Giải Toán 11 Bài 3. Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

--- Bài mới hơn ---

  • Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  • Cđ Một Số Dạng Pt Vô Tỷ Và Cách Giải
  • Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn
  • Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
  • §3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A. KIẾN THỨC CĂN BẢN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Đốl VỚI MỘT HÀM số LƯỢNG GIÁC .Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at + b = 0 (a * 0) (1) trong đó a, b là các hằng số, t là một trong các biểu thức sinx, cosx, tanx hoặc cotx. Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a ta đưa phương trình (1) vể phương trình lượng giác cơ bản. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐÔÌ VỚI MỘT HÀM số LƯỢNG GIÁC Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at2 + bt + c = 0 (a * 0) trong đó a, b, c là các hằng số và t là một trong các biểu thức sinx, cosx, tanx hoặc cotx. Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Đốl VỚI SINX VÀ cosx asinx + bcosx = c (1) (a2 + b2 * 0) Cách giải thứ nhất: Chia hai vế phương trình cho Va2 + b2 ta được: a b . c , cos X + , sinx = , Va2 +b2 Va2 + b2 Va2 +b2 Đặt , a =CQS(p thì , b =sin<p * V^Tb^ Đưa phương trình về dạng: COSXCOSỌ + sinxsincp - , c hay cos(x - ọ) = -. c = Điều kiện có nghiêm: 7a2+b2 7a2+b2 Va2 + b2 _ . ,, c Gọi a là cung sao cho cosa = Va2 +b2 Ta có: cos(x -ọ) = cosa X = ọ ± a + k2rc , X Cách giải thứ hai: Dùng ẩn phụ t = tan (x * 71 + k2n) Trước hết xem X = 7T + k2n có là nghiêm không. Nếu có ta nhận đó là một nghiêm. Nêu X = 71 + k27t không là nghiêm thì đặt t = tan ~ . 1-t2 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Giải phương trình: sin2x - s1nx = 0. ốịíài sin2x - sinx = 0 sinx(sinx - 1) = 0 2. Giải các phương trình: a) 2cos2x - 3cosx +1=0; a) Đặt t = cosx; -1 < t < 1 Ta có 2t2 - 3t + 1 = 0 sin X = 0 sinx = 1 X = kĩt X = 7- + k2n. 2 b) 2sin2x + V2sin4x = 0. (k e Z) Ốịlải 't = 1 cosx = 1 1 1 t = - cosx = - 2 L 2 L X = k2ĩi X = ±-^ + k2rc. 3 (k e Z) b) 2sin2x + 72 sin4x = 0 2sin2x(l + 72 cos2x) = 0 sin2x = 0 cos2x = - 72 x = k-. 2' X = ±-- + krc. 8 (k e Z) 3. Giải các phương trình: a) sin2 - 2cos^ + 2 = 0; 2 2 2tan2x + 3tanx +1=0; b) 8cos2x + 2sinx -7 = 0; tanx - 2cotx +1=0. Ốjiải a) sin24-2cos^ + 2 = 0 1 - cos2^-2cos^ + 2 = 0 cos2^ + 2cos; 2 2 2 2 2 í cos^ = l ^ = k2rc X = k4ĩt (k G Z) cos^ = -3 (loại) ỵ ' 'b) 8cos2x + 2sinx - 7 = 0 8(1 - sin2x) + 2sinx -7 = 0 8sin2x - 2sinx - 1 = 0 sin x = 4 2 sin X = - - L' X = -^ + k2n; X = + k2ji 6 6 X = arcsin I - 4 I + k2ĩi; X = n - arcsin (k e Z) + k2n tan X = -1 c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0 X = - - + kĩt, 4 tan X = - X = arctan -4 + krr. 2. 't = 1 tan X = 1 t =-2 tan X = -2 L X = -7 + krt 4 X = arctan (-2) + krt 4. Giải các phương trinh: a) 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0; (k e Z) c) sin2x + sin2x - 2cosJx = 4 ; 2 tan X = 1 2tan2x + tanx - 3 = 0 tan X = - 3 ! X = - + kĩi 4 X = arctan (-1) (k G Z) + k?t b) Ta có với cosx = 0 thì sin2x = 1 nên giá trị X mà cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vê phương trình cho cos2x * 0 ta được 3tan2x - 4tanx + 5 = 2( 1 + tan2x) tan2x - 4tanx + 3 = 0 tan X = 1 tan X = 3 X = -7 + krc 4 (k e Z) X = arctan 3 + kn Đặt t = tanx ta có phương trình t - - + l = 0t2 + t- 2 = 0 t b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2; 2cos2x - 3 Ự3 Sin2x - 4sin2x = -4. íìiẰi Ta có với COSX = 0 thì sin2x = 1 nên giá tri X mà cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vê phương trình cho cos2x * 0 được Ta có với sin2x + sin2x - 2cos2x = Ậ sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = - 2 Giá trị X mà cox = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vê phương trình cho COS2X * 0 ta được: 2tan2x + 4tanx -4=1 + tan2x o tan X + 4tanx -5 = 0 it tan X = 1 tan X = -5 X = - + kn 4 ' (k e Z) 6cos2x - 6 73 sinxcosx = 0 cosx (cosx - 73 sinx) = 0 cos X = 0 71 1 X = - + ktt 2 X = - + kĩt 2 /- ° cos X - 73 sin X = 0 r , * ^3 tan X = -- 3 X = - + kít. 6 Giải các phương trình a) cosx - 73sinx= 72; b) 3sin3x - 4cos3x = 5; c) 2sinx + 2cosx - 72 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0 ỐịiẢl a) Chia hai vế phương trình cho FW =■ 2 ta được: d) X - arctan (-5) + kn 2cos2x - 6 73 sinxcosx - 4sin2x + 4 = 0 (k e Z) 72 - cosx 2 -- sinx = -- cosxcos 77 - sin 77 sinx = 2 2 3 3 2 COS (X + 7- ) = = COS - 3 2 4 n 71 , l.n. X + - = - + k2rc n 71 l.o_ X + - = + k2n. (k e Z) 3 4 71 - _ + k2rt 12 7- , X = - 7-7 + k2-t. 12 (k e Z) Chia hai vế phương trình cho ^32 + (-4)2 = 5 ta được 4 - sin 3x - - cos3x = 1 sin3xcosa - sinacos3x = 1 5 5 (trong đó cosa = Ệ và sincx = 4 ) 5 Ta có: sin(3x - a) = sin^ 3x - a = -^ + k27t X = 7 + -r + k^7,keZ 2 2 6 3 3 2 72 sin X + ^ = 72 . 7t = - = sin - 6 o sin Ị X + 71 _ 7t , X + - = 77 + k2ĩt 6 ,71 5ĩt . X + - = -- + k2n 4 6 X = --777 + k2rc 12 _ 771 , , X = -777 + k2z 12 (k e Z) Ta có 2sinx + 2cosx - 72 = 0 2(sinx + cosx) = 72 7t Chia hai vế phương trình cho Võ2 + 122 = 13 ta được 5 12 --cos2x + - sin2x = 1 cos2xcosa + sin2xsina = 1 13 13 12 (trong đó cosa = -- và sina = -) 13 13 Ta có: cos(2x - a) = 1 2x - a = k2n X = - + kĩi, k e z 2 6. Giải các phương trình sau: tan(2x + 1 )tan(3x - 1) = 1; tanx + tan I X + I = 1. ốjiài Điều kiện cos(2x + 1) * 0, cos(3x - 1) * 0 tan(2x + l)tan(3x - 1) = 0 sin(2x + l)sin(3x - 1) = cos(2x + l)cos(3x - 1) cos(2x + l)cos(3x - 1) - sin(2x + l)sin(3x - 1) = 0 COS [(2x + 1) + (3x -1)] = 0 cos5x = 0 5x = ỊỊ + krc 2 x = ^- + k^,k e z 10 5 Điều kiện cosx * 0; cos(x + 4 tanx + tan(x + y) = 1 tanx + -- = 1 4 1 - tan X tanx - tan2x + tanx +1 = 1- tanx o tan2x - 3tanx = 0 tanx(tanx - 3) = 0 o tan X = 0 tan X = 3 X = kĩi X = arctan 3 + kĩi (k e Z). c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Giải các phương trình sau: a) 6cos2x + 5sinx -7 = 0; b) cos2x + 3sinx = 2; c) 1 + cosx + cos2x = 0; d) tan3x - 3tan2x - 2tanx + 4 = 0. *'Htíớnỹ ỉẫn Đặt t = sinx; t = -; t = - ; 3 Đặt t = cosx; t = 0; t = - - ; 2 Giải các phương trình sau: Đặt t = sinx; t = 1; t = - 2 Đặt t = tanx; t = 1; t = 1 +V5 a) sin2 X + 3tanzx + 4(tanx + cotx) -1=0; b) 2cos: 6x , , - 8x . + 1 = 3cos-^-; c) sinBx + COS8X = ^Xcos22x. 16 *Hướng dẫn ' 9 1 71 Áp dụng công thức: 1 + cot2x = , đặt t = tanx + cotx, X = -y + kn, k e z sin2 X 4 5 Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta được: 4t2 - 6t2 - 3t + 5 = 0 có nghiệm t = 1 sin8x + COS8X = (sin4x + cos4x)2 - 2sin4xcos4x = 11 Đặt t = sin22x (0 < t < 1). 3. Giải các phương trình sau: ■ vsm X + cos x; - ZSU1 xcus X fl-ịsin22xì -ịsin4 2x = 1-sin2 2x + ịsin42x <2 ) 8 8 sinx + cosx = 72 sin7x; sinx + cosx = cos2x; 1 + sinx + cosx + sinxcosx = 0; 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0. *Hưởng dẫn Áp dụng kết quả: sinx + cosx = 72 sin^x + Áp dụng công thức nhân đôi: cos2x = COS2X - sin2x Đưa phương trình về tích: (sinx + cosx)(l + sinx - cosx) =' 0 Đưa về tích: (1 + sinx)(l + cosx) = 0 Đưa về tích (sinx + cosx)(2cosx + 1) = 0.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chỉ Cần 20 Bước Là Giải Được Bất Kỳ Khối Rubik Nào, Nhưng Mất 36 Năm Nghiên Cứu Ta Mới Tìm Ra Con Số 20 ‘thần Thánh’
  • Bí Kíp Giải Rubik Cực Chuẩn Chỉ Trong ‘nháy Mắt’
  • Giải Bài Toán Yêu Nhau Cau Sáu Bổ Ba
  • Phân Tích Và Đọc Kết Quả Hồi Quy Đa Biến Trong Spss
  • Giáo Án Đại Số 10 Nâng Cao: Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài 25, 26, 27, 28, 29, 30 Trang 11 Sbt Toán 9 Tập 2
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Giải Bài Tập Sbt Toán 11 Bài 2: Dãy Số
  • Câu 1, 2, 3, 4 Trang 37 Vở Bài Tập (Sbt) Toán 5 Tập 2
  • VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp, tài liệu kèm theo lời giải chi tiết sẽ là nguồn thông tin hữu ích để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn. Mời các bạn học sinh tham khảo.

