Bt Va Pp Giai Bt Este Hay

--- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Giải Bt Ete Pp Giai Toan Este Doc
  • Phương Pháp Giải Bài Tập Phản Ứng Đốt Cháy Este Hay, Chi Tiết
  • Giải Toán 10 Bài 3. Phương Trình Đường Elip
  • Giải Bài Tập Trang 88 Sgk Hình Học 10 Bài 1, 2, 3, 4, 5
  • Ứng Dụng Của Hệ Thức Vi
  • TRANSCRIPT

    Trng THPT Anh sn 3 2011

    Ti liu n thi i hc nm 2010-

    CHUYN V ESTE- LIPITA. KIN THC C BN CN chúng tôi thc tng qut ca este: * Este no n chc: CnH2n+1COOCmH2m+1 (n 0, m 1) Nu t x = n + m + 1 th CxH2xO2 (x 2) R C O R’ * Este a chc to t axit n chc v ru a chc: (RCOO)nR * Este a chc to t axit a chc v ru n chc R(COOR)n O Tn gi ca este hu c:

    gc axit

    gc ru

    Trng THPT Anh sn 3 2011

    Ti liu n thi i hc nm 2010-

    Trng THPT Anh sn 3 Ti liu n thi i hc nm 20102011 21 Thu phn hon ton 13,2 gam este no, n chc, mch h X vi 100ml dung dch NaOH 1,5M (va ) thu c 4,8 gam mt ancol Y. Tn gi ca X l A. Etyl fomat B. Etyl axetat C. Metyl propionat D. Propyl axetat 22. Thu phn hon ton mt este no, n chc, mch h X vi 200ml dung dch NaOH 2M (va ) thu c 18,4 gam ancol Y v 32,8 gam mt mui Z. Tn gi ca X l A. Etyl fomat B. Etyl axetat C. Metyl axetat D. Propyl axetat 23. Thu phn este X c CTPT C4H8O2 trong dung dch NaOH thu c hn hp hai cht hu c Y v Z trong Y c t khi hi so vi H2 l 16. X c cng thc l A. HCOOC3H7 B. CH3COOC2H5 C. HCOOC3H5 D. C2H5COOCH3

    Ch s axt ca cht bo: L s miligam KOH cn trung ho lng axit bo t do c trong 1 gam cht bo. V(ml). CM. 56 Cng thc:

    Ch s axt =

    mcht bo(g) Ch s x phng ho ca cht bo: l tng s miligam KOH cn trung ho lng axit tdo v x phng ho ht lng este trong 1 gam cht bo Cng thc:

    V(ml). CM. 56 mcht bo(g)

    Ch s x phng =

    28. X phng ho hon ton 2,5g cht bo cn 50ml dung dch KOH 0,1M. Ch s x phng ho ca cht bo l: A. 280 B. 140 C. 112 D. 224 29. Muon trung hoa 5,6 gam mot chat beo X o can 6ml dung dch KOH 0,1M . Hay tnh ch so axit cua chat beo X va tnh lng KOH can trung hoa 4 gam chat beo co ch so axit bang 7 ? A. 4 va 26mg KOH B. 6 va 28 mg KOH C. 5 va 14mg KOH D. 3 va 56mg KOH Siu tm v bin son: Nguyn Vn X 3

    Trng THPT Anh sn 3 Ti liu n thi i hc nm 20102011 30. Mun trung ho 2,8 gam cht bo cn 3 ml dd KOH 0,1M. Ch s axit ca cht bo l A.2 B.5 C.6 D.10 31. trung ho 4 cht bo c ch s axit l 7. Khi lng ca KOH l: A.28 mg B.280 mg C.2,8 mg D.0,28 mg 32. trung ho 14 gam mt cht bo cn 1,5 ml dung dch KOH 1M. Ch s axit ca cht bo l A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 33. trung ha lng axit t do c trong 14 gam mt mu cht bo cn 15ml dung dch KOH 0,1M. Ch s axit ca mu cht bo trn l (Cho H = 1; O = 16; K = 39) A. 4,8 B. 6,0 C. 5,5 D. 7,2 34. x phng ho hon ton 2,52g mt lipt cn dng 90ml dd NaOH 0,1M. Tnh ch s x phng ca lipit A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 35. trung ho axt t do c trong 5,6g lipt cn 6ml dd NaOH 0,1M. Ch s axt ca cht bo l: A. 5 B. 6 C. 5,5 D. 6,5

    Siu tm v bin son: Nguyn Vn X

    4

    Trng THPT Anh sn 3 2011

    Ti liu n thi i hc nm 2010-

    DANG chúng tôi HAI CHT HU C N CHC (MCH H) TC DNG VI KIM TO RA 1. Hai mui v mt ancol th 2 cht hu c c th l: RCOOR ‘ RCOOR ‘ (1) hoc (2) R1COOR ‘ R1COOH – nancol = nNaOH hai cht hu c cng thc tng qut (1) – nancol < nNaOH hai cht hu c cng thc tng qut (2) VD1: Mt hn hp X gm hai cht hu c. Cho hn hp X phn ng va vi dung dch KOH th cn ht 100 ml dung dch KOH 5M. Sau phn ng thu c hn hp hai mui ca hai axit no n chc v c mt ru no n chc Y. Cho ton b Y tc dng vi Natri c 3,36 lt H2 (ktc). Hai hp cht hu c thuc loi cht g? HD Theo ta c: nKOH = 0,1.5 = 0,5 mol Ancol no n chc Y: CnH2n+1OH 1 CnH2n+1OH + Na CnH2n+1ONa + H2 2 0,3 mol 0,15 mol Thu phn hai cht hu c thu c hn hp hai mui v mt ancol Y vi nY < nKOH Vy hai cht hu c l: este v axit VD2: Hn hp M gm hai hp cht hu c mch thng X v Y ch cha (C, H, O) tc dng va ht 8 gam NaOH thu c ru n chc v hai mui ca hai axit hu c n chc k tip nhau trong dy ng ng. Lng ru thu c cho tc dng vi natri d to ra 2,24 lt kh H2 (ktc). X, Y thuc lai hp cht g? HD nNaOH = 0,2 mol nAncol = 0,2 mol Thu phn hai cht hu c X, Y v thu c s mol nAncol = nNaOH. Vy X, Y l hai este. 2. Mt mui v mt ancol th hai cht hu c c th l: – Mt este v mt ancol c gc hidrocacbon ging ru trong este: RCOOR1 v R1OH – Mt este v mt axit c gc hidrocacbon ging trong este: RCOOR1 v RCOOH – Mt axit v mt ancol. 3. Mt mui v hai ancol

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài 1,2,3,4,5,6 Trang 7 Sgk Hóa 12: Este
  • Giải Vbt Địa Lí 6 Bài 18: Thời Tiết, Khí Hậu Và Nhiệt Độ Không Khí
  • Giải Bài Tập Địa Lí Lớp 6
  • Giải Vở Bài Tập Công Nghệ 8
  • Giải Vbt Công Nghệ 8: Bài 2. Hình Chiếu
  • Phương Pháp Giải Bt Ete Pp Giai Toan Este Doc

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Giải Bài Tập Phản Ứng Đốt Cháy Este Hay, Chi Tiết
  • Giải Toán 10 Bài 3. Phương Trình Đường Elip
  • Giải Bài Tập Trang 88 Sgk Hình Học 10 Bài 1, 2, 3, 4, 5
  • Ứng Dụng Của Hệ Thức Vi
  • Hoá Học 12 Bài 1: Este
  • ESTE – LIPIT

    Câu 1: Cho 1,84 g axit fomic tác dụng với ancol etylic, nếu H = 25% thì khối lượng este thu được là:

    A. 0,75 gam. B. 0,74 gam. C. 0,76 gam. D. Kết qủa khác.

    Câu 2: Một este đơn chức A có tỉ khối so với khí metan là 5,5. Cho 17,6 g A tác dụng với 300 ml dung dịch NaOH 1M đun nóng, cô cạn hỗn hợp sau phản ứng thu được 20,4 g chất rắn khan. Công thức cấu tạo của este A là

    A. n – propyl fomat B. iso – propyl fomat C. etyl axetat D. metyl propionat

    Câu 3: Este X no, đơn chức, mạch hở có phần trăm khối lượng oxi xấp xỉ bằng 36,364%. Công thức phân tử của X là

    A. C2H4O2.. B. C4H8O2. C. C3H6O2. D. CH2O2.

    Câu 4: Cho 26,8 gam hỗn hợp gồm este metylfomat và este etylfomat tác dụng với 200 ml dung dịch NaOH 2M thì vừa đủ. Thành phần % theo khối lượng của este metylfomat là:

    A. Kết qủa khác. B. 68,4%. C. 55,2%. D. 44,8%.

    Câu 5: Cho các chất sau: CH3OH (1); CH3COOH (2); HCOOC2H5 (3). Thứ tự nhiệt độ sôi giảm dần là

    A. (3);(1);(2). B. (2);(1);(3). C. (1);(2);(3). D. (2);(3);(1).

    Câu 6: metyl fomat có công thức phân tử là:

    A. HCOOCH3. B. CH3COOCH3. C. CH3COOC2H5. D. HCOOC2H5.

    Câu 7: Este có công thức phân tử CH3COOCH3 có tên gọi là:

    A. metyl axetat. B. vinyl axetat. C. metyl fomat. D. metyl propionat.

    Câu 8: Đốt cháy hoàn toàn một lượng hỗn hợp gồm etyl axetat và etyl propionat thu được 15,68 lit khí CO2 (đktc). Khối lượng H2O thu được là

    A. 25,2 gam B. 50,4 gam C. 12,6 gam D. 100,8 gam

    Câu 9: Phát biểu nào sau đây là không đúng?

    A. Phản ứng thuỷ phân este trong môi trường axit có tính thuận nghịch.

    B. Công thức chung của este giữa axit no đơn chức và rượu no đơn chức là CnH2n O2 (n ≥ 2).

    C. phản ứng xà phòng hóa este là phản ứng không có tính thuận nghịch.

    D. Este là sản phẩm của phản ứng este hoá giữa axit hữu cơ hoặc axit vô cơ với ancol.

    Câu 10: Phát biểu nào sau đây là đúng:

    A. tất cả các este phản ứng với dung dịch kiềm luôn thu được sản phẩm cuối cùng là muối và ancol.

    B. phản ứng giữa axit hữu cơ và ancol khi có H2SO4 đặc là phản ứng một chiều.

    C. khi thủy phân chất béo luôn thu được C2H4(OH)2.

    D. phản ứng thủy phân chất béo trong môi trường axit hoặc bazơ luôn thu được glixerol.

    Câu 11: Mệnh đề không đúng là:

    A. CH3CH2COOCH=CH2 có thể trùng hợp tạo polime.

    B. CH3CH2COOCH=CH2 cùng dãy đồng đẳng với CH2 = CHCOOCH3.

    C. CH3CH2COOCH=CH2 tác dụng được với dung dịch brom.

    D. CH3CH2COOCH=CH2 tác dụng với dung dịch NaOH thu được anđêhit và muối.

    Câu 12: Ứng với công thức C4H8O2 có bao nhiêu đồng phân đơn chức?

    A. 5 B. 3 C. 6 D. 4

    Câu 13: Cho 8,8 gam etyl axetat tác dụng với 150 ml dung dịch NaOH 1M. Cô cạn dung dịch sau phản ứng thì khối lượng chất rắn khan thu được là bao nhiêu?

    A. 8,2 gam B. 10,5 gam. C. 12,3 gam D. 10,2 gam

    Câu 14: Chất nào sau đây tham gia phản ứng tráng gương:

    A. CH3COOH. B. C3H7COOH. C. HCOOC3H7. D. CH3COOCH3.

    Câu 15: Cho 9,2g axit fomic t.dụng với ancol etylic dư thì thu được 11,3 g este. Hiệu suất của p.ứng là:

    A. 65,4%. B. 76,4%. C. Kết qủa khác. D. 75,4%.

    Câu 16: Chất nào sau đây tham gia phản ứng tráng gương:

    A. HCOOCH3. B. Tất cả đều được. C. HCOOC3H7. D. HCOOH.

    Câu 17: Số đồng phân este của C4H8O2 là?

