Top #10 Xem Nhiều Nhất Giải Phương Trình Trên Web Mới Nhất 5/2022 # Top Like

--- Bài mới hơn ---

Lịch Sử Hình Thành Serie A Giải Đấu Số 1 Nước Ý

Giải Vô Địch Yoga Quốc Gia Lần Iii Năm 2022 Sẽ Diễn Ra Tại Đồng Nai

Serie A 2022/2022 Trực Tiếp Tỉ Số, Kết Quả, Bóng Đá Ý

Serie A 2022 – 2022 Được Phát Sóng Trực Tiếp Trên Kênh Nào?

Serie A 2022/21 Được Phát Sóng Trực Tiếp Trên Kênh Nào?

Một phương trình hàm bao gồm 3 thành phần chính: tập nguồn (miền xác định), tập đích (miền giá trị); phương trình hay hệ phương trình hàm; các điều kiện bổ sung cho hàm số (lớp hàm). Từ ba thành phần này có những phân loại tương ứng. Phương trình hàm trên N, phương trình hàm trên R, phương trình hàm trên  …; phương trình hàm với 1 biến tự do, 2 biến tự do, nhiều biến tự do, phương trình hàm chuyển đổi các giá trị trung bình …; phương trình hàm trên lớp hàm khả vi, phương trình hàm trên lớp hàm liên tục, phương trình hàm đa thức …

Đây là các yếu tố quan trọng cần xét đến khi giải phương trình hàm. Điều này có thể thấy rõ qua ví dụ về phương trình hàm Cauchy. Bài toán tổng quát tìm tất cả các hàm số R thoả mãn phương trình  với mọi x, y thuộc R, theo một nghĩa nào đó không có lời giải, thế nhưng với những giới hạn trên tập nguồn, tập đích, các tính chất của hàm số (đơn điệu, liên tục, đa thức …) thì phương trình này giải được trọn vẹn.

Bài này xét các phương trình hàm với các hàm số xác định trên N (hay Z, Q và các tập rời rạc khác). Để giải phương trình hàm xác định trên một tập nào đó, ta phải hiểu rõ cấu trúc và tính chất của tập hợp đó. Đối với N, ta sẽ chú ý đến những yếu tố sau: các phép toán cộng và nhân trên N; N được sắp thứ tự; thứ tự trên N là tốt; định lý cơ bản của số học về phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

--- Bài cũ hơn ---

Bài 3 : Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B

Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Nhân Liên Hợp

Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ Toán 9

Giải Các Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

--- Bài mới hơn ---

Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số

Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức

Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số

Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)

Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai

Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax⁴ + bx² + c = 0) và phương trình tích cụ thể như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.

– Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,…) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.

– Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

a) (x – 3)(x ² – 3x + 2) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc x ² – 3x + 2 = 0

+) x ² – 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x ₂ = 1; x ₃ = c/a = 2.

* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x ₁ = 3; x ₂ = 1; x ₃ = 2.

⇔ x + 3 = 0 hoặc x ² – 2 = 0

⇔ 3x ² – 5x + 1 = 0 hoặc x ² – 4 = 0

+)Giải: 3x ² – 5x + 1 = 0

+)Giải: x ² – 4 = 0

⇔ (x – 2)(x + 2) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = -2.

* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

⇔ (2x ² + x – 4 – 2x + 1)(2x ² + x – 4 + 2x – 1) = 0

⇔ 2x ² – x – 3 = 0 hoặc 2x ² + 3x – 5 = 0

+) Giải: 2x ² – x – 3 = 0

– Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

+) Giải: 2x ² + 3x – 5 = 0

– Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x ₁ = -1; x ₂ = 3/2; x ₃ = 1; x ₄ = -5/2.

° Cách giải phương trình trùng phương ax⁴ +bx² + c = 0 (a≠0).

* Đặt t = x ² (t≥0), khi đó ta được phương trình at ² + bt + c = 0 (2)

– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.

– Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.

– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.

* Cụ thể như sau:

– Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a.

Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích.

– Biến đổi đưa về dạng pt tích: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

– Đặt t = x ², điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : t ² – 5t + 4 = 0 (2)

– Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t ₁ = 1; t ₂ = c/a = 4

– Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x ² = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

+ Với t = 4 ⇒ x ² = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

– Đặt t = x ², điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 2t ² – 3t – 2 = 0 (2)

– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t ₁ = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 2 ⇒ x ² = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

– Đặt t = x ² , điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 3t ² + 10t + 3 = 0 (2)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t ₁ = -1/3 <0 và t ₂ = -3<0 đều không thỏa điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

* Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương

– Đặt t = x ², điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 9t ² – 10t + 1 = 0 (2)

+) Giải (2): Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1; ta thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có nghiệm t ₁ = 1; t ₂ = c/a = 1/9.

– Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện t≥0.

+ Với t = 1 ⇒ x ² = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

+ Với t = 1/9 ⇒ x ² = 1/9 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -1/3.

– Đặt t = x ² , điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 5t ² + 3t – 26 = 0 (2)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Đối chiếu điều kiện chỉ có t ₁ thỏa điều kiện, nên:

+ Với t = 2 ⇒ x ² = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}.

– Đặt t = x ², điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó, (1) trở thành : 0,3t ² + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

+ Giải (2) : có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5; ta thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t ₁ = -1 và t ₂ = -c/a = -5.

– Đối chiếu với điều kiện t ≥ 0 thấy cả hai nghiệm đều không thỏa.

⇒ Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

– Điều kiện xác định: x ≠ 0.

– Quy đồng, khử mẫu ta được:

– Khi đó (1) trở thành : 2t ² + 5t – 1 = 0 (2)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

° Một số Bài tập về phương trình tích, phương trình trùng phương

--- Bài cũ hơn ---

Đề Tài Giải Phương Trình Có Chứa Dấu Căn Bậc Hai

Oxi Hóa Ancol Là Gì? Phương Trình Oxi Hóa Ancol Và Các Dạng Bài Tập

Bài Tập Cân Bằng Phương Trình Phản Ứng Oxi Hóa Khử

Phản Ứng Oxi Hóa Khử

Bttn Tổng Hợp Phản Ứng Oxi Hóa Khử (Có Lời Giải Chi Tiết)

--- Bài mới hơn ---

Giải Phương Trình 6 Ẩn

Giai He Phuong Trinh Tuyen Voi Nhieu An So

Giải Thích Ý Nghĩa Số Điện Thoại Của Mình Bạn Nên Xem

Soi Kèo Bóng Đá Ý: Dự Đoán Kết Quả Nhanh Và Chính Xác Nhất

Yolo Là Gì? Phong Cách Sống Hay Còn Nghĩa Khác?

Chủ đề :

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

CÂU HỎI KHÁC

• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào sau đây biểu diễn số phức (z=-2-3i) ?
• Tìm số phức liên hợp của số phức z, biết (z = {left( {sqrt 3 + i} right)^3})
• Tìm phần thực của số phức z, biết (overline z = frac{{left( {4 – 3i} right)left( {2 – i} right)}}{{5 + 4i}})
• Mô đun của số phức z, biết (z{left( {1 + i} right)^3} = 2 + 2i) là:
• Tìm phần ảo của số phức (overline z ), biết (z = frac{{3 – 4i}}{{left( {1 – i} right)left( {2 + i} right)}})
• Tìm các số thực x, y thỏa: (3x – y + 5xi = 2y – 1 + left( {x – y} right)i)?
• Cho số phức (z = – 4 + 3i). Kết luận nào sau đây sai?
• Cho số phức (z = left( {2 – 3i} right)left( {2 + i} right)). Tìm phần ảo của số phức (w = {z^2} – 3iz)?
• Thực hiện phép tính (left( {2 – 3i} right){left( {1 + 2i} right)^3} + frac{{4 – i}}{{3 + 2i}}), ta được kết quả là (a+bi).
• Tìm mô đun của số phức z thỏa: (left( {2 – i} right)z – 4 + 2i = 2 – 4i – 3iz) ?
• Trên tập số phức, phương trình: (z^4+4=0) có bao nhiêu nghiệm?
• Trên tập số phức, phương trình (x^2+4=0) có nghiệm là:
• Phương trình: (2{left( {overline z } right)^2} – 4overline z + 3 = 0) có nghiệm là:
• Cho hai số phức ({z_1} = – 2 – 5i) và ({z_2} = {(1 + i)^5}). Tìm điểm biểu diễn số phức (w = {z_1} – {z_2})?
• Cho hai số phức ({z_1} = b – ai, a,b in R) và ({z_2} = 2 – i).
• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức (z = a + bi) và N là điểm biểu diễn số phức (w
• Biết (z_1, z_2) là hai nghiệm phức của phương trình: (2{z^2} – sqrt 3 z + 3 = 0).
• Trong mp tọa độ Oxy, các điểm nào sau đây là điểm biểu diễn các nghiệm của pt: ({z^2} + 2i = 0)?
• Gọi (z_1, z_2, z_3, z_4) là các nghiệm phức của phương trình (2{z^4} – 2{z^3} + {z^2} + 2z + 2 = 0).
• Cho số phức z thỏa: (left( {3 – 2i} right)overline z – 4left( {1 – i} right) = left( {2 + i} right)z).
• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trìn

