Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Biến Đổi Tương Đương

--- Bài mới hơn ---

  • 4 Dạng Toán Phương Trình Thường Gặp Trong Đề Thi Hkii Toán 8
  • Rèn Kỹ Năng Giải Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8 Skkn 2014 Toan Khoa Doc
  • Cách Giải Một Số Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc 2
  • Cách Nhẩm Nghiệm Phương Trình Bậc Hai
  • Giáo Án Môn Đại Số Lớp 9 Năm 2009
  • Chuyên đề môn Toán lớp 10

    Chuyên đề Toán học lớp 10: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

    Chuyên đề: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương

    I/ Lý thuyết & Phương pháp giải

    – Phương trình tương đương: Hai phương trình f 1(x) = g 1(x) và f 2(x) = g 2(x) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

    – Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.

    – Phương trình hệ quả: f 2(x) = g 2(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f 1(x) = g 1(x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f 1(x) = g 1(x)

    – Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng:

    + Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.

    + Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

    + Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

    Bình phương hai vế của phương trình (hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

    II. Ví dụ minh họa

    Bài 1: Giải phương trình

    Hướng dẫn:

    Điều kiện:

    Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình

    Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;2}

    Bài 2: Giải phương trình

    Hướng dẫn:

    Điều kiện:

    Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*)

    Nếu x ≠3. thì (*)

    Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = 5/3

    Thay x = 3 và x = 5/3 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S = {3}

    Hướng dẫn:

    a. Điều kiện: x ≥ -1.

    Ta có x = -1 là một nghiệm.

    x 2 – x – 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.

    Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1, x = 2.

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm S = {-1; 2}

    Với điều kiện để phương trình tương đương với phương trình

    Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

    Vậy phương trình vô nghiệm

    Hướng dẫn:

    a. Điều kiện: x ≠1.

    Với điều kiện trên phương trình tương đương x 2 – x + 1 = 2x – 1 ⇔ x = 1 hoặc x = 2

    Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

    b. ĐKXĐ :

    Với điều kiện trên phương trình tương đương với

    Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = -3

    Bài 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương

    x 2 + mx – 1 = 0 (1) và (m-1)x 2 + 2(m-2)x + m – 3 = 0 (2)

    Hướng dẫn:

    Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

    Ta có (m-1)x 2 + 2(m-2)x + m – 3 = 0

    Do hai phương trình tương đương nên x = -1 cũng là nghiệm của phương trình (1)

    Thay x = -1 vào phương trình (1) ta được m = 0

    Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.

    Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bảng Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ,chi Tiết,dễ Hiểu
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
  • Giáo Án Đại Số Lớp 8 Tiết 42 Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Phương Pháp Giải Một Số Dạng Phương Trình Môn Toán Ở Cấp Thcs
  • Chủ Đề 11: Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2
  • Tổng Hợp Các Phương Pháp Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Môn Toán
  • Hướng Dẫn Học Sinh Giải Phương Trình Toán Bằng Máy Tính Casio
  • Công Bố Kết Quả Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh Năm 2022
  • Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình

    Các dạng hệ phương trình đặc biệt

    Lý thuyết & Phương pháp giải

    DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

    1. Phương pháp giải

    Sử dụng phương pháp thế

    – Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

    – Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

    – Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

    DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

    1. Phương pháp giải

    a. Hệ đối xứng loại 1

    Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:

    (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

    Cách giải

    – Đặt S = x + y, P = xy

    – Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I’) với các ẩn là S và P.

    – Giải hệ (I’) ta tìm được S và P

    – Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X 2 – SX + P = 0

    b. Hệ đối xứng loại 2

    Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:

    (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

    – Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔

    – Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔

    – Như vậy (II) ⇔

    – Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)

    c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x 0; y 0) thì (y 0; x 0) cũng là một nghiệm của nó

    DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

    1. Phương pháp giải

    Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:

    – Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

    – Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

    Ví dụ minh họa

    Bài 1: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Đặt S = x + y, P = xy (S 2 – 4P ≥ 0)

    Ta có :

    ⇒ S = -5; S = 3

    S = -5⇒ P = 10 (loại)

    S = 3⇒ P = 2(nhận)

    Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X 2 – 3X + 2 = 0

    ⇔ X = 1; X = 2

    Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)

    b. ĐKXĐ: x ≠ 0

    Hệ phương trình tương đương với

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)

    Bài 2: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Hệ phương trình tương đương

    Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 – y = -1

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}

    b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:

    – Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

    Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

    X 2 + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm)

    Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)

    Bài 3: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Hệ phương trình tương đương

    Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}

    b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

    Thay x = y vào phương trình đầu ta được:

    Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)

    Bài 4: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    Khi x = y thì hệ có nghiệm

    Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

    b. Hệ phương trình tương đương

    Bài 5: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Ta có

    Nếu x = 0 thay vào (1)⇒ y = 0, thay vào (2) thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm

    của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình

    Nếu x ≠ 0, đặt y = tx , thay vào hệ ta được

    Với t = 1/2 thay vào (**) ta được 4x 2 + x 2 + 6x = 27 ⇔ 5x 2 + 6x – 27 = 0

    Với t = 1/3 thay vào (**) ta được 4x 2 + (2/3)x 2 + 6x = 27

    ⇔ 14x 2 + 18x – 81 = 0

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:

    b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ

    Với x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được

    Suy ra 3(t 2 – t + 1) = 2t 2 – 3t + 4 ⇒ t = ±1

    Thay vào (*) thì

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1/√3;(-1)/√3), ((-1)/√3;1/√3), (-1;-1) và (1;1)

    Bài 6: Cho hệ phương trình. Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Đặt S = x + y, P = xy (S 2 – 4P ≥ 0)

    Ta có

    Đẳng thức xảy ra khi a = -1 (nhận)

    Bài 7: Xác định m để hệ phương trìnhcó nghiệm

    Hướng dẫn:

    Hệ phương trình tương đương

    Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 – 4m ≥ 0

    ⇔ m ≤ 5/4

    Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y) 2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1

    Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4

    Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Bậc Hai (Bản Đầy Đủ)
  • Học Cách Giải Bất Phương Trình Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
  • Bai Giang Phuong Trinh Vi Phan
  • Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 Có Lời Giải Chi Tiết
  • Những Bài Toán Siêu Kinh Điển Chưa Tìm Ra Lời Giải
  • Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác

    --- Bài mới hơn ---

  • Chương Iii. §3. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Học Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Cực Hay, Có Đáp Án
  • Chuyên Đề Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi công thức lượng giác thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

    1. Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác

    Khi giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác … để đưa về dạng góc cơ bản.

    Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $frac1{sin x} + frac1{sin left( {x – frac{{3pi }2} right)}}$ $ = 4sin left( frac{{7pi }4 – x} right).$

    b. $sin ^4x + cos ^4x$ $ = frac78cot left( x + frac{pi 3} right)cot left( frac{pi 6 – x} right).$

    c. $frac{{{sin ^4}2x + {cos ^4}2x}}{tan left( {frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right)}}$ $ = cos ^44x.$

    a. Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung $x – frac{3pi }2$ và $frac{7pi }4 – x$ mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa đưa $2$ cung này về cùng một cung $x$. Để làm được điều đó ta có thể sử dụng công thức cộng cung hoặc công thức về các góc đặc biệt.

