Top #10 Xem Nhiều Nhất Giải Phương Trình Quỹ Tích Mới Nhất 5/2022 # Top Like

--- Bài mới hơn ---

Cách Giải Bài Toán Quỹ Tích

Chương 0 Bài Giảng Điện Tử Xstk

Bài 1; Giải Tích Tổ Hợp.

Giải Tích Tổ Hợp To Hop Doc

Tàn Tích Quỷ Ám: Giải Mã Mối Quan Hệ Bí Ẩn Đến Ba Thế Hệ

Một hình H, theo định nghĩa, được gọi là quỹ tích của điểm M sẽ có tính chất T khi và chỉ khi hình H chứa các điểm có tính chất T.

• Tập hợp các điểm bao gồm hai điểm A, B và tất cả những điểm nằm giữa A và B là đoạn thẳng AB.
• Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định chính là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
• Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc chính là tia phân giác của góc đó.
• Tập hợp các điểm cách đường thẳng (d) một khoảng bằng I là hai đường thẳng song song với (d) và sẽ cách đường thẳng (d) một khoảng chính bằng I.
• Ta có tập hợp của các điểm cách điểm cố định O một khoảng bằng R chính là đường tròn tâm O, với bán kính R trong mặt phẳng và là mặt cầu O, R trong không gian ba chiều.
• Tập hợp các điểm M tạo với hai đầu mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc (widehat{AMB}) sẽ có số đo bằng (alpha) không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (được gọi là cung tròn chứa góc (alpha) vẽ trên đoạn AB).
• Tập hợp những cặp điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng là mặt phẳng chứa đường thẳng đó.
• Tập hợp các điểm trong mặt phẳng với tổng khoảng cách tới hai điểm cố định cho trước (nằm trong mặt phẳng đó) chính là đường elíp nhận hai điểm cố định đó là tiêu điểm.
• Tập hợp các điểm cách đều một điểm và một đường thẳng cố định sẽ là đường Parabol trong mặt phẳng đi qua điểm và đường cố định đó.

Cách chuẩn bị giải bài toán quỹ tích

Trước hết bạn cần tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường sẽ xuất hiện 3 yếu tố sau đây:

• Yếu tố cố định: Như các điểm, đoạn thẳng hay đường thẳng, ….
• Yếu tố không đổi: Như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, ….
• Yếu tố thay đổi: Thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc các đoạn thẳng, hoặc các hình mà trên đó chứa các điểm ta cần tìm quỹ tích.

Để hiểu rõ hơn về các yếu tố trên ta xét các ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Cho một góc vuông (widehat{xOy}) cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB .

Trong bài toán này chúng ta cần xác định 3 yếu tố đã nêu trên:

• Yếu tố cố định là đỉnh O của góc vuông (widehat{xOy})
• Yếu tố không đổi là độ dài của đoạn thẳng AB
• Yếu tố thay đổi là điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của đoạn thẳng AB cũng thay đổi.

Ví dụ 2: Cho một đường thẳng (b) và điểm A cố định không thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng (b) sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.

• Yếu tố cố định là đỉnh A và đường thẳng (b)
• Yếu tố thay đổi là đỉnh B và đỉnh C
• Yếu tố không đổi chính là hình dạng của tam giác ABC (AB = AC)

Tóm lại: Qua 2 ví dụ trên ta cần chú ý:

• Đôi khi các yếu tố đặc trưng trên không được cho một cách trực tiếp nên ta cần phải hiểu được một cách linh hoạt và sáng tạo.
• Ở ví dụ 2, đề bài yêu cầu là tam giác đồng dạng với chính nó, vì thế ta cần lập ra hoặc chứng minh các giả thiết để tam giác ABC luôn đồng dạng (AB = AC). Thông qua việc đó giúp ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn

Thao tác đoán nhận quỹ tích giúp chúng ta có thể hình dung ra được hình dạng của quỹ tích (đoạn thẳng, đường thẳng, hình tròn, ….).

Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích. Để có thể nhận được kết quả tốt và đơn giản nhất ta xét các điểm giới hạn của chúng, với điều kiện là vẽ hình chính xác.

• Nếu ba điểm ta vẽ được không thẳng hàng thì nhiều khả năng quỹ tích là đường tròn
• Nếu ba điểm ta vẽ được thẳng hàng thì khả năng quỹ tích sẽ là đường thẳng.

Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích điểm

Cách giải bài toán quỹ tích

Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H. Thực chất của phần này là đi tìm hình dạng của quỹ tích (kiểm tra với một vài trường hợp cụ thể, dự đoán và sử dụng lặp luận để chứng minh quỹ tích cần tìm).

Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T. Mục tiêu của việc chứng minh phần đảo là xác minh lại một lần nữa (trong nhiều trường hợp thì việc xét phần đảo sẽ là cách chứng minh chắc chắn nhất cho lập luận của mình).

• Bước 1: Xác định các yếu tố đặc trưng (yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi)
• Bước 2: Biến đổi biểu thức vectơ cho trước về 1 trong 5 dạng toán sau:

Dạng 4: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B cố định và một điểm M di chuyển. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: (overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0) là đường tròn (C) có (left ( O;frac{AB}{2} right ))

Cách giải:

Dạng 5: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A,B cố định và một điểm M di chuyển có (overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=0). Khi đó quỹ tích điểm M sẽ là đường thẳng (left ( Delta right )) đi qua A và vuông góc với AB.

Một số bài tập tìm quỹ tích điểm

Ví dụ 1: Cho (bigtriangleup ABC). Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn (overrightarrow{MA}+2overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC}left ( kne0 right ))

Gọi (I) là trung điểm của AB. Ta có:

(overrightarrow{MA}+2overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC})

(Rightarrowoverrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC})

(Rightarrow2overrightarrow{MI}+overrightarrow{CB}=koverrightarrow{BC}) (do (I) là trung điểm của AB)

(Rightarrow2overrightarrow{MI}=koverrightarrow{BC}-overrightarrow{CB})

(Rightarrow2overrightarrow{MI}=koverrightarrow{BC}+overrightarrow{BC})

Cách giải:

(Rightarrow2overrightarrow{MI}=left (k+1 right )overrightarrow{BC})

(Rightarrowoverrightarrow{MI}=left (frac{k+1}{2} right )overrightarrow{BC}) (tương ứng với dạng toán 1 đã nêu ở trên).

