Giải Thuật Và Lập Trình: §3. Đệ Quy Và Giải Thuật Đệ Quy

--- Bài mới hơn ---

  • Giải Thuật Và Lập Trình: §1. Công Thức Truy Hồi
  • Chương Iv. §8. Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai
  • Giáo Án Đại Số 10 Nâng Cao: Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai
  • Phân Tích Và Đọc Kết Quả Hồi Quy Đa Biến Trong Spss
  • Giải Bài Toán Yêu Nhau Cau Sáu Bổ Ba
  • KHÁI NIỆM VỀ ĐỆ QUY

    Ta nói một đối tượng là đệ quy nếu nó được định nghĩa qua chính nó hoặc một đối tượng khác cùng dạng với chính nó bằng quy nạp.

    Ví dụ: Đặt hai chiếc gương cầu đối diện nhau. Trong chiếc gương thứ nhất chứa hình chiếc gương thứ hai. Chiếc gương thứ hai lại chứa hình chiếc gương thứ nhất nên tất nhiên nó chứa lại hình ảnh của chính nó trong chiếc gương thứ nhất… Ở một góc nhìn hợp lý, ta có thể thấy một dãy ảnh vô hạn của cả hai chiếc gương.

    Một ví dụ khác là nếu người ta phát hình trực tiếp phát thanh viên ngồi bên máy vô tuyến truyền hình, trên màn hình của máy này lại có chính hình ảnh của phát thanh viên đó ngồi bên máy vô tuyến truyền hình và cứ như thế…

    Trong toán học, ta cũng hay gặp các định nghĩa đệ quy:

    GIẢI THUẬT ĐỆ QUY

    Nếu lời giải của một bài toán P được thực hiện bằng lời giải của bài toán P’ có dạng giống như P thì đó là một lời giải đệ quy. Giải thuật tương ứng với lời giải như vậy gọi là giải thuật đệ quy. Mới nghe thì có vẻ hơi lạ nhưng điểm mấu chốt cần lưu ý là: P’ tuy có dạng giống như P, nhưng theo một nghĩa nào đó, nó phải “nhỏ” hơn P, dễ giải hơn P và việc giải nó không cần dùng đến P.

    Trong Pascal, ta đã thấy nhiều ví dụ của các hàm và thủ tục có chứa lời gọi đệ quy tới chính nó, bây giờ, ta tóm tắt lại các phép đệ quy trực tiếp và tương hỗ được viết như thế nào:

    Định nghĩa một hàm đệ quy hay thủ tục đệ quy gồm hai phần:

    Phần neo (anchor): Phần này được thực hiện khi mà công việc quá đơn giản, có thể giải trực tiếp chứ không cần phải nhờ đến một bài toán con nào cả.

    Phần đệ quy: Trong trường hợp bài toán chưa thể giải được bằng phần neo, ta xác định những bài toán con và gọi đệ quy giải những bài toán con đó. Khi đã có lời giải (đáp số) của những bài toán con rồi thì phối hợp chúng lại để giải bài toán đang quan tâm.

    Phần đệ quy thể hiện tính “quy nạp” của lời giải. Phần neo cũng rất quan trọng bởi nó quyết

    định tới tính hữu hạn dừng của lời giải.

    VÍ DỤ VỀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY

    Hàm tính giai thừa

    function Factorial(n: Integer): Integer; {Nhận vào số tự nhiên n và trả về n!}

    begin

    if n = 0 then Factorial := 1 {Phần neo}

    else Factorial := n * Factorial(n – 1); {Phần đệ quy}

    end;

    Ví dụ: Dùng hàm này để tính 3!, trước hết nó phải đi tính 2! bởi 3! được tính bằng tích của 3 * 2!. Tương tự để tính 2!, nó lại đi tính 1! bởi 2! được tính bằng 2 * 1!. Áp dụng bước quy nạp này thêm một lần nữa, 1! = 1 * 0!, và ta đạt tới trường hợp của phần neo, đến đây từ giá trị 1 của 0!, nó tính được 1! = 1*1 = 1; từ giá trị của 1! nó tính được 2!; từ giá trị của 2! nó tính được 3!; cuối cùng cho kết quả là 6:

    3! = 3 * 2!

    2! = 2 * 1!

    1! = 1 * 0!

    0! = 1

    Dãy số Fibonacci

    Dãy số Fibonacci bắt nguồn từ bài toán cổ về việc sinh sản của các cặp thỏ. Bài toán đặt ra như sau:

    1. Các con thỏ không bao giờ chết

    2. Hai tháng sau khi ra đời, mỗi cặp thỏ mới sẽ sinh ra một cặp thỏ con (một đực, một cái)

    3. Khi đã sinh con rồi thì cứ mỗi tháng tiếp theo chúng lại sinh được một cặp con mới Giả sử từ đầu tháng 1 có một cặp mới ra đời thì đến giữa tháng thứ n sẽ có bao nhiêu cặp. Ví dụ, n = 5, ta thấy:

    Giữa tháng thứ 1:1 cặp (ab) (cặp ban đầu)

    Giữa tháng thứ 2:1 cặp (ab) (cặp ban đầu vẫn chưa đẻ)

    Giữa tháng thứ 3:2 cặp (AB)(cd) (cặp ban đầu đẻ ra thêm 1 cặp con) Giữa tháng thứ 4:3 cặp (AB)(cd)(ef) (cặp ban đầu tiếp tục đẻ)

    Giữa tháng thứ 5:5 cặp (AB)(CD)(ef)(gh)(ik) (cả cặp (AB) và (CD) cùng đẻ) Bây giờ, ta xét tới việc tính số cặp thỏ ở tháng thứ n: F(n)

    Nếu mỗi cặp thỏ ở tháng thứ n – 1 đều sinh ra một cặp thỏ con thì số cặp thỏ ở tháng thứ n sẽ là:

    F(n) = 2 * F(n – 1)

    Nhưng vấn đề không phải như vậy, trong các cặp thỏ ở tháng thứ n – 1, chỉ có những cặp thỏ đã có ở tháng thứ n – 2 mới sinh con ở tháng thứ n được thôi. Do đó F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) (= số cũ + số sinh ra). Vậy có thể tính được F(n) theo công thức sau:

    F(n) = 1 nếu n ≤ 2

    function F(n: Integer): Integer; {Tính số cặp thỏ ở tháng thứ n}

    begin

    if n £ 2 then F := 1 {Phần neo}

    else F := F(n – 1) + F(n – 2); {Phần đệ quy}

    end;

    Giả thuyết của Collatz

    Collatz đưa ra giả thuyết rằng: với một số nguyên dương X, nếu X chẵn thì ta gán X := X p 2; nếu X lẻ thì ta gán X := X * 3 + 1. Thì sau một số hữu hạn bước, ta sẽ có X = 1.

    Ví dụ: X = 10, các bước tiến hành như sau:

    1. X = 10 (chẵn)X := 10 p 2;(5)

    Cứ cho giả thuyết Collatz là đúng đắn, vấn đề đặt ra là: Cho trước số 1 cùng với hai phép toán * 2 và p 3, hãy sử dụng một cách hợp lý hai phép toán đó để biến số 1 thành một giá trị nguyên dương X cho trước.

    Ví dụ: X = 10 ta có 1 * 2 * 2 * 2 * 2 p 3 * 2 = 10.

    Nếu X chẵn, thì ta tìm cách biểu diễn số X p 2 và viết thêm phép toán * 2 vào cuối Nếu X lẻ, thì ta tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1 và viết thêm phép toán p 3 vào cuối

    procedure Solve(X: Integer); {In ra cách biểu diễn số X}

    begin

    if X = 1 then Write(X) {Phần neo}

    else {Phần đệ quy}

    if X mod 2 = 0 then {X chẵn}

    begin

    Solve(X p 2); {Tìm cách biểu diễn số X p 2} Write(‘ * 2’); {Sau đó viết thêm phép toán * 2} end

    else {X lẻ}

    begin

    Solve(X * 3 + 1); {Tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1}

    Write(‘ p 3’); {Sau đó viết thêm phép toán p 3}

    end;

    end;

    procedure Solve(X: Integer); forward; {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X: Khai báo trước, đặc tả sau}

    begin

    Solve(X * 3 + 1);

    Write(‘ p 3’); end;

    procedure SolveEven(X: Integer); {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X trong trường hợp X chẵn}

    begin

    Solve(X p 2);

    Write(‘ * 2’); end;

    procedure Solve(X: Integer); {Phần đặc tả của thủ tục Solve đã khai báo trước ở trên}

    begin

    if X = 1 then Write(X) else

    if X mod 2 = 1 then SolveOdd(X) else SolveEven(X);

    end;

    Trong cả hai cách viết, để tìm biểu diễn số X theo yêu cầu chỉ cần gọi Solve(X) là xong. Tuy nhiên trong cách viết đệ quy trực tiếp, thủ tục Solve có lời gọi tới chính nó, còn trong cách viết đệ quy tương hỗ, thủ tục Solve chứa lời gọi tới thủ tục SolveOdd và SolveEven, hai thủ tục này lại chứa trong nó lời gọi ngược về thủ tục Solve.