    Điều kiện: $sin x ne 0$, $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne kfracpi 2,k in Z.$

    $PT Leftrightarrow frac1{sin x} + frac1{cos x}$ $ = – 2sqrt 2 left( cos x + sin x right)$ $ Leftrightarrow left( sin x + cos x right)left( sqrt 2 sin 2x + 1 right) = 0.$

    Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là: $x = – fracpi 4 + kpi $, $x = – fracpi 8 + kpi $, $x = frac{5pi }8 + kpi $ $left( k in Z right).$

    b. Điều kiện: $sin left( x + frac{pi 3} right).sin left( frac{pi 6 – x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos left( 2x + frac{pi 6} right) ne cos fracpi 2 = 0.$

    Do $left( x + frac{pi 3} right) + left( frac{pi 6 – x} right) = fracpi 2$ nên $PT Leftrightarrow sin ^4x + cos ^4x = frac78$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^22x = frac78$ $ Leftrightarrow sin 2x = pm frac12$. Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pm fracpi {12} + kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    c. Nhận xét: Từ tổng hai cung $left( frac{pi 4 – x} right) + left( frac{pi 4 + x} right) = fracpi 2$ nên $tan left( frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right) = 1.$

    Điều kiện 1: $cos left( frac{pi 4 – x} right)cos left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x + cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$

    Điều kiện 2: $sin left( frac{pi 4 – x} right)sin left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x – cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$

    $PT Leftrightarrow sin ^42x + cos ^42x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^24x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 2cos ^44x – cos ^24x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos ^24x = 1

    cos ^24x = – frac12left( loại right)

    endarray right.$ $ Leftrightarrow sin 4x = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    sin 2x = 0

    cos 2x = 0left( loại right)

    endarray right.$

    Vậy phương trình có nghiệm $x = kfracpi 2.$

    2. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức biến đổi tích thành tổng

    Khi giải phương trình lượng giác mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của $sin$ (hoặc $cos$) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích.

    a. Nhận xét: Bài có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số $sin$ (hàm số $cos$) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý: $x + 6x$ $ = 2x + 5x$ $ = 3x + 4x.$ Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích.

    $PT Leftrightarrow left( sin 6x + sin x right)$ $ + left( sin 5x + sin 2x right) + left( sin 4x + sin 3x right) = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin frac{7x}2left( cos frac{{5x}2 + cos fracx2 + cos frac{3x}2} right) = 0$ $ Leftrightarrow 4sin frac{7x}2cos frac{3x}2left( 2cos x + 1 right) = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm $x = frac{k2pi }7$, $x = fracpi 3 + frac{k2pi }3$, $x = pm frac{2pi }3 + k2pi $ $left( k in Z right).$

    b. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nhân ba của $sin$ và $cos$ nhưng lời giải sẽ phức tạp hơn. Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng.

    $PT Leftrightarrow frac12left( cos 4x + cos 2x right)cos ^2x$ $ + frac12left( cos 4x – cos 2x right)sin ^2x$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }8$

    $ Leftrightarrow cos 4xleft( {{sin ^2}x + {cos ^2}x} right)$ $ + cos 2xleft( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }4$ $ Leftrightarrow cos 4x + cos ^22x = frac{2 – 3sqrt 2 }4$

    $ Leftrightarrow cos 4x = – frac{sqrt 2 }2$ $ Leftrightarrow x = pm frac{3pi }{16} + kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$

    c. $PT Leftrightarrow 1 – cos 2x + sin x$ $ – sin 2x + cos 3x – cos x = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin ^2x + sin x$ $ – 2sin xcos x – 2sin 2xsin x = 0$

    $ Leftrightarrow sin xleft( 2sin x – 2cos x – 2sin 2x + 1 right) = 0$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    sin x = 0

    2left( sin x – cos x right) – 4sin xcos x + 1 = 0

    endarray right.$

    Đáp số: $x = kpi $, $x = pm fracpi 3 + k2pi $, $x = – fracpi 6 + k2pi $, $x = frac{7pi }6 + k2pi $ $(k ∈ Z).$

    d. $PT Leftrightarrow 2sin xcos x + sin x$ $ – sin ^3x + cos x – cos ^3x = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin xcos x + sin xcos ^2x$ $ + cos xsin ^2x = 0$ $ Leftrightarrow sin xcos xleft( 2 + sin x + cos x right) = 0.$

    Đáp số: $x = kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$

    a. Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số $sin$ và tổng hai cung $frac{6x + 2x}2 = 4x$ mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích.

    $PT Leftrightarrow cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2cos 2x + 1 right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 4x = 0

    cos 2x = – frac12

    endarray right.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + frac{kpi }4$, $x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k ∈ Z).$

    b. $PT Leftrightarrow frac{1 – cos 6x}x – frac{1 + cos 8x}2$ $ = frac{1 – cos 10x}2 – frac{1 + cos 12x}2$

    $ Leftrightarrow left( cos 12x + cos 10x right) $ $- left( cos 8x + cos 6x right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos 11xcos x – 2cos 7xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow cos xleft( cos 11x – cos 7x right) = 0$ $ Leftrightarrow cos xsin 9xsin 2x = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = kfracpi 9$, $x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    c. Điều kiện: $cos x ne 0.$

    $PT Leftrightarrow frac12left[ 1 – cos left( {x – frac{pi 2} right)} right]frac{{{sin ^2}x}}{{{cos ^2}x}}$ $ = frac12left( 1 + cos x right)$ $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)sin ^2x = left( 1 + cos x right)cos ^2x$

    $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)left( 1 + cos x right)left( sin x + cos x right) = 0.$

    Đáp số: Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pi + k2pi $, $x = – fracpi 4 + kpi $ $left( k in Z right).$

    d. $PT Leftrightarrow frac{1 + cos 6x}2cos 2x$ $ – frac{1 + cos 2x}2 = 0$ $ Leftrightarrow cos chúng tôi 2x – 1 = 0$

    $ Leftrightarrow cos 8x + cos 4x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow 2cos ^24x + cos 4x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow cos 4x = 1 Leftrightarrow x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    a. $PT Leftrightarrow sin 7x – sin x$ $ – left( 1 – 2{{sin ^2}2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos chúng tôi 3x – cos 4x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2sin 3x – 1 right) = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + kfracpi 4$, $x = fracpi {18} + kfrac{2pi }3$, $x = frac{5pi }{18} + kfrac{2pi }3$ $(k∈Z).$

    b. $left( {1 + cos 2x right)^2} + left( {1 + sin 2x right)^2} = 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + cos 2x = – 1$

    $ Leftrightarrow sqrt 2 cos left( 2x – frac{pi 2} right) = – 1$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 2 + kpi

    x = – fracpi 4 + kpi

    endarray right.left( k in Z right)$

    c. $PT Leftrightarrow – sqrt 3 cos x + sin x = 0$ $ Leftrightarrow frac12sin x – frac{sqrt 3 }2cos x = 0$ $ Leftrightarrow sin left( x – frac{pi 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$

    d. $PT Leftrightarrow 3tan ^3x – tan x$ $ + frac{3left( {1 + sin x right)}}{{{cos ^2}x}} – 4left( 1 + sin x right) = 0$

    $ Leftrightarrow tan xleft( 3{{tan ^2}x – 1} right)$ $ + left( 1 + sin x right)left( 3{{tan ^2}x – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( 3{{tan ^2}x – 1} right)left( tan x + 1 + sin x right) = 0$

    Trường hợp 1: $tan x = pm frac1{sqrt 3 }$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $left( k in Z right).$

    Trường hợp 2: $1 + sin x + tan x = 0$ $ Leftrightarrow sin x + cos x + sin xcos x = 0$ (phương trình đối xứng với $sin$ và $cos$).