--- Bài cũ hơn ---

Cđ Pt Đt Y = Ax + B Chuyen De Viet Phuong Trinh Duong Thang Yax B Doc

Giải Toán 10 Bài 2. Hàm Số Y = Ax + B

Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)

Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác

Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay

--- Bài mới hơn ---

Cách Giải Bài Tập Về Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng Hay, Chi Tiết

Giải Bài Tập Sgk Bài 31: Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng

Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng

Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Trong Phương Trình Mũ

Các Dạng Bài Tập Toán Phương Trình Mặt Cầu Trong Không Gian Oxyz

Published on

www.toanhocdanang.com

www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

Phone: 0935 334 225

1. 1. ĐẠI SỐ 10 GV: PHAN NHẬT NAM PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2. 2. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 chúng tôi ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I. lý thuyết: 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)  x0 là một nghiệm của (1) nếu “f(x0) = g(x0)” là một mệnh đề đúng.  Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.  Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x 1 ( ) thì cần điều kiện P(x)  0. – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x)  0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.  (1)  (2) khi và chỉ khi S1 = S2. {(1) , (2) là hai phương trình tương đương nhau}  (1)  (2) khi và chỉ khi S1  S2. { (2) là phương trình hệ quả của (1)} 3. Phép biến đổi tương đương  Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.  Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. II. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình 2 1 1 2 3 0x x x x       Giải: Điều Kiện: 1 0 1 1 1 0 1 x x x x x             Thay x = 1 vào phương trình ta thu được ” 2 1 1 1 1 1 2.1 3 0       ” là mệnh đề đúng . Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là  1S 
3. 3. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 chúng tôi Ví dụ 2: Chứng tỏ hai phương trình sau tương đương nhau: 2 2 2 1 0 1 x x x      (1) và 4 22 7x x   (2) Giải: Giải phương trình 1: Điều kiện: 1x  2 2 2 0 ( )2 1 2 (1) 0 2 0 2 ( )1 x loaix x x x x loaix              Do đó tập nghiệm của (1) là 1S  Giải phương trình 2: 2 2 4 0 4 4 (2) 2 3( 4) 22 7 6 0 x x x x xx x x x                        không tồn tại x R Do đó tập nghiệm của (2) là 2S  Từ đó ta có: 1 2S S   nên (1) và (2) là hai phương trình tương đương nhau (đpcm) III. Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x 5 5 3 12 4 4      b) x x x 1 1 5 15 3 3      c) x x x 2 1 1 9 1 1      d) x x x 2 2 3 15 5 5      Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x1 1 2    b) x x1 2   c) x x1 1   d) x x1 1   e) x x x 3 1 1    f) x x x2 1 2 3     * Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x2 3( 3 2) 0    b) x x x2 1( 2) 0    c) x x x x 1 2 2 2      d) x x x x x 2 4 3 1 1 1        Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x2 1   b) x x1 2   c) x x2 1 2   d) x x2 2 1  
4. 4. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 chúng tôi Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x x1 1    b) x x x x 2 2 1 1      c) x x x x2 2    d) x x x x 1 1 2 2      Bài 6. Tìm tập nghiệm của phương trình: 1x x x    Bài 7. Giải các phương trình: a. 2 1 1x x   b. 2 1 2 3 0x x x x       Bài 8. Tìm m để hai phương trình sau tương đương nhau 1 3 7x x   , 2 ( 1) ( 3) 2 2 0m x m x m      Bài 9. Sử dụng phép biến đổi hệ quả để giải phương trình sau: a. 2 2 2 7 7 x x x x x     b. 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x       PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I. Lý thuyết: Chú ý: Khi a  0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) m x m x2 ( 2) 2 3    b) m x m x m( ) 2    b) m x m m x( 3) ( 2) 6     d) m x m x m2 ( 1) (3 2)    e) m m x x m2 2 ( ) 2 1    f) m x m x m2 ( 1) (2 5) 2     ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a  0 (1) có nghiệm duy nhất b x a   a = 0 b  0 (1) vô nghiệm b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x
5. 5. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 chúng tôi Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: a) x a x b b a a b a b ( , 0)       b) ab x a b b x( 2) 2 ( 2a)     c) x ab x bc x b b a b c a c b 2 3 ( , , 1) 1 1 1            d) x b c x c a x a b a b c a b c 3 ( , , 0)           Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x  R. a) m x n( 2) 1   b) m m x m2 ( 2 3) 1    c) mx x mx m x2 ( 2)( 1) ( )    d) m m x x m2 2 ( ) 2 1    Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x 2 10 50 1 2 3 (2 )( 3)        b) x x x x x x 1 1 2 1 2 2 1         c) x x x x 2 1 1 3 2 2      d) x x x 2 2 3 5 1 4      e) x x x x x x 2 2 2 5 2 2 15 1 3        f) x x x x2 2 3 4 2 ( 1) (2 1)      Bài 5. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx m x 1 3 2     b) mx m x m 2 3     c) x m x x x m 1 2 1       d) x m x x x 3 1 2      e) m x m m x ( 1) 2 3      f) x x x m x 1    Bài 6. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5  b) mx x x1 2    c) mx x x2 1   d) x m x m3 2 2   e) x m x m 2    f) x m x 1   Bài 7. Tím tất cả các gia trị nguyên của m để phương trình ( 1)( 1)m x x m    có nghiệm nguyên Bài 8. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :  1 (2 3) (1 ) 3 0x m x m m x       Bài 9. Tìm m để phương trình 2 3mx x m x x    có nghiệm duy nhất
6. 8. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 chúng tôi iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) x x m2 5 3 1 0    b) x x m2 2 12 15 0   c) x m x m2 2 2( 1) 0    d) m x m x m2 ( 1) 2( 1) 2 0      e) m x m x2 ( 1) (2 ) 1 0     f) mx m x m2 2( 3) 1 0     g) x x m2 4 1 0    h) m x m x m2 ( 1) 2( 4) 1 0      Bài 5. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: A = x x2 2 1 2 ; B = x x3 3 1 2 ; C = x x4 4 1 2 ; D = x x1 2 ; E = x x x x1 2 2 1(2 )(2 )  a) x x2 5 0   b) x x2 2 3 7 0   c) x x2 3 10 3 0   d) x x2 2 15 0   e) x x2 2 5 2 0   f) x x2 3 5 2 0   Bài 6. (Trích TSĐH Khối A – 2003) Tìm m để đồ thị (C) của hàm số 2 1 mx x m y x     cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương. Bài 7. (Trích TSĐH Khối A – 2003) Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị (C) và d tương ứng của hàm số sau (C): 2 2 4 2 x x y x     và d: 2 2y mx m   . Bài 8. (Trích TSĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2 2 2 1x mx x    Bài 9. (Trích TSĐH Khối D – 2006) Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C): 3 3 2y x x   tại ba điểm phân biệt. Bài 10. (Trích TSĐH Khối D – 2009) Tìm m để đường thẳng : 2d y x m   cắt đồ thị (C) của hàm số 2 x x m y x    tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. Bài 11. (Trích TSĐH Khối A – 2010) Tìm m để phương trình : 3 2 2 (1 ) 0x x m x m     có ba nghiệm 1 2 3, ,x x x sao cho 2 2 2 1 2 3 4x x x   Bài 12. (Trích TSĐH Khối A – 2011) Tìm m để phương trình: 1 2 1 x x m x      có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x sao cho 2 2 1 2 1 1 (2 1) (2 1) f x x      đạt giá trị lớn nhất. Bài 13. Cho phương trình: m x m x m2 ( 1) 2( 1) 2 0      (*). Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
7. 9. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 chúng tôi Bài 14. Cho phương trình: x m x m2 2(2 1) 3 4 0     (*). a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức A = x x3 3 1 2 . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x2 2 1 2, . HD: a) m 2 2  b) x x x x1 2 1 2 1    c) A = m m m2 (2 4 )(16 4 5)   d) m 1 2 7 6   e) x m m x m2 2 2 2(8 8 1) (3 4 ) 0      Bài 15. Cho phương trình: x m x m m2 2 2( 1) 3 0     (*). a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x2 2 1 2 8  . HD: a) m = 3; m = 4b) x x x x x x2 1 2 1 2 1 2( ) 2( ) 4 8 0      c) m = -1; m = 2. Bài 16. Cho phương trình: x m m x m2 2 3 ( 3 ) 0    . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) x x x2 2 21; 5 2 7; 5 2 7      . Bài 17. (nâng cao) Cho phương trình: x x x2 2 2 2 sin 2 cos    ( là tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi . b) Tìm  để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.
