Pt Asinx+Bcosx=C Phuong Trinh Asinx Bcosx C Tg Tiet 4 Ppt

--- Bài mới hơn ---

  • Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Ax+By=C
  • Luyện Tập Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax+B=0
  • Giải Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Bằng Php
  • Phương Trình Chứa Ẩn Trong Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • -TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HỒNG QUANG

    TỔ TOÁN

    GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

    THIẾT KẾ TRÊN POWER POINT

    MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

    CHƯƠNG I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

    VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    THƯỜNG GẶP

    Back

    BCủ

    Kiểm tra bài cũ

    1

    2

    3

    T.D

    Câu 1: Giải phương trình lượng giác:

    2sin2x + sinx – 3 = 0 (1)

    Back

    cos(a – b) = …………….

    Câu 2: Điền vào các chỗ trống còn lại?

    sin(a + b) = …………….

    sin(a – b) = …………….

    cos(a + b) = …………….

    sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa

    sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa

    cos(a + b) = cosacosb – sinbsina

    cos(a – b) = cosacosb + sinbsina

    Công thức cộng

    Câu 3 :

    Hãy chứng minh rằng

    a/ sinx +cosx =

    b/ sinx – cosx =

    Chứng minh:

    a/ sinx +cosx =

    sinx +cosx =

    =

    =

    b/ sinx – cosx =

    sinx – cosx =

    =

    =

    Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx = ?

    Nhận xét: đối chiếu kết quả trên ta thấy

    Theo kết quả trên ta có: sinx +cosx =

    asinx + bcosx =

    1sinx + 1cosx =

    asinx + bcosx =

    Tổng quát :

    asinx + bcosx = c

    Làm thế nào để giải phương trình lượng giác có dạng?

    sinf(x) = m

    cosf(x) = n

    Biến đổi phương trình về dạng cơ bản

    sinf(x) = m

    Ví dụ:Giải pt: Sinx + cosx = 1 (1)

    Home

    Pt

    Biến đổi phương trình về dạng cơ bản

    cosf(x) = n

    Home

    Pt

    Với phương trình : sinx + cosx = 1 (1)

    Back

    Tq

    Tq

    Back

    Đk

    Home

    GB

    GB

    Home

    ADung

    III/. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

    PPCT:16 §3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    THƯỜNG GẶP

    VD1

    VD2

    CC1

    CC2

    CC3

    2/. Phương trình dạng: asinx + bcosx = c

    1/. Biến đổi biểu thức : asinx + bcosx

    Ta có công thức:

    GB

    Đk

    Ví dụ 3 : Giải phương trình:

    Giải :

    * Ta có a2 + b2 = 4 , c2 = 4 nên điều kiện pt có nghiệm thỏa

    * Chia cả 2 vế của pt (1) cho 2, ta được :

    A.

    B.

    C.

    D.

    Kết quả

    Phương trình asinx + bcosx = c vô nghiệm khi:

    Home

    End

    Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?

    Kết quả

    Home

    End

    Sau khi biến đổi biểu thức:

    asinx + bcosx ta được những biểu thức nào là đúng trong các biểu thức sau:

    Kết quả

    End

    Home

    BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ

    Phương trình bậc nhất đối với sin và cosin

    Câu 1. Nghiệm của pt:

    là:

    Chọn một đáp án sau:

    Đáp án là : (B)

    A. B.

    C. D.

    Gợi ý:

    Dùng công thức

    BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ

    Phương trình bậc nhất đối với sin và cosin

    Câu 2. Nghiệm của pt:

    là:

    Chọn một đáp án sau:

    Đáp án là : (C)

    A. B.

    C. D.

    Gợi ý:

    BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ

    Phương trình bậc nhất đối với sin và cosin

    Câu 3. Nghiệm của pt:

    là:

    Chọn một đáp án sau:

    Đáp án là : (C)

    A. B.

    C. D.

    Gợi ý:

    BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ

    Phương trình bậc nhất đối với sin và cosin

    Câu 4. Nghiệm của pt:

    là:

    Chọn một đáp án sau:

    Đáp án là : (A)

    A. B.

    C. D.

    Gợi ý:

    Ví dụ 5 :

    Giải phương trình lượng giác sau.

    Giải:

    (5)

    (5)

    Với

    Vậy:

    (5)

    asinx + bcosx = c

    asinx + bcosx =

    C?ng c?: Điều kiện có nghiệm của phương trình

    Hỏi:

    Từ bi?u th?c: hãy nhận xét xem phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm khi nào?

    Ta có: asinx + bcosx = c

    Phương trình trên có nghiệm:

    Vậy phương trình (b) có nghiệm

    (b)

    Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx :

    asinx + bcosx = c (*) (a và b khác 0)

    Phương pháp giải :

    Bước 1: Xét điều kiện để PT (*) có nghiệm

    Bước 2 : Chia hai vế (*) cho

    và đặt :

    (*)

    Bước 3 : Giải PTLG CB (2)

    Bài tập về nhà: 2,3,4,5/Trang37/Sgk

    Chúc Quí Thầy cô và các em

    vui, khoẻ!

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 4
  • Công Cụ Máy Tính Online: Tính Nhanh, Giải Phương Trình, Căn Bậc
  • Giải Phương Trình Bậc Hai Online, Cực Nhanh Tại Giaitoannhanh.com
  • Bài Tập Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Có Đáp Án
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Và Bài Tập Vận Dụng
  • Ptlg Bậc I Dạng Asin X + Bcosx = C Phuong Trinh Asinx Bcosx C Tg Tiet 4 Ppt

    --- Bài mới hơn ---

  • Tổng Hợp Lý Thuyết Về Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Chương Iii. §3. Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Giải Toán Lớp 8 Bài 3: Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Pp Giải Phương Trình Mũ, Logarit
  • Pt Mũ Có Lời Giải Chi Tiết
  • Gv. thực hiện: NGUYỄN TRÍ HUỆ

    Chào mừng Quí Thầy Cô

    dự giờ thăm lớp 11/1

    TRƯỜNG THPT PHẠM HÙNG

    TD

    -TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG PHẠM HÙNG

    TỔ TOÁN

    GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

    THIẾT KẾ TRÊN POWER POINT

    GIÁO VIÊN : NGUY?N TRÍ HU?

    MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

    CHƯƠNG I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

    VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    THƯỜNG GẶP

    Giáo viên thực hiện: NGUYỄN TRÍ HUỆ

    Back

    BCủ

    Kiểm tra bài cũ

    1

    2

    3

    T.D

    Câu 1: Giải phương trình lượng giác:

    2sin2x + sinx – 3 = 0 (1)

    Back

    cos(a – b) = …………….

    Câu 2: Điền vào các chỗ trống còn lại?

    sin(a + b) = …………….

    sin(a – b) = …………….

    cos(a + b) = …………….

    sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa

    sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa

    cos(a + b) = cosacosb – sinbsina

    cos(a – b) = cosacosb + sinbsina

    Công thức cộng

    Câu 3 :

    Hãy chứng minh rằng

    a/ sinx +cosx =

    b/ sinx – cosx =

    Chứng minh:

    a/ sinx +cosx =

    sinx +cosx =

    =

    =

    b/ sinx – cosx =

    sinx – cosx =

    =

    =

    Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx = ?