    Giải phương trình này được: $x = fracpi 4 pm arccos left( frac{{sqrt 2 – 1}2} right) + k2pi $ $left( k in Z right).$

    4. Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức)

    Ví dụ 6. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $left( {sin frac{x2 + cos fracx2} right)^2} + sqrt 3 cos x = 2.$

    b. $cot x – tan x + 4sin 2x = frac2{sin 2x}.$

    c. $tan x = cot x + 2cot ^32x.$

    d. $tan x + cot x = 2left( sin 2x + cos 2x right).$

    a. $PT Leftrightarrow 1 + 2sin fracx2cos fracx2$ $ + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow sin x + sqrt 3 cos x = 2$

    $ Leftrightarrow frac12sin x + frac{sqrt 3 }2cos x = 1$ $ Leftrightarrow sin left( x + frac{pi 3} right) = frac12$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = – fracpi 6 + k2pi

    x = fracpi 2 + k2pi

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    b. Nhận xét: Từ sự xuất hiện của $cot x – tan x$ và $sin 2x$ ta xem chúng có mối quan hệ nào?

    Ta có: $cot x – tan x$ $ = frac{{{cos ^2}x – {sin ^2}x}}{sin xcos x}$ $ = 2frac{cos 2x}{sin 2x}$. Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau:

    Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow 2frac{cos 2x}{sin 2x} + 4sin 2x$ $ = frac2{sin 2x}cos 2x + 2sin ^22x = 1$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 1

    cos 2x = – frac12

    endarray right.$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$

    Chú ý: Ta có thể đặt $t = tan x$ $ Rightarrow cot x = frac1t$, $sin 2x = frac{2t}{1 – {t^2}}$ đưa phương trình về ẩn $t$ để giải.

    c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} – frac{cos x}{sin x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow – 2frac{cos 2x}{sin 2x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow cot 2x + cot ^32x = 0$

    $ Leftrightarrow cot 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2$ $(k∈Z).$

    d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} + frac{cos x}{sin x}$ $ = 2left( sin 2x + cos 2x right)$ $ Leftrightarrow frac2{sin 2x} = 2left( sin 2x + cos 2x right)$

    $ Leftrightarrow 1 = sin ^22x + sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow cos ^22x = sin 2xcos 2x$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    tan 2x = 1

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 4 + kfracpi 2

    x = fracpi 8 + kfracpi 2

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    . Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $cos ^6x – sin ^6x = frac{13}8cos ^22x.$

    b. $frac{2left( {{{cos ^6}x + {sin ^6}x} right) – sin xcos x}}{sqrt 2 – 2sin x} = 0.$

    c. $frac{{{cos ^4}x + {sin ^4}x}}{5sin 2x}$ $ = frac12cot 2x – frac1{8sin 2x}.$

    d. $cot x = tan x + frac{2cos 4x}{sin 2x}.$

    a. Nhận xét: Xuất hiện $cos ^6x – sin ^6x$ ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức $a^3 – b^3.$

    $PT Leftrightarrow left( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$$left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x + {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$

    $ Leftrightarrow cos 2xleft( 1 – frac{12{sin ^2}2x + frac14{sin ^2}2x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( 8 – 2{{sin ^2}2x – 13cos 2x} right) = 0$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    2cos ^22x – 13cos 2x + 6 = 0

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    cos 2x = frac12

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 4 + kfracpi 2

    x = pm fracpi 6 + kpi

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    b. Điều kiện: $sin x ne frac1{sqrt 2 }$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl

    x ne fracpi 4 + k2pi

    x ne frac{3pi }4 + k2pi

    endarray right.$

    $PT Leftrightarrow 2left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x – {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ – sin xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow 2 – 6sin ^2xcos ^2x – sin xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow 3sin ^22x + sin 2x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $ $(k∈Z).$

    Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: $x = frac{5pi }4 + k2pi $ $left( k in Z right).$

    c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{1 – frac{12{sin ^2}2x}}{5sin 2x}$ $ = frac12frac{cos 2x}{sin 2x} – frac1{8sin 2x}$ $ Leftrightarrow cos ^22x – 5cos 2x + frac94 = 0$

    $ Leftrightarrow cos 2x = frac12$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $(k∈Z).$

    d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{2cos 2x}{sin 2x} = frac{2cos 4x}{sin 2x}$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac12$ $ Leftrightarrow x = pm frac{2pi }3 + kpi $ $(k∈Z).$

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Chóng
  • Giải Hệ Pt Bằng Pp Thế Vnxike2 Ppt
  • Chương Iv. §3. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giáo Án Đại Số Lớp 9 Tiết 50: Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giáo Án Môn Đại Số Lớp 9 Năm 2009
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn Đặc Biệt Môn Toán Lớp 10

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Trình Và Hàm Số Bậc 4
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Và Chính Xác Cho Học Sinh
  • Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Lập Trình C: Giải Phương Trình Bậc 2
  • 1. Phương trình trùng phương

    – Là phương trình có dạng (a{x^4} + b{x^2} + c = 0left( {a ne 0} right),,,,,,,,,left( * right))

    – Phương pháp:

    +) Đặt (t = {x^2}left( {t ge 0} right)) thì (left( * right) Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0,,,,,,,,,left( {**} right))

    +) Để xác định số nghiệm của $( * ),$ ta dựa vào số nghiệm của $( *  * )$ và dấu của chúng, cụ thể:

    $ bullet $ Phương trình $( * )$ vô nghiệm ( Leftrightarrow left( {**} right)) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép âm hoặc có hai nghiệm phân biệt âm.

    $ bullet $ Phương trình $( * )$ có $1$ nghiệm ( Leftrightarrow left( {**} right)) có nghiệm kép ({t_1} = {t_2} = 0) hoặc (left( {**} right)) có (1) nghiệm bằng (0), nghiệm còn lại âm.

    $ bullet $ Phương trình $( * )$ có $2$ nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow left( {**} right)) có nghiệm kép dương hoặc (left( {**} right)) có (2) nghiệm trái dấu.

    $ bullet $ Phương trình $( * )$ có $3$ nghiệm $ Leftrightarrow ( *  * )$ có $1$ nghiệm bằng $0$ và nghiệm còn lại dương.

