Phương Trình Và Hệ Phương Trình

--- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Bài Tập Về Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng Hay, Chi Tiết
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 31: Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng
  • Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng
  • Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Trong Phương Trình Mũ
  • Các Dạng Bài Tập Toán Phương Trình Mặt Cầu Trong Không Gian Oxyz
  • Published on

    www.toanhocdanang.com

    www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

    Phone: 0935 334 225

    1. 1. ĐẠI SỐ 10 GV: PHAN NHẬT NAM PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
    2. 2. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 chúng tôi ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I. lý thuyết: 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)  x0 là một nghiệm của (1) nếu “f(x0) = g(x0)” là một mệnh đề đúng.  Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.  Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x 1 ( ) thì cần điều kiện P(x)  0. – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x)  0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.  (1)  (2) khi và chỉ khi S1 = S2. {(1) , (2) là hai phương trình tương đương nhau}  (1)  (2) khi và chỉ khi S1  S2. { (2) là phương trình hệ quả của (1)} 3. Phép biến đổi tương đương  Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.  Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. II. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình 2 1 1 2 3 0x x x x       Giải: Điều Kiện: 1 0 1 1 1 0 1 x x x x x             Thay x = 1 vào phương trình ta thu được ” 2 1 1 1 1 1 2.1 3 0       ” là mệnh đề đúng . Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là  1S 
    3. 3. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 chúng tôi Ví dụ 2: Chứng tỏ hai phương trình sau tương đương nhau: 2 2 2 1 0 1 x x x      (1) và 4 22 7x x   (2) Giải: Giải phương trình 1: Điều kiện: 1x  2 2 2 0 ( )2 1 2 (1) 0 2 0 2 ( )1 x loaix x x x x loaix              Do đó tập nghiệm của (1) là 1S  Giải phương trình 2: 2 2 4 0 4 4 (2) 2 3( 4) 22 7 6 0 x x x x xx x x x                        không tồn tại x R Do đó tập nghiệm của (2) là 2S  Từ đó ta có: 1 2S S   nên (1) và (2) là hai phương trình tương đương nhau (đpcm) III. Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x 5 5 3 12 4 4      b) x x x 1 1 5 15 3 3      c) x x x 2 1 1 9 1 1      d) x x x 2 2 3 15 5 5      Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x1 1 2    b) x x1 2   c) x x1 1   d) x x1 1   e) x x x 3 1 1    f) x x x2 1 2 3     * Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x2 3( 3 2) 0    b) x x x2 1( 2) 0    c) x x x x 1 2 2 2      d) x x x x x 2 4 3 1 1 1        Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x2 1   b) x x1 2   c) x x2 1 2   d) x x2 2 1  
    4. 4. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 chúng tôi Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x x1 1    b) x x x x 2 2 1 1      c) x x x x2 2    d) x x x x 1 1 2 2      Bài 6. Tìm tập nghiệm của phương trình: 1x x x    Bài 7. Giải các phương trình: a. 2 1 1x x   b. 2 1 2 3 0x x x x       Bài 8. Tìm m để hai phương trình sau tương đương nhau 1 3 7x x   , 2 ( 1) ( 3) 2 2 0m x m x m      Bài 9. Sử dụng phép biến đổi hệ quả để giải phương trình sau: a. 2 2 2 7 7 x x x x x     b. 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x       PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I. Lý thuyết: Chú ý: Khi a  0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) m x m x2 ( 2) 2 3    b) m x m x m( ) 2    b) m x m m x( 3) ( 2) 6     d) m x m x m2 ( 1) (3 2)    e) m m x x m2 2 ( ) 2 1    f) m x m x m2 ( 1) (2 5) 2     ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a  0 (1) có nghiệm duy nhất b x a   a = 0 b  0 (1) vô nghiệm b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x
    5. 5. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 chúng tôi Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: a) x a x b b a a b a b ( , 0)       b) ab x a b b x( 2) 2 ( 2a)     c) x ab x bc x b b a b c a c b 2 3 ( , , 1) 1 1 1            d) x b c x c a x a b a b c a b c 3 ( , , 0)           Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x  R. a) m x n( 2) 1   b) m m x m2 ( 2 3) 1    c) mx x mx m x2 ( 2)( 1) ( )    d) m m x x m2 2 ( ) 2 1    Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x 2 10 50 1 2 3 (2 )( 3)        b) x x x x x x 1 1 2 1 2 2 1         c) x x x x 2 1 1 3 2 2      d) x x x 2 2 3 5 1 4      e) x x x x x x 2 2 2 5 2 2 15 1 3        f) x x x x2 2 3 4 2 ( 1) (2 1)      Bài 5. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx m x 1 3 2     b) mx m x m 2 3     c) x m x x x m 1 2 1       d) x m x x x 3 1 2      e) m x m m x ( 1) 2 3      f) x x x m x 1    Bài 6. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5  b) mx x x1 2    c) mx x x2 1   d) x m x m3 2 2   e) x m x m 2    f) x m x 1   Bài 7. Tím tất cả các gia trị nguyên của m để phương trình ( 1)( 1)m x x m    có nghiệm nguyên Bài 8. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :  1 (2 3) (1 ) 3 0x m x m m x       Bài 9. Tìm m để phương trình 2 3mx x m x x    có nghiệm duy nhất
    6. 8. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 chúng tôi iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) x x m2 5 3 1 0    b) x x m2 2 12 15 0   c) x m x m2 2 2( 1) 0    d) m x m x m2 ( 1) 2( 1) 2 0      e) m x m x2 ( 1) (2 ) 1 0     f) mx m x m2 2( 3) 1 0     g) x x m2 4 1 0    h) m x m x m2 ( 1) 2( 4) 1 0      Bài 5. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: A = x x2 2 1 2 ; B = x x3 3 1 2 ; C = x x4 4 1 2 ; D = x x1 2 ; E = x x x x1 2 2 1(2 )(2 )  a) x x2 5 0   b) x x2 2 3 7 0   c) x x2 3 10 3 0   d) x x2 2 15 0   e) x x2 2 5 2 0   f) x x2 3 5 2 0   Bài 6. (Trích TSĐH Khối A – 2003) Tìm m để đồ thị (C) của hàm số 2 1 mx x m y x     cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương. Bài 7. (Trích TSĐH Khối A – 2003) Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị (C) và d tương ứng của hàm số sau (C): 2 2 4 2 x x y x     và d: 2 2y mx m   . Bài 8. (Trích TSĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2 2 2 1x mx x    Bài 9. (Trích TSĐH Khối D – 2006) Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C): 3 3 2y x x   tại ba điểm phân biệt. Bài 10. (Trích TSĐH Khối D – 2009) Tìm m để đường thẳng : 2d y x m   cắt đồ thị (C) của hàm số 2 x x m y x    tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. Bài 11. (Trích TSĐH Khối A – 2010) Tìm m để phương trình : 3 2 2 (1 ) 0x x m x m     có ba nghiệm 1 2 3, ,x x x sao cho 2 2 2 1 2 3 4x x x   Bài 12. (Trích TSĐH Khối A – 2011) Tìm m để phương trình: 1 2 1 x x m x      có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x sao cho 2 2 1 2 1 1 (2 1) (2 1) f x x      đạt giá trị lớn nhất. Bài 13. Cho phương trình: m x m x m2 ( 1) 2( 1) 2 0      (*). Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
    7. 9. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 chúng tôi Bài 14. Cho phương trình: x m x m2 2(2 1) 3 4 0     (*). a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức A = x x3 3 1 2 . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x2 2 1 2, . HD: a) m 2 2  b) x x x x1 2 1 2 1    c) A = m m m2 (2 4 )(16 4 5)   d) m 1 2 7 6   e) x m m x m2 2 2 2(8 8 1) (3 4 ) 0      Bài 15. Cho phương trình: x m x m m2 2 2( 1) 3 0     (*). a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x2 2 1 2 8  . HD: a) m = 3; m = 4b) x x x x x x2 1 2 1 2 1 2( ) 2( ) 4 8 0      c) m = -1; m = 2. Bài 16. Cho phương trình: x m m x m2 2 3 ( 3 ) 0    . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) x x x2 2 21; 5 2 7; 5 2 7      . Bài 17. (nâng cao) Cho phương trình: x x x2 2 2 2 sin 2 cos    ( là tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi . b) Tìm  để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.
    8. 10. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 chúng tôi PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Lý thuyết: 1. Định nghĩa và tính chất phương trình chứa trị tuyệt đối  A khi A A A khi A 0 0        A A0,   A B A B. .  A A 2 2   A B A B A B. 0      A B A B A B. 0      A B A B A B. 0      A B A B A B. 0     Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ.  Dạng 1: f x g x( ) ( ) C f x f x g x f x f x g x 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )          C g x f x g x f x g x 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )           Dạng 2: f x g x( ) ( )     C f x g x 1 2 2 ( ) ( )  C f x g x f x g x 2 ( ) ( ) ( ) ( )        Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( )  Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. 2. Phương trình chứa căn Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. Dạng 1: f x g x( ) ( )   f x g x g x 2 ( ) ( ) ( ) 0    Dạng 2: f x g x f x g x f x hay g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) 0)        Dạng 3: af x b f x c( ) ( ) 0    t f x t at bt c2 ( ), 0 0        Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )   Đặt u f x v g x( ), ( )  với u, v  0.  Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. Dạng 5: f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( )   Đặt t f x g x t( ) ( ), 0   . 3. phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a  0) a. Cách giải: t x t ax bx c at bt c 2 4 2 2 , 0 0 (1) 0 (2)           
    9. 11. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 chúng tôi b. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.  (1) vô nghiệm  voâ nghieäm coù nghieäm keùp aâm coù nghieäm aâm (2) (2) (2) 2      (1) có 1 nghiệm  coù nghieäm keùp baèng coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi aâm (2) 0 (2) 1 0,    (1) có 2 nghiệm  coù nghieäm keùp döông coù nghieäm döông vaø nghieäm aâm (2) (2) 1 1    (1) có 3 nghiệm  coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi döông(2) 1 0,  (1) có 4 nghiệm  coù nghieäm döông phaân bieät(2) 2 c. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn  Dạng 1: x a x b x c x d K vôùi a b c d( )( )( )( ) ,        – Đặt t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( )         – PT trở thành: t cd ab t K2 ( ) 0     Dạng 2: x a x b K4 4 ( ) ( )    – Đặt a b t x 2     a b b a x a t x b t, 2 2         – PT trở thành: a b t t K vôùi4 2 2 4 2 12 2 0 2               Dạng 3: ax bx cx bx a a4 3 2 0 ( 0)      (phương trình đối xứng) – Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được: PT  a x b x c xx 2 2 1 1 0               (2) – Đặt t x hoaëc t x x x 1 1         với t 2 . – PT (2) trở thành: at bt c a t2 2 0 ( 2)     . II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 1 3   b) x x4 7 2 5   c) x x2 3 2 0   d) x x x2 6 9 2 1    e) x x x2 4 5 4 17    f) x x x2 4 17 4 5    g) x x x x1 2 3 2 4      h) x x x1 2 3 14      i) x x x1 2 2    Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5  b) mx x x1 2    c) mx x x2 1   d) x m x m3 2 2   e) x m x m 2    f) x m x 1  
    10. 12. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 chúng tôi Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x4 7 4 7   b) x x2 3 3 2   c) x x x1 2 1 3    d) x x x x2 2 2 3 2 3     e) x x x2 2 5 2 7 5 0     f) x x3 7 10    Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x2 2 1 1 0     b) x x x2 2 5 1 7 0     c) x x x2 2 5 1 5 0     d) x x x2 4 3 2 0    e) x x x2 4 4 2 1 1 0     f) x x x2 6 3 10 0     Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 3 3   b) x x5 10 8   c) x x2 5 4   d) x x x2 12 8    e) x x x2 2 4 2    f) x x x2 3 9 1 2    g) x x x2 3 9 1 2    h) x x x2 3 10 2    i) x x x2 2 ( 3) 4 9    Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 2 6 9 4 6 6     b) x x x x2 ( 3)(8 ) 26 11      c) x x x x2 ( 4)( 1) 3 5 2 6      d) x x x x2 ( 5)(2 ) 3 3    e) x x2 2 11 31   f) x x x x2 2 8 4 (4 )( 2) 0      Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x1 1 1    b) x x3 7 1 2    c) x x2 2 9 7 2    d) x x x x2 2 3 5 8 3 5 1 1      e) x x3 3 1 1 2    f) x x x x2 2 5 8 4 5      g) x x3 3 5 7 5 13 1    h) x x3 3 9 1 7 1 4     
    11. 13. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 chúng tôi Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x3 6 3 ( 3)(6 )       b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16        c) x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1       d) x x x x7 2 (7 )(2 ) 3       e) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5       f) x x x x x2 3 2 1 4 9 2 3 5 2        g) x x x x22 1 1 3      h) x x x x2 9 9 9      Bài 5. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 4 2 2 5 2 4 6 2 5 14        b) x x x x5 4 1 2 2 1 1        c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4           Bài 6. Giải các phương trình sau: a) x x4 2 3 4 0   b) x x4 2 5 4 0   c) x x4 2 5 6 0   d) x x4 2 3 5 2 0   e) x x4 2 30 0   f) x x4 2 7 8 0   Bài 7. Tìm m để phương trình: i) Vô nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm a) x m x m4 2 2 (1 2 ) 1 0     b) x m x m4 2 2 (3 4) 0    c) x mx m4 2 8 16 0   Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297     b) x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36      c) x x4 4 ( 1) 97   d) x x4 4 ( 4) ( 6) 2    e) x x4 4 ( 3) ( 5) 16    f) x x x x4 3 2 6 35 62 35 6 0     g) x x x x4 3 2 4 1 0    
    12. 14. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 chúng tôi Bài 9. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc 2 1. 2 2 5 10 1 7 2x x x x     2. 1 2 3 1 x x x x     3. 2 3 1212   x xxxx 4. 211 24 2  xxxx 5. xxxx 33)2)(5( 2  6. 22 4324 xxxx  7. 5 1 5 2 4 22 x x xx     8. xxxx  1 3 2 1 2 9. 234413 2  xxxx 10. 63297 2  xxxx Bài 10. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: a. (D – 2006) 2 2 1 3 1 0x x x     b. (D – 2013) 2 2 2 1 x x x x     c. (B – 2012) 2 1 4 1 3x x x x     d. (D – 2011) 2 8 1 1 4 x x x      e. (B – 2011) 2 3 2 6 2 4 4 10 3x x x x       f. (A. 2009) 3 2 3 2 3 6 5 8 0x x     Bài 11. Giải các phương trình sau bằng phép nhân liên hợp: a. (B – 2010) 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x       b. (Tích B – 2013) 2 3 3 3 1 5 4x x x x      c. (TNTHPTQG – 2022)    2 2 2 8 1 2 2 2 3 x x x x x x         d. (Trích A – 2014) 3 2 8 1 2 10x x x    e. (Tích B – 2014) 2 2 3 2x x x    HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I. Lý thuyết:
    13. 15. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 chúng tôi 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a x b y c a b a b a x b y c 2 2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( 0, 0)          Giải và biện luận: Tính các định thức: a b D a b 1 1 2 2  , x c b D c b 1 1 2 2  , y a c D a c 1 1 2 2  . Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 5 4 3 7 9 8       b) x y x y 2 11 5 4 8       c) x y x y 3 1 6 2 5       d)     x y x y 2 1 2 1 2 2 1 2 2          e) x y x y 3 2 16 4 3 5 3 11 2 5         f) x y y 3 1 5x 2 3       Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 1 8 18 5 4 51         b) x y x y 10 1 1 1 2 25 3 2 1 2             c) x y x y x y x y 27 32 7 2 3 45 48 1 2 3              d) x y x y 2 6 3 1 5 5 6 4 1 1           e) x y x y x y x y 2 9 3 2 17           f) x y x y x y x y 4 3 8 3 5 6           Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: Xét D Kết quả D  0 Hệ có nghiệm duy nhất yx DD x y D D ;        D = 0 Dx  0 hoặc Dy  0 Hệ vô nghiệm Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm
    14. 16. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 chúng tôi a) mx m y m x my ( 1) 1 2 2         b) mx m y m x m y ( 2) 5 ( 2) ( 1) 2          c) m x y m m x y m ( 1) 2 3 1 ( 2) 1           d) m x m y m x m y m ( 4) ( 2) 4 (2 1) ( 4)           e) m x y m m x y m m2 2 ( 1) 2 1 2          f) mx y m x my m 2 1 2 2 5         Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Tìm m  Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) m x y m m x y m m2 2 ( 1) 2 1 2          b) mx y x m y m 1 4( 1) 4        c) mx y x my m 3 3 2 1 0          Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. a) mx y m x my m 2 1 2 2 5         b) mx m y m x my 6 (2 ) 3 ( 1) 2         c) mx m y m x my ( 1) 1 2 2         Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) ax y b x y3 2 5        b) y ax b x y2 3 4       c) ax y a b x y a2        d) a b x a b y a a b x a b y b ( ) ( ) (2 ) (2 )           e) ax by a b bx ay ab 2 2 2        f) ax by a b bx b y b 2 2 4        Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x y z x y z x y z 3 1 2 2 5 2 3 0             b) x y z x y z x y z 3 2 8 2 6 3 6             c) x y z x y z x y z 3 2 7 2 4 3 8 3 5               HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
    15. 17. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 chúng tôi I. lý thuyết: 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai  Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.  Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.  Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 Hệ có dạng: (I) f x y g x y ( , ) 0 ( , ) 0     (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).  Đặt S = x + y, P = xy.  Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.  Giải hệ (II) ta tìm được S và P.  Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2 0   . 3. Hệ đối xứng loại 2 Hệ có dạng: (I) f x y f y x ( , ) 0 (1) ( , ) 0 (2)     (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).  Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I)  f x y f y x f x y ( , ) ( , ) 0 (3) ( , ) 0 (1)       Biến đổi (3) về phương trình tích: (3)  x y g x y( ). ( , ) 0   x y g x y( , ) 0     .  Như vậy, (I)  f x y x y f x y g x y ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0        .  Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). 4. Hệ đẳng cấp bậc hai Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d a x b xy c y d 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2         .  Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).  Khi x  0, đặt y kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm x y0 0( ; ) thì y x0 0( ; ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x y0 0 . II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 2 2 4 8 2 4       b) x xy x y 2 24 2 3 1       c) x y x y 2 ( ) 49 3 4 84       d) x xy y x y x y 2 2 3 2 3 6 0 2 3           e) x y xy x y 3 4 1 0 3( ) 9         f) x y xy x y 2 3 2 6 0        
    16. 18. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 chúng tôi g) y x x x y 2 4 2 5 0        h) x y x y y2 2 2 3 5 3 2 4        i) x y x xy y2 2 2 5 7        Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x y x y m2 2 6      b) x y m x y x2 2 2 2        c) x y x y m2 2 3 2 1      Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x y xy x y2 2 11 2( ) 31            b) x y x xy y2 2 4 13        c) xy x y x y x y2 2 5 8          d) x y y x x y 13 6 6        e) x x y y x y xy 3 3 3 3 17 5         f) x x y y x xy y 4 2 2 4 2 2 481 37         Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x y xy m x y m2 2 3 2         b) x y m x y xy m m2 2 2 1 2 3          c) x y m xy x y m ( 1)( 1) 5 ( ) 4         Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: a) x x y y y x 2 2 3 2 3 2       b) x y x y y x y x 2 2 2 2 2 2 2 2         c) x x y y y x 3 3 2 2       d) y x y x x y x y 3 4 3 4         e) y y x x x y 2 2 2 2 2 3 2 3          f) x y y y x x 2 2 1 2 1 2         Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x x my y y mx 2 2 3 3       b) x y m m y x m m 2 2 2 2 (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 )         c) xy x m y xy y m x 2 2 ( 1) ( 1)         Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 1 3 3 13          b) x xy y x xy y 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 7          c) y xy x xy y 2 2 2 3 4 4 1        d) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 5 4 38 5 9 3 15         e) x xy y x xy y 2 2 2 2 2 3 9 4 5 5         f) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 8 4 0 5 7 6 0         Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x mxy y m x m xy my m 2 2 2 2 ( 1)          b) xy y x xy m 2 2 12 26        c) x xy y m y xy 2 2 2 4 3 4       
    17. 19. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 chúng tôi BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) m x m x m2 2 4 3    b) a b x a a a b a b x2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( )      c) a x ab b x a b2 2 2 2 2    d) a ax b ax b2 ( ) 4 5    Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x m x m x x 2 1 1 1       b) m x m x m x 2 2 1 1     c) mx m x x x 2 1 1 2 1 1 1        d) x x m1 2 3    Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x x m2 2 12 15 0   b) x m x m2 2 2( 1) 0    b) x mx m2 1 0    d) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0     Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại: a) x mx m x2 0 3 1 0; 2       b) x m x m x2 2 02 3 0; 1    . Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt iv) PT có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả: x x3 3 1 2 0  ; x x2 2 1 2 3  a) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0     b) x m x m2 2 2( 1) 0    c) x m x m2 2 2( 1) 2 0     d) m x m x m2 ( 2) 2( 1) 2 0      e) m x m x m2 ( 1) 2( 4) 1 0      f) x x m2 4 1 0    Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy:
    18. 20. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 chúng tôi i) Giải và biện luận phương trình. ii) Khi phương trình có hai nghiệm x x1 2, , tìm hệ thức giữa x x1 2, độc lập với m. a) x m x m2 ( 1) 0    b) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0     c) m x m x m2 ( 2) 2( 1) 2 0      d) x m x m2 2 2( 1) 2 0     Bài 7. Giải các phương trình sau: a) x x2 2 6 12   b) x x2 2 11 31   c) x x16 17 8 23   d) x x x2 2 8 3( 4)    e) x x x2 3 9 1 2 0     f) x x x2 51 2 1    g) x x x2 2 ( 3) 4 9    h) x x3 1 3 1    Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x x4 3 10 3 2    b) x x x5 3 2 4     c) x x x3 4 2 1 3     d) x x x x2 2 3 3 3 6 3      e) x x x2 2 3 3 5     f) x x x3 3 5 2 4     g) x x x2 2 2 1 1 4      h) 811  xxx Bài 9. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 1 2 1 2      b) x x x x x 3 2 1 2 1 2        c) x x x x 4 2 2 1 1 2      d) x x x x2 2 13 7     e) x x x x2 2 2 3 1 3 4     f) x x x x2 2 2 3 2 1 9     g) x x x x2 2 2 4 2 2     h) x x x x2 2 2 5 3 5 23 6    
    19. 21. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 chúng tôi Bài 10. Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. a) mx y m x my a 2 1 2 2 1         b) mx y m x my m 3 2 1        c) x y m x y m 2 4 2 3 3         d) x y y x m 2 5 2 10 5        Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x y y x2 2 1 6          b) x y x x y y 2 2 4 2 2 4 5 13        c) x y y x x y 2 2 3 3 30 35       d) x y x y x y 3 3 5 5 2 2 1       e) x y xy x y x y 2 2 4 4 2 2 7 21         f) x y xy x y x y2 2 11 3( ) 28          Bài 12. Giải các hệ phương trình sau: a) x y xy x y x y 2 2 2 2 1 ( )(1 ) 5 1 ( )(1 ) 49            b)   y x x y x y x y 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 1 24                c) x y x y x y x y 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4              d) x y x y x y xy 2 2 2 31 1 1 ( )(1 ) 6             e) x y y x y x xy y x xy xy x y 2 2 2 2 6 1 4             f) xy xy x y xy 1 4 1 ( ) 1 5               Bài 13. Giải các hệ phương trình sau: a) x x y y y x 2 2 3 2 3 2       b) x x y y y x 3 3 2 2       c) x x y y y x 3 3 3 8 3 8       d) x y y y x x 2 2 1 2 1 2         e) x y x y x y 2 2 3 2 3 2          f) y y x x x y 2 2 2 2 2 3 2 3         