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng (left ( Delta right )) đi qua (I) và song song với BC

Giả sử điểm (I) nằm giữa đoạn thẳng AB và thỏa mãn (2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB}=overrightarrow{0})

(giống với dạng 3 đã nêu ở trên)

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm (I) và bán kính = 1.

• Giả sử điểm (I) thỏa mãn (2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB}=overrightarrow{0})
• Giả sử điểm (J) thỏa mãn (overrightarrow{JC}+4overrightarrow{JD}=overrightarrow{0})

(giống với dạng toán 2 đã nêu ở trên).

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng (left ( Delta right )) là trung trực của (IJ)

Ví dụ 4: Cho (bigtriangleup ABC). Tìm tập hợp điểm M sao cho (overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=AM^2)

Cách giải:

(overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=overrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}\Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}-overrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}=0\Rightarrowoverrightarrow{AM}.left ( overrightarrow{AB}-overrightarrow{AM} right )=0\Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0\Rightarrow-overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0\Rightarrowoverrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0)

(giống dạng toán 4 đã nêu ở trên)

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O bán kính là (frac{AB}{2}).

• Gọi (I) là trung điểm của BC (Rightarrowoverrightarrow{MB}+overrightarrow{MC}=2overrightarrow{MI})
• Gọi G là trọng tâm của (bigtriangleup ABCRightarrowoverrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=overrightarrow{0})

• Ta thấy A cố định (giả thiết) và (I) là trung điểm của BC suy ra (I) cố định. (1)
• G là trọng tâm của (bigtriangleup ABC) suy ra G cố định (2)

Từ (1) và (2) suy ra quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm G, bán kính là (2IA)

Ví dụ 6: Trên mặt phẳng cho 2 điểm A,B cố định. Tìm tập hợp điểm M sao cho (AM^2+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0)

(AM^2+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0\ Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0\ Rightarrowoverrightarrow{AM}.left (overrightarrow{AM}+overrightarrow{MB} right )=0\ Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=0)

Please follow and like us:

--- Bài cũ hơn ---

Tàn Tích Quỷ Ám

‘tàn Tích Quỷ Ám’: Mối Quan Hệ Thần Bí Giữa Ba Thế Hệ

‘tàn Tích Quỷ Ám’: Câu Chuyện Rùng Rợn Đằng Sau Căn Bệnh Mất Trí

‘tàn Tích Quỷ Ám’: Khi Nhà Là Nơi Ta… Không Dám Trở Về

Đánh Giá Phim Tàn Tích Quỷ Ám

--- Bài mới hơn ---

Hướng Dẫn Giải Một Số Bài Toán Quỹ Tích

Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Giải Một Bài Toán Quỹ Tích Như Thế Nào

Hóa Học Lớp 9: Nhận Biết

Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Đại Số Lớp 9 Thi Vào 10

Giải Bài Tập Tiếng Anh Lớp 9 Chương Trình Mới Unit 1: Getting Started, Skill 1

Tìm quỹ tích các điểm là một dạng Toán khó trong chương trình Hình học 9. Tuy nhiên nếu có phương pháp giải rồi thì cũng không khó lắm đâu.

Trước tiên các em cần phải nhớ lại lý thuyết quỹ tích tại link này: http://timgiasuhanoi.com/bai-toan-quy-tich-cung-chua-goc/

Tuy nhiên chúng tôi cũng nhắc lại một chút:

1. Định nghĩa quỹ tích

Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất α

(hay tập hợp của những điểm M có tính chất α ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất α.

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất α là một hình (H) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất α đều thuộc hình (H).

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất α .

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất α là hình (H).

2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích

2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán

2.2 Đoán nhận quỹ tích

Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa.

Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng quỹ tích.

– Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng.

– Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn.

Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N.

Đoán nhận quỹ tích

– Khi M → B thì BM → O

do vậy AN → O hay N → A.

Vậy A là một điểm của quỹ tích.

– Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N → I. Vậy I là một điểm của quỹ tích.

3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào?

Giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo.

3.1 Chứng minh phần thuận

Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:

1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy.

3) Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng b một khoảng l cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cách đường thẳng b một khoảng l.

4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O, bán kính r.

5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng α ( α không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB).

Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất α’ bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất α’ và quỹ tích của những điểm thoả tính chất α’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (như vậy α’ có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không đổi”; ” cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v…). Như vậy ta thay việc xét mệnh đề M(α) bằng việc xét mệnh đề M( α’) mà M(α) ⇒ M( α’)

3.2 Chứng minh phần đảo

Thông thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy một vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong phần thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính chất α . Ta sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất α .

Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm M có tính chất T nêu trong đề bài. Tính chất T này thường được tách làm hai nhóm tính chất T1 và T ₂. Ta dựng các điểm chuyển động còn lại thoả mãn tính chất T ₁ rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính chất T ₂. Như thế, tuỳ theo cách chia nhóm T1 và T ₂ mà có nhiều cách chứng minh đảo đối với cùng một bài toán.

3. Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích các điểm

Cho một góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn thẳng AB luôn bằng một đoạn l cho trước. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Giải:

1) Phần thuận

Nối OI. Tam giác AOB vuông mà OI là trung tuyến nên

--- Bài cũ hơn ---

Tuyển Tập Các Bài Toán Hình Học Lớp 9 Ôn Thi Vào 10

Gia Sư Online: Cách Giải Bài Toán Thực Tế Lớp 9 Hình Học

Các Dạng Bài Toán Rút Gọn Lớp 9 Thi Vào Lớp 10

40 Bài Toán Tính Nhanh Ở Tiểu Học

Cách Giải Bài Toán Tính Nhanh Giá Trị Của Biểu Thức

--- Bài mới hơn ---

Cách Giải Bài Toán Đốt Cháy Hidrocacbon Hay, Chi Tiết

Các Dạng Bài Tập Toán Về Đường Tròn Và Cách Giải

Giải Lịch Sử 9 Bài 1 Trang 3 Cực Chất

Giải Sinh Lớp 9 Bài 11: Phát Sinh Giao Tử Và Thụ Tinh

Giải Sinh Lớp 11 Bài 9: Quang Hợp Ở Các Nhóm Thực Vật C3, C4 Và Cam

Dạng toán Tìm quỹ tích các điểm là một dạng Toán khó trong chương trình Hình học lớp 9. Vì vậy các em cần biết phương pháp giải chung cho dạng toán này.