    A. 4 B. 5

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bt Va Pp Giai Bt Este Hay
  • Bài 1,2,3,4,5,6 Trang 7 Sgk Hóa 12: Este
  • Giải Vbt Địa Lí 6 Bài 18: Thời Tiết, Khí Hậu Và Nhiệt Độ Không Khí
  • Giải Bài Tập Địa Lí Lớp 6
  • Giải Vở Bài Tập Công Nghệ 8
  • Bai Tap Xac Suat Moi Nguoi Cung Giai Bt Xac Suat Tong Hop Doc

    --- Bài mới hơn ---

  • Biến Cố Và Xác Suất Của Biến Cố (Phương Pháp Giải Bài Tập)
  • Phép Thử, Biến Cố, Xác Suất Của Biến Cố
  • Bai Tap Co Loi Giai Xac Suat Thong Ke
  • Bài Tập Về Cl Lò Xo + Giải Bt Ve Con Lac Lo Xo Doc
  • Giải Bài Tập Vbt Sinh Học 8 Bài 22
  • c. Xác suất để họ sinh 3 người con có cả trai, gái và ít nhất có một người không bệnh

    a. Sinh con trai không bị mù màu

    c. Sinh con không bị 2 bệnh trên

    1/ Xác suất sinh con bị mù màu là:

    2/ Xác suất sinh con trai bình thường là:

    3/ Xác suất sinh 2 người con đều bình thường là:

    4/ Xác suất sinh 2 người con: một bình thường,một bị bệnh là:

    5/ Xác suất sinh 2 người con có cả trai và gái đều bình thường là:

    6/ Xác suất sinh 3 người con có cả trai,gái đều không bị bệnh là:

    Câu 4: Ở người 2n = 46 và giả sử không có trao đổi chéo xảy ra ở cả 23 cặp NST tương đồng.

    a) Xác suất sinh ra đứa trẻ nhận được hai cặp NST mà trong mỗi cặp có 1 từ ông nội và 1 từ bà ngoại là bao nhiêu?

    b) Xác suất sinh ra đứa trẻ nhận được ít nhất một cặp NST mà trong mỗi cặp có 1 từ ông nội và 1 từ bà ngoại là bao nhiêu?

    Câu 7. Ở người, bệnh mù màu đỏ và lục được quy định bởi gen lặn trên X, không có alen trên Y. Bố bị bệnh mù màu đỏ và lục, mẹ không biểu hiện bệnh. Họ có con trai đầu lòng bị bệnh mù màu đỏ và lục. Xác suất để họ sinh đứa con thứ 2 là con gái bị bệnh mù màu đỏ và lục là

    A. Con gái của họ không bao giờ mắc bệnh

    B. 100% số con trai của họ sẽ mắc bệnh

    C. 50% số con trai của họ có khả năng mắc bệnh

    D. 100% số con gái của họ sẽ mắc bệnh

    Câu 10: Bệnh mù màu do đột biến gen lặn trên NST X ở đoạn không tương đồng với Y, alen trội qui định người bình thường. Vợ mang gen dị hợp có chồng bị bệnh mù màu.

    a) Xác suất để trong số 5 người con của họ có nam bình thường, nam mù màu, nữ bình thường, nữ mù màu là bao nhiêu?

    a. Xác suất gặp 1 con cừu cái không sừng trong quần thể ở F 3 :

    b. Xác suất gặp 1 con cừu đực không sừng trong quần thể ở F 3 :

    Câu 3 . (ĐH 2009) ở người, gen A quy định mắt nhìn màu bình thường, alen a quy định bệnh mù màu đỏ và lục; gen B quy định máu đông bình thường, alen b quy định bệnh máu khó đông. Các gen này nằm trên NST giới tính X, không có alen tương ứng trên Y. Gen D quy định thuận tay phải, alen d quy định thuận tay trái nằm trên NST thường. Số kiểu gen tối đa về 3 lô cút trên trong quần thể người là

    Câu 5: Ở người, tính trạng nhóm máu do 3 alen I A , I B và I O quy định. Trong quần thể cân bằng di truyền có 36% số người mang nhóm máu O, 45% số người mang nhóm A. Vợ có nhóm máu A lấy chồng có nhóm máu B không có quan hệ họ hàng với nhau.

    a. Xác suất để họ sinh con máu O:

    Câu 11: U xơ nang ở người là bệnh hiếm gặp, được quy định bởi đột biến lặn di truyền theo quy luật Menđen. Một người đàn ông bình thường có bố bị bệnh và mẹ không mang gen bệnh lấy một ngưòi vợ bình thường không có quan hệ họ hàng với ông ta. Xác xuất để đứa con đầu lòng của họ bị bệnh này sẽ là bao nhiêu nếu trong quần thể cứ 50 người bình thường thì có 1 người dị hợp về gen gây bệnh.

    Câu 12: Ở một loài thực vật, gen A quy định hạt tròn là trội hoàn toàn so với alen a quy định hạt dài. Một quần thể đang ở trạng thái cân bằng di truyền gồm 6000 cây, trong đó có 960 cây hạt dài. Tỉ lệ cây hạt tròn có kiểu gen dị hợp trong tổng số cây hạt tròn của quần thể này là

    a. Tần số nhóm máu AB lớn nhất trong quần thể bằng bao nhiêu nếu biết tần số người mang nhóm máu O là 25% và quần thể đang ở trạng thái cân bằng di truyền về các nhóm máu.

    b. Người chồng có nhóm máu A, vợ nhóm máu B. Họ sinh con đầu lòng thuộc nhóm máu O.

    Tính xác suất để :

    b1) Hai đứa con tiếp theo có nhóm máu khác nhau

    b2) Ba đứa con có nhóm máu khác nhau

    – Hãy tính tần số các alen và thành phần các kiểu gen của quần thể. Biết rằng, bệnh bạch tạng là do một gen lặn nằm trên NST thường quy định.

    – Tính xác suất để 2 người bình thường trong quần thể này lấy nhau sinh ra một người con đầu lòng bị bệnh bạch tạng.

    Câu 15: Trong một đàn bò, số con có lông đỏ chiếm 64%, số con lông khoang chiếm 36%. Biết rằng lông đỏ là trội hoàn toàn, quy định bởi alen A; lông khoang là tính lặn, quy định bởi alen a.

    a. Hãy xác định tần số tương đối của alen a, alen A

    b. Ước lượng tỉ lệ % số bò lông đỏ đồng hợp có trong quần thể đó.

    Câu 16: Một quần thể lúa khi cân bằng di truyền có 20000 cây trong đó có 450 cây thân thấp. Biết A quy định cây cao, a quy định cây thấp. Xác định:

    a. Tần số tương đối các alen? Cấu trúc di truyền của quần thể

    b. Số lượng cây lúa có kiểu gen dị hợp tử?

    --- Bài cũ hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 5: Xác Suất Của Biến Cố
  • Giải Sách Bài Tập Tiếng Anh 8 Unit 12: A Vacation Abroad.
  • Bt Tiếng Anh 12 Unit 2
  • Unit 2 Lớp 12: Reading
  • Giải Bài Tập Vbt Sinh Học Lớp 9 Bài 23: Đột Biến Số Lượng Nhiễm S
  • Giải Bt Toán 6 Vnen

    --- Bài mới hơn ---

  • Ứng Dụng Giải Bài Tập Tiếng Anh
  • Mẫu Bài Tập Kế Toán Tổng Hợp Theo Thông Tư 200 (Kèm Lời Giải)
  • Giải 500 Bài Tập Vật Lý Thcs Bồi Dưỡng Học Sinh, 500 Bài Tập Vật Lý Chuyên Thcs
  • Các Dạng Bài Tập Mạch Điện Xoay Chiều R L C Mắc Nối Tiếp Và Phương Pháp Giải
  • Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Bài 92 (Tập 2) Đầy Đủ Nhất
  • Giới thiệu về Giải BT Toán 6 VNEN

    Giải Toán 6 VNEN Tập 1 gồm 3 chương với 47 bài viết

    Chương 1: Ôn tập và bổ túc số tự nhiên gồm 24 bài viết

    Chương 2: Số nguyên gồm 17 bài viết

    Chương 1: Điểm – Đường thẳng – Đoạn thẳng – Tia gồm 6 bài viết

    Toán 6 VNEN Tập 2 gồm có 2 chương với 40 bài viết. Trong đó

    Chương 3: Phân số gồm 30 bài viết

    Chương 4: Nửa mặt phẳng – Góc – Đường tròn – Tam giác gồm 10 bài viết.

    Giải BT Toán 6 VNEN hướng dẫn các em học sinh cách làm bài, trình bày bày khoa học và chính xác nhất.

    Giải BT Toán 6 VNEN gồm có 2 tập. Cụ thể như sau:

    Chương 1: Ôn tập và bổ túc số tự nhiên

    Toán 6 VNEN Bài 1: Tập hợp. Phần tử của tập hợp

    Toán 6 VNEN Bài 2: Tập hợp các số tự nhiên

    Toán 6 VNEN Bài 3: Ghi số tự nhiên

    Toán 6 VNEN Bài 4: Số phần tử của một tập hợp. Tập hợp con

    Toán 6 VNEN Bài 5: Luyện tập

    Toán 6 VNEN Bài 6: Phép cộng và phép nhân

    Toán 6 VNEN Bài 7: Phép trừ và phép chia

    Toán 6 VNEN Bài 8: Luyện tập chung về các phép tính với số tự nhiên

    Toán 6 VNEN Bài 9: Lũy thừa với số tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

    Toán 6 VNEN Bài 10: Chia hai lũy thừa cùng cơ số

    Toán 6 VNEN Bài 11: Thứ tự thực hiện các phép tính

    Toán 6 VNEN Bài 12: Luyện tập chung

    Toán 6 VNEN Bài 13: Tính chất chia hết của một tổng

    Toán 6 VNEN Bài 14: Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

    Toán 6 VNEN Bài 15: Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

    Toán 6 VNEN Bài 16: Ước và bội

    Toán 6 VNEN Bài 17: Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố

    Toán 6 VNEN Bài 18: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

    Toán 6 VNEN Bài 19: Ước chung và bội chung

    Toán 6 VNEN Bài 20: Ước chung lớn nhất

    Toán 6 VNEN Bài 21: Luyện tập về ước chung lớn nhất

    Toán 6 VNEN Bài 22: Bội chung nhỏ nhất

    Toán 6 VNEN Bài 23: Luyện tập về bội chung nhỏ nhất

    Toán 6 VNEN Bài 24: Ôn tập chương 1

    Chương 2: Số nguyên

    Toán 6 VNEN Bài 1: Làm quen với số nguyên âm

    Toán 6 VNEN Bài 2: Tập hợp các số nguyên

    Toán 6 VNEN Bài 3: Thứ tự trong tập hợp các số nguyên

    Toán 6 VNEN Bài 4: Giá trị tuyệt đối của một số nguyên

    Toán 6 VNEN Bài 5: Cộng hai số nguyên cùng dấu

    Toán 6 VNEN Bài 6: Cộng hai số nguyên trái dấu

    Toán 6 VNEN Bài 7: Tính chất phép cộng của số nguyên

    Toán 6 VNEN Bài 8: Phép trừ hai số nguyên

    Toán 6 VNEN Bài 9: Quy tắc dấu ngoặc

    Toán 6 VNEN Bài 10: Quy tắc chuyển vế

    Toán 6 VNEN Bài 11: Ôn tập học kỳ 1

    Toán 6 VNEN Bài 12: Nhân hai số nguyên khác dấu

    Toán 6 VNEN Bài 13: Nhân hai số nguyên cùng dấu

    Toán 6 VNEN Bài 14: Luyện tập về nhân hai số nguyên

    Toán 6 VNEN Bài 15: Tính chất của phép nhân

    Toán 6 VNEN Bài 16: Bội và ước của một số nguyên

    Toán 6 VNEN Bài 17: Ôn tập chương II

    Chương 1: Điểm – Đường thẳng – Đoạn thẳng – Tia

    Toán 6 VNEN Bài 1: Điểm. Đường thẳng. Đường thẳng đi qua hai điểm

    Toán 6 VNEN Bài 2: Ba điểm thẳng hàng. Đoạn thẳng

    Toán 6 VNEN Bài 3: Độ dài đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng

    Toán 6 VNEN Bài 4: Tia. Vẽ đoạn thẳng biết độ dài

    Toán 6 VNEN Bài 5: Thực hành trồng cây thẳng hàng. Đo độ dài

    Toán 6 VNEN Bài 6: Ôn tập chương 1

    Toán 6 VNEN Tập 2

    Chương 3: Phân số

    Bài 1: Mở rộng khái niệm phân số

    Bài 2: Phân số bằng nhau

    Bài 3: Tính chất cơ bản của phân số

    Bài 4: Rút gọn phân số

    Bài 5: Quy đồng mẫu nhiều phân số

    Giải bài Luyện tập

    Bài 6: So sánh phân số

    Bài 7: Phép cộng phân số

    Bài 8: Tính chất cơ bản của phép cộng phân số

    Giải bài Luyện tập

    Bài 9: Phép trừ phân số

    Giải bài Luyện tập

    Bài 10: Phép nhân phân số

    Bài 11: Tính chất cơ bản của phép nhân phân số

    Giải bài Luyện tập

    Bài 12: Phép chia phân số

    Giải bài Luyện tập

    Bài 13: Hình thang

    Giải bài Luyện tập

    Giải bài Luyện tập

    Bài 14: Tìm giá trị phân số của một số cho trước

    Giải bài Luyện tập

    Bài 15: Tìm một số biết giá trị một phân số

    Giải bài Luyện tập

    Bài 16: Tìm tỉ số của hai số

    Giải bài Luyện tập

    Bài 17: Biểu đồ phần trăm

    Giải bài Ôn tập chương 3 phần Số học

    Giải bài Ôn tập cuối năm phần số học _ câu hỏi

    Giải bài Ôn tập cuối năm phần số học _ bài tập

    Chương 4: Nửa mặt phẳng – Góc – Đường tròn – Tam giác

    Bài 1: Nửa mặt phẳng

    Bài 2: Góc

    Bài 3: Số đo góc

    Bài 4: Khi nào góc xOy + góc yOz = góc xOz?

    Bài 5: Vẽ góc cho biết số đo

    Bài 6: Tia phân giác của góc

    Bài 7: Thực hành đo góc trên mặt đất

    Bài 8: Đường tròn

    Bài 9: Tam giác

    Giải Bài Ôn tập phần hình học

    Toán 6 VNEN Bài 1: Tập hợp. Phần tử của tập hợpToán 6 VNEN Bài 2: Tập hợp các số tự nhiênToán 6 VNEN Bài 3: Ghi số tự nhiênToán 6 VNEN Bài 4: Số phần tử của một tập hợp. Tập hợp conToán 6 VNEN Bài 5: Luyện tậpToán 6 VNEN Bài 6: Phép cộng và phép nhânToán 6 VNEN Bài 7: Phép trừ và phép chiaToán 6 VNEN Bài 8: Luyện tập chung về các phép tính với số tự nhiênToán 6 VNEN Bài 9: Lũy thừa với số tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ sốToán 6 VNEN Bài 10: Chia hai lũy thừa cùng cơ sốToán 6 VNEN Bài 11: Thứ tự thực hiện các phép tínhToán 6 VNEN Bài 12: Luyện tập chungToán 6 VNEN Bài 13: Tính chất chia hết của một tổngToán 6 VNEN Bài 14: Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5Toán 6 VNEN Bài 15: Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9Toán 6 VNEN Bài 16: Ước và bộiToán 6 VNEN Bài 17: Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tốToán 6 VNEN Bài 18: Phân tích một số ra thừa số nguyên tốToán 6 VNEN Bài 19: Ước chung và bội chungToán 6 VNEN Bài 20: Ước chung lớn nhấtToán 6 VNEN Bài 21: Luyện tập về ước chung lớn nhấtToán 6 VNEN Bài 22: Bội chung nhỏ nhấtToán 6 VNEN Bài 23: Luyện tập về bội chung nhỏ nhấtToán 6 VNEN Bài 24: Ôn tập chương 1Toán 6 VNEN Bài 1: Làm quen với số nguyên âmToán 6 VNEN Bài 2: Tập hợp các số nguyênToán 6 VNEN Bài 3: Thứ tự trong tập hợp các số nguyênToán 6 VNEN Bài 4: Giá trị tuyệt đối của một số nguyênToán 6 VNEN Bài 5: Cộng hai số nguyên cùng dấuToán 6 VNEN Bài 6: Cộng hai số nguyên trái dấuToán 6 VNEN Bài 7: Tính chất phép cộng của số nguyênToán 6 VNEN Bài 8: Phép trừ hai số nguyênToán 6 VNEN Bài 9: Quy tắc dấu ngoặcToán 6 VNEN Bài 10: Quy tắc chuyển vếToán 6 VNEN Bài 11: Ôn tập học kỳ 1Toán 6 VNEN Bài 12: Nhân hai số nguyên khác dấuToán 6 VNEN Bài 13: Nhân hai số nguyên cùng dấuToán 6 VNEN Bài 14: Luyện tập về nhân hai số nguyênToán 6 VNEN Bài 15: Tính chất của phép nhânToán 6 VNEN Bài 16: Bội và ước của một số nguyênToán 6 VNEN Bài 17: Ôn tập chương IIToán 6 VNEN Bài 1: Điểm. Đường thẳng. Đường thẳng đi qua hai điểmToán 6 VNEN Bài 2: Ba điểm thẳng hàng. Đoạn thẳngToán 6 VNEN Bài 3: Độ dài đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳngToán 6 VNEN Bài 4: Tia. Vẽ đoạn thẳng biết độ dàiToán 6 VNEN Bài 5: Thực hành trồng cây thẳng hàng. Đo độ dàiToán 6 VNEN Bài 6: Ôn tập chương 1Bài 1: Mở rộng khái niệm phân sốBài 2: Phân số bằng nhauBài 3: Tính chất cơ bản của phân sốBài 4: Rút gọn phân sốBài 5: Quy đồng mẫu nhiều phân sốGiải bài Luyện tậpBài 6: So sánh phân sốBài 7: Phép cộng phân sốBài 8: Tính chất cơ bản của phép cộng phân sốGiải bài Luyện tậpBài 9: Phép trừ phân sốGiải bài Luyện tậpBài 10: Phép nhân phân sốBài 11: Tính chất cơ bản của phép nhân phân sốGiải bài Luyện tậpBài 12: Phép chia phân sốGiải bài Luyện tậpBài 13: Hình thangGiải bài Luyện tậpGiải bài Luyện tậpBài 14: Tìm giá trị phân số của một số cho trướcGiải bài Luyện tậpBài 15: Tìm một số biết giá trị một phân sốGiải bài Luyện tậpBài 16: Tìm tỉ số của hai sốGiải bài Luyện tậpBài 17: Biểu đồ phần trămGiải bài Ôn tập chương 3 phần Số họcGiải bài Ôn tập cuối năm phần số học _ câu hỏiGiải bài Ôn tập cuối năm phần số học _ bài tậpBài 1: Nửa mặt phẳngBài 2: GócBài 3: Số đo gócBài 4: Khi nào góc xOy + góc yOz = góc xOz?Bài 5: Vẽ góc cho biết số đoBài 6: Tia phân giác của gócBài 7: Thực hành đo góc trên mặt đấtBài 8: Đường trònBài 9: Tam giácGiải Bài Ôn tập phần hình học

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 6 Tập 1
  • Lớp 7 – Để Học Tốt Lớp 7 – Giải Bài Tập Lớp 7
  • Giải Sách Bài Tập Toán 7
  • Giải Sách Bài Tập Môn Toán 8
  • Review Sách Bài Tập Và Bài Giải Quản Trị Dự Án Hiện Đại
  • Giải Bt Tin Học 6 Vnen

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Sử 10 Bài 5: Trung Quốc Thời Phong Kiến
  • Giải Bài Tập Sgk Lịch Sử 7 Bài 5: Ấn Độ Thời Phong Kiến
  • Independiente Fc Team Details, Competitions And Latest Matches
  • Cùng Em Học Toán
  • Giáo Án Luyện Từ Và Câu Lớp 3
  • Giới thiệu về Giải BT Tin học 6 VNEN

    Chương 1: Làm quen với tin học và máy tính điện tử gồm 16 bài viết

    Chương 2: Mạng máy tính và internet gồm 5 bài viết

    Chương 3: Soạn thảo văn bản gồm có 8 bài viết.

    Giải BT Tin học 6 VNEN giúp các em học sinh tham khảo cách giải bài tập chính xác, ngắn gọn và đủ ý. Từ đó giúp các em học tốt hơn với bộ môn Tin học này.

    Giải BT Tin học 6 VNEN gồm có 3 chương và 29 bài viết. Nội dung cụ thể như sau:

    Bài 1: Thông tin và tin học

    Bài 2: Các dạng thông tin

    Bài 3: Khả năng của máy tính

    Bài 4: Cấu trúc của máy tính

    Bài 5: Các thiết bị vào/ra

    Bài thực hành 1: Sử dụng chuột

    Bài thực hành 2: Sử dụng chuột

    Bài 6: Tập gõ bàn phím

    Bài thực hành 3: Làm quen với luyện gõ bàn phím

    Bài thực hành 4: Luyện gõ bàn phím trình độ trung bình

    Bài thực hành 5: Luyện gõ bàn phím trình độ nâng cao

    Bài thực hành 6: Phần mềm trò chơi luyện gõ bàn phím

    Bài 7: Phần mềm

    Bài 8: Hệ điều hành Windows

    Bài 9: Lưu trữ thông tin trong máy tính

    Bài thực hành 7: Luyện gõ bàn phím trình độ nâng cao

    Chương 2: Mạng máy tính và internet

    Bài thực hành 1: Sử dụng trình duyệt web

    Bài thực hành 2: Đăng ký tài khoản thư điện tử

    Bài thực hành 3: Soạn, gửi và nhận thư điện tử

    Bài 1: Mạng máy tính

    Bài 2: Mạng Internet

    Chương 3: Soạn thảo văn bản

    Bài 1: Làm quen với soạn thảo văn bản

    Bài 2: Soạn thảo văn bản đơn giản

    Bài 3: Chỉnh sửa văn bản

    Bài 4: Định dạng văn bản

    Bài 5: Định dạng đoạn văn bản

    Bài 6: Trình bày trang văn bản và in

    Bài 7: Thêm hình ảnh để minh họa

    Bài 8: Thực hành tổng hợp

    Bài 1: Thông tin và tin họcBài 2: Các dạng thông tinBài 3: Khả năng của máy tínhBài 4: Cấu trúc của máy tínhBài 5: Các thiết bị vào/raBài thực hành 1: Sử dụng chuộtBài thực hành 2: Sử dụng chuộtBài 6: Tập gõ bàn phímBài thực hành 3: Làm quen với luyện gõ bàn phímBài thực hành 4: Luyện gõ bàn phím trình độ trung bìnhBài thực hành 5: Luyện gõ bàn phím trình độ nâng caoBài thực hành 6: Phần mềm trò chơi luyện gõ bàn phímBài 7: Phần mềmBài 8: Hệ điều hành WindowsBài 9: Lưu trữ thông tin trong máy tínhBài thực hành 7: Luyện gõ bàn phím trình độ nâng caoBài thực hành 1: Sử dụng trình duyệt webBài thực hành 2: Đăng ký tài khoản thư điện tửBài thực hành 3: Soạn, gửi và nhận thư điện tửBài 1: Mạng máy tínhBài 2: Mạng InternetBài 1: Làm quen với soạn thảo văn bảnBài 2: Soạn thảo văn bản đơn giảnBài 3: Chỉnh sửa văn bảnBài 4: Định dạng văn bảnBài 5: Định dạng đoạn văn bảnBài 6: Trình bày trang văn bản và inBài 7: Thêm hình ảnh để minh họaBài 8: Thực hành tổng hợp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bt Tin Học 8
  • Giải Bài 4: Diện Tích Hình Thang Toán Lớp 8 Đầy Đủ Nhất
  • Bài Viết Số 6 Lớp 7 Đề 2: Suy Nghĩ Về Câu Nhiễu Điều Phủ Lấy Giá Gương
  • Skkn Tạo Hứng Thú Học Tập Cho Học Sinh Thông Qua Khai Thác Một Bài Toán Hình Học 7
  • Getting Started Trang 16 Unit 8 Sgk Tiếng Anh 7 Mới Tập 2
  • Bài 1. Sự Điện Li