8. 10. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 chúng tôi PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Lý thuyết: 1. Định nghĩa và tính chất phương trình chứa trị tuyệt đối  A khi A A A khi A 0 0        A A0,   A B A B. .  A A 2 2   A B A B A B. 0      A B A B A B. 0      A B A B A B. 0      A B A B A B. 0     Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ.  Dạng 1: f x g x( ) ( ) C f x f x g x f x f x g x 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )          C g x f x g x f x g x 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )           Dạng 2: f x g x( ) ( )     C f x g x 1 2 2 ( ) ( )  C f x g x f x g x 2 ( ) ( ) ( ) ( )        Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( )  Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. 2. Phương trình chứa căn Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. Dạng 1: f x g x( ) ( )   f x g x g x 2 ( ) ( ) ( ) 0    Dạng 2: f x g x f x g x f x hay g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) 0)        Dạng 3: af x b f x c( ) ( ) 0    t f x t at bt c2 ( ), 0 0        Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )   Đặt u f x v g x( ), ( )  với u, v  0.  Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. Dạng 5: f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( )   Đặt t f x g x t( ) ( ), 0   . 3. phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a  0) a. Cách giải: t x t ax bx c at bt c 2 4 2 2 , 0 0 (1) 0 (2)           
9. 11. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 chúng tôi b. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.  (1) vô nghiệm  voâ nghieäm coù nghieäm keùp aâm coù nghieäm aâm (2) (2) (2) 2      (1) có 1 nghiệm  coù nghieäm keùp baèng coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi aâm (2) 0 (2) 1 0,    (1) có 2 nghiệm  coù nghieäm keùp döông coù nghieäm döông vaø nghieäm aâm (2) (2) 1 1    (1) có 3 nghiệm  coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi döông(2) 1 0,  (1) có 4 nghiệm  coù nghieäm döông phaân bieät(2) 2 c. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn  Dạng 1: x a x b x c x d K vôùi a b c d( )( )( )( ) ,        – Đặt t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( )         – PT trở thành: t cd ab t K2 ( ) 0     Dạng 2: x a x b K4 4 ( ) ( )    – Đặt a b t x 2     a b b a x a t x b t, 2 2         – PT trở thành: a b t t K vôùi4 2 2 4 2 12 2 0 2               Dạng 3: ax bx cx bx a a4 3 2 0 ( 0)      (phương trình đối xứng) – Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được: PT  a x b x c xx 2 2 1 1 0               (2) – Đặt t x hoaëc t x x x 1 1         với t 2 . – PT (2) trở thành: at bt c a t2 2 0 ( 2)     . II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 1 3   b) x x4 7 2 5   c) x x2 3 2 0   d) x x x2 6 9 2 1    e) x x x2 4 5 4 17    f) x x x2 4 17 4 5    g) x x x x1 2 3 2 4      h) x x x1 2 3 14      i) x x x1 2 2    Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5  b) mx x x1 2    c) mx x x2 1   d) x m x m3 2 2   e) x m x m 2    f) x m x 1  
10. 12. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 chúng tôi Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x4 7 4 7   b) x x2 3 3 2   c) x x x1 2 1 3    d) x x x x2 2 2 3 2 3     e) x x x2 2 5 2 7 5 0     f) x x3 7 10    Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x2 2 1 1 0     b) x x x2 2 5 1 7 0     c) x x x2 2 5 1 5 0     d) x x x2 4 3 2 0    e) x x x2 4 4 2 1 1 0     f) x x x2 6 3 10 0     Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 3 3   b) x x5 10 8   c) x x2 5 4   d) x x x2 12 8    e) x x x2 2 4 2    f) x x x2 3 9 1 2    g) x x x2 3 9 1 2    h) x x x2 3 10 2    i) x x x2 2 ( 3) 4 9    Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 2 6 9 4 6 6     b) x x x x2 ( 3)(8 ) 26 11      c) x x x x2 ( 4)( 1) 3 5 2 6      d) x x x x2 ( 5)(2 ) 3 3    e) x x2 2 11 31   f) x x x x2 2 8 4 (4 )( 2) 0      Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x1 1 1    b) x x3 7 1 2    c) x x2 2 9 7 2    d) x x x x2 2 3 5 8 3 5 1 1      e) x x3 3 1 1 2    f) x x x x2 2 5 8 4 5      g) x x3 3 5 7 5 13 1    h) x x3 3 9 1 7 1 4     
11. 13. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 chúng tôi Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x3 6 3 ( 3)(6 )       b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16        c) x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1       d) x x x x7 2 (7 )(2 ) 3       e) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5       f) x x x x x2 3 2 1 4 9 2 3 5 2        g) x x x x22 1 1 3      h) x x x x2 9 9 9      Bài 5. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 4 2 2 5 2 4 6 2 5 14        b) x x x x5 4 1 2 2 1 1        c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4           Bài 6. Giải các phương trình sau: a) x x4 2 3 4 0   b) x x4 2 5 4 0   c) x x4 2 5 6 0   d) x x4 2 3 5 2 0   e) x x4 2 30 0   f) x x4 2 7 8 0   Bài 7. Tìm m để phương trình: i) Vô nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm a) x m x m4 2 2 (1 2 ) 1 0     b) x m x m4 2 2 (3 4) 0    c) x mx m4 2 8 16 0   Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297     b) x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36      c) x x4 4 ( 1) 97   d) x x4 4 ( 4) ( 6) 2    e) x x4 4 ( 3) ( 5) 16    f) x x x x4 3 2 6 35 62 35 6 0     g) x x x x4 3 2 4 1 0    
12. 14. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 chúng tôi Bài 9. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc 2 1. 2 2 5 10 1 7 2x x x x     2. 1 2 3 1 x x x x     3. 2 3 1212   x xxxx 4. 211 24 2  xxxx 5. xxxx 33)2)(5( 2  6. 22 4324 xxxx  7. 5 1 5 2 4 22 x x xx     8. xxxx  1 3 2 1 2 9. 234413 2  xxxx 10. 63297 2  xxxx Bài 10. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: a. (D – 2006) 2 2 1 3 1 0x x x     b. (D – 2013) 2 2 2 1 x x x x     c. (B – 2012) 2 1 4 1 3x x x x     d. (D – 2011) 2 8 1 1 4 x x x      e. (B – 2011) 2 3 2 6 2 4 4 10 3x x x x       f. (A. 2009) 3 2 3 2 3 6 5 8 0x x     Bài 11. Giải các phương trình sau bằng phép nhân liên hợp: a. (B – 2010) 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x       b. (Tích B – 2013) 2 3 3 3 1 5 4x x x x      c. (TNTHPTQG – 2022)    2 2 2 8 1 2 2 2 3 x x x x x x         d. (Trích A – 2014) 3 2 8 1 2 10x x x    e. (Tích B – 2014) 2 2 3 2x x x    HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I. Lý thuyết:
13. 15. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 chúng tôi 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a x b y c a b a b a x b y c 2 2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( 0, 0)          Giải và biện luận: Tính các định thức: a b D a b 1 1 2 2  , x c b D c b 1 1 2 2  , y a c D a c 1 1 2 2  . Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 5 4 3 7 9 8       b) x y x y 2 11 5 4 8       c) x y x y 3 1 6 2 5       d)     x y x y 2 1 2 1 2 2 1 2 2          e) x y x y 3 2 16 4 3 5 3 11 2 5         f) x y y 3 1 5x 2 3       Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 1 8 18 5 4 51         b) x y x y 10 1 1 1 2 25 3 2 1 2             c) x y x y x y x y 27 32 7 2 3 45 48 1 2 3              d) x y x y 2 6 3 1 5 5 6 4 1 1           e) x y x y x y x y 2 9 3 2 17           f) x y x y x y x y 4 3 8 3 5 6           Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: Xét D Kết quả D  0 Hệ có nghiệm duy nhất yx DD x y D D ;        D = 0 Dx  0 hoặc Dy  0 Hệ vô nghiệm Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm
14. 16. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 chúng tôi a) mx m y m x my ( 1) 1 2 2         b) mx m y m x m y ( 2) 5 ( 2) ( 1) 2          c) m x y m m x y m ( 1) 2 3 1 ( 2) 1           d) m x m y m x m y m ( 4) ( 2) 4 (2 1) ( 4)           e) m x y m m x y m m2 2 ( 1) 2 1 2          f) mx y m x my m 2 1 2 2 5         Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Tìm m  Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) m x y m m x y m m2 2 ( 1) 2 1 2          b) mx y x m y m 1 4( 1) 4        c) mx y x my m 3 3 2 1 0          Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. a) mx y m x my m 2 1 2 2 5         b) mx m y m x my 6 (2 ) 3 ( 1) 2         c) mx m y m x my ( 1) 1 2 2         Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) ax y b x y3 2 5        b) y ax b x y2 3 4       c) ax y a b x y a2        d) a b x a b y a a b x a b y b ( ) ( ) (2 ) (2 )           e) ax by a b bx ay ab 2 2 2        f) ax by a b bx b y b 2 2 4        Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x y z x y z x y z 3 1 2 2 5 2 3 0             b) x y z x y z x y z 3 2 8 2 6 3 6             c) x y z x y z x y z 3 2 7 2 4 3 8 3 5               HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
15. 17. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 chúng tôi I. lý thuyết: 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai  Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.  Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.  Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 Hệ có dạng: (I) f x y g x y ( , ) 0 ( , ) 0     (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).  Đặt S = x + y, P = xy.  Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.  Giải hệ (II) ta tìm được S và P.  Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2 0   . 3. Hệ đối xứng loại 2 Hệ có dạng: (I) f x y f y x ( , ) 0 (1) ( , ) 0 (2)     (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).  Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I)  f x y f y x f x y ( , ) ( , ) 0 (3) ( , ) 0 (1)       Biến đổi (3) về phương trình tích: (3)  x y g x y( ). ( , ) 0   x y g x y( , ) 0     .  Như vậy, (I)  f x y x y f x y g x y ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0        .  Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). 4. Hệ đẳng cấp bậc hai Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d a x b xy c y d 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2         .  Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).  Khi x  0, đặt y kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm x y0 0( ; ) thì y x0 0( ; ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x y0 0 . II. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 2 2 4 8 2 4       b) x xy x y 2 24 2 3 1       c) x y x y 2 ( ) 49 3 4 84       d) x xy y x y x y 2 2 3 2 3 6 0 2 3           e) x y xy x y 3 4 1 0 3( ) 9         f) x y xy x y 2 3 2 6 0        
16. 18. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 chúng tôi g) y x x x y 2 4 2 5 0        h) x y x y y2 2 2 3 5 3 2 4        i) x y x xy y2 2 2 5 7        Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x y x y m2 2 6      b) x y m x y x2 2 2 2        c) x y x y m2 2 3 2 1      Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x y xy x y2 2 11 2( ) 31            b) x y x xy y2 2 4 13        c) xy x y x y x y2 2 5 8          d) x y y x x y 13 6 6        e) x x y y x y xy 3 3 3 3 17 5         f) x x y y x xy y 4 2 2 4 2 2 481 37         Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x y xy m x y m2 2 3 2         b) x y m x y xy m m2 2 2 1 2 3          c) x y m xy x y m ( 1)( 1) 5 ( ) 4         Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: a) x x y y y x 2 2 3 2 3 2       b) x y x y y x y x 2 2 2 2 2 2 2 2         c) x x y y y x 3 3 2 2       d) y x y x x y x y 3 4 3 4         e) y y x x x y 2 2 2 2 2 3 2 3          f) x y y y x x 2 2 1 2 1 2         Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x x my y y mx 2 2 3 3       b) x y m m y x m m 2 2 2 2 (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 )         c) xy x m y xy y m x 2 2 ( 1) ( 1)         Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 1 3 3 13          b) x xy y x xy y 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 7          c) y xy x xy y 2 2 2 3 4 4 1        d) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 5 4 38 5 9 3 15         e) x xy y x xy y 2 2 2 2 2 3 9 4 5 5         f) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 8 4 0 5 7 6 0         Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x mxy y m x m xy my m 2 2 2 2 ( 1)          b) xy y x xy m 2 2 12 26        c) x xy y m y xy 2 2 2 4 3 4       
17. 19. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 chúng tôi BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) m x m x m2 2 4 3    b) a b x a a a b a b x2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( )      c) a x ab b x a b2 2 2 2 2    d) a ax b ax b2 ( ) 4 5    Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x m x m x x 2 1 1 1       b) m x m x m x 2 2 1 1     c) mx m x x x 2 1 1 2 1 1 1        d) x x m1 2 3    Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x x m2 2 12 15 0   b) x m x m2 2 2( 1) 0    b) x mx m2 1 0    d) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0     Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại: a) x mx m x2 0 3 1 0; 2       b) x m x m x2 2 02 3 0; 1    . Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt iv) PT có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả: x x3 3 1 2 0  ; x x2 2 1 2 3  a) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0     b) x m x m2 2 2( 1) 0    c) x m x m2 2 2( 1) 2 0     d) m x m x m2 ( 2) 2( 1) 2 0      e) m x m x m2 ( 1) 2( 4) 1 0      f) x x m2 4 1 0    Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy:
18. 20. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 chúng tôi i) Giải và biện luận phương trình. ii) Khi phương trình có hai nghiệm x x1 2, , tìm hệ thức giữa x x1 2, độc lập với m. a) x m x m2 ( 1) 0    b) x m x m m2 2( 2) ( 3) 0     c) m x m x m2 ( 2) 2( 1) 2 0      d) x m x m2 2 2( 1) 2 0     Bài 7. Giải các phương trình sau: a) x x2 2 6 12   b) x x2 2 11 31   c) x x16 17 8 23   d) x x x2 2 8 3( 4)    e) x x x2 3 9 1 2 0     f) x x x2 51 2 1    g) x x x2 2 ( 3) 4 9    h) x x3 1 3 1    Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x x4 3 10 3 2    b) x x x5 3 2 4     c) x x x3 4 2 1 3     d) x x x x2 2 3 3 3 6 3      e) x x x2 2 3 3 5     f) x x x3 3 5 2 4     g) x x x2 2 2 1 1 4      h) 811  xxx Bài 9. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 1 2 1 2      b) x x x x x 3 2 1 2 1 2        c) x x x x 4 2 2 1 1 2      d) x x x x2 2 13 7     e) x x x x2 2 2 3 1 3 4     f) x x x x2 2 2 3 2 1 9     g) x x x x2 2 2 4 2 2     h) x x x x2 2 2 5 3 5 23 6    
19. 21. PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 chúng tôi Bài 10. Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. a) mx y m x my a 2 1 2 2 1         b) mx y m x my m 3 2 1        c) x y m x y m 2 4 2 3 3         d) x y y x m 2 5 2 10 5        Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x y y x2 2 1 6          b) x y x x y y 2 2 4 2 2 4 5 13        c) x y y x x y 2 2 3 3 30 35       d) x y x y x y 3 3 5 5 2 2 1       e) x y xy x y x y 2 2 4 4 2 2 7 21         f) x y xy x y x y2 2 11 3( ) 28          Bài 12. Giải các hệ phương trình sau: a) x y xy x y x y 2 2 2 2 1 ( )(1 ) 5 1 ( )(1 ) 49            b)   y x x y x y x y 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 1 24                c) x y x y x y x y 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4              d) x y x y x y xy 2 2 2 31 1 1 ( )(1 ) 6             e) x y y x y x xy y x xy xy x y 2 2 2 2 6 1 4             f) xy xy x y xy 1 4 1 ( ) 1 5               Bài 13. Giải các hệ phương trình sau: a) x x y y y x 2 2 3 2 3 2       b) x x y y y x 3 3 2 2       c) x x y y y x 3 3 3 8 3 8       d) x y y y x x 2 2 1 2 1 2         e) x y x y x y 2 2 3 2 3 2          f) y y x x x y 2 2 2 2 2 3 2 3         