    Đối với những bài toán nêu trên, việc thiết kế các giải thuật đệ quy tương ứng khá thuận lợi vì cả hai đều thuộc dạng tính giá trị hàm mà định nghĩa quy nạp của hàm đó được xác định dễ dàng.

    Nhưng không phải lúc nào phép giải đệ quy cũng có thể nhìn nhận và thiết kế dễ dàng như vậy. Thế thì vấn đề gì cần lưu tâm trong phép giải đệ quy?. Có thể tìm thấy câu trả lời qua việc giải đáp các câu hỏi sau:

    1. Có thể định nghĩa được bài toán dưới dạng phối hợp của những bài toán cùng loại nhưng nhỏ hơn hay không ? Khái niệm “nhỏ hơn” là thế nào ?

    2. Trường hợp đặc biệt nào của bài toán sẽ được coi là trường hợp tầm thường và có thể giải ngay được để đưa vào phần neo của phép giải đệ quy

    Bài toán Tháp Hà Nội

    Đây là một bài toán mang tính chất một trò chơi, tương truyền rằng tại ngôi đền Benares có ba cái cọc kim cương. Khi khai sinh ra thế giới, thượng đế đặt n cái đĩa bằng vàng chồng lên nhau theo thứ tự giảm dần của đường kính tính từ dưới lên, đĩa to nhất được đặt trên một chiếc cọc.

    Tháp Hà Nội

    Các nhà sư lần lượt chuyển các đĩa sang cọc khác theo luật:

    • Khi di chuyển một đĩa, phải đặt nó vào một trong ba cọc đã cho

    • Mỗi lần chỉ có thể chuyển một đĩa và phải là đĩa ở trên cùng

    • Tại một vị trí, đĩa nào mới chuyển đến sẽ phải đặt lên trên cùng

    • Đĩa lớn hơn không bao giờ được phép đặt lên trên đĩa nhỏ hơn (hay nói cách khác: một đĩa chỉ được đặt trên cọc hoặc đặt trên một đĩa lớn hơn).

    Ngày tận thế sẽ đến khi toàn bộ chồng đĩa được chuyển sang một cọc khác.

    Trong trường hợp có 2 đĩa, cách làm có thể mô tả như sau:

    Chuyển đĩa nhỏ sang cọc 3, đĩa lớn sang cọc 2 rồi chuyển đĩa nhỏ từ cọc 3 sang cọc 2.

    Những người mới bắt đầu có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng khi số đĩa là ít, nhưng họ sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi số các đĩa nhiều hơn. Tuy nhiên, với tư duy quy nạp toán học và một máy tính thì công việc trở nên khá dễ dàng:

    Có n đĩa.

    • Nếu n = 1 thì ta chuyển đĩa duy nhất đó từ cọc 1 sang cọc 2 là xong.

    • Giả sử rằng ta có phương pháp chuyển được n – 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2, thì cách chuyển n – 1 đĩa từ cọc x sang cọc y (1 ≤ x, y ≤ 3) cũng tương tự.

    • Giả sử ràng ta có phương pháp chuyển được n – 1 đĩa giữa hai cọc bất kỳ. Để chuyển n đĩa từ cọc x sang cọc y, ta gọi cọc còn lại là z (=6 – x – y). Coi đĩa to nhất là … cọc, chuyển n – 1 đĩa còn lại từ cọc x sang cọc z, sau đó chuyển đĩa to nhất đó sang cọc y và cuối cùng lại coi đĩa to nhất đó là cọc, chuyển n – 1 đĩa còn lại đang ở cọc z sang cọc y chồng lên đĩa to nhất.

    procedure Move(n, x, y: Integer); {Thủ tục chuyển n đĩa từ cọc x sang cọc y}

    begin

    if n = 1 then WriteLn(‘Chuyển 1 đĩa từ ‘, x, ‘ sang ‘, y)

    begin

    Move(n – 1, x, 6 – x – y); {Chuyển n – 1 đĩa từ cọc x sang cọc trung gian}

    Move(1, x, y); {Chuyển đĩa to nhất từ x sang y}

    Move(n – 1, 6 – x – y, y); {Chuyển n – 1 đĩa từ cọc trung gian sang cọc y}

    end;

    end;

    Chương trình chính rất đơn giản, chỉ gồm có 2 việc: Nhập vào số n và gọi Move(n, 1, 2).

    HIỆU LỰC CỦA ĐỆ QUY

    Qua các ví dụ trên, ta có thể thấy đệ quy là một công cụ mạnh để giải các bài toán. Có những bài toán mà bên cạnh giải thuật đệ quy vẫn có những giải thuật lặp khá đơn giản và hữu hiệu. Chẳng hạn bài toán tính giai thừa hay tính số Fibonacci. Tuy vậy, đệ quy vẫn có vai trò xứng đáng của nó, có nhiều bài toán mà việc thiết kế giải thuật đệ quy đơn giản hơn nhiều so với lời giải lặp và trong một số trường hợp chương trình đệ quy hoạt động nhanh hơn chương trình viết không có đệ quy. Giải thuật cho bài Tháp Hà Nội và thuật toán sắp xếp kiểu phân đoạn (QuickSort) mà ta sẽ nói tới trong các bài sau là những ví dụ.

    Có một mối quan hệ khăng khít giữa đệ quy và quy nạp toán học. Cách giải đệ quy cho một bài toán dựa trên việc định rõ lời giải cho trường hợp suy biến (neo) rồi thiết kế làm sao để lời giải của bài toán được suy ra từ lời giải của bài toán nhỏ hơn cùng loại như thế. Tương tự như vậy, quy nạp toán học chứng minh một tính chất nào đó ứng với số tự nhiên cũng bằng cách chứng minh tính chất đó đúng với một số trường hợp cơ sở (thường người ta chứng minh nó đúng với 0 hay đúng với 1) và sau đó chứng minh tính chất đó sẽ đúng với n bất kỳ nếu nó đã đúng với mọi số tự nhiên nhỏ hơn n.

    Rõ ràng là tính chất này đúng với n = 1, bởi ta cần 2 1 – 1 = 1 lần chuyển đĩa để thực hiện yêu cầu.

    Vậy thì công thức này sẽ đúng với mọi n.

    Thật đáng tiếc nếu như chúng ta phải lập trình với một công cụ không cho phép đệ quy, nhưng như vậy không có nghĩa là ta bó tay trước một bài toán mang tính đệ quy. Mọi giải thuật đệ quy đều có cách thay thế bằng một giải thuật không đệ quy (khử đệ quy), có thể nói được như vậy bởi tất cả các chương trình con đệ quy sẽ đều được trình dịch chuyển thành những mã lệnh không đệ quy trước khi giao cho máy tính thực hiện.

    Việc tìm hiểu cách khử đệ quy một cách “máy móc” như các chương trình dịch thì chỉ cần hiểu rõ cơ chế xếp chồng của các thủ tục trong một dây chuyền gọi đệ quy là có thể làm được. Nhưng muốn khử đệ quy một cách tinh tế thì phải tuỳ thuộc vào từng bài toán mà khử đệ quy cho khéo. Không phải tìm đâu xa, những kỹ thuật giải công thức truy hồi bằng quy hoạch động là ví dụ cho thấy tính nghệ thuật trong những cách tiếp cận bài toán mang bản chất đệ quy để tìm ra một giải thuật không đệ quy đầy hiệu quả.

    Bài tập

    Bài 1

    Viết một hàm đệ quy tính ước số chung lớn nhất của hai số tự nhiên a, b không đồng thời bằng 0, chỉ rõ đâu là phần neo, đâu là phần đệ quy.