    Giải SBT Toán 11 bài 3

    Bài 3.1 trang 35 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Giải các phương trình sau

    a) cos2x−sinx−1=0

    b) cosxcos2x=1+sinxsin2x

    c) 4sinxcosxcos2x=−1

    d) tanx=3cotx

    Giải:

    a)

    cos2x−sinx−1=0

    ⇔1−2sin 2 x−sinx−1=0

    ⇔sinx(2sinx+1)=0

    b)

    cosxcos2x=1+sinxsin2x

    ⇔cosxcos2x−sinxsin2x=1

    ⇔cos3x=1⇔3x=k2π

    ⇔x=k2π/3, k∈Z

    c)

    4sinxcosxcos2x=−1

    ⇔2sin2xcos2x=−1

    ⇔sin4x=−1

    ⇔4x=−π/2+k2π, k∈Z

    ⇔x=−π/8+kπ/2, k∈Z

    d)

    tanx=3cotx. Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0.

    Ta có:

    tanx=3/tanx

    ⇔tanx=±√3

    ⇔x=±π/3+kπ, k∈Z

    Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.

    Bài 3.2 trang 35 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Giải các phương trình sau

    a) sinx+2sin3x=−sin5x

    b) cos5xcosx=cos4x

    c) sinxsin2xsin3x=1/4sin4x

    d) sin4x+cos4x=−1/2cos 2 2x

    Giải:

    a)

    sinx+2sin3x=−sin5x

    ⇔sin5x+sinx+2sin3x=0

    ⇔2sin3xcos2x+2sin3x=0

    ⇔2sin3x(cos2x+1)=0

    ⇔4sin3xcos 2 x=0

    b)

    cos5xcosx=cos4x

    ⇔1/2(cos6x+cos4x)=cos4x

    ⇔cos6x=cos4x

    ⇔6x=±4x+k2π,k∈Z

    ⇔[2x=k2π,k∈Z;10x=k2π,k∈Z⇔[x=kπ, k∈Z;x=kπ/5, k∈Z

    Tập {kπ, k ∈ Z} chứa trong tập {l.π/5, l∈Z} ứng với các giá trị l là bội số của 5, nên nghiệm của phương trình là: x=kπ5,k∈Z

    c)

    sinxsin2xsin3x=1/4sin4x

    ⇔sinxsin2xsin3x=1/2sin2xcos2x

    ⇔sin2x(cos2x−2sinxsin3x)=0

    ⇔sin2xcos4x=0

    d)

    ⇔1−1/2sin 22x+1/2cos 2 2x=0

    ⇔1+1/cos4x=0

    ⇔cos4x=−2

    Phương trình vô nghiệm (Vế phải không dương với mọi x trong khi vế trái dương với mọi x nên phương trình đã cho vô nghiệm).

    Bài 3.3 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Giải các phương trình sau

    a) 3cos 2 x−2sinx+2=0

    b) 5sin 2 x+3cosx+3=0

    Giải:

    a)

    3cos2x−2sinx+2=0

    ⇔3(1−sin 2 x)−2sinx+2=0

    ⇔3sin 2 x+2sinx−5=0

    ⇔(sinx−1)(3sinx+5)=0

    ⇔sinx=1

    ⇔x=π/2+k2π,k∈Z

    b)

    5sin 2 x+3cosx+3=0

    ⇔5(1−cos 2 x)+3cosx+3=0

    ⇔5cos 2 x−3cosx−8=0

    ⇔(cosx+1)(5cosx−8)=0

    ⇔cosx=−1

    ⇔x=(2k+1)π,k∈Z

    c)

    ⇔1−3/4(1−cos 22x)=4cos 2 2x

    ⇔13/4cos 2 2x=1/4

    ⇔13(1+cos4x/2)=1

    ⇔1+cos4x=2/13

    ⇔cos4x=−11/13

    ⇔4x=±arccos(−11/13)+k2π, k∈Z

    ⇔x=±14arccos(−11/13)+kπ/2, k∈Z

    d)

    ⇔−1/4+1−cos2x/2=1+cos2x/2) 2⇔−1+2−2cos2x=1+2cos2x+cos 2 2x

    ⇔cos 2 2x+4cos2x=0

    ⇔[cos2x=0;cos2x=−4 (Vônghiệm)

    ⇔2x=π/2+kπ, k∈Z

    ⇔x=π/4+k.π/2, k∈Z

    Bài 3.4 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Giải các phương trình sau

    a) 2tanx−3cotx−2=0

    b) cos 2 x=3sin2x+3

    c) cotx−cot2x=tanx+1

    Giải

    a) 2tanx−3cotx−2=0 Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0

    Ta có

    2tanx−3/tanx−2=0

    ⇔2tan 2 x−2tanx−3=0

    ⇔tanx=1±√7/2

    Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

    b) cos 2 x=3sin2x+3

    Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:

    1=6tanx+3(1+tan 2 x)

    ⇔3tan 2 x+6tanx+2=0

    ⇔tanx=−3±√3/3

    c) cotx−cot2x=tanx+1 (1)

    Điều kiện: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Khi đó:

    (1)⇔cosx/sinx−cos2x/sin2x=sinx/cosx+1

    ⇔2cos 2x−cos2x=2sin 2 x+sin2x

    ⇔2(cos 2x−sin 2 x)−cos2x=sin2x

    ⇔cos2x=sin2x

    ⇔tan2x=1

    ⇒2x=π/4+kπ, k∈Z

    ⇒x=π/8+k.π/2, k∈Z(1)

    Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

    Bài 3.5 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Giải các phương trình sau

    a) cos 2x+2sinxcosx+5sin 2 x=2

    b) 3cos 2x−2sin2x+sin 2 x=1

    c) 4cos 2x−3sinxcosx+3sin 2 x=1

    Giải

    a) cos 2x+2sinxcosx+5sin 2 x=2

    Rõ ràng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos 2 x ta được:

    ⇔3tan 2 x+2tanx−1=0

    b) 3cos 2x−2sin2x+sin 2 x=1

    Với cosx = 0 ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm x=π/2+kπ, k∈Z

    Trường hợp cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos 2 x ta được:

    ⇔4tanx=2

    ⇔tanx=1/2

    ⇔x=arctan1/2+kπ, k∈Z

    Vậy nghiệm của phương trình là x=π/2+kπ, k∈Z và x=arctan1/2+kπ, k∈Z

    c) 4cos 2x−3sinxcosx+3sin 2 x=1

    Rõ ràng cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:

    ⇔2tan 2 x−3tanx+3=0

    Phương trình cuối vô nghiệm đối với tanx, do đó phương trình đã cho vô nghiệm

    Bài 3.6 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Giải các phương trình sau

    a) 2cosx−sinx=2

    b) sin5x+cos5x=−1

    c) 8cos 4 x−4cos2x+sin4x−4=0

    Giải

    a)

    2cosx−sinx=2

    ⇔√5(2/√5cosx−1/√5.sinx)=2

    Kí hiệu α là góc mà cosα=2/√5 và sinα=−1/√5, ta được phương trình

    cosαcosx+sinαsinx=2/√5

    ⇔cos(x−α)=cosα

    ⇔x−α=±α+k2π,k∈Z

    ⇔[x=2α+k2π,k∈Z;x=k2π,k∈Z

    b)

    sin5x+cos5x=−1

    ⇔√2(√2/2sin5x+√2/2cos5x)=−1

    ⇔cosπ/4sin5x+sinπ/4cos5x=−√2/2

    ⇔sin(5x+π/4)=sin(−π/4)

    c)

    8cos 4 x−4cos2x+sin4x−4=0

    ⇔8(1+cos2x/2) 2 −4cos2x+sin4x−4=0

    ⇔2(1+2cos2x+cos 2 2x)−4cos2x+sin4x−4=0

    ⇔2cos 2 2x+sin4x−2=0

    ⇔1+cos4x+sin4x−2=0

    ⇔cos4x+sin4x=1

    ⇔sin(4x+π/4)=sin.π/4

    d)