--- Bài cũ hơn ---

Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình

Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Bằng Phương Pháp Thế

Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực

Rèn Kĩ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8

Giải Bài Toán Bằng Phương Trình Ion

--- Bài mới hơn ---

Hướng Dẫn Học Sinh Giải Phương Trình Toán Bằng Máy Tính Casio

Công Bố Kết Quả Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh Năm 2022

Giới Thiệu Nhóm Sản Phẩm Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh: “báo Cáo Sự Cố”

Người Giải Mã Tử Thi

Bài Giải Phương Trình Bậc 2

Published on

1. 1. TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chủ biên: Nguyễn văn huy 26-7-2012
2. 3. 4 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 177 Các loại hệ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Hệ phương trình hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng – hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Tổng hợp các bài hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Hệ phương trình hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Hệ phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 6 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 297 Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương trình . . . . 297 Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao . . . . 307 Sử dụng các hàm lượng giác hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Sáng tác một số phương trình đẳng cấp đối với hai biểu thức . . . . . . . . . . . . . 312 Xây dựng phương trình từ các đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số. . . . . . . . . 324 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng giác. . . . . . . . 328 Sử dụng căn bậc n của số phức để sáng tạo và giải hệ phương trình. . . . . . . 331 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Sử dụng hàm ngược để sáng tác một số phương trình, hệ phương trình. . . . . 345 Sáng tác hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Kinh nghiệm giải một số bài hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 7 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 362 8 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG 366 Lịch sử phát triển của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Có mấy cách giải phương trình bậc hai? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Cuộc thách đố chấn động thế giới toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Những vinh quang sau khi đã qua đời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
3. 4. 5 Tỉểu sử một số nhà toán học nổi tiếng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Một cuộc đời trên bia mộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Chỉ vì lề sách quá hẹp! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Hai gương mặt trẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Sống hay chết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 9 Tài liệu tham khảo 381
4. 5. Lời nói đầu Phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứng dụng rất lớn trong các ngành khoa học. Sớm được biết đến từ thời xa xưa do nhu cầu tính toán của con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét riêng trong Toán học, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu tỉ, phương trình vô tỉ, phương trình mũ – logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, . . . ) Còn ở Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, đã là một dạng toán quen thuộc và được yêu thích bởi nhiều bạn học sinh. Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các công cụ giải tích và hình học, những bài toán phương trình – hệ phương trình ngày càng được trau chuốt, trở thành nét đẹp của Toán học và một phần không thể thiếu trong các kì thi Học sinh giỏi, thi Đại học. Đã có rất nhiều bài viết về phương trình – hệ phương trình, nhưng chưa thể đề cập một cách toàn diện về những phương pháp giải và sáng tạo phương trình. Nhận thấy nhu cầu có một tài liệu đầy đủ về hình thức và nội dung cho cả hệ chuyên và không chuyên, Diễn đàn MathScope đã tiến hành biên soạn quyển sách Chuyên đề phương trình – hệ phương trình mà chúng tôi hân hạnh giới thiệu đến các thầy cô giáo và các bạn học sinh. Quyển sách này gồm 6 chương, với các nội dung như sau: Chương I: Đại cương về phương hữu tỉ cung cấp một số cách giải tổng quát phương trình bậc ba và bốn, ngoài ra còn đề cập đến phương trình phân thức và những cách xây dựng phương trình hữu tỉ. Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến các phương pháp giải và biện luận bài toán có tham số ,cũng như một số bài toán thường gặp trong các kì thi Học sinh giỏi. Chương III: Các phương pháp giải phương trình chủ yếu tổng hợp những phương pháp quen thuộc như bất đẳng thức, lượng liên hợp, hàm số đơn điệu, . . . với nhiều bài toán mở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan về phương trình. Chương này không đề cập đến Phương trình lượng giác, vì vấn đề này đã có trong chuyên đề Lượng giác của Diễn đàn. Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa ra một số dạng bài tập ứng dụng của hàm số logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng như đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơn điệu, … Chương V: Hệ phương trình là phần trọng tâm của chuyên đề. Nội dung của chương
5. 6. 7 bao gồm một số phương pháp giải hệ phương trình và tổng hợp các bài hệ phương trình hay trong những kì thi học sinh giỏi trong nước cũng như quốc tế. Chương VI: Sáng tạo phương trình – hệ phương trình đưa ra những cách xây dựng một bài hay và khó từ những phương trình đơn giản bằng các công cụ mới như số phức, hàm hyperbolic, hàm đơn điệu, . . . Ngoài ra còn có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phương trình trong giải toán và về lịch sử phát triển của phương trình. Chúng tôi xin ngỏ lời cảm ơn tới những thành viên của Diễn đàn đã chung tay xây dựng chuyên đề. Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường Sơn, anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh vì đã hỗ trợ và đóng góp những ý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành vì đã giúp ban biên tập kiểm tra các bài viết để có một tuyển tập hoàn chỉnh. Niềm hi vọng duy nhất của những người làm chuyên đề là bạn đọc sẽ tìm thấy nhiều điều bổ ích và tình yêu toán học thông qua quyển sách này. Chúng tôi xin đón nhận và hoan nghênh mọi ý kiến xây dựng của bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin vui lòng chuyển đến [email protected] Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012 Thay mặt nhóm biên soạn Nguyễn Anh Huy