    Bài 2

    Viết một hàm đệ quy tính C k theo công thức truy hồi sau:

    Chứng minh rằng hàm đó cho ra đúng giá trị:

    C nk = n! / k!(n – k)!

    Bài 3

    Nêu rõ các bước thực hiện của giải thuật cho bài Tháp Hà Nội trong trường hợp n = 3. Viết chương trình giải bài toán Tháp Hà Nội không đệ quy.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phân Tích Các Chương Trình Đệ Quy
  • Luận Văn Từ Bái Toán Giải Phương Trình Tới Bài Toán Quỹ Tích
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Một Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Và Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)
  • Phân Tích Các Chương Trình Đệ Quy

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Thuật Và Lập Trình: §3. Đệ Quy Và Giải Thuật Đệ Quy
  • Giải Thuật Và Lập Trình: §1. Công Thức Truy Hồi
  • Chương Iv. §8. Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai
  • Giáo Án Đại Số 10 Nâng Cao: Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai
  • Phân Tích Và Đọc Kết Quả Hồi Quy Đa Biến Trong Spss
  • Phương trình đệ quy là một phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa T(n) và T(k), trong đó T(n) là thời gian thực hiện chương trình với kích thước dữ liệu nhập là n, T(k) thời gian thực hiện chương trình với kích thước dữ liệu nhập là k, với k < n. Ðể thành lập được phương trình đệ quy, ta phải căn cứ vào chương trình đệ quy.

    Thông thường một chương trình đệ quy để giải bài toán kích thước n, phải có ít nhất một trường hợp dừng ứng với một n cụ thể và lời gọi đệ quy để giải bài toán kích thước k (k<n).

    Để thành lập phương trình đệ quy, ta gọi T(n) là thời gian để giải bài toán kích thước n, ta có T(k) là thời gian để giải bài toán kích thước k. Khi đệ quy dừng, ta phải xem xét khi đó chương trình làm gì và tốn hết bao nhiêu thời gian, chẳng hạn thời gian này là c(n). Khi đệ quy chưa dừng thì phải xét xem có bao nhiêu lời gọi đệ quy với kích thước k ta sẽ có bấy nhiêu T(k). Ngoài ra ta còn phải xem xét đến thời gian để phân chia bài toán và tổng hợp các lời giải, chẳng hạn thời gian này là d(n).

    Dạng tổng quát của một phương trình đệ quy sẽ là:

    Trong đó C(n) là thời gian thực hiện chương trình ứng với trường hợp đệ quy dừng. F(T(k)) là một đa thức của các T(k). d(n) là thời gian để phân chia bài toán và tổng hợp các kết quả.

    Ví dụ 1-10: Xét hàm tính giai thừa viết bằng giải thuật đệ quy như sau:

    FUNCTION Giai_thua(n:Integer): Integer;

    BEGIN

    IF n=0 then Giai_thua :=1

    ELSE Giai_thua := n* Giai_thua(n-1);

    END;

    Ðây là phương trình đệ quy để tính thời gian thực hiện của chương trình đệ quy Giai_thua.

    Ví du 1-11: Chúng ta xét thủ tục MergeSort một cách phác thảo như sau:

    FUNCTION MergeSort (L:List; n:Integer):List;

    VAR L1,L2:List;

    BEGIN

    IF n=1 THEN RETURN(L)

    ELSE BEGIN

    Chia đôi L thành L1 và L2, với độ dài n/2;

    RETURN(Merge(MergeSort(L1,n/2),MergeSort(L2,n/2)));

    END;

    END;

    Hàm MergeSort nhận một danh sách có độ dài n và trả về một danh sách đã được sắp xếp. Thủ tục Merge nhận hai danh sách đã được sắp L1 và L2 mỗi danh sách có độ dài , trộn chúng lại với nhau để được một danh sách gồm n phần tử có thứ tự. Giải thuật chi tiết của Merge ta sẽ bàn sau, chúng ta chỉ để ý rằng thời gian để Merge các danh sách có độ dài là O(n).

    Gọi T(n) là thời gian thực hiện MergeSort một danh sách n phần tử thì T( ) là thời gian thực hiện MergeSort một danh sách phần tử.

    Có ba phương pháp giải phương trình đệ quy:

    1.- Phương pháp truy hồi

    2.- Phương pháp đoán nghiệm.

    3.- Lời giải tổng quát của một lớp các phương trình đệ quy.

    Phương pháp truy hồi

    Ta có T(n) = T(n-1) + C 2

    ……

    Quá trình trên kết thúc khi n – i = 0 hay i = n. Khi đó ta có

    Ví dụ 1-13: Giải phương trình T(n) =

    ……….

    Quá trình suy rộng sẽ kết thúc khi = 1 hay 2 i = n và do đó i = logn. Khi đó ta có:

    Phương pháp đoán nghiệm

    Ta đoán một nghiệm f(n) và dùng chứng minh quy nạp để chứng tỏ rằng T(n) ≤ f(n) với mọi n.

    Thông thường f(n) là một trong các hàm quen thuộc như logn, n, nlogn, , , , n!,.

    Ðôi khi chúng ta chỉ đoán dạng của f(n) trong đó có một vài tham số chưa xác định (chẳng hạn f(n) = an 2 với a chưa xác định) và trong quá trình chứng minh quy nạp ta sẽ suy diễn ra giá trị thích hợp của các tham số.

    Ví dụ 1-12: Giải phương trình đệ quy T(n) =

    Giả sử chúng ta đoán f(n) = anlogn. Với n = 1 ta thấy rằng cách đoán như vậy không được bởi vì anlogn có giá trị 0 không phụ thuộc vào giá trị của a. Vì thế ta thử tiếp theo f(n) = anlogn + b.

    Với n = 1 ta có, T(1) = C 1 và f(1) = b, muốn T(1) ≤ f(1) thì b ≥ C 1 (*)

    Giả sử rằng T(k) ≤ f(k), tức là T(k) ≤ aklogk + b với mọi k < n (giả thiết quy nạp). Ta phải chứng minh T(n) ≤ anlogn + b với mọi n.

    Giả sử n ≥ 2, từ phương trình đã cho ta có T(n) = 2T( ) + C 2 n

    T(n) ≤ (anlogn – an + 2b) + C 2 n

    T(n) ≤ (anlogn + b) + := 0;

    {4} for k := 1 to n do

    {5} c + a;

    end;

    Bài 2: Giải các phương trình đệ quy sau với T(1) = 1 và

    Bài 3: Giải các phương trình đệ quy sau với T(1) = 1 và

    Bài 4: Giải các phương trình đệ quy sau với T(1) = 1 và

    Bài 5: Giải các phương trình đệ quy sau bằng phương pháp đoán nghiệm:

    Bài 6: Cho một mảng n số nguyên được sắp thứ tự tăng. Viết hàm tìm một số nguyên trong mảng đó theo phương pháp tìm kiếm nhị phân, nếu tìm thấy thì trả về TRUE, ngược lại trả về FALSE.

    Sử dụng hai kĩ thuật là đệ quy và vòng lặp. Với mỗi kĩ thuật hãy viết một hàm tìm và tính thời gian thực hiện của hàm đó.

    Bài 7: Tính thời gian thực hiện của giải thuật đệ quy giải bài toán Tháp Hà nội với n tầng?

    Bài 8: Xét công thức truy toán để tính số tổ hợp chập k của n như sau:

    1. Viết một hàm đệ quy để tính số tổ hợp chập k của n.
    2. Tính thời gian thực hiện của giải thuật nói trên.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Luận Văn Từ Bái Toán Giải Phương Trình Tới Bài Toán Quỹ Tích
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Một Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Và Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)
  • Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Luyện Tập Đệ Quy (Phần 1)

    --- Bài mới hơn ---

  • Tổng Quan Về Regression (Phân Tích Hồi Quy)
  • Top 30 Lời Tỏ Tình Bằng Tiếng Anh Hay Nhất
  • Khi Dân Toán Phương Trình Hoá Tình Yêu
  • Cách Giải Rubik 3×3 Đơn Giản Cho Người Mới Bắt Đầu
  • Công Cụ Giải Mã Khối Rubik
  • Như đã nói ở bài trước thì trong kỹ thuật đệ quy, phần khó nhất là tìm ra công thức truy hồi hay tổng quát hoá vấn đề. Muốn dùng kỹ thuật đệ quy, phải tư duy theo kiểu đệ quy. Mong loạt bài luyện tập đệ quy có thể giúp bạn có cái nhìn tổng quát về hướng tiếp cận với một bài toán theo kiểu đệ quy.