    Nhận xét: đối chiếu kết quả trên ta thấy

    Theo kết quả trên ta có: sinx +cosx =

    asinx + bcosx =

    1sinx + 1cosx =

    asinx + bcosx =

    Tổng quát :

    asinx + bcosx = c

    Làm thế nào để giải phương trình lượng giác có dạng?

    sinf(x) = m

    cosf(x) = n

    Biến đổi phương trình về dạng cơ bản

    sinf(x) = m

    Ví dụ:Giải pt: Sinx + cosx = 1 (1)

    Home

    Pt

    Biến đổi phương trình về dạng cơ bản

    cosf(x) = n

    Home

    Pt

    Với phương trình : sinx + cosx = 1 (1)

    Back

    Tq

    Tq

    Back

    Đk

    Home

    GB

    GB

    Home

    ADung

    III/. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

    PPCT:16 §3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    THƯỜNG GẶP

    VD1

    VD2

    CC1

    CC2

    CC3

    2/. Phương trình dạng: asinx + bcosx = c

    1/. Biến đổi biểu thức : asinx + bcosx

    Ta có công thức:

    GB

    Đk

    Ví dụ 3 : Giải phương trình:

    Giải :

    * Ta có a2 + b2 = 4 , c2 = 4 nên điều kiện pt có nghiệm thỏa

    * Chia cả 2 vế của pt (1) cho 2, ta được :

    A.

    B.

    C.

    D.

    Kết quả

    Phương trình asinx + bcosx = c vô nghiệm khi:

    Home

    End

    Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?

    Kết quả

    Home

    End

    Sau khi biến đổi biểu thức:

    asinx + bcosx ta được những biểu thức nào là đúng trong các biểu thức sau:

    Kết quả

    End

    Home

    BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ

    Phương trình bậc nhất đối với sin và cosin

    Câu 1. Nghiệm của pt:

    là:

    Chọn một đáp án sau:

    Đáp án là : (B)

    A. B.

    C. D.

    Gợi ý:

    Dùng công thức

    BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ

    Phương trình bậc nhất đối với sin và cosin

    Câu 2. Nghiệm của pt:

    là:

    Chọn một đáp án sau:

    Đáp án là : (C)

    A. B.

    C. D.

    Gợi ý:

    BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ

    Phương trình bậc nhất đối với sin và cosin

    Câu 3. Nghiệm của pt:

    là:

    Chọn một đáp án sau:

    Đáp án là : (C)

    A. B.

    C. D.

    Gợi ý:

    BÀI TẬP LUYỆN TNKQ VỀ

    Phương trình bậc nhất đối với sin và cosin

    Câu 4. Nghiệm của pt:

    là:

    Chọn một đáp án sau:

    Đáp án là : (A)

    A. B.

    C. D.

    Gợi ý:

    Ví dụ 5 :

    Giải phương trình lượng giác sau.

    Giải:

    (5)

    (5)

    Với

    Vậy:

    (5)

    asinx + bcosx = c

    asinx + bcosx =

    C?ng c?: Điều kiện có nghiệm của phương trình

    Hỏi:

    Từ bi?u th?c: hãy nhận xét xem phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm khi nào?

    Ta có: asinx + bcosx = c

    Phương trình trên có nghiệm:

    Vậy phương trình (b) có nghiệm

    (b)

    Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx :

    asinx + bcosx = c (*) (a và b khác 0)

    Phương pháp giải :

    Bước 1: Xét điều kiện để PT (*) có nghiệm

    Bước 2 : Chia hai vế (*) cho

    và đặt :

    (*)

    Bước 3 : Giải PTLG CB (2)

    Bài tập về nhà: 2,3,4,5/Trang37/Sgk

    Chúc Quí Thầy cô và các em

    vui, khoẻ!

    --- Bài cũ hơn ---

  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn Bậc Hai
  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Có Ẩn Dưới Dấu Căn Toán 10
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Kỹ Năng Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn “chương 3, Đại Số 10 Cb”
  • Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn
  • Lập Trình C: Giải Phương Trình Bậc 2

    --- Bài mới hơn ---

  • Viết Chương Trình Giải Phương Trình Bậc Nhất Ax + B = 0
  • Vấn Đề Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn: Ax + B = 0
  • Vấn Đề Giải Phương Trình Chứa Căn Bậc 3
  • Công Thức Tính Delta Và Delta Phẩy Phương Trình Bậc 2
  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Có Ẩn Dưới Dấu Căn Bậc Hai
  • Đăng ký nhận thông báo về những video mới nhất

    Video hướng dẫn:

    Code demo:

    //

    Bai

    toan

    giai

    phuong

    trinh

    bac

    hai

     

    void

    main

    ()

    {

      

    float

    a

    ,

    b

    ,

    c

    ,

    d

    ,

    x1

    ,

    x2

    ;

      

    clrscr

    ();

      

    printf

    (

    “nNhap vao a: “

    );

      

    scanf

    (

    “%f”

    ,&

    a

    );

      

    printf

    (

    “nNhap vao b: “

    );

      

    scanf

    (

    “%f”

    ,&

    b

    );

      

    printf

    (

    “nNhap vao c: “

    );

      

    scanf

    (

    “%f”

    ,&

    c

    );

      

    if

    (

    a

    ==

    0

    ){

        

    if

    (

    b

    ==

    0

    ){

          

    if

    (

    c

    ==

    0

    ){

            

    printf

    (

    “nPhuong trinh vo so nghiem!”

    );

          

    }

          

    else

    {

            

    printf

    (

    “nPhuong trinh vo nghiem!”

    );

          

    }

        

    }

        

    else

    {

          

    printf

    (

    “nPhuong trinh co mot nghiem, x = %g”

    ,-

    c

    /

    b

    );

        

    }

      

    }

      

    else

    {

        

    d

    =

    b

    *

    b

    4

    *

    a

    *

    c

    ;

        

    if

    (

    d

    <

    0

    ){

          

    printf

    (

    “nPhuong trinh vo nghiem!”

    );

        

    }

        

    else

    if

    (

    d

    ==

    0

    ){

          

    printf

    (

    “nPhuong trinh co nghiem kep, x1 = x2 = %g”

    ,-

    b

    /(

    2

    *

    a

    ));

        

    }

        

    else

    {

          

    printf

    (

    “nPhuong trinh co hai nghiem phan biet:”

    );

         

    x1

    =(-

    b

    +

    sqrt

    (

    d

    ))/(

    2

    *

    a

    );

          

    x2

    =(-

    b

    sqrt

    (

    d

    ))/(

    2

    *

    a

    );

          

    printf

    (

    “nx1 = %g”

    ,

    x1

    );

          

    printf

    (

    “nx2 = %g”

    ,

    x2

    );

        

    }

      

    }

      

    getch

    ();

    }

    1. Khóa học lập trình C/C++ dành cho các bạn từ 12-17 tuổi

    2. Khóa học lập trình C/C++ dành cho các bạn từ 18 tuổi

     

    Họ và tên bạn

    *

    :

    Số điện thoại

    *

    :

    Email:

    Thời gian học:

    Sáng

    Chiều

    Tối

    Lời nhắn:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Và Chính Xác Cho Học Sinh
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Phương Trình Và Hàm Số Bậc 4
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn Đặc Biệt Môn Toán Lớp 10
  • Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải 9 Bài Pt Mũ & Log Bằng Ẩn Số Phụ
  • 9 Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Đề Tài:phương Pháp Giải Pt Nghiệm Nguyên
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)
  • Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình

    Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

    Lý thuyết & Phương pháp giải

    Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0, (a ≠ 0) (*)

    – Đặt t = x 2 ≥ 0 thì (*) ⇔ at 2 + bt + c = 0 (**)

    – Để xác định số nghiệm của (*), ta dựa vào số nghiệm của (**) và dấu của chúng, cụ thể:

    + Để (*) vô nghiệm ⇔

    + Để (*) có 1 nghiệm

    + Để (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔

    + Để (*) có 3 nghiệm ⇔ (**) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.

    + Để (*) có 4 nghiệm ⇔ (**) có 2 nghiệm dương phân biệt.

    Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

    Phương pháp giải: Chia hai vế cho x 2 ≠ 0, rồi đặt t = x + α/x ⇒ t 2 = (x + α/x) 2 với α = d/b

    Loại 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + d

    Phương pháp giải: = e

    Loại 3. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex 2 với a.b = c.d

    Phương pháp giải: Đặt t = x 2 + ab + ((a+b+c+d)/2)x thì phương trình

    ⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t – ((a+b-c-d)/2)x) = ex 2 (có dạng đẳng cấp)

    Phương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α) 4 + (t – α) 4 = c với α = (a-b)/2

    Phương pháp giải: Tạo ra dạng A 2 = B 2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng 2k.x 2 + k 2, tức phương trình (1) tương đương:

    Cần vế phải có dạng bình phương

    Phương pháp giải: Tạo A 2 = B 2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: (x 2 + (a/2)x + k) 2 = x 4 + ax 3 + (2k + a 2/4)x 2 + kax + k 2. Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng: (2k + a 2/4)x 2 + kax + k 2, thì phương trình

    Lúc này cần số k thỏa:

    Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai

    Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner

    Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.

    Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

    + Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1

    + Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x = -1

    + Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai

    Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo

    Ví dụ minh họa

    Hướng dẫn:

    Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x 2 ta được: 2(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) + 6 = 0

    Ta có phương trình: 2(t 2 – 2) – 5t + 6 = 0 ⇔ 2t 2 – 5t + 2 = 0 ⇔

    + t = 1/2 ⇒ x + 1/x = 1/2 ⇔ 2x 2 – x + 2 = 0 (vô nghiệm)

    + t = 2 ⇒ x + 1/x = 2 ⇔ x 2 – 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

    Bài 2: Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3) = 24

    Hướng dẫn:

    Phương rình tương đương với (x 2 + 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

    Đặt t = x 2 + 3x, phương trình trở thành

    t(t+2) = 24 ⇔ t 2 + 2t – 24 = 0 ⇔

    + t = -6 ⇒ x 2 + 3x = -6 ⇔ x 2 + 3x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

    + t = 4 ⇒ x 2 + 3x = 4 ⇔ x 2 + 3x – 4 = 0 ⇔

    Vậy phương rình có nghiệm là x = -4 và x = 1

    Bài 3: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x 2

    Hướng dẫn:

    Phương trình tương đương với 4(x 2 + 17x + 60)(x 2 + 16x + 60) = 3x 2 (*)

    Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

    Xét x ≠ 0, chia hai vế cho x 2 ta có

    (*)⇔ 4(x + 17 + 60/x)(x + 16 + 60/x) = 3

    Đặt y = x + 16 + 60/x phương trình trở thành

    4(y+1)y = 3 ⇔ 4y 2 + 4y – 3 = 0 ⇔

    Với y = 1/2 ta có x + 16 + 60/x = 1/2 ⇔ 2x 2 + 31x + 120 = 0

    Với y = -3/2 ta có x + 16 + 60/x = -3/2 ⇔ 2x 2 + 35x + 120 = 0

    Vậy phương trình có nghiệm là x = -8, x = -15/2 và

    Hướng dẫn:

    Suy ra x = -2

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2

    Bài 5: Giải phương trình

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3

    Đặt u = (x+1)/(x-2); v = (x-2)/(x-3) ta được u 2 + uv = 12v 2

    ⇔(u – 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = -4v

    +) u = 3v ⇔ (x+1)/(x-2) = 3(x-2)/(x-3) ⇔ x 2 + 4x + 3 = 3x 2 – 12x + 12

    ⇔2x 2 – 16x + 9 = 0 ⇔ x = (8 ± √46)/2

    +) u = -4v ⇔ (x+1)/(x-2) = -4(x-2)/(x-3) ⇔ x 2 + 4x + 3 = -4x 2 + 16x – 16

    ⇔ 5x 2 – 12x + 19 = 0(Vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = (8 ± √46)/2

    Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết
  • Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác
  • Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay Giải Nhanh Trắc Nghiệm Lượng Giác
  • Cách Tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Tích Của Chúng
  • Phương Trình Bậc Hai, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Pt Chuyen De Phuong Trinh Bac Hai Dinh Ly Viet Giai Bai Toan Docx
  • Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Ax+By=C

    --- Bài mới hơn ---

  • Luyện Tập Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax+B=0
  • Giải Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Bằng Php
  • Phương Trình Chứa Ẩn Trong Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Giải Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Công thức nghiệm của phương trình ax+by=c

    A. Phương pháp giải

    Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

    Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm.

    Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng (d) ax + by = c.

    B. Bài tập tự luận

    Bài 1: Cho phương trình 3x – 2y = 1

    a) Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

    b) Tìm nghiệm của phương trình.

    Hướng dẫn giải

    Bài 2: Xác định phương trình bậc nhất hai ẩn có các nghiệm là (1;-3) và (-2;0). Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình đó.

    Hướng dẫn giải

    Xét phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát ax + by = c (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)

    + Thay x = 1; y = -3 và phương trình ta có: a – 3b = c (1)

    + Thay x = -2; y = 0 vào phương trình ta có: -2a = c (2)

    Thay (2) vào (1) ta được a – 3b = -2a ⇔ 3a = 3b ⇔ a = b.

    Khi đó phương trình có dạng ax + ay = -2a ⇔ x + y = -2 (do a ≠ 0).

    Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là x ∈ R và y= -x – 2 hoặc x= -y – 2 và y ∈ R

    Bài 3: Viết công thức nghiệm của các phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

    a) 3x – y = 1/2

    b) x + 5y = 0

    Hướng dẫn giải

    a) 3x – y = 1/2

    Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:

    x ∈ R; y = 3x – 1/2

    Biểu diễn hình học:

    b) x + 5y = 0

    Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:

    x ∈ R; y = -x/5

    Biểu diễn hình học

    Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

    a) x + 3y = 1

    b) 4x – 5y = 24

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Pt Asinx+Bcosx=C Phuong Trinh Asinx Bcosx C Tg Tiet 4 Ppt
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 4
  • Công Cụ Máy Tính Online: Tính Nhanh, Giải Phương Trình, Căn Bậc
  • Giải Phương Trình Bậc Hai Online, Cực Nhanh Tại Giaitoannhanh.com
  • Bài Tập Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Có Đáp Án
  • Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2
  • Tổng Hợp Các Phương Pháp Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Môn Toán
  • Hướng Dẫn Học Sinh Giải Phương Trình Toán Bằng Máy Tính Casio
  • Công Bố Kết Quả Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh Năm 2022
  • Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình

    Các dạng hệ phương trình đặc biệt

    Lý thuyết & Phương pháp giải

    DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

    1. Phương pháp giải

    Sử dụng phương pháp thế

    – Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

    – Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

    – Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

    DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

    1. Phương pháp giải

    a. Hệ đối xứng loại 1

    Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:

    (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

    Cách giải

    – Đặt S = x + y, P = xy

    – Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I’) với các ẩn là S và P.