    $ bullet $ Phương trình $( * )$ có $4$  nghiệm $ Leftrightarrow ( *  * )$ có $2$ nghiệm dương phân biệt.

    2. Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

    Loại 1:  $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0$ với $dfrac{e}{a} = {left( {dfrac{d}{b}} right)^2} ne 0$

     Phương pháp giải:

    – Bước 1: Chia hai vế cho ${x^2} ne 0$

    – Bước 2: Đặt $t = x + dfrac{alpha }{x} Rightarrow {t^2} = {left( {x + dfrac{alpha }{x}} right)^2}$ với $alpha  = dfrac{d}{b}$ và thay vào phương trình.

    Loại 2:  $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e$ với $a + c = b + d$

     Phương pháp giải:

    – Bước 1: Biến đổi:

    $left = e Leftrightarrow left = e$

    – Bước 2: Đặt $t = {x^2} + (a + c)x$ và thay vào phương trình.

    Loại 3:  $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e{x^2}$ với $a.b = c.d.$

     Phương pháp giải:

    – Bước 1: Đặt $t = {x^2} + ab + dfrac{{a + b + c + d}}{2} cdot x$

    – Bước 2: Phương trình$ Leftrightarrow left( {t + dfrac{{a + b – c – d}}{2} cdot x} right) cdot left( {t – dfrac{{a + b – c – d}}{2} cdot x} right) = e{x^2}$ (có dạng đẳng cấp)

    Loại 4:  ${(x + a)^4} + {(x + b)^4} = c$

    Phương pháp giải:

    – Bước 1: Đặt $x = t – dfrac{{a + b}}{2} Rightarrow {(t + alpha )^4} + {(t – alpha )^4} = c$ với $alpha  = dfrac{{a – b}}{2} cdot $

    – Bước 2: Giải phương trình trên tìm (t) rồi suy ra (x).

    Loại 5:  ${x^4} = a{x^2} + bx + c,,,,,left( 1 right)$

    Phương pháp giải:

    – Bước 1: Tạo ra dạng ${A^2} = {B^2}$ bằng cách thêm hai vế cho một lượng $2k.{x^2} + {k^2}$

    – Bước 2: Phương trình (1) tương đương:

    ${({x^2})^2} + 2k{x^2} + {k^2} = (2k + a){x^2} + bx + c + {k^2} Leftrightarrow {({x^2} + k)^2} = (2k + a){x^2} + bx + c + {k^2}.$

    Loại 6:  ${x^4} + a{x^3} = b{x^2} + cx + d,,,,,left( 2 right)$

    Phương pháp giải:

    – Bước 1: Tạo ${A^2} = {B^2}$ bằng cách thêm ở vế trái 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: ${left( {{x^2} + dfrac{a}{2}x + k} right)^2} = {x^4} + a{x^3} + left( {2k + dfrac{{{a^2}}}{4}} right){x^2} + kax + {k^2}.$

    Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng: $left( {2k + dfrac{{{a^2}}}{4}} right){x^2} + kax + {k^2},$ thì phương trình

    $(2) Leftrightarrow {left( {{x^2} + dfrac{a}{2}x + k} right)^2} = left( {2k + dfrac{{{a^2}}}{4} + b} right){x^2} + (ka + c)x + {k^2} + d.$

    – Bước 2: Cần vế phải có dạng bình phương nên phải có số $k$ thỏa:

    Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.

    Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

    $ bullet $    Nếu tổng các hệ số bằng $0$ thì phương trình sẽ có $1$ nghiệm $x = 1.$

    $ bullet $    Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có $1$ nghiệm $x =  – 1.$

    $ bullet $    Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm $x$ sao cho triệt tiêu đi tham số $m$ và thử lại tính đúng sai.

    Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Các Công Thức Lượng Giác Toán 10 Đầy Đủ Nhất
  • Chuyên Đề Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Lý Thuyết Hệ Phương Trình Có Cấu Trúc Đặc Biệt Toán 10
  • Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Lý Thuyết Hệ Phương Trình Có Cấu Trúc Đặc Biệt Toán 10

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Các Công Thức Lượng Giác Toán 10 Đầy Đủ Nhất
  • Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn Đặc Biệt Môn Toán Lớp 10
  • Phương Trình Và Hàm Số Bậc 4
  • 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

    Dạng tổng quát: (left{ begin{array}{l}ax + by = c,,,,,left( 1 right)\d{x^2} + exy + f{y^2} + gx + hy = i,,,,,left( 2 right)end{array} right.)

    Phương pháp giải:

    – Bước 1: Từ phương trình bậc nhất (1), rút (x) theo (y) (hoặc (y) theo (x)).

    – Bước 2: Thế vào phương trình còn lại (2) để giải tìm $x$ (hoặc tìm $y$).

    2. Hệ phương trình đối xứng loại I

    Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí (x) và (y) cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi.

    Phương pháp giải:

    – Bước 1: đặt $S = x + y,{rm{ }}P = xy.$

    – Bước 2: Giải hệ với ẩn $S,{rm{ }}P$ với điều kiện có nghiệm $(x;y)$ là ${S^2} ge 4P.$

    – Bước 3: Tìm nghiệm $(x;y)$ bằng cách thế vào phương trình ${X^2} – SX + P = 0.$

    3. Hệ phương trình đối xứng loại II

    Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí (x) và (y) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).

    Phương pháp giải:

    – Bước 1: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử đưa về dạng $(x – y).f(x) = 0,$

    – Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa (x,y) từ phương trình thu được.

    4. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

    Dạng tổng quát: $left{ begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2}end{array} right.(i)$                                    

    Phương pháp giải:

    $(i) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{d_2}({a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2}) = {d_1}.{d_2}(1)\{d_1}({a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2}) = {d_1}.{d_2}(2)end{array} right.$

    Lấy $(1) – (2) Rightarrow ({a_1}{d_2} – {a_2}{d_1}) cdot {x^2} + ({b_1}{d_2} – {b_2}{d_1}) cdot xy + ({c_1}{d_2} – {c_2}{d_1}) cdot {y^2} = 0.$ Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ $x,y$

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Toán Lớp 11
  • Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp
  • Phương Trình Lượng Giác Có Điều Kiện
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác
  • Chủ Đề 11: Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Giải Một Số Dạng Phương Trình Môn Toán Ở Cấp Thcs
  • Giáo Án Đại Số Lớp 8 Tiết 42 Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
  • Bảng Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ,chi Tiết,dễ Hiểu
  • Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Biến Đổi Tương Đương
  • DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

    1. Phương pháp giải

    Sử dụng phương pháp thế

    – Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

    – Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

    – Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

    DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

    1. Phương pháp giải

    a. Hệ đối xứng loại 1

    Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:

    (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

    Cách giải

    – Đặt S = x + y, P = xy

    – Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I’) với các ẩn là S và P.

