Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Nhân Liên Hợp

--- Bài mới hơn ---

  • Bài 3 : Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B
  • Phương Trình Hàm Trên N
  • Lịch Sử Hình Thành Serie A Giải Đấu Số 1 Nước Ý
  • Giải Vô Địch Yoga Quốc Gia Lần Iii Năm 2022 Sẽ Diễn Ra Tại Đồng Nai
  • Serie A 2022/2022 Trực Tiếp Tỉ Số, Kết Quả, Bóng Đá Ý
  • Nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình chứa căn là một trong những phương pháp hiệu quả để giải phương trình, khi mà chúng ta nhận thấy ngay được một nghiệm đẹp của phương trình, bất phương trình đã cho.

    Mời Quý Thầy cô và các em tham khảo 1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

    1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp

    Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp là khi một phương trình, bất phương trình chứa căn thức mà có nghiệm đẹp thì thường ta sẽ tìm cách phân tích thành nhân tử. Nhưng đối với một đa thức thì việc phân tích đa thức thành nhân tử sẽ dễ dàng hơn so với các biểu thức chứa căn, do đó chúng ta sẽ tìm cách khử căn thức bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp.

    Nhắc lại, biểu thức liên hợp của $sqrt{A}pmsqrt{B}$ là $sqrt{A}mpsqrt{B}$, tức là biến đổi:

    $$ sqrt{A}pm sqrt{B}=frac{A-B}{sqrt{A}pmsqrt{B}} $$ Biểu thức liên hợp của $sqrt{B}$ là $(sqrt{A}sqrt{B})^2$ $$ sqrt{B}=frac{Apm B}{(sqrt{A}sqrt{B})^2} $$

    • Bước 1. Nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính để tìm nghiệm của phương trình, giả sử nghiệm của pt là $x_0$.
    • Bước 2. Phân tích (tách hoặc thêm bớt các hạng tử thích hợp), sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp sao cho sau khi nhân chia liên hợp ta được có biểu thức có chứa nhân tử $x – x_0$.

    2. Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp

    Ví dụ 1. Giải phương trình $$ x^3 + 11 = 3sqrt {x + 3} $$ Hướng dẫn. Chúng ta đoán (hoặc dùng lệnh SOLVE của máy tính CASIO) và nhận thấy phương trình có nghiệm $ x=2 $. Tức là, chắc chắn phương trình sẽ có nhân tử là $(x-2)$, nhưng chúng ta khó phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử, nên sẽ tìm cách chuyển về đa thức rồi phân tích. Cụ thể, chúng ta tách $11=8+3$ rồi biến đổi như saubegin{align*}

    & x^3+8-3sqrt{x+3}+3=0 \

    Leftrightarrow &(x+2)(x^2+2x+4)-frac{3(x+2)}{sqrt{x+3}+1}=0\

    Leftrightarrow &(x+2)left(x^2+2x+4-frac{3}{sqrt{x+3}+1}right)=0\

    Leftrightarrow &left{{{x}^{2}}-1}+x=sqrt{{{x}^{3}}-2}$$ Hướng dẫn. Điều kiện $xge sqrt{{{x^2} – 1}} – 2 + x – 3 = sqrt {{x^3} – 2} – 5 \

    Leftrightarrow;& left( {x – 3} right)left{{{x^2} – 1}} + 4}}} right] = frac{{left( {x – 3} right)left( {{x^2} + 3x + 9} right)}}{{sqrt {{x^3} – 2} + 5}} \

    Leftrightarrow;& x = 3

    end{align*} Ta có {{{x^2} – 1}} + 4}}}&{ = 1 + dfrac{{x + 3}}{{{{left( {sqrt=0

    Ví dụ 5. Giải phương trình $$ sqrt{x^2+15}=3x-2 +sqrt{x^2+8} $$ Hướng dẫn. Nhẩm được nghiệm $ x=1 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau begin{align}

    &sqrt{x^2+15}-4=3x-3+sqrt{x^2+8}-3 notag\

    Leftrightarrow &frac{x^2+15-16}{sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+frac{x^2+8-9}{sqrt{x^2+8}+3}notag\

    Leftrightarrow &frac{x^2-1}{sqrt{x^2+15}+4}=3(x-1)+frac{x^2-1}{sqrt{x^2+8}+3} ,,,(*)

    end{align} Xét hai trường hợp:

    • $ x=1 $ thỏa mãn phương trình nên là nghiệm.
    • begin{align*} &3x-2=sqrt{x^2+15}-sqrt{x^2+8}\

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=1. $

    Ví dụ 6. Giải phương trình Sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp, được:

    begin{align*}

    &frac{3(x-5)}{sqrt{3x+1}+4}-frac{5-x}{sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\

    Leftrightarrow;& (x-5)left(frac{3}{sqrt{3x+1}+4}+frac{1}{sqrt{6-x}+1}+3x+1right)=0

    Đôi khi, sau khi nhân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm khá khó khăn, ta hãy xem ví dụ sau.

    Ví dụ 7. Giải phương trình Sau đó, nhân liên hợp được: begin{align*}

    &(x+3)cdotfrac{x-5}{sqrt{x+4}+3}+(x+9)cdotfrac{x-5}{sqrt{x+11}+4}=(x-5)(x+7)\

    Leftrightarrow;& (x-5)left(frac{x+3}{sqrt{x+4}+3}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-x-7right)=0

    end{align*} Ta sẽ chứng minh phương trình sau vô nghiệm: $$frac{x+3}{sqrt{x+4}+3}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-x-7=0,,(*)

    $$ Vì điều kiện là $ xge -4 $ và chú ý rằng các phân thức $ frac{1}{sqrt{x+4}+3} $ và $ frac{1}{sqrt{x+11}+4} $ đều có giá trị nhỏ hơn $ frac{1}{2}, $ nên ta tách như sau:

    begin{align*}

    VT(*)&= frac{x+4}{sqrt{x+4}+3}-frac{x+4}{2}+frac{x+9}{sqrt{x+11}+4}-frac{x+9}{2}-frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{x+4}+3}\

    &=(x+4)left(frac{1}{sqrt{x+4}+3}-frac{1}{2}right)+(x+9)left(frac{1}{sqrt{x+11}+4}-frac{1}{2}right)-frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{x+4}+3}\

    &<0

    end{align*} Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=5. $

    Ví dụ 9. Giải phương trình $$ sqrt{x^2+5}+sqrt{x^2+12}-sqrt{x^2-3}=18-6x $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=2 $ và sử dụng phương pháp nhân chia với lượng liên hiệp.

    &bigg( (x+2)-(x-1) bigg)left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)=3left( sqrt{x+2}-sqrt{x-1} right)\

    Leftrightarrow;& sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=sqrt{x+2}-sqrt{x-1}\

    Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l}

    sqrt{{{x}^{2}}+x-2}ge 1 \

    {{left( sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 right)}^{2}}={{left( sqrt{x+2}-sqrt{x-1} right)}^{2}} \

    end{array} right.\

    Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l}

    {{x}^{2}}+x-3ge 0\

    {{x}^{2}}+x-1-2sqrt{{{x}^{2}}+x-2}=x+2+x-1-2sqrt{x+2}.sqrt{x-1} \

    end{array} right.\

    Leftrightarrow;& left{ begin{array}{l}

    {{x}^{2}}+x-3ge 0 \

    {{x}^{2}}-x-2=0 \

    end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}

    {{x}^{2}}+x-3ge 0 \

    x=-1vee x=2 \

    end{array} right.Leftrightarrow x=-1vee x=2.

    end{align*} Vậy nghiệm của phương trình là $ x=-1,x=2. $

    Ví dụ 11. Giải bất phương trình $$ left( sqrt{x+3}-sqrt{x-1} right)left( 1+sqrt{{{x}^{2}}+2text{x}-3} right)ge 4 $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ xge 1, $ nhân liên hợp cho vế trái thì bất phương trình đã cho tương đương với begin{align*}

    & 4left( 1+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3} right)ge 4left( sqrt{x+3}+sqrt{x-1} right)\

    Leftrightarrow & 1+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}ge sqrt{x+3}+sqrt{x-1}\

    Leftrightarrow & {{x}^{2}}+2x-2+2sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}ge 2x+2+2sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\

    Leftrightarrow & {{x}^{2}}-4ge 0\

    Leftrightarrow & left Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình có nghiệm $ x=0 $ và $ x = frac{8}{7}. $

    3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình

    Đối với các bải tập sau, ta có thể sử dụng phương pháp nhân chia với biểu thức liên hợp để giải quyết.