    – Giải hệ (I’) ta tìm được S và P

    – Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X 2 – SX + P = 0

    b. Hệ đối xứng loại 2

    Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:

    (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

    – Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔

    – Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔

    – Như vậy (II) ⇔

    – Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)

    c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x 0; y 0) thì (y 0; x 0) cũng là một nghiệm của nó

    DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

    1. Phương pháp giải

    Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:

    – Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

    – Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

    Ví dụ minh họa

    Bài 1: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Đặt S = x + y, P = xy (S 2 – 4P ≥ 0)

    Ta có :

    ⇒ S = -5; S = 3

    S = -5⇒ P = 10 (loại)

    S = 3⇒ P = 2(nhận)

    Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X 2 – 3X + 2 = 0

    ⇔ X = 1; X = 2

    Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)

    b. ĐKXĐ: x ≠ 0

    Hệ phương trình tương đương với

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)

    Bài 2: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Hệ phương trình tương đương

    Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 – y = -1

    Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}

    b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:

    – Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

    Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

    X 2 + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm)

    Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)

    Bài 3: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Hệ phương trình tương đương

    Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}

    b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

    Thay x = y vào phương trình đầu ta được:

    Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)

    Bài 4: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    Khi x = y thì hệ có nghiệm

    Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

    b. Hệ phương trình tương đương

    Bài 5: Giải hệ phương trình

    Hướng dẫn:

    a. Ta có

    Nếu x = 0 thay vào (1)⇒ y = 0, thay vào (2) thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm

    của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình

    Nếu x ≠ 0, đặt y = tx , thay vào hệ ta được

    Với t = 1/2 thay vào (**) ta được 4x 2 + x 2 + 6x = 27 ⇔ 5x 2 + 6x – 27 = 0

    Với t = 1/3 thay vào (**) ta được 4x 2 + (2/3)x 2 + 6x = 27

    ⇔ 14x 2 + 18x – 81 = 0

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:

    b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ

    Với x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được

    Suy ra 3(t 2 – t + 1) = 2t 2 – 3t + 4 ⇒ t = ±1

    Thay vào (*) thì

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1/√3;(-1)/√3), ((-1)/√3;1/√3), (-1;-1) và (1;1)

    Bài 6: Cho hệ phương trình. Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Đặt S = x + y, P = xy (S 2 – 4P ≥ 0)

    Ta có

    Đẳng thức xảy ra khi a = -1 (nhận)

    Bài 7: Xác định m để hệ phương trìnhcó nghiệm

    Hướng dẫn:

    Hệ phương trình tương đương

    Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 – 4m ≥ 0

    ⇔ m ≤ 5/4

    Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y) 2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1

    Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4

    Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Bậc Hai (Bản Đầy Đủ)
  • Học Cách Giải Bất Phương Trình Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
  • Bai Giang Phuong Trinh Vi Phan
  • Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 Có Lời Giải Chi Tiết
  • Những Bài Toán Siêu Kinh Điển Chưa Tìm Ra Lời Giải
  • Phương Trình Cân Bằng Nhiệt: Giải Bài Tập C1,c2,c3 Vật Lý 8 Trang 89

    --- Bài mới hơn ---

  • Chương Iii. §5. Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Bài Tập: Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn
  • Chuyen De Giai Bai Toan Bang Cach Lap Phuong Trinh Lop 8
  • Chuyên Đề: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Giải Bài 1,2,3,4,5 Trang 88 Sgk Hình Học Lớp 10: Phương Trình Đường Elip
  • Nhiệt lượng tỏa ra cũng được tính bằng công thức: Q = c . m . ∆t, nhưng trong đó

    ∆t = t 1 – t 2, với t 1 là nhiệt độ ban đầu còn t 2 là nhiệt độ cuối trong quá trình truyền nhiệt.

    1. a) Hãy dùng phương trình cân-bằng-nhiệt để tính nhiệt độ của hỗn hợp gồm 200 g nước đang sôi vào 300 g nước ở nhiệt độ trong phòng.

    b) Tiến hành thí nghiệm để kiểm tra giá trị của nhiệt độ tính được. Giải thích tại sao nhiệt độ tính được không bằng nhiệt độ đo được ?

    Đáp án: a) Kết quả phụ thuộc vào nhiệt độ trong lớp lúc giải bài tập này.

    b) Nhiệt độ tính được chỉ gần bằng nhiệt độ đo được trong thí nghiệm vì trong khi tính toán, ta đã bỏ qua sự trao đổi nhiệt với các dụng cụ đựng nước và môi trường bên ngoài.

    2. Người ta thả một miếng đồng khối lượng 0,5 kg vào 500 g nước. Miếng đồng nguội đi từ 80 0C xuống 20 0 C. Hỏi nước nhận được một nhiệt lượng bằng bao nhiêu và nóng lên thêm bao nhiêu độ ?

    Nhiệt lượng miếng đồng tỏa ra

    Q1 = m1.C1 (t1 – t) = 0,5 .380. (80 – 20) = 11400 (J)

    Nhiệt lượng nước thu vào: Q2 = m2.C2 .Δt

    Theo phương trình cân bằng nhiệt: Q2 = Q1

    m2.C2.Δt = 11400

    ĐS. Q2 = 11400 J và nước nóng thêm 5,43ºC

    Bài C3: Để xác định nhiệt dung riêng của một kim loại, người ta bỏ vào nhiệt lượng kế chứa 500 g nước ở nhiệt độ 13 0C một miếng kim loại có khối lượng 400 g được nung nóng tới 100 0C. Nhiệt độ khi có cân bằng-nhiệt là 20 0 C. Tính nhiệt dung riêng của kim loại. Bỏ qua nhiệt lượng làm nóng nhiệt lượng kế và không khí. Lấy nhiệt dung riêng của nước là 4 190 J/kg.K

    Giải:

    Nhiệt lượng miếng kim loại tỏa ra:

    Nhiệt lượng nước thu vào:

    Nhiệt lượng tỏa ra bằng nhiệt lượng thu vào:

    0,4 . c . (100 – 20) = 0,5 . 4190 . (20 – 13)

    C = 458 J/kg.K

    Kim loại này là thép.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Sgk Bài 25: Phương Trình Cân Bằng Nhiệt
  • Giải Bài Tập Vật Lý 8 Bài 25: Phương Trình Cân Bằng Nhiệt
  • Cách Giải Bài Tập Phương Trình Cân Bằng Nhiệt Nâng Cao Cực Hay .
  • Phương Pháp Giải Bài Tập Phương Trình Cân Bằng Nhiệt Cực Hay.
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 2: Căn Bậc Hai Của Số Phức Và Phương Trình Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Phương Pháp Giải Các Dạng Bài Toán Phương Trình Mặt Phẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • Review Sách Bài Tập Và Bài Giải Quản Trị Dự Án Hiện Đại
  • Giải Sách Bài Tập Môn Toán 8
  • Giải Sách Bài Tập Toán 7
  • Lớp 7 – Để Học Tốt Lớp 7 – Giải Bài Tập Lớp 7
  • Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 6 Tập 1
  • 1

    PP GIẢI CÁC DẠNG BT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

    Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản :

    . Xác định 1 điểm và 1 VTPT

    . Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm

    A,B,C,D.

    Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt

    các dạng đề bài sau:

    Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n

    =(A;B;C)

    A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

     Ax + By + Cz + D = 0

    Dạng 2: Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)

    – Từ ptmp(Q) VTPT n Q = (A;B;C)

    – Vì (P) // (Q)  VTPT n P = n Q = (A;B;C)

    – PT mp (P) đi qua A và có VTPT n

    P

    Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng

    d

    – Từ (d) VTCP u d = (A;B;C)

    – Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT n P=u d =(A;B;C)

    Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n P.

    Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và  (Q) ,  (R)

    – Từ pt mp (Q) và (R) VTPT n Q ; VTPT n R

    – Vì (P)  (Q) và  (R) VTPT n P  Qn và n P  n R

    Chọn n P =

    Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng

    – Tính AB

    

    , AC

    

    và a

    =

    Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và  (Q)

    – Tính AB

    

    , vtpt n

    Q và tính

    – Viết ptmp (P)

    Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;  (Q) và // với dt (d)

    – Tính VTPT n

    Q của mp (Q); VTCP u

    d của đường thẳng (d).

    – Tính

    – Từ đó viết được PT mp (p)

    Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.