    --- Bài cũ hơn ---

  • Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Bằng Phương Pháp Thế
  • Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực
  • Rèn Kĩ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8
  • Giải Bài Toán Bằng Phương Trình Ion
  • Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Trình Và Hệ Phương Trình
  • Cách Giải Bài Tập Về Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng Hay, Chi Tiết
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 31: Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng
  • Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng
  • Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Trong Phương Trình Mũ
  • 1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn.

    Dạng tổng quát

    a) Nếu một trong hai phương trình là bậc nhất thì dễ dàng giải được hệ bằng phương pháp thế. b) Nếu một trong hai phương trình là thuần nhất bậc hai, chẳng hạn . Khi đó phương trình thứ nhất có dạng , phương trình này cho phép tính được . c) Hệ đẳng cấp bậc hai, tức là . Bằng cách khử đi hệ số tự do ta sẽ tìm ra được một phương trình thuần nhất bậc hai để tìm tỉ số d) Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng phương pháp “tịnh tiến nghiệm” bằng cách đưa vào các ẩn mới (với là các ẩn). Ta sẽ tìm để khi khai triển thì các hạng tử bậc nhất ở cả hai phương trình của hệ đều bị triệt tiêu. Từ đó có hệ đẳng cấp theo mà ta đã biết cách giải.

    Đặt . Hệ trở thành :

    Vậy ta có hệ .

    Dễ dàng giải được hệ này.

    2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng.

    a) Hệ phương trình đối xứng loại I.

    Cách giải chung là đặt ẩn phụ .

    b) Hệ phương trình đối xứng loại II

    Cách giải chung là trừ vế theo vế hai phương trình để thu được nhân tử chung .

    c) Hệ phương trình đối xứng ba ẩn.

    Dạng tổng quát

    Nếu ba số thỏa mãn thì chúng là ba nghiệm của phương trình .

    3. Hệ phương trình hoán vị.

    Dạng tổng quát

    Với thường là các hàm đơn điệu (trên một khoảng nào đó)

    Một số định lí :

    a) Nếu là các hàm đồng biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì .

    b) Nếu là các hàm nghịch biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì với lẻ, ta có .

    c) Nếu nghịch biến và đồng biến trên tập là là nghiệm (trên ) của hệ thì với chẵn, ta có và .

    Vì .

    4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.

    Phương pháp này chủ yếu dựa vào định lí sau :

    Phương trình thứ nhất có thể viết thành :

    Thay vào phương trình sau :

    Vậy

    5. Phương pháp đặt ẩn phụ.

    Ví dụ : Giải hệ phương trình

    Điều kiện

    Cộng vế theo vế hai phương trình :

    Trừ vế theo vế hai phương trình :

    Vậy nếu ta đặt

    Thì ta có hệ

    Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu.

    6. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.

    “Chất bất đẳng thức” của hệ này nằm ở phương trình thứ hai.

    Điều kiện

    7. Phương pháp biến đổi đẳng thức. a) Đưa về phương trình tích.

    Ta dễ dàng giải được hệ này.

    b) Đưa về phương trình thuần nhất.

    Nhận thấy vế trái của có bậc ba và vế phải của có bậc . Để đưa thành một phương trình thuần nhất (thuần nhất bậc ba) thì ta cần nhân vào vế phải một biểu thức bậc .

    Dễ dàng giải tiếp hệ này.

    8. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác) 9. Phương pháp hệ số bất định.

    Ví dụ : Giải hệ phương trình

    Mục đích ở đây là ta sẽ tạo ra một phương trình mà có thể tính được ẩn này theo ẩn kia.

    Ta cần phối hợp hai phương trình của hệ để tạo một phương trình bậc hai có ẩn là .

    Từ đó được phương trình .

    Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Bằng Phương Pháp Thế
  • Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực
  • Rèn Kĩ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8
  • Giải Bài Toán Bằng Phương Trình Ion
  • Su Dung Phuong Trinh Ion Thu Gon
  • Kĩ Thuật Giải Hệ Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Hệ Pt Bằng Phương Pháp Thế
  • Chủ Đề 11: Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • Phương Pháp Giải Một Số Dạng Phương Trình Môn Toán Ở Cấp Thcs
  • Giáo Án Đại Số Lớp 8 Tiết 42 Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
  • Published on

    1. 2. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có 2 ‘ 9D = x từ đó ta được nghiệm ( ) ( ) 5 4 3 4 4 é = + ê = -êë y x y x Thay (3) vào (1) ta được: ( ) ( )( ) 2 4 0 5 4 5 4 4 5 0 4 é = – Þ =ê+ = + – Û ê = Þ =ë x y x x x x y Thay (4) vào (1) ta được: ( ) ( )( ) 2 4 0 4 5 4 4 0 4 = Þ =é – = + – Û ê = Þ =ë x y x x x x y Vậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , 4 ;0 5 æ ö -ç ÷ è ø II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ ( ) ( ), ; ,= =a f x y b g x y có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0. Ví dụ 4. Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 4 1 1 2 2 ì + + + =ï í + + – =ïî x y y x y x y x y Giải . Dễ thấy 1=y không thỏa mãn PT(1) nên HPT ( ) 2 2 1 4 1 2 1 ì + + + =ï ï Û í æ ö+ï + – =ç ÷ïè øî x y x y x y x y Đặt 2 21 , 2 1 + =ì+ = = + – Þ í =î a bx a b y x aby giải hệ ta được 1= =a b từ đó ta có hệ 2 1 3 ì + = í + =î x y x y Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng. Ví dụ 5. Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 3 4 4 7 1 2 3 ì + + + =ï +ï í ï + = ï +î xy x y x y x x y Giải . Điều kiện : 0+ ¹x y HPT ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 7 1 3 ì + + – + =ï +ï Û í ï + + + – = ï +î x y x y x y x y x y x y www.VNMATH.com
    2. 5. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ. Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 22 4 2 3 2 2 3 83 2 16 1) 2) 2 4 33 2 6 2 2 1 13 9 3) 4) 4 2 3 48 48 155 0 4 1 ln 2 ì + =- – =ì ï í í + – – = – =î ïî + – – = +ì + =ï í + – – – + = + + + + =ïî x yxy x y x y x y x y x x y x yx y y x y y x y x y x 0 ì ï í ïî 3 2 2 22 2 2 2 22 3 2 2 22 4 1 3 5 5) 6) 044 2007 2 01 7) 8) 2 3 6 12 13 0 2007 1 ì ì + =+ + + + = – + – + -ï ï í í + + – =+ + + = ïï îî ì = -ï ì – + =-ï í í + + – + =ï = – ï -î x y x yx x x y y y x xy y yx y x y y e x y x yy x x x y x e x ï ïî www.VNMATH.com
    3. 6. MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tham khảo Tạp chí THTT 400- 2010 Bài toán 1: (A- 2008) Giải hệ phương trình: ( ) 2 3 2 4 2 5 4 5 1 2 4 x y x y xy xy x y xy x ì + + + + = -ïï í ï + + + = – ïî Lời giải: Hệ đã cho tương đương với ( ) 2 3 2 22 5 4 5 4 x y x y xy xy x y xy ì + + + + = -ïï í ï + + = – ïî Suy ra ( ) ( ) 22 2 2 x y xy x y x y+ + + = + ( )( )2 2 1 0x y x y xyÛ + + – – = a) 2 2 0 0 5 4 x y x y xy ì + = ï + = Þ í = -ï î (I) Hệ (I) có nghiệm ( ) 3 3 5 25 ; ; 4 16 x y æ ö = -ç ÷ è ø b) 2 2 1 2 1 0 3 2 x y x y xy xy ì + = -ïï + – – = Þ í ï = – ïî (II) Hệ (II) có nghiệm ( ) 3 ; 1; 2 x y æ ö = -ç ÷ è ø Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( );x y là 3 3 5 25 ; 4 16 æ ö -ç ÷ è ø ; 3 1; 2 æ ö -ç ÷ è ø . Bài toán 2: (B- 2009) Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y + + =ì í + + =î Lời giải: Dễ thấy 0y ¹ nên hệ đã cho tương đương với 2 2 2 11 77 1 113 13 xx xx y yy y x xx x y y y y ìì + + =+ + = ïïï ï Ûí í æ öï ï+ + = + – =ç ÷ï ïî è øî www.VNMATH.com
    4. 12. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Dạng 2: Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất Dạng tổng quát: 2 2 0 0 ax by cxy dx fy e Ax By C ì + + + + + = í + + =î Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất, rút một ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương trình bậc hai. Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2 2 2 7 0 2 2 4 0 x y y x x y – – =ì í – + + + =î 2) 2 4 9 6 3 6 3 0 x y x xy x y + =ì í + – + =î 3) 2 2 2 1 0 12 2 10 0 x x y x x y ì + + + =ï í + + + =ïî 4) ( )( ) 2 2 1 2 2 0 3 1 0 x y x y xy y y ì + + + + =ï í + + + =ïî 5) 2 2 2 3 7 12 1 1 0 x xy y y y x y ì – + = + – í – + =î 6) ( )( )2 3 2 5 3 0 3 1 x y x y x y ì + – – – =ï í – =ïî 7) 2 2 11 5 2 3 12 x y x y ì + = í + =î 8) 2 2 9 4 6 42 40 135 0 3 2 9 0 x y xy x y x y ì + + + – + = í – + =î 9) 2 2 7 9 12 5 3 5 0 2 3 1 x y xy x y x y ì + – + + + = í – =î 10) 2 2 6 2 0 8 0 x y x y x y ì + + + = í + + =î 11) 2 2 2 6 2 3 x xy y x y x y ì + + – – = í – =î 12) 2 10 2 5 x xy x x y ì + + = í – = -î 13) 3 2 1 2 4 x y x y x y x y + -ì – =ï -í ï – =î 14) 2 2 1 1 1 3 2 3 1 1 1 9 4 4 x y x y ì – =ï ï í ï – = ïî 15) ( ) 2 2 1 1 1 1 3 1 1 1 41 x y yx ì + =ï +ï í ï – = ï +î 16) ( ) ( ) 4 2 4 117 0 25 x y x y x y ì + + + – =ï í – =ïî 17) 3 3 1 7 x y x y – =ì í – =î 18) ( )( )2 2 18 18 18 17 12 12 1 0 3 4 0 x x y x xy x y ì + + – – – =ï í + =ïî 19) ( )( )2 2 45 5 x y x y x y ì – – =ï í + =ïî www.VNMATH.com
    5. 13. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Dạng 3: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1 Dạng tổng quát: ( ) ( ) ; 0 ; 0 f X Y g X Y ì =ï í =ïî (*) Trong đó hoán vị giữa ,X Y thì biểu thức ( ) ( ); , ;f X Y g X Y không thay đổi. Phương pháp: + Đặt . S X Y P X Y = +ì í =î . Thay vào hệ (*), tìm ra ,S P . + Lúc đó, ,X Y là nghiệm của phương trình 2 0t St P- + = (1) Các nhận xét: * Do tính đối xứng của ,X Y nên nếu phương trình (1) có các nghiệm 1 2,t t thì hệ (*) có nghiệm ( ) ( )1 2 2 1; , ;t t t t . * Cũng do tính đối xứng nên để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là X Y= (thay vào hệ tìm tham số, sau đó thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ) * Do ,X Y là nghiệm của phương trình 2 0t St P- + = nên điều kiện cần và đủ để hệ (*) có nghiệm là: Phương trình (1) có nghiệm trên tập giá trị của ,X Y . Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2 2 4 2 x xy y x xy y ì + + = í + + =î 2) 2 2 5 13 x xy y x y xy + – =ì í + + =î 3) 2 2 4 2 2 4 7 21 x xy y x x y y ì + + =ï í + + =ïî 4) 2 2 4 2 2 4 5 13 x y x x y y ì + =ï í – + =ïî 5) 6 12 2 2 2 3 x y z xy yz zx x y z ì ï + + = ïï + + =í ï ï + + = ïî 6) 2 2 2 2 1 1 5 1 1 9 x y x y x y x y ì + + + =ï ï í ï + + + = ïî 7)* 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y ì + + + =ï ï í ï + + + = ïî 8) 2 2 7 5 x xy y x y ì – + = í + =î 9) 2 2 18 12 x y y x x y ì + =ï í ï + =î 9)* 2 2 2 4 3 2 x y z x y z xyz + + =ì ï + + =í ï =î 10) 3 3 7 ( ) 2 x y xy x y ì + = í + = -î 11) 3 3 3 1 4 1 x y z xy yz xz x y z + + =ì ï + + = -í ï + + =î 12)* 2 2 2 6 7 14 x y z xy yz xz x y z + + =ì ï + – =í ï + + =î 13) 4 4 2 2 17 3 x y x y xy ì + =ï í + + =ïî 14) 2 2 5 6 x xy y x y xy + + =ì í + =î 15) 2 2 18 ( 1). ( 1) 72 x x y y x x y y ì + + + = í + + =î 16) 3 3 19 ( )(8 ) 2 x y x y xy ì + = í + + =î 17) 2 2 7 2 5 2 x y xy x y xy ì + + =ïï í ï + = ïî 18) 9 ( ) 20 x x y y x y x y ì + + =ï ï í +ï = ïî www.VNMATH.com
    6. 14. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 19) 3 ( ) 2 x x y y x y x y ì – + =ï ï í -ï = ïî 20) 2 2 19 7 x xy y x xy y ì – + = í + + = -î 21) 2 2 11 3( ) 28 x y xy x y x y + + =ì í + + + =î 22) 2 2 1 1 2 x y x y ì + = ï í + =ï î 23) 2 ( 2)(2 ) 9 4 6 x x x y x x y + + =ì í + + =î 24) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 5 1 1 49 x y x y x y x y ì æ ö + + =ï ç ÷ ï è ø í æ öï + + =ç ÷ï è øî 25) 11 6 6 11 x y xy xy x y + + =ì ï í + + =ï î 26) 5 5 9 9 4 4 1x y x y x y ì + =ï í + = +ïî 27) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 3 5 7 155 xy x y x y x y ì – + =ï í – + =ïî 28) 30 35 x y y x x x y y ì + =ï í + =ïî 29) 4 4 x y x y xy ì + =ï í + – =ïî 30) 7 1 78 x y y x xy x xy y xy ì + = +ï í ï + =î 31) 1 1 3 1 1 1 1 6 x y x y y y y x ì + + + =ï í + + + + + + + =ïî 32) 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 x y z xy yz zx xyz ì + + =ï ï ï + + =í ï ï =ï î Dạng 3: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 Hệ phương trình được gọi là hệ đối xứng loại 2 khi thay X bởi Y hoặc thay Y bởi X thì hệ phương trình không thay đổi. Dạng tổng quát: ( ) ( ) ; 0 (*) ; 0 f X Y f Y X ì =ï í =ïî Phương pháp: Nếu ( );f X Y là đa thức thì thông thường hệ (*) được giải như sau: Biến đổi (*) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; 0 . ; 0 ; 0 ; 0 f X Y f Y X X Y g X Y f X Y f X Y ì ì- = – =ï ï Û Ûí í = =ï ïî î Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 1) 3 3 3 8 3 8 x x y y y x ì = +ï í = +ïî 2) 4 3 4 3 y x y x x y x y ì – =ïï í ï – = ïî 3) 3 3 3 4 2 3 4 2 x x y y y x ì + = +ïï í ï + = + ïî 4) 2 2 2 2 2 5 4 2 5 4 x y y y x x ì – = +ï í – = +ïî www.VNMATH.com