    Bài 1. Giải phương trình $ sqrt{2x-3}-sqrt{x}=2x-6 $

    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 2. Giải phương trình $ sqrt{4x^2 +5x+1}-2sqrt{x^2 -x+1}=9x-3 $

    Đáp số. $ x=frac{1}{3}. $

    Bài 3. Giải phương trình $ sqrt{10x+1}+sqrt{3x-5}=sqrt{9x+4}+sqrt{2x-2} $

    Hướng dẫn. Nhóm thành $ left(sqrt{10x+1}-sqrt{9x+4}right)+left(sqrt{3x-5}-sqrt{2x-2}right)=0, $ rồi nhân liên hợp…

    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 4. Giải phương trình $ sqrt{x-2}+sqrt{4-x}=2x^2-5x-1 $

    Hướng dẫn. Tách thành $ left(sqrt{x-2}-1right) +left(sqrt{4-x}-1right)-left(2x^2-5x-3right)=0. $ Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $ x-3, $ xét hàm cho nhân tử còn lại…

    Đáp số. $ x=3 $

    Bài 5. Giải phương trình $2sqrt{left( 2-x right)left( 5-x right)}=x+sqrt{left( 2-x right)left( 10-x right)}$

    Đáp số. $ x=1,x=frac{15+5sqrt{5} }{2} $

    Bài 6. Giải phương trình $sqrt{{{x}^{2}}-1}+sqrt{3{{x}^{3}}-2}=3x-2$

    Bài 8. {4x-4}=0$

    Bài 9. Giải phương trình $sqrt{2{{x}^{2}}+16x+18}+sqrt{{{x}^{2}}-1}=2x+4$

    Bài 10. Giải phương trình ${{x}^{2}}+3x+1=left( x+3 right)sqrt{{{x}^{2}}+1}$

    Bài 11. Giải phương trình $1+sqrt{x}=4x^{2}+sqrt{3x-1}$

    Đáp số. $x=frac{1}{2}$

    Bài 12. Giải phương trình $ sqrt{x}=1-sqrt{2x+1} $

    Đáp số. $ x=1 $

    Bài 13. Giải phương trình $ 2sqrt {{x^2} + 5} = 2sqrt {x – 1} + {x^2} $

    Hướng dẫn. Biến đổi thành $$2sqrt{{{x}^{2}}+5}-6=2sqrt{x-1}-2+{{x}^{2}}-4Leftrightarrow 2frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=2frac{x-2}{sqrt{x-1}+1}+(x-2)(x+2)$$ Tìm được $ x=2 $ hoặc $$ frac{2(x+2)}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}=frac{2}{sqrt{x-1}+1}+x+2Leftrightarrow frac{2}{{sqrt {x – 1} + 1}} + left( {x + 2} right)left( {1 – frac{2}{{sqrt {{x^2} + 5} + 3}}} right) = 0 $$ Phương trình cuối này vô nghiệm.

    Bài 14. Giải phương trình $ sqrt{x^2+12}+5=3x+sqrt{x^2+5} $

    Hướng dẫn. Để phương trình có nghiệm thì: $sqrt{{{x}^{2}}+12}-sqrt{{{x}^{2}}+5}=3x-5ge 0Leftrightarrow xge frac{5}{3}$. Biến đổi phương trình thành begin{align*}

    & sqrt{{{x}^{2}}+12}-4=3x-6+sqrt{{{x}^{2}}+5}-3Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}=3left( x-2 right)+frac{{{x}^{2}}-4}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3} \

    & Leftrightarrow left( x-2 right)left( frac{x+2}{sqrt{{{x}^{2}}+12}+4}-frac{x+1}{sqrt{{{x}^{2}}+5}+3}-3 right)=0Leftrightarrow x=2

    Đáp số. $ x=2 $

    Bài 15. Giải bất phương trình $frac{1-sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3$

    Đáp số. $ left[ -frac{1}{2};frac{1}{2} right]backslash left{ 0 right}$

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ Toán 9
  • Giải Các Hệ Phương Trình Tuyến Tính
  • Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Hướng Dẫn Xoay Rubik 3X3X3 Theo Cách Đơn Giản Nhất
  • Cách Giải Rubik 3×3 Nâng Cao Theo Petrus Method
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
  • Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)
  • Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Một Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Và Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Cập nhật lúc: 15:22 26-09-2018 Mục tin: LỚP 9

    Tài liệu giới thiệu về hai phương pháp chính dùng để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Đó là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Quy tắc thế

    Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:

    Bước 1. Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

    Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

    2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

    + Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

    + Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Quy tắc cộng đại số

    Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:

    Bước 1: Coognj hay trừ tằng về hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

    Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

    2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

    + Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

    + Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mưới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng (0) (tức là phương trình một ẩn).

    + Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Trùng Phương, Phương Trình Tích
  • Đề Tài Giải Phương Trình Có Chứa Dấu Căn Bậc Hai
  • Oxi Hóa Ancol Là Gì? Phương Trình Oxi Hóa Ancol Và Các Dạng Bài Tập
  • Bài Tập Cân Bằng Phương Trình Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Biến Đổi Tương Đương

    --- Bài mới hơn ---

  • 4 Dạng Toán Phương Trình Thường Gặp Trong Đề Thi Hkii Toán 8
  • Rèn Kỹ Năng Giải Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8 Skkn 2014 Toan Khoa Doc
  • Cách Giải Một Số Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc 2
  • Cách Nhẩm Nghiệm Phương Trình Bậc Hai
  • Giáo Án Môn Đại Số Lớp 9 Năm 2009
  • Chuyên đề môn Toán lớp 10

    Chuyên đề Toán học lớp 10: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

    Chuyên đề: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương

    I/ Lý thuyết & Phương pháp giải

    – Phương trình tương đương: Hai phương trình f 1(x) = g 1(x) và f 2(x) = g 2(x) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

    – Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.

    – Phương trình hệ quả: f 2(x) = g 2(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f 1(x) = g 1(x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f 1(x) = g 1(x)

    – Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng:

    + Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.

    + Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

    + Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

    Bình phương hai vế của phương trình (hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

    II. Ví dụ minh họa

    Bài 1: Giải phương trình

    Hướng dẫn:

    Điều kiện:

    Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình

    Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;2}

    Bài 2: Giải phương trình

    Hướng dẫn:

    Điều kiện:

    Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*)

    Nếu x ≠3. thì (*)

    Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = 5/3

    Thay x = 3 và x = 5/3 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S = {3}

    Hướng dẫn:

    a. Điều kiện: x ≥ -1.

    Ta có x = -1 là một nghiệm.

    x 2 – x – 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.

    Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1, x = 2.

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm S = {-1; 2}

    Với điều kiện để phương trình tương đương với phương trình

    Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

    Vậy phương trình vô nghiệm

    Hướng dẫn:

    a. Điều kiện: x ≠1.

    Với điều kiện trên phương trình tương đương x 2 – x + 1 = 2x – 1 ⇔ x = 1 hoặc x = 2

    Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

    b. ĐKXĐ :

    Với điều kiện trên phương trình tương đương với

    Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = -3

    Bài 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương

    x 2 + mx – 1 = 0 (1) và (m-1)x 2 + 2(m-2)x + m – 3 = 0 (2)

    Hướng dẫn:

    Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

    Ta có (m-1)x 2 + 2(m-2)x + m – 3 = 0

    Do hai phương trình tương đương nên x = -1 cũng là nghiệm của phương trình (1)

    Thay x = -1 vào phương trình (1) ta được m = 0

    Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.

    Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bảng Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ,chi Tiết,dễ Hiểu
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
  • Giáo Án Đại Số Lớp 8 Tiết 42 Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Phương Pháp Giải Một Số Dạng Phương Trình Môn Toán Ở Cấp Thcs
  • Chủ Đề 11: Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Tổng Hợp Bài Tập Pascal Có Giải, Từ Dễ Đến Khó
  • Giải Bài Tập Trang 62, 63 Sgk Đại Số 10: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 7: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :

    Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (0 ; -1).

    Với giá trị nào của m, n thì đồ thị hàm số y = 2mx – n + 1 đi qua hai điểm M(-l ; 3) và N(2 ; -1) ?

    Đồ thị hàm số y = 2mx – n + 1 đi qua hai điểm M(-1 ; 3) và N(2 ; -1) khi và chỉ khi

    B. Bài tập cơ bản

    Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :

    Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số :

    Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M( -1; -1/2) và N(1; -3).

    Trong các câu 4.4; 4.5; 4.6 hãy khoanh tròn vào chữ cái trước phương án đúng

    (A) 6 (B) 3 (C) -3 (D) -6

    Với giá trị nào của m, n thì đồ thị hàm số y = mx – n đi qua hai điểm P(0 ; 1) và Q(2 ; -3) ?