Trước tiên chúng ta sẽ nhắc lại lý thuyết quỹ tích trước khi đi vào ví dụ bài tập có lời giải.

1. Định nghĩa quỹ tích

Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất α

(hay tập hợp của những điểm M có tính chất α ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất α.

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất α là một hình (H) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất α đều thuộc hình (H).

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất α .

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất α là hình (H).

2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích

2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán

Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:

a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm.

b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v…

Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”.

c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích

hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v…

Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB.

Trong bài toán này thì:

Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy.

Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB.

Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của AB cũng thay đổi.

Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc nào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách linh hoạt. Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường tròn cố định…” thì ta hiểu rằng tâm của đường tròn là một điểm cố định và bán kính của đường tròn là một độ dài không đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây.

Ví dụ 2: Cho một đường thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng b sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.

Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy:

Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b.

Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C.

Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC. Nếu dừng lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thể giải được bài toán. Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tự đồng dạng ra như sau:

– Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn $ displaystyle frac{AC}{AB}$ là một số không đổi.

Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm ra cách giải bài toán.

2.2 Đoán nhận quỹ tích

Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa.

Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng quỹ tích.

– Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng.

– Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn.

Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N.

Đoán nhận quỹ tích

– Khi M → B thì BM → O

do vậy AN → O hay N → A.

Vậy A là một điểm của quỹ tích.

– Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N → I. Vậy I là một điểm của quỹ tích.

3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào?

Giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo.

3.1 Chứng minh phần thuận

Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:

1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy.

3) Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng b một khoảng l cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cách đường thẳng b một khoảng l.

4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O, bán kính r.

5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng α ( α không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB).

Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất α’ bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất α’ và quỹ tích của những điểm thoả tính chất α’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (như vậy α’ có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không đổi”; ” cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v…). Như vậy ta thay việc xét mệnh đề M(α) bằng việc xét mệnh đề M( α’) mà M(α) ⇒ M( α’)

3.2 Chứng minh phần đảo

Thông thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy một vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong phần thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính chất α . Ta sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất α .

Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm M có tính chất T nêu trong đề bài. Tính chất T này thường được tách làm hai nhóm tính chất T1 và T ₂. Ta dựng các điểm chuyển động còn lại thoả mãn tính chất T ₁ rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính chất T ₂. Như thế, tuỳ theo cách chia nhóm T1 và T ₂ mà có nhiều cách chứng minh đảo đối với cùng một bài toán.

3. Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích các điểm

Cho một góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn thẳng AB luôn bằng một đoạn l cho trước. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Giải:

1) Phần thuận

Nối OI. Tam giác AOB vuông mà OI là trung tuyến nên

--- Bài cũ hơn ---

Cách Phân Tích Bài Toán Rút Gọn Biểu Thức

Các Dạng Bài Toán Thực Tế Ôn Thi Thpt Quốc Gia Chọn Lọc, Có Đáp Án

Câu Hỏi Bài 14 Trang 63 Sgk Sử 7

Giải Bài Tập Lịch Sử 5 Bài 18: Ôn Tập: Chín Năm Kháng Chiến Bảo Vệ Độc Lập Dân Tộc (1945

Lịch Sử Và Địa Lí 5 Phiếu Kiểm Tra 3

--- Bài mới hơn ---

Phân Tích Các Chương Trình Đệ Quy

Giải Thuật Và Lập Trình: §3. Đệ Quy Và Giải Thuật Đệ Quy

Giải Thuật Và Lập Trình: §1. Công Thức Truy Hồi

Chương Iv. §8. Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai

Giáo Án Đại Số 10 Nâng Cao: Một Số Phương Trình Và Bất Phương Trình Quy Về Bậc Hai

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH

TỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ:PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Thái nguyên – năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH

TỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Chuyên ngành:phƣơng pháp toán sơ cấp

Mã số: 604640

LUẬN VĂN THẠC SĨ:PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

TS.Nguyễn Minh Hà Thái nguyên – năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN CHÍNH TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH

TỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Chuyên ngành:phƣơng pháp toán sơ cấp

Mã số: 604640

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Thái nguyên – năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại : Trường Đại học Khoa học – ĐHTN

Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Minh Hà Phản biện 1: …………………………………………………….

Phản biện 2: ……………………………………………………. Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại :

Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên

Vào hồi ……giờ … ngày …. tháng …. năm 2010

Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên

và thư viện trường Đại học Khoa học.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu

01

Chương 1. Hai bài toán một bản chất

03

1.1.

Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện

03

1.2.

Phương trình và bài toán giải phương trình

05

1.2.1.

Đẳng thức

05

1.2.2.

Phương trình

05

1.2.3.

Ba phương pháp giải phương trình

06

1.2.4.

Phương trình hệ quả, phương trình tương đương

09

1.3.

Quỹ tích và bài toán tìm quỹ tích

12

1.3.1.

Cái nhìn tổng quan

12

1.3.2.

Thuận-đảo, biến đổi hệ quả và thử lại

13

1.3.3.

Thuận đảo đồng thời ,biến đổi tương đương

21

1.3.4.

Đảo-phản đảo, đoán nhận và khẳng định

26

Chương 2. Dự đoán quỹ tích và giới hạn quỹ tích

32

2.1.

Suy luận toán học và suy luận có lí

32

2.1.1.

Định nghĩa và ví dụ

32

2.1.2.

Tính tương đối

32

2.1.3.

Chú ý

33

2.2.

Công đoạn dự đoán quỹ tích – sai lầm thường gặp

33

2.2.1.

Thế nào là công đoạn dự đoán quỹ tích

33

2.2.2.

Công đoạn dự đoán quỹ tích nằm ở đâu

33

2.2.3.

Những phép suy luận có lí cơ bản

37

2.3.

Công đoạn giới hạn quỹ tích – Sai lầm tràn lan

39

2.3.1.

Thế nào là công đoạn giới hạn quỹ tích

39

2.3.2.

Có hay không công đoạn giới hạn quỹ tích

39

Tài liệu tham khảo

53

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Minh

Hà.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy về công tác giảng dạy

cùng với sự hướng dẫn tận tình trong thời gian tác giả học cao học và hoàn thành

luận văn.

Trong quá trình học tập, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và giảng

dạy nhiệt tình của GS.TSKH.Hà Huy Khoái, GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu,

PGS.TS. Nông Quốc Chinh, PGS.TS.Lê Thị Thanh Nhàn, TS.Nguyễn Thị Thu

Thuỷ, cùng nhiều thầy cô công tác tại các trường Đại học Thái Nguyên.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo Trường ĐH Khoa học –

Đại học Thái Nguyên.

Tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Yên Dũng số I, tỉnh Bắc

Giang, đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học cao học.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn

bè, đồng nghiệp, đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành

luận văn.

Luận văn này sẽ không được hoàn thành nếu thiếu sự thông cảm, chia sẻ và

sự động viên kịp thời của gia đình. Xin gửi tới gia đình lời cảm ơn chân thành và

sâu sắc.

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Văn Chính Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

Dự đoán quỹ tích là công đoạn quan trọng trong quá trình giải bài toán tìm

quỹ tích. Trong công đoạn dự đoán quỹ tích người làm toán không chỉ sử dụng các

phép suy luận toán học mà còn có thể sử dụng các phép suy luận có lí. Do đó công

đoạn dự đoán quỹ tích chỉ được thực hiện trên giấy nháp của người làm toán.

Công đoạn giới hạn quỹ tích xét cho cùng chỉ là một bộ phận của phần

thuận mà ở đó lẽ ra phải sử dụng các phép suy luận toán học thì không ít người

làm toán lại sử dụng các phép suy luận có lí. Nói cách khác, không có công đoạn

giới hạn quỹ tích.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

CHƢƠNG 1

HAI BÀI TOÁN, MỘT BẢN CHẤT

1.1. Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện

Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện là bài toán quen thuộc với tất cả

chúng ta. Về hình thức, nó được phát biểu như sau.

Tìm tất cả các đối tượng

A( ).a

Kí hiệu

A( )a

biểu thị đối tượng A có tính chất

.a

Cùng với kí hiệu

A( ),a

ta còn dùng kí hiệu

A( )a

để biểu thị đối tượng A

không có tính chất

.a

Các kí hiệu

A( )a

và

A( )a

có hiệu lực trong toàn bộ luận văn này.

Trong bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, thuật ngữ “tìm” cần phải

hiểu là “tìm hết” chứ không phải là “tìm được”. Nói một cách chính xác, tìm

tập hợp

{ }

A A( ) .a

Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có ba phương pháp giải,

được mô hình hoá như sau.

Phương pháp 1, biến đổi hệ quả và thử lại*.

Bước 1, biến đổi hệ quả*.

A( ) A .a Þ Î T

Bước 2, thử lại*.

A A( ).Î Þ aT

Phương pháp 2, biến đổi tương đương*.

A( ) A .a Û Î T

Chú ý:

Về phương diện logic, phương pháp biến đổi tương đương cũng chính là

phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Tuy nhiên, trong lời giải mỗi bài toán tìm

kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phương pháp nào trong hai

phương pháp trên là vấn đề không đơn giản đòi hỏi người giải toán phải có kĩ năng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

Phương pháp 3, đoán nhận và khẳng định*.

Bước 1, đoán nhận*. Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng

{ }

A( ) .ÐaT

Bước 2, khẳng định*.

A A( ).Ï Þ aT

A A( ).Î Þ aT

Chú ý:

Nếu sử dụng phương pháp đoán nhận và khẳng định thì ta phải có công

đoạn đoán nhận tập hợp

T

trước khi tiến hành thao tác khẳng định: chứng minh

A A( ).Î Þ aT

Như vậy, phương pháp đoán nhận và khẳng định không tự nhiên bằng

phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại.

Vì lí do trên, phương pháp đoán nhận và khẳng định ít được sử dụng hơn

phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại.

Cần phải nói thêm rằng, để giải bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện,

về phương diện lôgic, song hành với các phương pháp 1, 3 còn có hai phương

pháp giải khác, được mô hình hoá như sau.

Phương pháp 1‟, bao gồm hai bước.

Bước 1.

TA A( ).Ï Þ a

Bước 2.

TA( ) A .a Þ Ï

Phương pháp 3‟, bao gồm hai bước.

Bước 1.

A( ) A .a Þ Î T

Bước 2.

TA( ) A .a Þ Ï

Tuy nhiên, trong thực tế giải toán, để giải các bài toán tìm đối tượng thoả

mãn điều kiện, người ta chỉ sử dụng các phương pháp 1, 2, 3, các phương pháp

1‟, 3‟ không bao giờ được sử dụng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2 2 3xx  

Lời giải.

Bước 1, biến đổi hệ quả.

Giả sử x

0

là nghiệm của phương trình, ta có

00

2 2 3xx  

là đẳng thức đúng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ví dụ 2, biến đổi tương đương.

Giải phương trình sau.

2x 3 x 2- = –

x 3 2

x2

8

Kết luận. Phương trình có nghiệm

32

Ví dụ 3, đoán nhận và khẳng định.

Giải phương trình sau.



f(x)



f(x

0

) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

9

Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất

hai nghiệm trên

1

( ; )

2

 

(3).

Từ (2) và (3) suy ra (1) có đúng hai nghiệm.

Kết luận.

Phương trình có hai nghiệm, x = 0 và x = 1.

Nhận xét.

Công đoạn chỉ ra tập hợp

 

1, 2

là tập hợp nghiệm không tự nhiên.

Ví dụ 4, đoạn nhận và khẳng định.

Giải phương trình

sinx sin2 sin3 4 2xx

Lời giải.

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích, theo bất đẳng thức

Bunhiacôpxki, ta có

sinx – sin2x – sin3x = (sinx – sin3x) – sin2x = 2cos2x.sin(- x) – sin2x

2 2 2 2

(4sin 1)( os 2 sin 2 ) (4sin 1) 5 4 2.x c x x x      

Vậy phương trình vô nghiệm.

Nhận xét.

Vì phương trình vô nghiệm nên trong lời giải trên không có bước đoán

nhận mà chỉ có bước khẳng định.

1.2.4. Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng

Cách trình bày lời giải các ví dụ 1, ví dụ 2 trong mục 1.2.3 là cách trình

bày chuẩn khi giải phương trình bằng các phương pháp biến đổi hệ quả và thử

lại, phương pháp biến đổi tương đương. Nhưng cách trình bày đó quá rườm rà.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

10

Để khắc phục tình trạng này, người ta đưa ra hai khái niệm: phương trình hệ quả,

phương trình tương đương.

Để cho đơn giản, ta chỉ giới thiệu khái niệm phương trình hệ quả, phương

trình tương đương đối với phương trình một ẩn. Đối với phương trình nhiều ẩn,

ta có định nghĩa tương tự.