    ⇔1−3sin 2xcos 2 x+1/2sin4x=0

    ⇔1−3(sin2x/2) 2+1/2sin4x=0

    ⇔1−3/4.sin 2 2x+1/2sin4x=0

    ⇔1−3/4.1−cos4x/2+1/2sin4x=0

    ⇔8−3+3cos4x+4sin4x=0

    ⇔3cos4x+4sin4x=−5

    ⇔3/5cos4x+4/5sin4x=−1

    Kí hiệu α là cung mà sinα=3/5,cosα=4/5 ta được:

    ⇔sin(4x+α)=−1

    ⇔4x+α=3π/2, k∈Z

    ⇔x=3π/8−α/4+k.π/2, k∈Z

    Bài 3.7 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Giải các phương trình sau:

    a) 1+sinx−cosx−sin2x+2cos2x=0

    b) sinx−1/sinx=sin 2x−1/sin 2 x

    c) cosxtan3x=sin5x

    d) 2tan 2x+3tanx+2cot 2 x+3cotx+2=0

    Giải:

    a) 1+sinx−cosx−sin2x+2cos2x=0 (1)

    Ta có:

    1−sin2x=(sinx−cosx) 2;

    =−2(sinx−cosx)(sinx+cosx)

    Vậy

    (1)⇔(sinx−cosx)(1+sinx−cosx−2sinx−2cosx)=0

    ⇔(sinx−cosx)(1−sinx−3cosx)=0

    trong đó, cosα=3/√10, sinα=1/√10

    b) sinx−1/sinx=sin 2x−1/sin 2 x (2)

    Điều kiện sinx ≠ 0

    (2)⇔(sinx−sin 2x)+(1/sin 2 x−1/sinx)=0

    ⇔sinx(1−sinx)+1−sinx/sin 2 x=0

    ⇔(1−sinx)(sin 3 x+1)=0

    ⇔[sinx=1;sinx=−1⇒x=π/2+kπ, k∈Z

    (thỏa mãn điều kiện)

    c) cosxtan3x=sin5x(3)

    Điều kiện: cos3x ≠ 0. Khi đó,

    (3)⇔cosxsin3x=cos3xsin5x

    ⇔1/2(sin4x+sin2x)=1/2(sin8x+sin2x)

    ⇔sin8x=sin4x

    Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:

    x=kπ,k∈Z và x=π/12+k.π/6, k∈Z

    d) 2tan 2x+3tanx+2cot 2 x+3cotx+2=0 (4)

    Điều kiện: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0. Khi đó,

    (4)⇔2(tan 2x+cot 2 x)+3(tanx+cotx)+2=0

    ⇔2[(tanx+cotx) 2 −2]+3(tanx+cotx)+2=0

    Đặt t = tanx + cotx ta được phương trình

    2t 2+3t−2=0⇒t=−2,t=1/2

    Với t = -2 ta có tanx + cotx = -2

    ⇔tan 2 x+2tanx+1=0⇒tanx=−1

    ⇒x=−π/4+kπ, k∈Z

    (thỏa mãn điều kiện)

    Với t=1/2 ta có tanx+cotx=1/2⇔2tan 2 x−tanx+2=0

    Phương trình này vô nghiệm.

    Vậy nghiệm của phương trình (4) là x=−π/4+kπ, k∈Z

    Bài 3.8 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

    Giải phương trình

    cotx−tanx+4sin2x=2/sin2x

    Giải

    Hướng dẫn: Đối với những phương trình lượng giác chứa tanx, cotx, sin2x hoặc cos2x, ta có thể đưa về phương trình chứa cosx, sinx, sin2x, hoặc cos2x ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ t = tanx để đưa về một phương trình theo t.

    Cách 1: Điều kiện của phương trình:

    sin2x≠0⇔cos2x≠±1 (1)

    Ta có:

    cotx−tanx+4sin2x=2/sin2x

    ⇔cosx/sinx−sinx/cosx+4sin2x−2/sin2x=0

    ⇔cos 2x−sin 2 x/sinx.cosx+4sin2x−2/sin2x=0

    ⇔2cos2x/sin2x+4sin2x−2/sin2x=0

    ⇔2cos2x+4sin 2 2x−2=0

    ⇔cos2x+2(1−cos 2 2x)−1=0

    ⇔2cos 2 2x−cos2x−1=0

    ⇔[cos2x=1(loại);cos2x=−1;2

    ⇔2x=±2π/3+k2π, k∈Z

    ⇔x=±π/3+kπ, k∈Z

    Cách 2. Đặt t = tanx

    Điều kiện t ≠ 0

    Phương trình đã cho có dạng

    ⇔[t=0(loại do(2));t=±√3

    tanx=±√3⇔x=±π/3+kπ, k∈Z

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Sbt Toán 11 Bài 3: Hàm Số Liên Tục
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 3: Cấp Số Cộng
  • Giải Sbt Toán 11 Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số
  • Giải Bài Tập Sbt Toán 8 Bài 12: Hình Vuông
  • Giải Sbt Toán 8 Bài 12: Hình Vuông
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Viết Phương Trình Hóa Học Hay, Chi Tiết
  • Phương Trình Hóa Học Là Gì? Hướng Dẫn Cách Cân Bằng Phương Trình Hóa Học
  • Giải Bài Tập Hóa 8 Bài 22: Tính Theo Phương Trình Hóa Học
  • Bài Toán Tính Theo Phương Trình Hóa Học 8 Hay Nhất
  • Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8
  • Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác – Đại Số & Giải Tích Lớp 11

    Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

    Nội dung bài học cuối cùng trong chương I hàm số lượng giác và phương trình lượng giác các em sẽ được giới thiệu đến các em phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác, phương trình bậc hai đối với sin-cos-tan-cot, phương trình bậc nhất với sinx và cosx. Thông qua bài học nội dung lý thuyết các em sẽ được tham khảo một vài ví dụ, tạo thành một nền tảng để giải các phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.

    Tóm Tắt Lý Thuyết

    1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

    a) Định nghĩa:

    b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

    2. Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx

    a) Dạng phương trình

    b) Cách giải

    c) Chú ý

    3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

    a) Dạng phương trình

    b) Cách giải

    Các Bài Tập & Lời Giải Bài Tập SGK Bài 3 Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

    Bài Tập 1 Trang 36 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

    Giải phương trình: ()(sin^2x – sinx = 0.)

    Bài Tập 2 Trang 36 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

    Giải các phương trình sau:

    a) (2cos^2x – 3cosx + 1 = 0)

    b) (2sin2x + sqrt 2sin4x = 0)

    Bài Tập 3 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

    Giải các phương trình sau:

    a) (sin^2(frac{x}{2}) – 2cos(frac{x}{2}) + 2 = 0);

    b) ( 8cos^2x + 2sinx – 7 = 0);

    c) (2tan^2x + 3tanx + 1 = 0);

    d) ( tanx -2cotx + 1 = 0).

    Bài Tập 4 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

    Giải các phương trình sau:

    a) (2sin^ 2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0)

    b) (3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2)

    c) (3sin^2x – sin2x + 2cos^2x = frac{1}{2})

    d) (2cos^2x -3sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4)

    Bài Tập 5 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

    Giải các phương trình sau:

    a) (cosx – sqrt{3}sinx = sqrt{2})

    b) (3sin3x – 4cos3x = 5)

    c) (2sin2x + 2cos2x -sqrt{2} = 0)

    d) (5cos2x + 12sin2x – 13 = 0)

    Bài Tập 6 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11

    Giải phương trình:

    a. (tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1)

    b. (tanx + tan(x + frac{π}{4}) = 1)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Trang 87, 88 Sgk Đại Số 10 Bài 1, 2, 3, 4, 5
  • Giải Bài 1,2,3,4,5 Trang 88 Sgk Hình Học Lớp 10: Phương Trình Đường Elip
  • Chuyên Đề: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Chuyen De Giai Bai Toan Bang Cach Lap Phuong Trinh Lop 8
  • Bài Tập: Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn
  • Giải Bài Tập Trang 36, 37 Sgk Giải Tích 11: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Toán Lớp 6 Bài 11: Dấu Hiệu Chia Hết Cho 2 Và 5
  • Giải Bài Tập Tiếng Anh 6 Unit 6: Places
  • Giải Bài Tập Trang 67 Sgk Toán 1: Luyện Tập Phép Cộng, Phép Trừ Trong Phạm Vi 6
  • Giải Sách Bài Tập Toán 6 Trang 66, 67 Câu 5, 6, 7, 8 Tập 1
  • Giải Bài Tập Trang 67 Sgk Sinh Lớp 6: Cấu Tạo Trong Của Phiến Lá
  • Giải bài tập môn Toán lớp 11

    Giải bài tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp . Lời giải bài tập Toán 11 này hướng dẫn các bạn học sinh giải các bài tập được tổng hợp trong SGK trang 36, 37, từ đó các bạn sẽ hiểu và nắm chắc bài học hơn. Mời các bạn tham khảo.