    (A) m = -2 ; n = 1 (B) m = -1 ; n = -1

    (C) m = 2 ; n = -1 (D) m = -2 ; n = -1.

    C. Bài tập bổ sung

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

    P = 5(2 – 2xy + ) + 2(y – 3x + 2).

    Cho phương trình + a + bx + 1 = 0 (với x là ẩn số).

    a) Tìm các số hữu tỉ a, b thoả mãn x = – 2 là nghiệm của phương trình.

    b) Với các giá trị a, b đã tìm được ở câu a), hãy tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

    Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 4: Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Bài Tập Sgk Bài 4: Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 3: Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Phương Trình Pell Và Một Số Áp Dụng
  • Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • I, Tư tưởng đặt ẩn phụ

    – Xác định phương trình cơ bản:

    Ví dụ: phương trình t2 – 3t + 2

    Họ và tên : Đặng Việt Anh Lớp : 10A3 Trường : THPT Ân Thi Nhóm :. . . . . . Gồm hs:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I, Tư tưởng đặt ẩn phụ Xác định phương trình cơ bản: Ví dụ: phương trình t2 - 3t + 2 + chọn t = à phương trình có dạng + chọn t = à phương trình có dạng II, Các phương pháp đặt ẩn phụ 1, Đặt 1 ẩn phụ Một số kiểu đặt thường gặp + à Ta nên đặt t = ( + à Ta nên đặt + à Ta nên đặt 2, Chia làm xuất hiện ẩn phụ Chia 2 vế phương trình cho hoặc x, x2 đại lượng thích hợp. Trước khi chia cho 1 lượng nào đó ta phải kiểm tra lượng đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không III, Bài tập hướng dẫn Bài tập 1: Giải phương trình Bài giải: B1: Đặt () B2: Biến đổi căn thức bằng cách bình phương (1) Ta nhận thấy B3: Thay vào phương trình Giải pt ta được nghiệm không thỏa mãn điều kiện ) B4: Thay t =1 vào (1) ta sẽ được nghiệm x. t=1 à à phương trình có 2 nghiệm x=0 (TM) và x=-2 (TM). KL: x=0 và x=-2 là nghiệm của pt Bài tập 2: Giải phương trình . Bài giải: Tương tự như các bước trên: Đk: Đặt (2) Thay vào pt: Giải pt có 2 nghiệm ( loại không thỏa mãn điều kiện) Thay t=5 vào (2) Giải pt suy ra x=143 (KTM) x=3(TM) KL: x=3 là nghiệm của pt Bài tập 3: Giải phương trình . Bài giải: ĐK: Rút gọn pt: Đặt +1 (3) Thay vào phương trình: (loại ktm đk) Thay t=2 vào (3) Giải pt suy ra cả 2 đều TM KL: Ví dụ 4: giải pt Bài giải: Bình phương khử căn: Chia cả 2 vế cho ta đc: Đặt loại t=0 vì k tm đk Thay t=5 vào pt Thay x=1 và x=4 vào pt ta thấy x=4 là nghiệm thỏa mãn còn x=1 không thỏa mãn

    Tài liệu đính kèm:

      giai_pt_vo_ti_bang_phuong_phap_dat_an_phu.doc

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chương Iii. §3. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế

    --- Bài mới hơn ---

  • Học Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Cực Hay, Có Đáp Án
  • Chuyên Đề Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Và Bài Tập Vận Dụng
  • Chương III. §3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

    Mục tiêu

    – HS hiểu được cách biến đổi hệ phương trình bằng phương pháp thế

    – HS nắm vững cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế .

    – HS biết xử lí các trường hợp đặc biệt (hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm )

    II. Chuẩn bị

    Giáo viên: SGK , máy chiếu .

    2. Học sinh : SGK, bảng nhóm , bút dạ ….

    HS1. Kiểm tra (x;y) = (2; – 1) có là nghiệm của hệ phương trình sau không?

    HS2:Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau và minh hoạ bằng đồ thị.

    Kiểm tra bài cũ:

    Tiết 33:

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

    BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    Ví dụ: Xét hệ phương trình

    B1:Từ PT(1) biểu diễn x theo y

    B2: Ta có hệ PT(II) tương đương hệ PT(I).

    Giải hệ PT(II).Khi đó nghiệm của hệ PT(II) chính là nghiệm của hệ PT(I)

    Từ PT (2′) ta có : y = – 5

    Vậy hệ PT(I) đã cho có nghiệm là (- 13;-5)

    Thế x từ PT (1′) vào PT (2).

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    Thay y = – 5 Vào PT(1′)

    ta có : x = – 13

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG

    PHƯƠNG PHÁP THẾ

    1. Quy tắc thế

    Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương thông qua hai bước :

    Bước 1: Từ một phương trình của HPT ban đầu ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ta được phương trình (*) .

    Bước 2: Thay phương trình (*) vào phương trình còn lại ta được phương trình (**) . Thay các phương trình của HPT (I) bởi các phương trình (*) và (**) ta được HPT mới tương đương HPT ban đầu.

    2.Vận dụng

    Ví dụ 2

    Giải hệ phương trình

    Giải

    Vậy hệ (II) có nghiệm duy nhất là (2 ; 1)

    Trong hệ phương trình nếu ẩn nào của phương trình có hệ số bằng 1 hoặc -1 ta nên biểu diễn ẩn đó theo ẩn còn lại

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ )

    Giải

    Vậy hệ phương trình (II) có nghiệm duy nhất là (7 ;5 )

    ?1

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    Ta có

    Đặc điểm PT một ẩn

    Số ngiệm của hệ

    HPT đã cho có một nghiệm duy nhất

    HPT đã cho vô nghiệm

    HPT đã cho có vô số nghiệm

    Đặc điểm

    Ví dụ

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    3y = 3

    1 nghiệm duy nhất

    0y = 9

    Vô nghiệm

    0x = 0

    vô số nghiệm

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    1. Quy tắc thế

    2. Áp dụng

    Chú ý :

    * Số nghiệm của phương trình một ẩn trong hệ phương trình mới chính là số nghiệm của hệ đã cho.

    Ví dụ 3

    Giải hệ phương trình

    Giải

    ?2

    Minh hoạ hình học

    Vậy HPT(III) vô số nghiệm

    Do d1 trùng với d2 nên hệ có vô số nghiệm

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    d1

    d2

    ?3

    Cho hệ phương trình

    Bằng minh hoạ hình học và bằng phương pháp thế ,chứng tỏ rằng hệ (IV) vô nghiệm.

    Nhóm 1

    Minh hoạ hình học

    Nhóm 2

    Giải phương trình bằng phương pháp thế

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    1)Dùng quy tắc thế biến đổi hệ đã cho thành hệ mới ,trong đó có một phương trình một ẩn.

    2)Giải phương trình một ẩn vừa có ,rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

    *Tóm tắc cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế :

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

    Học thuộc quy tắc thế , xem lại cách giải

    hệ phương trình bằng phương pháp thế .

    – Bài tập : 12 đến 15 SGK trang15

    CẢM ƠN CÁC THẦY CÔ GIÁO CÙNG CÁC EM

    ĐÃ NHIỆT TÌNH THAM GIA TIẾT HỌC

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Chóng
  • Giải Hệ Pt Bằng Pp Thế Vnxike2 Ppt
  • Chương Iv. §3. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giáo Án Đại Số Lớp 9 Tiết 50: Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giải Phương Trình Mũ Và Logarit Bằng Phương Pháp Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Tổng Hợp Kiến Thức Về Logarit Và Cách Giải Toán Logarit
  • Để Giải Các Phương Trình Mũ Ta Thường Sử Dụng Các Phương Pháp Sau Đây:
  • 30 Câu Trắc Nghiệm: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Đáp Án (Phần 1)
  • Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Pp Giải Pt Lượng Giác_Có Lời Giải Pp Giai Phuong Trinh Luong Giac Co Loi Giai Doc
  • hàm f(x) tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).

    * Tính chất 2: Nếu hàm f(x) tăng trong khoảng (a;b) và hàm g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b), (do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b): f(x 0) = g(x 0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)).

    Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến).

    – Với x < x 0 ⇔ f(x) < f(x 0) ⇔ f(x) < k, nên phương trình vô nghiệm.

    Kết luận: x = x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

    ° Bài tập vận dụng giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp hàm số

    – Với bài tập này thì vế trái làm hàm mũ hoặc logarit, vế phải là hàm hằng.