    – Tình trung điểm I của ABvà AB

    

    – Mp (P) đi qua I và nhận AB

    

    làm VTPT.

    Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A

    – Tính VTCP u

    d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d)

    – Tính AM

    

    và .

    Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( )

    – Từ (d)  VTCP u d và điểm M (d)

    – Từ ( ) VTCP u và tính .

    Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và  (Q)

    – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d)

    – Từ (Q) VTPT n Q và tính .

    Dạng 12: Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h

    – Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0

    ( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ)

    – Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D

    – Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.

    Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h

    – Gọi VTPT của mp (P) là n

    – Từ (d)  VTCP u d và điểm M (d)

    – Vì (d) nằm trong (P)  u d. n P=0 (1)

    – PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

    – d(A,(P)) = h (2)

    – Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta

    viết được PT mp(P).

    Dạng 14: Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc   900

    – Gọi VTPT của mp (P) là n

    – Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)

    – Vì d  (P)  u d. n P=0 (1)

    – Tính cos ((P),(Q)) (2)

    – Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta

    viết được PT mp(P).

    Dạng 15: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc   900

    – Gọi VTPT của mp (P) là n

    – Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)

    – Vì d  (P)  u d. n P=0 (1)

    – Tính sin ((P),(  )) (2)

    – Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta

    viết được PT mp(P).

    Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P))

    là lớn nhất

    – Gọi H là hình chiếu  của A lên (d)

    – Ta có : d(A,(P)) = AK AH

    (tính chất đường vuông góc và đường xiên)

    Do đó d(A(P)) max  AK = AH  KH

    – Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT

    Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

    – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

    – Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D’=0

    (theo pt của mp (Q) , trong đó D’ DQ).

    – Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm được D’

    – Từ đó ta có Pt (P) cần tìm

    Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến

    là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước).

    – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

    – Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r.

    – d(I,(P)) = 2 2R r (1)

    – Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D’=0

    (theo pt của mp (Q) , trong đó D’ DQ)

    – Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D’  viết được

    pt (P).

    Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

    – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

    – Gọi VTPT của mp (P) là n

    Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200

    3

    – Từ (d)  VTCP u d và điểm M (d)

    – d  (P)  u d. n P=0 (1)

    – Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)

    – Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).

    Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là

    đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước)

    – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

    – Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r.

    – Vì d  (P)  u d. n P=0 (1)

    – Gọi VTPT của mp (P) là n

    chọn M trên đường thẳng d.

    – Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)

    – Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).

    Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến

    là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S)

    tại 2 điểm).

    – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

    – Bán kính r = 2 2( ,( ))R d I p để r min  d(I,(P)) max

    – Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P)

    – Ta có: d(I,(P))= IK Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)

    – Do đó: d(I,(P)) max AK = AH  KH

    – PT mp(P) đi qua H và nhận IH

    

    làm VTPT

    PP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

    Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.

    Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u

    =(a,b,c)

    PP: phương trình tham số của d là (d):

    0

    0

    0

    x x at

    y y bt

    z z ct

         

    với t R

    * Chú ý : Nếu cả a, b, c  0 thì (d) có PT chính tắc

    0 0 0x x y y z z

    a b c

       

    * Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d)

    thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ

    VTCP của d.

    Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B

    – Tính AB

    

    – Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB

    

    làm VTCP

    Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng ( )

    – Từ pt( ) VTCP u 

    – Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u

      làm VTCP

    Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và  (P)

    – Tìm VTPT của mp(P) là n

    P

    – Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u

    d = n

    P

    Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)

    – Từ (d1),(d2) 1 2 1 2, à u à uVTCPd d l v

     

    

    , 2u

    

    ].

    – Vì (d)  (d1),(d2) nên có VTCP u

    d=

    Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp

    (P):Ax + By + Cz + D = 0

    Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200

    4

    (Q):A’x + B’y + C’z + D’ = 0

    – Từ (P) và (Q)  n P , n Q

    – Tính .

    Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)

    Cách 1: – Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)

    – Hình chiếu cần tìm d’ = (P) (Q)

    Cách 2: + Tìm A = ( )d P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )

    + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P)

    + Viết phương trình d’ đi qua M, H

    Dạng 8: Viết pt đg thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2:

    Cách 1 *Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1

    * Tìm B = 2( ) d 

    * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B

    Cách 2 : Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1

    Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2

    Đường thẳng cần tìm d =  

    Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3

    – Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2

    – Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3

    – Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q

    Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2

    Cách 1 : – Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1

    – Tìm giao điểm B = 2( ) d 

    – Đường thẳng cần tìm đi qua A, B

    Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1

    * Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1

    * Đường thẳng cần tìm d =  

    Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d’

    Cách 1 : – Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )

    – Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d’

    – Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q

    Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )

    * Tìm B = ( ) ‘P d

    * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B

    Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho

    trước.

    – Tìm giao điểm A=d1 ( )P và B=d2 ( )P

    – Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B

    Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng

    d’ tại giao điểm I của (P) và d’.

    * Tìm giao điểm I’ = d’ ( )P

    * Tìm VTCP u

    của d’ và VTPT n

    của (P) và tính [u,n]v   

    * Viết ptđt d qua I và có VTCP v

    Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau

    d1, d2 :

    – Gọi 0 0 0 1( , , )M x at y bt z ct d    ,

    Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200

    5

    và ‘ ‘ ‘0 0 0 2( ‘ ‘, ‘ ‘, ‘ ‘)N x a t y b t z c t d   

    là các chân đường vuông góc chung của d1, d2

    – Ta có hệ

    11

    2 2

    . 0

    , ‘

    . 0

    MN d MN u

    t t

    MN d MN u

          

     

      .

    – Thay t, t’ tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.

    ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài

    đường vuông góc)

    Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường

    thẳng d1,d2 .

    * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P)

    * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P)

    * Đường thẳng d = ( ) ( )Q R

    Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường

    thẳng d1 .

    – Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1

    – Tìm giao điểm B = 1( ) d 

    – Đường thẳng cần tìm đi qua A, B

    Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc

    0 0(0 ;90 ) (= 300, 450, 600)

    * Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c   

    * Vì 11 . 0d d u u  

     

    2

    2

    .

    .

    u u

    cos

    u u

     

     

    ( chú ý : nếu thay g …

    MẶT CẦU CẮT MẶT PHẲNG

    Bài 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm tạo giao điểm I của mặt phẳng

    (P) và đường thẳng (d) sao cho mặt phẳng (Q) cắt khối cầu theo thíêt

    diện là hình tròn có diện tích 12ẽ ,biết :

    1)   R

    tz

    ty

    tx

    d 

    

    

    

    

    

    t

    2

    3

    1

    : ,(P):x-y-z+3=0

    2)  

    01

    03

    :

    

    

    

    y

    zyx

    d , (P):x+y-2=0.

    Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200

    34

    Bài 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) và cắt

    mặt phăng (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng

    18.biết:

      R

    tz

    ty

    tx

    d 

    

    

    

    

    

    t

    1

    39

    412

    : và (P):y+4z+17=0.

    Bài 3: Trong không gian 0xyz , cho hai điểm A(0,0,-3),B(2,0,-1) ,và

    mặt phẳng

    (P):3x-8y+7z-1=0 .

    1) (HVNH-2000): Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho

    tam giác đều .

    2) Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm

    thuộc mặt phẳng

    (P):x-y-z-2=0.

    MẶT CẦU TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG

    Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

    1) Tâm I(1,2,-1) và tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình :

      R

    z

    ty

    tx

    d 

    

    

    

    

    t

    1

    1

    :

    2) Tâm I(3,-1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình :

     

    017322

    0322

    :

    

    

    

    zyx

    zyx

    d

    Bài 2: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :

      R

    tz

    ty

    tx

    d 

    

    

    

    

    

    t

    32

    1

    21

    :1 ,   012

    043

    :2 

    

    

    zyx

    yx

    d

    Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d1) tại điểm H(3,1,3) và có

    tâm thuộc đường thẳng (d2).