    7. 15. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 4) 3 3 2 2 x x y y y x ì = +ï í = +ïî 5) 2 2 2 2 2 3 2 3 y y x x x y ì + =ï ï í +ï = ïî 6) 1 3 2 1 3 2 x y x y x y ì + =ï ï í ï + = ïî 7) 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x y y y x ì – = -ï í – = -ïî 7) 2 2 1 2 1 2 x y y y x x ì = +ïï í ï = + ïî 8) 2 2 2 4 2 4 x x y y y x ì = + +ï í = + +ïî 9) 2 2 2 4 5 2 4 5 x y y y x x ì = – +ï í = – +ïî 10) 2 2 3 2 3 2 x x y y y x ì = +ï í = +ïî 11) 2 2 x x y y y x ì = +ï í = +ïî 12) 2 2 1 1 xy x y yx y x ì + = -ï í + = -ïî 13) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y y x y x ì – = +ï í – = +ïî 14) 3 3 y x x y ì =ï í =ïî Dạng 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Hệ phương trình đại số đẳng cấp bậc hai theo ,x y . Dạng tổng quát: 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a x b xy c y d a x b xy c y d ì + + =ï í + + =ïî (*) Phương pháp: + Giải hệ khi 0x = . + Khi 0x ¹ , đặt y tx= thế vào hệ (*), khử x được phương trình theo t . + Giải t , rồi tìm ,x y . Biến đổi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 1 1 1 11 1 1 1 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 (1) (1) . LËp tû (2)(2) x a b t c t da x b tx c tx d x a b t c t da x b tx c tx d ìì + + =+ + =ï ï Ûí í + + =+ + =ï ïî î Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2 2 2 2 3 1 3 3 13 x xy y x xy y ì – + = -ï í – + =ïî 2) 2 2 2 2 3 2 11 2 3 17 x xy y x xy y ì + + =ï í + + =ïî 3) ( ) 3 3 7 2 x y xy x y ì – =ï í – =ïî 4) 2 2 5 2 5 2 2 x xy y y x x y xy ì + – = ï í – = – -ï î 5) 3 2 3 3 2 3 1 2 2 x xy y x x y y ì – + =ï í – + =ïî 6) 2 2 2 3 0 2 x xy y x x y y ì – – =ï í + = -ïî 7) 2 2 2 2 3 5 5 37 5 9 3 15 x xy y x xy y ì + – =ï í – – =ïî 8) 2 2 2 2 4 2 1 2 4 x xy y x xy y ì – + =ï í – + =ïî 9) 3 2 2 3 3 2 2 3 6 3 2 2 x x y xy y y x y xy ì + + + =ï í + – =ïî 10) 2 2 2 2 3 1 2 2 8 x xy y x xy y ì – + = -ï í + + =ïî 11) 2 2 2 2 2 3 2 2 4 x xy y x xy y ì + – = -ï í – + =ïî 12) 3 3 2 2 7 2 3 16 y x x y xy ì – =ï í + =ïî 13) 3 3 2 2 3 1 2 2 x y x y xy y ì + =ï í + + =ïî 14) 2 2 2 2 3 5 4 3 9 11 8 13 x xy y y xy x ì – – = -ï í + – =ïî 15) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 13 25 x y x y x y x y ì – + =ï í + – =ïî www.VNMATH.com
    8. 19. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 2 2 2 2 2 2 2 1 6 1 5 1 6 (1) 1 5 2 (2) x x y y x x y y x x y y x x x y y y ì æ ö + =ï ç ÷ ï è ø Û í ï æ ö + = ç ÷ï è øî ì æ ö + =ï ç ÷ ï è ø Û í ïæ ö æ ö æ ö + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ï è ø è ø è øî Thay (1) vào (2). 12) Giải hệ phương trình: 6 5 2 x y x y x y x y xy + -ì + =ï – +í ï =î Gợi ý: Phương trình (1) có dạng bậc hai. 13) Giải hệ phương trình: a) 2 2 20 136 x y x y x y ì + + + =ï í + =ïî b) 2 1 1 3 2 4 x y x y x y ì + + – + =ï í + =ïî c) 2 2 6 20 x y y x x y y x ì + =ï í + =ïî d) 2 2 2 8 2 4 x y xy x y ì + + =ï í + =ïî Gợi ý: Biến đổi: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 (1) 2 2 16 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y xy x y x y xy x y x y x y x y x y Û + = – Û + = + – Û + = + Û + = + Û – = e) 2 2 5 2 21 x y y x x y xy ì + =ï í ï + + =î 14) Giải hệ phương trình: ( ) ( )2 23 3 3 3 2 3 6 x y x y xy x y ì + = +ï í ï + =î Gợi ý: Đặt 3 3,u x v y= = 15) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y y x y x y +ì + =ï +ï í -ï – = ï +î Gợi ý: Biến đổi: 2 2 2 2 2 2 3 (1) 3 (3) 3 (2) 0 (4) 3 1 (3) (4) 2 3 3 2 xy y xy y x y xy x xy x y y xy y y y + Þ + = + – Þ – = + æ ö- + Þ + = Þ = ç ÷ è ø 16) Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 2 12 0 8 12 x xy y x y ì + + =ï í + =ïî Gợi ý: Biến đổi: ( )3 2 2 2 Thay (2) vµo (1): 2 8 0 §©y lµ pt ®¼ng cÊp bËc 3. x xy x y yÞ + + + = 17) Giải hệ phương trình: a) ( ) ( ) 2 2 1 2 10 2 2 3 2 x y x y x y x y ì + + =ï -ï í +ï = ï -î b) 1 3 2 4 2 x x y x x y ì + =ï +ï í ï = – ï +î c) 2 2 25 2 ( ) 10 x y xy y x y ì + = – í + =î d) ( ) ( ) 22 2 2 2 19 7 x xy y x y x xy y x y ì + + = -ï í – + = -ïî www.VNMATH.com
    9. 20. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Gợi ý d): Phương trình (1) đẳng cấp bậc 2. 18) Giải hệ phương trình: a) 2 2 2 2 12 12 x y x y y x y ì + + – =ï í – =ïî Gợi ý: Đặt 2 2 ,u x y v x y= – = + 2 1 2 u y v v æ ö Þ = -ç ÷ è ø b) 20 16 5 y x y x y x x x y x y y ì = + + -ï ï í ï = + – – ï î Gợi ý: Nhân vế theo vế 2 phương trình. c) 2 2 2 2 3 1 0 4 5 2 1 0 x x y x x y ì – – + =ï í + – – =ïî Gợi ý: Nhân (1) với 2- , khử y . d) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 3 15 x y x y x y x y ì – – =ï í + + =ïî Gợi ý: Cách 1: Hpt đẳng cấp bậc 3. Cách 2: Biến đổi: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 15 x y x y xy x y x y xy ì é ù+ + – = ï ë û Û í é ùï + + – = ë ûî 19) Giải hệ phương trình: 2 2 3 2 16 2 4 33 xy x y x y x y – – =ì í + – – =î Gợi ý: Biến đổi: ( ) ( ) 2 2 2 2 6 4 32 2 4 33 3 2 16 8 65 0 xy x y x y x y xy x y x y x y – – =ì Û í + – – =î – – =ìï Û í + – + – =ïî 20) Giải hệ phương trình: a) 2 2 2 2 x y x y ì + – =ï í – + =ïî Gợi ý: Cách1: Biến đổi: § 2 2 2 2 2 2 2 2TX y x x y x x y x y x ì ì- = – + =ï ï Û Ûí í – = – + =ïï îî x yÞ = Cách 2: LÊy (1) (2) : 2 2 2 2 x y x y x y y x x y x y x y – Þ – = – – – – – Û = Þ = + – + – 21) Giải hệ phương trình: 6 2 3 6 2 3 x y y x ì + – =ï í + – =ïî Gợi ý: Cách 1: Biến đổi: ( ) (1) (2) 6 6 6 6 1 1 0 6 6 x y x y x y y x x y x y x y x y x y x y – Þ – = – – – – – Û = + – + – æ ö Û – + =ç ÷ç ÷+ – + -è ø Û = Cách 2: Bất đẳng thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 12 6 12 6 6 24 6 1 1 6 6 1 1 6 6 6 24 6 DÊu ” ” x·y ra khi chØ khi 6 3 x y y x x y y x x y x y y x y x x y y x x y y x x y ì + – =ï Û í ï + – = î Þ + – + + – = ì + – £ + + -ï í ï + – £ + + – î Þ + – + + – £ ì = -ï = í = -ïî Û = = 22) Giải hệ phương trình: a) 2 2 2 2 3 4 0 2 2 11 6 2 0 x xy y y x xy y x y ì + – + + =ï í + – + + – =ïî www.VNMATH.com
    10. 21. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Gợi ý: Thùc hiÖn: (1) 2 3´ – Cách khác: Thử 0x = . Đặt y kx= . b) 2 2 2 2 2 1 0 3 2 0 x x y x y x y ì + + – =ï í + – + – =ïî Gợi ý: ( ) 2 2 1 (1) 1 1 y x x y y x = +é Û + = Û ê = – -ë c) 2 3 2 2 2 2 4 3 0 2 0 x y x x y x y ì + – + =ï í – + =ïî Gợi ý: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 3 2 1 1 0 (1) 2 (2) 1 2 (2) : 1 1 1 1 1 (1) 2 1 1 0… x y x y x x y x x y ì – + + = ï Û í =ï +î – £ £ Þ – £ £ + Þ – + + ³ 23) Giải các hệ phương trình sau: 1) ( ) 3 2 2 3 2 64 2 6 y x x y x y ì + = -ï í + = +ïî Gợi ý: ( ) 3 2 3 2 2 (2) : 6 2 8 2 8 0, 2 64 8 y x y y x x y x y + = + ³ Û ³ ì + ³ï Þ Þ = =í – £ïî 2) 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 2 7 xy x y x y x y xy ì + = -ï ï í +ï + = – ïî Gợi ý: 2 2 1 1 3 1 1 2 7 xy x y xy x y xy ì + = -ï ï Û í ï + + = – ïî 2 1 1 3 1 1 §Æt 1 1 3 xy x y u x y v xyxy x y ì + = – ìï = +ï ï Û í í æ öï ï =+ = – îç ÷ïè øî 3) 1 6 7 2 x y x y xy ì + =ï í ï + =î Gợi ý: Quy đồng (1), khử xy .Hoặc chia (2) cho xy . 4) ( ) 2 1 3 4 5 5 x x y x y ì + + + =ï í + – + =ïî Gợi ý: Đánh giá BĐT ở phương trình (2). 5) 2 2 5 2 3 2 x y xy x y y x ì + =ïï í ï – = ïî Gợi ý: Hệ đẳng cấp. Hoặc chia (1) cho xy . 6) 3 2 2 2 3 4 1 1 x y x x x y ì + + =ï í ï – + + =î Gợi ý: TXĐ 2 1 1 1x x³ Û – £ £ 3 2 (1) : 3 4.x y x+ + ³ 7) 8 5 11 x x x y y x ì + =ï í – = -ïî Gợi ý: Phương pháp thế. CM pt vô nghiệm. 8) 3 31 1 3 9 x y x y ì – + – =ï í + =ïî Gợi ý: Đặt 3 31, 1u x v y= – = – 9) 2 2 7 3 2 23 x y x y x y ì + + + + =ï í + =ïî Gợi ý: Phương pháp thế. Hoặc đặt , 2 2u x y v x y= + = + + 10) 2 2 2 4 3 0 2 1 3 x xy y x x y xy ì + + =ï í + + = -ïî Gợi ý: Phương trình (1) đẳng cấp bậc 2. 11) 3 2 3 2 3 3 1 5 x x y x x xy y ì + = – -ï í + + =ïî Gợi ý: ( ) 3 2 3 3 3 (1) 3 3 1 1 1 x x x y x y y x Û + + + = Û + = Û = + www.VNMATH.com
    11. 22. Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 12) 5 2 7 2 5 7 x y x y ì + + – =ï í – + + =ïî 13) 5 5 5 8 x y x y ì + =ï í + + + =ïî Gợi ý: Biến đổi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 13 5 5 3 5 5 13 5 5 3 5 5 §Æt u 5, v 5 x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y ì + + + + + = ï Û í + – + + – =ï î ì + + + + + = ïï Û í + =ï + + + +ïî = + + = + + 14) 2 2 7 2 1 3 1 7 x y x y x y ì + + + + =ï í + + + =ïî Gợi ý: Biến đổi: LÊy (1) (2) 3 1 2 1 2 2 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 x y y x x y x y x y x y y x x y – Þ + – + = + – + + – – – – Û = + + + + + + + 15) ï ï î ïï í ì = + – = + + 4) 2 1 4( 32) 2 1 4( y xy x xy 16) ï ï î ïï í ì =++ =++ 49) 1 1)(( 5) 1 1)(( 22 22 yx yx xy yx 17) ( ) 2 3 1 8 9 y x y x y x y ì – + = -ï í + = – -ïî Gợi ý: ( ) 2 (1) 3 1 0 0 3 0 9 (2) : TX§: 9 0 9 x y y x y x y x y x y Û – – = – + £ Û £ – £ Û £ – £ – – ³ Û – ³ 18) ( ) ( ) 3 3 2 6 6 8 x y x y x y x y ì + + – =ï í + – =ïî Gợi ý: 3 3 3 3 3 3 6 HÖ 8 0 6 (I) 8 0 6 (II) 8 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ì + + – =ï Û í + – =ïî é – ³ì êï + + – =êí êï + – =êî Û ê – <ìê ïê + + – =íê ïê + – = -îë www.VNMATH.com