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Sbt Hóa 11 Bài 1: Sự Điện Ly
  • Giải Bài Tập Sbt Hóa 11 Bài 3: Sự Điện Li Của Nước. Ph. Chất Chỉ Thị Axit
  • Giải Bài Tập Sbt Hóa 11 Bài 4: Phản Ứng Trao Đổi Ion Trong Dung Dịch Các Chất Điện Li
  • Bài 3. Sự Điện Li Của Nước. Ph. Chất Chỉ Thị Axit
  • Giải Bài Tập Sbt Hóa 11 Bài 30: Ankađien
  • Bài 1. Sự điện li

    Bài 1.1 trang 3 SBT Hóa 11: Các dung dịch sau đây có cùng nồng độ 0,1 mol/l, dung dịch nào dẫn điện kém nhất ?

    A. HCl.

    B. HF.

    C. HI.

    D. HBr.

    Đáp án: B.

    A NaI 2.10 −3 M.

    B. NaI 1.10 −2 M.

    C. NaI 1.10 −1 M.

    D. NaI 1.10 −3 M.

    Đáp án: C

    Bài 1.3 trang 3 SBT Hóa 11: Trong bốn chất sau, chất nào là chất điện li yếu?

    B. HCl

    C. NaOH

    D. NaCl

    Đáp án: A.

    Bài 1.4 trang 3 SBT Hóa 11: Giải thích tại sao khả năng dẫn điện của nước vôi trong (dung dịch Ca(OH) 2 trong nước) để trong không khí giảm dần theo thời gian.

    Vì Ca(OH) 2 hấp thụ C0 2 trong không khí tạo thành kết tủa CaC0 3 và H 2 0 làm giảm nồng độ các ion trong dung dịch :

    Bài 1.5 trang 3 SBT Hóa 11: Viết phương trình điện li của các chất sau trong dung dịch:

    Các chất điện li yếu : HBrO, HCN.

    Bài 1.6 trang 3 SBT Hóa 11: Viết phương trình điện li của axit yếu CH 3COOH trong dung dịch. Nếu hoà tan ít tinh thể chất điện li mạnh CH 3COONa vào dung dịch axit trên thì nồng độ H+ tăng hay giảm ? Giải thích dựa vào nguyên lí chuyển dịch cân bằng Lơ Satơliê.

    CH 3 COONa phân li trong dung dịch như sau :

    Sự phân li của CH 3COOH là quá trình thuận nghịch. Đây là cân bằng động. Khi hoà tan CH 3COONa vào thì nồng độ CH 3COO− tăng lên, làm cho cân bằng (1) chuyển dịch từ phải sang trái, nên nồng độ H+ giảm xuống.

    Bài 1.7 trang 4 SBT Hóa 11: Trong dung dịch CH3COOH 4,3.10-2 M, người ta xác định được nồng độ H+ bằng 8,6.10-4 mol/l. Hỏi có bao nhiêu phần trăm phân tử CH 3 COOH trong dung dịch này điện li ra ion ?

    CH 3COOH ↔ CH 3COO + H+

    Nồng độ ban đầu (mol/l):

    4,3.10-2 0 0

    Nồng độ cân bằng (mol/l):

    4,3.10-2 – 8,6.10-4 8,6.10-4 8,6.10-4

    Phần trăm phân tử CH 3 COOH phân li ra ion

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Sbt Hóa 12 Bài 2: Lipit
  • Giải Bài Tập Sbt Hóa 12 Bài 6: Saccarozơ, Tinh Bột, Xenlulozơ
  • Giải Bài Tập Hóa Học 12 Sbt Bài 5
  • Giải Bài Tập Sbt Hóa 12 Bài 5: Glucozơ
  • Giải Bài Tập Sbt Hóa 9 Bài 12: Mối Quan Hệ Giữa Các Loại Hợp Chất Vô Cơ
  • Giai Thừa Lớn Chứa Giai Thừa Bé Và Ứng Dụng

    --- Bài mới hơn ---

  • Giai Thừa Với Bài Toán Tổ Hợp
  • Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Lý Thuyết Giải Các Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Thường Gặp
  • Giáo Án Đại Số 11 Chương 1 Tiết 11: Thực Hành Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Bằng Máy Tính Bỏ Túi Casio Fx 500Ms
  • Phương Trình Hóa Học Đầy Đủ Chi Tiết Nhất
  • Trước tiên, chúng ta cần hiểu “Giai thừa” là gì?

    1. Định nghĩa

    Cho

    là số tự nhiên dương. Tích của

    số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến

    được gọi là n – giai thừa. Kí hiệu là

    Như vậy, kí hiệu là một số nguyên dương được tính bởi công thức

    hoặc

    Ví dụ

    • Tích của 1 số từ 1 đến 1
    • Tích của 2 số liên tiếp, từ 1 đến 2
    • Tích của 3 số liên tiếp, từ 1 đến 3
    • Tích của 4 số liên tiếp, từ 1 đến 4
    • Tích của 5 số liên tiếp, từ 1 đến 5

    Theo định nghĩa trên, khái niệm

    chỉ được định nghĩa với

    là một số tự nhiên lớn hơn không. Về sau để tiện sử dụng và phù hợp với một số công thức tính toán, người ta “mở rộng” khái niệm Giai thừa cho trường hợp

    bằng 0 và định nghĩa – hay qui ước:

    . Bạn có thể Google hoặc xem trên Wikipedia để tìm hiểu thêm về quy ước này!

    Quy ước: Điều kiện xác định

    Với quy ước trên, từ giờ trở đi chúng ta cần nhớ

    Kí hiệu

    chỉ có nghĩa khi

    hay

    Tiếp theo, chúng ta cùng tìm hiểu xem Giai thừa có tính chất gì đặc biệt.

    2. Tính chất giai thừa

    Hãy quay lại ví dụ ở trên, quan sát các giai thừa khi viết chúng ở dạng tích các số tự nhiên liên tiếp và cố gắng tìm ra một mối liên hệ nào đó giữa các giai thừa lớn so với các giai thừa bé hơn. Chẳng hạn, giữa và hay giữa và ?

    Bạn có thấy mối quan hệ gì không?

    Đây chính là tính chất đặc trưng của Giai thừa: Một giai thừa lớn luôn có thể biểu diễn qua một giai thừa bé hơn. Chúng ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng “khẩu quyết” cho dễ nhớ là: “Giai thừa lớn chứa giai thừa bé”. Bây giờ hãy xem khẩu quyết này lợi hại thế nào 😀

    3. Ví dụ

    Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

    Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức sau:

    Phân tích

    * Nhận xét, biểu thức đã cho gồm các tỉ số mà tử và mẫu đều là các giai thừa, do đó ta có thể áp dụng định nghĩa để viết từng giai thừa thành tích các thừa số rồi rút gọn. Nhưng rõ ràng, làm như thế sẽ khiến biểu thức của ta rất cồng kềnh vì có rất nhiều thừa số.

    * Để ý rằng, ở mỗi tỉ số đều chứa những giai thừa lớn và giai thừa nhỏ. Như vậy, ta có thể biểu diễn giai thừa lớn theo giai thừa nhỏ hơn rồi rút gọn. Chẳng hạn , do đó

    * Tương tự như vậy, cho các giai thừa còn lại: và . Từ đó, ta sẽ rút gọn được biểu thức một cách dễ dàng hơn.

    Lời giải

    Ta có

    Do đó:

    – Cách thứ nhất là: Áp dụng định nghĩa Giai thừa, viết các giai thừa dưới dạng tích số từ 1 đến rồi rút gọn các thừa số chung.

    – Cách thứ hai là: Quan sát xem giai thừa nào lớn hơn, rồi giữ nguyên giai thừa bé và biểu diễn giai thừa lớn theo giai thừa bé để rút gọn.

    Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

    Rút gọn biểu thức sau:

    Phân tích

    * Nhận xét, không giống như ví dụ trước, ở ví dụ này xuất hiện giai thừa có chứa biến . Tuy nhiên, điều đó không quan trọng! Điều quan trọng là phải nhìn ra giai thừa nào là giai thừa lớn và giai thừa nào là giai thừa bé hơn.

    * Dễ thấy, lớn hơn một đơn vị, do đó và

    Ví dụ 3: Giải phương trình chứa ẩn trong giai thừa

    Giải phương trình

    Phân tích

    * Chà, một phương trình lạ mắt, một phương trình ẩn mà lại nằm trong giai thừa! Lạ quá, từ xưa đến giờ chúng ta chỉ giải các phương trình mà ẩn nằm trong đa thức, căn thức và gần đây nhất là trong đối số của hàm lượng giác thôi. Giờ ẩn lại nằm trong giai thừa! Vậy làm thế nào để tìm đây? 1

    * Bình tĩnh một chút, hãy nhớ lại xem các “sư phụ” 😀 thường bảo chúng ta làm gì khi gặp những “phương trình mới mẻ”, những phương trình mà chúng ta chưa biết giải? À, “khẩu quyết” 2 hay dùng khi đó là “đưa nó về phương trình đã biết giải” hay “quy lạ về quen”. Vậy hãy thực hiện vài phép rút gọn vế trái xem phương trình có thể trở thành như thế nào?

    * Dễ thấy rằng là bé nhất nên ta sẽ biểu diễn các giai thừa còn lại theo , khi đó vế trái của phương trình đã cho trở thành

    Tốt rồi, giai thừa đã bị “biến mất”, vế trái trở thành 1 biểu thức quen thuộc với tử là bậc nhất còn mẫu là bậc hai với ẩn , trong khi vế phải là hằng số. Do đó, nhân chéo, chuyển vế và rút gọn thì phương trình đã cho trở thành một phương trình bậc hai quen thuộc.

    * Trước khi thực hiện lời giải, chú ý rằng chúng ta đang giải phương trình có chứa ẩn trong giai thừa nên phải có điều kiện cho ẩn. Dễ thấy, điều kiện ở đây là .