Định nghĩa 1. Nếu tập hợp nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nằm trong

tập hợp nghiệm của phương trình f

1

(x) = g

1

(x) thì phương trình f

1

(x) = g

1

(x)

được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x), kí hiệu f(x) = g(x)



f

1

(x) = g

1

(x).

Định nghĩa 2. Hai phương trình f(x) = g(x) và f

1

(x) = g

1

(x) được gọi là

tương đương nếu chúng có chung tập hợp nghiệm, kí hiệu f(x) = g(x)



f

1

(x) =

g

1

(x).

Đương nhiên f(x) = g(x)



f

1

(x) = g

1

(x) khi và chỉ khi f(x) = g(x)



f

1

(x)

= g

1

(x) và f

1

(x) = g

1

(x)



f(x) = g(x).

Nhờ hai khái niệm trên, lời giải của các ví dụ 1, ví dụ 2 trong mục 1.2.3

được trình bày một cách đơn giản hơn.

Lời giải đơn giản cho ví dụ 1.

Giải phương trình sau.

2 2 3xx  

Lời giải.

Bước 1, biến đổi hệ quả.

Ta có

2 2 3xx  Þ

22

x 4x 4 4x 12x 9- + = – +2

3x 8x 5 0Þ – + =Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

11

Bước 2, thử lại.

Vì

1 2 1 1 2.1 3- = ¹ – = –

nên

x1=

không phải là nghiệm của phương

trình.

Vì

5 1 5

2 2. 3

3 3 3

– = = –

nên

5

x

3

=

là nghiệm của phương trình.

Kết luận.

Phương trình có nghiệm là

5

3

.

Nhận xét.

+ Khi giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại chỉ

được dùng dấu hệ quả (

Þ

).

+ Phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại thực sự ưu việt khi giải những

phương trình vô nghiệm (không có nghiệm nên không có bước thử lại).

Lời giải đơn giản cho ví dụ 2.

Giải phương trình sau.

2x 3 x 2- = –

Lời giải.

Ta thấy:

2x 3 x 2- = –

x 3 2Û = +

Kết luận. Phương trình có nghiệm

32

Nhận xét.

Khi giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương chỉ được

dùng dấu tương đương (

Û

).

1.3. Quỹ tích và bài toán tìm quỹ tích

1.3.1. Cái nhìn tổng quan

Quỹ tích của các điểm

M( )

là hình (H) =

 

M( ) .

Tìm quỹ tích của những điểm

M( )

là tìm hình (H) gồm những điểm

M( ),

cụ thể hơn, mô tả về mặt hình học hình (H) =

 

M( ) .

Theo định nghĩa trên bài toán tìm quỹ tích là một bài toán tìm đối tượng

thoả mãn điều kiện. Do đó để giải bài toán tìm quỹ tích cũng chỉ có thể sử dụng

một trong ba phương pháp sau: biến đổi hệ quả và thử lại, biến đối tương đương,

đoán nhận và khẳng định.

Theo thói quen, với bài toán quỹ tích, thay cho các thuật ngữ biến đổi hệ

quả và thử lại, biến đối tương đương, đoán nhận và khẳng định người ta dùng

các thuật ngữ thuận-đảo, thuận đảo đồng thời, đảo-phản đảo.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Về phương diện logic, phần thuận trong lời giải bài toán tìm quỹ tích và

bước biến đổi hệ quả trong bài toán giải phương trình có cùng bản chất. Khi ta

bắt đầu phần thuận với câu „„ giả sử M có tính chất



‟‟ và kết thúc phần

thuận với câu „„ vậy M thuộc hình (H) ‟‟ cũng giống như khi ta bắt đầu bước

biến đổi hệ quả với câu „„ giả sử x

0

là nghiệm của phương trình ‟‟ và kết thúc

bước biến đổi hệ quả với câu „„ vậy x

0

thuộc tập hợp

 

12

a ,a ,

‟‟.

Tương tự, phần đảo của bài toán tìm quỹ tích và bước thử lại của bài toán

giải phương trình có cùng bản chất logic.

Tuy nhiên, cũng có những điểm khác biệt trong quá trình thực hành.

Khi ta bắt đầu phần đảo với câu „„giả sử M thuộc hình (H) ‟‟ cũng là lúc ta

tin chắc rằng kết thúc phần đảo sẽ là câu „„ vậy M có tính chất



‟‟. Ngược lại,

khi ta bắt đầu bước thử lại với câu „„ giả sử x

0

thuộc tập hợp

 

12

a ,a ,

‟‟ ta không

thể tin chắc rằng kết thúc bước thử lại sẽ là câu „„ vậy x

0

là nghiệm của phương

trình ‟‟. Nói cách khác, khi giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp thuận đảo,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

14

người giải toán phải thực hiện phần thuận hoàn chỉnh tới mức hình (H), tập hợp

chứa các điểm M có tính chất

,

chính là tập hợp các điểm M có tính chất

.

Từ đó, theo định lí Thasles, NP // AB (2).

Từ (1) và (2) suy ra AMPN là hình bình hành.

Từ đó, chú ý rằng I là trung điểm của MN, suy ra I là trung điểm của AP.

Qua I, kẻ đường thẳng song song với BC, theo thứ tự cắt AB, AC tại E, F.

Dễ thấy I thuộc đoạn EF và E,F theo thứ tự là trung điểm của đoạn AB, AC.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

15

(Hình 1)

Đảo. Giả sử I thuộc đoạn EF (h.1).

Đặt P = AI ∩ BC.

Lấy M, N thuộc AB, AC sao cho MP // AC ; NP // AB (h.1).

Vì I thuộc đoạn EF nên P thuộc đoạn BC.

Do đó M, N theo thứ tự thuộc các đoạn AB, AC (3).

Vì I thuộc đoạn EF nên I là trung điểm của đoạn AP.

Từ đó, chú ý rằng AMPN là hình bình hành, suy ra I là trung điểm của

đoạn MN (4).

Từ (3) và (4) suy ra I thoả mãn điều kiện đề bài.

Kết luận. Quỹ tích trung điểm I của MN là đoạn EF.

Nhận xét.

+ Lời giải trên và lời giải ví dụ 1 trong mục 1.2.3 có cùng bản chất logic.