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cđ Giải Hpt Không Mẫu Mực
  • Một Số Lưu Ý Khi Giải Phương Trình Lượng Giác
  • Chuyên Đề Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 4: Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
  • Những Lưu Ý Khi Giải Bài Toán Bất Phương Trình Dành Cho Học Sinh Lớp 9
  • Tổng Hợp Các Phương Pháp Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Môn Toán

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Học Sinh Giải Phương Trình Toán Bằng Máy Tính Casio
  • Công Bố Kết Quả Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh Năm 2022
  • Giới Thiệu Nhóm Sản Phẩm Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh: “báo Cáo Sự Cố”
  • Người Giải Mã Tử Thi
  • Bài Giải Phương Trình Bậc 2
  • Published on

    1. 1. TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chủ biên: Nguyễn văn huy 26-7-2012
    2. 3. 4 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 177 Các loại hệ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Hệ phương trình hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng – hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Tổng hợp các bài hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Hệ phương trình hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Hệ phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 6 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 297 Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương trình . . . . 297 Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao . . . . 307 Sử dụng các hàm lượng giác hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Sáng tác một số phương trình đẳng cấp đối với hai biểu thức . . . . . . . . . . . . . 312 Xây dựng phương trình từ các đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số. . . . . . . . . 324 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng giác. . . . . . . . 328 Sử dụng căn bậc n của số phức để sáng tạo và giải hệ phương trình. . . . . . . 331 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Sử dụng hàm ngược để sáng tác một số phương trình, hệ phương trình. . . . . 345 Sáng tác hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Kinh nghiệm giải một số bài hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 7 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 362 8 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG 366 Lịch sử phát triển của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Có mấy cách giải phương trình bậc hai? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Cuộc thách đố chấn động thế giới toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Những vinh quang sau khi đã qua đời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
    3. 4. 5 Tỉểu sử một số nhà toán học nổi tiếng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Một cuộc đời trên bia mộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Chỉ vì lề sách quá hẹp! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Hai gương mặt trẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Sống hay chết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 9 Tài liệu tham khảo 381
    4. 5. Lời nói đầu Phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứng dụng rất lớn trong các ngành khoa học. Sớm được biết đến từ thời xa xưa do nhu cầu tính toán của con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét riêng trong Toán học, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu tỉ, phương trình vô tỉ, phương trình mũ – logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, . . . ) Còn ở Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, đã là một dạng toán quen thuộc và được yêu thích bởi nhiều bạn học sinh. Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các công cụ giải tích và hình học, những bài toán phương trình – hệ phương trình ngày càng được trau chuốt, trở thành nét đẹp của Toán học và một phần không thể thiếu trong các kì thi Học sinh giỏi, thi Đại học. Đã có rất nhiều bài viết về phương trình – hệ phương trình, nhưng chưa thể đề cập một cách toàn diện về những phương pháp giải và sáng tạo phương trình. Nhận thấy nhu cầu có một tài liệu đầy đủ về hình thức và nội dung cho cả hệ chuyên và không chuyên, Diễn đàn MathScope đã tiến hành biên soạn quyển sách Chuyên đề phương trình – hệ phương trình mà chúng tôi hân hạnh giới thiệu đến các thầy cô giáo và các bạn học sinh. Quyển sách này gồm 6 chương, với các nội dung như sau: Chương I: Đại cương về phương hữu tỉ cung cấp một số cách giải tổng quát phương trình bậc ba và bốn, ngoài ra còn đề cập đến phương trình phân thức và những cách xây dựng phương trình hữu tỉ. Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến các phương pháp giải và biện luận bài toán có tham số ,cũng như một số bài toán thường gặp trong các kì thi Học sinh giỏi. Chương III: Các phương pháp giải phương trình chủ yếu tổng hợp những phương pháp quen thuộc như bất đẳng thức, lượng liên hợp, hàm số đơn điệu, . . . với nhiều bài toán mở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan về phương trình. Chương này không đề cập đến Phương trình lượng giác, vì vấn đề này đã có trong chuyên đề Lượng giác của Diễn đàn. Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa ra một số dạng bài tập ứng dụng của hàm số logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng như đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơn điệu, … Chương V: Hệ phương trình là phần trọng tâm của chuyên đề. Nội dung của chương
    5. 6. 7 bao gồm một số phương pháp giải hệ phương trình và tổng hợp các bài hệ phương trình hay trong những kì thi học sinh giỏi trong nước cũng như quốc tế. Chương VI: Sáng tạo phương trình – hệ phương trình đưa ra những cách xây dựng một bài hay và khó từ những phương trình đơn giản bằng các công cụ mới như số phức, hàm hyperbolic, hàm đơn điệu, . . . Ngoài ra còn có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phương trình trong giải toán và về lịch sử phát triển của phương trình. Chúng tôi xin ngỏ lời cảm ơn tới những thành viên của Diễn đàn đã chung tay xây dựng chuyên đề. Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường Sơn, anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh vì đã hỗ trợ và đóng góp những ý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành vì đã giúp ban biên tập kiểm tra các bài viết để có một tuyển tập hoàn chỉnh. Niềm hi vọng duy nhất của những người làm chuyên đề là bạn đọc sẽ tìm thấy nhiều điều bổ ích và tình yêu toán học thông qua quyển sách này. Chúng tôi xin đón nhận và hoan nghênh mọi ý kiến xây dựng của bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin vui lòng chuyển đến [email protected] Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012 Thay mặt nhóm biên soạn Nguyễn Anh Huy
    6. 7. Các thành viên tham gia chuyên đề Để hoàn thành được các nội dung trên, chính là nhờ sự cố gắng nỗ lực của các thành viên của diễn đàn đã tham gia xây dựng chuyên đề: * Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) * Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM), Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM) * Đại cương về phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền – TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) * Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên – Hải Phòng), Đình Võ Bảo Châu (THPT chuyên Lê Quý Đôn – Vũng Tàu), Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên Trần Đại Nghĩa – TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền – Đồng Nai), Ong Thế Phương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) * Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương – Bình Phước), thầy Nguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí -Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPT Nguyễn Huệ – Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đoàn Thế Hoà (10A7 THPT Long Khánh – Đồng Nai) * Phương pháp dùng lượng liên hợp: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa – TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT – chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu), Đoàn Thế Hòa (THPT Long Khánh – Đồng Nai) * Phương pháp dùng bất đẳng thức: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Nguyễn Văn Bình (11A5 THPT Trần Quốc Tuấn – Quảng Ngãi), * Phương pháp dùng đơn điệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái – Hà Nội), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội) * Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguyễn Thanh Hoài (Đại học KHTN- TP HCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) * Các loại hệ cơ bản: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM)
    7. 8. 9 * Hệ phương trình hoán vị: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội) * Phương pháp biến đổi đẳng thức: Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong – Thái Nguyên), Nguyễn Đức Huỳnh (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM) * Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy, Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) * Phương pháp đặt ẩn phụ tổng – hiệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) * Tổng hợp các bài hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), Trần Minh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM) * Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai), thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong – Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) * Giải toán bằng cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM) * Lịch sử phát triển của phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền – Đồng Nai)
    8. 9. Chương I: Đ I CƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH H U T PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Một số phương pháp giải phương trình bậc ba Phương pháp phân tích nhân tử: Nếu phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đó có thể phân tích ax3 + bx2 + cx + d = (x − r) Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak2 = 0 (1) Ta có (1) ⇔ a(x4 + 2×2 .k + k2 ) + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = 0 ⇔ a(x2 + k)2 + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = 0 Đến đây có hai hướng để giải quyết: Cách 1: Đưa phương trình về dạng A2 = B2 : Thêm bớt, biến đổi vế trái thành dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng, chuyển các hạng tử chứa x2 sang bên phải. Cách 2: Đặt y = x2 + k ⇒ y k Phương trình (1) trở thành ay2 + bxy + (c − 2ak)x2 = 0 Tính x theo y hoặc y theo x để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn x. Ví dụ: Giải phương trình: x4 − 8×3 + 21×2 − 24x + 9 = 0 (1.1) Cách 1: (1.1) ⇔ (x4 + 9 + 6×2 ) − 8(x2 + 3) + 16×2 = 16×2 − 21×2 + 6×2 ⇔ (x2 − 4x + 3)2 = x2 ⇔ x2 − 4x + 3 = x x2 − 4x + 3 = −x ⇔ x2 − 5x + 3 = 0 x2 − 3x + 3 = 0 ⇔    x = 5 − √ 13 2 x = 5 + √ 13 2 Cách 2: (1.1) ⇔ (x4 + 6×2 + 9) − 8x(x2 + 3) + 15×2 = 0 ⇔ (x2 + 3)2 − 8x(x2 + 3) + 15×2 = 0 Đặt y = x2 + 3. (1.1) trở thành: y2 − 8xy + 15×2 = 0 ⇔ (y − 3x)(y − 5x) = 0 ⇔ y = 3x y = 5x Với y = 3x: Ta có x2 + 3 = 3x: Phương trình vô nghiệm Với y = 5x: Ta có x2 + 3 = 5x ⇔ x2 − 5x + 3 = 0 ⇔    x = 5 − √ 13 2 x = 5 + √ 13 2 Vậy phương trình (1.1) có tập nghiệm: S = 5 + √ 13 2 ; 5 − √ 13 2 Nhận xét: Mỗi phương pháp giải có lợi thế riêng. Với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp mà
    9. 20. 21 Ví dụ: Giải phương trình: x4 + x2 − 6x + 1 = 0 (5.1) Ta có: (5.1) ⇔ x4 + 4×2 + 4 = 3×2 + 6x + 3 ⇔ (x2 + 2)2 = 3(x + 1)2 ⇔ x2 + 2 = √ 3(x + 1) x2 + 2 = − √ 3(x + 1) ⇔ x2 − √ 3x + 2 − √ 3 = 0 x2 + √ 3 + 2 + √ 3 = 0 ⇔     x = √ 3 − 4 √ 3 − 5 2 x = √ 3 + 4 √ 3 − 5 2 Phương trình (5.1) có tập nghiệm: S = √ 3 − 4 √ 3 − 5 2 ; √ 3 + 4 √ 3 − 5 2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1. x4 − 19×2 − 10x + 8 = 0 2. x4 = 4x + 1 3. x4 = 8x + 7 4. 2×4 + 3×2 − 10x + 3 = 0 5. (x2 − 16)2 = 16x + 1 6. 3×4 − 2×2 − 16x − 5 = 0 Nhận xét: Phương trình dạng x4 = ax + b được giải theo cách tương tự. Phương trình ∆ = 0 là phương trình bậc ba với cách giải đã được trình bày trước. Phương trình này có thể cho 3 nghiệm m, cần lựa chọn m sao cho việc tính toán là thuận lợi nhất. Tuy nhiên, dù dùng nghiệm m nào thì cũng cho cùng một kết quả. Phương trình bậc bốn tổng quát ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (7) Phân tích các hạng tử bậc 4, 3, 2 thành bình phương đúng, các hạng tử còn lại chuyển sang vế phải: (7) ⇔ 4a2 x4 + 4bax3 + 4cax2 + 4dax + 4ae = 0 ⇔ (2ax2 + bx)2 = (b2 − 4ac)x2 − 4adx − 4ae Thêm vào hai vế một biểu thức 2(2ax2 + bx)y + y2 (y là hằng số) để vế trái thành bình phương đúng, còn vế phải là tam thức bậc hai theo x: f(x) = (b2 − 4ac − 4ay)x2 + 2(by − 2ad)x − 4ae + y2 Tính y sao cho vế phải là một bình phương đúng. Như vậy, ∆ của vế phải bằng 0. Như vậy ta phải giải phương trình ∆ = 0. Từ đó ta có dạng phương trình A2 = B2 quen thuộc. Ví dụ: Giải phương trình x4 − 16×3 + 66×2 − 16x − 55 = 0 (7.1) (7.1) ⇔ x4 − 16×3 + 64×2 = −2×2 + 16x + 55 ⇔ (x2 − 8x)2 + 2y(x2 − 8x) + y2 = (2y − 2)x2 + (16 − 16y)x + 55 + y2 Giải phương trình ∆ = 0 ⇔ (8 − 8y)2 − (55 + y2 )(2y − 2) = 0 tìm được y = 1, y = 3, y = 29. Trong các giá trị này, ta thấy giá trị y = 3 là thuận lợi nhất cho việc tính toán.
    10. 22. 23 Như vậy, chọn y = 3, ta có phương trình: (x2 − 8x + 3)2 = 4(x − 4)2 ⇔ x2 − 8x + 3 = 2(x − 4) x2 − 8x + 3 = −2(x − 4) ⇔ x2 − 10x + 11 = 0 x2 − 6x − 5 = 0 ⇔ x = 3 ± √ 14 x = 5 ± √ 14 Phương trình (7.1) có tập nghiệm S = 3 + √ 14; 3 − √ 14; 5 + √ 14; 5 − √ 14 Nhận xét: Ví dụ trên cho ta thấy phương trình ∆ = 0 có nhiều nghiệm. Có thể chọn y = 1 nhưng từ đó ta có phương trình (x2 −8x+1)2 = 56 thì không thuận lợi lắm cho việc tính toán, tuy nhiên, kết quả vẫn như nhau. Một cách giải khác là từ phương trình x4 +ax3 +bx2 +cx+d = 0 đặt x = t− a 4 , ta sẽ thu được phương trình khuyết bậc ba theo t, nghĩa là bài toán quy về giải phương trình t4 = at2 +bt+c. Bài tập tự luyện 1. x4 − 14×3 + 54×2 − 38x − 11 = 0 2. x4 − 16×3 + 57×2 − 52x − 35 = 0 3. x4 − 6×3 + 9×2 + 2x − 7 = 0 4. x4 − 10×3 + 29×2 − 20x − 8 = 0 5. 2×4 − 32×3 + 127×2 + 38x − 243 = 0 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC Phương trình dạng x2 + a2 x2 (x + a)2 = b (2) Ta có: (2) ⇔ x − ax (x + a) 2 + 2x. ax x + a = b ⇔ x2 x + a 2 + 2a. x2 x + a + a2 = b + a2
    11. 23. 24 Đặt y = x2 x + a . Giải phương trình bậc hai theo y để tìm x. Ví dụ: Giải phương trình: x2 + 9×2 (x + 3)2 = 7 (2.1) Điều kiện: x = −3. (2.1) ⇔ x − 3x x + 3 2 + 6. x2 x + 3 = 7 ⇔ x2 x + 3 2 + 6. x2 x + 3 = 7 Đặt y = x2 x + 3 . Ta có phương trình y2 + 6y − 7 = 0 ⇔ y = 1 y = −7 Nếu y = 1: Ta có phương trình x2 = x + 3 ⇔ x = 1 ± √ 13 2 Nếu y = −7: Ta có phương trình x2 + 7x + 21 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình (2.1) có tập nghiệm: S = 1 + √ 13 2 ; 1 − √ 13 2 Nhận xét: Dựa vào cách giải trên, ta có thể không cần phải đặt ẩn phụ mà thêm bớt hằng số để tạo dạng phương trình quen thuộc A2 = B2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1. x2 + 4×2 (x + 2)2 = 12 2. x2 + 25×2 (x + 5)2 = 11 3. x2 + 9×2 (x − 3)2 = 14 4. 25 x2 − 49 (x − 7)2 = 1 5. 9 4(x + 4)2 + 1 = 8 (2x + 5)2 Đưa về phương trình tích Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Chia tử và mẫu cho cùng một số ∪ [20 3 ; 12] 2 Nhận xét: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể: * Khi đặt t = u(x)(x ∈ D), ta tìm được t ∈ D1 và phương trình f(x, m) = 0 (1) trở thành g(t, m) = 0 (2). Khi đó (1) có nghiệm x ∈ D ⇒ (2) có nghiệm t ∈ D1. * Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm u(x)). * Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị t ∈ D1 thì phương trình t = u(x) có bao nhiêu nghiệm x ∈ D. Bài 12: Tìm m để phương trình m( √ x − 2 + 2 4 √ x2 − 4) − √ x + 2 = 2 4 √ x2 − 4 có nghiệm
    12. 40. 41 Từ đây, thay x = y + 1 vào phương trình thứ hai ta được: 15 + 2y − y2 = 2m + 4 − y2 ⇔ (5 − y) (y + 3) − 4 − y2 = 2m Đến đây ý tưởng đã rõ, ta chỉ cần chuyển về tương giao giữa hai đồ thị. Bài 20: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực: x3 + (y + 2) x2 + 2xy = −2m − 3 x2 + 3x + y = m Giải Ý tưởng: Ở hệ này ta quan sát thấy bài toán còn chưa rõ đường lối nào vì cả hai phương trình trong hệ đều chứa đến tham số m. Vì vậy để đi đến hướng giải quyết tốt ta nên bắt đầu phân tích hai vế trái trong hai phương trình trong hệ. Cụ thể ta có: x3 + (y + 2) x2 + 2xy = x3 + yx2 + 2×2 + 2xy = x2 (x + y) + 2x (x + y) = (x + y) x2 + 2x Mặt khác: x2 + 3x + y = x2 + 2x + x + y Rõ ràng ở bước phân tích này ta đã tìm ra lối giải cho bài toán này đó chính là đặt ẩn phụ. Lời giải: Đặt: a = x2 + 2x −1 b = x + y ta có hệ phương trình a + b = m ab = −2m − 3 ⇔ a2 − 3 = (a + 2) m (1) b = m − a Từ phương trình (1) trong hệ ta có: a2 − 3 a + 2 = m (2) Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm a −1. Xét hàm số: f (x) = x2 − 3 x + 2 với x −1 Đến đây ta chỉ cần lập bảng bíến thiên. Công việc tiếp theo xin dành cho bạn đọc. Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm m để phương trình tan2 x + cot2 x + m(cot x + tan x) = 3 có nghiệm Bài 2: Tìm m để phương trình √ x + √ −x + 9 = √ 9x − x2 + m có nghiệm Bài 3: Tìm m để phương trình √ 3 + x + √ −x + 6 − √ 18 + 3x − x2 = m có nghiệm Bài 4: Tìm m để phương trình x3 − 4mx2 + 8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 5: Tìm m để phương trình x3 + 3×2 + (3 − 2m) x + m + 1 = 0 có đúng một nghiệm lớn hơn 1. Bài 6: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt: 4×2 − 2mx + 1 = 3 √ 8×3 + 2x
    13. 45. 46 PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Lý thuyết Bài toán: Cho hệ phương trình (hoăc hệ bất phương trình) chứa tham số có dạng: (I)    f(x, m) = 0 x ∈ Dx m ∈ Dm hoặc (II)    f(x, m) 0 x ∈ Dx m ∈ Dm Trong đó x là biến số, m là tham số, Dx, Dm là miền xác định của x và m. Yêu cầu đăt ra: ta phải tìm giá trị của tham số m để hệ (I) họăc (II) thỏa mãn một tính chất nào đó. Phương pháp giải: Bước 1 (điều kiện cần): Giả sử hệ thỏa mãn tính chất P nào đó mà đầu bài đòi hỏi. Khi đó, dựa vào đặc thù của tính chất P và dạng của phương trình ta sẽ tìm được một ràng buộc nào đó đối với tham số m và ràng buộc ấy chính là điều kiện cần để có tính chất P. Điều đó có nghĩa là: nếu với m0 không thỏa mãn ràng buộc trên thì chắc chắn ứng với m0, hệ không có tính chất P. Bước 2 (điều kiện đủ): Ta tìm xem trong các giá trị của m vừa tìm được, giá trị nào làm cho hệ thỏa mãn tính chất P. Ở bước này nói chung ta cũng chỉ cần giải những hệ cụ thể không còn tham số. Sau khi kiểm tra, ta sẽ loại đi những giá trị không phù hợp và những giá trị còn lại chính là đáp số của bài toán. Như vậy, ý tưởng của phương pháp này khá rõ ràng và đơn giản. Trong rất nhiều bài toán về biện luận thì phương pháp này lại thể hiện ưu thế rõ rệt. Tuy nhiên, thành công của phương pháp còn nằm ở chỗ ta phải làm thế nào để phát hiện điiều kiện cần một cách hợp lí và chọn điều kiện đủ một cách đúng đắn. Bài tập ví dụ Sử dụng tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 4 √ x + 4 √ 1 − x + √ x + √ 1 − x = m (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x = α Dễ thấy nếu (1) có nghiệm x = α thì (1) cũng có nghiệm x = 1 − α. Vì nghiệm là duy nhất
    14. 46. 47 nên α = 1 − α ⇔ α = 1 2 Thay α = 1 2 vào (1) ta tìm được m = √ 2 + 4 √ 8. Điều kiện đủ: Giả sử m = √ 2 + 4 √ 8, khi đó (1) có dạng sau: 4 √ x + 4 √ 1 − x + √ x + √ 1 − x = √ 2 + 4 √ 8 (2) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: √ x + √ 1 − x √ 2 và 4 √ x + 4 √ 1 − x 4 √ 8 Do đó (2) ⇔ x = 1 − x ⇔ x = 1 2 . Vậy để (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần và đủ là m = √ 2 + 4 √ 8 2 Bài 2: Tìm a và b để phương trình sau có nghiệm duy nhất 3 (ax + b)2 + 3 (ax − b)2 + 3 √ a2x2 − b2 = 3 √ b (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x = x0, khi đó dễ thấy x = −x0 cũng là nghiệm của (1). Do đó từ giả thiết ta suy ra x0 = 0. Thay x0 = 0 vào (1) ta được : 3 √ b2 = 3 √ b ⇒ b = 0 b = 1 Điều kiện đủ: Khi b = 0, (1) có dạng: 3 √ a2x2 + 3 √ a2x2 + 3 √ a2x2 = 0 ⇔ a2 x2 = 0 Do đó (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 0 Khi b = 1, (1) có dạng: 3 (ax + 1)2 + 3 (ax − 1)2 + 3 √ a2x2 − 1 = 1 (∗) Đặt u = 3 √ ax + 1; v = 3 √ ax − 1, ta thấy: (∗) ⇔ u3 − v3 = 2 u2 + uv + v2 = 1 ⇔ u − v = 2 u2 + uv + v2 = 1 ⇔ u = 1 v = −1 ⇔ ax + 1 = 1 ax − 1 = −1 ⇔ ax = 0 Vậy (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 0 Tóm lại, để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần và đủ là a = 0; b = 0 b = 1 2 Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:    √ 7 + x + √ 11 − x − 4 = m − 4 − 3 √ 10 − 3m 7 + y + 11 − y − 4 = m − 4 − 3 √ 10 − 3m
    15. 50. 51 Nếu b = 0 ⇒ b2 + 1 = 1 nên từ (1) có y = 0, nhưng không thoả (2). Vậy trường hợp này loại. Nếu a = 1: ta có    x2 + (b2 + 1)y = 1 bxy + x2 y = 0 Hệ trên luôn có nghiệm x = y = 0. Vậy a = 1 là điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm với mọi b 2 Bài 8: Tìm điều kiện của a, b, c, d, e, f để hai phương trình ẩn (x; y) sau là tương đương:    ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) x2 + y2 = 1 (2) Giải Điều kiện cần: Ta thấy (x; y) = (0; ±1) , (±1; 0) , 1 √ 2 ; 1 √ 2 , − 1 √ 2 ; − 1 √ 2 là nghiệm của (2). Do đó (1) cũng phải có các nghiệm trên. Như vậy    c + e + f = c − e + f = a + d + f = a − d + f = 0 a + b + c + √ 2d + √ 2e + 2f 2 = a + b + c − √ 2d − √ 2e + 2f 2 = 0 Giải hệ trên ta tìm được điều kiện cần của bài toán là (∗)    b = d = e = 0 a = c = −f = 0 Điều kiện đủ: Dễ thấy với (*) thì (2) trùng với (1). Vậy (*) là điều kiện cần và đủ để (1) ⇔ (2) 2 Bài 9: Cho phương trình x3 + ax + b = 0 (1) Tìm a, b để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 cách đều nhau. Giải Điều kiện cần: Giả sử phương trình (1) có 3 nghiệm khác nhau x1, x2, x3 thỏa giả thiết ⇒ x1 + x3 = 2×2 Theo định lý Viete với phương trình bậc 3 ta có: x1 + x2 + x3 = 0 ⇒ 3×2 = 0 ⇒ x2 = 0 Thay x2 = 0 vào (1) ta được b = 0 Điều kiện đủ: Giả sử b = 0 , khi đó (1) trở thành: x3 + ax = 0 ⇔ x(x2 + a) = 0 (2) Ta thấy (2) có 3 nghiệm phân biệt nếu a < 0. Khi đó các nghiệm của (2) là    x1 = − √ −a x2 = 0 x3 = √ −a

