2 C 3 :Chính qua những bài toán như vậy khái niệm đa thức tối thiểu

    (và sau này là mở rộng trường) được giới thiệu.

    Bài 3 là một bài toán hình khá nhẹ nhàng, câu a) quy về việc

    Mchứng

    N là trục

    minh

    đẳng phương của hai đường

    .ABtròn

    C / và.DEF /: Câu b) cũng là một cấu hình rất

    quen thuộc mà trong đó có cả điểm Miquel, tứ giác điều hoà, đường đối trung, đường

    giác, định lý Pascal.

    Tuy

    . . nhiên, cách tiếp cận chân phương nhất là dùng đồng dạng, m

    kiến thức hoàn toán lớp 9.

    Ep

    Bài 4, bài toán tổ hợp là bài khó nhất của ngày thi thứ nhất, cũng là bài toán lạ nhất.

    việc đọc hiểu được đề bài cũng đã tốn khá nhiều thời gian, vì vậy, việc cho câu a), m

    huống rất cụ thể với bảng kích thước nhỏ là hết sức cần thiết, vừa tạo cơ hội cho h

    kiếm điểm, vừa để học sinh “làm quen và cảm nhận” bài toán. Với câu a), chỉ cần q

    lý luận đơn giản (chú ý đến tính đối xứng, do

    i và

    đócột

    hàng

    i là giống nhau) là ta thấy

    k D 2 không thoả mãn yêu cầu bài toán. Như vậy, chỉ còn cần chỉ

    k Dra3ví

    làdụ với

    hoàn thành được câu này.

    Với phần b) thì khó khăn hơn. Riêng việc đoán ra đáp số đã là không đơn giản. Thực

    nhiều lời giải sai (với đánh

    kD

    giá2007) đã được đưa ra (trong đó có những lời giải của

    người ở bên ngoài, trong điều kiện thoải mái về thời gian). Với câu này, cần tiếp tục

    tính đối xứng để chỉ ra một cấu hình tốn nhiều số nhất. Và cấu hình này chính là cấu

    đen trắng xen kẽ. Với cấu hình này, ta có thể suy ra ra tất cả các số dương ở nửa tam

    2022 2 1

    đôi một khác nhau. Suy

    k 1008C1008C1006C1006C

    ra

    C2C2 D

    :

    4

    Để chứng minh điều kiện đủ, ta có thể sử dụng quy nạp Toán học 2

    với

    :Điều

    bước nhảy là

    này có thể giải thích được vì nếu tinh ý, chúng ta có thể đưa bài toán về mô hình đ

    sử dụng định lý Mantel-Turan để giải quyết.

    Ngày thi thứ hai:

    5

    Tìm tất cả các hàm sốRf !WR thỏa mãn

    f

    xf .y / C f .x /

    D 2f .x / C xy

    Ep

    n

    st

    với mọi số thực yx :;

    aff

    Bài 5là một bài toán phương trình hàm có hai biến tự do vàxy

    cóởbiểu

    ngoài

    thức

    dấu

    hàm số:

    f xf . y / f . x / D 2f .x / C x y :Với những phương trình hàm như vậy,

    điều đầu tiên mà ta cần để ý khai thác, đó là tính song ánh của hàm số. Sau đó ta

    xảy ra trường hợp

    f .0/ D 0 hay không, hayf là

    .0/ D c ¤ 0 và tồn tại

    u ¤ 0 để

    f . u / D 0 :Từ đây tiếp tục thế một cách thích hợp sẽ

    f .x

    tìm

    /D

    được

    1 x là hàm số

    duy nhất thoả mãn yêu cầu bài toán. Đáng chú ý, bài toán này có hình thức khá gi

    đề Olympic của Brazil năm 2006. Cách giải của hai bài toán cũng khá giống nhau. Đ

    Brazil 2006 như sau

    6

    k D1

    p

    k Cpk D

    X2

    1

    p

    p Cpk

    Dp

    k D1

    0

    3

    C pk

    1

    1

    2

    1

    1

    1

    A:

    C pk

    p

    Cp

    1

    2

    1

    1

    2

    st

    X2

    1

    aff

    p

    X2

    A

    Tiếp theo là nhiệm vụ của số học với định lý nhỏ Fermat và

    C pktính

    chấtp(cụ

    của

    1 mod

    k

    k

    thể ta có

    Cp 1 .

    1 / .mod p )/. Ở câu b), ta cũng thực hiện phép rút gọn tổng bằng

    p

    1

    p

    1

    n

    Bài 7 là một bài hình học khó có tính phân loại cao, đặc biệt là ở câu b). Ở câu a)

    toán vẫn khai thác các vấn đề quen thuộc như điểm Miquel, trục đẳng phương và tâm

    phương, và đa số thí sinh đã giải quyết được vấn đề nhưng sang đến câu b) thì dườ

    chỉ có các cao thủ hình học mới đủ sức xử lý. Có lẽ bài toán được lấy ý tưởng dựa tr

    phương pháp điều hoà và xạ ảnh.

    Ep

    Tóm tắt lại, nếu đánh giá về độ khó thì đề năm nay khá dễ chịu, có nhiều câu thí sinh c

    được như câu 1, 2, 3, 5. Ngay cả với những bài khó hơn như 4, 6, 7 cũng có ý để ăn điểm

    4a, ý điều kiện cần của câu 4b), câu 6a, ý rút gọn của câu 6b), câu 7a. Về độ mới và ha

    bài 1, 2, 5 có ý khá cũ. Sự lặp đi lặp lại của ý tưởng bài 1 cho thấy lối mòn trong việc kh

    đề tài giải tích. Tại sao lại phải là dãy số và giới hạn mà không phải là những vấn đề r

    như sự liên tục, ứng dụng của đạo hàm bậc2?nhất,

    Bài 3bậc

    không mới nhưng đặt vấn đề đẹp

    và phù hợp trong bối cảnh ngày thi có 4 bài. Bài 6 cũng là một bài không mới, với ý rút

    tổng. Phần số học của bài này sẽ tạo thuận lợi cho các đội mạnh, nơi các học sinh được

    kiến thức đầy đủ hơn về các tính chất của số nguyên tố (như các định lý nêu trên trong p

    luận về bài 6 cùng các phương pháp chứng minh của chúng). Hai bài toán đẹp nhất và c

    nhất của đề thi là bài số 4 và số 7, trong đó bài 4 khai thác cách phát biểu thú vị về dạn

    lưỡng phân, còn bài 7 là các tính chất xạ ảnh đẹp đẽ và sâu sắc.

    Với những nhận xét và đánh giá trên, theo chúng tôi, sẽ rất khó dự đoán điểm chuẩn chín

    vì khu vực 15 đến 20 điểm sẽ rất dày đặc. Trong 7 bài toán, có đến 5 bài có hai ý a), b) và

    số sẽ hết sức phụ thuộc vào sự phân bố điểm ở các câu này. Dù vậy, qua khảo sát sơ bộ

    dự thi, chúng tôi tạm đưa ra dự đoán bộ điểm chuẩn rất chẵn của năm nay như sau: Khuy

    15 điểm (1, 2, 5), giải 3: 20 điểm (1, 2, 3, 5), giải nhì 25 điểm: (1, 2, 3, 5) + (4a + 6a +

    nhất 30 điểm: phải giải quyết được các vấn đề xương xẩu hơn như 4b, 6b, 7b hoặc làm

    bài trên rất chuẩn.

    7

    .1/

    aff

    a) Khi a D 5 ; chứng minh rằng dãynsố

    / có. ugiới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

    b) Tìm tất cả các giá trị của số a để dãy

    số .định

    u và có giới hạn hữu hạn.

    n / xác

    a

    st

    Lờigiải.Ta sẽ giải trực tiếp ý b), từqđó suy ra kết quả cho ý a). Có

    . uthể

    thấy

    định

    dãy

    n / xác

    1

    5

    1

    khi và chỉ khi2 uxác định. Mà2 uD 2 C

    a C 4 nên u2 xác định khi và chỉ khi

    2

    n

    Ep

    17

    4C

    17

    với mọin 2 : Vậy dãy

    . un / tăng ngặt và

    bị chặn trên bởi2 nên có giới hạn hữu hạn. Đến đây, bằng cách chuyển phương trình

    sang giới hạn, ta cũng thu được

    lim

    3: u

    n D

    Tóm lại, với mọi a

    thì dãy . nu/ xác định và hội tụ về 3 :

    8

    un C

    C

    j un

    3j C q

    st

    q

    aff

    un C

    C

    un C

    q

    un C

    C

    C

    C

    <

    D

    n

    q

    <

    C

    D

    Do đó, kết hợp với đánh giá ở trên, ta thu được

    j unC1

    3j

    3j C

    8n 2 :

    Ep

    Đến đây, bằng cách sử dụng bổ đề quen thuộc (có thể chứng minh bằng định nghĩa giới h

    Cho số thực

    q 2 . 0 ;1 / :Xét hai dãy không. âm

    an / ; . bn / thỏa mãn

    anC1 q a n C b n với

    mọi n 2 N và lim nb D 0 : Khi đó, ta có lim

    D

    a

    0:

    n

    Ta dễ dàng suy ra lim

    3 và hoàn tất lời giải cho bài toán.

    n Du

    9

    a) Với a D 0 ; chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

    b) Với mọi a 2 Œ 10 ; chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn.