    Khi giải một bài toán bằng đệ quy, thông thường mình sẽ thử viết ra kết quả đối với những trường hợp đơn giản, sau đó cố gắng rút ra công thức tổng quát. Sẽ không có một phương pháp chung để có thể học tốt đệ quy, vì nó còn dựa vào yếu tố kinh nghiệm, làm nhiều bạn sẽ quen với tư duy kiểu đệ quy.

    Bài 1: Tính S = 1 + 2 + 3 + … + n

    Dễ dàng tìm được công thức tổng quát cho bài này là:

    • S(0) = 0
    • S(n) = S(n-1) + n

    Bài 2: Tính xn

    Công thức này học sinh lớp 7 nào cũng phải biết

    • x0 = 1
    • xn = x * xn-1

    Bài 3: Tìm UCLN(a, b)

    Ta có thể dùng công thức Euclid như sau:

    • UCLN(a, b) = b nếu a chia hết cho b.
    • Ngược lại: UCLN(a, b) = UCLN(b, a mod b)

    Với công thức này thì điểm dừng của đệ quy là trường hợp a chia hết cho b.

    3 bài trên quá dễ vì đã có sẵn công thức truy hồi.

    Bài 4: Tính (n dấu căn)

    Ta tính thử một vài trường hợp đơn giản và cố gắng suy ra liên hệ đối với trường hợp trước đó.

    • n = 1 (1 dấu căn):
    • n = 2 (2 dấu căn):
    • n = 3 (3 dấu căn): 

    Và điểm dừng của công thức này S(1) = 1.

    Bài 5: Đếm số lượng chữ số của một số nguyên n.

    Trước khi chưa biết đệ quy, ta thường làm cách dùng vòng lặp, dùng một biến đếm lưu kết quả, mỗi lần lặp tăng biến đếm lên và chia n cho 10, lặp cho đến khi n bằng 0. Nếu tư duy theo kiểu đệ quy sẽ đơn giản hơn rất nhiều.

    Giả sử có số nguyên dương , ta đếm số lượng chữ số bằng cách: đếm số lượng của số nguyên rồi cộng thêm 1 (ứng với chữ số ). Và trường hợp cơ bản là nếu n < 10 thì có 1 chữ số.

    int DemSoLuongChuSo(int n) { if (n < 10) return 1; else return DemSoLuongChuSo(n / 10) + 1; }

    Vậy số nguyên âm thì sao ? Đơn giản ta chỉ cần đếm số đối của nó, hàm được cài đặt hoàn thiện như sau

    int DemSoLuongChuSo(int n) { if (n < 0) return DemSoLuongChuSo(-n); else if (n < 10) return 1; else return DemSoLuongChuSo(n / 10) + 1; }

     

     

    Chia sẻ:

    Like this:

    Số lượt thích

    Đang tải…

    --- Bài cũ hơn ---

  • Độ Phức Tạp Tính Toán
  • Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số Và Bài Tập Vận Dụng
  • Các Dạng Bài Tập Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Số Phức Cơ Bản Và Nâng Cao
  • Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải 9 Bài Pt Mũ & Log Bằng Ẩn Số Phụ
  • 9 Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Đề Tài:phương Pháp Giải Pt Nghiệm Nguyên
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)
  • Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình

    Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

    Lý thuyết & Phương pháp giải

    Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0, (a ≠ 0) (*)

    – Đặt t = x 2 ≥ 0 thì (*) ⇔ at 2 + bt + c = 0 (**)

    – Để xác định số nghiệm của (*), ta dựa vào số nghiệm của (**) và dấu của chúng, cụ thể:

    + Để (*) vô nghiệm ⇔

    + Để (*) có 1 nghiệm

    + Để (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔

    + Để (*) có 3 nghiệm ⇔ (**) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.

    + Để (*) có 4 nghiệm ⇔ (**) có 2 nghiệm dương phân biệt.

    Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

    Phương pháp giải: Chia hai vế cho x 2 ≠ 0, rồi đặt t = x + α/x ⇒ t 2 = (x + α/x) 2 với α = d/b

    Loại 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + d

    Phương pháp giải: = e

    Loại 3. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex 2 với a.b = c.d

    Phương pháp giải: Đặt t = x 2 + ab + ((a+b+c+d)/2)x thì phương trình

    ⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t – ((a+b-c-d)/2)x) = ex 2 (có dạng đẳng cấp)

    Phương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α) 4 + (t – α) 4 = c với α = (a-b)/2

    Phương pháp giải: Tạo ra dạng A 2 = B 2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng 2k.x 2 + k 2, tức phương trình (1) tương đương:

    Cần vế phải có dạng bình phương

    Phương pháp giải: Tạo A 2 = B 2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: (x 2 + (a/2)x + k) 2 = x 4 + ax 3 + (2k + a 2/4)x 2 + kax + k 2. Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng: (2k + a 2/4)x 2 + kax + k 2, thì phương trình

    Lúc này cần số k thỏa:

    Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai

    Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner

    Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.

    Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

    + Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1

    + Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x = -1

    + Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai

    Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo

    Ví dụ minh họa

    Hướng dẫn:

    Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x 2 ta được: 2(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) + 6 = 0

    Ta có phương trình: 2(t 2 – 2) – 5t + 6 = 0 ⇔ 2t 2 – 5t + 2 = 0 ⇔

    + t = 1/2 ⇒ x + 1/x = 1/2 ⇔ 2x 2 – x + 2 = 0 (vô nghiệm)

    + t = 2 ⇒ x + 1/x = 2 ⇔ x 2 – 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

    Bài 2: Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3) = 24

    Hướng dẫn:

    Phương rình tương đương với (x 2 + 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

    Đặt t = x 2 + 3x, phương trình trở thành

    t(t+2) = 24 ⇔ t 2 + 2t – 24 = 0 ⇔

    + t = -6 ⇒ x 2 + 3x = -6 ⇔ x 2 + 3x + 6 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

    + t = 4 ⇒ x 2 + 3x = 4 ⇔ x 2 + 3x – 4 = 0 ⇔

    Vậy phương rình có nghiệm là x = -4 và x = 1

    Bài 3: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x 2

    Hướng dẫn:

    Phương trình tương đương với 4(x 2 + 17x + 60)(x 2 + 16x + 60) = 3x 2 (*)

    Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

    Xét x ≠ 0, chia hai vế cho x 2 ta có

    (*)⇔ 4(x + 17 + 60/x)(x + 16 + 60/x) = 3

    Đặt y = x + 16 + 60/x phương trình trở thành

    4(y+1)y = 3 ⇔ 4y 2 + 4y – 3 = 0 ⇔

    Với y = 1/2 ta có x + 16 + 60/x = 1/2 ⇔ 2x 2 + 31x + 120 = 0

    Với y = -3/2 ta có x + 16 + 60/x = -3/2 ⇔ 2x 2 + 35x + 120 = 0

    Vậy phương trình có nghiệm là x = -8, x = -15/2 và

    Hướng dẫn:

    Suy ra x = -2

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2

    Bài 5: Giải phương trình

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ 3

    Đặt u = (x+1)/(x-2); v = (x-2)/(x-3) ta được u 2 + uv = 12v 2

    ⇔(u – 3v)(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v; u = -4v

    +) u = 3v ⇔ (x+1)/(x-2) = 3(x-2)/(x-3) ⇔ x 2 + 4x + 3 = 3x 2 – 12x + 12

    ⇔2x 2 – 16x + 9 = 0 ⇔ x = (8 ± √46)/2

    +) u = -4v ⇔ (x+1)/(x-2) = -4(x-2)/(x-3) ⇔ x 2 + 4x + 3 = -4x 2 + 16x – 16

    ⇔ 5x 2 – 12x + 19 = 0(Vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = (8 ± √46)/2

    Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết
  • Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác
  • Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay Giải Nhanh Trắc Nghiệm Lượng Giác
  • Cách Tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Tích Của Chúng
  • Phương Trình Bậc Hai, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Pt Chuyen De Phuong Trinh Bac Hai Dinh Ly Viet Giai Bai Toan Docx
  • Cách Giải Một Số Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc 2