+ Nếu trong phần thuận không có câu „„Giả sử I thoả mãn điều kiện đề

bài ‟‟, lỗi này rất nhiều người mắc, thì học sinh không thể thấy được phương

pháp thuận-đảo trong lời giải bài toán tìm quỹ tích và phương pháp biến đổi hệ

quả và thử lại trong lời giải bài toán giải phương trình có cùng bản chất logic.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C nằm ngoài (O). Điểm A

chạy trên (O). Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Thuận. Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC (h.2).

Dễ thấy G thuộc MA và

1

MG MA

3



 

(Hình 2)

Dễ thấy

1

33

3

M M M

A V ((O’)) V (V (O)) e((O)) (O)   

và G là trọng tâm của tam

giác ABC.

Do đó G thoả mãn điều kiện đề bài.

Kết luận. Quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC là đường tròn (O‟).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

17

Nhận xét.

+ Lời giải trên và lời giải ví dụ 1 trong mục 1.2.3 có cùng bản chất logic.

+ Trong phần đảo, nhờ phép vị tự

1

1

3

3

MM

VV











dễ dàng chỉ ra điểm A thuộc

(O) sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.

Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trong (O) và khác O. Các

điểm B,C chạy trên (O) sao cho



BAC 90 .

Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn

BC.

Lời giải.

Gọi R là bán kính của (O), gọi I là trung điểm của OA (h.3).

Thuận. Giả sử M là trung điểm của BC.

Vì



BAC 90

nên MA = MB (1).

Vì



OMB 90

nên

2 2 2 2

OM BM OB R (2).  

Vì A nằm trong O nên OA < R (3).

Theo công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác, chú ý rằng với (1),

(2) và (3), ta có

Do đó M thuộc đường tròn (I,

22

2R OA

2



). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

18

(Hình 3)

Suy ra đường tròn (I,

22

2R OA

2



) nằm trong đường tròn (O).

Do đó M nằm trong (O).

Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM, cắt (O) tại B, C.

Theo công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác, chú ý rằng

22

2R OA

IM ,

2





Suy ra AM = BM = CM.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Vậy M thoả mãn điều kiện đề bài.

Kết luận. Quỹ tích của M là đường tròn (I,

22

2R OA

2



).

Nhận xét.

+ Lời giải trên và lời giải ví du 1 trong mục 1.2.3 có cùng bản chất logic.

+ Nếu không có kết luận đường tròn (I,

22

2R OA

2



) nằm trong đường tròn

(O) thì không thể chỉ ra sự tồn tại của các điểm B, C, lỗi này rất nhiều người mắc.

Ví dụ 4. Cho đường trong (O). Các điểm A, B, C thay đổi trên (O) sao cho

tam giác ABC nhọn, tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải.

Trước hết xin phát biểu không chứng minh một bổ đề quen thuộc.

Bổ đề. Nếu O, H, G theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm,

trọng tâm của tam giác ABC thì G thuộc đoạn OH và OH = 3OG.

Trở lại giải ví dụ 4.

Gọi R là bán kính của (O).

Thuận. Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC (h.4).

--- Bài cũ hơn ---

Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Một Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Và Bậc Hai (Nâng Cao)

Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai

Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)

Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số

Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức

--- Bài mới hơn ---

Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số

Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức

Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số

Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)

Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai

Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax⁴ + bx² + c = 0) và phương trình tích cụ thể như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.

– Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,…) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.

– Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

a) (x – 3)(x ² – 3x + 2) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc x ² – 3x + 2 = 0

+) x ² – 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x ₂ = 1; x ₃ = c/a = 2.

* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x ₁ = 3; x ₂ = 1; x ₃ = 2.

⇔ x + 3 = 0 hoặc x ² – 2 = 0

⇔ 3x ² – 5x + 1 = 0 hoặc x ² – 4 = 0

+)Giải: 3x ² – 5x + 1 = 0

+)Giải: x ² – 4 = 0

⇔ (x – 2)(x + 2) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = -2.

* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

⇔ (2x ² + x – 4 – 2x + 1)(2x ² + x – 4 + 2x – 1) = 0

⇔ 2x ² – x – 3 = 0 hoặc 2x ² + 3x – 5 = 0

+) Giải: 2x ² – x – 3 = 0

– Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

+) Giải: 2x ² + 3x – 5 = 0

– Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x ₁ = -1; x ₂ = 3/2; x ₃ = 1; x ₄ = -5/2.

° Cách giải phương trình trùng phương ax⁴ +bx² + c = 0 (a≠0).

* Đặt t = x ² (t≥0), khi đó ta được phương trình at ² + bt + c = 0 (2)

– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.

– Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.

– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.

* Cụ thể như sau:

– Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a.

Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích.

– Biến đổi đưa về dạng pt tích: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

– Đặt t = x ², điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : t ² – 5t + 4 = 0 (2)

– Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t ₁ = 1; t ₂ = c/a = 4

– Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x ² = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

+ Với t = 4 ⇒ x ² = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

– Đặt t = x ², điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 2t ² – 3t – 2 = 0 (2)

– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t ₁ = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 2 ⇒ x ² = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

– Đặt t = x ² , điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 3t ² + 10t + 3 = 0 (2)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t ₁ = -1/3 <0 và t ₂ = -3<0 đều không thỏa điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

* Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương

– Đặt t = x ², điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 9t ² – 10t + 1 = 0 (2)

+) Giải (2): Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1; ta thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có nghiệm t ₁ = 1; t ₂ = c/a = 1/9.

– Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện t≥0.

+ Với t = 1 ⇒ x ² = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

+ Với t = 1/9 ⇒ x ² = 1/9 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -1/3.

– Đặt t = x ² , điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 5t ² + 3t – 26 = 0 (2)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Đối chiếu điều kiện chỉ có t ₁ thỏa điều kiện, nên:

+ Với t = 2 ⇒ x ² = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}.

– Đặt t = x ², điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó, (1) trở thành : 0,3t ² + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

+ Giải (2) : có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5; ta thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t ₁ = -1 và t ₂ = -c/a = -5.

– Đối chiếu với điều kiện t ≥ 0 thấy cả hai nghiệm đều không thỏa.

⇒ Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

– Điều kiện xác định: x ≠ 0.