    Bài 2 (5.0 điểm).

    Tồn tại hay không đa thức P . x / với hệ số nguyên thỏa mãn

    1C

    p3

    2 D1C

    p3

    2 và P

    1C

    p

    5 D1C3

    p

    5‹

    aff

    P

    Lờigiải.Giả sử đa thức

    P . x /nói trên tồn tại. Đặt

    Q.x / D P .1 C x /

    1 thìQ.x / cũng

    p3

    p3

    p

    p

    là đa thức với hệ số nguyên. Từ giả thiết, ta2cóDQ 2 và Q

    5 D3 5:

    Q.x /

    x D .x

    3

    st

    n

    p

    p

    Do R .x / có các hệ số đều nguyênRnên 5 có dạnga C b 5 với a ;b 2 Z: Thay

    p

    x D 5 vào đẳng thức trên, ta được

    p

    p

    2 5D 5 5

    2

    aCb

    p

    5 D 25b

    2 a C .5a

    suy ra5a 2 b D 2và2 a D 25b :Tuy nhiên, không có cặp số nguyên nào thỏa mãn đồng

    thời hai tính chất này. Mâu thuẫn nhận được chứng

    P .tỏ

    x đa

    /thỏa

    thức

    mãn đồng thời các tính

    chất ở đề bài không tồn tại.

    Ep

    3. (International Zhautykov Olympiad, 2014) Tồn tại không

    P . xđa

    /với

    thức

    các hệ số

    p

    p

    p

    p

    nguyên thỏa mãn 1P C 3 D 2 C 3 và P 3 C 5 D 3 C 5?

    10

    Bài 3 (5.0 điểm).

    Cho tam giác

    AB C nhọn, không cân nội tiếp đường

    . Otròn

    / :Gọi

    H là trực tâm của tamAB

    giác

    C vàE ; F lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh

    B ; C I A H cắt . O / tại D (D khác A).

    a) Gọi I là trung điểm của

    AH I E I cắtBD tạiM vàF I cắtCD tạiN :Chứng minh

    rằng M N ? OH :

    aff

    b) Các đường thẳng

    DE ; DF cắt.O / lần lượt tại

    P ; Q (P vàQ khácD ). Đường

    tròn ngoại tiếp tam AEF

    giác cắt.O / vàAO lần lượt tại

    R vàS (R vàS khácA).

    Chứng minh rằng BP

    C ;Q và RS đồng quy.

    st

    Lờigiải.a)Gọi J là đường tròn Euler của tam

    ABgiác

    C thì. J / đi quaE ; I ; F đồng thời

    J là trung điểm

    OH . Dễ thấy

    D đối xứngH quaB C nên tam giác

    BDH cân tạiB . Cũng dễ

    thấy tam giác

    IEH cân tạiI nên∠IEH D ∠IHE D ∠BHD D ∠BDH;

    suy ra tứ giác

    BDE I nội tiếp. Mà DB cắt E I tại M nên

    MD:

    n

    ME MIDMB

    Từ đó phương tích của

    M đối với đường tròn

    . J / và.O / bằng nhau. Tương tự phương tích

    củaN đối với đường tròn

    . J / và.O / bằng nhau. Vậy

    M N là trục đẳng phương .O

    của

    /

    và .J / nên M N ? OJ . Do J là trung điểm OH nên M N ? OH .

    A

    I

    Ep

    M

    J

    E

    O

    C

    N

    b)Gọi X là trung điểm

    EF . AH cắtB C tạiK . Dễ thấy các tam BF

    giác

    E vàKHE đồng

    dạng (g-g).

    X là trung điểm

    EF vàK là trung điểm

    HD nên hai tam giác

    BF X vàDHE

    đồng dạng (c-g-c), suy

    ∠FraBX D ∠HDE D ∠F BP . Từ đó suy ra ba điểm

    B ;X ;P

    thẳng hàng. Tương tự ba điểm

    X ;Q

    C cũng

    ;

    thẳng hàng.

    A

    O

    K

    D

    R

    C

    aff

    F

    st

    S

    n

    Gọi AL là đường kính của

    .O / thì dễ thấy

    SH đi quaL và tứ giác

    HBLC là hình bình hành

    nênH L đi qua trung điểm

    M củaB C. Dễ thấy hai tam SE

    giác

    C vàSF B đồng dạng (g-g)

    nên hai tam giác

    SEF vàS CB đồng dạng (c-g-c), hai tam giác này có trung tuyến tương ứn

    là SX vàS M nên∠F SX D ∠B S M . Cũng có hai tam giác

    SF B vàSRL đồng dạng (g-g)

    nên hai tam giác S F R và S B L đồng dạng (c-g-c). Suy ra

    ∠F SR D ∠B SL D ∠B S M D ∠F SX:

    Từ đó, ta có ba điểm

    S ; X ; R thẳng hàng. Vậy

    SR đi quaX . Đều này chứng tỏ ba đường thẳng

    BP ; C Q và RS đồng quy tại trung điểm X của EF .

    Ep

    Tham khảo tại: http://analgeomatica.blogspot.com/2015/06/ve-mot-bai-toanhinh-hoc-tu-dien-aops.html

    12

    R

    E

    st

    B

    aff

    J

    Q

    Mặt khác phép đồng dạngP tâm

    biến đoạn

    CE thànhFB nênJ cũng biến thành

    I; do đó

    ı

    ∠JPI D ∠EPB D 180

    ∠BAC , từ đó tứ giác GIPJ nội tiếp. Ta có biến đổi góc

    n

    ∠IGP D ∠IJP D ∠BEP D ∠BAP D ∠BGQ

    ∠GPI D ∠GJI D ∠GCB D ∠GQB:

    Từ đó hai tam giác

    GIP vàGBQ đồng dạng. Như vậy phép đồng dạng

    G biếnI

    tâmthànhP

    và đoạn

    FB thành đoạn

    LQ . Mặt khác,

    I là trung điểm

    FB nênP là trung điểm

    LQ . Từ đó,

    gọiM là trung điểm

    EF . Ta dễ thấy hai tamBFE

    giácvàPLE đồng dạng. Từ đó, hai tam giác

    BFM vàQLE đồng dạng. Vậy

    ∠FBM D ∠LQE D ∠FBR nênBR đi quaM . Ta có điều

    phải chứng minh.

    Ep

    A

    F

    E

    B

    Q

    13

    Gọi R là bán kính ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có biến đổi diện tích

    ŒBFR ŒBFR ŒBAR ŒBRQ

    D

    ŒBER ŒBAR ŒBRQ ŒBER

    ABARBR

    4R

    BRRQQB

    4R

    Vậy BR chia đôi EF .

    aff

    st

    n

    Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn .O/. P là điểm bất kỳ trong tam giác

    choR đối xứng

    P quaBC thìR nằm trên

    .O/ . PB; P C lần lượt cắt

    CA; AB tạiE; F . Đường

    tròn.AEF / cắt.O/ tạiG khácA. GP cắtBC tạiM và cắt.O/ tạiD khácG. AD cắt.AEF /

    tại Q khác A. Chứng minh rằng GQ chia đôi EF .

    Lờigiải.Dễ thấyP nằm trên

    .AEF / . Ta có∠DP C D ∠FP G D ∠FAG D ∠PDB nên

    P C k DB. Tương tự, ta cũngPB

    cók DC; do đó tứ giác

    PBDC là hình bình hành PD

    nênđi

    qua trung điểm M của BC .

    A

    Ep

    G

    F

    E

    B

    Q

    O

    C

    M

    R

    D

    Gọi giao điểm của

    GQ vàEF làN . Dễ thấy phép đồng dạng

    G lần

    tâmlượt biến

    E; F thành

    C; B. Lại có hai tam giác GFB và GQD đồng dạng (g-g) nên ∠F GB D ∠QGD; suy ra

    ∠NGF D ∠MGB:

    Do đó cũng phép đồng dạng tâm G đó biến N thành M . Vậy N là trung điểm EF .