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Nhẩm Nghiệm Phương Trình Bậc Hai
  • Giáo Án Môn Đại Số Lớp 9 Năm 2009
  • Giáo Án Đại Số Lớp 9 Tiết 50: Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Chương Iv. §3. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giải Hệ Pt Bằng Pp Thế Vnxike2 Ppt
  • Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 I. HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:Ta thường gặp một số dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải sau đây: Dạng 1. Phương trình tích.Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Dạng 3. Phương trình trùng phương.Dạng 4. Phương trình dạng: a2 + bf(x) + c = 0 (hoặc ) với a 0: 4.1. Cách giải: +Tìm ĐKXĐ của phương trình (nếu cần). +Đặt f(x) = t (hoặc tương ứng = t). Ta có phương trình: at2 + bt + c = 0 (**) +Giải phương trình (**) bậc hai (ẩn t) +Trả biến và giải tiếp phương trình f(x) = t rồi kết luận. 4.2. Ví dụ: Giải phương trình sau: Giải: .Đặt , ta có: Với t1 = 1, ta có: Với t2 = ta có , phương trình này vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 4.3. Nhận xét:- Nhờ phép biến đổi và bằng cách đặt ẩn phụ, ta đưa được phương trình về dạng phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải: at2 + bt + c = 0 Tuy nhiên có một số phương trình phải qua một số bước biến đổi mới xuất hiện dạng tổng quát (như trong ví dụ trên). - Cũng như một số loại phương trình khác đã giới thiệu ở trên, số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phương trình bậc hai trung gian. - Phương trình trùng phương (cũng như phương trình bậc hai một ẩn) là những dạng đặc biệt của phương trình: ax2n + bxn + c = 0, trong đó: a0; n nguyên dương (còn gọi là phương trình tam thức). Các phương trình này cũng chỉ là dạng đặc biệt của phương trình: a = 0. -Với phương trình đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a 0), ta giải theo cách sau: +Dễ thấy x = 0 không là nghiệm. Do đó chia 2 vế cho x2 , ta được: at2 + bt + c - 2a = 0 (1) +Giải phương trình (1) rồi trả biến = t à tìm x và kết luận. 8.4. Ví dụ : Giải phương trình : 3x3 - 5x2 - 5x + 3 = 0 Hướng dẫn: Biến đổi thành: (x + 1)(3x2 - 8x + 3) = 0 (Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là ) 9. Phương trình hồi quy: 9.1. Định nghĩa: Phương trình hồi quy là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0 (với a.k 0) Nhận xét: Phương trình đối xứng bậc 4 chỉ là một dạng đặc biệt của phương trình hồi quy (với k = 1) 9.2. Cách giải:-Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x2, ta được: -Đặt .Ta có phương trình bậc hai (ẩn t): (*) -Giải phương trình (*).Trả biến = t à tìm x và kết luận. 9.3. Ví dụ: Giải phương trình x4 + 4 = 5x(x2 - 2) (1) Giải :-Ta có (1) x4 - 5x3 +10x +4 = 0 à là phương trình hồi quy với k = - 2. -Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x2, ta được : .Đặt t = ,ta có : .Ta có phương trình : Với t = 4 ta có : .Với t = 1 ta có :.Vậy S = . II. MỘT SỐ BÀI TẬP: Bài 1: Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu: a) b) Bài 2: Giải các phương trình bậc cao sau: a)(x2 + x + 1)2 - 3x2 - 3x - 1 = 0 b)x4 +4x3 +3x2 +2x - 1 = 0 Bài 3: Giải các phương trình sau: a) b)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Rèn Kỹ Năng Giải Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8 Skkn 2014 Toan Khoa Doc
  • 4 Dạng Toán Phương Trình Thường Gặp Trong Đề Thi Hkii Toán 8
  • Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Biến Đổi Tương Đương
  • Bảng Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ,chi Tiết,dễ Hiểu
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
  • Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Một Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Và Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Luận Văn Từ Bái Toán Giải Phương Trình Tới Bài Toán Quỹ Tích
  • Phân Tích Các Chương Trình Đệ Quy
  • Giải Thuật Và Lập Trình: §3. Đệ Quy Và Giải Thuật Đệ Quy
  • Giải Thuật Và Lập Trình: §1. Công Thức Truy Hồi
  • Chuyên đề môn Toán lớp 10

    Chuyên đề Toán học lớp 10: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

    Chuyên đề: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

    I. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

    1. Phương trình bậc nhất

    Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau

    Khi a ≠0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

    2. Phương trình bậc hai

    Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau

    3. Định lí Vi-ét

    Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0) có hai nghiệm x 1, x 2 thì

    x 1 + x 2 = –1x 2 =

    Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình

    II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

    Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.

    1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

    Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

    Giải

    Cách 1

    a) Nếu x ≥ 3 thì phương trình (3) trở thành x – 3 = 2x + 1. Từ đó x = -4.

    Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 3 nên bị loại.

    b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành -x + 3 = 2x + 1. Từ đó x =

    Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.

    Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x =

    Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả

    Phương trình cuối có hai nghiệm là x = -4 và x =

    Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x =

    2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

    Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

    Ví dụ 2. Giải phương trình

    Giải.

    Điều kiện của phương trình (4) là x ≥

    Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả

    Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + √2 và x = 3 – √2 . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3 – √2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x= 3 + √2 là nghiệm (hai vế cùng bằng √2 + 1).

    Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x= 3 + √2 .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)
  • Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Cách Giải Phương Trình Trùng Phương, Phương Trình Tích
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 7: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 7: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Bài Toán Chuyển Động Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Mô Hình Hổi Qui Đơn Biến
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Bằng Công Việc Riêng Và Chung
  • Chương IV: Hàm Số (y = ax^2) (a ≠ 0). Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn – Đại Số Lớp 9 – Tập 2

    Bài 7: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai

    Giống như trong các bài học trước đó, các bạn đã được tìm hiểu về mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình bậc hai, trong bài học hôm nay, các bạn sẽ được làm quen với các dạng toán, biến đổi để phương trình đã cho thành phương trình bậc hai, và tìm ra hướng giải quyết bài toán.

    Tóm Tắt Lý Thuyết

    – Một số phương trình có dạng đặc biệt như: Phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn mẫu thức, một vài dạng toán phương trình bậc cao có thể đưa về phương trình tích hoặc giải được nhờ đặt ẩn số phụ.

    – Học sinh nhớ rằng khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, trước hết phải tìm điều kiện của ẩn để phương trình có nghĩa (giải được) và sau khi tìm được giá trị của ẩn thì phải kiểm tra để chọn giá trị thỏa mãn điều kiện ấy.

    – Khi giải phương trình trừng phương, nên lưu ý đến điều kiện của ần số phụ (t = x^2), đó là (t ≥ 0).

    Các Bai Tập & Lời Giải Bài Tập SGK Bài 7 Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai

    Hướng dẫn các bạn hoàn thành các bài tập sgk bài 7 phương trình quy về phương trình bậc hai chương 4 toán đại số lớp 9 tập 2. Các bài tập giúp các bạn rèn luyện kĩ năng giải các dạng toán qua các phương trình khác nhau.

    Bài Tập 34 Trang 56 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2

    Giải các phương trình trùng phương:

    a. ()(x^4 – 5x^2 + 4 = 0)

    b. (2x^4 – 3x^2 – 2 = 0)

    c. (3x^4 + 10x^2 + 3 = 0)

    Bài Tập 35 Trang 56 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2

    Giải các phương trình:

    a. ()(frac{(x + 3)(x – 3)}{3} + 2 = x(1 – x))

    b. (frac{x + 2}{x – 5} + 3 = frac{6}{2 – x})

    c. (frac{4}{x + 1} = frac{-x^2 – x + 2}{(x + 1)(x + 2)})

    Bài Tập 36 Trang 56 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2

    Giải các phương trình:

    a. ()((3x^2 – 5x + 1)(x^2 – 4) = 0)

    b. ((2x^2 + x – 4)^2 – (2x – 1)^2 = 0)

    Luyện Tập: Bài Tập SGK 56 – 57

    Bài Tập 37 Trang 56 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2

    Giải phương trình trùng phương:

    a. ()(9x^4 – 10x^2 + 1 = 0)

    b. (5x^4 + 2x^2 – 16 = 10 – x^2)

    c. (0,3x^4 + 1,8x^2 + 1,5 = 0)

    d. (2x^2 + 1 = frac{1}{x^{2}}-4)