    Lời giải

    * Điều kiện:

    * Ta có:

    * Do đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình

    ™, ™

    * Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm

    – Chúng ta cũng được dịp ôn lại một khẩu quyết rất hay dùng khi giải các bài toán về phương trình: “Đưa phương trình đã cho về phương trình đã biết giải” hay tư tưởng “Quy lạ về quen”

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 Es Plus
  • Giải Toán 10 Bài 2. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn
  • Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình
  • Đại Số 10/chương Iii/§1. Đại Cương Về Phương Trình
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Giai Sach Bài Tập Lưu Hoằng Trí 6 Unit 7

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 7 Bài 5: Hàm Số
  • Giáo Án Toán Học Lớp 7
  • Đồ Thị Hàm Số Y = Ax
  • A Closer Look 1 Unit 8 Lớp 7
  • Giải A Closer Look 1 Unit 8 Tiếng Anh 7 Mới Tập 2
  • Sach Lưu Hoang Trí 10 Giải Unit 1, Giải Unit 6 Sách Bài Tập Lưu Hoằng Trí 8, Giải Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 6 Unit 5, Giải Sách Bài Tập Lưu Hoằng Trí Lớp 11 Unit 1, Giai Sach Bài Tập Lưu Hoằng Trí 6 Unit 7, Giai Unit 10 Sach Luu Hoang Tri 8, Giải Unit 9 Sách Bài Tập Lưu Hoằng Trí 6, Giai Sach Bài Tập Lưu Hoằng Trí 6 Unit 11, Sách Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 3, Giải Sách Lưu Hoàng Trí Lớp 6 Unit 7, Giải Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 6 Test Unit 7, Sach Giai Luu Hoang Tri 6 Unit 7 Bai Test, Sách Giải Luư Hoàng Trí 6 Unit 8 Bài Writing, Giai Test Unit 7 Sach Bai Tap Lop 6 Luu Hoang Tri, Giải Unit 1 Sách Bài Tập Tiếng Anh Lưu Hoằng Trí 8, Giai Sach Bai Tap Luu Hoang Tri 6 Unit 6 Phan A, Giải Bài Tập Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 6 (sách Mới) Unit 7, Giải Bài Tập Lưu Hoằng Trí Lớp 10 Unit 1, Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 9 Unit 8, Giải Lưu Hoằng Trí 6 Unit 3, Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 7 Unit 12, Giải Lưu Hoằng Trí 8 Unit 14, Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 12, Giải Lưu Hoằng Chí Lớp 6 Unit 7, Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 9 Unit 7, Giai Luu Hoang Tri 6 Unit 7, Giải Bài Tập Lưu Hoằng Chí Lớp 8 Unit 9, Giải Lưu Hoàng Trí Lớp 6 Unit 6, Giải Lưu Hoằng Trí 7 Unit 6, Giải Lưu Hoằng Trí 7 Unit 40, Giải Bài Tập Lưu Hoằng Trí 8 Unit 1, Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 1, Giải Bài Tập Lưu Hoằng Trí Unit 1, Giải Bài Tập Lưu Hoằng Trí Lớp 7 Unit 8, Giải Lưu Hoằng Trí 7 Unit 4, Giải Lưu Hoàng Trí Lớp 6 Unit 7, Giai Luu Hoang Tri Lop8 Unit 4, Unit 1 Giai Bai Tap Tieng Anh 8 Luu Hoang Tri, Unit 5 Lớp 6 Sach Bài Tập Lưu Hoằng Trí, Iv Sách Lưu Hoàng Trí Lớp 6 Unit 7, Sach Luu Hoang Tri Lop 6 Unit 8, Sach Luu Hoang Tri Unit 7 Lop 6, Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 2 Bài 2, Sach Bai Tap Luu Hoang Tri Lop 6 Unit 7, Unit 10 Lop 8 Sach Luu Hoang Chi, Đáp án Bài Tập Anh 10 Unit 4 Sách Lưu Hoằng Trí Không Đáp án, Bai Tap Tieng Anh Lop 9 Unit 4 Sach Thi Diem Luu Hoang Trí, Giải Sách Lưu Hoằng Trí 9, Giải Sách Lưu Hoằng Trí 8, Giải Sách Lưu Hoàng Trí Lớp Sáu, Sách Giải Lưu Hoằng Trí 9, Sách Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 8, Giải Bài Tập Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 9, Giải Sách Luu Hoang Tri 7, Lời Giải Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Trang 78, Lời Giải Sách Lưu Hoằng Trí 7 Trang 178, Giai Sach Bai Tap Tieng Anh 8 Luu Hoang Tri, Giai Sạch Lưu Hoang Tri Lớp 6 Trang 54,55,56, Giải Sách Mai Lan Hương Lớp 7 Unit 7, Giải Unit 3 Sách Life, Giải Sách Bài Tập Mai Lan Hương Lớp 7 Unit 7, Lời Giải Sách Life A2-b1 ( B1 Unit 9), Giải Sách Bài Tập Mai Lan Hương Lớp 7 Unit 9, Giải Sách Mai Lan Hương Lớp 7 Unit 4, Giai Sach Bai Tap Tieng Anh Mai Lan Huong Lop 7 Unit 1, Giai Bai Tap Sach Life Unit 1 People, Giải Bài Sách Life Unit 3 Transport, Giải Sách Bài Tập Prepare Level 2 Unit 6, Giải Unit 1 Phần Reveiw Trang 20 Sách A1, Giải Unit 3 Speaking Trang 37 Sách Life, Giải Unit 3 Transport Sách Life A2b1, Giải Sách Bài Tập Prepare Level 2 Unit 6 Trang 148, Giải Sách Solutions 2nd Pages 100 Unit 10c Gateway To The New World, Giải Bài Revision: Unit 3 & 4 Sách Up Beat Elementary Students’ Book, Giải Bài R2 Revision: Unit 3 & 4 Sách Up Beat Elementary Students’ Book, Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 9, Luu-hoang-chi-lop-6-unit-7, Lưu Hoằng Trí 9 Unit 2, Luu Hoang Tri 6 Unit 7, Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Có Đáp án Unit 1, Đáp án Bài Tập Lưu Hoằng Trí Lớp 7 Unit 5, Lưu Hoằng Trí Unit 4 Lớp 11, Lưu Hoàng Trí 6 Unit 7 Đáp án, Luu Hoang Tri Lop 6 Unit 4, Luu Hoang Tri Lop 6 Unit 8, Lưu Hoằng Trí 6 Có Đáp án Unit 4, Lưu Hoằng Trí Unit 2 Lớp 8, Lưu Hoằng Trí 11 Unit 4 Key, Unit 9 Lớp 8 Lưu Hoằng Trí, Lưu Hoằng Trí 7 Đáp án Unit 6, Đáp án Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 6, Lưu Hoằng Trí 8 Unit 7, Lưu Hoàng Trí 7 Unit 7, Đáp án Lưu Hoằng Trí Unit 8 Lớp 8 , Đáp án Lưu Hoằng Trí Lớp 12 Unit 5, Lưu Hoằng Trí 6 Unit 4, Đáp án Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 9, Đáp án Lưu Hoàng Trí 8 Unit 9, Đáp án Lưu Hoằng Trí Lớp 10 Unit 2, Đáp án Lưu Hoằng Trí Unit 1 Lớp 6,

    Sach Lưu Hoang Trí 10 Giải Unit 1, Giải Unit 6 Sách Bài Tập Lưu Hoằng Trí 8, Giải Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 6 Unit 5, Giải Sách Bài Tập Lưu Hoằng Trí Lớp 11 Unit 1, Giai Sach Bài Tập Lưu Hoằng Trí 6 Unit 7, Giai Unit 10 Sach Luu Hoang Tri 8, Giải Unit 9 Sách Bài Tập Lưu Hoằng Trí 6, Giai Sach Bài Tập Lưu Hoằng Trí 6 Unit 11, Sách Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 3, Giải Sách Lưu Hoàng Trí Lớp 6 Unit 7, Giải Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 6 Test Unit 7, Sach Giai Luu Hoang Tri 6 Unit 7 Bai Test, Sách Giải Luư Hoàng Trí 6 Unit 8 Bài Writing, Giai Test Unit 7 Sach Bai Tap Lop 6 Luu Hoang Tri, Giải Unit 1 Sách Bài Tập Tiếng Anh Lưu Hoằng Trí 8, Giai Sach Bai Tap Luu Hoang Tri 6 Unit 6 Phan A, Giải Bài Tập Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 6 (sách Mới) Unit 7, Giải Bài Tập Lưu Hoằng Trí Lớp 10 Unit 1, Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 9 Unit 8, Giải Lưu Hoằng Trí 6 Unit 3, Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 7 Unit 12, Giải Lưu Hoằng Trí 8 Unit 14, Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 12, Giải Lưu Hoằng Chí Lớp 6 Unit 7, Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 9 Unit 7, Giai Luu Hoang Tri 6 Unit 7, Giải Bài Tập Lưu Hoằng Chí Lớp 8 Unit 9, Giải Lưu Hoàng Trí Lớp 6 Unit 6, Giải Lưu Hoằng Trí 7 Unit 6, Giải Lưu Hoằng Trí 7 Unit 40, Giải Bài Tập Lưu Hoằng Trí 8 Unit 1, Giải Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 1, Giải Bài Tập Lưu Hoằng Trí Unit 1, Giải Bài Tập Lưu Hoằng Trí Lớp 7 Unit 8, Giải Lưu Hoằng Trí 7 Unit 4, Giải Lưu Hoàng Trí Lớp 6 Unit 7, Giai Luu Hoang Tri Lop8 Unit 4, Unit 1 Giai Bai Tap Tieng Anh 8 Luu Hoang Tri, Unit 5 Lớp 6 Sach Bài Tập Lưu Hoằng Trí, Iv Sách Lưu Hoàng Trí Lớp 6 Unit 7, Sach Luu Hoang Tri Lop 6 Unit 8, Sach Luu Hoang Tri Unit 7 Lop 6, Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Unit 2 Bài 2, Sach Bai Tap Luu Hoang Tri Lop 6 Unit 7, Unit 10 Lop 8 Sach Luu Hoang Chi, Đáp án Bài Tập Anh 10 Unit 4 Sách Lưu Hoằng Trí Không Đáp án, Bai Tap Tieng Anh Lop 9 Unit 4 Sach Thi Diem Luu Hoang Trí, Giải Sách Lưu Hoằng Trí 9, Giải Sách Lưu Hoằng Trí 8, Giải Sách Lưu Hoàng Trí Lớp Sáu,

    --- Bài cũ hơn ---

  • Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 7 Cũ
  • Lưu Hoàng Trí Lớp 7 Giải
  • Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 7
  • Giải Toán 7 Bài 6: Tam Giác Cân
  • Luyện Tập: Giải Bài 5 6 7 8 9 10 Trang 82 83 Sgk Toán 7 Tập 1
  • Giải Bt Tin Học 8

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bt Tin Học 6 Vnen
  • Giải Bài Tập Sgk Sử 10 Bài 5: Trung Quốc Thời Phong Kiến
  • Giải Bài Tập Sgk Lịch Sử 7 Bài 5: Ấn Độ Thời Phong Kiến
  • Independiente Fc Team Details, Competitions And Latest Matches
  • Cùng Em Học Toán
  • Giới thiệu về Giải BT Tin học 8

    Bài 1: Máy tính và chương trình máy tính

    Bài 2: Làm quen với chương trình và ngôn ngữ lập trình

    Bài bài thực hành 1: Làm quen với Free Pascal

    Bài 3: Chương trình máy tính và dữ liệu

    Bài thực hành 2: Viết chương trình để tính toán

    Bài 4: Sử dụng biến và hằng trong chương trình

    Bài thực hành 3: Khai báo và sử dụng biến

    Bài 5: Từ bài toán đến chương trình

    Bài 6: Câu lệnh điều kiện

    Bài thực hành 4: Sử dụng câu lệnh điều kiện

    Bài 7: Câu lệnh lặp

    Bài thực hành 5: Sử dụng lệnh lặp For…do

    Bài 8: Lặp với số lần chưa biết trước

    Bài thực hành 6: Sử dụng lệnh lặp While…do

    Bài 9: Làm việc với dãy số

    Bài thực hành 7: Xử lí dãy số trong chương trình

    Chương 2: Phần mềm học tập

    Bài 10: Làm quen với giải phẫu cơ thể người bằng phần mềm Anatomy

    Bài 11: Giải toán và vẽ hình phẳng với GeoGebra

    Bài 12: Vẽ hình không gian với GeoGebra

    Chương 1: Lập trình đơn giản

    Chương 2: Phần mềm học tập

    Bài 1: Máy tính và chương trình máy tínhBài 2: Làm quen với chương trình và ngôn ngữ lập trìnhBài bài thực hành 1: Làm quen với Free PascalBài 3: Chương trình máy tính và dữ liệuBài thực hành 2: Viết chương trình để tính toánBài 4: Sử dụng biến và hằng trong chương trìnhBài thực hành 3: Khai báo và sử dụng biếnBài 5: Từ bài toán đến chương trìnhBài 6: Câu lệnh điều kiệnBài thực hành 4: Sử dụng câu lệnh điều kiệnBài 7: Câu lệnh lặpBài thực hành 5: Sử dụng lệnh lặp For…doBài 8: Lặp với số lần chưa biết trướcBài thực hành 6: Sử dụng lệnh lặp While…doBài 9: Làm việc với dãy sốBài thực hành 7: Xử lí dãy số trong chương trìnhBài 10: Làm quen với giải phẫu cơ thể người bằng phần mềm AnatomyBài 11: Giải toán và vẽ hình phẳng với GeoGebraBài 12: Vẽ hình không gian với GeoGebraChương 1: Lập trình đơn giảnChương 2: Phần mềm học tập