    Giải bài tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11

    Giải bài tập Toán 11 1, 2, 3, 4, 5, 6 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp

    Bài 1 Trang 36 SGK Giải tích lớp 11

    sin²x – sinx = 0

    Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:

    Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản:

    Lời giải chi tiết

    Vậy nghiệm của phương trình là

    Bài 2 Trang 36 SGK Giải tích lớp 11

    Giải các phương trình sau: a) 2cos²x – 3cosx + 1 = 0; b) 2sin2x + √2sin4x = 0. Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:

    a) Đặt t = cosx, t ∈ thì phương trình trở thành

    c) ĐK:

    Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

    d) ĐK:

    Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

    Bài 4 Trang 37 SGK Giải tích lớp 11

    Giải các phương trình sau:

    a) 2sin²x + sinxcosx – 3cos²x = 0

    b) 3sin²x – 4sinxcosx + 5cos²x = 2

    Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:

    c) 3sin²x – sin2x + 2cos²x = 1/2

    d) 2cos²x – 3√3sin2x – 4sin²x = -4

    Khi

    Chia cả hai vế của phương trình cho

    Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

    Vậy nghiệm của phương trình là:

    Khi

    Chia cả hai vế của phương trình cho

    Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

    Vậy nghiệm của phương trình là

    Khi

    Chia cả hai vế của phương trình cho

    Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

    Vậy nghiệm của phương trình là :

    Khi

    Giải các phương trình sau:

    Chia cả hai vế của phương trình cho

    Vậy nghiệm của phương trình là

    Bài 5 Trang 37 SGK Giải tích lớp 11

    a) cosx – √3sinx = √2

    Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:

    b) 3sin3x – 4cos3x = 5

    c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0

    d) 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0

    Vậy nghiệm của phương trình là

    Đặt

    Vậy nghiệm của phương trình là

    Vậy nghiệm của phương trình là

    Đặt

    Vậy nghiệm của phương trình là

    Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:

    Bài 6 Trang 37 SGK Giải tích lớp 11

    a. tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1

    b. tanx + tan(x + π/4) = 1

    Vậy nghiệm của phương trình là

    Vậy nghiệm của phương trình là

    Giải phương trình lượng giác là loại bài tập tương đối phức tạp và là câu quan trọng trong đề thi, tuy nhiên chỉ cần nắm được phương pháp giải là các em có thể làm được. Để giải bài tập trang 36, 37 SGK Đại số và Giải tích 11 – Một số phương trình lượng giác một cách hiệu quả, các em cần áp dụng linh hoạt các kiến thức như sau:

    Cách giải phương trình bậc nhất: Đưa số hạng không chứa ẩn qua bên phải dấu bằng và đổi dấu, tiến hành chia hai vế của phương trình cho một số khác O, đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

    Cách giải phương trình bậc hai:

    • Đặt ẩn phụ kèm theo điều kiện của ẩn phụ.
    • Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn phụ.
    • Giải phương trình bậc hai đó, tìm nghiệm (chú ý đối chiếu với điều kiện).

    Các công thức lượng giác cơ bản bao gồm: Công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức nhân ba,…

    Học thuộc bảng giá trị lượng giác của một số cung đặc biệt để tìm nghiệm cho chính xác.

    Bài tiếp theo:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Tin Học 11 Trang 35, 36
  • Giải Sách Bài Tập Toán 9 Tập 1 Trang 6 Bài 10, 11
  • Giải Bài Tập Trang 10, 11 Sgk Toán 9 Tập 1 Bài 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
  • Giải Bài Tập Hóa 10 Nâng Cao Sách Giáo Khoa Chương Nguyên Tử
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Giải Tích 12 Trang 18 Sách Giáo Khoa
  • Lý Thuyết Giải Các Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Thường Gặp

    --- Bài mới hơn ---

  • Giáo Án Đại Số 11 Chương 1 Tiết 11: Thực Hành Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Bằng Máy Tính Bỏ Túi Casio Fx 500Ms
  • Phương Trình Hóa Học Đầy Đủ Chi Tiết Nhất
  • Kỹ Thuật Giải Phương Trình Hàm
  • Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Hàm Số Lượng Giác
  • Cách Viết Và Cân Bằng Phương Trình Hoá Học
  • Các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp

    Đây là các dạng phương trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11

    1. Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc nhất

    Chỉ cần thực hiên 2 phép biến đổi tương đương: bằng cách chuyển số hạng không chứa sang vế phải và đổi dấu, sau đó chia 2 vế của phương trình cho một số # 0 là ta có thể đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

    2. Phương pháp giải phương trình lượng giác bậc hai

    Đặt ẩn phụ ta đưa được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Sau đó giải phương trình bậc hai này. Nếu phương trình bậc hai này có nghiệm thì thế giá trị của nghiệm này với phương trình ẩn phụ ta sẽ tìm được nghiệm cho phương trình

    3. Phương pháp giải phương trình dạng asinx + bcosx = c với a, b đều # 0

    Cách 1: Chia hai vế phương trình cho và gọi α là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vectơ = (a ; b) thì phương trình trên trở thành một phương trình mà ta đã biết cách giải: sin(x + α) =

    Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng sinx + cosx = và đặt α = arctan thì tanα = , phương trình trở thành :

    tanαsinx + cosx = ⇔ cos(x – a) =

    Phương trình này chúng ta đã biết cách giải.

    Chú ý : Để phương trình sin(x + α) = có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

    Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm

    4. Phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác

    Bằng việc sử dụng các công thức, phép biến đổi lượng giác chúng ta sẽ đưa các phương trình khó và phức tạp về dạng phương trình bậc hai, bậc nhất như trên. Ví dụ với phương trình bậc hai đối với sinx và cosx:

    a. + chúng tôi + = d

    thì chúng ta có thể đưa về dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng cách chia phương trình cho .

    Bên trên là những phương trình lượng giác cơ bản. Ngoài ra còn có nhiều dạng phương trình lượng giác khác, Toán cấp 3 sẽ tiếp tục giới thiệu với các em ở các bài viết sau.

    Nguồn: Trường cao đẳng y Dược Pasteur

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Giai Thừa Với Bài Toán Tổ Hợp
  • Giai Thừa Lớn Chứa Giai Thừa Bé Và Ứng Dụng
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 Es Plus
  • Giải Toán 10 Bài 2. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn
  • Một Số Lưu Ý Khi Giải Phương Trình Lượng Giác

    --- Bài mới hơn ---

  • Cđ Giải Hpt Không Mẫu Mực
  • Kĩ Thuật Giải Hệ Phương Trình
  • Giải Hệ Pt Bằng Phương Pháp Thế
  • Chủ Đề 11: Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • Phương Pháp Giải Một Số Dạng Phương Trình Môn Toán Ở Cấp Thcs
  • Trong các kí thì chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giác này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí do mà các em học sinh thường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều công thức biến đổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình đã cho. Trong chuyên đề này tôi xin trao đổi một chút kinh nghiệm nho nhỏ với các em học sinh đang học lớp 11,12 và những em đang ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH năm tới.

    Trước hết thì các bạn cần nắm được nh ữ ng phương trình lượng giác thường gặp. Trong những phương trình này tôi xin bàn với các bạn một chút về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos.

    Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậc hai mà trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao hơn. Minh chứng là đề thi khối B – 2008

    “Giải phương trình : (ĐH Khối B – 2008 ).”

    Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi là đẳng cấp bậc k nếu .

    Từ đây ta có thể định nghĩa được phương trình đẳng cấp bậc k đối với phương trình chứa sin và cos là phương trình có dạng trong đó:

    Tuy nhiên ta xét phương trình : mới nhìn ta thấy đây không phải là phương trình đẳng cấp, những các bạn lưu ý là nên ta có thể viết lại phương trình đã cho như sau: , dễ thấy phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc 3. Do vậy với phương trình lượng giác thì ta có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp như sau:

    “Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.”

    Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình một hàm số là .

    Ví dụ: Giải các phương trình sau

    1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nêu trên

    2)

    3)

    Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì đã có phương pháp giải).

    Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta không ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực. Không riêng gì phương trình lượng giác không mẫu mực mà đối với mọi phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit.. để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi phương trình đã có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phương trình tích và đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác.

    Ví dụ 1:Giải phương trình : (Trích đề thi ĐH Khối A – 2008 )

    Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện hai cung và cung .

    Các bạn lưu ý là ta luốn tính được giá trị đúng các giá trị lượng giác của các cung có dạng trong đó nên điều đầu tiên ta nghĩ tới là sử dụng công thức cộng để phá bỏ hai cung đó

    Ta có:

    Nên phương trình đã cho

    Nhận xét: * Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho chúng ta ngoài cách đã nêu ở trên ta có thể làm theo cách khác như sau:

    .

    .

    * Ta thấy sau khi phá bỏ hai cung và cung thì trong phương trình chỉ còn lại một cung duy nhất nên ta dẽ biến đổi hơn. Điều này cũng hoàn toàn tự nhiên thôi phải không các bạn? Khi giải các bài toán toán học hay các bài toán trong cuộc sống đặc biệt là bài toán so sánh thì điều chúng ta cần làm là đưa về cùng một đơn vị hay là cùng một dạng. Chẳng hạn tôi xin nêu ví dụ đơn giản nhưng vô cùng thú vị mà tôi thường hỏi các em học sinh là 5 quả cam trừ 3 quả cam còn mấy quả ? và học sinh chỉ cười và trả lời ngay bằng hai quả. Thế tôi hỏi tiếp 5 quả cam trừ 3 quả táo bằng bao nhiêu? Lúc này trên khuôn mặt các em không còn những nụ cười nữa mà thay vào đó là một sự tò mò và cuối cùng thì các em trả lời là không trừ được, dĩ nhiên câu hỏi tiếp theo là vì sao? Các em trả lời là vì không cùng một loại!

    Chắc các em hiểu tôi muốn nói điều gì rồi chứ ?