    14

    Bài toán trên cũng có thể được mở rộng hơn nữa như sau

    aff

    Bài chúng tôi tam giác

    ABC nội tiếp trong đường .O/

    tròn

    . P là điểm bất kỳ trong tam giác.

    PB; P C lần lượt cắt

    CA; AB tạiE; F . Đường tròn

    .AEF / cắt.O/ tạiG khácA. M là điểm

    bất kỳ trên cạnh

    BC . GM cắt.O/ tạiD khácG. AD cắt.AEF / tạiQ khácA. GQ cắtEF tại

    N . Chứng minh rằng

    MB

    NF

    D

    :

    MC

    NE

    A

    G

    F

    P

    Q

    M

    C

    n

    B

    N

    st

    E

    D

    Lờigiải.Dễ thấy phép đồng dạng

    G lần

    tâmlượt biến

    E; F thànhC; B. Lại có hai tam giác

    GFB vàGQD đồng dạng (g-g) ∠FGB

    nên D ∠QGD suy ra∠NGF D ∠MGB; do đó cũng

    phép đồng dạng tâm G đó biến N thành M . Vậy

    MB

    NF

    D

    :

    MC

    NE

    Ep

    Ta thu được điều phải chứng minh.

    Các bạn có thể làm các bài toán sau đây đề luyện tập thêm:

    1. (Mở rộng ý a) bài toán 3 VMO 2022) Cho tam

    ABC giác

    nội tiếp đường tròn

    .O/ . Một

    đường tròn

    .K/ đi quaB; C cắtCA; AB tạiE; F khácB; C . BE cắtCF tạiH . AH cắt

    .O/ tạiD khácA. Tiếp tuyến E;

    tạiF của.K/ lần lượt cắt

    DB; DC tạiM; N . Chứng

    minh rằng MN ? OH .

    2. (Mở rộng ý b) bài toán 3 VMO 2022) Cho tam

    ABC giác

    nội tiếp trong đường.O/

    tròn

    .

    P là điểm bất kỳ trong tam giác sao

    R đối

    choxứngP quaBC thìR nằm trên

    .O/ .

    PB; P C lần lượt cắt

    CA; AB tạiE; F . Đường tròn

    .AEF / cắt.O/ tạiG khácA. D

    thuộc.O/ sao cho

    DR k BC . AD cắt.AEF / tạiQ khácA. DE; DF cắt.O/ tạiS; T

    khác D. Chứng minh rằng BS; C T; GQ đồng quy.

    15

    aff

    st

    ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được

    trên hàng đó và tập các số nguyên dương được điền trên cột đó không giao nhau

    một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền

    hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau.

    a) Với n D 5; tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa

    để tồn tại cách điền

    k số

    cân đối cho cách tô

    màu đối xứng ở hình bên dưới.

    B

    n

    A

    C

    Ep

    D

    b) Vớin D 2022;

    tìm giá trị nhỏ nhấtkcủa

    để với mọi cách tô màu đối xứng, luôn tồn tại

    cách điền số kcân đối.

    5

    ¤ ;:

    16

    Ta sẽ chứng minh k D 3 thỏa với cách điền như sau:

    0

    1

    1

    0

    2

    2

    1

    2

    0

    2

    2

    2

    2

    0

    3

    3

    0

    3

    aff

    3

    2

    st

    1

    1

    Ep

    n

    b)Điều kiện cần: Trước hết, xét cách tô màu đối xứng như bàn cờ, tức là trắng đen xen

    hình, trong đó vị trí .i; j / sẽ được tô đen nếu i C j chẵn, ngược lại thì tô trắng.

    Xét hai ô trắng bất kỳ trong bảng ô vuông trên

    .a; b/ởvà.c;

    vị tríd /; 1 a; b; c; d 2022:

    Nếua C cchẵn thì

    b C d cũng chẵn, suya ra

    C d vàb C clẻ. Khi đó, một trong hai ô

    .a; d /và.b; c/ sẽ được tô đen vì chúng không thể cùng nằm trên đường chéo màu x

    Suy ra hai ô vuông trắng phải được điền số khác nhau.

    Nếua C clẻ thìb C d cũng lẻ, xét.d;

    ô c/ điền cùng số với

    .c;ôd /thì rõ ràng ta có thể

    áp dụng lập luận trên để suy ra hai số điền cho hai ô hai khác nhau.

    Từ đó suy ra tất cả các số điền cho các ô trắng nằm ở nửa trên bên phải của bảng là đôi m

    biệt. Do đó, ta thu được kết quả

    k 2C4C6C

    2017

    Điều kiện đủ: Ta sẽ chứng minh

    k Drằng

    4

    1

    thỏa mãn bài toán bằng quy nạp

    kết quả

    j 2rằng

    k

    n

    trên cũng đúng với mọi bảng có kích

    n thước

    n vớin là số nguyên dương, cụ kthể

    D là4 :

    17

    Thật vậy, với n D 1; n D 2; n D 3; ta dễ dàng kiểm tra được các kết quả tương ứng.

    Xét n 5 và giả sử khẳng định đúng với mọi số nguyên dương bé hơn n:

    Đánh số cách hàng

    1 !từn và cột1 ! n . Ta sẽ chứng minh rằng với mọi vị trí của các ô đen

    thì luôn tồn tại cách điền các số nguyên dương không

    kn vào

    vượt

    ô trắng

    quá còn lại trong bảng

    (trường hợp điền số âm thì tương tự vì tính bình đẳng).

    aff

    Xét graph

    G D .V; E/ màV là tập hợp các đỉnh, đỉnh

    i ứng

    thứ với hàng

    i và1 i n ; còn

    E là tập hợp các cạnh, trong đó có cạnh nối từ

    i đến

    đỉnh

    đỉnh

    thứthứ

    j nếu như tại.i;ô j / và

    ô .j; i / là ô màu trắng. Ta phát biểu bổ đề sau:

    Bổ đề (Định lý Mantel-Turan).

    Xét mộtj graph

    đơn vô hướng

    n đỉnh

    có và

    k cạnh. Khi đó, nếu

    k

    2

    n

    graph này không có chứa tam giác thì

    k

    :

    4

    Áp dụng vào bài toán, ta xét các trường hợp sau:

    st

    j 2k

    Nếu graph

    G không có chứa tam giác, theo bổ đề thì nó sẽ có nkhông

    cạnh,

    quá

    nghĩa

    4

    j 2k

    j 2k

    n

    là có không quá

    ô trắng nên có thể dùng

    k D n4 số nguyên dương điền vào các ô

    4

    đó (cho dù vị trí của các ô đen thế nào đi nữa).

    n

    Nếu graph

    G có chứa tam giác, giả sử các

    a; đỉnh

    b; cphân biệt được nối với nhau đôi

    một. Điều này tương ứng với việc

    .a;các

    b/; ô

    .b; c/; .c; a/và.b; a/; .c; b/; .a; c/là

    giao điểm của các hàng

    a; b; cđều được tô màu trắng. Khi đó, các số điền vào các ô đó

    không cần phải phân biệt và tập hợp các ô trắng (nếu có) còn a;

    lạib;

    trên

    ccũng

    các hàng

    không cần phải rời nhau. Rõ ràng trên mỗi hàng sẽ còn lại không

    3 ô nhưquá

    thế.

    n

    Khi đó, ta có thể dùng

    1số để điền vào các ô trắng ở trên và dùngnkhông

    3số quá

    phân

    biệt để điền vào mỗi ô còn lại của mỗi hàng.

    Nếu không

    3 hàng

    a; b; c, ta còn lại

    n 3 hàng, sử dụng giả thiết quy nạp thì cần

    j tính

    k

    .n 3/ 2

    không quá 4

    số nguyên dương phân biệt cho các hàng đó.

    Ep

    j 2k

    Tóm lại, trong mọi trường hợp, ta đều cần sử dụng nkhông

    số nguyên

    quá

    dương phân biệt

    4

    j 2k

    n

    để điền vào các ô trắng hay nói cách khác

    cũng

    k D thỏa mãn đề bài với bảng n n:

    4

    Theo nguyên lý quy nạp thì khẳng định được chứng minh. Vậy giá trị tốtknhất

    là cần tìm c

    20222 1

    . Bài toán được giải quyết hoàn toàn.