    – Giải hệ (I’) ta tìm được S và P

    – Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X 2 – SX + P = 0

    b. Hệ đối xứng loại 2

    Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:

    (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

    – Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔

    – Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔

    – Như vậy (II) ⇔

    – Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)

    c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x 0; y 0) thì (y 0; x 0) cũng là một nghiệm của nó

    DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

    1. Phương pháp giải

    Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:

    – Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

    – Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

    Ví dụ minh họa

    Bài 1: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Đặt S = x + y, P = xy (S 2 – 4P ≥ 0)

    Ta có :

    ⇒ S = -5; S = 3

    S = -5⇒ P = 10 (loại)

    S = 3⇒ P = 2(nhận)

    Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X 2 – 3X + 2 = 0

    ⇔ X = 1; X = 2

    Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)

    b. ĐKXĐ: x ≠ 0

    Hệ phương trình tương đương với

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)

    Bài 2: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Hệ phương trình tương đương

    Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 – y = -1

    ⇔ y 2 + 4y + 5 = 0 (vn)

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}

    b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:

    – Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

    Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

    X 2 + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm)

    Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)

    Bài 3: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Hệ phương trình tương đương

    Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}

    b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

    Thay x = y vào phương trình đầu ta được:

    Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)

    Bài 4: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    Khi x = y thì hệ có nghiệm

    Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

    b. Hệ phương trình tương đương

    Bài 5: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Ta có

    Nếu x = 0 thay vào (1)⇒ y = 0, thay vào (2) thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm

    của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình

    Nếu x ≠ 0, đặt y = tx , thay vào hệ ta được

    Với t = 1/2 thay vào (**) ta được 4x 2 + x 2 + 6x = 27 ⇔ 5x 2 + 6x – 27 = 0

    Với t = 1/3 thay vào (**) ta được 4x 2 + (2/3)x 2 + 6x = 27

    ⇔ 14x 2 + 18x – 81 = 0

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:

    b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ

    Với x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được

    Suy ra 3(t 2 – t + 1) = 2t 2 – 3t + 4 ⇒ t = ±1

    Thay vào (*) thì

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1/√3;(-1)/√3), ((-1)/√3;1/√3), (-1;-1) và (1;1)

    Bài 6: Cho hệ phương trình

    . Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Đặt S = x + y, P = xy (S 2 – 4P ≥ 0)

    Ta có

    Đẳng thức xảy ra khi a = -1 (nhận)

    Bài 7: Xác định m để hệ phương trình

    có nghiệm

    Hướng dẫn:

    Hệ phương trình tương đương

    Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 – 4m ≥ 0

    ⇔ m ≤ 5/4

    Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y) 2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1

    Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Hệ Pt Bằng Phương Pháp Thế
  • Kĩ Thuật Giải Hệ Phương Trình
  • Cđ Giải Hpt Không Mẫu Mực
  • Một Số Lưu Ý Khi Giải Phương Trình Lượng Giác
  • Chuyên Đề Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Cách Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Và Hệ Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Toán Lớp 4 Trang 170, 171, Bài 1, 2, 3, 4, 5 Sgk (2021) ▶️ Wiki 1 Phút ◀️
  • Kunci Jawaban Brain Test 2 Prison Escape Level 1
  • Đáp Án Điên Não Level 1
  • Brain Out Level 27 Có Bao Nhiêu Con Kiến Giải
  • Toán Trí Tuệ Superbrain – Món Quà Ý Nghĩa Cho Con Trong Mùa Hè Này
  • I. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

    Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

    • Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).
    • Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
    • Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

    Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình), kiểm tra xem kết quả có thỏa mãn điều kiện hay không.

    Bước 3: Kết luận

    II. Một số dạng toán về lập phương trình điển hình và cách giải cụ thể

    Dạng 1: Chuyển động

    (Trên đường bộ, trên dòng sông có tính đến dòng nước chảy)

    Ví dụ 1: Một người đi ô tô từ A đến B để giải quyết công việc lúc 8h. Đoạn đường AB dài 80km gồm một đoạn đường bằng và một đoạn dốc. Vận tốc người đó đi trên đường bằng là 80 km/h, khi lên dốc (lúc đi) là 48 km/h, khi xuống dốc (lúc về) là 90 km/h. Tính độ dài đoạn đường bằng, biết rằng tới B, người đó giải quyết công việc trong 1h30 phút rồi quay về luôn và về tới A lúc 12h.

    Lời giải:

    Gọi độ dài đoạn đường bằng là x (0 < x < 90) (km)

    Tổng thời gian người đó đi là: 12 – 8 – 1,5 = 2,5 (h)

    Thời gian người đó đi trên quãng đường bằng là: 2x/80 (h)

    Thời gian người đó lên dốc là: (90-x)/48 (h)

    Thời gian người đó xuống dốc là: (90-x)/90 (h)

    Theo bài ra, ta có:

    2x/80 + (90-x)/48 + (90-x)/90 = 2.5

    ⇒ (18x + 15(90-x) +8(90-x) )/720 = 2.5

    ⇒ 18x – 15x – 8x = 1800 – 720 – 1350

    ⇒ -5x = -270

    ⇒ x = 54 (thỏa mãn)

    Kết luận: Quãng đường bằng dài 54 km.

    Ví dụ 2: Một ca nô xuôi dòng theo A đến B rồi quay trở lại. Biết tổng thời gian ca nô xuôi ngược trên AB dài 40 km hết 4,5 giờ. Tính vận tốc của dòng nước, biết thời gian đi 5 km lúc đi bằng thời gian đi 4 km lúc về.

    Lời giải:

    Gọi vận tốc của thuyền khi nước lặng là x và vận tốc của dòng nước là y

    Lại có tổng thời gian ca nô xuôi ngược trên AB dài 40 km hết 4h 30 phút

    Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

    5/(x+ y) = 4/(x -y) (I) và 40/(x+ y) + 40/(x -y) = 4,5 (II)

    Từ (I) suy ra: y = x – 16

    Thay y = x – 16 vào (2), ta được:

    Kết luận: Vận tốc dòng nước là 2 km/h.

    Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng

    ( Toán vòi nước, công việc )

    Ví dụ 3: Cho 2 vòi nước khác nhau A và B cũng chảy vào bể. Vòi A cần ít hơn 2 giờ so với vòi B để một mình chảy đầy bể. Tính thời gian cần thiết để mỗi vòi chảy một mình đầy bể, biết tích thời gian 2 vòi chảy một mình gấp 4 lần thời gian 2 vòi cùng chảy.

    Lời giải:

    ⇒ Thời gian để vòi B một mình chảy đầy bể là x + 2 (giờ)

    Trong một giờ vòi A chảy được: 1/x (bể)

    Trong một giờ vòi A chảy được: 1/(x+2) (bể)

    Trong một giờ cả hai vòi chảy được: 1/x + 1/(x+2) = (2x+2)/(x (x+2) ) (bể)

    Suy ra, thời gian để hai vòi chảy đầy bể là:

    1 : ( (2x+2)/(x.(x+2) ) = (x (x+2))/(2 (x+1))

    Theo bài ra, ta có phương trình:

    x.(x + 2) = 4.(x.(x+2))/(2.(x+1))

    ⇒ 2x.(x +1).(x + 2) = 4x.(x + 2)

    ⇒ x + 1 = 2 (chia cả 2 vế cho 2x (x + 2) # 0)

    ⇒ x = 1 (thỏa mãn)

    Vậy vòi A cần 1 giờ để chảy đầy bể, vòi B cần 3 giờ để chảy đầy bể.