    – Ta có: VT = 2 x + 5 x , là hàm đồng biến

    VP = 7, là một hàm hằng.

    → Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

    – Mặt khác, ta thấy: với x = 1 thì:

    ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

    – Điều kiện: x ≥ -3.

    – Ta có: VT = log 3(x+3) + log 5(x+5) là một hàm đồng biến

    VP = 2 là hàm hằng

    → Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

    – Mặt khác, ta thấy: với x = 0 (thỏa điều kiện x ≥ -3) thì:

    ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

    – Với bài tập này thì vế trái làm hàm mũ hoặc logarit, vế phải là hàm số bậc 1.

    – Ta có: VT = 5 x , là hàm đồng biến

    VP = 6 – x, là một hàm nghịch biến.

    → Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

    – Mặt khác, ta thấy: với x = 1 thì:

    VT = 5 1 = 5; VP = 6 – 1 = 5 ⇒ VT = VP

    ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

    – Ta có: VT = log 6 x , là hàm đồng biến

    VP = 7 – x, là một hàm nghịch biến.

    → Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

    – Mặt khác, ta thấy: với x = 6 thì:

    VT = log 6 6 = 1; VP = 7 – 6 = 1 ⇒ VT = VP

    ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 6.

    – Ta có: VT = log 2x + log 5(2x+1) , là hàm đồng biến.

    VP = 2 là hàm hằng.

    → Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

    – Mặt khác, ta thấy: với x = 2 thì:

    VT = log 22 + log 5(2.2+1) = 1 + 1 = 2 = VP.

    ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

    * Cũng có thể lập luận như sau:

    – Nhận thấy x = 2 là nghiệm.

    ⇒ Phương trình vô nghiệm.

    + Nếu 0<x<2 thì:

    ⇒ Phương trình vô nghiệm.

    → Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

    – Ta thấy:

    VT = (1/3) x-1 : của phương trình là một hàm nghịch biến.

    VP = log 2 x + 1: của phương trình là một hàm đồng biến.

    → Vì vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

    – Mặt khác, ta nhẩm thấy x = 1 là nghiệm của phương trình vì:

    ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

    – Điều kiện: x≠0

    – Nhận thấy:

    – Do đó phương trình (*) tương đương với phương trình:

    – Đối chiếu điều kiện x = 0 (loại), x = 2 (nhận).

    ⇒ Phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 2.

    Xem lời giải

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Logarit Bằng Cách Đưa Về Cùng Cơ Số
  • Phương Trình Logarit, Bất Phương Trình Logarit Và Bài Tập Áp Dụng
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Tham Số M
  • Các Dạng Bài Tập Toán Về Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn Và Phương Pháp Giải
  • Các Dạng Toán Phương Trình Lượng Giác, Phương Pháp Giải Và Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
  • Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Bằng Phương Pháp Thế