    Vậy nguyên tắc thứ nhất tôi xin đưa ra cho các bạn là:

    Đưa về cùng một cung .

    Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối D – 2006 ).

    Lời giải:

    Vận dụng nguyên tắc trên ta sẽ chuyển hai cung và về cung

    Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta có:

    Đặt .

    Ta có:

    Từ đây các bạn tìm được

    * Trong SGK không đưa ra công thức nhân ba tuy nhiên các em cũng nên biết công thức này nếu trong lúc khó khăn có thể mang ra sử dụng vì chứng minh nó không mấy khó khăn

    * Cách giải trên không phải là cách giải duy nhất và cũng không phải là cách giải hay nhất nhưng cách giải đó theo tôi nó tự nhiên và các bạn dẽ tìm ra lời giải nhất. Cách giải ngắn gọn và đẹp nhất đối với phương trình trên là ta biến đổi về phương trình tích như sau

    PT

    giải phương trình này ta được nghiệm như trên.

    Ví dụ 3: Giải phương trình : (Dự bị Khối B – 2003 ).

    Lời giả i:

    Ta chuyển cung về cung

    Ta có:

    Nên phương trình đã cho

    Đặt Ta có: .

    .

    Từ đây ta tìm được các nghiệm

    Chú ý : Vì trong phương trình chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của cos, do đó ta có thể chuyển về cung 2x nhờ công thức hạ bậc và công thức nhân đôi .

    PT

    .

    Ví dụ 4: Giải phương trình : (ĐH Khối D – 2008 ).

    Lời giải: Trong phương trình chỉ chứa hai cung và , nên ta chuyển cung về cung .

    PT

    .

    Tuy nhiên không phải phương trình lượng giác nào ta cũng đưa về được cùng một cung. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:

    Ví dụ 5 : Giải phương trình : .

    phương trình này việc đưa về một cung gặp quá nhiều khó khăn, vì trong phương trình xuất hiện bốn cung !

    Tuy nhiên giữa các cung này cũng có mối quan hệ nhất định đó là quan hệ hiệu hai cung bằng nhau , hơn nữa hai vế của hai phương trình là tích của hai hàm số lượng giác nên ta nghĩ đến công thức biến đổi tích thành tổng. Thật vậy :

    Phương trình

    Cũng tương tự như trên vì hai vế của phương trình là tổng của các hàm số lượng giác, hơn nữa ta nhận thấy mỗi vế của phương trình đều chứa ba cung x, 2x, 3x và ba cung này có quan hệ điều này gợi ta nhớ đến công thức biến đổi tổng thành tích.

    Phương trình

    Qua hai ví dụ trên tôi muốn đưa ra nguyên tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng là

    Biến đổi tích thành tổng và ngược lại

    Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác sin và cos thì ta có thể biến đổi thành tổng (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để thực hiện các phép rút gọn). Nếu xuất hiện tổng thì ta biến đổi về tích (Mục đích làm xuất hiện thừa số chung ), đặc biệt là ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau.

    Với phương trình này ta không thể chuyển về một cung, cũng không thể biến đổi tổng thành tích được! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao mà ta lại không sử dụng biến đổi tổng thành tích được là các hàm số xuất hiện ở hai vế của phương trình đều chứa lũy thừa bậc hai mà công thức biến đổi chỉ áp dụng cho các hàm số có lũy thừa bậc nhất thôi. Điều này dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai về bậc nhất và để thực hiện điều này ta liên tưởng đến công thức hạ bậc.

    Phương trình

    .

    Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến đổi lượng giác. Tuy nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do đó nếu trong phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc để thuận tiện cho việc biến đổi . Vậy nguyên tắc thứ ba mà tôi muốn trao đổi với các bạn là nguyên tắc hạ bậc

    Phương trình

    .

    Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác .

    * Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt . Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng ( Vì công thức nhân ba chúng ta không được học).

    Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình Đk: .

    Phương trình

    Chú ý : Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin và cos và lúc đó chúng ta dễ dàng tìm được lời giải hơn. Chú ý khi gặp phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trình

    Điều kiện : .

    Phương trình

    .

    Trên là một số nguyên tắc chung thường được sự dụng trong các phép biến đổi phương trình lượng giác. Mục đích của các phép biến đổi đó là nhằm :

    1. Đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là đưa về phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác).

    Phương trình .

    Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho (do ), ta được phương trình :

    thỏa điều kiện .

    Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về của phương trình cho hoặc sử dụng công thức và chuyển phương trình ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên.

    Phương trình

    (do )

    .

    Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: và .

    Nên phương trình

    .

    .

    Nên phương trình

    .

    .

    2. Đưa phương trình về phương trình dạng tích :

    Tức là ta biến đổi phương trình về dạng . Khi đó việc giải phương trình ban đầu được quy về giải hai phương trình : .

    Trong mục đích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung. Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung :

    * Các biểu thức ;

    nên chúng có thừa số chung là .

    * Các biểu thức có thừa số chung là .

    * có thừa số chung . Tương tự có thừa số chung .

    .

    .

    . Mặc dù hai cách biến đổi trên khác nhau nhưng chúng đều dựa trên nguyên tắc “đưa về một cung”.

    Phương trình

    .

    Giải: Đk: Phương trình

    .

    Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý là có ba công thức để thay nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp.

    Nguyễn Tất Thu @ 22:40 19/02/2012

    Số lượt xem: 2362

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 4: Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
  • Những Lưu Ý Khi Giải Bài Toán Bất Phương Trình Dành Cho Học Sinh Lớp 9
  • Chương Ii. §2. Hoán Vị
  • Bàn Về Hai Dạng Toán Của Giải Tích Tổ Hợp
  • Một Số Phương Pháp Giải Các Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực

    --- Bài mới hơn ---

  • Tìm Điều Kiện Của Tham Số M Để Phương Trình Lượng Giác Có Nghiệm
  • Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Dạy Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Các Dạng Toán Bất Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Logarit Cách Giải Và Bài Tập
  • Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp Và Bài Tập Áp Dụng
  • Có những lúc mới nhìn vào phương trình ta thấy nó có vẻ “không bình thường”, chẳng hề có dáng dấp của bất kỳ loại phương trình nào đã học. Những lúc ấy ta nên nghĩ tới việc đánh giá các biểu thức ở hai vế của phương trình. Nó có thể giúp ta tìm ra một lời giải đẹp.

    Ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức hoặc miền xác định, miền giá trị của hàm số để đánh giá các biểu thức ở cả hai vế của phương trình, từ đó lập được phương trình mới để giải.

    MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC: 1) Loại nghiệm không thích hợp: Hầu hết các phương trình lượng giác, trước khi biến đổi phương trình ta phải Đặt điều kiện cho ẩn. Do đó trước khi kết luận nghiệm của phương trình, ta phải kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thỏa mãn các điều kiện đã đặt ra không? Ta có thể dùng đường tròn lượng giác để thực hiện điều này. Bài tập áp dụng: 1. Giải phương trình 2. Giải các phương trình: 3. Giải các phương trình: a) tanxtan3x = 0; b) (2cosx - - 3)(tan5x - 1) = 0; 4. Cho phương trình a) Giải phương trình khi m = 1; b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 5. Cho phương trình a) Giải phương trình khi m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 6. Cho phương trình a) Giải phương trình khi m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 2) Đưa phương trình về dạng tích: * Cách giải: Những phương trình thuộc loại này yêu cầu phải có kỹ năng biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định hướng cho phép giải trong quá trình biến đổi. Có thể dùng các công thức lượng giác để làm xuất hiện nhân tử chung rồi đặt thừa số chung đó. Công thức biến đổi tổng thành tích và các hằng đẳng thức rất hữu hiệu đối với loại phương trình này. f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) sinx sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x, . . . cosx sin2x, cos3x, tan2x, tan3x, cotx, . . . 1 + cosx 1 - cosx 1 + sinx 1 - sinx cosx + sinx cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cotx, tanx - cotx cosx - sinx cos2x, cot2x, 1 - sin2x, 1 - tanx, 1 = cotx, tanx - cotx Bài tập áp dụng: 1. Tìm a để phương trình sin2(x - p) - sin(3x - p) = asinx có nghiệm x ¹ kp. 2. Giải các phương trình: a) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0; b) cos3x - 2cos2x + cosx = 0; c) sin2x + sin22x + sin23x = 1,5; d) cos3xcos4x + sin5xsin2x = 0,5(cos2x + cos4x). 3. Giải các phương trình: 4. Giải và biện luận theo a phương trình 5. Giải các phương trình: a) 1 + sinx + cosx + tanx = 0; 6. Giải các phương trình: a) tan22x.tan23x.tan5x = tan22x - tan23x + tan5x; f) cotx - tanx = sinx + cosx. 7. Tìm m để phương trình cos3x - cos2x + mcosx - 1 = 0 có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc 8. Tìm m để phương trình sin3x + sin2x = msinx có đúng 8 nghiệm thuộc 9. Tìm m để phương trình (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos2x có đúng hai nghiệm thỏa mãn 0 < x < p. 10. Giải phương trình 3cos4x - 2cos23x = 1. 3) Dùng bất đẳng thức: Có những lúc mới nhìn vào phương trình ta thấy nó có vẻ "không bình thường", chẳng hề có dáng dấp của bất kỳ loại phương trình nào đã học. Những lúc ấy ta nên nghĩ tới việc đánh giá các biểu thức ở hai vế của phương trình. Nó có thể giúp ta tìm ra một lời giải đẹp. Ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức hoặc miền xác định, miền giá trị của hàm số để đánh giá các biểu thức ở cả hai vế của phương trình, từ đó lập được phương trình mới để giải. Bài tập áp dụng: 1. Giải các phương trình: c) tan4x + tan4y + 2cot2xcot2y = 3 + sin2(x + y). 2. Giải các phương trình: a) sin4xsin16x = 1; 3. Giải các phương trình: 4. Tìm các số x, y thỏa mãn: a) 2 + 2sinx(siny + cosy) = cos2x; b) cosx + cosy - cos(x + y) = 1,5; c) sin2x + sin2y + sin2(x + y) = 2,25; d) tan2x + tan2y + tan2(x + y) = 1. 5. Chứng minh rằng phương trình sau đây vô nghiệm: sin2xsin5xsin7x = 1. 6. Giải các phương trình: a) sin3x + cos5x = 1; b) (sin4x + sin2x)2 = 5 - sinx. 7. Giải phương trình: 4) Dùng tính chất của hàm số: Các phương trình thuộc loại này là các phương trình "không bình thường". Tính chất được sử dụng ở đây là tính chất biến thiên của hàm số, đôi khi ta còn kết hợp với miền giá trị của hàm số. Để giải phương trình thuộc dạng này, ta phải xét được sự biến thiên của hàm số trên một khoảng xác định nào đó, rồi đánh giá giá trị của hàm số trên đó, hoặc kết hợp tìm miền giá trị của hàm số, từ đó suy ra giá trị của ẩn cần tìm. Hàm số nói ở đây là hàm số mà ta phải tự nhận diện từ phương trình đã cho. Những phương trình dạng này sẽ được xem xét nhiều hơn khi ta dùng công cụ đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số. Bài tập áp dụng: 1. Giải các phương trình: 2. Tìm m để phương trình: sin4x + (1 + sinx)4 = m có nghiệm. 3. Giải các phương trình: c) sin(px) = x - 1; d) cos2x.sin(sinx) + sinx .cos(sinx) = 0. 4. Tìm nghiệm x Î (0; p) của phương trình: 5. Tìm m để phương trình có nghiệm: a) cos4x + (2 - cosx)4 = m. Bài ôn tập: 1. Giải các phương trình a) b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2. (ĐH An ninh 1998). 2. Cho phương trình (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 2; b) Khi m ≠ 0 và m ≠ , phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [20π; 30π]. (ĐH Cần thơ 1998). 3. Giải phương trình 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1) (ĐH Cần thơ 1998). 4. Giải phương trình (ĐH Bách khoa Hà nội 1998). 5. Giải phương trình (ĐH Công đoàn 1998). 6. Giải phương trình (ĐH Dược Hà nội 1998). 7. Giải các phương trình: a) 3cos4x - 2cos23x = 1; (ĐH Đà nẵng 1998). b) 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinxsin2x. 8. Giải phương trình tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) (ĐH Giao thông vận tải 1998). 9. Giải các phương trình: a) cos3x + sinx - 3sin2xcosx = 0; ; c) sinx = 2sin3x + cos2x. (ĐH Huế 1998). 10. Cho phương trình a) Giải phương trình khi b) Xác định α để phương trình có nghiệm. (ĐH Kiến trúc Hà nội). 11. Cho phương trình (ĐH Kiến trúc Hà nội). a) Giải phương trình khi m = 0,5; b) Xác định m Î Z để phương trình có nghiệm trong khoảng 12. Giải phương trình (ĐH Kinh tế quốc dân 1998). 13. Giải phương trình (ĐH Luật Hà nội 1998). 14. Cho phương trình sinx + mcosx = 1 (1) a) Giải phương trình (1) khi b) Tìm tất cả các giá trị của m để mọi nghiệm của phương trình (1) đều là nghiệm của phương trình msinx + cosx = m2 (2). 15. Giải các phương trình a) sin3x + cos2x = 1 + 2sinxcos2x; b) 1 + sinx + cosx + tanx = 0. (ĐH Ngoại ngữ 1998). 16. Giải các phương trình (ĐH Ngoại thương 1998). a) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x; b) cosxcoss4x + cos2xcos3x = 0. 17. Giải các phương trình (ĐH Nông nghiệp I 1998). a) 18. Giải các phương trình a) sin2x = cos22x + cos23x; b) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x); c) (ĐH Quốc gia Hà nội 1998). 19. Giải phương trình (ĐH Sư phạm Vinh 1998). 20. Giải phương trình (ĐH Thái nguyên 1998). 21. Giải phương trình (1 + sinx)2 = cosx (ĐH Thủy lợi 1998). 22. Xác định a để hai phương trình sau tương đương: 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x (1) 4cos2x - cos3x = acosx + (4 - a)(1 + cos2x) (2) (ĐH Y Dược TP Hồ Chí Minh 1998). 23. Giải các phương trình sau: a) 2(cot2x - cot3x) = tan2x + cot3x; b) sin23x - sin22x - sin2x = 0. (ĐH Y khoa Hà nội 1998). 24. Giải phương trình sin4x - cos4x = 1 + 4(sinx - cosx) (HV CN Bưu chính viễn thông 1998). 25. Giải phương trình (HV Kỹ thuật Quân sự 1998). 26. Giải các phương trình (HV Ngân hàng 1998). a) sin6x + cos6x = cos4x; b) 27. Giải phương trình cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 1,5 (HV Quan hệ Quốc tế 1998). 28. Giải phương trình (HV Chính trị Quốc gia 1999).

    --- Bài cũ hơn ---

  • Pp Giải Pt Lượng Giác_Có Lời Giải Pp Giai Phuong Trinh Luong Giac Co Loi Giai Doc
  • Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • 30 Câu Trắc Nghiệm: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Đáp Án (Phần 1)
  • Để Giải Các Phương Trình Mũ Ta Thường Sử Dụng Các Phương Pháp Sau Đây:
  • Tổng Hợp Kiến Thức Về Logarit Và Cách Giải Toán Logarit
  • Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Dạy Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Các Dạng Toán Bất Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Logarit Cách Giải Và Bài Tập
  • Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp Và Bài Tập Áp Dụng
  • Bàn Về Hai Dạng Toán Của Giải Tích Tổ Hợp
  • Chương Ii. §2. Hoán Vị
  • Ví dụ 36.

    Cho phương trình: sin3x – mcos2x = (m + 1)sinx + m = 0.

    Xác định các giá trị của tham số m để phương trình có đúng 8 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0, 3$pi$).

    Giải.

    Phương trình đã cho tương đương với :

    sinx(4$sin^{2}$x – 2msinx + m – 2) = 0.

    Từ đó ta được hai phương trình:

    sinx = 0 (1)

    4$sin^{2}$x – 2msinx + m – 2 = 0. (2)

    Phương trình (1) có 2 nghiệm $x_{1}$ = $pi$, $x_{2}$ = 2$pi$ thuộc (0, 3$pi$). Do vậy, yêu cầu của bài toán đòi hỏi phương trình (2) phải có đúng 6 nghiệm thuộc (0, 3$pi$) nhưng khác $pi$ và 2$pi$.

    Đặt t = sinx. Phương trình (2) tương đương với :

    Để phương trình (2) có 6 nghiệm trong khoảng (0, 3$pi$), điều kiện cần và đủ là phương trình (3) có 2 nghiệm $t_{1}$, $t_{2}$ thoả mãn một trong hai trường hợp a) và b) sau đây :

    Ví dụ 37.

    Với giá trị nào của a thì phương trình 1 + $sin^{2}$ax = cosx có nghiệm duy nhất?

    Giải.

    Ta có vế trái lớn hơn hoặc bằng 1, đẳng thức xảy ra khi

    sinax = 0 ⇔ ax = k$pi$ (k $in$ Z).

    Vế phải của phương trình nhỏ hơn hoặc bằng 1, đẳng thức xảy ra khi x = l2$pi$ (l $in$ Z).

    Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ (1) và (2):

    Khi a = 0, phương trình có vô số nghiệm x = k2$pi$ (k $in$ Z).

    Để phương trình có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

    Ta thấy khi k = l = 0 thì x = 0 thoả mãn phương trình. Vì vậy, để phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là không tồn tại k $neq$ 0 thoả mãn (3).

    Nếu a là số hữu tỉ thì tồn tại vô số k $neq$ 0 thoả mãn (3).

    Nếu a là số vô tỉ thì không có k $neq$ 0 nào thoả mãn (3).