    Bài Tập 38 Trang 56 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2

    Giải các phương trình:

    a. ()((x – 3)^2 + (x + 4)^2 = 23 – 3x)

    b. (x^3 + 2x^2 – (x – 3)^2 = (x – 1)(x^2 – 2))

    c. ((x – 1)^3 + 0,5x^2 = x(x^2 + 1,5))

    d. (frac{x(x – 7)}{3} – 1 =frac{x}{2}-frac{x – 4}{3})

    e. (frac{14}{x^{2}-9} = 1 -frac{1}{3 – x})

    f. (frac{2x}{x + 1}= frac{x^{2} – x + 8}{(x + 1)(x – 4)})

    Bài Tập 39 Trang 57 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2

    Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

    a. ()((3x^2 – 7x – 10)[2x^2 + (1 – sqrt{5})x + sqrt{5} – 3] = 0)

    b. (x^3 + 3x^2 – 2x – 6 = 0)

    c. ((x^2 – 1)(0,6x + 1) = 0,6x^2 + x)

    d. ((x^2 + 2x – 5)^2 = ( x^2 – x + 5)^2)

    Bài Tập 40 Trang 57 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2

    Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

    a. ()(3(x^2 + x)^2 – 2(x^2 + x) – 1 = 0)

    b. ((x^2 – 4x + 2)^2 + x^2 – 4x – 4 = 0)

    c. (x – sqrt{x} = 5sqrt{x} + 7)

    d. (frac{x}{x + 1} – 10.frac{x + 1}{x} = 3)

    Lời kết: Qua nội dung bài 7 phương trình quy về phương trình bậc hai chương 4 toán đại số lớp 9 tập 2. Các bạn cần lưu ý các vấn đề sau:

    – Phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

    – Tìm điều kiện ẩn để phương trình chứa ẩn ở mẫu thức có nghĩa

    – Điều kiện đặt ẩn số phụ t = x^2, đó là t ≥ 0.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giải Bài Tập Trang 62, 63 Sgk Đại Số 10: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Tổng Hợp Bài Tập Pascal Có Giải, Từ Dễ Đến Khó
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 4: Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Chương Iv. §8. Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai

    --- Bài mới hơn ---

  • Giáo Án Đại Số 10 Nâng Cao: Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai
  • Phân Tích Và Đọc Kết Quả Hồi Quy Đa Biến Trong Spss
  • Giải Bài Toán Yêu Nhau Cau Sáu Bổ Ba
  • Bí Kíp Giải Rubik Cực Chuẩn Chỉ Trong ‘nháy Mắt’
  • Chỉ Cần 20 Bước Là Giải Được Bất Kỳ Khối Rubik Nào, Nhưng Mất 36 Năm Nghiên Cứu Ta Mới Tìm Ra Con Số 20 ‘thần Thánh’
  • Chào mừng các thầy cô về dự thao giảng cụm 2

    Kiểm tra bài cũ

    §8 Một số phương trình và

    bất phương trình quy về bậc hai

    Tiết 64: Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    Giáo viên thực hiện: Đỗ Thị Quỳnh Giao

    Trường : THPT Khoái Châu

    2. Phương trình và bất phương trình

    chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    Khi giải PT hoặc BPT chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    trong quá trình biến đổi cần lưu ý:

    + Nêu các điều kiện xác định của PT hoặc BPT và nêu

    các điều kiện của nghiệm (nếu có).

    + Chỉ bình phương hai vế của PT hoặc BPT khi cả hai

    vế đều không âm

    PT trên ta phải giải như thế nào?

    2. Phương trình và bất phương trình

    chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    Vậy tập nghiệm của PT đã cho là

    Hoạt động 1: Giải PT

    2. Phương trình và bất phương trình

    chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    Tổng quát:

    Hoạt động 2: Hoạt động nhóm

    Nhóm (1)+(2)+(3): Giải PT:

    Nhóm (4)+(5)+(6): Giải PT:

    2. Phương trình và bất phương trình

    chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

    (loại)

    2. Phương trình và bất phương trình

    chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S={0;3}

    Ta có:

    2. Phương trình và bất phương trình

    chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    2. Phương trình và bất phương trình

    chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    Hoạt động 3: Hoạt động nhóm

    Nhóm (1)+(2)+(3): Giải BPT :

    Nhóm (4)+(5)+(6): Giải BPT :

    2. Phương trình và bất phương trình

    chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    hoặc

    Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là

    2. Phương trình và bất phương trình

    chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

    hoặc

    Ta có

    hoặc

    Vậy tập nghiệm của BPT là

    Có 3 bạn giải BPT như sau

    hoặc x≥5

    AN

    MINH

    hoặc

    hoặc

    NAM

    hoặc

    hoặc

    Sai

    Đúng

    Đúng

    ĐK

    Với ĐK trên ta có

    So sánh với ĐK ta có

    hoặc

    hoặc x≥5

    Vậy tập nghiệm của

    BPT (1) là

    S=(-∞;-1][5;+∞

    Vậy tập nghiệm của

    BPT (1) là

    S=[-4;-1][5;+∞

    Ngoài phương pháp sử dụng phép biến đổi tương

    đương để giải PT và BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

    trong một số trường hợp chúng ta còn có thể dùng phương

    pháp đặt ẩn phụ hoặc đánh giá… để giải

    Ví dụ: Giải PT

    HD: Đặt

    (ĐK: t≥0)

    BPT đã cho trở thành: 6t ≤ t2 -7

    hoặc t≥7

    So sánh với ĐK ta có t≥7

    Thay trở lại giải BPT

    Củng cố

    hoặc

    Về nhà các em làm các bài tập: 66, 67, 68d,71, 72,73

    trong SGK

    Hướng dẫn bài tập về nhà

    Chú ý:

    Bài 66c, 66d và bài 68d dùng phương pháp đặt ẩn phụ

    Bài 72b, 73c cần phải xét các trường hợp của biểu thức

    nằm trên tử (hoặc dưới mẫu) không chứa căn

    Xin chân thành cảm ơn

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Thuật Và Lập Trình: §1. Công Thức Truy Hồi
  • Giải Thuật Và Lập Trình: §3. Đệ Quy Và Giải Thuật Đệ Quy
  • Phân Tích Các Chương Trình Đệ Quy
  • Luận Văn Từ Bái Toán Giải Phương Trình Tới Bài Toán Quỹ Tích
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Một Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Và Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 7: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Toán Chuyển Động Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Mô Hình Hổi Qui Đơn Biến
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Bằng Công Việc Riêng Và Chung
  • Đề Tài Hướng Dẫn Học Sinh Phân Tích Đề Bài Và Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
  • Phương Trình Thuần Nhất Bậc 2 Đối Với Sinx Và Cosx
  • Sách giải toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

    Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 7 trang 55: Giải các phương trình trùng phương:

    Lời giải

    Đặt x 2 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành:

    Nhận thấy phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm

    Do t ≥ 0 nên t = 1 thỏa mãn điều kiện

    Với t = 1, ta có: x 2 = 1 ⇔ x = ±1

    Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1 = 1; x 2 = -1

    Đặt x 2 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành:

    Nhận thấy phương trình có dạng a – b + c = 0 nên phương trình có nghiệm

    Cả 2 nghiệm của phương trình đều không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

    Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 7 trang 55: Giải phương trình

    Bằng cách điền vào các chỗ trống (…) và trả lời các câu hỏi.

    – Điều kiện: x ≠ …

    – Khử mẫu và biến đổi, ta được: x 2 – 3x + 6 = … ⇔ x 2 – 4x + 3 = 0.

    – Nghiệm của phương trình x 2 – 4x + 3 = 0 là: x 1 = …; x 2 = …

    Hỏi x có thỏa mãn điều kiện nói trên không ? Tương tự, đối với x 2 ?

    Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:….

    Lời giải

    – Điều kiện: x ≠ ±3

    – Khử mẫu và biến đổi, ta được: x 2 – 3x + 6 = x + 3 ⇔ x 2 – 4x + 3 = 0.

    – Nghiệm của phương trình x 2 – 4x + 3 = 0 là: x 1 = 1; x 2 = 3

    x 1 có thỏa mãn điều kiện nói trên

    x 2 không thỏa mãn điều kiện nói trên

    Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1

    Lời giải

    ⇔ x = 0 hoặc x 2 + 3x + 2 = 0 (1)

    Giải phương trình (1) ta được các nghiệm x = -1; x = -2

    Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x = 0; x = -1; x = -2

    Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

    Bài 34 (trang 56 SGK Toán 9 tập 2): Giải các phương trình trùng phương:

    Lời giải

    Đặt x 2 = t, điều kiện t ≥ 0.