    Ví dụ 4: Hai tổ cùng làm chung một công việc thì hết 12h. Tính số giờ mỗi tổ làm một mình xong công việc, biết nếu mỗi tổ lần lượt làm một nửa công việc thì hết 25h.

    Lời giải:

    Gọi số giờ tổ 1 một mình làm xong công việc là x

    số giờ tổ 2 một mình làm xong công việc là y

    Trong 1 giờ, cả hai tổ làm được 1/x + 1/y = 1/12 (công việc)

    Khi mỗi người làm một nửa công việc, ta có: x/2 + y/2 = 25

    Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

    1/x + 1/y = 1/12 (I) và x/2 + y/2 = 25 (II)

    Từ (II) ⇒ x = 50-y

    Thay x = 50 – y vào (I), ta được:

    1/(50-y) + 1/y = 1/12 ⇒ y = 20 hoặc y = 30 ⇒ x = 30 hoặc x = 20

    Kết luận: Tổ 1 làm một mình hết 20 giờ, tổ 2 làm một mình hết 30 giờ (hoặc ngược lại)

    Ví dụ 5: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài. Người chủ của mảnh vườn cắt mỗi cạnh đi 5m để trồng hoa, nên diện tích của mảnh vườn đã giảm 16%. Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu.

    Lời giải:

    Suy ra chiều rộng của mảnh vườn là 2/3 x (m)

    Chiều dài của mảnh vườn sau khi giảm 5m là x – 5 (m)

    Chiều rộng của mảnh vườn sau khi giảm 5m là 2/3 x – 5 (m)

    Diện tích của mảnh vườn sau khi cắt bớt là:

    (x – 5) (2/3 x – 5) = 2/3 x2 – 5x – 10/3 x + 25 = (2×2-25x+75)/3

    Phần diện tích giảm đi 16% là:

    (2×2)/3 – 16% (2×2)/3 = (2×2)/3 – (8×2)/75 = (50×2 – 8×2)/75 = (14×2)/25

    Theo bài ra, ta có phương trình:

    (2×2-25x+75)/3 = (14×2)/25

    ⇒ 50×2 – 625x +1875 = 42×2

    ⇒ 8×2 – 625x +1875 = 0

    ⇒ x = 75 hoặc x = 25/8 (loại vì 25/8<5 )

    Suy ra chiều rộng của mảnh vườn là 50m

    Kết luận: Diện tích của mảnh vườn ban đầu là: 75 x 50 = 3750 (m2)

    Ví dụ 6: Trong tháng năm hai nhóm công nhân đã trồng được 720 cây bạch đàn. Tháng tiếp theo do năng suất tăng nên hai nhóm trồng được thêm 99 cây bạch đàn so với tháng năm. Tính số cây mỗi nhóm đã trồng được trong tháng năm, biết tháng sáu nhóm một năng suất tăng 15%, nhóm hai tăng 12%.

    Lời giải:

    Gọi số cây nhóm một trồng được trong tháng năm là x

    số cây nhóm hai trồng được trong tháng năm là y

    Suy ra số cây nhóm một trồng được trong tháng sáu là 15% x = 115x/100 (cây)

    số cây nhóm hai trồng được trong tháng sáu là 12% y = 112y/100 (cây)

    Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

    x + y = 720 và 115x/100+ 112y/100 = 720 + 99

    Giải hệ ta được: x = 420 và y = 300

    Kết luận: Nhóm một đã trồng được 420 cây trong tháng năm, nhóm hai đã trồng được 300 cây trong tháng năm.

    Dạng 4: Toán có nội dung hình học

    Ví dụ 7: Một tấm bìa các tông hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 17 cm và đường chéo bằng 53 cm. Tính chu vi của tấm bìa các tông đó.

    Lời giải:

    Suy ra chiều rộng của tấm bìa là x – 17 (cm)

    Áp dụng định lý Py – ta – go, ta có phương trình:

    x2 + (x – 17)2 = 532

    ⇒ x2+ x2 – 34x + 289 – 2809 = 0

    ⇒ 2×2 – 34 x – 2520 = 0

    ⇒ x = 45 hoặc x = -28 (loại)

    Suy ra chiều rộng của tấm bìa là 28 (cm), Chu vi của tấm bìa các tông là 146 (cm)

    Ví dụ 8: Một thửa ruộng có chu vi 450m. Tính diện tích ban đầu của thửa ruộng đó, biết rằng chu vi của thửa ruộng không thay đổi khi giảm chiều dài đi 1/5 và tăng chiều rộng lên 1/4.

    Lời giải:

    Gọi chiều dài của thửa ruộng là x, chiều rộng của thửa ruộng là y

    Suy ra chiều dài sau khi cắt bớt là 1-1/5 x = 4/5 x (m)

    Chiều rộng sau khi tăng thêm là 1+ 1/4 x = 5/4 y (m)

    Nưa chu vi thửa ruộng đó là: 450 : 2 = 225 (m)

    Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

    x + y = 225 và 4/5 x+ 5/4 y = 225

    Giải ra ta được: x=125 và y = 100 (thỏa mãn)

    Diện tích ban đầu của thửa ruộng đó là 125 x 100 = 12500 (m2)

    Dạng 5: Toán về tìm số

    Ví dụ 9: Bà Dương hơn Dương 56 tuổi. Tính số tuổi của hai bà cháu biết rằng cách đây 5 năm, số tuổi của bà gấp 8 lần tuổi của Dương.

    Lời giải:

    Suy ra số tuổi của bà Dương hiện tại là x + 56 (tuổi)

    Số tuổi của Dương cách đây 5 năm là x – 5 (tuổi)

    Số tuổi của bà Dương cách đây 5 năm là x + 56 – 5 = x + 51 (tuổi)

    Theo bài ra, ta có phương trình:

    8 (x – 5) = x + 51

    ⇒ 8x – 40 = x + 51

    ⇒ 8x – x = 40 + 51

    ⇒ 7x = 91

    ⇒ x = 13

    Vậy số tuổi của Dương là 13, số tuổi của bà là 69.

    Ví dụ 10: Tuổi thọ trung bình của 45 vị vua và hoàng hậu ngày xưa là 40. Tuổi trung bình của vua là 35, tuổi trung bình của hoàng hậu là 50. Hỏi có bao nhiêu vị vua, bao nhiêu hoàng hậu được nhắc tới?

    Lời giải:

    Gọi số vị vua là x, số hoàng hậu là y (0 < x, y < 45)

    Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

    x + y = 45 và (35x + 45y)/45 = 40

    Giải ra ta được:  x = 15 và y = 30 (thỏa mãn)

    Vậy có 15 vị vua, 30 hoàng hậu.

    Lời kết: Chúng ta có thể thấy những bài toán trên nếu giải theo phương pháp thông thường sẽ mất rất nhiều thời gian, nhưng khi ta lập được phương trình và hệ phương trình sẽ trở nên đơn giản hơn. Vì vậy, Gia Sư Việt mong rằng các em nắm chắc từng bước giải bài toán bằng cách lập phương trình & hệ phương trình để áp dụng làm bài thi hiệu quả nhất.