– Quy đồng, khử mẫu ta được:

– Khi đó (1) trở thành : 2t ² + 5t – 1 = 0 (2)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

° Một số Bài tập về phương trình tích, phương trình trùng phương

--- Bài cũ hơn ---

Đề Tài Giải Phương Trình Có Chứa Dấu Căn Bậc Hai

Oxi Hóa Ancol Là Gì? Phương Trình Oxi Hóa Ancol Và Các Dạng Bài Tập

Bài Tập Cân Bằng Phương Trình Phản Ứng Oxi Hóa Khử

Phản Ứng Oxi Hóa Khử

Bttn Tổng Hợp Phản Ứng Oxi Hóa Khử (Có Lời Giải Chi Tiết)

--- Bài mới hơn ---

Chương 0 Bài Giảng Điện Tử Xstk

Bài 1; Giải Tích Tổ Hợp.

Giải Tích Tổ Hợp To Hop Doc

Tàn Tích Quỷ Ám: Giải Mã Mối Quan Hệ Bí Ẩn Đến Ba Thế Hệ

Lý Thuyết Diện Tích Xung Quanh Của Hình Lăng Trụ Đứng

Cách Giải Bài Toán Quỹ Tích, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tt, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán Đại 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Cách Giải Bài Toán Lớp 4, Cách Giải Bài Toán Lớp 3, Cách Giải Bài Toán Lớp 2, Cách Giải Bài Toán Khó, Cách Giải Bài Toán, Cách Giải Bài Toán Hàm Hợp, Cách Giải Bài Toán Lãi Kép, Cách Giải Bài Toán X, Giải Bài Tập Diện Tích Xung Quanh Và Diện Tích Toàn Phần Của Hình Hộp Chữ Nhật, Giải Bài Tập Diện Tích Xung Quanh Và Diện Tích Toàn Phần Của Hình Lập Phương, Cách Giải Bài Toán Ma Trận, Cách Giải Bài Toán Giới Hạn, Cách Giải Bài Toán Hiệu Tỉ, Cách Giải Bài Toán Về Ankan, Toán Giải Tích 12, Toán Giải Tích 12 Bài 1, Cách Giải Bài Toán Trên Google, Cách Giải Bài Toán Tổng Hiệu, Cách Giải Bài Toán Phần Trăm, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6+7 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình 9, Bài 5 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 5 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài Tập Tài Liệu Chuyên Toán Giải Tích 12, Tài Liệu Chuyên Toán Giải Tích 12, Tài Liệu Chuyên Toán Giải Tích 12 Pdf, Tài Liệu Chuyên Toán Đại Số Và Giải Tích 11 Pdf, Đáp án 80 Bài Toán Hình Học Giải Tích Phẳng, Bài Giảng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Tài Liệu Giáo Khoa Chuyên Toán Giải Tích 12, Hãy Tính Diện Tích Xung Quanh Và Thể Tích Của Một Khối Hình Lập Phương Có Diện Tích Toàn Phần Là 384, Hãy Phân Tích ưu Nhược Điểm Và Phạm Vi ứng Dụng Của Pp Giải Tích Và Pp Mô Ph, Sứ Mệnh Lịch Sử Của Giai Cấp Công Nhân Việt Nam Giai Đoạn Cuộc Cách Mạng 4.0, Phân Tích Những Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Học Tập Và Làm Theo Tấm Gương Đạo Đức Phong Cách Hồ Chí Minh Là Nhiệm Vụ Của Toàn Đảng Toàn Dân, Phân Tích Nhiệm Vụ Và Giải Pháp Xây Dựng Đảng Trong Sạch Vững Mạnh Trong Giai Đoạn Hiện Nay, Quy Định Về Đảm Bảo An Toàn, Phòng Tránh Tai Nạn, Thương Tích Cho Trẻ, Đảm Bảo An Toàn Tuyệt Đối Cho, Quy Định Về Đảm Bảo An Toàn, Phòng Tránh Tai Nạn, Thương Tích Cho Trẻ, Đảm Bảo An Toàn Tuyệt Đối Cho, Cách Viết Đơn Xin Tích Tụ Ruộng Đất , Cách Tính Điểm Tbc Tích Lũy, Toán 5 ôn Tập Về Đo Diện Tích Và Thể Tích, Một Hình Hộp Chữ Nhật Có Diện Tích Toàn Phần Lớn Hơn Diện Tích Xung Quanh, Một Hình Hộp Chữ Nhật Có Diện Tích Toàn Phần Lớn Hơn Diện Tích Xung Quanh 214,8cm, Cách Tính Điểm Tích Lũy Cofer, Học Tập Tấm Gương Đạo Đức Phong Cách Của Chủ Tịch Hồ Chí Minh, Cach Xem Sao Giai Han, Cách Giải Bài Tập Tia X, Cách Giải Bài Vật Lý Lớp 6, 8 Cách Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử, Hãy Phân Tích Số 250 Ra Thừa Số Nguyên Tố Bằng Hai Cách, Lười Giải Phiếu Bài Tập Toán Cuối Tuần Toán 4tuân 16, Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16, Cách Làm Báo Cáo Giải Trình, 7 Cách Đơn Giản Giải Độc Cơ Thể, Giải Bài Tập Khoảng Cách Lớp 11, Cách Giải Bài Tập Hối Phiếu, Cách Giải Bài Tập Tỷ Giá Hối Đoái, Giai Bai 3 Trang 19 2 Cach, Hãy Phân Tích Màu Xanh Trong Đoạn Thơ Bằng Cách, Phân Tích Yếu Tố Thời Cơ Trong Cách Mạng Tháng 8, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8, Phương Pháp Giải Toán Qua Các Bài Toán Olympic, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8 Tập 1, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 6, Phân Tích Bản Chất Khoa Học Và Cách Mạng Của Chủ Nghĩa Mác – Lênin?, Quy Cách Cọc Giải Phóng Mặt Bằng, Phương Trình 1 ẩn Và Cách Giải, Phương Trình Bậc Hai Một ẩn Và Cách Giải, Giải Tích 1, Giải Tích, Giải Tích 1 7e, Đại Số Và Giải Tích 11,