    Vậy để phương trình 1 + $sin^{2}$ax = cosx có nghiệm duy nhất điều kiện cần và đủ là a là số vô tỉ.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tìm Điều Kiện Của Tham Số M Để Phương Trình Lượng Giác Có Nghiệm
  • Một Số Phương Pháp Giải Các Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Pp Giải Pt Lượng Giác_Có Lời Giải Pp Giai Phuong Trinh Luong Giac Co Loi Giai Doc
  • Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • 30 Câu Trắc Nghiệm: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Đáp Án (Phần 1)
  • Phương Trình Lượng Giác Bậc Một Theo Sin ,cos

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Tính Delta Và Delta Phẩy Phương Trình Bậc 2
  • Phương Trình Trùng Phương Lớp 9: Lý Thuyết, Cách Giải, Các Dạng Bài Tập
  • Giải Phương Trình Bậc 2 Trong Java
  • Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Đối Xứng, Phản Đối Xứng
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn
  • Published on

    Website: www.toanhocdanang.com

    Phone: 0935 334 225

    Facebook: ToanHocPhoThongDaNang

    1. 1. DANAMATH chúng tôi chúng tôi ĐẠI SỐ 11 GV:Phan Nhật Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS
    2. 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 chúng tôi PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS Kiến thức chẩn bị Phương trình lượng giác cơ bản 1. 2 sin sin sin 2 x k x a x x k                 (với 1 1a   ) 2. 2 cos cos cos 2 x k x a x x k                (với 1 1a   ) 3. tan tan tanx a x x k        4. cot cot cotx a x x k        Trường hợp riêng: sin 1 2 2 x x k      , sin 1 2 2 x x k        , sin 0x x k   cos 1 2x x k    , cos 1 2x x k      , cos 0 2 x x k      Công thức thường dùng trong bài viết : Hạ bậc: 2 21 cos2 1 cos2 , 2 2 a a sin a cos a     3 33sin sin 3 3cos cos3 , 4 4 a a a a sin a cos a     Biến đổi tích thành tổng :      )sin()sin( 2 1 chúng tôi )cos()cos( 2 1 chúng tôi )cos()cos( 2 1 chúng tôi bababa bababa bababa    Biến đổi tổng thành tích: cos cos 2cos .cos cos cos 2sin .sin 2 2 2 2 sin sin 2sin .cos sin sin 2cos .sin 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b                  Công thức cộng: sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin a b a b a b a b a b a b     
    3. 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 chúng tôi Dấu hiệu : Dạng cơ bản : cxbxa  )(cos)(sin.  (1) với 2 2 2 a b c  222222 )(cos)(sin)1( ba c x ba b x ba a        )( 2)( 2)( sin))(sin( Zk kx kx x          Với  sin;sin;cos 222222       ba c ba b ba a Chú ý : Phương trình (1) có 2 2 2 a b c  thì nó vô nghiệm. Các dạng phương trình sau có thể giải được bằng phương pháp trên Dạng MR 1:     )(cos. )(sin. )(cos)(sin. xc xc xbxa    Với ĐK: 222 cba  Dạng MR 2: )(cos)(sin)(cos)(sin. 2211 xbxaxbxa   Với ĐK: 2 2 2 2 2 1 2 1 baba  Dạng MR 3:   02cos2sin3;cos3sin  xxxxf hoặc   02cos32sin;cos3sin  xxxxf Chú ý: (quan trọng) Trong PTLG có chứa 3 thì thông thường ta có 2 hướng sử lý như sau: Hướng 1: (dùng cho pt chứa bậc cao và dạng tích của hai biểu thức lượng giác) Sử dụng công thức hạ bậc và tích thành tổng để quy tất cả các số hạng về bậc 1 và không còn tích khi đó ta sẽ có được phương trình ở một trong bốn dạng trên Hướng 2: (dùng cho pt không chứa bậc cao) Sử dụng công thức tổng thành tích, nhân đôi để biến đổi phương trình về dạng phương trình tích Dấu hiệu sử dụng công thức tổng thành tích: PT chứa 2 số hạng thỏa mãn: cùng loại hàm (sin hoặc cos), cùng hệ số, cùng tính chẵn, lẻ của cung Thông thường phương trình chứa 3
    4. 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 chúng tôi Ví dụ 3: Giải pt: 2sin6 2sin4 3 os2 3 sin2x x c x x    4cos5 sin 3 os2 3 sin2x x c x x     2 4cos5 sin 3 1 2sin 3 2sin cosx x x x x      2sin 2cos5 3sin cos 0x x x x    (1) sin 0 cos 3sin 2cos5 x x k x x x        1 3 (1) cos sin cos5 2 2 x x x   12 2 cos cos sin sin cos5 cos5 cos 3 3 3 18 3 x k x x x x x x k                            Ví dụ 4: Giải pt:   2 2cos3 .cos 3 1 sin 2 2 3 cos 2 4 x x x x          Ta có: 2cos3 .cos cos4 cos2x x x x  2 1 cos 4 1 cos4 cos sin 4 sin 1 sin 42 2 2cos 2 4 2 2 2 x x x x x                      Do đó : cos4 cos2 3 3sin2 3 3sin4pt x x x x      cos4 3sin 4 cos2 3sin 2 0x x x x     1 3 1 3 cos4 sin 4 cos2 sin 2 0 2 2 2 2 x x x x     cos 4 cos 2 0 3 3 cos 0 2 2 2cos 3 cos 0 cos 3 03 33 3 2 18 3 x x x x k x k x x x x k x k                                                                Dấu hiệu sử dụng công thức: Tổng thành tích Mục tiêu: chuyển về phương trình tích nên ta phải phân tích các số hạng còn lại phải xuất hiện sin x hoặc cos5x DDDạng MR 1 Dấu hiệu sử sụng công thức tích thành tổng và hạ bậc Dạng MR 2 hoặc MR3
    5. 6. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 chúng tôi Ví dụ 5: (A – 2009 ) Giải phương trình . Điều kiện: 2 2 sin 1 21 6sin 2 7 2 6 x k x x k x x k                          Khi đó phương trình tương đương với phương trình sau:  2 cos 2sin cos 3 1 sin 2sinx x x x x    cos sin 2 3cos2 3sinx x x x    cos 3sin 3cos2 sin 2x x x x    cos cos 2 3 6 x x                 2 2 2 ( ) 6 3 2 2 2 2 18 36 3 x x k x k loai x kx x k                                 Bài tập áp dụng: Bài 1: (B – 2012 ) Giải phương trình :  2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x    Bài 2: Giải phương trình :  sin 2 cos 3 cos2 sin 0 2sin 2 3 x x x x x      Bài 3: Giải phương trình : xx x sin 1 cos 3 sin8  Bài 4: Giải phương trình : 4sin .sin 5 3sinx 3(cos 2) 3 1 1 2cos x x x x            Bài 5: Giải phương trình :   2sin 1 os2 sinx 1 3 2cos 3sinx sin 2 x c x x x       Bài 6: Giải phương trình :   tan cos3 2cos2 1 3 sin 2 cos 1 2sin x x x x x x      Bài 7: Giải phương trình : 2cos6 2cos4 3cos2 sin2 3x x x x    Bài 8: Giải phương trình : 2 sin .sin 4 2 2 os 4 3 os sin cos2 6 x x c x c x x x         (1 2sin x)cosx 3 (1 2sin x)(1 sin x)     Dạng MR 2
    6. 7. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN, COS GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 chúng tôi Bài 9: Giải phương trình : sin3 2sin 4 tan 2 3 os2 cos x x x c x x    Bài 10: Giải phương trình : 2sin 1 cos2 2cos 7sin 5 2cos 3 cos2 2cos 1 3(cos 1) x x x x x x x x           Bài 11: Giải phương trình :  2 3 4 2sin 2 2 cot 1 3 cos sin 2 x x x x      Bài 12: Giải phương trình : 2 2 3 4sin 2 2sin 4 3 6sin 2cos sin 3 x x x x x                  

    Recommended

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Phương Trình Chứa Ẩn Trong Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Giải Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Bằng Php
  • Luyện Tập Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax+B=0
  • Dạy Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Dạng Toán Bất Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Logarit Cách Giải Và Bài Tập
  • Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp Và Bài Tập Áp Dụng
  • Bàn Về Hai Dạng Toán Của Giải Tích Tổ Hợp
  • Chương Ii. §2. Hoán Vị
  • Những Lưu Ý Khi Giải Bài Toán Bất Phương Trình Dành Cho Học Sinh Lớp 9
  • Thực tế cho thấy khi gặp bài toán chứa tham số học sinh thường lúng túng trong quá trình biện luận. Đặc biệt đối với phương trình lượng giác việc biện luận để phương trình có nghiệp, biện luận số nghiệm của phương trình không phải lúc nào cũng dễ dàng. Có những bài toán phải vận dụng những phương pháp đặc biệt mà việc nghĩ ra hay tìm thấy đều rất khó khăn.

    Trong năm học qua và năm học 2004 – 2005 khi dạy ôn về phương trình lượng giác tôi đã tổng kết được một vài dạng bài cơ bản về phương trình lượng giác có tham số với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một vài phương pháp giải đối với dạng toán này.