    4

    Bài toán này thuộc dạng cực trị tổ hợp và đòi hỏi phải xử lý cả điều kiện cần và đủ thì mớ

    kết luận được đáp số của bài toán.

    18

    Ở phần a), ta thấy kích thước của bảng là nhỏ nên có thể thử trực tiếp các số để kiểm t

    xây dựng cũng khá nhẹ nhàng. Chú ý rằng một số có thể được sử dụng lại nhiều lần the

    bài nếu đọc không cẩn thận, ta dễ hiểu nhầm đáp số câu a) là k D 5:

    Phần b) thử thách hơn nhiều với kích thước bảng lớn, và quan trọng hơn là cách tô đối xứ

    nên chưa thể định hướng được ngay giá trị “vừa đủ lớn” của k:

    aff

    Ý tưởng mấu chốt là chỉ ra một mô hình đặc biệt mà ở đó,kđòi

    phải

    hỏiđạt

    giáđược

    trị cực đại

    thì mới đủ để điền vào. Và bàn cờ ở trên chính là mô hình cần phải tìm, số các ô đen tr

    xen đòi hỏi tất cả các số dương điền vào các ô trắng phải phân biệt nhau, các số âm cũ

    st

    Đoạn khó khăn chính là việc xây dựng cách đánh số cân đối cho mọi mô hình. Thực tế

    2

    1

    như các cách xây dựng trực tiếp thuật toán để kđiền

    D 2022

    vào

    với

    đều không thành công

    4

    do các mô hình có thể biến đổi rất phức tạp. Cách tiếp cận dùng đồ thị ở trên cũng chỉ mớ

    minh được là cách đánh số cân đối sẽ luôn tồn tại chứ chưa chỉ ra cách xây dựng cụ th

    nhiên, về mặt lập luận thì như thế là đủ.

    n

    Điểm mới lạ của bài toán này chính là việc sử dụng ngôn ngữ đồ thị để giải quyết vấn

    cách tiếp cận mà trước giờ khá ít khi xuất hiện trong các kỳ thi HSG cấp Quốc gia. Địn

    Mantel-Turan về tồn tại graph con đầy đủ trong một graph đơn vô hướng là tương đối que

    đối với các học sinh có học qua về lý thuyết graph. Đặc điểm của các bài toán dùng Mant

    là thường che giấu được vấn đề khá kỹ và khó xử lý tốt bằng các cách thông thường.

    Định lý này có cách chứng minh dùng quy nạp là phân hoạch tập hợp đỉnh thành A; B rồ

    Đếm số cạnh trong A; đếm số cạnh trong B:

    Đếm số cạnh nối giữa A; B:

    Ep

    1. (MOSP, 2011) Xét các số xthực

    : Chứng minh rằng có khôngn4 quá

    cặp

    1; x2; : : : ; nx

    .i; j / với 1 i < j n sao cho 1 < jxi xj j < 2:

    2

    2. (China TST, 1987) Trong mặt phẳng

    2nđiểm

    cho với

    n 2 và có tất n

    cả

    C 1đoạn thẳng

    nối chúng. Chứng minh rằng

    a) Tồn tại ít nhất một tam giác.

    b) Tồn tại hai tam giác có chung cạnh.

    c) Tồn tại ít nhất n tam giác.

    19

    Bài 5 (6.0 điểm).

    Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn hệ thức

    f xf .y/

    f .x/ D 2f .x/ C xy

    .1/

    với mọi số thực x; y:

    f f .y/

    f .1/ D y C 2f .1/; 8y 2 R:

    aff

    Lờigiải.Thay x D 1 vào (1), ta được

    .2/

    Từ đây có thể thấy fhàm

    là một song ánh. Do đó, tồn tại duy nhất

    a đểf

    số thực

    .a/ D 0:Thay

    x D a vào phương trình (1), ta được

    Trong (3), cho

    y D 0;ta được

    f af .0/

    Suy ra a D 0 hoặc f .0/ D 1:

    D ay;

    8y 2 R:

    st

    f af .y/

    .3/

    D 0 D f .a/:Từ đó, do

    f đơn ánh nên taafcó

    .0/ D a:

    n

    Xét trường hợp

    a D 0;tứcf .0/ D 0:Thayy D 0 vào (1), ta được

    f

    f .x/ D 2f .x/: Dof

    toàn ánh nên taf .x/

    có D 2x với mọix 2 R: Tuy nhiên, khi thử lại, hàm này không thỏa mãn

    phương trình (1). Do đó a ¤ 0; suy ra f .0/ D 1:

    Thayx D 0 vào (1), ta được

    f . 1/ D 2:Thayy D a vào (3), ta được

    a2 D f .0/ D 1;suy ra

    a D 1 (do f . 1/ D 2), tức f .1/ D 0: Đến đây, ta có hai cách tiếp cận như sau:

    Cách 1. Do f .1/ D 1 nên phương trình (2) có thể viết lại dưới dạng

    f f .y/

    D y;

    8y 2 R:

    .20/

    0

    Thay y bởi f .y/ vào (1) và sử dụng

    /; ta.2được

    f xy

    f .x/ D 2f .x/ C xf .y/;

    8x; y 2 R:

    Ep

    f .x/

    Trong phương trình này, ta xét x ¤ 0 và thay

    ; ta

    y Dđược

    x

    suy ra

    f

    D

    1

    ;

    8x ¤ 0:

    Thay y Df .x/

    vào (1) và sử dụng kết quả trên, ta được

    x

    f1

    3f .x/ D 3f .x/;

    8x ¤ 0:

    Dof song ánh và

    f .0/ D 1nên với

    x ¤ 0 thì1 3f .x/ có thể nhận mọi giá trị thực 2:

    khác

    Do đó, từ kết quả trên, ta suy ra được f .x/ D x C 1 với mọi x ¤ 2:

    Nói riêng,ta cóf .3/ D 2: Thayy D 3 vào.20/; ta đượcf . 2/ D 3: Tóm lại,ta có

    f .x/ D x C 1 với mọi x 2 R: Thử lại, ta thấy hàm này thỏa mãn các yêu cầu bài toán.

    20

    Cách 2. Thay y D 1 vào (1), ta được

    f

    f .x/ D 2f .x/ C x;

    8x 2 R:

    .4/

    aff

    Lần lượt thay

    x D 1 vàx D 2 vào đẳng thức trên, tafđược

    . 2/ D 3vàf . 3/ D 4:Chú ý

    0

    rằngf .1/ D 0nên ta cũng có đẳng.2

    thức

    / như cách 1 ở trên, do đó bằng cách

    x bởif

    thay

    .x/

    vào (4), ta được

    f . x/ D f .x/ C 2x; 8x 2 R:

    Từ đây suy fra.2/ D 1 vàf .3/ D 2: Bây giờ, ta sẽ chứng minh

    x D 1 là nghiệm duy

    nhất của phương trình

    f .t / D 2t: Thật vậy, giả sử có

    b số

    ¤ 1 sao cho

    f .b/ D 2b; ta thay

    x D b và y D 3 vào (1) thì được 1 D f .0/ D 4b C 3b; suy ra b D 1; mâu thuẫn.

    Với kết quả trên, ta thay y D 2 thì có

    Từ đó suy rax

    x

    f .x/ D 2 x C f .x/ D 2

    x

    f .x/ ;

    8x 2 R:

    st

    f

    f .x/ D 1; tức f .x/ D x C 1 với mọi x 2 R:

    n

    D 2f .x/ C xy; 8x; y 2 R:

    Cách giải của hai bài toán cũng hoàn toàn tương tự nhau. Đây là một sự trùng hợp thú v

    đây là một số bài toán “tương tự” khác:

    1. (IMO Shortlist, 2002) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn

    Ep

    f f .x/ C y

    D 2x C f f .y/

    x;

    8x; y 2 R:

    2. (Kiểm tra Trường Đông Nam Bộ, 2022) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn

    f f .x/ C 2y

    D 10x C f f .y/

    3x ;

    8x; y 2 R:

    3. (Baltic Way, 2010) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn

    f .x 2/ C f .xy/ D f .x/f .y/ C yf .x/ C xf .x C y/;

    8x; y 2 R:

    4. (EGMO, 2012) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn

    f yf .x C y/ C f .x/

    D 4x C 2yf .x C y/; 8x; y 2 R:

    5. (EGMO, 2012) Tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn

    f xf .x C y/

    D f yf .x/

    C x 2;

    8x; y 2 R:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lời Giải Và Bình Luận Đề Toán Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia 2022
  • Lời Giải Và Bình Luận Về Đề Thi Hsg Quốc Gia Vmo 2022
  • Đề Kiểm Tra Học Kì I Lớp 7 Môn Sinh Học Năm 2022
  • Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Tiếng Anh Lớp 6 Có Đáp Án
  • Top 52 Đề Kiểm Tra, Đề Thi Toán Lớp 6 Có Đáp Án, Cực Hay
  • Đề Toán Lớp 5 Nâng Cao Có Lời Giải Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Đáp Án Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 8
  • Đáp Án Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 6
  • Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 2 Có Đáp Án
  • Đáp Án Market Leader Intermediate 3Rd Edition
  • Câu Hỏi Trắc Nghiệm Market Leader 3 Intermediate Có Đáp Án
  • Timgiasuhanoi.com gửi tới các em Đề Toán lớp 5 nâng cao với lời giải chi tiết. Giúp các em học chương trình Toán nâng cao được tốt hơn.