    Bài 3: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :

     

    01

    012

    :1 

    

    

    zyx

    yx

    d ,  

    012

    033

    :2 

    

    

    yx

    zyx

    d

    1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I

    của chúng .

    2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường

    thẳng (d1) và (d2).

    3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc

    đường thẳng (d) có phương trình :   R

    tz

    ty

    tx

    d 

    

    

    

    

    

    t

    33

    2

    21

    :

    Bài 4: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :

      R)(t

    46

    32

    23

    :1 

    

    

    

    

    tz

    ty

    tx

    d ,  

    015

    0194

    :2 

    

    

    zx

    yx

    d

    1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I

    của chúng .

    2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường

    thẳng (d1) và (d2).

    3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc

    đường thẳng (d) có phương trình :  

    4

    9

    1

    5

    3

    7

    :

    

     zyxd

    Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :

     

    4

    1

    32

    2

    :1 

    

     zyxd ,  

    129

    2

    6

    7

    :2

    zyxd 

    1) CMR hai đường thẳng đó song song với nhau.

    2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường

    thẳng (d1) và (d2).

    3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc

    đường thẳng (d) có phương trình :

    Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200

    35

      R

    z

    ty

    tx

    d 

    

    

    

    

    t

    1

    1

    :

    Bài 6: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :

     

    4

    9

    1

    5

    3

    7

    :1

    

     zyxd ,  

    4

    18

    1

    4

    3

    :2

    

     zyxd

    1) CMR hai đường thẳng đó song song với nhau.

    2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường

    thẳng (d1) và (d2).

    3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc

    đường thẳng (d) có phương trình :

      R

    tz

    ty

    tx

    d 

    

    

    

    

    

    t

    1

    3

    23

    :

    Bài 7: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :

      R)(t

    33

    2

    21

    :1 

    

    

    

    

    tz

    ty

    tx

    d ,  

    31

    23

    2

    :2 

    

    

    

    

    uz

    uy

    ux

    d

    1) CMR hai đường thẳng đó chéo nhau.

    2) Viết phương trình đường vuông góc chung của(d1) và (d2).

    3) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).

    4) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc

    mặt phẳng

    (P) : xy+z-2=0

    Bài 8: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :

     

    01

    03

    :1 

    

    

    zx

    zyx

    d ,  

    01

    0922

    :2 

    

    

    zy

    zyx

    d

    1) CMR hai đường thẳng đó chéo nhau.

    2) Viết phương trình đường vuông góc chung của(d1) và (d2).

    3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc

    mặt phẳng

    (P):2x-y+3z-6=0.

    MẶT CẦU CẮT ĐƯỜNG THẲNG

    Bài 1: (ĐHQG-96): Cho điểm I(2,3,-1) và đường thẳng (d) có phương

    trình :  

    0843

    020345

    :

    

    

    

    zyx

    zyx

    d

    1) Xác định VTCP a của (d) suy ra phương trình mặt phẳng (P) qua I

    và vuông góc với (d):

    2) Tính khoảng cách từ I đến (d) từ đó suy ra phương trình mặt cầu

    (S) có tâm sao cho (S) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B thoả mãn

    AB=40.

    Bài 2: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :

      R

    tz

    ty

    tx

    d 

    

    

    

    

    t

    3

    2

    21

    : ,

    (P):2x-y-2z+1=0.

    1) (ĐHBK-98):Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho

    khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.

    2) (ĐHBK-98):Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2,-1,3) qua đường

    thẳng (d) .Xác định toạ độ K.

    3) Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng (d) tại hai điểm

    phân biệt A,B sao cho AB=12.

    4) Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).

    5) Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến

    là một đường tròn có diện tích bằng 16ẽ

    MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

    Bài 1: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz

    ,cho bốn điểm A(1,0,1), B(2,1,2),C(1,-1,1),D(4,5,-5).

    1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông

    góc với mặt phẳng (ABC).

    2) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

    Bài 2: Cho bốn điểm

    0(0,0,0),A(6,3,0), B(-2,9,1), S(0,5,8)

    Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200

    36

    1) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.

    2) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB)

    vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với

    0A. Hãy xác định toạ dộ của K.

    3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

    4) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh S0,AB .

    Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau.

    Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm

    A(4,4,4), B(3,3,1),

    C(1,5,5), D(1,1,1).

    1) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và

    tính thể tích tứ diện ABCD.

    2) (HVKTQS-98): Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc

    chung của AC và BD.

    3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

    4) Tính thể tích tứ diện ABCD.

    Bài 4: cho bốn điểm A(-1,3,2), B(4,0,-3),

    C(5,-1,4), D(0,6,1).

    1) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tham số của đường thẳng

    BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ của điểm H.

    2) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tổng quát của (BCD) .Tìm

    khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

    3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

    Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh

    S(5,5,6), A(1,3,0),

    B(-1,1,4), C(1,-1,4), D(3,1,0).

    1) Lập phương trình các mặt của hình chóp.

    2) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp .

    3) Tính thể tích hình chóp SABCD

    Bài 6: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1,2,2),

    B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2).

    1) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau .

    2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện.

    3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.

    MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

    Bài 1: Lập phương trình mặt cầu nội tiếp hình chóp SABCD ,biết:

    1) )0,0,

    3

    4( 

    

    S ,A(0,-4,0), B(0,-4,0),C(3,0,0).

    Bài 2: Cho hình chóp SABCD .Đỉnh )4,

    2

    9

    ,

    2

    1(S đáy ABCD là hình

    vuông có A(-4,5,0) ,đươngf chéo BD có phương trình :

     

    0

    087

    :

    

    

    z

    yx

    d

    1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chóp .

    2) Lập phương trình nặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

    3) Lập phương trình mặt cầu nội tíêp hình chóp.

    Bài 3: Cho ba điểm A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).

    1) Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (0AB), (0BC), (0CA),

    (ABC).

    2) Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp tứ diện 0ABC .

    3) Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua mặt phẳng (ABC).

    Bài 4: (HVKTMM-99):Cho bốn điểm A(1,2,2), B(-1,2,-1), C(1,6,-1),

    D(-1,6,2).

    1) CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

    2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện .

    3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

    4) Viết phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

    VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ MẶT CẦU

    Bài 1: Cho mặt cầu   034: 222  zyxzyxS .xét vị trí

    tưpng đối của điểm A đối với mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

    1) điểm A(1,3,2).

    2) điểm A(3,1,-4).

    3) điểm A(-3,5,1).

    Bài 2: Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu

      03242: 222  zyxzyxS .Sao cho khoảng cách MA đạt

    giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất,biết:

    1) điểm A(1,-2,0).

    2) điểm A(1,1,-2).

    Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200

    37

    VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT

    CẦU

    Bài 1: Cho mặt cầu   06222: 222  zyxzyxS .Tìm toạ

    độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (d) đạt giá trị lớn

    nhất, nhỏ nhất,biết:

    1)   R

    tz

    ty

    tx

    d 

    

    

    

    

    

    t

    1

    1

    2

    : 2.  

    012

    032

    :

    

    

    

    zy

    zyx

    d

    VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU

    Bài 1: (ĐHDL-97):Trong không gian với hệ toạ đô trực chuẩn 0xyz,

    cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình :

      022: 222  xzyxS ,(P):x+z-1=0.

    1) Tính bán kính và toạ độ tâm của mặt cầu (S).

    2) Tính bán kính và toạ độ tâm của đường tròn giao của (S) và (P).