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình
  • Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • Giải Phương Trình Bậc Hai (Bản Đầy Đủ)
  • Học Cách Giải Bất Phương Trình Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
  • Chuyên Đề Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Ứng Dụng
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1, Loại 2 Có Hai Ẩn
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Cực Hay
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2 Và Bài Tập Ứng Dụng Có Giải
  • Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 2
  • Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

    Ngày dạy:

    A. Kiến thức cơ bản

    1. Phương pháp thế

    1. Quy tắc thế

    – từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)

    – dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn

    2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

    – dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt 1 ẩn

    – giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho

    1. Phương pháp cộng đại số

    1. Quy tắc cộng đại số: gồm 2 bước

    – Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới

    – Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia)

    2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

    – Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia

    Thay vào tính nốt ẩn kia là thành”

    – Nghĩa là:

    + nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau

    + đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau

    + cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn

    + thay vào tính nốt ẩn còn lại

    B. Các dạng toán

    Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng pp thế và cộng đại số

    Bài 1: Giải các hpt sau bằng phương pháp thế

    Bài 2: giải các hpt bằng phương pháp thế

    Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

    Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

    )

    Bài 5: Giải hpt bằng phương pháp cộng đại số

    2. Dạng 2: Tìm tham số m, n để hệ có nghiệm (a;b)

    Bài 1: Tìm các giá trị của m, n sao cho mỗi hpt ẩn x, y sau đây

    a) hpt có nghiệm (2; 1); đáp số:

    b) hpt có nghiệm (-3; 2); đáp số:

    c) hpt có nghiệm (1; -5); đáp số:

    d) hpt có nghiệm (3; -1); đáp số:

    Bài 2: Tìm a, b trong các trường hợp sau:

    a) đg thg d1: ax + by = 1 đi qua các điểm A(-2; 1) và B(3; -2)

    b) đg thg d2: y = ax + b đi qua các điểm M(-5; 3) và N(3/2; -1)

    c) đg thg d3: ax – 8y = b đi qua các điểm H(9; -6) và đi qua giao điểm của 2 đường thẳng (d): 5x – 7y = 23; (d’): -15x + 28y = -62

    d) đt d4: 3ax + 2by = 5 đi qua các điểm A(-1; 2) và vuông góc với đt (d”): 2x + 3y = 1