6. 7. Các thành viên tham gia chuyên đề Để hoàn thành được các nội dung trên, chính là nhờ sự cố gắng nỗ lực của các thành viên của diễn đàn đã tham gia xây dựng chuyên đề: * Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) * Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM), Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM) * Đại cương về phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền – TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) * Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên – Hải Phòng), Đình Võ Bảo Châu (THPT chuyên Lê Quý Đôn – Vũng Tàu), Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên Trần Đại Nghĩa – TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền – Đồng Nai), Ong Thế Phương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) * Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương – Bình Phước), thầy Nguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí -Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPT Nguyễn Huệ – Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đoàn Thế Hoà (10A7 THPT Long Khánh – Đồng Nai) * Phương pháp dùng lượng liên hợp: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa – TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT – chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu), Đoàn Thế Hòa (THPT Long Khánh – Đồng Nai) * Phương pháp dùng bất đẳng thức: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Nguyễn Văn Bình (11A5 THPT Trần Quốc Tuấn – Quảng Ngãi), * Phương pháp dùng đơn điệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái – Hà Nội), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội) * Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguyễn Thanh Hoài (Đại học KHTN- TP HCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) * Các loại hệ cơ bản: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM)
7. 8. 9 * Hệ phương trình hoán vị: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội) * Phương pháp biến đổi đẳng thức: Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong – Thái Nguyên), Nguyễn Đức Huỳnh (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM) * Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy, Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) * Phương pháp đặt ẩn phụ tổng – hiệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) * Tổng hợp các bài hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), Trần Minh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM) * Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai), thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong – Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) * Giải toán bằng cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM) * Lịch sử phát triển của phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền – Đồng Nai)
8. 9. Chương I: Đ I CƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH H U T PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Một số phương pháp giải phương trình bậc ba Phương pháp phân tích nhân tử: Nếu phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đó có thể phân tích ax3 + bx2 + cx + d = (x − r) Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak2 = 0 (1) Ta có (1) ⇔ a(x4 + 2×2 .k + k2 ) + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = 0 ⇔ a(x2 + k)2 + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = 0 Đến đây có hai hướng để giải quyết: Cách 1: Đưa phương trình về dạng A2 = B2 : Thêm bớt, biến đổi vế trái thành dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng, chuyển các hạng tử chứa x2 sang bên phải. Cách 2: Đặt y = x2 + k ⇒ y k Phương trình (1) trở thành ay2 + bxy + (c − 2ak)x2 = 0 Tính x theo y hoặc y theo x để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn x. Ví dụ: Giải phương trình: x4 − 8×3 + 21×2 − 24x + 9 = 0 (1.1) Cách 1: (1.1) ⇔ (x4 + 9 + 6×2 ) − 8(x2 + 3) + 16×2 = 16×2 − 21×2 + 6×2 ⇔ (x2 − 4x + 3)2 = x2 ⇔ x2 − 4x + 3 = x x2 − 4x + 3 = −x ⇔ x2 − 5x + 3 = 0 x2 − 3x + 3 = 0 ⇔    x = 5 − √ 13 2 x = 5 + √ 13 2 Cách 2: (1.1) ⇔ (x4 + 6×2 + 9) − 8x(x2 + 3) + 15×2 = 0 ⇔ (x2 + 3)2 − 8x(x2 + 3) + 15×2 = 0 Đặt y = x2 + 3. (1.1) trở thành: y2 − 8xy + 15×2 = 0 ⇔ (y − 3x)(y − 5x) = 0 ⇔ y = 3x y = 5x Với y = 3x: Ta có x2 + 3 = 3x: Phương trình vô nghiệm Với y = 5x: Ta có x2 + 3 = 5x ⇔ x2 − 5x + 3 = 0 ⇔    x = 5 − √ 13 2 x = 5 + √ 13 2 Vậy phương trình (1.1) có tập nghiệm: S = 5 + √ 13 2 ; 5 − √ 13 2 Nhận xét: Mỗi phương pháp giải có lợi thế riêng. Với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp mà
9. 20. 21 Ví dụ: Giải phương trình: x4 + x2 − 6x + 1 = 0 (5.1) Ta có: (5.1) ⇔ x4 + 4×2 + 4 = 3×2 + 6x + 3 ⇔ (x2 + 2)2 = 3(x + 1)2 ⇔ x2 + 2 = √ 3(x + 1) x2 + 2 = − √ 3(x + 1) ⇔ x2 − √ 3x + 2 − √ 3 = 0 x2 + √ 3 + 2 + √ 3 = 0 ⇔     x = √ 3 − 4 √ 3 − 5 2 x = √ 3 + 4 √ 3 − 5 2 Phương trình (5.1) có tập nghiệm: S = √ 3 − 4 √ 3 − 5 2 ; √ 3 + 4 √ 3 − 5 2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1. x4 − 19×2 − 10x + 8 = 0 2. x4 = 4x + 1 3. x4 = 8x + 7 4. 2×4 + 3×2 − 10x + 3 = 0 5. (x2 − 16)2 = 16x + 1 6. 3×4 − 2×2 − 16x − 5 = 0 Nhận xét: Phương trình dạng x4 = ax + b được giải theo cách tương tự. Phương trình ∆ = 0 là phương trình bậc ba với cách giải đã được trình bày trước. Phương trình này có thể cho 3 nghiệm m, cần lựa chọn m sao cho việc tính toán là thuận lợi nhất. Tuy nhiên, dù dùng nghiệm m nào thì cũng cho cùng một kết quả. Phương trình bậc bốn tổng quát ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (7) Phân tích các hạng tử bậc 4, 3, 2 thành bình phương đúng, các hạng tử còn lại chuyển sang vế phải: (7) ⇔ 4a2 x4 + 4bax3 + 4cax2 + 4dax + 4ae = 0 ⇔ (2ax2 + bx)2 = (b2 − 4ac)x2 − 4adx − 4ae Thêm vào hai vế một biểu thức 2(2ax2 + bx)y + y2 (y là hằng số) để vế trái thành bình phương đúng, còn vế phải là tam thức bậc hai theo x: f(x) = (b2 − 4ac − 4ay)x2 + 2(by − 2ad)x − 4ae + y2 Tính y sao cho vế phải là một bình phương đúng. Như vậy, ∆ của vế phải bằng 0. Như vậy ta phải giải phương trình ∆ = 0. Từ đó ta có dạng phương trình A2 = B2 quen thuộc. Ví dụ: Giải phương trình x4 − 16×3 + 66×2 − 16x − 55 = 0 (7.1) (7.1) ⇔ x4 − 16×3 + 64×2 = −2×2 + 16x + 55 ⇔ (x2 − 8x)2 + 2y(x2 − 8x) + y2 = (2y − 2)x2 + (16 − 16y)x + 55 + y2 Giải phương trình ∆ = 0 ⇔ (8 − 8y)2 − (55 + y2 )(2y − 2) = 0 tìm được y = 1, y = 3, y = 29. Trong các giá trị này, ta thấy giá trị y = 3 là thuận lợi nhất cho việc tính toán.
10. 22. 23 Như vậy, chọn y = 3, ta có phương trình: (x2 − 8x + 3)2 = 4(x − 4)2 ⇔ x2 − 8x + 3 = 2(x − 4) x2 − 8x + 3 = −2(x − 4) ⇔ x2 − 10x + 11 = 0 x2 − 6x − 5 = 0 ⇔ x = 3 ± √ 14 x = 5 ± √ 14 Phương trình (7.1) có tập nghiệm S = 3 + √ 14; 3 − √ 14; 5 + √ 14; 5 − √ 14 Nhận xét: Ví dụ trên cho ta thấy phương trình ∆ = 0 có nhiều nghiệm. Có thể chọn y = 1 nhưng từ đó ta có phương trình (x2 −8x+1)2 = 56 thì không thuận lợi lắm cho việc tính toán, tuy nhiên, kết quả vẫn như nhau. Một cách giải khác là từ phương trình x4 +ax3 +bx2 +cx+d = 0 đặt x = t− a 4 , ta sẽ thu được phương trình khuyết bậc ba theo t, nghĩa là bài toán quy về giải phương trình t4 = at2 +bt+c. Bài tập tự luyện 1. x4 − 14×3 + 54×2 − 38x − 11 = 0 2. x4 − 16×3 + 57×2 − 52x − 35 = 0 3. x4 − 6×3 + 9×2 + 2x − 7 = 0 4. x4 − 10×3 + 29×2 − 20x − 8 = 0 5. 2×4 − 32×3 + 127×2 + 38x − 243 = 0 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC Phương trình dạng x2 + a2 x2 (x + a)2 = b (2) Ta có: (2) ⇔ x − ax (x + a) 2 + 2x. ax x + a = b ⇔ x2 x + a 2 + 2a. x2 x + a + a2 = b + a2