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Phương Trình Và Hệ Phương Trình
  • Cách Giải Bài Tập Về Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng Hay, Chi Tiết
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 31: Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng
  • Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng
  • 1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH KHễNG MẪU MỰC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Giỏo viờn: Nguyễn Duy Hoàng. Đơn vị: Trường THCS Tam Dương, Tam Dương. Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh giỏi lớp 9. Phương phỏp thế là một trong những phương phỏp cú ứng dụng nhiều trong việc tớnh giỏ trị biểu thức, chứng minh, giải phương trỡnh, hệ phương trỡnh, Đặc biệt đối với giải hệ phương trỡnh khụng mẫu mực thỡ phương phỏp thế là phương phỏp được sử dụng linh hoạt, cú hiệu quả. Tuy nhiờn khi sử dụng phương phỏp thế cần lưu ý rằng phương trỡnh thu được phải cỏc phương trỡnh giải được. Phương phỏp thế gồm: Phộp thế đơn; Phộp thế nhúm; Phộp thế hằng số. 1. Phộp thế đơn: a) Cơ sở phương phỏp. Ta rỳt một ẩn từ một phương trỡnh trong hệ và thế vào phương trỡnh cũn lại. b) Nhận dạng. Phương phỏp này thường hay sử dụng khi trong hệ cú một phương trỡnh là bậc nhất đối với một ẩn nào đú. * Nếu một phương trỡnh trong hệ cú bậc nhất đối với tất cả cỏc ẩn thỡ rỳt tựy ý một ẩn để thay vào phương trỡnh cũn lại. Bài 1. Giải hệ phương trỡnh 2 2 2 3 5 (1) 3 2 4 (2) x y x y y       Lời giải. Từ (1) ta cú 5 3 2 y x   thế vào (2) ta được 2 25 33 2 4 0 2 y y y          2 2 2 593(25 30 9 ) 4 8 16 23 82 59 0 1, 23 y y y y y y y y             Vậy tập nghiệm của hệ phương trỡnh là   31 591;1 ; ; 23 23         2 * Nếu một phương trỡnh trong hệ cú bậc nhất đối với một ẩn thỡ rỳt ẩn đú để thay vào phương trỡnh cũn lại. Trong trường hợp này phức tạp hơn bởi biểu thức thay vào khụng phải bậc nhất. Bài 2. Giải hệ phương trỡnh 3 2 2 3 (6 ) 2 0 (1) 3 (2)           x y x xy x x y Lời giải. Phương trỡnh (2) là bậc nhất với y nờn từ (2) suy ra 23y x x    thay vào phương trỡnh (1) ta được 3 2 2 23 (6 3) 2 ( 3) 0         x x x x x x x 4 3 2 3 2 2 4 7 6 0 ( 4 7 6) 0 ( 2)( 2 3) 0 (*)                x x x x x x x x x x x x Vỡ 2 22 3 ( 1) 2 0     x x x mọi x nờn phương trỡnh (*) cú nghiệm  0; 2 x Từ đú tỡm được nghiệm của hệ phương trỡnh là (0; 3); ( 2;9)  Bài 3. Giải hệ phương trỡnh 4 3 2 2 2 2 2 9 (1) 2 6 6 (2) x x y x y x x xy x          Phõn tớch. Phương trỡnh (2) là bậc nhất đối với y nờn ta dựng phộp thế. Lời giải. TH 1: Với x = 0 khụng thỏa món (2) TH 2: Với 26 6 0, (2) 2 x x x y x      , thế vào (1) ta được 22 2 4 3 26 6 6 62 2 9 2 2 x x x x x x x x x x                   2 2 4 2 2 3 0(6 6 )(6 6 ) 2 9 ( 4) 0 44 xx x x x x x x x x x                 Do 0x  nờn hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 17 4; 4      Bài 4. Giải hệ phương trỡnh        2 2 2 x y xy 3 (1) xy 3x 4 (2) . 3 Lời giải. Từ (2)  x  0, 24 3x y x   , thay vào (1) ta có: 22 2 2 4 3x 4 3xx x. 3 x x           4 27x 23x 16 0   . Giải ra ta được 2 2 16 x 1 hoặc x = 7  Từ 2x 1 x 1 y 1       ; Từ 2 16 4 7 5 7 x x y 7 7 7        Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1);        4 7 5 7 ; 7 7 ;        4 7 5 7 ; 7 7 Bài tập vận dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 1) 1 1 (1 ) 2 x y x y xy         2) 2 2 1 0 0 x y x y x        3) 2 4 ( 1) 4( 2) x y x y xy y        4) 2 2 2 5 7 x y x xy y       5) 2 2 2 4 3 2 5 4 0 x y x xy y x y          6) 2 9 4 9 x y x y       7) 2 12 x y xy x y       8) 2 24 3 1 1 x xy y x x y         9) 1 1 2 2 2 x y x y y          10) 10 3 3 58 6 xy x y x y        11) 2 2 2 1 0 2 3 2 2 0 x y x y x y          12) 3 2 2 3 (5 ) 2 2 0 4 x y x xy x x x y            13) 3 2 2 2 2 2 3 (6 ) 2 0 3 x y x xy x x y           4 2. Phộp thế nhúm: a) Cơ sở phương phỏp: Ta rỳt một biểu thức từ một phương trỡnh trong hệ và thế vào phương trỡnh cũn lại. b) Nhận dạng: Phộp thế nhúm được dựng khi hệ phương trỡnh cú một nhúm thế giống nhau. Bài 1. Giải hệ phương trỡnh 2 2 1 4 (1) 2 2( ) 2 7 2 (2)            x y xy y y x y x y . Lời giải. Từ (1) 2 21 4x y y xy    . Thế vào (2) ta cú 2 2( ) 2(4 ) 7   y x y y y xy y 2 2 0 2( 2( ( ) ) 15 0 ( ) ) 15 0                 y y x y x y x y x y Với y = 0 thỡ x2 + 1 = 0 (loại) Với 2 5 2( 3 ( ) ) 15 0             x y x y x y x y Nếu x + y = -5, thế vào (1) ta cú      5 5 5 9 46 022 21 4            x x x xx x x vụ nghiệm Nếu x + y = 3, thế vào (1) ta cú       1 3 3 3 2 0 2 22 21 4                x x x x x x x x x Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (1;2); ( 2;5) Bài 2. Giải hệ phương trỡnh 2 2 ( 1) 3 0 (1) 5 ( ) 1 0 (2)           x x y x y x . Lời giải. ĐK: 0x Từ (1) suy ra 3 1x y x    và thay vào phương trỡnh (2), ta cú 2 2 2 13 5 2 3 1 1 0 1 0 2                x xx x x x 5 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm 3 (1;1); (2; ) 2  Bài 3. Giải hệ phương trỡnh 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6          x x y x y x x xy x Lời giải. Hệ   22 22 2 2 2 2 6 6 2 9 2 9 2 6 6 6 6 2 2 x x x xy x x x x x xy x x x xy                       Khi đú 22 3 06 6 2 9 ( 4) 0 42                xx x x x x x Vỡ 0x  nờn hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 17 4; 4      Bài 4. Giải hệ phương trỡnh 2 2 2 2 3 3 (1) 3 0 (2)           x y x x y y x y x y Lời giải. ĐK: 2 2 0 x y Từ (2) ta cú 2 2( ) ( 3 ) 0   y x y y x Nếu y = 0 thỡ x = 0 (loại) Nếu 0y thỡ 2 2 3  y xx y y . Thế vào (1), ta cú ( 3 ) 3 3     y x y x y x 2 2 333 3 3( 3 ) 3. 3( 3 ) 1               y xy x x y y x y x yy Với y = 3x thỡ x = y = 0 (loại) Với y = -1 thỡ x = 0 hoặc x = 3 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (0; 1); (3; 1)  6 Bài tập vận dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 1) 2 4 0 x x y y x xy y          2) 2 2 6 2 6 0 x x y y x xy y          3) 2 2 1 2 x y xy x y       4) ( 1)(2 1) 6 ( 1)(3 2) 2 3 x y x y x y x y            5) 2 2 2 3 4 6 4 4 12 3 xy x y x y x y          6) 2 2 2 2 2 0 y x y x xy y x           7) 2 2 2 2 ( )( ) 4 (2 )( ) 2 x y x y x y x y         8) 2 ( 1)( 2 1) 12 2 ( 1)(3 1) 11 x y x y x y x y            9) 1 3 2 4 xy x y xy x y        10) (2 ) 5 (3 ) 4 x y xy x y xy x y xy x y xy          11) 2 2 2 2 4 2 2 2 x y xy x y x y xy x y           12) ( 2 ) 2 (2 ) 2 xy x y y x xy xy y x        13) 2 2 2 2 2 5 2 3 x y x y x y x y           14) 2 2 2 4 0 2 2 0 xy y x y xy y x y           15) 2 2 2 2 ( ) 4 ( 1) x y xy x y xy x y xy x          16) 2 2 2 2 4 1 2 3 1 xy x xy x xy x xy x             17) 2 2 6 4 4 xy x y x y x y xy         18) 2 2 ( 1) 3 ( ) y x y x y y xy x x        19) 1 (1 ) 2 2 0 x y xy xy x y           20) 2 2 2 2 2 3 9 2 2 5 1 x y x y x y x y           21) 2 2 2( ) 7 ( 2 ) 2 10 x y x y y y x x         22)             2 2 2 2 3x 4 6x 4 11 3 15 6x 15 33 y y x y y 3. Phộp thế hằng số: a) Cơ sở phương phỏp: Từ một phương trỡnh ta rỳt một số bằng một biểu thức để thay vào phương trỡnh cũn lại. b) Nhận dạng: Phộp thế hằng số nhằm mục đớch đưa phương trỡnh về phương trỡnh tớch hoặc phương trỡnh đẳng cấp. 7 Bài 1. Giải hệ phương trỡnh     3 3 3 2 1 5 5 1 1 2        x y x x y Lời giải. Thế số 1 từ (2) và (1) ta được:     3 3 2 2 2 25 0 5 0 5 0 (3)                  x y x y x y x y x xy y x xy y Phương trỡnh (3) 2 21 3 5 0 2 4 x y y          vụ nghiệm. Với 3 3 3 3 1 4 2 2 1 2 2 x y x y x y        . Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất   3 34 4 ; ; 2 2 x y        Bài 2. Giải hệ phương trỡnh 3 3 2 2 2 4 (1) 6 19 15 1 (2)         x y x y x xy y với x, y là số hữu tỉ. Lời giải. Thế số 1 từ (2) và (1) ta được 3 3 2 2 3 3 2 4 (6 19 15 )( 4 ) 2 (*)           x y x y x xy y x y x y Đưa (*) về phương trỡnh 3 2 2 35 5 61 62 0   x x y xy y là phương trỡnh đẳng cấp bậc 3 Xột y = 0 thỡ x = 0 (loại). Xột y khỏc 0, đặt xt y  với t là số hữu tỉ, ta được 3 25 5 61 62 0   t t t Giải phương trỡnh với t hữu tỉ, ta cú được t = 2. Kết quả (x,y) là (2; 1), (-2; -1) Bài 3. Giải hệ phương trỡnh 2 2 5 5 5 11( ) x y x y x y        Lời giải. Ta cú 5 5 2 2 3 3 2 2( )( ) ( )x y x y x y x y x y      Khi đú ta cú 3 3 2 2 2 2 2 25( ) ( ) 11( ) ( ) 5( ) 5 11 0             x y x y x y x y x y x y xy x y 8 Với x+ y = 0 ta được 10 10 10 10; ; ; 2 2 2 2                 Với 2 2 2 2 25( ) 5 11 0 5 14 0        x y xy x y t t với t = xy. Giải phương trỡnh được t = 2 hoặc t = -7 Nếu t = 2 thỡ  22 2 3 5 9 3             x y x y x y x y Nếu t = -7 thỡ  22 2 5 9     x y x y (loại) Kết quả (x, y) là (1; 2), (2;1), (-1; -2), (-2;-1) Bài tập vận dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 1) 3 3 9 ( ) 6 x y xy x y       2) 3 2 3 2 3 20 3 7 x x y y xy       3) 3 3 ( ) 6 18 27 x x y x y y       4) 2 2 8 8 10 10 1x y x y x y        5) 3 3 2 2 1      x y x y x y 6) 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y        7) 2 2 10 10 4 4 1 1 8 x y x y x y         8) 2 2 5 5 3 3 3 31 7 x y xy x y x y          9) 4 4 2 2 2 2 6 41 ( ) 10 x y x y xy x y        10) 2 2 4 4 2 2 5 6 20 81 x y x y x y xy         11) 3 3 5 5 2 ( ) 6 30 32 x y xy x y x y xy          12) 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y        TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Chuyờn đề Bồi dưỡng HSG toỏn THCS. 2. Nõng cao và phỏt triển toỏn 9. 3. Bỏo Toỏn học tuổi thơ, Toỏn học tuổi trẻ. 4. Cỏc nguồn trờn mạng Internet.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực
  • Rèn Kĩ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8
  • Giải Bài Toán Bằng Phương Trình Ion
  • Su Dung Phuong Trinh Ion Thu Gon
  • Phuong Trinh Ion Rut Gon
  • Phương Pháp Giải Bài Tập Phương Trình Cân Bằng Nhiệt Cực Hay.

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Bài Tập Phương Trình Cân Bằng Nhiệt Nâng Cao Cực Hay .
  • Giải Bài Tập Vật Lý 8 Bài 25: Phương Trình Cân Bằng Nhiệt
  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Sgk Bài 25: Phương Trình Cân Bằng Nhiệt
  • Phương Trình Cân Bằng Nhiệt: Giải Bài Tập C1,c2,c3 Vật Lý 8 Trang 89
  • Chương Iii. §5. Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Học sinh cần nắm được kiến thức về nhiệt năng, nhiệt lượng, nguyên lý truyền nhiệt và phương trình cân bằng nhiệt

    1. Nguyên lý truyền nhiệt

    Khi hai vật có trao đổi nhiệt với nhau thì:

    – Nhiệt truyền từ vật có nhiệt độ cao hơn sang vật có nhiệt độ thấp hơn.