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài 4: Diện Tích Hình Thang Toán Lớp 8 Đầy Đủ Nhất
  • Bài Viết Số 6 Lớp 7 Đề 2: Suy Nghĩ Về Câu Nhiễu Điều Phủ Lấy Giá Gương
  • Skkn Tạo Hứng Thú Học Tập Cho Học Sinh Thông Qua Khai Thác Một Bài Toán Hình Học 7
  • Getting Started Trang 16 Unit 8 Sgk Tiếng Anh 7 Mới Tập 2
  • Sách Lưu Hoằng Trí Lớp 7 Có Đáp Án Lưu Hoằng Trí Lớp 7 Cũ, Bài Tập Tiếng Anh Lưu Hoằng Trí 7
  • Giai Tich Ham Nhieu Bien

    --- Bài mới hơn ---

  • Download Bai Tap Khai Trien Taylor
  • Giáo Án Giải Tích 12 Kì 1
  • Giải Tích 1 Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
  • Bài 1,2,3, 4,5 Trang 47 Giải Tích Lớp 12: Bài Tập Trắc Nghiệm Ôn Tập Chương 1
  • Các Trang Web Bạn Nên Tham Khảo Khi Học Giải Tích 1
  • Published on

    1. 1. chúng tôi HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PGS TS Tô Văn Ban (Chủ biên) TS Tạ Ngọc Ánh, TS Hy Đức Mạnh BÀI GIẢNG CHI TIẾT GIẢI TÍCH II Hà nội, 6-2013
    2. 4. chúng tôi 3 Ví dụ: Tự đọc; Bài tập: Chữa trên lớp CHƯƠNG I Bổ trợ: 3(b); 4(a, b, d); 5(a); 8(c,d); 10(a); 12(b); 15; 18(b); 21(b); 22; 23(a); 24(a); 30(a); 34(c, g); 35(d, e); 37(a); 39(c); 41(a, e). Chính: 6(a, b, c, d, e); 13(b, c); 24(c); 26(d); 33; 34(f); 35(i, j, k, l); 36(e, f, g, h, i, j, k); 37(c, d, e, f); 40( d, e, f); VD 1.17; VD 1.26A; VD 1.27; VD 1.28; VD 1.29 (i, ii); VD 1.30; VD 1.37; VD 1.39 CHƯƠNG II Bổ trợ: 1(b, d); 2(b, c); 3(b); 4(a, b); 5(a, c, d); 6(b); 7(d, c); 8(a); 9(d, f); 10(c); 15; 17; 19(b); 20(a, c); 24; 27(a). Chính: 1(e); 5(f); 6(a); 7(e, f); 8(b, d); 9(g); 10(f, g, h); 14(c, d); 19(c); 20(f); 21(c, d); 22(b, c, e); 23(a, b). VD 2.11; VD 2.13; VD2.25 ; VD 2.26; VD 2.27; VD 2.33; VD 2.34; VD2.37 ; VD 2.40 CHƯƠNG III Bổ trợ: 1(d,e), 2, 4. 5(a) , 11, 14(a), 15(a, c), 17(a), 18(d), 19(a, d), 22(a, e), 26(c), 27(a); 29(a, b), 30. Chính: 7; 8; 14(c); 16(c, d); 22(d); 24(c, d, e, f, h); 25. VD3.16 ; VD3.23 ; VD3.23 ; VD3.25 ; VD3. 26 ; VD3.27 ; VD3.28 ; VD3. 29 ; VD3.31 ; VD3.32 ; VD 3.33; VD3.34 . CHƯƠNG IV Bổ trợ: 2(a); 3(a) 8; 10(e); 12(b); 15(b,c); 18(b); 20(a); 21(d); 23(a); 24(b, e); 26(a, b, d); 28(a, b); 31(c). Chính: 3(b); 10(b, c, d, e); 12(e, f, g); 13(b); 15(f, g); 18(c, d); 19(a, b, c, d, e); 24(e); 26(f, h, i, j); 27(c, d,e); 28(d, e, f, g); 30(d, e, f); 31(b); 32; 33(a, b, c). VD 4. 34; VD 4.35 ; VD 4.36; VD 4.48; VD 4.49; VD 4.50; VD 4.51 ; VD 4.52; VD 4.53; VD 4.54((i), (ii)). CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM Câu số Về phần Số điểm 1 Lý thuyết 2.0 2 Chương 1: Hàm số nhiều biến số 2.0 3 Chương 2: Tích phân bội 2.0 4 Chương III: Tích phân đường, tích phân mặt 2.0 5 Chương 4: phương trinh vi phân 2.0 Điểm bài thi 10đ Điểm quá trình 10đ Điểm chuyên cần 10đ Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10% + điểm quá trình x 20% + điểm bài thi x 70% 10đ Hình thức thi: Thi viết
    3. 5. chúng tôi 4 Bầu lớp trưởng lớp học phần. Kết quả: Số điện thoại giáo viên: Địa chỉ Email cần: Webside cần: Danh sách SV (Ít nhất 7 cột kiểm tra sĩ số) Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ § 1.1. GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 1.1.1. Tập hợp trong n  a. Không gian n  Xét V là tập hợp các bộ n số thực có thứ tự x 1 n i(x , … , x ), x  . (Hiện thời ta viết đậm các phần tử của V). Trong V đưa vào phép cộng và và phép nhân với vô hướng: 1 n 1 n i i(x , … , x ), (y ,…,y ), x , y  x y  , 1 1 n n(x y , … , x y )   x y , 1 n( x , … , x ),    x  . Khi đó V trở thành không gian véc tơ trên ; phần tử của V gọi là véc tơ, đôi khi gọi là điểm. * Tích vô hướng. Tích vô hướng của hai véc tơ x và y là một số thực, ký hiệu là x.y , (có tài liệu viết là  x,y ) xác định bởi: 1 1 n nx y … x y  x.y . * Không gian Euclide n  . Không gian véc tơ V có trang bị tích vô hướng vừa nêu gọi là không gian Euclide n chiều, ký hiệu là n  . Tích vô hướng nêu trên có các tính chất thông thường đã biết ơt phổ thông. Khi 0x.y ta nói hai véc tơ x và y là trực giao với nhau, và viết x y . * Khoảng cách. Khoảng cách giữa 1 n(x ,… ,x )x và 1 n(y ,… ,y )y ký hiệu bởi d(x, y), xác định theo công thức d( , ) ( ) ( )  x y x y x y . 2 2 1 1 n nd( , ) (y x ) … (y x )    x y . (1.1) Khoảng cách này còn gọi là khoảng cách Euclide, có các tính chất sau đây: d( , ) d( , )x y y x : tính đối xứng d( , ) 0; d( , ) 0   x y x y x y : tính xác định dương d( ) d( ) d( ) x,y y,z x,z : bất đẳng thức tam giác Trong 2  , điểm hay được ký hiệu là (x,y), trong 3  là (x,y,z).
    4. 6. chúng tôi 5 Đồng nhất điểm M với bộ số (x,y,z) là toạ độ của nó trong một hệ toạ độ trức chuẩn; thay cho điểm M, ta viết (x,y,z) hay đầy đủ hơn M(x,y,z). Khoảng cách (1.1) chính là khoảng cách thông thường. Trong 2  : Điểm M có thể đồng nhất với toạ độ (x, y) của nó; thay cho điểm M ta viết (x, y), hay đầy đủ hơn M(x, y). Trong phần còn lại của chương này các kết quả được trình bày chủ yếu trong 2  . Nhiều kết quả tương tự còn đúng cho n  . b. Phân loại tập hợp trong n   Lân cận. Cho 2 ;  a  lân cận của điểm a (còn gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ), kí hiệu U ( ) a , là tập hợp xác định bởi: 2 U ( ) { : d( , ) }    a x x a . Điểm a được gọi là điểm trong của tập hợp 2 E   nếu E chứa một hình cầu mở nào đó tâm a: U ( ) E, ( 0)   x . Đồng thời, tập E gọi là một lân cận của điểm a.  Tập mở. Tập hợp E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong của nó. Dễ nhận thấy rằng, tập hợp U ( ) a là tập mở.  Điểm biên. Điểm x gọi là điểm biên của E nếu trong một -lân cận bất kì của x đều chứa ít nhất một điểm thuộc E và một điểm không thuộc E . Tập các điểm biên của E kí hiệu là (E) , gọi là biên của E. Rõ ràng, điểm trong của E nằm trong E; điểm biên của E có thể thuộc E, có thể không thuộc E.  Tập đóng. E được gọi là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó: E đóng  E E E    . Hình 1.1. (a) Hình cầu mở, (b) tập mở, (c) hình cầu đóng, (d) mặt cầu (tập đóng) trong 2  Chẳng hạn, các tập sau đây là đóng (xem Hình 1.1): (a) (b) (c) (d)
    5. 8. chúng tôi 7 Sử dụng các đường (đồng) mức Bảng dữ liệu. 1.1.3. Giới hạn của hàm nhiều biến a. Giới hạn của dãy điểm Ta nói dãy điểm 2 n n n{u } {(x ,y )}   hội tụ đến 0 0 0u (x ,y ) nếu n 0 n lim d(u ,u ) 0   . (1.2) Khi đó ta viết n n 0 0 n lim (x ,y ) (x ,y )   , hay đơn giản n 0 n lim u u   hoặc n 0u u (khi n   ). Giới hạn của dãy điểm tương đương với giới hạn của từng tọa độ: n n 0 0 n 0 n 0 n n n lim (x ,y ) (x ,y ) lim x x ; lim y y .        (1.3) * Điểm giới hạn (điểm tụ). Điểm a được gọi là điểm giới hạn của tập n D   nếu có một dãy n{u } các phần tử khác a của D hội tụ đến a. b. Giới hạn của hàm số Định nghĩa. Cho hàm số f(u) xác định trên 2 D   và 0 0a (x ,y ) là một điểm giới hạn của D. Ta nói hàm f(u) có giới hạn   khi u dần đến a nếu: 0, 0    , sao cho u D , 00 d(u,u ) f(u) .       (1.4) Khi đó ta viết u a lim f (u)    hay f (u) khi u a  . Để đầy đủ, ta còn viết 0 0 0 0 (x,y) (x ,y ) limf(x,y) (hay f (x,y) khi (x,y) (x ,y ))      (1.5) Định lý 1.1. Hàm f(u) có giới hạn  khi u dần đến a khi và chỉ khi n n n n n n {u } D; u a; lim u a lim f (u )          . (1.6) Hệ quả. Nếu u a lim f (u)    thì với u (x,y) dần đến 0 0a (x ,y ) theo một đường cong tuỳ ý trong D, f(u) dần đến  . Hình 1.5. Điểm dần đến 0 0(x , y ) theo những đường khác nhau Lưu ý. Các kết quả thông thường đối với giới hạn của hàm 1 biến như giới hạn của tổng, hiệu, định lý kẹp… vẫn còn đúng cho giới hạn của hàm nhiều biến. Ví dụ 1.4. Tìm giới hạn i) 2 2 2 2(x, y) (1,0) 1 lim (x y )sin x y   ; ii) 2 2 2 2(x, y) (0,0) 1 lim (x y )sin x y   .