11. 23. 24 Đặt y = x2 x + a . Giải phương trình bậc hai theo y để tìm x. Ví dụ: Giải phương trình: x2 + 9×2 (x + 3)2 = 7 (2.1) Điều kiện: x = −3. (2.1) ⇔ x − 3x x + 3 2 + 6. x2 x + 3 = 7 ⇔ x2 x + 3 2 + 6. x2 x + 3 = 7 Đặt y = x2 x + 3 . Ta có phương trình y2 + 6y − 7 = 0 ⇔ y = 1 y = −7 Nếu y = 1: Ta có phương trình x2 = x + 3 ⇔ x = 1 ± √ 13 2 Nếu y = −7: Ta có phương trình x2 + 7x + 21 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình (2.1) có tập nghiệm: S = 1 + √ 13 2 ; 1 − √ 13 2 Nhận xét: Dựa vào cách giải trên, ta có thể không cần phải đặt ẩn phụ mà thêm bớt hằng số để tạo dạng phương trình quen thuộc A2 = B2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1. x2 + 4×2 (x + 2)2 = 12 2. x2 + 25×2 (x + 5)2 = 11 3. x2 + 9×2 (x − 3)2 = 14 4. 25 x2 − 49 (x − 7)2 = 1 5. 9 4(x + 4)2 + 1 = 8 (2x + 5)2 Đưa về phương trình tích Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Chia tử và mẫu cho cùng một số ∪ [20 3 ; 12] 2 Nhận xét: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể: * Khi đặt t = u(x)(x ∈ D), ta tìm được t ∈ D1 và phương trình f(x, m) = 0 (1) trở thành g(t, m) = 0 (2). Khi đó (1) có nghiệm x ∈ D ⇒ (2) có nghiệm t ∈ D1. * Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm u(x)). * Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị t ∈ D1 thì phương trình t = u(x) có bao nhiêu nghiệm x ∈ D. Bài 12: Tìm m để phương trình m( √ x − 2 + 2 4 √ x2 − 4) − √ x + 2 = 2 4 √ x2 − 4 có nghiệm
12. 40. 41 Từ đây, thay x = y + 1 vào phương trình thứ hai ta được: 15 + 2y − y2 = 2m + 4 − y2 ⇔ (5 − y) (y + 3) − 4 − y2 = 2m Đến đây ý tưởng đã rõ, ta chỉ cần chuyển về tương giao giữa hai đồ thị. Bài 20: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực: x3 + (y + 2) x2 + 2xy = −2m − 3 x2 + 3x + y = m Giải Ý tưởng: Ở hệ này ta quan sát thấy bài toán còn chưa rõ đường lối nào vì cả hai phương trình trong hệ đều chứa đến tham số m. Vì vậy để đi đến hướng giải quyết tốt ta nên bắt đầu phân tích hai vế trái trong hai phương trình trong hệ. Cụ thể ta có: x3 + (y + 2) x2 + 2xy = x3 + yx2 + 2×2 + 2xy = x2 (x + y) + 2x (x + y) = (x + y) x2 + 2x Mặt khác: x2 + 3x + y = x2 + 2x + x + y Rõ ràng ở bước phân tích này ta đã tìm ra lối giải cho bài toán này đó chính là đặt ẩn phụ. Lời giải: Đặt: a = x2 + 2x −1 b = x + y ta có hệ phương trình a + b = m ab = −2m − 3 ⇔ a2 − 3 = (a + 2) m (1) b = m − a Từ phương trình (1) trong hệ ta có: a2 − 3 a + 2 = m (2) Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm a −1. Xét hàm số: f (x) = x2 − 3 x + 2 với x −1 Đến đây ta chỉ cần lập bảng bíến thiên. Công việc tiếp theo xin dành cho bạn đọc. Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm m để phương trình tan2 x + cot2 x + m(cot x + tan x) = 3 có nghiệm Bài 2: Tìm m để phương trình √ x + √ −x + 9 = √ 9x − x2 + m có nghiệm Bài 3: Tìm m để phương trình √ 3 + x + √ −x + 6 − √ 18 + 3x − x2 = m có nghiệm Bài 4: Tìm m để phương trình x3 − 4mx2 + 8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 5: Tìm m để phương trình x3 + 3×2 + (3 − 2m) x + m + 1 = 0 có đúng một nghiệm lớn hơn 1. Bài 6: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt: 4×2 − 2mx + 1 = 3 √ 8×3 + 2x
13. 45. 46 PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Lý thuyết Bài toán: Cho hệ phương trình (hoăc hệ bất phương trình) chứa tham số có dạng: (I)    f(x, m) = 0 x ∈ Dx m ∈ Dm hoặc (II)    f(x, m) 0 x ∈ Dx m ∈ Dm Trong đó x là biến số, m là tham số, Dx, Dm là miền xác định của x và m. Yêu cầu đăt ra: ta phải tìm giá trị của tham số m để hệ (I) họăc (II) thỏa mãn một tính chất nào đó. Phương pháp giải: Bước 1 (điều kiện cần): Giả sử hệ thỏa mãn tính chất P nào đó mà đầu bài đòi hỏi. Khi đó, dựa vào đặc thù của tính chất P và dạng của phương trình ta sẽ tìm được một ràng buộc nào đó đối với tham số m và ràng buộc ấy chính là điều kiện cần để có tính chất P. Điều đó có nghĩa là: nếu với m0 không thỏa mãn ràng buộc trên thì chắc chắn ứng với m0, hệ không có tính chất P. Bước 2 (điều kiện đủ): Ta tìm xem trong các giá trị của m vừa tìm được, giá trị nào làm cho hệ thỏa mãn tính chất P. Ở bước này nói chung ta cũng chỉ cần giải những hệ cụ thể không còn tham số. Sau khi kiểm tra, ta sẽ loại đi những giá trị không phù hợp và những giá trị còn lại chính là đáp số của bài toán. Như vậy, ý tưởng của phương pháp này khá rõ ràng và đơn giản. Trong rất nhiều bài toán về biện luận thì phương pháp này lại thể hiện ưu thế rõ rệt. Tuy nhiên, thành công của phương pháp còn nằm ở chỗ ta phải làm thế nào để phát hiện điiều kiện cần một cách hợp lí và chọn điều kiện đủ một cách đúng đắn. Bài tập ví dụ Sử dụng tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 4 √ x + 4 √ 1 − x + √ x + √ 1 − x = m (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x = α Dễ thấy nếu (1) có nghiệm x = α thì (1) cũng có nghiệm x = 1 − α. Vì nghiệm là duy nhất
14. 46. 47 nên α = 1 − α ⇔ α = 1 2 Thay α = 1 2 vào (1) ta tìm được m = √ 2 + 4 √ 8. Điều kiện đủ: Giả sử m = √ 2 + 4 √ 8, khi đó (1) có dạng sau: 4 √ x + 4 √ 1 − x + √ x + √ 1 − x = √ 2 + 4 √ 8 (2) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: √ x + √ 1 − x √ 2 và 4 √ x + 4 √ 1 − x 4 √ 8 Do đó (2) ⇔ x = 1 − x ⇔ x = 1 2 . Vậy để (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần và đủ là m = √ 2 + 4 √ 8 2 Bài 2: Tìm a và b để phương trình sau có nghiệm duy nhất 3 (ax + b)2 + 3 (ax − b)2 + 3 √ a2x2 − b2 = 3 √ b (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x = x0, khi đó dễ thấy x = −x0 cũng là nghiệm của (1). Do đó từ giả thiết ta suy ra x0 = 0. Thay x0 = 0 vào (1) ta được : 3 √ b2 = 3 √ b ⇒ b = 0 b = 1 Điều kiện đủ: Khi b = 0, (1) có dạng: 3 √ a2x2 + 3 √ a2x2 + 3 √ a2x2 = 0 ⇔ a2 x2 = 0 Do đó (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 0 Khi b = 1, (1) có dạng: 3 (ax + 1)2 + 3 (ax − 1)2 + 3 √ a2x2 − 1 = 1 (∗) Đặt u = 3 √ ax + 1; v = 3 √ ax − 1, ta thấy: (∗) ⇔ u3 − v3 = 2 u2 + uv + v2 = 1 ⇔ u − v = 2 u2 + uv + v2 = 1 ⇔ u = 1 v = −1 ⇔ ax + 1 = 1 ax − 1 = −1 ⇔ ax = 0 Vậy (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 0 Tóm lại, để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần và đủ là a = 0; b = 0 b = 1 2 Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:    √ 7 + x + √ 11 − x − 4 = m − 4 − 3 √ 10 − 3m 7 + y + 11 − y − 4 = m − 4 − 3 √ 10 − 3m
15. 50. 51 Nếu b = 0 ⇒ b2 + 1 = 1 nên từ (1) có y = 0, nhưng không thoả (2). Vậy trường hợp này loại. Nếu a = 1: ta có    x2 + (b2 + 1)y = 1 bxy + x2 y = 0 Hệ trên luôn có nghiệm x = y = 0. Vậy a = 1 là điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm với mọi b 2 Bài 8: Tìm điều kiện của a, b, c, d, e, f để hai phương trình ẩn (x; y) sau là tương đương:    ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) x2 + y2 = 1 (2) Giải Điều kiện cần: Ta thấy (x; y) = (0; ±1) , (±1; 0) , 1 √ 2 ; 1 √ 2 , − 1 √ 2 ; − 1 √ 2 là nghiệm của (2). Do đó (1) cũng phải có các nghiệm trên. Như vậy    c + e + f = c − e + f = a + d + f = a − d + f = 0 a + b + c + √ 2d + √ 2e + 2f 2 = a + b + c − √ 2d − √ 2e + 2f 2 = 0 Giải hệ trên ta tìm được điều kiện cần của bài toán là (∗)    b = d = e = 0 a = c = −f = 0 Điều kiện đủ: Dễ thấy với (*) thì (2) trùng với (1). Vậy (*) là điều kiện cần và đủ để (1) ⇔ (2) 2 Bài 9: Cho phương trình x3 + ax + b = 0 (1) Tìm a, b để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 cách đều nhau. Giải Điều kiện cần: Giả sử phương trình (1) có 3 nghiệm khác nhau x1, x2, x3 thỏa giả thiết ⇒ x1 + x3 = 2×2 Theo định lý Viete với phương trình bậc 3 ta có: x1 + x2 + x3 = 0 ⇒ 3×2 = 0 ⇒ x2 = 0 Thay x2 = 0 vào (1) ta được b = 0 Điều kiện đủ: Giả sử b = 0 , khi đó (1) trở thành: x3 + ax = 0 ⇔ x(x2 + a) = 0 (2) Ta thấy (2) có 3 nghiệm phân biệt nếu a < 0. Khi đó các nghiệm của (2) là    x1 = − √ −a x2 = 0 x3 = √ −a