    Bài 1: Có 87 lít dầu đựng trong hai thùng. Nếu đổ 10 lít dầu từ thùng I sang thùng II thì lúc đó thùng II sẽ nhiều hơn thùng I là 3 lít dầu. Hỏi lúc đầu mỗi thùng chứa bao nhiêu lít dầu ?

    Nếu đổ 10 lít dầu từ thùng I sang thùng II thì số dầu ở cả hai thùng vẫn là 87 lít.

    Ta có sơ đồ số dầu ở mỗi thùng sau khi đổ :

    Số dầu lúc đầu ở thùng I là : 42 + 10 = 52 (lít)

    Số dầu lúc đầu ở thùng II là :

    87 – 52 = 35 (lít)

    Thùng II : 35 lít.

    Bài 2: Mẹ hơn con 26 tuổi. Sau hai năm nữa thì tổng số tuổi của hai mẹ con là 50 tuổi. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.

    Hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian

    Tổng số tuổi hiện nay của hai mẹ con là :

    50 – 2 x 2 = 46 (tuổi)

    Ta có sơ đồ:

    (46 – 26 ) : 2 = 10 (tuổi)

    Tuổi mẹ hiện nay là :

    10 + 26 = 36 (tuổi)

    Đáp số : Con : 10 tuổi ;

    Bài 3: Tổng của hai số lẽ bằng 84. Tìm hai số đó, biết rằng giữa chúng có 7 số chẵn liên tiếp.

    Mẹ : 36 tuổi.

    Bài 4: Tổng của hai số bằng 536. Tìm hai số đó, biết rằng số bé có hai chữ số, nếu viết thêm chữ số 4 vào bên trái số bé thì được số lớn.

    Bài 5: Cho một số có hai chữ số, tổng của hai chữ số bằng 15. Tìm số đó, biết rằng nếu đổi chỗ các chữ số của số đã cho thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.

    Đáp số : 68; 468.

    Bài 6: Tìm một số biết rằng lấy số đó trừ đi 3 , rồi nhân với 5 rồi cộng với 7 thì được 13.

    Bài 7: Trung bình cộng của 2 số bằng 25. Hiệu của 2 số đó là 8 . Tìm 2 số đó.

    Bài 8: Ba người trong 5 giờ thì đốn xong một ruộng mía .Hỏi với 5 người thì đốn xong ruộng mía đó trong bao lâu ?

    Đáp Số : 29, 21

    Bài 9: Tổng hai số hai số liên tiếp bằng 75. Tìm hai số đó.

    Đáp số : 37; 38.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bản Mềm: 150 Bài Toán Nâng Cao Có Đáp Án Lớp 3 4 5
  • Đáp Án Sách Giáo Khoa Toán Lớp 6
  • Đáp Án Sách Giáo Khoa Toán Lớp 5
  • Sách Giáo Khoa Toán 7 Tập 1
  • Đề Kiểm Tra Học Kì 2 Môn Khoa Học Lớp 4 Có Đáp Án
  • Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Soạn Bài Rút Gọn Câu (Siêu Ngắn)
  • Giải Bài Tập Rút Gọn Câu
  • New Round Up 3 Giải
  • New Round Up 4 Giai
  • Đáp Án New Round Up 3
  • Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc Có Lời Giải, Đề Thi Trắc Nghiệm Giải Phẫu 1, Giải Bài Tập Trắc Nghiệm Mai Lan Hương Lớp 7, Trắc Nghiệm Giải Phẫu, Trắc Nghiệm Giải Phẩu Hệ Tim, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Hệ Tim Mạch, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Hệ Mạch, Giải Bài Tập Trắc Nghiệm Tiếng Anh 7 Mai Lan Hương, Đề Thi Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh Yds, Đề Thi Trắc Nghiệm Công Nghệ Chế Tạo Máy Có Lời Giải, Trắc Nghiệm Thi Giải Quyết Tranh Chấp, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6 Số Học Kì 2, Trắc Nghiệm Toán 3, Bài Tập Trắc Nghiệm Toán ôn Thi Đại Học, Đề Trắc Nghiệm Toán 10, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3 Học Kỳ 2, Đề Trắc Nghiệm Toán 11, Đề Trắc Nghiệm Toán 12, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 2 Toán 10, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 2, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 10 Học Kì 2, Trắc Nghiệm Kế Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Vào 10 Môn Toán, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6 Học Kì 2, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 7 Học Kì 2, Đề Thi Trắc Nghiệm Vào Lớp 10 Môn Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán 3, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 1, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 2, Toán Lớp 6 Trắc Nghiệm, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc, Trắc Nghiệm Toán 9, Trắc Nghiệm 11 Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Kế Toán Kho Bạc, Bài Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 5, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 2 Toán 11, Trắc Nghiệm Toán 8, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 3, Trắc Nghiệm Toán 12, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3, Trắc Nghiệm Toán 4, Trắc Nghiệm Toán 5, Trắc Nghiệm Toán 6, Trắc Nghiệm Toán 6 Học Kì 2, Trắc Nghiệm Toán 7, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 9, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 9, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán 4, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 8 Học Kì 2, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 4, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 6, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 6 Học Kì 2, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 1 Toán 10, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 9 Học Kì 2, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5 Có Đáp án, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 9 Học Kì 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 8, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 6 Học Kì 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 7 Học Kì 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 4, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 7 Học Kì 2, Trắc Nghiệm Toán 1 Tập 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 5, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 7 Hk2, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 7, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 8 Học Kì 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 4 Học Kỳ 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 1 Toán 11, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh Tuyến Giáp , Đề Thi Trắc Nghiệm Kế Toán Tài Chính, Đáp án 1500 Câu Trắc Nghiệm Toán 11, Trắc Nghiệm An Toàn Điện, Trắc Nghiệm Kế Toán Tài Chính 3, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5 Violet, Trắc Nghiệm Tổng Hợp Toán 11, Đề Thi Trắc Nghiệm Kế Toán Tài Chính 1, Trắc Nghiệm Lý Thuyết Toán, Trắc Nghiệm Toán 11 Chương 3 Đại Số, Bài Thi Trắc Nghiệm An Toàn Điện, Đề Thi Trắc Nghiệm An Toàn Bảo Mật Thông Tin Có Đáp An, Đề Thi Trắc Nghiệm An Toàn Điện, Trắc Nghiệm Toán Hình, Trắc Nghiệm Toán Hình 10 Có Đáp án, Trắc Nghiệm Toán Thpt, Trắc Nghiệm An Toàn Điện Có Đáp án, Đề Kiểm Tra Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 6, Trắc Nghiệm Toán 6 Hay Nhất, Đề Thi Trắc Nghiệm Nguyên Lý Kế Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Kiểm Toán Ueh, Trắc Nghiệm An Toàn Bảo Mật Thông Tin, Trắc Nghiệm Online Toán 12, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Nguyên Lý Kế Toán,

    Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc Có Lời Giải, Đề Thi Trắc Nghiệm Giải Phẫu 1, Giải Bài Tập Trắc Nghiệm Mai Lan Hương Lớp 7, Trắc Nghiệm Giải Phẫu, Trắc Nghiệm Giải Phẩu Hệ Tim, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Hệ Tim Mạch, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Hệ Mạch, Giải Bài Tập Trắc Nghiệm Tiếng Anh 7 Mai Lan Hương, Đề Thi Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh, Trắc Nghiệm Giải Phẫu Bệnh Yds, Đề Thi Trắc Nghiệm Công Nghệ Chế Tạo Máy Có Lời Giải, Trắc Nghiệm Thi Giải Quyết Tranh Chấp, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6 Số Học Kì 2, Trắc Nghiệm Toán 3, Bài Tập Trắc Nghiệm Toán ôn Thi Đại Học, Đề Trắc Nghiệm Toán 10, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3 Học Kỳ 2, Đề Trắc Nghiệm Toán 11, Đề Trắc Nghiệm Toán 12, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 2 Toán 10, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 2, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán 10 Học Kì 2, Trắc Nghiệm Kế Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Vào 10 Môn Toán, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 5, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 6 Học Kì 2, Câu Hỏi Trắc Nghiệm Toán 7 Học Kì 2, Đề Thi Trắc Nghiệm Vào Lớp 10 Môn Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán 3, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 1, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 2, Toán Lớp 6 Trắc Nghiệm, Đề Thi Trắc Nghiệm Toán Rời Rạc, Trắc Nghiệm Toán 9, Trắc Nghiệm 11 Toán, Đề Thi Trắc Nghiệm Kế Toán Kho Bạc, Bài Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 1, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 5, Đề Thi Trắc Nghiệm Học Kì 2 Toán 11, Trắc Nghiệm Toán 8, Đề Thi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 3, Trắc Nghiệm Toán 12, Bài Thi Trắc Nghiệm Toán Lớp 3, Trắc Nghiệm Toán 4, Trắc Nghiệm Toán 5, Trắc Nghiệm Toán 6, Trắc Nghiệm Toán 6 Học Kì 2,

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Quẻ Xăm Số 47
  • Giải Nghĩa Quẻ Xăm Số 91
  • Giải Quẻ Xăm Số 74 Thượng Thượng
  • Quẻ Xăm Số 74 Thượng Thượng
  • Ý Nghĩa Số 79? Giải Mã “thần Tài Lớn” Luôn Được “săn Đón”
  • Đề Thi Toán Cao Cấp Ueh Có Đáp Án Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Tổng Hợp Các Đề Toán Cao Cấp 2 Có Lời Giải
  • Đề Thi Hk2 Toán 12
  • Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 12 Có Đáp Án
  • Bài Tập Về Sổ Kế Toán Và Hình Thức Sổ Kế Toán
  • Bài Giải Đề Thi Toán Thpt Quốc Gia 2022
  • 𝟑×𝟑

    . Gọi 𝐌𝐢𝐣 là định thức con bù của 𝐛𝐢𝐣 .

    b) Tìm giá trị sản lượng của ba ngành biết yêu cầu của ngành mở đối với ba ngành là 𝐃 = (𝟐𝟏𝟎, 𝟐𝟒𝟎, 𝟏𝟏𝟎).

    Ta có công thức tính sản lượng của ba ngành:

    X = (I − A)−1 . D

    Trong đó, (I − A)−1 được tính như sau:

    I−A=

    Từ đó tính được:

    X=

    Vậy sản lượng của 3 ngành lần lượt là: 500,600,400.

    Câu 16: Cho hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏) và hệ thuần nhất tương ứng 𝐀𝐗 = 𝛉 có dạng:

    𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 + 𝟐𝐱𝟑 + 𝟑𝐱𝟒 + 𝟒𝐱𝟓 = 𝟎

    {𝟑𝐱𝟏 + 𝟒𝐱𝟐 + 𝟒𝐱𝟑 + 𝟓𝐱𝟒 + 𝟐𝐱𝟓 = 𝟎

    𝟓𝐱𝟏 + 𝟕𝐱𝟐 + 𝟔𝐱𝟑 + 𝟕𝐱𝟒 + 𝟔𝐱𝟓 = 𝟎

    a) Tìm nghiệm tổng quát và tìm 1 nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất trên.

    Đưa hệ phương trình đã cho vào ma trận, ta có:

    1

    (3

    5

    Đặt x3 = a, x4 = b, với a, b ∈ ℝ, ta có nghiệm tổng quát của hệ (1):

    (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (−4a − 7b, 2a + 4b, a, b, 0) với a, b ∈ ℝ

    Cho a = b = 1, ta được 1 nghiệm cơ bản của hệ trên:

    (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (−11; 6; 1; 1; 0)

    𝟓

    𝟒

    b) Giả sử 𝐗 = 𝟑 là 1 nghiệm riêng của hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏).

    𝟐

    𝟑×𝟑

    . Gọi 𝐌𝐢𝐣 là định thức con bù của 𝐛𝐢𝐣 .

    b) Tìm giá trị sản lượng của ba ngành biết yêu cầu của ngành mở đối với ba ngành là 𝐃 = (𝟏𝟕𝟎, 𝟕𝟎, 𝟐𝟓𝟎).

    Ta có công thức tính sản lượng của ba ngành:

    X = (I − A)−1 . D

    Trong đó, (I − A)−1 được tính như sau:

    I−A=

    Từ đó tính được:

    X=

    Vậy sản lượng của 3 ngành lần lượt là: 400,300,500.

    Vậy

    Khi m ≠ ±3 thì r(A) = 5.

    Khi m = −3 thì r(A) = 4.

    Khi m = 3 thì r(A) = 1.

    K40 – MÃ ĐỀ 624

    Câu 1: Giả sử hệ phương trình tuyến tính AX=B có nghiệm duy nhất. Chọn phát biểu đúng?

    A) Hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính

    B) Hệ véctơ cột của A phụ thuộc tuyến tính

    C) Hệ véctơ dòng của A phụ thuộc tuyến tính

    D) Hệ véctơ cột của A độc lập tuyến tính

    Phương trình tuyến tính AX=B có nghiệm duy nhất

    ⇔ r(A) = n

    ⇔ r(AT ) = n

    ⇔ Hệ véctơ dòng của AT độc lập tuyến tính

    ⇔ Hệ véctơ cột của A độc lập tuyến tính

    (Vì dòng của A là cột của AT và ngược lại. Nếu Am×n thì ATn×m )

    Có ý kiến: Tại sao từ “𝑟(𝐴) = 𝑛” ta không suy thẳng ra “hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính”? Mình xin giải

    thích ngắn gọn thế này:

    Trong tính chất “Nếu 𝑟(𝐴) = 𝑛 thì hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính” thì ý nghĩa của n chính là số dòng của

    A. Còn trong bài toán trên, n là số ẩn (tức số cột), còn m mới là số phương trình (tức số dòng). Vì vậy mình buộc

    phải dùng đến ma trận chuyển vị để n biến thành số phương trình của ma trận chuyển vị.

    Vì vậy, khi sử dụng các tính chất, chún ta cần chú ý đến ý nghĩa của các chữ cái đại diện!

    −𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝐳 = 𝟏

    𝐱 + 𝟐𝐲 − 𝟑𝐳 = 𝟐

    Câu 5: Cho hệ phương trình {

    . Phát biểu nào sau đây là đúng?

    −𝟑𝐱 + 𝟖𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝐦 + 𝟓

    A) Với mọi m, hệ luôn có nghiệm.

    B) Với mọi m, hệ có nghiệm duy nhất.

    C) Với mọi m, hệ có vô số nghiệm.

    D) Tồn tại m để hệ có đúng hai nghiệm.

    Thật ra ngay từ đầu, ta đã nhận ra tính đối xứng trong đề bài và dễ dàng chứng minh được: 𝐴 = 𝐵

    Khi đó, thay vào đề bài thì: 𝐴3 = 𝐵3 = 𝐼 ⇒ 𝐴 = 𝐵 = 𝐼

    Từ đó thay vào các câu A, B, C, D ta dễ dàng thấy D là phát biểu sai.

    D) {𝐮𝟏 , 𝐮𝟐 , 𝐮𝟑 } là hệ véctơ độc lập tuyến tính cực đại của B.

    Theo câu B, u4 có được từ u1 , u2 nên u4 xem như bị loại. Hệ B còn lại ba véctơ độc lập tuyến tính.

    Vậy {u1 , u2 , u3 } là hệ véctơ độc lập tuyến tính cực đại của B.

    Câu 12: Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch. Đặt 𝐂 = ( 𝐀𝐓 ) ( 𝐁−𝟏 ). Khi đó 𝐂 −𝟏 =?

    C=

    𝟐𝐱𝟏 − 𝐱𝟐 + 𝐱𝟑 − 𝐱𝟒 = 𝟎

    𝐱 + 𝟐𝐱𝟐 + 𝐱𝟑 + 𝟑𝐱𝟒 = 𝟎

    Câu 14: Gọi W là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất { 𝟏

    . Phát

    −𝐱𝟏 + 𝟑𝐱 𝟐 + 𝟒𝐱𝟒 = 𝟎

    𝟑𝐱𝟏 − 𝟒𝐱𝟐 + 𝐱𝟑 + 𝐦𝐱𝟒 = 𝟎

    biểu nào sau đây là sai?