    ♦ Phương pháp giải bài toán về Đường tròn môn Hình học lớp 9

    ♦ Khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông

    ♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Toán Lớp 4 Trang 65: Bài Mét Vuông Chi Tiết Nhất
  • Dạng Toán Tổng – Hiệu Lớp 4
  • Cách Dạy Toán Có Lời Văn Cho Học Sinh Tiểu Học
  • Brain Out Level 173 Vắt Sữa Giải
  • Brain Out Level 36 Giúp Họ Qua Sông Giải
  • Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Trình Pell Và Một Số Áp Dụng
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 3: Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Bài Tập Sgk Bài 4: Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 4: Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • 1. Hướng dẫn giải

    Xem phần Kiến thức cần nhớ.

    2. Bài tập mẫu

    Bài 1. Một mảnh đất hình chữ nhất có diện tích là 100 , nếu tăng chiều rộng lên 6m và giảm chiều dài xuống 5m thì diện tích hình chữ nhất mới bằng 2 lần diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính kích thước của mảnh đất.

    Giải

    Gọi chiều rộng của mảnh đất là: x (m), khi đó chiều dài của mảnh đất là

    Vì diện tích hình chữ nhật mới gấp đôi diện tích hình chữ nhất cũ nên ta có:

    Vậy chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhất là 4(m) và chiều dài của nó là 25 (m).

    Bài 2. Một bông hoa trôi xuôi dòng nước từ điểm A đến điểm B, 15 phút sau một người bơi với vận tốc lớn hơn vận tốc trôi của bông hoa là 5km/h ngược dòng từ B đến A. Hoa và người gặp nhau ở giữa quãng đường. Hỏi vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của người so với dòng nước là bao nhiêu? Biết quãng đường AB dài 5km.

    Giải

    Gọi vận tốc trôi của bông hoa (cũng chính là vận tốc của dòng nước) là: x(km/h). Khi đó vận tốc của người so với bờ là: (x+5) (km/h).

    Vì hoa và người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nên quãng đường mà cả hai đi được phải bằng nhau, do đó ta có:

    Mặt khác, vì quãng đường AB dài 5(km), nên ta có:

    Khi đó ta thu được vận tốc của dòng nước là 5(km/h). Vì người bơi ngược dòng nước, nên vận tốc của người so với dòng nước sẽ là 15 (km/h).

    3. Bài tập vận dụng

    Bài 1. Tí và Tèo cắt cỏ trong vườn, biết rằng nếu cắt một mình thì thời gian tổng cộng để cắt hết cỏ trong vườn của Tí và Tèo là 50 phút, nếu cùng cắt thì chỉ cần 12 phút. Biết rằng Tí cắt cỏ nhanh hơn Tèo, vậy thời gian mỗi bạn cắt một mình hết số cỏ trong vườn là bao nhiêu?

    Bài 2. Trong phòng học có 60 ghế ngồi được xếp thành dãy và số ghế ở mỗi dãy là bằng nhau, biết rằng nếu tăng số dãy ghế lên 2 dãy với số ghế bằng với số ghế của mỗi dãy đã có ở trong phòng, sau đó giảm ở mỗi dãy đi 1 ghế, thì số ghế trong phòng không thay đổi. Tính số dãy ghế ban đầu.

    Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào một bế không có nước thì sau 5 giờ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi I chảy được 2,5 lần lượng nước của vòi II chảy. Vậy để đầy bể thì một mình vòi I phải chảy trong bao lâu?

    Bài 4. Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A, biết đáy BC của tam giác có độ dài là 8cm, chu vi của tam giác là 18cm, khi đó diện tích của tam giác ABC là:

    Bài 5. Số đường chéo của một đa giác lồi là 15. Vậy số cạnh của đa giác là:

    Bài 6. Tích của hai số a và b là 120, tổng bình phương của chúng bằng 244, vậy tổng của hai số và hiệu của số lớn hơn trừ số bé hơn bằng:

    Bài 7. Hiện nay anh nhiều hơn em 3 tuổi, 9 năm nữa thì 2 lần tuổi của em khi đó trừ đi 2 lần tuổi của em hiện nay bằng tuổi của anh khi đó. Vậy tuổi của em hiện nay là bao nhiêu?

    Bài 8. Tiền trợ cấp hàng tháng của một công nhân sau 2 năm tăng từ 100 nghìn đồng lên 450 nghìn đồng. Vậy bình quân hàng năm tiền trợ cấp hàng tháng của người đó tăng bao nhiêu phân trăm?

    Bài 9. Ba người A, B, C cùng làm chung một công việc, nhanh hơn 6 giờ như khi A làm một mình, nhanh hơn 1 giờ như khi B làm một mình, và chỉ bằng một nửa thời gian như khi C làm một mình. Tính thời gian mà cả A, B và C cùng làm xong công việc đó.

    Bài 10. Hai bình đựng một lượng nước nhất định (tính theo lít). Nếu đổ một lượng nước gấp ba lần lượng nước ở bình thứ nhất vào bình thứ hai ta thu được lượng nước ở bình thứ hai lúc đó gấp ba lần lượng nước của nó trước khi thêm nước. Còn nếu đổ một lít nước ở bình thứ nhất sang bình thứ hai thì thu được lượng nước ở bình thứ hai gấp bốn lần lượng nước ở bình thứ nhất lúc đó. Vậy lượng nước trong bình thứ nhất là?

    --- Bài cũ hơn ---

  • Nhân Liên Hợp Trong Giải Phương Trình
  • Bài Tập Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Phương Trình Mặt Cầu Và Các Dạng Toán Liên Quan
  • Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Cầu
  • Các Dạng Bài Tập Toán Phương Trình Mặt Cầu Trong Không Gian Oxyz
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 8: Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 8
  • Chủ Đề 5: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Hệ Phương Trình
  • Giải Bài Tập Trang 149, 150 Sgk Toán 5, Ôn Tập Về Phân Số (Tiếp Theo)
  • Giải Toán 12 Trang 55, 56, Giải Toán Lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4, 5 Trang 55
  • Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình :

    Một đội sản xuất dự định hoàn thành một công việc với mức 180 ngày công. Để hoàn thành công việc đó sớm hơn 3 ngày, đội đã phải tăng thêm 3 người. Hãy tính số công nhân của đội đó (biết rằng các công nhân làm việc với năng suất như nhau).

    Gọi số công nhân của đội là x. Điều kiện x nguyên, dương.

    Nếu tăng 3 người thì đội đó có x + 3 (người).

    Số ngày dự định hoàn thành công việc là .

    Nếu tăng thêm 3 người thì số ngày để hoàn thành công việc đó là .

    Theo bài ra ta có phương trình :

    Rút gọn phương trình ta được : + 3x – 180 = 0;

    ∆ = 729, do đó phương trình có hai nghiệm là : =12; = -15 (loại).