    Bài 2: (ĐHSPV-99): Cho điểm I(1,2,-2) và mặt phẳng 2x+2y+z+5=0 .

    1) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và (P) là

    đường tròn có chu vi bằng 8ẽ .

    2) CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng 2x-2=y+3=z.

    3) Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với

    (S).

    Bài 3: (ĐHBK-A-2000): Cho hình chóp SABCD với S(3,2,-1), A(5,3,-

    1), B(2,3,-4), C(1,2,0).

    1) CMR SABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam

    giác vuông cân.

    2) Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB. M

    là điểm bất kì thuộc mặt cầu tâm D, bán kính 18R .(điểm M

    không phụ thuộc mặt phẳng (ABC) ). Xét tam giác có độ dài các

    cạnh bằng độ dài các đoạn tjẳmg MA, MB, MC. Hỏi tam giác đó

    có đặc điểm gì ?

    Bài 4: (ĐHPCCC-2000): Cho đường tròn (C) có phương trình :

     

    

    

    0

    14

    :

    222

    z

    zyxC .Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tiệp

    xúc với mặt phẳng: 2x+2y-z-6=0.

    Bài 5: (CĐHQ-96): Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình

    :

      9)1()2()3(: 222  zyxS ,(P):x+2y+2z+11=0. Tìm điểm

    M sao cho M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P)

    nhỏ nhất .

    VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT CẦU

    Bài 1: Cho hai mặt cầu:   0722: 2221  yxzyxS ,  02: 2222  xzyxS

    1) CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau.

    2) Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua

    điểm M(2,0,1).

    Bài 2: Cho hai mặt cầu:   9: 2221  zyxS ,  06222: 2222  zyxzyxS

    1) CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau.

    2) Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua

    điểm M(-2,1,-1).

    --- Bài cũ hơn ---

  • Pemenang Lengkap Mama 2022, Exo
  • Giải Thưởng Và Đề Cử Bts
  • Kpop: Bts Tỏa Sáng Với 2 Giải Thưởng Tại Amas 2022 ::mobile Site
  • Giải Sbt Toán 9 Bài 6: Cung Chứa Góc
  • Giải Sách Bài Tập Toán 9
  • Các Dạng Toán Giải Phương Trình, Hệ Phương Trình Và Bài Tập Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Getting Started Unit 1 Sgk Tiếng Anh 8 Mới
  • 100 Câu Bài Tập Tiếng Anh Dạng Viết Lại Câu Cực Hay Có Đáp Án
  • Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Lớp 2
  • Giải Skills 2 Unit 3 Tiếng Anh 7 Mới
  • Giải Skills 2 Unit 3 Sgk Tiếng Anh 8 Mới
  • a) Phương trình chưa biến x là một mệnh dề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1).

    – Điều kiện của phương trình là những điều kiện quy định của biến x sao cho các biể thức của (1) đều có nghĩa.

    – x 0 thỏa điều kiện của phương trình và làm cho (1) nghiệm đúng thì x 0 là một nghiệm của phương trình.

    – Giải một phương trình là tìm tập hợp S của tất cả các nghiệm của phương trình đó.

    – S = Ø thì ta nói phương trình vô nghiệm.

    b) Phương trình hệ quả

    * Gọi S 1 là tập nghiệm của phương trình (1)

    S 2 là tập nghiệp của phương trình (2)

    – Phương trình (1) và (2) tương đương khi và chỉ khi: S 1 = S 2

    – Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi và chỉ khi S 1 ⊂ S 2

    ° a ≠ 0: S = {-b/a}

    ° a = 0 và b ≠ 0: S = Ø

    ° a = 0 và b = 0: S = R

    b) Giải và biện luận: ax + by = c

    ° a ≠ 0 và b ≠ 0: S = {x tùy ý; (c-ax)/b} hoặc S = {(c-by)/a; y tùy ý}

    ° a = 0 và b ≠ 0: S = {x tùy ý; c/b}

    ° a ≠ 0 và b = 0: S = {c/a; y tùy ý}

    ° Quy tắc CRAME, tính định thức:

    II. Các dạng bài tập toán về giải phương trình, hệ phương trình

    ° Dạng 1: Giải và biện luận phương trình ax + b = 0

    – Vận dụng lý thuyết tập nghiệm cho ở trên

    ♦ Ví dụ 1 (bài 2 trang 62 SGK Đại số 10): Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

    a) m(x – 2) = 3x + 1

    c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.

    ⇔ mx – 2m = 3x + 1

    ⇔ mx – 3x = 2m + 1

    ⇔ (m – 3)x = 2m + 1 (*)

    + Nếu m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, PT (*) có nghiệm duy nhất: x = (2m+1)/(m-3).

    + Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3, PT (*) ⇔ 0x = 7. PT vô nghiệm.

    – Kết luận:

    m ≠ 3: S = {(2m+1)/(m-3)}

    m = 3: S = Ø

    ⇔ m 2 x – 4x = 3m – 6

    ⇔ (m 2 – 4)x = 3m – 6 (*)

    + Nếu m 2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, PT (*) có nghiệm duy nhất:

    Với m = 2: PT (*) ⇔ 0x = 0, PT có vô số nghiệm

    Với m =-2: PT (*) ⇔ 0x = -12, PT vô nghiệm

    – Kết luận:

    m ≠ ±2: S = {3/(m+2)}

    m =-2: S = Ø

    m = 2: S = R

    c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2

    ⇔ (2m + 1)x – 3x = 2m – 2

    ⇔ (2m + 1 – 3)x = 2m – 2

    ⇔ (2m – 2)x = 2m – 2 (*)

    + Nếu 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, PT (*) có nghiệm duy nhất: x = 1

    + Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, PT (*) ⇔ 0.x = 0, PT có vô số nghiệm.

    – Kết luận:

    m ≠ 1: S = {1}

    m = 1: S = R

    Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: m 2(x-1) = 2(mx-2) (1)

    ◊ m = 0: (*) ⇔ 0x=-4 (PT vô nghiệm)

    ◊ m = 2: (*) ⇔ 0x=0 (PT có vô số nghiệm, ∀x ∈ R)

    – Kết luận:

    m ≠ 0 và m ≠ 2: S = {(m+2)/m}

    m = 0: S = Ø

    m = 2: S = R

    ◊ m = -4: (*) ⇔ 0x = 6 (PT vô nghiệm)

    – Kết luận:

    m ≠ -4 và m ≠ -1: S = {(2-m)/(m+4)}

    m = -4 hoặc m = -1: S = Ø

    – Vận dụng lý thuyết ở trên để giải

    ♦ Ví dụ 1 (bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x 2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0

    Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

    ⇒ PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt, gọi x 1,x 2 là nghiệm của (1) khi đó theo Vi-et ta có:

    – Theo bài ra, phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x 2 = 3x 1, nên kết hợp với (I) ta có:

    + TH1 : Với m = 3, PT (1) trở thành: 3x 2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x 1 = 2/3 và x 2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

    + TH2 : m = 7, PT (1) trở thành 3x 2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x 1 = 4/3 và x 2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

    – Kết luận: Để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt mà nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia thì giá trị của m là: m = 3 hoặc m = 7.

    – Ta có: (1) ⇔ 3x – m + x – 2 = 2x + 2m – 1

    2x = 3m + 1 ⇔ x = (3m + 1)/2

    – Vận dụng tính chất:

    ♦ Ví dụ 1 (bài 6 trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình sau

    – TXĐ: D = R.

    + Với x ≥ -3/2 bình phương 2 vế của (1) ta được:

    ⇔ (3x – 2 – 2x – 3)(3x – 2 + 2x + 3) = 0

    ⇔ (x – 5)(5x + 1) = 0

    ⇔ x = 5 hoặc x = -1/5. (cả 2 nghiệm đều thỏa điều kiện x ≥ -3/2)

    – Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt.