    A) 𝐝𝐢𝐦𝐖 ≤ 𝟐 với mọi m.

    Rõ ràng d3 = d2 − d1 nên phương trình thứ 3 bị loại. Hệ phương trình trên thực sự chỉ còn:

    2×1 − x2 + x3 − x4 = 0

    { x1 + 2×2 + x3 + 3×4 = 0

    3×1 − 4×2 + x3 + mx4 = 0

    Nhận thấy hai phương trình đầu của hệ này độc lập tuyến tính nên:

    rank(A) ≥ 2

    Ta lại có:

    dimW = n − rank(A) ≤ 4 − 2 = 2

    Vậy dimW ≤ 2 với mọi m.

    B) Với mọi m thì W luôn có cơ sở

    Hệ phương trình trên luôn tồn tại nghiệm nên không gian W luôn tồn tại. Vậy nên W luôn có cơ sở.

    C) Tồn tại m sao cho 𝐖 ≡ ℝ𝟒

    Rõ ràng ở câu A ta đã chứng minh được dimW ≤ 2 với mọi m. Nên không thể xảy ra W ≡ ℝ4 .

    D) Mọi hệ gồm 3 phần tử của W đều phụ thuộc tuyến tính.

    Số chiều của W tối đa bằng 2 nên W được xây dựng chỉ từ tối đa 2 véctơ độc lập tuyến tính.

    Vậy nên mọi hệ gồm 3 phần tử của W đều phụ thuộc tuyến tính.

    Câu 16: Trong không gian ℝ𝟒 , gọi W là không gian sinh bởi các véctơ:

    𝐮𝟏 = (𝟏, 𝟐, −𝟏, 𝟏) ; 𝐮𝟐 = (𝟐, 𝟑, 𝟏, 𝟑) ; 𝐮𝟑 = (𝟑, 𝟕, −𝟔, 𝟐) ; 𝐮𝟒 = (𝟒, 𝟕, −𝟏, 𝟓)

    a) Tìm số chiều và một cơ sở của W.

    1

    2

    Ta có: dimW = rank (3

    4

    ⇒ u1 , u2 , u3 độc lập tuyến tính ⇒ {u1 , u2 , u3 } là một cơ sở của W

    b) Véctơ 𝐯 = (𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟐) có thuộc W hay không? Tại sao?

    Giả sử:

    v = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3

    ⇔ (1,1,2,2) = α1 (1,2, −1,1) + α2 (2,3,1,3) + α3 (3,7, −6,2)

    α1 + 2α2 + 3α3 = 1

    2α + 3α2 + 7α3 = 1

    ⇔{ 1

    ⇔ (α1 , α2 , α3 ) = (−1,1,0) ≠ (0,0,0)

    −α1 + α2 − 6α3 = 2

    α1 + 3α2 + 2α3 = 2

    Vậy v = (1,1,2,2) có thuộc W.

    K39 – MÃ ĐỀ 12

    Câu 1: Cho A, B là hai ma trận vuông cấp 5. Giả sử dòng 2 của A bằng 0 và cột 3 của B bằng 0. Đặt C=AB, khi đó:

    A) Dòng 2 và cột 2 của C bằng 0

    C) Dòng 2 và cột 3 của C bằng 0

    B) Dòng 3 và cột 3 của C bằng 0

    D) Dòng 3 và cột 2 của C bằng 0

    Dòng 2 của A làm cho toàn bộ dòng 2 của C bằng 0. Cột 3 của B làm cho toàn bộ cột 3 của C bằng 0.

    Câu 2: Gọi V là không gian nghiệm của hệ

    𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 + 𝐱𝟑 + 𝐱𝟒 + 𝐱𝟓 = 𝟎

    𝟐𝐱𝟏 + 𝟑𝐱𝟐 + 𝟒𝐱𝟑 + 𝟓𝐱𝟒 + 𝟔𝐱𝟓 = 𝟎

    {

    (𝐦 + 𝟏)𝐱𝟏 + 𝟓𝐱𝟐 + 𝟔𝐱𝟑 + 𝟕𝐱𝟒 + 𝟐(𝐦 + 𝟏)𝐱𝟓 = 𝟎

    Tìm m để dimV lớn nhất?

    dimV = n − rank(A)

    ⇒ dimV → max ⇔ rank(A) → min

    Rõ ràng hai phương trình đầu đã độc lập tuyến tính nên để hạng của A nhỏ nhất thì phương trình thứ 3 phải là tổ

    hợp từ hai phương trình trên.

    Dễ dàng nhận ra, 2d1 + d2 = 4×1 + 5×2 + 6×3 + 7×4 + 8×5 = 0 là một phương trình tương tự d3 .

    Đồng nhất nó với d3 , ta được m=3.

    Vậy dimV → max ⇔ m = 3

    Câu 3: Cho 2 hệ phương trình AX=0 (1) và AX=B (2) với 𝐀𝐦×𝐧. Phát biểu nào sai?

    A) Nếu m=n và (1) có nghiệm duy nhất thì (2) có nghiệm duy nhất

    Khi m = n và (1) có nghiệm duy nhất thì r(A) = n

    ̅ ) ≥ r(A) ⇒ r(A

    ̅ ) = n.

    Mà r(A

    ̅ ) = n, tức (2) có nghiệm duy nhất.

    Vậy r(A) = r(A

    B) Nếu (1) có duy nhất nghiệm thì (2) có nghiệm.

    Xét vế trái: (1) có nghiệm duy nhất ⇔ r(A) = n

    ̅)

    Xét vế phải: (2) có nghiệm ⇔ r(A) = r(A

    ̅ ) = n;

    Vì r(A

    ̅̅̅̅̅̅

    m nên ta không có đủ cơ sở để từ vế trái suy ra vế phải, tức (1) có nghiệm thì chưa chắc (2) có nghiệm.

    C) Nếu (1) có vô số nghiệm thì chưa chắc (2) có nghiệm.

    Xét vế trái: (1) có vô số nghiệm ⇒ r(A) < n

    ̅)

    Xét vế phải: (2) có nghiệm ⇔ r(A) = r(A

    ̅.

    Ta chưa chắc được (2) có nghiệm hay không vì không biết chắc hạng của A

    D) Nếu (2) có vô số nghiệm thì (1) có vô số nghiệm.

    ̅ ) ≤ n ⇒ r(A) < n ⇒ (1) có vô số nghiệm.

    (2) có vô số nghiệm⇔ r(A) < r(A

    ∉V

    Vậy V không là không gian con của ℝ3 .

    Câu 5: Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch.

    𝟑

    𝟕

    Đặt 𝐂 = (𝟓 𝐀𝐓 ) (𝟒 𝐁). Khi đó 𝐂 −𝟏 =?

    C=

    Câu 7: Hệ vector nào sau đây là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính {

    𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 + 𝟐𝐱𝟑 + 𝟑𝐱𝟒 = 𝟎

    .

    𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 + 𝟑𝐱𝟑 + 𝟓𝐱𝟒 = 𝟎

    A) 𝐕𝟏 = (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏)

    B) 𝐕𝟏 = (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏), 𝐕𝟐 = (−𝟐, −𝟐, 𝟎, 𝟎), 𝐕𝟑 = (𝟎, 𝟏, −𝟐, 𝟏)

    C) 𝐕𝟏 = (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏), 𝐕𝟐 = (𝟏, 𝟏, 𝟏, 𝟎)

    D) 𝐕𝟏 = (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏), 𝐕𝟐 = (𝟎, 𝟏, −𝟐, 𝟏)

    Hệ trên gồm 2 phương trình độc lập tuyến tính 4 ẩn. Như vậy số véctơ trong hệ nghiệm cơ bản sẽ là 4-2=2 (véctơ)

    thỏa mãn hệ phương trình. Chỉ có đáp án D là phụ hợp điều kiện.

    𝟒𝐱 + 𝟑𝐲 = −𝟔

    Câu 8: Hệ { 𝟓𝐱 + 𝟖𝐲 = 𝟏 có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi a=?

    𝐚𝟐 𝐱 + 𝟑𝐚𝐲 = −𝟗

    Giải hai phương trình đầu ta được nghiệm: (x, y) = (−3,2)

    Để hệ phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm thì phương trình cuối phải thỏa (x, y) = (−3,2).