    Khi đó (1) trở thành : t 2 – 5t + 4 = 0 (2)

    Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = 4

    Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

    + Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

    + Với t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

    Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

    Đặt x 2 = t, điều kiện t ≥ 0.

    Khi đó (1) trở thành : 2t 2 – 3t – 2 = 0 (2)

    Giải (2) : Có a = 2 ; b = -3 ; c = -2

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm

    Chỉ có giá trị t 1 = 2 thỏa mãn điều kiện.

    + Với t = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

    Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

    Đặt x 2 = t, điều kiện t ≥ 0.

    Khi đó (1) trở thành : 3t 2 + 10t + 3 = 0 (2)

    Giải (2) : Có a = 3; b = 10; c = 3

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

    Cả hai giá trị đều không thỏa mãn điều kiện.

    Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

    Kiến thức áp dụng

    Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

    Bài 35 (trang 56 SGK Toán 9 tập 2): Giải các phương trình:

    ⇔ (x + 3)(x – 3) + 2.3 = 3x(1 – x)

    ⇔ 4x 2 – 3x – 3 = 0

    Phương trình có hai nghiệm

    Điều kiện xác định: x ≠ 5; x ≠ 2.

    Quy đồng và khử mẫu ta được :

    (x + 2)(2 – x) + 3(2 – x)(x – 5) = 6(x – 5)

    ⇔ 4 – x 2 + 6x – 3x 2 – 30 + 15x = 6x – 30

    ⇔ 4 – x 2 + 6x – 3x 2 – 30 + 15x – 6x + 30 = 0

    Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

    Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

    Điều kiện xác định: x ≠ -1; x ≠ -2.

    Quy đồng và khử mẫu ta được:

    ⇔ 4x + 8 + x 2 + x – 2 = 0

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

    Chỉ có nghiệm x 2 = -3 thỏa mãn điều kiện xác định.

    Vậy phương trình có nghiệm x = -3.

    Kiến thức áp dụng

    Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

    Bài 36 (trang 56 SGK Toán 9 tập 2): Giải các phương trình:

    Lời giải

    ⇔ 3x 2 – 5x + 1 = 0 (1)

    hoặc x 2 – 4 = 0 (2)

    + Giải (1): 3x 2 – 5x + 1 = 0

    + Giải (2): x 2 – 4 = 0 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2.

    ⇔ (2x 2 + x – 4 – 2x + 1)(2x 2 + x – 4 + 2x – 1) = 0

    ⇔ 2x 2 – x – 3 = 0 (1)

    hoặc 2x 2 + 3x – 5 = 0 (2)

    + Giải (1): 2x 2 – x – 3 = 0

    Có a = 2; b = -1; c = -3 ⇒ a – b + c = 0

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

    + Giải (2): 2x 2 + 3x – 5 = 0

    Có a = 2; b = 3; c = -5 ⇒ a + b + c = 0

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

    Kiến thức áp dụng

    Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai Luyện tập (trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2)

    Bài 37 (trang 56 SGK Toán 9 tập 2): Giải phương trình trùng phương:

    Lời giải

    Đặt x 2 = t, điều kiện t ≥ 0.

    Khi đó (1) trở thành : 9t 2 – 10t + 1 = 0 (2)

    Giải (2):

    Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1

    ⇒ a + b + c = 0

    ⇒ Phương trình (2) có nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = 1/9.

    Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.

    + Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

    Đặt x 2 = t, điều kiện t ≥ 0.

    Khi đó (1) trở thành : 5t 2 + 3t – 26 = 0 (2)

    Giải (2) :

    Có a = 5 ; b = 3 ; c = -26

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

    Đối chiếu điều kiện chỉ có t 1 = 2 thỏa mãn

    + Với t = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.

    Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}

    Đặt x 2 = t, điều kiện t ≥ 0.

    Khi đó, (1) trở thành : 0,3t 2 + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

    Giải (2) :

    có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5

    ⇒ a – b + c = 0

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = -1 và t 2 = -c/a = -5.

    Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện.

    Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

    Điều kiện xác định: x ≠ 0.

    Quy đồng, khử mẫu ta được :

    Khi đó (1) trở thành : 2t 2 + 5t – 1 = 0 (2)

    Giải (2) :

    Có a = 2 ; b = 5 ; c = -1

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

    Đối chiếu với điều kiện thấy có nghiệm t 1 thỏa mãn.

    Kiến thức áp dụng

    Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai Luyện tập (trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2)

    Bài 38 (trang 56-57 SGK Toán 9 tập 2): Giải các phương trình:

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm:

    ⇔ 2x 2 + 8x – 11 = 0.

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm:

    ⇔ 2,5x 2 – 1,5x + 1 = 0

    Có a = 2,5; b = -1,5; c = 1

    ⇒ Δ = (-1,5) 2 – 4.2,5.1 = -7,75 < 0

    Vậy phương trình vô nghiệm.

    ⇔ 2x(x – 7) – 6 = 3x – 2(x – 4)

    ⇔ 2x 2 – 14x – 6 = 3x – 2x + 8

    ⇔ 2x 2 – 14x – 6 – 3x + 2x – 8 = 0

    ⇔ 2x 2 – 15x – 14 = 0.

    Có a = 2; b = -15; c = -14

    ⇒ Phương trình có hai nghiệm:

    ⇔ 14 = (x – 2)(x + 3)

    ⇔ 14 = x 2 – 2x + 3x – 6

    Có a = 1; b = 1; c = -20

    Phương trình có hai nghiệm:

    Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.

    Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-5; 4}.

    Kiến thức áp dụng

    Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai Luyện tập (trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2)

    Bài 39 (trang 57 SGK Toán 9 tập 2): Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích:

    d) (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2.

    + Giải (1):

    3x 2 – 7x – 10 = 0

    Có a = 3; b = -7; c = -10

    ⇒ a – b + c = 0

    ⇒ (1) có hai nghiệm x 1 = -1 và x 2 = -c/a = 10/3.

    + Giải (2):

    2x 2 + (1 – √5)x + √5 – 3 = 0

    Có a = 2; b = 1 – √5; c = √5 – 3

    ⇒ a + b + c = 0

    ⇒ (2) có hai nghiệm:

    ⇔ x 2(x + 3) – 2(x + 3) = 0

    + Giải (1): x 2 – 2 = 0 ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = √2 hoặc x = -√2.

    + Giải (2): x + 3 = 0 ⇔ x = -3.

    Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-3; -√2; √2}

    ⇔ (x 2 – 1)(0,6x + 1) = x.(0,6x + 1)

    ⇔ (x 2 – 1)(0,6x + 1) – x(0,6x + 1) = 0

    ⇔ (0,6x + 1)(x 2 – 1 – x) = 0

    + Giải (2):

    Có a = 1; b = -1; c = -1

    d) (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2

    ⇔ (3x – 10)(2x 2 + x – 10) = 0

    + Giải (2):

    Có a = 2; b = 1; c = -10

    ⇒ (2) có hai nghiệm:

    Kiến thức áp dụng

    Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai Luyện tập (trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2)

    Bài 40 (trang 57 SGK Toán 9 tập 2): Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

    Hướng dẫn:

    Lời giải

    Khi đó (1) trở thành : 3t 2 – 2t – 1 = 0 (2)

    Giải (2) : Có a = 3 ; b = -2 ; c = -1

    ⇒ a + b + c = 0

    ⇒ (2) có hai nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = -1/3.

    (*) có hai nghiệm

    Có a = 3; b = 3; c = 1 ⇒ Δ = 3 2 – 4.3.1 = -3 < 0

    ⇒ (**) vô nghiệm.

    Đặt x 2 – 4x + 2 = t,

    Khi đó (1) trở thành: t 2 + t – 6 = 0 (2)

    Giải (2): Có a = 1; b = 1; c = -6

    ⇒ (2) có hai nghiệm

    + Với t = 2 ⇒ x 2 – 4x + 2 = 2

    ⇔ x(x – 4) = 0

    ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

    + Với t = -3 ⇒ x 2 – 4x + 2 = -3

    Có a = 1; b = -4; c = 5 ⇒ Δ’ = (-2) 2 – 1.5 = -1 < 0

    ⇒ (*) vô nghiệm.

    Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S = {0; 4}.

    Khi đó (1) trở thành: t 2 – 6t – 7 = 0 (2)

    Giải (2): Có a = 1; b = -6; c = -7

    ⇒ a – b + c = 0

    Đối chiếu điều kiện chỉ có nghiệm t = 7 thỏa mãn.