    6. 9. chúng tôi 8 Giải. i)     2 2 2 2x,y 1,0 1 lim (x y )sin sin1 x y    . ii) Hàm số xác định trên 2 /{(0,0)} . Ta có 2 2 0 f(x,y) x y 0    (khi (x, y) (0,0) . Theo định lí kẹp, (x, y) (0,0) (x, y) (0,0) lim f (x,y) 0 lim f(x,y) 0      . Định nghĩa giới hạn vô hạn tương tự như với hàm một biến. Chẳng hạn 2 y x   khi (x,y) (0,3) ; 2x 2 2 e 1 y z      khi (x,y,z) (0,0,0). # 1.1.4. Sự liên tục của hàm số Cho hàm số f (x,y), (x,y) D , trong đó D là tập tuỳ ý của 2  và 0 0(x ,y ) D là điểm giới hạn của D. Ta nói f(x, y) liên tục tại 0 0(x ,y ) nếu 0 0 0 0 (x, y) (x , y ) lim f(x,y) f(x ,y )   . (1.7) Giả sử 0 0 0 0a (x ,y ) D, u (x,y) (x x,y y) D         . Đặt 0 0 0 0f f(x x,y y) f (x ,y )       Khi đó hàm số f(u) liên tục tại 0 0(x ,y ) khi và chỉ khi ( x, y) (0,0) lim f 0      . (1.8) * Hàm f(x,y) được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm 0 0(x ,y ) D . Lưu ý. Các định lí về tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hợp hàm của các hàm liên tục, định nghĩa hàm sơ cấp và tính liên tục của chúng, các khái niệm và kết quả về sự liên tục đều đối với hàm một biến gần như vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến. Chẳng hạn Định lý 1.2. Hàm f(x,y) liên tục trên tập đóng, giới nội D thì bị chặn trên đó và đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: 1 1 2 2(x ,y ), (x ,y ) D  để 1 1 2 2 (x,y) D (x,y) D f (x ,y ) m Min f (x,y); f(x ,y ) M Max f (x,y)       . Định lý 1.3. Hàm f(x,y) liên tục trên tập đóng, giới nội thì liên tục đều trên đó, tức là với mọi 0  , tìm được số  sao cho với (x,y), (x ,y ) D   mà d((x,y), (x ,y ))    thì f(x,y) f(x ,y )    . Ví dụ 1.5. Cho hàm số   2 2 xy (x,y) (0,0) u f x,y x y 0 (x,y) (0,0)         
    7. 10. chúng tôi 9 Rõ ràng hàm liên tục tại mỗi điểm 0 0(x ,y ) (0,0) (vì là thương hai hàm liên tục, mẫu khác 0). Tại 0 0(x ,y ) (0,0) , theo bất đẳng thức Cauchy. 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 xyx y (x y ) (x y ) 0 xy 2 x y 2 (x y ) 2                . Trường hợp 1: 1   ( 1)/2 (x,y) (0,0) u 0 1 lim f (x,y) lim d(u,0) 0 f(0,0) 2       . Vậy f(x,y) liên tục tại (0,0). Trường hợp 2: 1  . Xét (x,y) (0,0) theo đường y = x.         2 2 2 1 x 1 f x,y f x,x 0 khi x 0 2x 2x          . Vậy f(x,y) không liên tục tại (0,0). # § 1.2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1.2.1. Đạo hàm riêng Định nghĩa. Cho hàm số z f(x,y) xác định trong tập mở 2 D   , lấy điểm 0 0 0M (x ,y ) D . Cố định 0y y thì 0f (x,y ) là hàm một biến x. Nếu hàm này có đạo hàm tại 0x x thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của hàm z f(x,y) theo biến x (biến thứ nhất) tại điểm 0 0 0M (x ,y ) , kí hiệu bởi một trong các cách sau: 0 0 0 0 x 0 0 x 0 0 z(x ,y ) f (x ,y ) z (x ,y ), f (x ,y ), , . x x       Như vậy, cho x đủ nhỏ sao cho 0 0(x x,y ) D   . Đặt: x 0 0 0 0z f(x x,y ) f (x ,y )     gọi là số gia riêng của hàm số z f(x,y) đối với biến x tại 0 0(x ,y ). Khi đó 0 0 x x 0 f (x ,y ) z lim x x       . Hình 1.6. Cách lập số gia riêng của hàm số Đạo hàm riêng theo biến y tại 0 0(x ,y ), kí hiệu là y y0 O 0 0x x x  x 0 0 0 0(x ,y ) (x x,y ) 
    8. 11. chúng tôi 10 0 0 0 0 y 0 0 y 0 0 f (x ,y ) z(x ,y ) f (x ,y ), z (x ,y ), hay y y       . n 3 : định nghĩa tương tự. Quy tắc. Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, ta chỉ việc coi các biến khác không đổi, rồi lấy đạo hàm theo biến đó như lấy đạo hàm với hàm một biến. Ví dụ 1.7. Tính các đạo hàm riêng của hàm số i. y z x , (x 0).  ii. x z arctan , (y 0) y   . Giải. i. y 1 yz z yx ; x ln x. x y       ii. 2 2 2 2 2 2 2 z 1 1 y z 1 x x ; . x y y1 (x / y) x y 1 (x / y) y x y              # 1.2.2. Vi phân của hàm nhiều biến Định nghĩa  Cho hàm số z f(x,y) xác định trong tập mở D. Trong D lấy các điểm 0 0 0 0(x ,y ), (x,y) (x x,y y)     . Biểu thức 0 0 0 0f f(x x,y y) f (x y )       được gọi là số gia toàn phần của hàm f(x,y) tại 0 0(x ,y ). Nếu số gia f có thể biểu diễn dưới dạng f A x B y x y        (1.9) trong đó A, B là những hằng số không phụ thuộc vào x, y  (chỉ phụ thuộc vào 0 0(x ,y )), (x,y) 0,    (x,y) 0    khi x 0 y 0   vµ thì ta nói: + Hàm số f(x,y) khả vi tại 0 0(x ,y ); + Biểu thức A x B y   gọi là vi phân toàn phần của hàm z tại 0 0(x ,y ) (ứng với số gia x, y  của đối số x, y tương ứng), kí hiệu là 0 0dz(x ,y ) hay 0 0df(x ,y ) . Như vậy, 0 0dz(x ,y ) A x B y    . * Hàm số z f(x,y) gọi là khả vi trên D nếu nó khả vi tại mọi điểm của D. Tính chất. Nếu f(x,y) khả vi tại 0 0(x ,y ) thì liên tục tại đó. CM: f A x B y x y 0 khi x, y 0             . Vậy hàm liên tục tại 0 0(x ,y ). Định lí 1.5. Cho hàm f(x,y) xác định trong tập mở 2 D   và 0 0(x ,y ) D . (i) (Điều kiện cần để hàm khả vi). Nếu f(x,y) khả vi tại điểm 0 0(x ,y ) thì tồn tại các đạo hàm riêng x 0 0 y 0 0f (x ,y ), f (x ,y )  . Các hằng số A, B trong định nghĩa vi phân cho bởi x 0 0 y 0 0A f (x ,y ), B f (x ,y )   ; nói cách khác, 0 0 x 0 0 y 0 0df(x ,y ) f (x ,y ) x f (x ,y ) y     .
    9. 12. chúng tôi 11 (ii) (Điều kiện đủ để hàm khả vi). Nếu hàm số z f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục tại lân cận của điểm 0 0(x ,y ) thì khả vi tại đó và 0 0 x 0 0 y 0 0dz(x ,y ) f (x ,y ) x f (x ,y ) y     . (1.10) Chứng minh (i) Từ giả thiết, f A x B y x y        . Xét 0y y const  thì y 0  và xf f A x x       . Do đó: x x 0 0 x 0 x 0 f A x x f (x ,y ) lim lim A x x              . Tương tự, ‘ y 0 0f (x ,y ) B . (ii) Với x, y  đủ nhỏ thì     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f f (x x,y y) f(x ,y ) f(x x,y y) f(x ,y y) f(x ,y y) f(x ,y ) .                    Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến dẫn đến x 0 1 0 y 0 0 2f f (x x,y y) x f (x ,y y) y              trong đó 1 20 1; 0 1      . Vì x yf , f  liên tục tại 0 0(x ,y ) nên  x 0 0 y 0 0f f (x ,y ) x f (x ,y ) y            trong đó 0, 0 khi x 0, y 0        . Vậy x 0 0 y 0 0f f (x ,y ) x f (x ,y ) y y        (đpcm). Chú ý. Giống như trường hợp một biến, nếu x, y là biến độc lập thì dx x; dy y    . Từ đó, 0 0 x 0 0 y 0 0df(x ,y ) f (x ,y )dx f (x ,y )dy   . Hệ quả. Nếu x yf (x,y), f (x,y)  liên tục trong tập mở D thì f (x,y) f (x,y) df (x,y) dx dy x y       . (1.11) Ví dụ 1.8. Xét sự khả vi và tính vi phân dz(x,y), dz(0,1) (nếu có) của các hàm số 3 3 z x y 3xy.   Giải. 2 2z z 3x 3y, 3y 3x x y         , là những hàm liên tục trên 2  . Vậy hàm số là khả vi trên 2  và 2 2 dz 3) #
    10. 13. chúng tôi 12 Ứng dụng vi phân để tính gần đúng. Nếu đặt 0 0 0 0x x x, y y y (hay x x x , y y y )            , từ định nghĩa vi phân ta có 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 0 0 z f (x,y) f(x ,y ) f (x ,y )(x x ) f (x ,y )(y y ) (x x ) (y y ) f (x ,y )(x x ) f (x ,y )(y y ) df(x ,y ).                    Dẫn đến công thức xấp xỉ 0 0 0 0 x 0 0 y 0 0f(x x, y y) f(x ,y ) f (x ,y ) x f (x ,y ) y          ( 0 0 0 0f(x ,y ) df (x ,y )  ). (1.12) Công thức này cho phép tính giá trị gần đúng của hàm số dùng vi phân. Vế phải là biểu thức tuyến tính của các biến x, y nên công thức cũng có tên là xấp xỉ tuyến tính của hàm f tại lân cận điểm 0 0(x ,y ). Hình 1.7. Ý nghĩa hình học của vi phân Giống như trường hợp một biến, khi áp dụng công thức (1.12) để tính giá trị xấp xỉ của biểu thức A nào đó chúng ta phải: + Xác định dạng hàm f, + Xác định điểm 0 0(x ,y ), ở đó dễ tính (hoặc có sẵn) 0 0f (x ,y ), các đạo hàm riêng x 0 0 y 0 0f (x ,y ), f (x ,y )  , + Xác định các số gia x, y  ; các số gia này phải đủ bé. Ví dụ 1.10. Tính xấp xỉ 1,02 A arctan 0,95  . Các bạn hãy trả lời câu hỏi “giá như?” 0 0(x ,y ) Giá trị lẻ thứ nhất x Giá trị lẻ thứ hai y }  Dạng hàm f(x,y)
    11. 16. chúng tôi 15 ii) Trường hợp z f(x,y), y y(x) z f(x,y(x))    (hàm một biến) thì dz f f dy dx x y dx       . (1.15) iii) Trường hợp z f (x,y), x x(t), y y(t) z f(x(t),y(t))     thì dz f dx f dy . . dt x dt y dt       (1.16) iii) Trường hợp z f (u,v,w) thì f f(u(x,y),v(x,y),w(x,y)) . Lúc đó f f u f v f w , x u x v x w x f f u f v f w . y u y v y w y                                   (1.17) iv) Cho phép đổi biến u u(x,y) v v(x,y)    biến mỗi điểm (x,y) D thành điểm (x,y) (u(x,y), v(x,y))   , ma trận u v x x J u v y y                gọi là ma trận Jacobi của phép đổi biến u u(x,y), v v(x,y)  . Định thức của ma trận J gọi là định thức Jacobi hay Jacobian của phép đổi biến, ký hiệu là D(u,v) D(x,y) :     u u x yD u,v det v vD x,y x y                . (1.18) Nhận xét ký hiệu: Các biến tham gia ở tử: Chỉ hàm số Các biến tham gia ở mẫu: Chỉ đối số Ví dụ 1.12. Tính đạo hàm của hàm số hợp i) 2 2 z ln(u v )  với u xy, v x / y  ; ii) xy 2 2 z e ln(x y )  . Giải. i) 2 2 2 2 z z u z v 2u 2v 1 2 .y . … x u x v x y xu v u v                   ; 4 2 2 2 2 2 4 z z u z v 2u 2v x 2(y 1) x … y u y v y u v u v y y(y 1)                         . ii) Thực ra, khi đạo hàm ta không cần viết ra các hàm trung gian u, v, w…, nên viết trực tiếp theo các biến cuối cùng x, y, z … # Sự bất biến dạng của vi phân