    Thay (x, y) = (−3,2) vào, ta tìm được điều kiện của a:

    −3a2 + 6a + 9 = 0 ⇔ a = −1 ∨ a = 3

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tranh Cãi Gay Gắt Bài Toán Lớp 3 Tính Số Lãi Của Bác Nông Dân, Tưởng Đơn Giản Mà Đầy Người Lớn Cũng Sai Be Bét
  • Giải Thích Bài Toán Mua Bò
  • Giải Bài Toán Bằng Logo
  • Top 40 Đề Thi Toán Lớp 1 Có Đáp Án
  • Đề Thi Giải Toán Violympic Trên Mạng Lớp 1 Có Đáp Án
  • Đề Thi Hk1 Môn Toán Lớp 3 Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • 9 Đề Thi Học Kỳ 1 Môn Toán Lớp 3 Có Đáp Án Năm Học 2022
  • Tuyển Tập Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán Lớp 3
  • Giải Sách Lưu Hoằng Trí 8
  • Giải Unit 6 Sách Bài Tập Lưu Hoằng Trí 8
  • Giải Bài Tập Lưu Hoằng Trí 8
  • Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 3 có lời giải giúp các em học sinh ôn tập chuẩn bị tốt cho bài kiểm tra HK1 Toán lớp 3.

    – Sắp xếp theo thứ tự của đề bài.

    Cách giải :

    a) Đ – S

    b) S – Đ

    Câu 2. Phương pháp giải :

    – Đặt tính : Viết các số theo cách đặt tính cột dọc, chữ số cùng hàng thẳng cột với nhau.

    – Tính : Cộng các số lần lượt từ phải sang trái.

    – Điền Đ hoặc S vào ô trống thích hợp.

    Cách giải :

    a) S; Đ; S

    b) Đ; S; S

    c) S; S; Đ.

    Câu 3. Phương pháp giải :

    Đội A : 417m

    Đội B : 435m

    Cả hai : …m?

    Muốn tìm lời giải ta lấy số mét đường đội A làm được cộng với số mét đường đội B đã làm được.

    Cách giải :

    Cả hai đội làm được số mét đường là :

    417 + 435 = 852 (m)

    Đáp số : 852 m.

    Đáp án cần chọn là B.

    Câu 4. Phương pháp giải :

    – Muốn tìm số hạng ta lấy tổng trừ đi số hạng kia.

    – Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng số trừ.

    – Điền Đ hoặc S vào ô trống thích hợp.

    Cách giải :

    Phương pháp giải :

    – Muốn tìm số hạng ta lấy tổng trừ đi số hạng kia.

    – Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng số trừ.

    – Điền Đ hoặc S vào ô trống thích hợp.

    Cách giải :

    a)

    $ displaystyle begin{array}{l}x+132=454,,,,,,,,,,,,x=454-132,,,,,,,,,,,,x=322end{array}$

    Vậy điền vào các ô trống lần lượt là : Đ; S; S.

    b)

    $ displaystyle begin{array}{l}x-213=326,,,,,,,,,,,,x=326+213,,,,,,,,,,,,x=539end{array}$

    Cần điền vào ô trống lần lượt là : Đ; S; S.

    Câu 5. Phương pháp giải :

    Muốn tìm số bị trừ thì ta lấy hiệu cộng số trừ.

    – So sánh rồi điền dấu thích hợp vào chỗ trống.

    Cách giải :

    a) 400 + 8 = 408

    c) 120 − 20 < 100 + 1

    d) 998 = 900 + 90 + 8

    Câu 7. Phương pháp giải :

    – Đặt tính : Viết các chữ số cùng hàng thẳng cột với nhau.

    – Tính : Cộng hoặc trừ lần lượt từ phải sang trái.

    Khối Ba : 352 học sinh

    Khối Ba ít hơn khối Hai : 28 học sinh

    Khối Hai : … học sinh ?

    Muốn tìm số học sinh của khối Hai ta lấy 352 cộng với 28.

    Cách giải :

    Khối lớp Hai có số học sinh là:

    352 + 28 = 380 (học sinh)

    Đáp số: 380 học sinh.

    Câu 9. Phương pháp giải :

    – Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng số trừ.

    – Muốn tìm số hạng ta lấy tổng trừ đi số hạng kia.

    Cách giải :

    a)

    $ displaystyle begin{array}{l}x-132=368,,,,,,,,,,,,x=368+132,,,,,,,,,,,,x=500end{array}$

    b)

    $ displaystyle begin{array}{l}x+208=539,,,,,,,,,,,,x=539-208,,,,,,,,,,,,x=331end{array}$

    Câu 10. Phương pháp giải :

    – Xác định các đại lượng trong bài toán, giá trị đã biết và yêu cầu của bài toán.

    – Tìm độ dài của mảnh vải trắng : Lấy độ dài của mảnh vải xanh cộng với 32m.

    – Tìm độ dài của cả hai mảnh vải : Lấy độ dài mảnh vải xanh cộng với độ dài mảnh vải trắng vừa tìm được.

    Cách giải :

    Vải trắng dài số mét là:

    208 + 32 = 240 (m)

    Có tất cả số mét vải là:

    208 + 248 = 448 (m)

    Đáp số: 448 m.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Skkn: Nâng Cao Chất Lượng Giải Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Giải Toán Có Lời Văn Cho Hs Lớp 1
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Một Số Biện Pháp Giúp Học Sinh Giải Toán Có Lời Văn Ở Lớp 3
  • Sang Kien Kinh Nghiem Lop 3
  • Một Số Kinh Nghiệm Giúp Học Sinh Lớp 3/3 Trường Tiểu Học Trần Bình Trọng Giải Các Bài Toán Có Lời Văn
  • Đề Thi Thử Môn Toán 2022 Có Lời Giải Chi Tiết (Thi Thpt Quốc Gia)

    --- Bài mới hơn ---

  • Đi Tìm Lời Giải Của Những Giấc Mơ Liên Quan Đến Cá Độ Đá Banh
  • Bí Ẩn Của Những Giấc Mơ
  • Giải Mã Bí Mật Ít Ai Biết Của Những Giấc Mơ
  • Nằm Mơ Thấy Quét Nhà, Dọn Dẹp Nhà Cửa Là Điềm Báo Gì, Đánh Con Gì?
  • Nằm Mơ Thấy Kéo Lưới Bắt Cá Là Điềm Báo Gì? Đánh Đề Con Gì? Số Mấy?
  • Mathvn giới thiệu đề thi thử thpt quốc gia năm 2022 môn toán có lời giải chi tiết. Đề ra theo cấu trúc 50 câu trắc nghiệm. Thời gian làm bà…

    Mathvn giới thiệu đề thi thử thpt quốc gia năm 2022 môn toán có lời giải chi tiết. Đề ra theo cấu trúc 50 câu trắc nghiệm. Thời gian làm bài 90 phút.

    Đây là đề khảo sát chất lượng toàn tỉnh Thanh Hóa vừa được tổ chức thi thử trong tháng 4 này. Trích dẫn một số câu:

    Câu 14: Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là

    A. một hình chữ nhật

    B. một tam giác cân

    C. một đường elip

    D. một đường tròn

    Câu 21: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) .

    A. Là đường thẳng đi qua đỉnh S và tâm O của đáy

    B. Là đường thẳng đi qua đỉnh S và song song với đường thẳng BC

    C. Là đường thẳng đi qua đỉnh S và song song với đường thẳng AB

    D. Là đường thẳng đi qua đỉnh S và song song với đường thẳng BD

    Câu 26: Giải bóng đá V-LEAGUE 2022 có tất cả 14 đội bóng tham gia, các đội bóng thi đấu vòng tròn 2 lượt (tức là hai đội A và B bất kỳ thi đấu với nhau hai trận, một trận trên sân của đội A, trận còn lại trên sân của đội B). Hỏi giải đấu có tất cả bao nhiêu trận đấu?

    A. 182

    B. 91

    C. 196

    D. 140

    Câu 27: Số đường chéo của đa giác đều có 20 cạnh là bao nhiêu?

    A. 170

    B. 190

    C. 360

    D. 380

    File PDF đề thi thử 2022 môn toán

    File ảnh đề thi thử môn toán 2022

    Lời giải chi tiết đề thi thử toán 2022

    Lời giải này là của đề gốc, nên thứ tự câu có khác với mã đề đã xáo ở trên.

    File PDF đề thi thử môn toán 2022 có lời giải chi tiết bạn đọc có thể tải về ở đây: Download

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lời Giải Chi Tiết Đề Minh Họa Môn Toán Năm 2022
  • Đề Thi Thử Môn Toán 2022 Có Đáp Án, Lời Giải Chi Tiết
  • 300 Bài Ôn Luyện Môn Toán Lớp 4
  • Giáo Án Tiếng Anh 7 Thí Điểm
  • Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Tiếng Anh Lớp 8 Năm 2022
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100