    Vậy số công nhân của đội là 12 người.

    Ví dụ 2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình :

    Hai địa điểm A và B cách nhau 330 km. Cùng một lúc có hai ô tô xuất phát từ A để đến B. Biết vận tốc trung bình của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc trung bình của xe thứ hai 5 km/h và đến B sớm hơn xe thứ hai là 36 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

    Vận tốc xe ô tô thứ hai là x – 5 (km/h).

    Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là (giờ).

    Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là (giờ).

    Đổi 36 phút = giờ.

    Do xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 36 phút nên ta có phương trình :

    Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có giá trị = 55 thoả mãn.

    Vậy vận tốc ô tô thứ nhất là 55 (km/h).

    Vận tốc ô tô thứ hai là 50 (km/h).

    Ví dụ 3. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình :

    Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 90km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành cho đến khi ca nô về đến bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3km/h.

    Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x + 3 (km/h).

    Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là x – 3 (km/h).

    Thời gian của ca nô khi xuôi dòng là (giờ).

    Thời gian của cá nô khi ngược dòng là (giờ).

    Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 33 km/h.

    B. Bài tập cơ bản

    Giải các bài toán sau bằng cách lập phương trình :

    Một đội xe cần chở 480 tấn hàng. Khi bắt đầu làm việc, có hai xe bị điều động đi làm việc khác, vì vậy mỗi xe phải chở thêm 1 tấn nữa mới hết số hàng cần chở. Hỏi lúc đầu, đội đó có bao nhiêu xe ?

    Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 19,5cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông, biết chu vi tam giác vuông là 45cm.

    Hiệu giữa hai số là 3 và tích của chúng là 648. Tìm hai số đó.

    Một chiếc thuyền chở du khách đi ngược dòng suối từ bến A đến bến B cách nhau 5 Sau khi đến bến B, du khách nghỉ 40 phút rồi lại lên thuyền đi xuôi dòng suối về bến A. Tổng thời gian của cả chuyến đi là 2 giờ. Biết vận tốc của dòng suối là 2 km/h. Tính vận tốc của thuyền khi nước yên lặng.

    Một lớp học sinh tham gia lao động, dự kiến chuyển 150 bộ bàn ghế từ cổng trường vào các lớp. Đến buổi lao động thì 5 bạn được cô giáo chủ nhiệm chuyển đi làm việc khác. Vì vậy, mỗi bạn còn lại phải chuyển thêm 1 bộ bàn ghế nữa mới hết số bàn ghế cần chuyển. Tính số học sinh của lớp lúc ban đầu.

    Một cái hộp không nắp được làm từ một mảnh bìa kích thước 20cm x 30cm bằng cách cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau. Diện tích phần đáy hộp là 144cm . Tính độ dài mỗi cạnh hình vuông cắt ra ở mỗi góc.

    Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể ?

    C. Bài tập nâng cao

    Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng 80m và chiều dài 120m. Trên mảnh đất đó người ta đào một cái hồ hình chữ nhật, xung quanh có một dải cỏ bao quanh hồ. Biết diện tích của hồ bằng diện tích của mảnh đất ban đầu. Tính bề rộng của dải cỏ.

    Hai chiếc tàu hoả A và B rời đi từ cùng một thành phố p vào cùng một thời điểm, theo hướng tây và hướng nam tương ứng. Vận tốc tàu A lớn hơn tàu B 14 km/h. Sau 5 giờ hai tàu cách nhau 130 Tìm vận tốc của mỗi tàu.

    Hai địa điểm A và B cách nhau 215 km. Lúc 7 giờ sáng, một người đi xe máy đi từ A đến B . Sau đó, vào lúc 8 giờ, người thứ hai đi xe máy xuất phát từ B để đi đến A. Hai người gặp nhau tại địa điểm c cách B 80 kilômét. Biết rằng vận tọc xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai là 5km/h và cả hai xe đều đi với vận tốc lớn hơn 30km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ ?

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8 Có Lời Giải
  • Giải Bài Tập Trang 23, 24 Sgk Giải Tích 12 ✔️cẩm Nang Tiếng Anh ✔️
  • Bài 1,2,3, 4,5 Trang 60,61 Giải Tích Lớp 12: Hàm Số Lũy Thừa
  • Giải Toán 12, Giải Bài Tập Skg Giải Tích Và Hình Học Lớp 12
  • Giải Bài Tập Trang 45, 46 Sgk Giải Tích 12 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Cao Bằng Excel

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Trong Excel
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn Với Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Đại Số 10/chương Iii/§1. Đại Cương Về Phương Trình
  • Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình
  • Microsoft Exel là một công cụ tính toán rất mạnh. Exel có thể làm được rất nhiều việc từ đơn giản đến phức tạp như thực hiện các bảng tính toán đơn giản hay lập các bảng thống kê kinh tế, báo cáo tài chính. v . .v . . Việc giải các phương trình bậc cao hay các hệ phương trình nhiều biến là một công việc khá khó khăn. Tuy nhiên có sự may mắn là hiện nay ta có nhiều công cụ hỗ trợ để giải quyết các công việc này như máy tính cá nhân, máy vi tính với các phần mềm có sẵn, trong đó có phần mềm MS Excel. Bài viết này nhằm giới thiệu cách giải một phương trình bậc cao bằng cách sử dụng phần mềm MS Excel.

    Giả sử ta có phương trình bậc 3 là:

    Dòng 1: Bạn tạo các cột các hệ số A,B,C,D và ẩn X, hàm f(x).Như hình sau đây

    Dòng 2: Tương ứng với các hệ số A,B,C,D ẩn X,Hàm f(x) bạn nhập giá trị ở dòng này.Như hình sau đây

    Note: Ẩn X : khi này bạn cho 1 giá trị bất kì,k cần thiết là nghiệm.Cho giá trị nào cũng được

    Tại ô giá trị hàm f(x): Bạn gõ công thức : =4X^3+5X^2+6X+7

    Trong Exel mình sẽ nhập giá trị A=4,… tại các cột dòng 2.Bạn làm vậy khi giải phương trình khác bạn chỉ cần nhập A,B,C,D chứ k phải viết lại

    Của mình sẽ là =H8*L8^3+I8*L8^2+J8*L8+K8

    Như hình sau đây:

    Bạn vào Tool chọn Goal Sheet ( đối với Exel 2003 )

    Bạn vào Data chọn What – if Analysis chọn Goal Sheet ( đối với Exel 2007 )

    Như hình sau đây :

    Khi đó bảng Goal Sheet sẽ hiện ra như sau

    Giải thích về cái bảng này chút:

    Bạn nhập như này cho mình:

    xong ấn ok giá trị bạn thu được tại X sẽ là nghiệm của phương trình

    Chú ý: Exel chỉ có thể tính gần đúng nghiệm cho bạn chữ k thể tính được nghiệm chuẩn xác.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Trong Excel Bằng Solver
  • Pt Mũ Có Lời Giải Chi Tiết
  • Pp Giải Phương Trình Mũ, Logarit
  • Giải Toán Lớp 8 Bài 3: Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Chương Iii. §3. Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100