    12. 17. chúng tôi 16 Xét z f(u,v) , u, v là hai biến độc lập. Khi đó f f dz du dv u v       . (*) Vẫn xét z f(u,v) nhưng với u, v là biến phụ thuộc: u u(x,y), v v(x,y)  . z f(u(x,y),v(x,y)).  Áp dụng (*): f f dz dx dy x y       . Từ chỗ f f u f v x u x v x             , …, thay vào được f u f v f u f v dz dx dy u x v x u y v y f u f f v v dx dy dx dy u x y v x y                                                      f f du dv u v       . (**) Như vậy công thức (**) cùng dạng với (*). Ta nói: Vi phân cấp một bất biến dạng (có cùng dạng (*) dù là biến độc lập hay biến phụ thuộc). Áp dụng. Nếu u u(x,y), v v(x,y)  là các hàm khả vi thì  d u v du dv;   d(uv) udv vdu;  2 u vdu udv d v v       ; df(u) f (u)du . (1.19) Các công thức này đúng cho u, v là biến độc lập nên đúng cho u, v là biến phụ thuộc. Ví dụ 1.13. Tính vi phân của các hàm số sau i) 2 y z arcsin ; x  ii) 2 z arctan (xy ) . Giải. i) 2 2 22 2 4 2 42 1 y x 2xydy y dx y( ydx 2xdy) dz d x xx y x x yy 1 x                    . ii) 2 2 2 2 2 4 1 1 dz d(xy ) (y dx 2xydy) 1 (xy ) 1 x y      . 1.2.4. Đạo hàm hàm số ẩn
    13. 18. chúng tôi 17 a. Khái niệm (*). Cho trước một hệ thức giữa hai biến x và y: F(x,y) = 0. (1.20) Nếu với mọi giá trị 0x trong một khoảng nào đó, có một (hoặc một số) giá trị 0y sao cho 0 0F(x ,y ) 0 thì ta nói rằng hệ thức (1.20) xác định một (hoặc một số) hàm ẩn y theo x: y y(x) trong khoảng ấy. Vậy hàm số y f(x) được xác định một cách ẩn bởi hệ thức (1.20) nếu khi thế y f(x) vào (1.20), ta được đồng nhất thức: f(x,y(x)) 0 . Ví dụ. 2 2 2 2 x y 1 a b   , 2 2a y a x b    và 2 2a y a x b    , x ( a, a)  . Ta nói hệ thức 2 2 2 2 x y 1 a b   xác định 2 hàm ẩn trong khoảng ( a, a) . Không phải lúc nào cũng tìm được biểu thức tường minh. Chẳng hạn, ta không thể giải x qua y hay y qua x từ biểu thức y x x y 1 (x,y 0)   , mặc dầu tồn tại mối quan hệ hàm (ẩn) từ ràng buộc này. Hàm ẩn vừa nói từ 1 ràng buộc, ràng buộc có 2 biến. Mở rộng: Từ 1 (2, 3…) ràng buộc, các ràng buộc có nhiều biến. Chẳng hạn * Hệ hai phương trình F(x,y,z,u,v) 0 G(x,y,z,u,v) 0    (1.22) Nếu từ đây có thể giải ra được một (hoặc một số) cặp hàm u u(x,y,z) v v(x,y,z)    (1.23) xác định trong một miền 2 G   nào đó, sao cho khi thay vào (1.22) ta nhận được những đồng nhất thức, thì ta nói (1.22) xác định một (hoặc một số) cặp hàm ẩn u, v của 3 biến x, y, z . Nói chung, khi n biến độc lập được liên kết với nhau bởi m ràng buộc (0 m n)  , thì có nhiều nhất m biến trong chúng là hàm của các biến còn lại. b. Cách tính đạo hàm hàm ẩn Định lí 1.7. Định lý tồn tại và khả vi của hàm ẩn: Xem ) § 1.3. CỰC TRỊ 1.3.1. Cực trị địa phương của hàm nhiều biến Định nghĩa. 2 z f (x,y), (x,y) D    , 0 0 0M (x ,y ) là một điểm trong của D. Giả sử U là một lân cận đủ nhỏ của 0M . * M U  mà 0f (M) f (M ) thì: 0M gọi là điểm cực tiểu của hàm f(x,y); Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực tiểu tại 0M , 0f(M ) gọi là giá trị cực tiểu. * Tương tự với cực đại. Điểm cực tiểu, cực đại gọi chung là điểm cực trị; giá trị cực đại, giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị. Hình 1.8. Cực trị địa phương của hàm 2 biến Ví dụ 1.18. Xét cực trị hàm số 2 2 z x 2x y 4y 7     . G. 2 2 z (x 1) (y 2) 2 2      . Dấu bằng đạt được x 1, y 2    . Vậy ( 1, 2) là đểm cực tiểu của hàm số đã cho, CTz z( 1,2) 2   . # Định lí 1.13 (Điều kiện cần của cực trị). Giả sử hàm số z f (x,y) đạt cực trị tại 0 0 0M (x ,y ) , và tại đó tồn tại các đạo hàm riêng 0 0f (M ) f (M ) , x y     . Khi đó 0 0f (M ) f (M ) 0 x y       . (1.41) z O 0y y 0x D 0M
    14. 27. chúng tôi 26 Chú ý. * Điều ngược lại không đúng. Cụ thể là: Có thể tại 0 0(x ,y ), cả hai đạo hàm riêng triệt tiêu ( x yf f 0   ), nhưng hàm số không đạt cực trị tại 0 0(x ,y ). * Ta chỉ việc tìm cực trị tại những điểm tại đó: + f f 0 x y       : điểm dừng + Hoặc  ít nhất một trong các đạo hàm riêng } điểm tới hạn (nghi ngờ CT). Định lí 1.14 (Điều kiện đủ của cực trị). Cho D là một tập mở của 2  . Giả sử hàm hai biến z f (x,y), (x,y) D  có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng 0 0(x ,y ) D . Coi vi phân cấp hai 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 o o 2 2 f(x ,y ) f (x ,y ) f(x ,y ) d f (x ,y ) dx 2 dxdy dy x yx y          là dạng toàn phương của các biến dx, dy. i) Nếu 2 o od f (x ,y ) xác định dương thì f đạt cực tiểu tại 0M . ii) Nếu 2 o od f (x ,y ) xác định âm thì f đạt cực đại tại 0M . iii) Nếu 2 o od f (x ,y ) đổi dấu thì 0M không là điểm cực trị. Lưu ý. Nếu 2 o od f (x ,y ) suy biến (tồn tại dx, dy không đồng thời bằng 0 để 2 0 0 0d f (x , y ,z ) 0 ) thì chưa có kết luận. Chứng minh (☼). (Xem tài liệu z 0    . * 2 y 2, x   , 2 2 x (t) y (t) 0 t    Nếu tại điểm 0t    và giả sử điểm tương ứng trên đường cong là 0 0 0M (x ,y ) . Ta đã biết hệ số góc của tiếp tuyến tại 0M là 0 x 0 y (t ) k y x (t )     . Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng 0 0 0 0 y (t ) y y (x x ) x (t )      hay 0 0 0 0 x x y y x (t ) y (t )      . (1.53) Véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến là 0 0 0(t ) (x (t ),y (t ))    . Suy ra phương trình pháp tuyến: 0 0 0 0x (t )(x x ) y (t )(y y ) 0     (1.54) b. Độ cong  Định nghĩa độ cong của đường cong tại 1 điểm (xem  có tương ứng với một véc tơ V V(t)   thì ta nói, ta đã có một hàm véc tơ của đối số vô hướng t, ký hiệu V V(t),   t tr 130): d. Tính chất của tích phân kép Tích phân kép có các tính chất giống với tích phân xác định. Định lý 2.1. Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên miền (có diện tích) D nào đó, và a là một số thực. Khi đó i) Các hàm f (x,y) g(x,y), af(x,y), f (x, y) khả tích trên D và D D D D D (f (x,y) g(x,y))dxdy f(x,y)dxdy g(x,y)dxdy, af (x,y)dxdy a f(x,y)dxdy,          D D f (x,y)dxdy f (x,y) dxdy  . (2.4) ii) Nếu D có thể tách thành hai miền (có diện tích) và không dẫm lên nhau (phần chung chỉ có thể là một phần biên của mỗi miền): 1 2D D D  , thì 1 2D D D f(x,y)dxdy f(x,y)dxdy f(x,y)dxdy    . (2.5) iii) Nếu f (x,y) g(x,y), (x,y) D   thì D D f (x,y)dxdy g(x,y)dxdy  . (2.6)
    15. 49. chúng tôi 48 iv) Các hàm 2 2 f (x, y)g(x,y), f (x,y), g (x,y) khả tích trên D và 2 2 2 D D D f (x,y)g(x,y)dx dy f (x,y) dx dy g (x,y)dxdy                  (2.7) (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Nghiệm đúng Định lý về giá trị trung bình. 2.1.2. Cách tính trong tọa độ Descates a. Miền lấy tích phân có dạng hình chữ nhật Định lý 2.2. Cho D {(x,y) : a x b, c y d}     và giả sử f(x,y) là hàm liên tục trên D. Khi đó tích phân d c f (x,y)dy xác định với mọi x , hàm f(x,y) liên tục trên D thì
    16. 50. chúng tôi 49 2 2 1 1 y (x) y (x)b b D a y (x) a y (x) f(x,y)dxdy dx f (x,y)dy f (x,y)dy dx.               (2.11)  D-hình thang cong đáy//Ox: 1 2D {(x,y): c y d, x (y) x x (y)}     f(x,y), 1 2x (y), x (y) là những hàm liên tục thì Hình 2.2. Một số miền lấy tích phân thông dụng trong 2  2 2 11 x (y) x (y)d d D c x (y) c x (y) f(x,y)dxdy dy f(x,y)dx f (x,y)dx dy.               (2.12)  D vừa có dạng ở Hình 2.2a, vừa có dạng ở Hình 2.2b (xem Hình 2.2c): Chọn một trong hai công thức (2.11) hoặc (2.12). Từ đó 2 2 1 1 y (x) x (y)b d D a y (x) c x (y) f(x,y)dxdy dx f(x,y)dy dy f(x,y)dx      (2.13) Dường như luôn có một thứ tự lấy tích phân thuận lợi hơn thứ tự kia! Hướng dẫn cách xác định cận TP (xem Ví dụ 2.6. i) Chứng minh rằng 2 2 2 4 2 2 {x y R } R (x y )dxdy 4      . ii) Tính tích phân 2 2 2 D 1 I sin(xy dxdy 1 x y           , với D là nửa trên hình tròn tâm O, bán kính 1. Giải. i) Đặt x rcos , y rsin    thì J r , từ đó

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giáo Trình Môn Giải Tích 1
  • Ngân Hàng Đề Thi Giải Tích 1
  • 6 Điều Mà Sinh Viên Đh Giao Thông Vận Tảikhông Thể Không Biết
  • Giải Tích Calculus 7E (Tập 1)
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Chuỗi
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100