    A/ Đặt vấn đề. Thực tế cho thấy khi gặp bài toán chứa tham số học sinh thường lúng túng trong quá trình biện luận. Đặc biệt đối với phương trình lượng giác việc biện luận để phương trình có nghiệp, biện luận số nghiệm của phương trình không phải lúc nào cũng dễ dàng. Có những bài toán phải vận dụng những phương pháp đặc biệt mà việc nghĩ ra hay tìm thấy đều rất khó khăn. Trong năm học qua và năm học 2004 - 2005 khi dạy ôn về phương trình lượng giác tôi đã tổng kết được một vài dạng bài cơ bản về phương trình lượng giác có tham số với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một vài phương pháp giải đối với dạng toán này. Trước hết để làm được yêu cầu học sinh phải thành thạo trong việc giải các phương trình lượng giác không có tham số. Nắm thật chắc các phép biến đổi phương trình đưa về dạng đã biết. Ngoài ra học sinh cần nhớ nội dung hai định lý: * Định lý: Nếu f(x) liên tục trên { a;b} có maxf = M, min f = m . . . Từ đó thì ị phương trình f(x) = a sẽ có nghiệm Û m Ê a Ê M Định lý Lagrăng: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn {a ; b} và có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì tồn tại một điểm c ẻ (a ; b) sao cho f'(c) = B/ Nội dung: Dạy phương trình lượng giác có tham số I- Dạng 1: Biện luận để phương trình có nghiệm Bài toán 1: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm Sin6x + cos6x = m Ta có Sin6x + cos6x = 1 - sin22x = 1 - ( 1 - cos22x) Ta có: Sin6x + cos6x = 1 - sin22x = 1 - ( 1 - cos22x ) Sin6x + cos6x + cos22x Hãy đánh giá vế trái: 0 ≤ cos22x ≤ 1 ị ≤ sin6x + cosx ≤ 1 Hàm số f(x) = sin6x + cos6x có max f = 1, min f = f(x) liên tục nên phương trình f(x) = m có nghiệm ị ≤ m ≤ 1 Vậy với m Є { ; 1 thì phương trình f(x) = m có nghiệm Bài toán 2: Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm. Cos2x + cosx = m 2cos2x - 1 + cosx = m Xét hàm số f(x) = 2 t2 + t - 1 với 1≤ 1 ≤ 1. Toạ độ đỉnh ( - ; - ) Bảng biến thiên t - Ơ -1 - 1 + Ơ f(t) + Ơ 0 - Dựa vào bảng biến thiên: max f(t) = 2 khi t = 1 min f(x) = - khi t = Phương trình có nghiệm khi - ≤ m ≤ 2 Làm tương tự: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Sin2x + sinx cosx = m 2 sin2x + cosx - sinx = m trình f(x) = a có nghiệm m Û a Ê M Bài toán 3: Cho phương trình. Tìm a để phương trình có nghiệm. Bài làm: Ta không nên biến đổi trực tiếp phương trình. Hãy xét f(x) = với x ẻ Và lim cosx = 1 lim sinx = 0 - xđ 0 - xđ 0 - Lim cos x = 0 + lim sin x = -1 x đ + xđ + Do đó + Nhận xét: Hàm số f(x) xác định liên tục trên + ị Với a phương trình f(x) = a luôn có nghiệm Bài toán 4: Chứng minh rằng a,b,c phương trình. a cos3x + b cos2x + sin x = 0 luôn có nghiệm ẻ ( 0; 2P) Xét f(x) = f'(x) = acos3x + bcos 2 x + cosx + sin x f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; 2P) f(0) = - cos 0 = -1 Theo định lý Lagrăng $ ị Phương trình f'(x) = 0 có nghiệm ẻ ( 0; 2p ) ị Phương trình đã cho luôn có nghiệm ẻ ( 0; 2p) với a,b,c Bài toán 5: Tìm a,b để PT: cos 4 x + a cos 2x + b sin 2x = 0 có nghiệm. ở đây ta không trực tiếp xét phương trình. Xét Vì f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ p. Kết f(x) trên ( 0; p) f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; p) Theo định lý Lagrăng $ x0 ẻ ( 0; p) f'(x) = 0 ị PT f'(x) = 0 có nghiệm ẻ (0; p) Vậy với a,b phương trình đã cho có nghiệm. Bài toán 6: Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Nếu là nghiệm của (I) thì ị ị đúng ị Phương trình có nghiệm (1) Đảo lại: Nếu (1) có nghiệm thì là đúng ị ị ẻ đường tròn Đơn vị ị $ x0 ị (x0, y0) là 1 nghiệm của hệ Vậy hệ có nghiệm Û PT (1) có nghiệm. Đến đây bài toán trở thành tìm a để phương trình. có nghiệm. Nếu a = 0 phương trình có dạng 0 =1, phương trình vô nghiệm. Nếu a ạ 0 (1) ị ị ị (1) có nghiệm ị Vậy hệ đã cho có nghiệm. Bài tập tự luyện: 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm. 2. Cho phương trình Tìm m để phương trình có nghiệm. 3. Tìm a để phương trình có nghiệm B/ Dạng 2. Biện luận số nghiệm. Bài toán 1: Cho phương trình. Tìm m để phương trình có đúng bảy nghiệm trong khoảng Có thể thấy ngay rằng việc tìm m để phương trình có đúng 7 nghiệm ẻ quả là khó khăn. Trước hết hãy đại số hoá phương trình đã cho. Đặt t = cosx đk {t} Ê 1 Ta đi xét số nghiệm x ẻ của phương trình cos x = t Số nghiệm ẻ cos x = t Nhận thấy cos x = 0 có 2 nghiệm ẻ Phương trình có đúng 7 nghiệm ẻ Û (2) có 5 nghiệm ẻ Û Tam thức f(t) = 4 t2 - 2t + m - 3 có hai nghiệm t1, t2 sao cho -1 < t1 < t2 < 1. Û Û Û Û 1< m <3 Vậy với 1< m <3 phương trình đã cho có đúng bảy nghiệm ẻ Bài toán khai triển. - Tìm m để phương trình có đúng 6 nghiệm ẻ Tam thức f(t) = 4 t2 - 2t + m - 3 có 2 nghiệm t1, t2 sao cho - Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm ẻ Û f(x) = 4 t2 - 2t + m - 3 có 1 n0 t = -1 hoặc t = 1 - Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm ẻ Û f(x) = 4t2 - 2t + m - 3 vô nghiệm hoặc có nghiệm t = 0 t1 Ê t2 < -1 hoặc 1 < t1 Ê t2 ; t1 < -1 < 1 < t2 Bài toán 2: Cho phương trình: sin 3x - mcos2x - (m+ 1+ sinx + m = 0 (1) Xác định giá trị của m để phương trình có đúng 8 nghiệm ẻ ( o; 3P) (1) Û 3sinx - 4 sin3 x - m (1 - 2sin2x) - (m+1) sinx + m = 0 Û - 4sin3x + 2 m sin2x + (2 - m) sinx = 0 Û -sin {4sin3x + 2m sinx + (-2 + m)} = 0 sinx = 0 Û x = P hoặc x = 2P ẻ (0; 3P) Do phương trình có đúng 8 nghiệm ẻ (0; 3P) Û (2) có đúng 6 nghiệm ẻ (0; 3P) ạ P; 2P Đặt sinx = t (2) Û 4t2 + 2mt + (-2 + m) = 0 Số nghiệm ẻ(0; 3P) sinx = t Phương trình có đúng 8 nghiệm Û (2) có nghiệm t1, t2 sao cho 0 < t1 < 1 = t2 hoặc - 1 < t1 < 0 < t2 < 1 * TH 1: 0 < T1 < 1 = t2 Û f(1) = 0 Û m = 2 Û t1 = 0 (loại) * TH 2: -1 < t1 < 0 < t2 < 1 Û Û Û Û Vậy để phương trình có đúng 8 nghiệm ẻ (0; 3P) thì * Làm tương tự: Tìm m sao cho phương trình sin 3x + sin 2x = m sin x có đúng 8 nghiệm ẻ c) Dạng 3: Phương trình tương đương. Bài 1: Tìm a và b để hai phương trình sau tương đương. 1) 2) Ta biết rằng hai phương trình tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau (có thể là tập f) + Nếu (1) vô nghiệm đ tìm điều kiện để (2) vô nghiệm + Nếu (1) có nghiệm đ tìm điều kiện để nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) và ngược lại. 1) Û Û Û Û Cần: Giả sử (1) và (2) tương đương. Vì là nghiệm của (1) Û cũng là nghiệm của (2) Û Vì là nghiệm của (2) Û cũng là nghiệm của (1) Û Û a=2 a = 2 b = thì (1) Û Nhận thấy (1) và (2) tương đương Vậy với a = 2 b = thì 2 phương trình đã cho tương đương. Bài toán 2: Tìm m để 2 phương trình sau tương đương. sin x + m cosx = 1 (1) m sinx + cosx = m2 (2) Bài làm Cần: Giả sử (1) và (2) tương đương Ta thấy x = là nghiệm của (1) ị x = cũng phải là nghiệm của (2) ị sin + cos = m2 Û m = m2 Û m2 - m = 0 Û Với m = 0 (1) Û sin x = 0 (2) Û cos x = 0 Û sin x = ± 1 Hai phương trình không tương đương. Với m = 1 (1) sin x + cos x = 1 (2) sin x + cos x = 1 Vậy m = 1 thì 2 phương trình đã cho tương đương Bài toán 3: Tìm a để phương trình sau tương đương. (1) 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x (2) 4cos2 x - cos 3x = a cos x + (4 - a) (a + cos 2x) Bài làm (1) Û cos 3x + cos x = 1 + cos 2x + cos 3x Û 2cos2x - cos x = 0 Û cos x ( 2cos x - 1) = 0 Û (2) Û 4 cos2x - 4cos3 x + 3 cos x = a cos x + (4 - a) (2cos2x - 1) Û Û Hai phương trình tương đương Û Û Tương tự: Tìm a để 2 phương trình tương đương sin 3x = a sinx + (4 - 2{a}) sin2x sin 3x + cos 2x = 1 + 2 sinx cos 2 x C/ kết luận Qua một số năm giảng dạy phương trình lượng giác giải bằng cách phân dạng trên tôi thấy đã có những kết quả nhât định. Học sinh biết phân dạng bài tập và sử dụng phương pháp thích hợp cho mỗi bài toán. Vì thời gian giảng dạy còn ít, kinh nghiệm chưa nhiều tôi mong được sự đóng góp giúp đỡ của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Giáo viên

    Tài liệu đính kèm:

      Ham so luyen thi DH chúng tôi

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Tìm Điều Kiện Của Tham Số M Để Phương Trình Lượng Giác Có Nghiệm
  • Một Số Phương Pháp Giải Các Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Pp Giải Pt Lượng Giác_Có Lời Giải Pp Giai Phuong Trinh Luong Giac Co Loi Giai Doc
  • Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100