    đáp số

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Hệ Phương Trình Đối Xứng
  • Chuyên Đề Hệ Pt Bậc Nhất 2 Ẩn Số
  • Chuyên Đề Và Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Bài Tập Giải Phương Trình Lớp 8
  • Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
  • Chuyên Đề Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Công Thức Lượng Giác Toán 10 Đầy Đủ Nhất
  • Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn Đặc Biệt Môn Toán Lớp 10
  • Phương Trình Và Hàm Số Bậc 4
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG GIÁO VIÊN : NGUYỄN TRƯỜNG SƠN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nội dung : Phương pháp thế. Phương pháp cộng đại số. Phương pháp biến đổi thành tích. Phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp hàm số. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Tài liệu dạy thêm tự soạn. Nghiêm cấm sao chép in ấn dưới mọi hình thức. Tác giả : Nguyễn Trường Sơn Gmail : [email protected] Sđt : 0988.503.138 Bài 1 : Một số dạng hệ phương trình đặc biệt. Hệ bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc cao. PP chung : Sử dụng phương pháp thế. Hệ 2 phương trình. Hệ 3 phương trình. Hệ đối xứng loại 1. PP chung : Đặt ẩn phụ Hệ đối xứng loại 2. PP chung : Trừ từng vế hai phương trình cho nhau ta được : Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai. PP chung : Có 2 cách giải Đặt ẩn phụ Chia cả hai vế cho , và đặt Bài 2 : Một số phương pháp giải hệ phương trình Phương pháp thế. * Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại. * Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó. Bài 1 . Giải hệ phương trình Lời giải. Từ (1) ta có thế vào (2) ta được Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là Bài 2 Giải hệ phương trình sau : Bài 3 Giải hệ : PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) thay vào PT (1). Nghiệm Bài 4 a) Giải hệ : PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) thay vào PT (1). b) Giải hệ : Bài 6 (Thử ĐT2012) Giải hệ : . Từ (1) thay vào (2). Nghiệm Bài 7. Giải hệ phương trình Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế. Lời giải. TH 1 : x = 0 không thỏa mãn (2) TH 2 : thế vào (1) ta được Do nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất Chú ý.: Hệ phương trình này có thể thế theo phương pháp sau: Hệ Phương pháp thế thường là công đoạn cuối cùng khi ta sử dụng các phương pháp khác Bài 8 (D – 2009 ) Giải hệ : . Từ (1) thế và thay vào PT (2). Bài 9 Giải hệ : HD : Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được : Phương pháp cộng đại số. * Cơ sở phương pháp. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau. * Nhận dạng. Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k. Bài 1 Giải hệ phương trình Bài 2. Giải hệ phương trình Lời giải. ĐK: Hệ . Trừ vế hai phương trình ta được TH 1. thế vào (1) ta được TH 2. . Từ , . Do đó TH 2 không xảy ra. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1) Bài 2 Giải hệ phương trình Lời giải. ĐK: . Trừ vế hai pt ta được TH 1. thế vào (1) ta được Đặt ta được và TH 2. . TH này vô nghiệm do ĐK. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1) Bài 5 Giải hệ phương trình: Bài 3. Giải hệ phương trình Phân tích. Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng số hạng tự do và thực hiện phép trừ vế. Lời giải. - Hệ - Giải phương trình này ta được thế vào một trong hai phương trình của hệ ta thu được kết quả * Chú ý Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn. Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt hoặc đặt . Bài 4. Tìm các giá trị m để hệ có nghiệm. Phân tích. Để có kết quả nhanh hơn ta sẽ đặt ngay Lời giải. TH 1. Vậy hệ có nghiệm TH 2. , Đặt . Hệ Ta có nên hệ có nghiệm pt (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hoặc Kết luận. Bài 5. Tìm các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm. Lời giải. Nhân 2 vế của bpt thứ hai với -3 ta được Cộng vế hai bpt cùng chiều ta được Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm là Điều kiện đủ. Với . Xét hệ pt (II) Giả sử là nghiệm của hệ (II). Khi đó Vậy mọi nghiệm của hệ (II) đều là nghiệm của hệ (I) (II) Thay vào pt thứ 2 của hệ (II) ta được Hệ (II) có nghiệm, do đó hệ (I) cũng có nghiệm. Vậy . Bài 6. Giải hệ phương trình Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất cho và chia hai vế pt thứ hai cho . Lời giải. ĐK: . Dễ thấy hoặc không thỏa mãn hệ pt. Vậy Hệ Nhân theo vế hai pt trong hệ ta được TH 1. thế vào pt (1) ta được TH 2. không xảy ra do . Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất . Chú ý. Hệ phương trình có dạng . Trong trường hợp này, dạng thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức. Tổng quát ta có hệ sau: Bài 7. Giải hệ phương trình Phân tích. Nếu chia hai vế của mỗi phương trình cho thì ta được hệ mới đơn giản hơn. TH 1. . Nếu thì hệ hoặc Tương tự với và ta thu được các nghiệm là TH 2. . Chia hai vế của mỗi pt trong hệ cho ta được . Cộng vế 3 phương trình của hệ ta được : Từ (4) và (1) ta có Tứ (4) và (2) ta có . Từ (4) và (3) ta có Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có . Vậy hệ có tập nghiệm là S = Nhận xét. Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng cách đổi biến số (ở trên là phép thay nghịch đảo) ta thu được một hệ phức tạp. Vậy đối với một hệ phức tạp ta sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản. Phương pháp biến đổi thành tích. * Cơ sở phương pháp. Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi khi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích. Bài 1 (Khối D – 2012) Giải hệ Biến đổi phương trình (2) thành tích. Hoặc coi phương trình (2) là bậc hai với ẩn x hoặc y. Hệ đã cho . Hệ có 3 nghiệm Bài 2. (D – 2008) Giải hệ phương trình Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1). Lời giải. ĐK: (1) TH 1. (loại do ) TH 2. thế vào pt (2) ta được . Do . Vậy hệ có nghiệm Chú ý. Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x). Bài 3. (A – 2003) Giải hệ phương trình Phân tích. Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích. Lời giải. ĐK: . (1) TH 1. thế vào (2) ta được hoặc (t/m) TH 2. thế vào (2) ta được . PT này vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của hệ là S = Bài 3. (Thi thử GL) Giải hệ phương trình Lời giải. TH 1. thế vào pt thứ hai ta được TH 2. . (2) Trường hợp này không xảy ra do Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = Bài 4. Giải hệ phương trình Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1) Lời giải. ĐK: . (1) TH 1. thế vào (2) ta được TH 2. vô nghiệm do ĐK Vậy tập nghiệm của hệ là S = Bài 5 (Thử ĐT 2013) Giải hệ phương trình Điều kiện : PT 0,25 Từ PT (2) ta có 0,25 PT , thay vào PT (2) ta được : hoặc 0,25 Kết hợp với điều kiện ta có , KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) là : 0,25 Bài 6 (A – 2011 ) Giải hệ PT : HD : Biến đổi PT (2) thành tích ta có . TH1:thay vào PT (1). TH 2: PT(1) Bài 7 (Thử GL 2012) Giải hệ : HD : Từ (2) thay vào (1) ta có : Phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 1. Giải hệ phương trình Lời giải. Đây là hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến. Hệ Đặt ta được TH 1. TH 2. . Vậy tập nghiệm của hệ là S = Chú ý. Nếu hệ pt có nghiệm là thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là . Do vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là . Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên. Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn. Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình: Bài 2 (D – 2004 )Tìm m để hệ có nghiệm : Bài 4. Giải hệ phương trình Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I Hướng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng và tích Hướng 2. Biểu diễn từng pt theo và . Rõ ràng hướng này tốt hơn. Lời giải. Hệ . Đặt ta được TH 1. TH 2. Đổi vai trò của a và b ta được . Vậy tập nghiệm của hệ là S = Nhận xét. Bài toán trên được hình thành theo cách sau Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản (I) Thay vào hệ (I) ta được hệ (1) đó chính là ví dụ 2. Thay vào hệ (I) ta được hệ (2) Thay vào hệ (I) ta được hệ (3) Thay vào hệ (I) ta được hệ (4) Thay vào hệ (I) ta được hệ (5) Như vậy, với hệ xuất (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ pt mới. Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II) và làm tương tự như trên ta lại thu được các hệ mới khác. Chẳng hạn : Thay vào hệ (II) ta được hệ (6) Thay vào hệ (II) ta được hệ (7) Thay vào hệ (II) ta được hệ (8) Thay vào hệ (II) ta được hệ (9) Thay vào hệ (II) ta được hệ (10) ... Bài 5 (D – 2007 ) Tìm m để hệ có nghiệm : . Đặt ẩn phụ Điều kiện Ta có hệ Bài 6 Giải hệ phương trình : (CĐ – 2010 ) (B – 2002) Bài 7 (Sát hạch khối 10 năm 2012) Giải hệ : a) Hệ Đặt Nghiệm b) Hệ Đặt Nghiệm Bài 8 (D – 2009 ) Giải hệ phương trình : ĐK. . Hệ Đặt ta được hệ : Bài 9 (A – 2008) Giải hệ phương trình : Hệ . Đặt ta được : Vậy tập nghiệm của hệ pt là S = Bài 10 Giải hệ phương trình : Hệ . Đặt ta được hệ hoặc Với hoặc Với hoặc Cách 2 : Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được : Bài 11 (A – 2006) Giải hệ phương trình : ĐK: Hệ Đặt . ta được hệ pt (thỏa mãn đk) Bài 12 (Thử ĐT2010) Giải hệ phương trình: . Bình phương cả 2 PT. Bài 13 (Thử GL 2012) Giải hệ : PT (1) PT (2) Ta có Bài 14 (ĐT 2011) Giải hệ : . Lần lượt chia cho và đặt ẩn phụ. Bài 15 (B – 2009 ) Giải hệ : . Lần lượt chia cho và đặt ẩn phụ. Bài 16 (Thử ĐT2012) Giải hệ : Chia 2 vế của 2 PT cho y và đặt ẩn phụ. Bài 17 Giải hệ phương trình: Phương pháp hàm số. * Cơ sở phương pháp. Nếu đơn điệu trên khoảng và thì : Bài 1 Giải các HPT sau : Bài 2 Giải hệ phương trình : Bài 3. Giải hệ phương trình Phân tích. Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích. Tuy nhiên ta muốn giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Hàm số không đơn điệu trên toàn trục số, nhưng nhờ có (2) ta giới hạn được x và y trên đoạn . Lời giải. Từ (2) ta có Hàm số có nghịch biến trên đoạn . nên (1) thế vào pt (2) ta được . Vậy tập nghiệm của hệ là S = Nhận xét. Trong TH này ta đã hạn chế miền biến thiên của các biến để hàm số đơn điệu trên đoạn đó. Bài 4 Giải hệ phương trình: PT Xét hàm . HS đồng biến. Từ (1) Thay và (2) tiếp tục sử dụng PP hàm số CM PT (2) có 1 nghiệm duy nhất . Bài 5 (A – 2003) Giải hệ : Xét hàm số nên hàm số đồng biến. Từ Thay vào (2) có nghiệm Bài 6 (Thử GL) Giải hệ phương trình . Xét hàm số nên hàm số đồng biến. Từ Thay vào (2) có nghiệm . vậy hệ có nghiệm . Bài 7 (Thi HSG tỉnh Hải Dương 2012) Từ điều kiện và từ phương trình (2) có , xét hàm số trên Hàm số đồng biến trên , ta có Với thay vào (2) giải được Bài 8 (A – 2012) Giải hệ phương trình Từ phương trình (2) nên nên xét trên Chỉ ra f(t) nghịch biến. Có Nghiệm Bài 9. (A – 2010) Giải hệ phương trình Lời giải. (1) với . ĐB trên . Vậy Thế vào pt (2) ta được Với . CM hàm g(x) nghịch biến. Ta có nghiệm duy nhất Bài 10.(Thi thử ĐT 2011) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm Lời giải. - Điều kiện. (1) - Hàm số nghịch biến trên đoạn nên Thế vào pt (2) ta được Hệ có nghiệm Pt (3) có nghiệm Xét . Pt (3) có nghiệm Bài 11 (Thử ĐT 2012) Giải hệ : . TH1 : Xét thay vào hệ thây không thỏa mãn. TH2 : Xét , chia 2 vế của (1) cho ta được Xét hàm số nên hàm số đồng biến. Từ Thay vào (2) ta có PT . Vậy hệ có nghiệm Bài 15. Giải hệ phương trình Phân tích. Nếu thay vào phương trình thứ nhất thì ta sẽ được hđt Lời giải. Thay vào phương trình thứ nhất ta được (1) Xét hàm số có suy ra đồng biến trên . (1) thế vào pt thứ hai ta được . Vậy tập nghiệm của hệ là S = Bài 16. Giải hệ phương trình Lời giải. Trừ vế hai pt ta được với . đồng biến trên . Bởi vậy thế vào pt thứ nhất ta được Với . do và Suy ra đồng biến trên . Bởi vậy Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0 Bài 17. Chứng minh hệ có đúng 2 nghiệm Lời giải. ĐK: . Do nên Trừ vế hai pt ta được Hay với . đồng biến trên . Bởi vậy thế vào pt thứ nhất ta được Với . Ta có Suy ra đồng biến trên . liên tục trên và có nên có nghiệm duy nhất và Từ BBT của ta suy ra pt có đúng 2 nghiệm . Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương. Bài 18 Giải hệ phương trình Lời giải. ĐK: (1) với ĐB trên và NB trên TH 1. hoặc thì Thế vào pt (2) ta được (không thỏa mãn) TH 2. hoặc ngược lại thì TH 3. thì hệ có nghiệm . Vậy hệ có nghiệm duy nhất Phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Cơ sở phương pháp : Sử dụng BĐT để chứng minh hoặc ngược lại, dấu bằng xảy ra khi Một số BĐT quen thuộc. Bài 1 Giải hệ : HD : Từ (1) VTVP, dầu bằng khi thay vào PT (2) ta có : Ta có : Bài 2 (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ : (2) . 0,25 (2) . 0,25 Xét hàm số Vì vậy trên hàm số f(t) đồng biến 0,25 TH 1. Kết hợp với . TH 2. hệ trở thành vô nghiệm Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 0,25

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lý Thuyết Hệ Phương Trình Có Cấu Trúc Đặc Biệt Toán 10
  • Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Toán Lớp 11
  • Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp
  • Phương Trình Lượng Giác Có Điều Kiện
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Tổng Hợp Bài Tập Pascal Có Giải, Từ Dễ Đến Khó
  • Giải Bài Tập Trang 62, 63 Sgk Đại Số 10: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 7: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :

    Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (0 ; -1).

    Với giá trị nào của m, n thì đồ thị hàm số y = 2mx – n + 1 đi qua hai điểm M(-l ; 3) và N(2 ; -1) ?

    Đồ thị hàm số y = 2mx – n + 1 đi qua hai điểm M(-1 ; 3) và N(2 ; -1) khi và chỉ khi

    B. Bài tập cơ bản

    Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :

    Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :

    Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M( -1; -1/2) và N(1; -3).

    Trong các câu 4.4; 4.5; 4.6 hãy khoanh tròn vào chữ cái trước phương án đúng

    (A) 6 (B) 3 (C) -3 (D) -6

    Với giá trị nào của m, n thì đồ thị hàm số y = mx – n đi qua hai điểm P(0 ; 1) và Q(2 ; -3) ?

    (A) m = -2 ; n = 1 (B) m = -1 ; n = -1

    (C) m = 2 ; n = -1 (D) m = -2 ; n = -1.

    C. Bài tập bổ sung

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

    P = 5(2 – 2xy + ) + 2(y – 3x + 2).

    Cho phương trình + a + bx + 1 = 0 (với x là ẩn số).

    a) Tìm các số hữu tỉ a, b thoả mãn x = – 2 là nghiệm của phương trình.

    b) Với các giá trị a, b đã tìm được ở câu a), hãy tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

    Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 4: Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Bài Tập Sgk Bài 4: Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 3: Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Phương Trình Pell Và Một Số Áp Dụng
  • Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Giải Các Hệ Phương Trình Tuyến Tính

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ Toán 9
  • Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Nhân Liên Hợp
  • Bài 3 : Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B
  • Phương Trình Hàm Trên N
  • Lịch Sử Hình Thành Serie A Giải Đấu Số 1 Nước Ý
  • Giải pháp của một hệ phương trình tuyến tính là việc tìm ra các biến không xác định đi vào các phương trình, sự thay thế làm cho hệ thống bằng nhau.

    Hệ phương trình tuyến tính có thể được giải quyết theo nhiều cách khác nhau, ví dụ, phương pháp Kramer hoặc phương pháp Gaus hoặc theo các cách khác. Sử dụng dịch vụ của chúng tôi, bạn có thể nhận các giải pháp trực tuyến miễn phí với các hành động và giải thích từng bước. Máy tính của chúng tôi cũng sẽ hữu ích nếu bạn cần kiểm tra tính toán của riêng bạn.

    Xuất số thập phân

    , số vị trí thập phân:

    Giải pháp:

    • Mô tả
    • Cách sử dụng

    Dịch vụ trực tuyến của chúng tôi cho phép chúng tôi giải quyết các hệ thống các phương trình đại số tuyến tính bằng nhiều cách:

    • bằng phương pháp của Cramer (quy tắc của Cramer)
    • phương pháp ma trận nghịch đảo
    • bằng phương pháp Gauss-Montante (thuật toán Bareys)
    • bằng phương pháp Gauss (phương pháp loại bỏ các biến số)
    • bằng phương pháp Gauss-Jordan (phương pháp loại bỏ hoàn toàn những thứ chưa biết)

    Trong trường hợp này, dịch vụ cung cấp một loạt các giải pháp, không chỉ là câu trả lời.

    Ngoài ra, bạn có thể kiểm tra hệ thống phương trình cho tính tương thích.

    • Sử dụng các dấu hiệu + để xác định số lượng yêu cầu của các biến trong phương trình. Nếu phương trình của bạn không bao gồm bất kỳ unknowns, sau đó chỉ cần để trống các lĩnh vực (trống).
    • Trong các tế bào, chỉ định các hệ số (giá trị) cho unknowns. Nếu dữ liệu nguồn được thiết lập để x1, x2 và như vậy, trong tế bào trước khi tiết lộ những điều không biết, chỉ định 1.
    • Giá trị của những thứ chưa biết có thể là:

      • số nguyên: 7, -3, 0
      • thập phân (hữu hạn và định kỳ) phân số: 7/8, 6.13, -1.3(56), 1.2e-4
      • biểu thức số học: 1/2+3*(6-4), (6-y)/x^3, 2^0.5

    • Sau đó nhấp chuột vào nút với tên của phép toán học cần thiết.
    • Các giá trị trong các kết quả giải pháp có thể được kéo bằng chuột đến trường dữ liệu nguồn.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Hướng Dẫn Xoay Rubik 3X3X3 Theo Cách Đơn Giản Nhất
  • Cách Giải Rubik 3×3 Nâng Cao Theo Petrus Method
  • Cách Chơi Rubik 3×3 Dễ Hiểu Nhất Cho Người Mới
  • Công Cụ Giải Mã Khối Rubik
  • Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Bằng Phương Pháp Thế
  • Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Phương Trình Và Hệ Phương Trình
  • Cách Giải Bài Tập Về Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng Hay, Chi Tiết
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 31: Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng
  • MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

    Hệ phương trình là một dạng toán khá phổ biến trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ và đề thi HSG các cấp. Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phương trình được coi là bài toán khó, thậm chí là câu khó nhất trong cấu trúc đề thi ĐH, CĐ.

    Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ và bồi dưỡng học sinh giỏi phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải các hệ phương trình này, tôi thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo các kĩ năng giải hệ phương trình thông thường và chú ý tới một số kĩ năng thường áp dụng khi giải “hệ không mẫu mực”. Trong bài viết này tôi xin gọi như vậy đối với các hệ phương trình mà thuật giải không được trình bày trong sách giáo khoa.

    Bài viết được chia làm ba mục: Mở đầu là tóm tắt các hệ phương trình thường gặp, đã được giới thiệu khá chi tiết trong sách giác khoa. Mục thứ hai là một số kĩ năng giải hệ phương trình không mẫu mực. Các bài toán đưa ra phần lớn là tôi sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, một số ít do tôi ra trong các kì thi KS, thi HSG,…Lời giải các bài toán này tôi chỉ chú ý đến cách đưa hệ không mẫu mực về dạng quen thuộc mà không quan tâm đến kết quả cuối cùng. Cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc tham khảo.

    Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH, CĐ và ôn thi HSG cho học sinh khối 12. Thời gian giảng dạy chuyên đề này cho học sinh khối 12 khi ôn thi ĐH, CĐ là 2 buổi.

    Mặc dù rất tâm huyết với chuyên đề, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập.

    Yên lạc, tháng 01 năm 2012

    Nguyễn Thành Đông

    I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

    Một số hệ phương trình được học trong chương trình phổ thông có phương pháp giải rõ ràng, học sinh chỉ cần nhớ thuật giải, rèn luyện các kĩ năng biến đổi, tính toán là có thể làm được. Thực chất các hệ phương trình này ta gặp rất nhiều ở cả THCS và THPT, không riêng bộ môn toán mà cả môn lí, môn hóa,… Một lần nữa ta nhắc lại các dạng hệ phương trình như vậy.

    Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

    Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng , trong đó x, y là ẩn.

    Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, đặt ẩn phụ,…

    Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

    Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng , trong đó x, y, z là ẩn.

    Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, phương pháp khử Gauss,…

    3. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình khác

    a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng , trong đó x, y là ẩn còn

    f(x,y) là biểu thức hai biến x, y.

    b) Cách giải: Sử dụng phương pháp thế.

    4. Hệ đối xứng loại 1

    a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình,

    từng phương trình đó không thay đổi.

    b) Cách giải: Biến đổi tương đương làm xuất hiện tổng và tích của các nghiệm rồi đặt

    tổng bằng S, tích bằng P (). Thông thường sau bước này ta được một hệ đơn

    giản.

    5. Hệ đối xứng loại 2

    a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình,

    phương trình này biến thành phương trình kia.

    b) Cách giải: Trừ vế cho vế làm xuất hiện nhân tử chung x-y rồi đưa hệ đã cho về hai

    hệ mới đơn giản hơn.

    6. Hệ đẳng cấp

    a) Định nghĩa: Là hệ có dạng , ở đó là các đa

    thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc.

    b) Cách giải: Xét riêng x=0. Nếu x khác 0 thì ta đặt y=kx rồi nhận xét và chia về cho vế ta được phương trình một ẩn

    --- Bài cũ hơn ---

  • Rèn Kĩ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8
  • Giải Bài Toán Bằng Phương Trình Ion
  • Su Dung Phuong Trinh Ion Thu Gon
  • Phuong Trinh Ion Rut Gon
  • Giải Bài Toán Bằng Phương Trình Ion Rút Gọn:
  • Cách Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Và Hệ Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Toán Lớp 4 Trang 170, 171, Bài 1, 2, 3, 4, 5 Sgk (2021) ▶️ Wiki 1 Phút ◀️
  • Kunci Jawaban Brain Test 2 Prison Escape Level 1
  • Đáp Án Điên Não Level 1
  • Brain Out Level 27 Có Bao Nhiêu Con Kiến Giải
  • Toán Trí Tuệ Superbrain – Món Quà Ý Nghĩa Cho Con Trong Mùa Hè Này
  • I. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

    Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

    • Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).
    • Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
    • Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

    Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình), kiểm tra xem kết quả có thỏa mãn điều kiện hay không.

    Bước 3: Kết luận

    II. Một số dạng toán về lập phương trình điển hình và cách giải cụ thể

    Dạng 1: Chuyển động

    (Trên đường bộ, trên dòng sông có tính đến dòng nước chảy)

    Ví dụ 1: Một người đi ô tô từ A đến B để giải quyết công việc lúc 8h. Đoạn đường AB dài 80km gồm một đoạn đường bằng và một đoạn dốc. Vận tốc người đó đi trên đường bằng là 80 km/h, khi lên dốc (lúc đi) là 48 km/h, khi xuống dốc (lúc về) là 90 km/h. Tính độ dài đoạn đường bằng, biết rằng tới B, người đó giải quyết công việc trong 1h30 phút rồi quay về luôn và về tới A lúc 12h.

    Lời giải:

    Gọi độ dài đoạn đường bằng là x (0 < x < 90) (km)

    Tổng thời gian người đó đi là: 12 – 8 – 1,5 = 2,5 (h)

    Thời gian người đó đi trên quãng đường bằng là: 2x/80 (h)

    Thời gian người đó lên dốc là: (90-x)/48 (h)

    Thời gian người đó xuống dốc là: (90-x)/90 (h)

    Theo bài ra, ta có:

    2x/80 + (90-x)/48 + (90-x)/90 = 2.5

    ⇒ (18x + 15(90-x) +8(90-x) )/720 = 2.5

    ⇒ 18x – 15x – 8x = 1800 – 720 – 1350

    ⇒ -5x = -270

    ⇒ x = 54 (thỏa mãn)

    Kết luận: Quãng đường bằng dài 54 km.

    Ví dụ 2: Một ca nô xuôi dòng theo A đến B rồi quay trở lại. Biết tổng thời gian ca nô xuôi ngược trên AB dài 40 km hết 4,5 giờ. Tính vận tốc của dòng nước, biết thời gian đi 5 km lúc đi bằng thời gian đi 4 km lúc về.

    Lời giải:

    Gọi vận tốc của thuyền khi nước lặng là x và vận tốc của dòng nước là y

    Lại có tổng thời gian ca nô xuôi ngược trên AB dài 40 km hết 4h 30 phút

    Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

    5/(x+ y) = 4/(x -y) (I) và 40/(x+ y) + 40/(x -y) = 4,5 (II)

    Từ (I) suy ra: y = x – 16

    Thay y = x – 16 vào (2), ta được:

    Kết luận: Vận tốc dòng nước là 2 km/h.

    Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng

    ( Toán vòi nước, công việc )

    Ví dụ 3: Cho 2 vòi nước khác nhau A và B cũng chảy vào bể. Vòi A cần ít hơn 2 giờ so với vòi B để một mình chảy đầy bể. Tính thời gian cần thiết để mỗi vòi chảy một mình đầy bể, biết tích thời gian 2 vòi chảy một mình gấp 4 lần thời gian 2 vòi cùng chảy.

    Lời giải:

    ⇒ Thời gian để vòi B một mình chảy đầy bể là x + 2 (giờ)

    Trong một giờ vòi A chảy được: 1/x (bể)

    Trong một giờ vòi A chảy được: 1/(x+2) (bể)

    Trong một giờ cả hai vòi chảy được: 1/x + 1/(x+2) = (2x+2)/(x (x+2) ) (bể)

    Suy ra, thời gian để hai vòi chảy đầy bể là:

    1 : ( (2x+2)/(x.(x+2) ) = (x (x+2))/(2 (x+1))

    Theo bài ra, ta có phương trình:

    x.(x + 2) = 4.(x.(x+2))/(2.(x+1))

    ⇒ 2x.(x +1).(x + 2) = 4x.(x + 2)

    ⇒ x + 1 = 2 (chia cả 2 vế cho 2x (x + 2) # 0)

    ⇒ x = 1 (thỏa mãn)

    Vậy vòi A cần 1 giờ để chảy đầy bể, vòi B cần 3 giờ để chảy đầy bể.

    Ví dụ 4: Hai tổ cùng làm chung một công việc thì hết 12h. Tính số giờ mỗi tổ làm một mình xong công việc, biết nếu mỗi tổ lần lượt làm một nửa công việc thì hết 25h.

    Lời giải:

    Gọi số giờ tổ 1 một mình làm xong công việc là x

    số giờ tổ 2 một mình làm xong công việc là y

    Trong 1 giờ, cả hai tổ làm được 1/x + 1/y = 1/12 (công việc)

    Khi mỗi người làm một nửa công việc, ta có: x/2 + y/2 = 25

    Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

    1/x + 1/y = 1/12 (I) và x/2 + y/2 = 25 (II)

    Từ (II) ⇒ x = 50-y

    Thay x = 50 – y vào (I), ta được:

    1/(50-y) + 1/y = 1/12 ⇒ y = 20 hoặc y = 30 ⇒ x = 30 hoặc x = 20

    Kết luận: Tổ 1 làm một mình hết 20 giờ, tổ 2 làm một mình hết 30 giờ (hoặc ngược lại)

    Ví dụ 5: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài. Người chủ của mảnh vườn cắt mỗi cạnh đi 5m để trồng hoa, nên diện tích của mảnh vườn đã giảm 16%. Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu.

    Lời giải:

    Suy ra chiều rộng của mảnh vườn là 2/3 x (m)

    Chiều dài của mảnh vườn sau khi giảm 5m là x – 5 (m)

    Chiều rộng của mảnh vườn sau khi giảm 5m là 2/3 x – 5 (m)

    Diện tích của mảnh vườn sau khi cắt bớt là:

    (x – 5) (2/3 x – 5) = 2/3 x2 – 5x – 10/3 x + 25 = (2×2-25x+75)/3

    Phần diện tích giảm đi 16% là:

    (2×2)/3 – 16% (2×2)/3 = (2×2)/3 – (8×2)/75 = (50×2 – 8×2)/75 = (14×2)/25

    Theo bài ra, ta có phương trình:

    (2×2-25x+75)/3 = (14×2)/25

    ⇒ 50×2 – 625x +1875 = 42×2

    ⇒ 8×2 – 625x +1875 = 0

    ⇒ x = 75 hoặc x = 25/8 (loại vì 25/8<5 )

    Suy ra chiều rộng của mảnh vườn là 50m

    Kết luận: Diện tích của mảnh vườn ban đầu là: 75 x 50 = 3750 (m2)

    Ví dụ 6: Trong tháng năm hai nhóm công nhân đã trồng được 720 cây bạch đàn. Tháng tiếp theo do năng suất tăng nên hai nhóm trồng được thêm 99 cây bạch đàn so với tháng năm. Tính số cây mỗi nhóm đã trồng được trong tháng năm, biết tháng sáu nhóm một năng suất tăng 15%, nhóm hai tăng 12%.

    Lời giải:

    Gọi số cây nhóm một trồng được trong tháng năm là x

    số cây nhóm hai trồng được trong tháng năm là y

    Suy ra số cây nhóm một trồng được trong tháng sáu là 15% x = 115x/100 (cây)

    số cây nhóm hai trồng được trong tháng sáu là 12% y = 112y/100 (cây)

    Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

    x + y = 720 và 115x/100+ 112y/100 = 720 + 99

    Giải hệ ta được: x = 420 và y = 300

    Kết luận: Nhóm một đã trồng được 420 cây trong tháng năm, nhóm hai đã trồng được 300 cây trong tháng năm.

    Dạng 4: Toán có nội dung hình học

    Ví dụ 7: Một tấm bìa các tông hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 17 cm và đường chéo bằng 53 cm. Tính chu vi của tấm bìa các tông đó.

    Lời giải:

    Suy ra chiều rộng của tấm bìa là x – 17 (cm)

    Áp dụng định lý Py – ta – go, ta có phương trình:

    x2 + (x – 17)2 = 532

    ⇒ x2+ x2 – 34x + 289 – 2809 = 0

    ⇒ 2×2 – 34 x – 2520 = 0

    ⇒ x = 45 hoặc x = -28 (loại)

    Suy ra chiều rộng của tấm bìa là 28 (cm), Chu vi của tấm bìa các tông là 146 (cm)

    Ví dụ 8: Một thửa ruộng có chu vi 450m. Tính diện tích ban đầu của thửa ruộng đó, biết rằng chu vi của thửa ruộng không thay đổi khi giảm chiều dài đi 1/5 và tăng chiều rộng lên 1/4.

    Lời giải:

    Gọi chiều dài của thửa ruộng là x, chiều rộng của thửa ruộng là y

    Suy ra chiều dài sau khi cắt bớt là 1-1/5 x = 4/5 x (m)

    Chiều rộng sau khi tăng thêm là 1+ 1/4 x = 5/4 y (m)

    Nưa chu vi thửa ruộng đó là: 450 : 2 = 225 (m)

    Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

    x + y = 225 và 4/5 x+ 5/4 y = 225

    Giải ra ta được: x=125 và y = 100 (thỏa mãn)

    Diện tích ban đầu của thửa ruộng đó là 125 x 100 = 12500 (m2)

    Dạng 5: Toán về tìm số

    Ví dụ 9: Bà Dương hơn Dương 56 tuổi. Tính số tuổi của hai bà cháu biết rằng cách đây 5 năm, số tuổi của bà gấp 8 lần tuổi của Dương.

    Lời giải:

    Suy ra số tuổi của bà Dương hiện tại là x + 56 (tuổi)

    Số tuổi của Dương cách đây 5 năm là x – 5 (tuổi)

    Số tuổi của bà Dương cách đây 5 năm là x + 56 – 5 = x + 51 (tuổi)

    Theo bài ra, ta có phương trình:

    8 (x – 5) = x + 51

    ⇒ 8x – 40 = x + 51

    ⇒ 8x – x = 40 + 51

    ⇒ 7x = 91

    ⇒ x = 13

    Vậy số tuổi của Dương là 13, số tuổi của bà là 69.

    Ví dụ 10: Tuổi thọ trung bình của 45 vị vua và hoàng hậu ngày xưa là 40. Tuổi trung bình của vua là 35, tuổi trung bình của hoàng hậu là 50. Hỏi có bao nhiêu vị vua, bao nhiêu hoàng hậu được nhắc tới?

    Lời giải:

    Gọi số vị vua là x, số hoàng hậu là y (0 < x, y < 45)

    Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

    x + y = 45 và (35x + 45y)/45 = 40

    Giải ra ta được:  x = 15 và y = 30 (thỏa mãn)

    Vậy có 15 vị vua, 30 hoàng hậu.

    Lời kết: Chúng ta có thể thấy những bài toán trên nếu giải theo phương pháp thông thường sẽ mất rất nhiều thời gian, nhưng khi ta lập được phương trình và hệ phương trình sẽ trở nên đơn giản hơn. Vì vậy, Gia Sư Việt mong rằng các em nắm chắc từng bước giải bài toán bằng cách lập phương trình & hệ phương trình để áp dụng làm bài thi hiệu quả nhất.

    ♦ Phương pháp giải bài toán về Đường tròn môn Hình học lớp 9

    ♦ Khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông

    ♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Trang 65: Bài Mét Vuông Chi Tiết Nhất
  • Dạng Toán Tổng – Hiệu Lớp 4
  • Cách Dạy Toán Có Lời Văn Cho Học Sinh Tiểu Học
  • Brain Out Level 173 Vắt Sữa Giải
  • Brain Out Level 36 Giúp Họ Qua Sông Giải
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100