    – Bình phương 2 vế ta được

    ⇔ (2x – 1 + 5x + 2)(2x – 1 – 5x – 2) = 0

    ⇔ (7x + 1)(-3x – 3) = 0

    ⇔ x = -1/7 hoặc x = -1

    – Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt

    – Điều kiện: x ≠ 3/2 và x ≠ -1. Quy đồng khử mẫu ta được

    + Với x ≥ -1, ta có:

    (x – 1)(x + 1) = (2x – 3)(-3x + 1)

    + Với x < -1, ta có:

    (x – 1)(-x – 1) = (2x – 3)(-3x + 1)

    ⇔ 5x 2 -11x + 4 = 0

    – Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm.

    + Với x ≥ -5/2, ta có:

    ⇔ x = 1 (thỏa) hoặc x = -4 (loại)

    + Với x < -5/2, ta có:

    -2x – 5 = x 2 + 5x + 1

    ⇔ x = -6 (thỏa) hoặc x = -1 (loại)

    – Vật PT có 2 nghiệm là x = 1 và x = -6.

    – Kết luận:

    m ≤ 4. PT (1) có 2 nghiệm: x = (m+2)/3 hoặc x = m – 2.

    ◊ Với PT: mx – 2 = 2x + m ⇔ (m – 2)x = m + 2 (2)

    m ≠ 2: PT (*) có nghiệm x = (m+2)/(m-2)

    m = 2: PT (*) trở thành: 0x = 4 (vô nghiệm)

    ◊ Với PT: mx – 2 = -2x – m ⇔ (m + 2)x = 2 – m (3)

    m ≠ – 2: PT (*) có nghiệm x = (2 – m)/(2 + m)

    m = -2: PT (*) trở thành: 0x = 4 (vô nghiệm)

    – Ta thấy: m = 2 ⇒ x 2 = 0; m = -2 ⇒ x 1 = 0;

    m = 2: (1) có nghiệm x = 0

    m = -2: (1) có nghiệm x = 0

    ♥ Nhận xét: Đối vối giải PT không có tham số và bậc nhất, ta vận dụng tính chất 3 hoặc 5; Đối với PT có tham số ta nên vận dụng tính chất 1, 2 hoặc 4.

    – Ngoài PP cộng đại số hay PP thế có thể Dùng phương pháp CRAME (đặc biệt phù hợp cho giải biện luận hệ PT)

    ♦ Ví dụ 1 (bài 2 trang 68 SGK Đại số 10): Giải hệ PT

    – Bài này chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế, tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ vận dụng phương pháp định thức (CRAME).

    – Ta có:

    – Ta có:

    – Ta có:

    Với m = 1: từ (*) ta thấy hệ có vô số nghiệm.

    Với m = -4: từ (*) ta thấy Hệ vô nghiệm.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Trắc Nghiệm Sinh Học 10 Bài 5 (Có Đáp Án): Protêin
  • Soạn Văn 8 (Ngắn Gọn, Đầy Đủ Và Chi Tiết Nhất)
  • Trắc Nghiệm Rút Gọn Câu
  • Phân Tích Bài Thơ “nhớ Rừng” Của Thế Lữ
  • Soạn Bài Nhớ Rừng (Chi Tiết)
  • Các Dạng Bài Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Hệ Phương Trình

    --- Bài mới hơn ---

  • 1 + 4 = 5, 2 + 5 = 12, 3 + 6 = 21, 8 + 11 = ?
  • Giải 2 Bài Toán Vui & Hay
  • Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 4 Tập 2 Trang 18 Câu 1, 2, 3, 4, 5
  • Giải Bài 4 Trang 56 Sách Cùng Em Học Toán Lop 3 Tập 2
  • Giải Bài 1, 2, 3, 4 Trang 24 Sgk Toán 4
  • Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình là dạng toán chắc chắn trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

    Các bước giải bài toán bằng cách lập PT hoặc hệ PT:

    – Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn.

    – Biểu diễn mối quan hệ của ẩn và các đại lượng đã biết.

    – Lập phương trình hoặc hệ phương trình rồi giải, cuối cùng đối chiếu điều kiện và kết luận.

    Dạng 1: Toán chuyển động

    . Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B.

    Bài 2: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h. Khi đi từ B về A người ấy đi đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h nên thời gian ít hơn thời gian khi đI là 20 phút. Tính quãng đường AB?

    Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nước) và vận tốc dòng nước là 3 km/h.

    Dạng 2: Toán thêm bớt một lượng

    Bài 5. Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 học sinh. nếu chuyển 5 học sinh từ lớp 9A sang lớp 9B thì số học sinh ở hai lớp bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp.

    Bài 6: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi lấy ra ở thùng thứ nhát một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?

    Dạng 3: Toán phần trăm

    Bài 7. Hai trường A, B có 250 học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 học sinh đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10.

    Dạng 4: Toán làm chung làm riêng

    Bài 8. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể.

    Bài 9. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. Nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu.

    Dạng 5: Toán nồng độ dung dịch

    Biết rằng m lít chất tan trong M lít dung dịch thì nồng độ phần trăm là

    Bài 10: Khi thêm 200g Axít vào dung dịch Axít thì dung dịch mới có nồng độ A xít là 50%. Lại thêm 300 gam nước vào dung dịch mới, ta được dung dịch A xít có nồng độ là 40%. Tính nồng độ A xít trong dung dịch đầu tiên.

    Hướng dẫn:

    Khối lượng nước trong dung dịch đầu tiên là gam, khối lượng A xít trong dung dịch đầu tiên là gam Sau khi thêm, 200 gam A xít vào dung dịch A xít ta có lượng A xít là: gam và nồng độ là 50% Do đó ta có:

    (2)

    Giải hệ (1) và (2) ta được . Vậy nồng độ A xít là:

    Dạng 6: Toán nhiệt lượng

    Biết rằng:

    + Kg nước giảm thì toả ra một nhiệt lượng (Kcal).

    + Kg nước tăng thì thu vào một nhiệt lượng (Kcal).

    Bài 11: Phải dùng bao nhiêu lít nước sôi và bao nhiêu lít nước lạnh để có hỗn hợp 100 lít nước ở nhiệt độ .

    Hướng dẫn:

    Gọi khối lượng nước sôi là Kg thì khối lượng nước lạnh là: (kg)

    Nhiệt lương nước sôi toả ra khi hạ xuống đến là: (Kcal)

    Nhiệt lượng nước lạnh tăng từ -đến là: (Kcal)

    Vì nhiệt lượng thu vào bằng nhiệt lượng toả ra nên ta có :

    Giải ra ta có: .

    Vậy khối lượng nước sôi là 25 Kg; nước lạnh là 75 Kg tương đương với 25 lít và 75 lít.

    Dạng 7: Các dạng toán khác

    Bài 12. Một thửa ruộng có chu vi 200m. Nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm đi 75 . Tính diện tích thửa ruộng đó.

    Bài 13. Một phòng họp có 360 ghế được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau. Nhưng do số người đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Toán 8 Bài 4. Diện Tích Hình Thang
  • Giáo Án Diện Tích Hình Thoi Lớp 4 Giao An Dien Tich Hinh Thoi Doc
  • Cách Tính Diện Tích Hình Thoi Lớp 4, Bài Tập Và Có Ví Dụ Minh Họa
  • Bài Tập Toán Lớp 4: Hình Thoi
  • Giải Bài Tập Trang 19 Sgk Toán 4: Dãy Số Tự Nhiên
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100