    – Sự truyền nhiệt xảy ra cho tới khi nhiệt độ của hai vật bằng nhau thì ngừng lại.

    – Nhiệt lượng do vật này tỏa ra bằng nhiệt lượng do vật kia thu vào.

    2. Phương trình cân bằng nhiệt

    Q tỏa ra : tổng nhiệt lượng của các vật tỏa ra.

    Q thu vào: tổng nhiệt lượng của các vật thu vào.

    t: nhiệt độ khi cân bằng nhiệt

    t 1: nhiệt độ của vật tỏa nhiệt

    t 2: nhiệt độ của vật thu nhiệt

    C 1; C 2: nhiệt dung riêng của các chất

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Người ta thả một thỏi đồng 0,4kg ở nhiệt độ t 1 = 80°C vào 0,25kg nước ở nhiệt độ t 2 = 18°C. Hãy xác định nhiệt độ khi cân bằng nhiệt. Cho biết nhiệt dung riêng của đồng là 380J/kg.k của nước là 4200J/Kg.K.

    Lời giải:

    – Gọi t là nhiệt độ cân bằng của hệ

    – Nhiệt lượng do miếng đồng tỏa ra để nguội đi từ 80°C xuống t°C:

    – Nhiệt lượng nước thu vào để nóng lên từ 18°C đến t°C:

    – Theo phương trình cân bằng nhiệt: Q tỏa = Q thu

    ⇔0,4. 380. (80 – t) = 0,25. 4200. (t – 18)

    ⇔t ≈ 26°C

    Đáp số : 26°C.

    Ví dụ 2: Người ta thả một miếng nhôm khối lượng 0,5kg vào 500g nước. Miếng nhôm nguội đi từ 80°C xuống 20°C. Hỏi nước nhận được một nhiệt lượng bằng bao nhiêu và nóng lên thêm bao nhiêu độ? Cho biết nhiệt dung riêng của nhôm là 880J/kg.K; của nước là 4200J/Kg.K.

    Lời giải:

    – Nhiệt lượng nhôm toả ra khi hạ nhiệt độ từ 80°C xuống 20°C là :

    – Nhiệt lượng nước thu vào bằng nhiệt lượng đồng toả ra ta có :

    – Nước nóng lên thêm là:

    Đáp số: 26400 J; 13°C

    Ví dụ 3: Đổ 738 g nước ở nhiệt độ 15°C vào một nhiệt lượng kế bằng đồng có khối lượng 100g, rồi thả vào đó một miếng đồng có khối lượng 200g ở nhiệt độ 100°C. Nhiệt độ khi bắt đầu cân bằng nhiệt là 17°C. Tính nhiệt dung riêng của đồng, lấy nhiệt dung riêng của nước là 4200J/kg.K.

    Lời giải:

    – Nhiệt lượng nước và nhiệt lượng kế thu vào là :

    – Nhiệt lượng do miếng đồng toả ra là :

    – Vì nhiệt lượng đồng toả ra bằng nhiệt lượng nước và nhiệt lượng kế thu vào nên :

    Đáp số: 378J/kg.K

    C. Bài tập vận dụng

    Câu 1: Người ta trộn 1500g nước ở 15°C với 100g nước ở 37°C. Nhiệt độ cuối cùng của hỗn hợp là:

    A. 16,375°C

    B. 26°C

    C. 52°C

    D. 19,852°C

    Câu 2: Có 20kg nước 20°C, phải pha vào thêm bao nhiêu kg nước ở 100°C để được nước ở 50°C?

    A. 20kg B. 16kg

    C. 12kg D. 8kg

    Câu 3: Một nhiệt lượng kế bằng đồng có khối lượng 0,1kg chứa 0,5kg nước ở 20°C. Người ta thả vào nhiệt lượng kế nói trên một thỏi đồng có khối lượng 0,2kg đã được đun nóng đến 200°C. Nhiệt độ cuối cùng của hệ thống là:

    A. 28,2°C B. 28°C

    C. 27,4°C D. 26,1°C

    Câu 4: Một cục đồng có khối lượng 1kg được đun nóng đến 100°C. Sau đó người ta thả cục đồng vào một chậu sắt có khối lượng 500g đựng 2kg nước ở 20°C. Bỏ qua sự trao đổi nhiệt với môi trường. Biết nhiệt dung riêng của đồng, sắt và nước lần lượt là c 1 = 3,8.10 3J/kg.K; c 2 = 0,46.10 3J/kg.K ; c 3 = 4,2.10 3 J/kg.K. Tìm nhiệt độ cuối cùng của nước?

    A. 40°C B. 60°C

    C. 33,45°C D. 23,37°C

    Câu 5: Người ta dẫn 0,2 Kg hơi nước ở nhiệt độ 100°C vào một bình chứa 1,5 Kg nước đang ở nhiệt độ 15°C. Nhiệt độ cuối cùng của hỗn hợp là:

    A. 100°C B. 98°C

    C. 96°C D. 94°C

    Câu 6: Bác Hưng đổ m 1 (kg) nước ở nhiệt độ 100°C vào m 2 (kg) rượu ở nhiệt độ 19°C. Sau khi nhiệt độ của hệ cân bằng thì bác Hưng thu được hợp nặng 140g ở nhiệt độ 36°C. Tính khối lượng của nước và khối lượng của rượu đã trộn. Biết nhiệt dung riêng của nước là 4200J/Kg.K, của rượu là 2500J/Kg.k.

    Câu 7: Vật A có khối lượng 0,1kg, người ta nung nóng vật A lên đến nhiệt độ 100°C. Sau đó vật A được bỏ vào một nhiệt lượng kế B làm bằng đồng có khối lượng 0,1kg chứa 0,2kg nước có nhiệt độ ban đầu 20°C. Khi cân bằng , nhiệt độ cuối cùng của hệ là 24°C. Biết nhiệt dung riêng của vật B là 380J/kg.K, của nước là 4200J/kg.K. Tính nhiệt dung riêng của vật A?

    Câu 8: Thả một quả cầu nhôm khối lượng 0,15kg được nung nóng tới 100 °C vào một ca nước ở 20 °C. Sau một thời gian nhiệt độ của hệ thống là 25 °C. Tính lượng nước ở trong cốc coi như chỉ có quả cầu và nước truyền nhiệt cho nhau, lấy nhiệt dung riêng của nước bằng 4200J/kg.K, nhiệt dung riêng của nhôm bằng 880J/kg.K

    Câu 9: Có ba chất lỏng không tác dụng hóa học với nhau và được trộn lẫn vào nhau trong một nhiệt lượng kế. Chúng có khối lượng lần lượt là m 1=1kg, m 2= 10kg, m 3=5kg, có nhiệt dung riêng lần lượt là C 1 = 2000J/Kg.K, C 2 = 4000J/Kg.K, C 3 = 2000J/Kg.K và có nhiệt độ là t 1 = 6°C, t 2 = 40°C, t 3 = 60°C. Hãy xác định nhiệt độ của hỗn hợp khi xãy ra cân bằng. Biết rằng không có chất lỏng nào chuyển thể.

    Câu 10: Để xác định nhiệt độ của một bếp lò người ta làm như sau; Bỏ vào lò một khối đồng hình lập phương có cạnh a = 2cm, sau đó lấy khối đồng bỏ trên một tảng nước đá ở 0°C. Khi có cân bằng nhiệt, mặt trên của khối đồng chìm dưới mặt nước đá 1 đoạn b = 1cm. Biết khối lượng riêng của đồng là D0 = 8900kg/m 3, nhiệt dung riêng của đồng c0 = 400J/kg.k, nhiệt nóng chảy của nước đá λ = 3,4.10 5J/kg.K , khối lượng riêng của nước đá D = 900kg/m 3. Giả sử nước đá chỉ tan có dạng hình hộp có tiết diện bàng tiết diện khối đồng.

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    Loạt bài Lý thuyết – Bài tập Vật Lý 8 có đáp án của chúng tôi được biên soạn bám sát nội dung chương trình Vật Lý lớp 8.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 2: Căn Bậc Hai Của Số Phức Và Phương Trình Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Giải Bài Tập Trang 42, 43 Sgk Toán 9 Tập 2 Bài 11, 12, 13, 14
  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Sgk Bài 2: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Toán 8 Bài 2: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Giải Thuật Và Lập Trình: §3. Đệ Quy Và Giải Thuật Đệ Quy

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Thuật Và Lập Trình: §1. Công Thức Truy Hồi
  • Chương Iv. §8. Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai
  • Giáo Án Đại Số 10 Nâng Cao: Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai
  • Phân Tích Và Đọc Kết Quả Hồi Quy Đa Biến Trong Spss
  • Giải Bài Toán Yêu Nhau Cau Sáu Bổ Ba
  • KHÁI NIỆM VỀ ĐỆ QUY

    Ta nói một đối tượng là đệ quy nếu nó được định nghĩa qua chính nó hoặc một đối tượng khác cùng dạng với chính nó bằng quy nạp.