    + Với t = 7 ⇒ √x = 7 ⇔ x = 49 (thỏa mãn).

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 49.

    Giải (2): Có a = 1; b = -3; c = -10

    ⇒ (2) có hai nghiệm:

    Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giải Bài Tập Sgk Bài 7: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Giải Bài Tập Trang 62, 63 Sgk Đại Số 10: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Tổng Hợp Bài Tập Pascal Có Giải, Từ Dễ Đến Khó
  • Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài Tập Sgk Bài 7: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 2: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 7: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Bài Toán Chuyển Động Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Mô Hình Hổi Qui Đơn Biến
  • Sách Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

    Bài 3.13 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:

    Lời giải:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình

    ⇔ (m – 2)(m – 4)x = (m + 1)(m – 2)

    Kết luận

    Với m = 2, mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;

    Với m = 4, phương trình vô nghiệm.

    b) Điều kiện của phương trình là x ≠ -1, ta có

    ⇒ (m – 2)x + 3 = (2m – 1)(x + 1)

    ⇒ (m + 1)x = 4 – 2m (1)

    Với m = -1 phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.

    Kết luận

    Với m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm

    c) Điều kiện của phương trình là x ≠ 1. Khi đó ta có

    ⇔ (2m + 1)x – m = (x + m)(x – 1)

    ⇔ x = 0, x = m + 2

    Giá trị x = m + 2 thỏa mãn điều kiện của phương trình khi m ≠ -1

    Kết luận

    Vậy với m = -1 phương trình có nghiệm duy nhất x = 0;

    Với m ≠ -1 phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = m + 2.

    d) Điều kiện của phương trình là x ≠ m . Khi đó ta có

    ⇔ (3m – 2)x – 5 = -3x + 3m

    ⇔ (3m + 1)x = 3m + 5

    Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình khi và chỉ khi

    Kết luận

    Bài 3.14 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Cho phương trình

    (m + 2)x 2 + (2m + 1)x + 2 = 0

    a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3.

    b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.

    Đáp số: m = -5.

    b) Phương trình có nghiệm kép khi m ≠ -2 và Δ = 0.

    Khi m = -3/2 nghiệm kép của phương trình là x = 2.

    Bài 3.15 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Cho phương trình 9x2 + 2(m2 – 1)x + 1 = 0

    b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1, x 2 mà x 1 + x 2 = -4

    Bài 3.16 trang 66 Sách bài tập Đại số 10: Giải các phương trình

    Lời giải:

    a) Điều kiện của phương trình là x ≥ 4/3

    Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả

    Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả.

    ⇔ 3x 2 – 2x – 2 = 0

    Phương trình cuối vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

    d) Điều kiện của phương trình là: 3x 2 – 4x – 4 ≥ 0 và 2x + 5 ≥ 0

    Phương trình cuối có hai nghiệm x 1 = -1, x 2 = 3. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn các điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.

    Vậy phương trình đã có hai nghiệm x 1 = -1, x 2 = 3

    Bài 3.17 trang 67 Sách bài tập Đại số 10: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau

    3x + 2m = x – m ⇔ 2x = -3m ⇔ x = -3m / 2

    Ta có:

    -3x – 2m = x – m ⇔ 4x = -m ⇔ x = -m / 4

    Ta có:

    Kết luận

    Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0;

    Phương trình (1) ⇔ x = -3m + 2

    Phương trình (2) ⇔ 3x = m – 2 ⇔ x = (m – 2) / 3

    Vậy với mọi giá trị của m phương trình có nghiệm là:

    c) m = 0 phương trình trở thành

    -x – 2 = 0 ⇒ x = -2

    m ≠ 0 phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có Δ = 4m + 1

    Với m < -1/4 phương trình vô nghiệm;

    Với m ≥ -1/4 nghiệm của phương trình là

    Kết luận. Với m ≤ 1 phương trình vô nghiệm.

    Bài tập trắc nghiệm trang 67, 68 Sách bài tập Đại số 10:

    Bài 3.18: Nghiệm của phương trình sau là:

    A. x = -2/3 B. x = 1

    B. x = 1 và x = -2/3 D. x = -1/3

    Lời giải:

    Điều kiện của phương trình là x ≠ (-1)/3.

    Để phá các dấu giá trị tuyệt đối, ta phải xét ba trường hợp x < -3, -3 ≤ x < 1/2 và x ≥ 1/2 dẫn đến giải phương trình rất tốn thời gian. Cách nhanh nhất là xét từng phương án. Phương án D bị loại di điều kiện của phương trình. Với phương án A, thay x = (-2)/3 vào phương trình ta thấy vế trái âm, còn vế phải dương, nên phương án này bị loại. Phương án C cũng bị loại do có giá trị x = (-2)/3.

    Đáp án: B

    A. x = 0 và x = -2 B. x = 0

    C. x = 3 D. x = -2

    Lời giải:

    Với giá trị x = 0 thì vế trái của phương trình tương đương, còn vế phải âm nên phương án A và B đều bị loại. Tương tự, với x = -2 thì vế trái dương, vế phải âm nên phương án D bị loại.

    Đáp án: C

    Bài 3.20: Tìm nghiệm của phương trình sau:

    A. x = 1/2 B. x = 1

    C. x = 0 D. phương trình vô nghiệm

    Lời giải:

    Điều kiện của phương trình:

    4x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3/4;

    -2x + 1 ≥0 ⇒ x ≤ 1/2.

    Không có giá trị nào của x thỏa mãn hai điều kiện này nên phương trình vô nghiệm.

    Đáp án: D

    Bài 3.21: Tìm nghiệm của phương trình sau:

    A. x = 0 và x = 1 B. x = 1 và x = 2

    C. x = 0 và x = 2 D. x = 0 và x = 1

    Lời giải:

    Thay x = 0 và x = 2 vào phương trình ta thấy hai vế đều cho giá trị là 3.

    Đáp án: C

    A. x = 0, x = 2, x = 8 và x = -4

    B. x = 0 và x = 4

    C. x = -2 và x = 4

    D. x = 1 và x = -4

    Lời giải:

    Phương án A có nhiều giá trị quá, thay vào phương trình mất nhiều thời gian, nên ta xét các phương trình còn lại.

    Với phương án B, khi thay x = 0 vào phương trình thì hai vế đều bằng 4 nên x = 0 là một nghiệm. Tuy nhiên khi thay giá trị x = 4 vào phương trình thì vế trái bằng 0, còn vế phải bằng 16. Vậy phương án B và phương án C đều bị loại. Với phương án D, giá trị x = 1 cũng không phải là nghiệm của phương trình, nên phương án D bị loại.

    Đáp án: A

    Bài 3.23: Phương trình

    (m + 1)x 2 – 3(m – 1)x + 2 = 0

    có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia thì giá trị của tham số m là:

    A. m = 1 B. m = -1

    C. m = 0 hoặc m = 3 D. m = 2

    Lời giải:

    Với m = 1 phương trình đã cho có dạng

    Phương trình này vô nghiệm, nên phương án A bị loại. Với m = -1 phương trình đã cho trở thành phương trình bậc nhất 6x + 2 = 0 chỉ có một nghiệm nên phương án B bị loại.

    Với m = 2 phương trình đã cho trở thành phương trình

    Phương trình này vô nghiệm, nên phương án D bị loại.

    Đáp án: C

    Bài 3.24: Phương trình

    có hai nghiệm âm phân biệt khi tham số m nằm trong khoảng nào sau đây?

    A. 0 < m < 1

    B. -1 < m < 1/24

    C. -2 < m < 0

    D. -1 < m < 1

    Đáp án: B

    A. m = 1

    B. m = -3

    C. m = -2

    D. Không tồn tại m

    Lời giải:

    Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 và x 2 mà x 1 + x 2 = 4 khi

    Δ ≥ 0 và (-b)/a = 4.

    Với m = 1 thì (-b)/a = -2(m + 1) = -4 không đúng.

    Với m = -3 thì (-b)/a = 4 đúng, nhưng

    Với m = -2 thì (-b)/a = 2, sai.

    Vậy cả 3 phương án A, B, C đều sai và đáp án là D.

    Đáp án: D

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Trang 62, 63 Sgk Đại Số 10: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Tổng Hợp Bài Tập Pascal Có Giải, Từ Dễ Đến Khó
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 4: Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Bài Tập Sgk Bài 4: Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số