Cách Giải Bài Toán Quỹ Tích, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tt, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán Đại 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Cách Giải Bài Toán Lớp 4, Cách Giải Bài Toán Lớp 3, Cách Giải Bài Toán Lớp 2, Cách Giải Bài Toán Khó, Cách Giải Bài Toán, Cách Giải Bài Toán Hàm Hợp, Cách Giải Bài Toán Lãi Kép, Cách Giải Bài Toán X, Giải Bài Tập Diện Tích Xung Quanh Và Diện Tích Toàn Phần Của Hình Hộp Chữ Nhật, Giải Bài Tập Diện Tích Xung Quanh Và Diện Tích Toàn Phần Của Hình Lập Phương, Cách Giải Bài Toán Ma Trận, Cách Giải Bài Toán Giới Hạn, Cách Giải Bài Toán Hiệu Tỉ, Cách Giải Bài Toán Về Ankan, Toán Giải Tích 12, Toán Giải Tích 12 Bài 1, Cách Giải Bài Toán Trên Google, Cách Giải Bài Toán Tổng Hiệu, Cách Giải Bài Toán Phần Trăm, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6+7 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình 9, Bài 5 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 5 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài Tập Tài Liệu Chuyên Toán Giải Tích 12, Tài Liệu Chuyên Toán Giải Tích 12, Tài Liệu Chuyên Toán Giải Tích 12 Pdf,

--- Bài cũ hơn ---

Quỹ Tích Là Gì? Phương Pháp Giải Bài Toán Tìm Quỹ Tích

Tàn Tích Quỷ Ám

‘tàn Tích Quỷ Ám’: Mối Quan Hệ Thần Bí Giữa Ba Thế Hệ

‘tàn Tích Quỷ Ám’: Câu Chuyện Rùng Rợn Đằng Sau Căn Bệnh Mất Trí

‘tàn Tích Quỷ Ám’: Khi Nhà Là Nơi Ta… Không Dám Trở Về

--- Bài mới hơn ---

Lý Thuyết & Bài Tập Sgk Bài 4: Phương Trình Bậc Hai Với Hệ Số Thực

Giải Toán Lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4, 5 Trang 140 Sgk Giải Tích

Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 4: Phương Trình Bậc Hai Với Hệ Số Thực

Giải Bài Tập Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn

Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn: Lý Thuyết, Bài Tập Và Cách Giải

T rả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 4 trang 15: Phân tích đa thức P(x) = (x ² – 1) + (x + 1)(x – 2) thành nhân tử.

P(x) = (x – 1) (x+1) + (x + 1)(x – 2)

P(x) = (x + 1) (x – 1 + x – 2)

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 4 trang 15: Hãy nhớ lại một tính chất của phép nhân các số, phát biểu tiếp các khẳng định sau:

Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì …; ngược lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất một trong các thừa số của tích …

Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng 0; ngược lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất một trong các thừa số của tích bằng 0

⇔ x – 1 = 0 hoặc 2x – 3 = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1;3/2}

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 4 trang 17: Giải phương trình (x ³ + x ²) + (x ² + x) = 0.

⇔x = 0 hoặc x + 1 = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {0; -1}

Bài 21 (trang 17 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

b) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0

d, (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

Bài 22 (trang 17 SGK Toán 8 tập 2): Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:

Bài 23 (trang 17 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

b, 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1)

d)

Bài 24 (trang 17 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

Bài 25 (trang 17 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

a) 2x³ + 6x² = x² + 3x b) (3x – 1)(x² + 2) = (3x – 1)(7x – 10)

Bài 26 (trang 17-18-19 SGK Toán 8 tập 2): TRÒ CHƠI ( chạy tiếp sức)

Giáo viên chia lớp thành n nhóm, mỗi nhóm gồm 4 em sao cho các nhóm đều có em học giỏi, học khá, học trung bình… Mỗi nhóm tự đặt cho nhóm mình một cái tên, chẳng hạn, nhóm “Con Nhím”, nhóm “Ốc Nhồi”, nhóm “Đoàn Kết”… Trong mỗi nhóm, học sinh tự đánh số từ 1 đến 4. Như vậy sẽ có n học sinh số 1, n học sinh số 2,…

Giáo viên chuẩn bị 4 đề toán về giải phương trình, đánh số từ 1 đến 4. Mỗi đề toán được photocopy thành n bản và cho mỗi bản vào một phong bì riêng. Như vậy sẽ có n bì chứa đề toán số 1, m bì chứa đề toán số 2… Các đề toán được chọn theo công thức sau:

--- Bài cũ hơn ---

Giải Bài Tập Trang 15, 16 Sgk Toán 9 Tập 2 Bài 12, 13, 14, 15, 16, 17,

Giải Toán 9 Bài 4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số

Kể Về Một Người Có Ý Chí Nghị Lực Mà Em Biết Hoặc Được Nghe Kể

Đề Bài : Nghị Luận Xã Hội Về Ý Chí Nghị Lực

Nhận Định Trận Juventus Vs Spal, 25/11/2018

--- Bài mới hơn ---

Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Giải Một Bài Toán Quỹ Tích Như Thế Nào

Hóa Học Lớp 9: Nhận Biết

Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Đại Số Lớp 9 Thi Vào 10

Giải Bài Tập Tiếng Anh Lớp 9 Chương Trình Mới Unit 1: Getting Started, Skill 1

Giải Bài Tập Tiếng Anh Lưu Hoằng Trí Lớp 9

Một hình có một tính chất

(hay tập hợp của những điểm ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất thoả mãn tính chất nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Cho một góc vuông có độ dài cho trước; đỉnh , đỉnh . Tìm tập hợp các trung điểm .

Cho một đường thẳng cố định không thuộc đường thẳng có đỉnh sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh đường kính di chuyển trên nửa đường tròn. Nối một đoạn

– Khi đến vị trí của tiếp tuyến nên điểm trên tiếp tuyến là một điểm của quỹ tích.

Do 3 điểm không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm tức là đường tròn đường kính Một điểm một điểm sao cho độ dài đoạn thẳng của đoạn thẳng . Quay lại cung tròn tâm I’, bán kính hai điểm và một điểm Đường thẳng vuông góc với cắt đường thẳng vuông góc với tại điểm

Lưu ý: trong bài toán này, liên hệ giữa hai điểm phải thông qua các giả thiết là giao điểm của hai đường vuông góc kẻ từ kẻ từ Do vậy ta phải chọn một trong ba phương hướng sau đây để chứng minh phần đảo

Bài viết gợi ý:

--- Bài cũ hơn ---

Phương Pháp Giải Một Bài Toán Quỹ Tích

Tuyển Tập Các Bài Toán Hình Học Lớp 9 Ôn Thi Vào 10

Gia Sư Online: Cách Giải Bài Toán Thực Tế Lớp 9 Hình Học

Các Dạng Bài Toán Rút Gọn Lớp 9 Thi Vào Lớp 10

40 Bài Toán Tính Nhanh Ở Tiểu Học