    Ví dụ: Đặt hai chiếc gương cầu đối diện nhau. Trong chiếc gương thứ nhất chứa hình chiếc gương thứ hai. Chiếc gương thứ hai lại chứa hình chiếc gương thứ nhất nên tất nhiên nó chứa lại hình ảnh của chính nó trong chiếc gương thứ nhất… Ở một góc nhìn hợp lý, ta có thể thấy một dãy ảnh vô hạn của cả hai chiếc gương.

    Một ví dụ khác là nếu người ta phát hình trực tiếp phát thanh viên ngồi bên máy vô tuyến truyền hình, trên màn hình của máy này lại có chính hình ảnh của phát thanh viên đó ngồi bên máy vô tuyến truyền hình và cứ như thế…

    Trong toán học, ta cũng hay gặp các định nghĩa đệ quy:

    GIẢI THUẬT ĐỆ QUY

    Nếu lời giải của một bài toán P được thực hiện bằng lời giải của bài toán P’ có dạng giống như P thì đó là một lời giải đệ quy. Giải thuật tương ứng với lời giải như vậy gọi là giải thuật đệ quy. Mới nghe thì có vẻ hơi lạ nhưng điểm mấu chốt cần lưu ý là: P’ tuy có dạng giống như P, nhưng theo một nghĩa nào đó, nó phải “nhỏ” hơn P, dễ giải hơn P và việc giải nó không cần dùng đến P.

    Trong Pascal, ta đã thấy nhiều ví dụ của các hàm và thủ tục có chứa lời gọi đệ quy tới chính nó, bây giờ, ta tóm tắt lại các phép đệ quy trực tiếp và tương hỗ được viết như thế nào:

    Định nghĩa một hàm đệ quy hay thủ tục đệ quy gồm hai phần:

    Phần neo (anchor): Phần này được thực hiện khi mà công việc quá đơn giản, có thể giải trực tiếp chứ không cần phải nhờ đến một bài toán con nào cả.

    Phần đệ quy: Trong trường hợp bài toán chưa thể giải được bằng phần neo, ta xác định những bài toán con và gọi đệ quy giải những bài toán con đó. Khi đã có lời giải (đáp số) của những bài toán con rồi thì phối hợp chúng lại để giải bài toán đang quan tâm.

    Phần đệ quy thể hiện tính “quy nạp” của lời giải. Phần neo cũng rất quan trọng bởi nó quyết

    định tới tính hữu hạn dừng của lời giải.

    VÍ DỤ VỀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY

    Hàm tính giai thừa

    function Factorial(n: Integer): Integer; {Nhận vào số tự nhiên n và trả về n!}

    begin

    if n = 0 then Factorial := 1 {Phần neo}

    else Factorial := n * Factorial(n – 1); {Phần đệ quy}

    end;

    Ví dụ: Dùng hàm này để tính 3!, trước hết nó phải đi tính 2! bởi 3! được tính bằng tích của 3 * 2!. Tương tự để tính 2!, nó lại đi tính 1! bởi 2! được tính bằng 2 * 1!. Áp dụng bước quy nạp này thêm một lần nữa, 1! = 1 * 0!, và ta đạt tới trường hợp của phần neo, đến đây từ giá trị 1 của 0!, nó tính được 1! = 1*1 = 1; từ giá trị của 1! nó tính được 2!; từ giá trị của 2! nó tính được 3!; cuối cùng cho kết quả là 6:

    3! = 3 * 2!

    2! = 2 * 1!

    1! = 1 * 0!

    0! = 1

    Dãy số Fibonacci

    Dãy số Fibonacci bắt nguồn từ bài toán cổ về việc sinh sản của các cặp thỏ. Bài toán đặt ra như sau:

    1. Các con thỏ không bao giờ chết

    2. Hai tháng sau khi ra đời, mỗi cặp thỏ mới sẽ sinh ra một cặp thỏ con (một đực, một cái)

    3. Khi đã sinh con rồi thì cứ mỗi tháng tiếp theo chúng lại sinh được một cặp con mới Giả sử từ đầu tháng 1 có một cặp mới ra đời thì đến giữa tháng thứ n sẽ có bao nhiêu cặp. Ví dụ, n = 5, ta thấy:

    Giữa tháng thứ 1:1 cặp (ab) (cặp ban đầu)

    Giữa tháng thứ 2:1 cặp (ab) (cặp ban đầu vẫn chưa đẻ)

    Giữa tháng thứ 3:2 cặp (AB)(cd) (cặp ban đầu đẻ ra thêm 1 cặp con) Giữa tháng thứ 4:3 cặp (AB)(cd)(ef) (cặp ban đầu tiếp tục đẻ)

    Giữa tháng thứ 5:5 cặp (AB)(CD)(ef)(gh)(ik) (cả cặp (AB) và (CD) cùng đẻ) Bây giờ, ta xét tới việc tính số cặp thỏ ở tháng thứ n: F(n)

    Nếu mỗi cặp thỏ ở tháng thứ n – 1 đều sinh ra một cặp thỏ con thì số cặp thỏ ở tháng thứ n sẽ là:

    F(n) = 2 * F(n – 1)

    Nhưng vấn đề không phải như vậy, trong các cặp thỏ ở tháng thứ n – 1, chỉ có những cặp thỏ đã có ở tháng thứ n – 2 mới sinh con ở tháng thứ n được thôi. Do đó F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) (= số cũ + số sinh ra). Vậy có thể tính được F(n) theo công thức sau:

    F(n) = 1 nếu n ≤ 2

    function F(n: Integer): Integer; {Tính số cặp thỏ ở tháng thứ n}

    begin

    if n £ 2 then F := 1 {Phần neo}

    else F := F(n – 1) + F(n – 2); {Phần đệ quy}

    end;

    Giả thuyết của Collatz

    Collatz đưa ra giả thuyết rằng: với một số nguyên dương X, nếu X chẵn thì ta gán X := X p 2; nếu X lẻ thì ta gán X := X * 3 + 1. Thì sau một số hữu hạn bước, ta sẽ có X = 1.

    Ví dụ: X = 10, các bước tiến hành như sau:

    1. X = 10 (chẵn)X := 10 p 2;(5)

    Cứ cho giả thuyết Collatz là đúng đắn, vấn đề đặt ra là: Cho trước số 1 cùng với hai phép toán * 2 và p 3, hãy sử dụng một cách hợp lý hai phép toán đó để biến số 1 thành một giá trị nguyên dương X cho trước.

    Ví dụ: X = 10 ta có 1 * 2 * 2 * 2 * 2 p 3 * 2 = 10.

    Nếu X chẵn, thì ta tìm cách biểu diễn số X p 2 và viết thêm phép toán * 2 vào cuối Nếu X lẻ, thì ta tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1 và viết thêm phép toán p 3 vào cuối

    procedure Solve(X: Integer); {In ra cách biểu diễn số X}

    begin

    if X = 1 then Write(X) {Phần neo}

    else {Phần đệ quy}

    if X mod 2 = 0 then {X chẵn}

    begin

    Solve(X p 2); {Tìm cách biểu diễn số X p 2} Write(‘ * 2’); {Sau đó viết thêm phép toán * 2} end

    else {X lẻ}

    begin

    Solve(X * 3 + 1); {Tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1}

    Write(‘ p 3’); {Sau đó viết thêm phép toán p 3}

    end;

    end;

    procedure Solve(X: Integer); forward; {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X: Khai báo trước, đặc tả sau}

    begin

    Solve(X * 3 + 1);

    Write(‘ p 3’); end;

    procedure SolveEven(X: Integer); {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X trong trường hợp X chẵn}

    begin

    Solve(X p 2);

    Write(‘ * 2’); end;

    procedure Solve(X: Integer); {Phần đặc tả của thủ tục Solve đã khai báo trước ở trên}

    begin

    if X = 1 then Write(X) else

    if X mod 2 = 1 then SolveOdd(X) else SolveEven(X);

    end;

    Trong cả hai cách viết, để tìm biểu diễn số X theo yêu cầu chỉ cần gọi Solve(X) là xong. Tuy nhiên trong cách viết đệ quy trực tiếp, thủ tục Solve có lời gọi tới chính nó, còn trong cách viết đệ quy tương hỗ, thủ tục Solve chứa lời gọi tới thủ tục SolveOdd và SolveEven, hai thủ tục này lại chứa trong nó lời gọi ngược về thủ tục Solve.

    Đối với những bài toán nêu trên, việc thiết kế các giải thuật đệ quy tương ứng khá thuận lợi vì cả hai đều thuộc dạng tính giá trị hàm mà định nghĩa quy nạp của hàm đó được xác định dễ dàng.

    Nhưng không phải lúc nào phép giải đệ quy cũng có thể nhìn nhận và thiết kế dễ dàng như vậy. Thế thì vấn đề gì cần lưu tâm trong phép giải đệ quy?. Có thể tìm thấy câu trả lời qua việc giải đáp các câu hỏi sau:

    1. Có thể định nghĩa được bài toán dưới dạng phối hợp của những bài toán cùng loại nhưng nhỏ hơn hay không ? Khái niệm “nhỏ hơn” là thế nào ?

    2. Trường hợp đặc biệt nào của bài toán sẽ được coi là trường hợp tầm thường và có thể giải ngay được để đưa vào phần neo của phép giải đệ quy

    Bài toán Tháp Hà Nội

    Đây là một bài toán mang tính chất một trò chơi, tương truyền rằng tại ngôi đền Benares có ba cái cọc kim cương. Khi khai sinh ra thế giới, thượng đế đặt n cái đĩa bằng vàng chồng lên nhau theo thứ tự giảm dần của đường kính tính từ dưới lên, đĩa to nhất được đặt trên một chiếc cọc.

    Tháp Hà Nội

    Các nhà sư lần lượt chuyển các đĩa sang cọc khác theo luật:

    • Khi di chuyển một đĩa, phải đặt nó vào một trong ba cọc đã cho

    • Mỗi lần chỉ có thể chuyển một đĩa và phải là đĩa ở trên cùng

    • Tại một vị trí, đĩa nào mới chuyển đến sẽ phải đặt lên trên cùng

    • Đĩa lớn hơn không bao giờ được phép đặt lên trên đĩa nhỏ hơn (hay nói cách khác: một đĩa chỉ được đặt trên cọc hoặc đặt trên một đĩa lớn hơn).

    Ngày tận thế sẽ đến khi toàn bộ chồng đĩa được chuyển sang một cọc khác.

    Trong trường hợp có 2 đĩa, cách làm có thể mô tả như sau:

    Chuyển đĩa nhỏ sang cọc 3, đĩa lớn sang cọc 2 rồi chuyển đĩa nhỏ từ cọc 3 sang cọc 2.

    Những người mới bắt đầu có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng khi số đĩa là ít, nhưng họ sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi số các đĩa nhiều hơn. Tuy nhiên, với tư duy quy nạp toán học và một máy tính thì công việc trở nên khá dễ dàng:

    Có n đĩa.

    • Nếu n = 1 thì ta chuyển đĩa duy nhất đó từ cọc 1 sang cọc 2 là xong.

    • Giả sử rằng ta có phương pháp chuyển được n – 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2, thì cách chuyển n – 1 đĩa từ cọc x sang cọc y (1 ≤ x, y ≤ 3) cũng tương tự.

    • Giả sử ràng ta có phương pháp chuyển được n – 1 đĩa giữa hai cọc bất kỳ. Để chuyển n đĩa từ cọc x sang cọc y, ta gọi cọc còn lại là z (=6 – x – y). Coi đĩa to nhất là … cọc, chuyển n – 1 đĩa còn lại từ cọc x sang cọc z, sau đó chuyển đĩa to nhất đó sang cọc y và cuối cùng lại coi đĩa to nhất đó là cọc, chuyển n – 1 đĩa còn lại đang ở cọc z sang cọc y chồng lên đĩa to nhất.

    procedure Move(n, x, y: Integer); {Thủ tục chuyển n đĩa từ cọc x sang cọc y}

    begin

    if n = 1 then WriteLn(‘Chuyển 1 đĩa từ ‘, x, ‘ sang ‘, y)

    begin

    Move(n – 1, x, 6 – x – y); {Chuyển n – 1 đĩa từ cọc x sang cọc trung gian}

    Move(1, x, y); {Chuyển đĩa to nhất từ x sang y}

    Move(n – 1, 6 – x – y, y); {Chuyển n – 1 đĩa từ cọc trung gian sang cọc y}

    end;

    end;

    Chương trình chính rất đơn giản, chỉ gồm có 2 việc: Nhập vào số n và gọi Move(n, 1, 2).

    HIỆU LỰC CỦA ĐỆ QUY

    Qua các ví dụ trên, ta có thể thấy đệ quy là một công cụ mạnh để giải các bài toán. Có những bài toán mà bên cạnh giải thuật đệ quy vẫn có những giải thuật lặp khá đơn giản và hữu hiệu. Chẳng hạn bài toán tính giai thừa hay tính số Fibonacci. Tuy vậy, đệ quy vẫn có vai trò xứng đáng của nó, có nhiều bài toán mà việc thiết kế giải thuật đệ quy đơn giản hơn nhiều so với lời giải lặp và trong một số trường hợp chương trình đệ quy hoạt động nhanh hơn chương trình viết không có đệ quy. Giải thuật cho bài Tháp Hà Nội và thuật toán sắp xếp kiểu phân đoạn (QuickSort) mà ta sẽ nói tới trong các bài sau là những ví dụ.

    Có một mối quan hệ khăng khít giữa đệ quy và quy nạp toán học. Cách giải đệ quy cho một bài toán dựa trên việc định rõ lời giải cho trường hợp suy biến (neo) rồi thiết kế làm sao để lời giải của bài toán được suy ra từ lời giải của bài toán nhỏ hơn cùng loại như thế. Tương tự như vậy, quy nạp toán học chứng minh một tính chất nào đó ứng với số tự nhiên cũng bằng cách chứng minh tính chất đó đúng với một số trường hợp cơ sở (thường người ta chứng minh nó đúng với 0 hay đúng với 1) và sau đó chứng minh tính chất đó sẽ đúng với n bất kỳ nếu nó đã đúng với mọi số tự nhiên nhỏ hơn n.

    Rõ ràng là tính chất này đúng với n = 1, bởi ta cần 2 1 – 1 = 1 lần chuyển đĩa để thực hiện yêu cầu.

    Vậy thì công thức này sẽ đúng với mọi n.

    Thật đáng tiếc nếu như chúng ta phải lập trình với một công cụ không cho phép đệ quy, nhưng như vậy không có nghĩa là ta bó tay trước một bài toán mang tính đệ quy. Mọi giải thuật đệ quy đều có cách thay thế bằng một giải thuật không đệ quy (khử đệ quy), có thể nói được như vậy bởi tất cả các chương trình con đệ quy sẽ đều được trình dịch chuyển thành những mã lệnh không đệ quy trước khi giao cho máy tính thực hiện.

    Việc tìm hiểu cách khử đệ quy một cách “máy móc” như các chương trình dịch thì chỉ cần hiểu rõ cơ chế xếp chồng của các thủ tục trong một dây chuyền gọi đệ quy là có thể làm được. Nhưng muốn khử đệ quy một cách tinh tế thì phải tuỳ thuộc vào từng bài toán mà khử đệ quy cho khéo. Không phải tìm đâu xa, những kỹ thuật giải công thức truy hồi bằng quy hoạch động là ví dụ cho thấy tính nghệ thuật trong những cách tiếp cận bài toán mang bản chất đệ quy để tìm ra một giải thuật không đệ quy đầy hiệu quả.

    Bài tập

    Bài 1

    Viết một hàm đệ quy tính ước số chung lớn nhất của hai số tự nhiên a, b không đồng thời bằng 0, chỉ rõ đâu là phần neo, đâu là phần đệ quy.

    Bài 2

    Viết một hàm đệ quy tính C k theo công thức truy hồi sau:

    Chứng minh rằng hàm đó cho ra đúng giá trị:

    C nk = n! / k!(n – k)!

    Bài 3

    Nêu rõ các bước thực hiện của giải thuật cho bài Tháp Hà Nội trong trường hợp n = 3. Viết chương trình giải bài toán Tháp Hà Nội không đệ quy.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phân Tích Các Chương Trình Đệ Quy
  • Luận Văn Từ Bái Toán Giải Phương Trình Tới Bài Toán Quỹ Tích
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Một Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Và Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100