--- Bài cũ hơn ---

Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2

Các Phương Pháp Giải Phương Trình

Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt

Giải Phương Trình Bậc Hai (Bản Đầy Đủ)

Học Cách Giải Bất Phương Trình Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

--- Bài mới hơn ---

Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2

Tổng Hợp Các Phương Pháp Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Môn Toán

Hướng Dẫn Học Sinh Giải Phương Trình Toán Bằng Máy Tính Casio

Công Bố Kết Quả Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh Năm 2022

Giới Thiệu Nhóm Sản Phẩm Bình Chọn Giải Thưởng Y Tế Thông Minh: “báo Cáo Sự Cố”

1. Phương pháp giải phương trình bậc ba.

Xét phương trình bậc ba dạng tổng quát bao giờ cũng đưa về được phương trình bậc ba dạng chính tắc bằng cách chia hai vế của cho để được và đặt thì ta sẽ thu được .

Xét biểu thức .

2. Phương pháp giải một số phương trình bậc bốn dạng đặc biệt.

a) Phương trình trùng phương : .

b) Phương trình dạng . c) Phương trình dạng với .

Đưa phương trình về dạng và đặt thì ta được phương trình bậc hai theo ẩn .

d) Phương trình dạng với .

Đưa phương trình về dạng

Bằng cách chia hai vế cho và đặt ta thu được phương trình bậc hai theo

e) Phương trình đối xứng bậc bốn, phương trình hệ số phản hồi.

Phương trình trên được gọi là phương trình hệ số phản hồi nếu .

Khi đó bằng cách chia hai vế cho và đặt ẩn phụ thì ta được phương trình bậc hai theo ẩn

3. Phương pháp sử dụng một số hằng đẳng thức.

Ví dụ : Giải phương trình

Để ý hằng đẳng thức

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là

4. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ : Giải phương trình

Điều kiện .

Từ đó ta có hệ phương trình

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là

5. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác) 6. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.

Ví dụ : Giải phương trình

Đặt

Cộng vế theo vế hai phương trình này :

Xét hàm số , dễ thấy hàm này đồng biến trên nên

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là

7. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.

Ví dụ : Giải phương trình

Điều kiện .

Đẳng thức xảy ra khi

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là

8. Phương pháp dùng lượng liên hợp.

Phương pháp này dùng được cho những phương trình chứa căn thức và khi biết trước nghiệm của phương trình.

Một số hằng đẳng thức dùng để trục căn thức :

Ví dụ : Giải phương trình

Phương trình tương đương :

Mà dễ thấy rằng

Nên .

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là

Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope.

--- Bài cũ hơn ---

Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt

Giải Phương Trình Bậc Hai (Bản Đầy Đủ)

Học Cách Giải Bất Phương Trình Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Bai Giang Phuong Trinh Vi Phan

Trắc Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 Có Lời Giải Chi Tiết

--- Bài mới hơn ---

Phương Trình Và Hệ Phương Trình

Cách Giải Bài Tập Về Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng Hay, Chi Tiết

Giải Bài Tập Sgk Bài 31: Phương Trình Trạng Thái Của Khí Lí Tưởng

Giải Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng

Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Trong Phương Trình Mũ

1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn.

Dạng tổng quát

a) Nếu một trong hai phương trình là bậc nhất thì dễ dàng giải được hệ bằng phương pháp thế. b) Nếu một trong hai phương trình là thuần nhất bậc hai, chẳng hạn . Khi đó phương trình thứ nhất có dạng , phương trình này cho phép tính được . c) Hệ đẳng cấp bậc hai, tức là . Bằng cách khử đi hệ số tự do ta sẽ tìm ra được một phương trình thuần nhất bậc hai để tìm tỉ số d) Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng phương pháp “tịnh tiến nghiệm” bằng cách đưa vào các ẩn mới (với là các ẩn). Ta sẽ tìm để khi khai triển thì các hạng tử bậc nhất ở cả hai phương trình của hệ đều bị triệt tiêu. Từ đó có hệ đẳng cấp theo mà ta đã biết cách giải.

Đặt . Hệ trở thành :

Vậy ta có hệ .

Dễ dàng giải được hệ này.

2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng.

a) Hệ phương trình đối xứng loại I.

Cách giải chung là đặt ẩn phụ .

b) Hệ phương trình đối xứng loại II

Cách giải chung là trừ vế theo vế hai phương trình để thu được nhân tử chung .

c) Hệ phương trình đối xứng ba ẩn.

Dạng tổng quát

Nếu ba số thỏa mãn thì chúng là ba nghiệm của phương trình .

3. Hệ phương trình hoán vị.

Dạng tổng quát

Với thường là các hàm đơn điệu (trên một khoảng nào đó)

Một số định lí :

a) Nếu là các hàm đồng biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì .

b) Nếu là các hàm nghịch biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì với lẻ, ta có .

c) Nếu nghịch biến và đồng biến trên tập là là nghiệm (trên ) của hệ thì với chẵn, ta có và .

Vì .

4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp này chủ yếu dựa vào định lí sau :

Phương trình thứ nhất có thể viết thành :

Thay vào phương trình sau :

Vậy

5. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ : Giải hệ phương trình

Điều kiện

Cộng vế theo vế hai phương trình :

Trừ vế theo vế hai phương trình :

Vậy nếu ta đặt

Thì ta có hệ

Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu.

6. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.

“Chất bất đẳng thức” của hệ này nằm ở phương trình thứ hai.

Điều kiện

7. Phương pháp biến đổi đẳng thức. a) Đưa về phương trình tích.

Ta dễ dàng giải được hệ này.

b) Đưa về phương trình thuần nhất.

Nhận thấy vế trái của có bậc ba và vế phải của có bậc . Để đưa thành một phương trình thuần nhất (thuần nhất bậc ba) thì ta cần nhân vào vế phải một biểu thức bậc .

Dễ dàng giải tiếp hệ này.

8. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác) 9. Phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ : Giải hệ phương trình

Mục đích ở đây là ta sẽ tạo ra một phương trình mà có thể tính được ẩn này theo ẩn kia.

Ta cần phối hợp hai phương trình của hệ để tạo một phương trình bậc hai có ẩn là .

Từ đó được phương trình .

Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope

--- Bài cũ hơn ---

Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Bằng Phương Pháp Thế

Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực

Rèn Kĩ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8

Giải Bài Toán Bằng Phương Trình Ion

Su Dung Phuong Trinh Ion Thu Gon

--- Bài mới hơn ---

Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)

Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức

Nâng Cao Toán Lớp 8

Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa

Xem Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

ĐỀ TÀI:PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

NGHIỆM NGUYÊN

Môn:Cơ sở Toán ở Tiểu học 3

Giảng viên:

Lớp:

Các thành viên cùng thực hiện:

LỜI MỞ ĐẦU 2

PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ 3

PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG 3

PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC 3

PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ 6

PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG 8

PHƯƠNG PHÁP 6: LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN 10

PHƯƠNG PHÁP 7: XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG 11

PHƯƠNG PHÁP 8: TÌM NGHIỆM RIÊNG 11

PHƯƠNG PHÁP 9: PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC 12

PHƯƠNG PHÁP 10: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 13

PHƯƠNG PHÁP 11: PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ 13

PHƯƠNG PHÁP 12: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN TỐ 13

BÀI TẬP ÁP DỤNG 15

LỜI MỞ ĐẦU

Không giống như các phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm nguyên khó giải quyết hơn vì điều kiện ràng buộc nguyên của nhiệm. Vì vậy với phương trình nghiệm nguyên, ta thường không có một phương pháp hoặc định hướng giải cụ thể nào như với phương trình nghiệm thực và nghiệm phức. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng một số phương pháp hiệu quả để giải quyết lớp phương trình này. Trong chuyên đề này ta sẽ nêu ra một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Tùy vào từng bài toán mà ta có những dấu hiệu nhận biết để chọn phương pháp thích hợp.

PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ

Ví dụ 1:Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:

𝑥

2−

𝑦

2

chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

𝑥

2,

𝑦

2

chia cho 4 có số dư là 0, 1 nên

𝑥

2+

𝑦

2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 2:Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

9𝑥+2=

𝑦

2+𝑦

Giải

Biến đổi phương trình: 9𝑥+2= 𝑦(𝑦+1)

Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên 𝑦(𝑦+1) chia hết cho 3 dư 2.

Chỉ có thể: 𝑦=3𝑘+1, 𝑦+1=3𝑘+2 𝑣ớ𝑖 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛

Khi đó: 9𝑥+2

3𝑘+1

3𝑘+2

Thử lại: 𝑥=𝑘

𝑘+1, 𝑦=3𝑘+1 thỏa mãn phương trình đã cho.

Đáp số:

𝑥=𝑘

𝑘+1

𝑦=3𝑘+1 với 𝑘 là số nguyên tùy ý.

PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG

Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các phương trình, vế phải là tổng của các số chính phương.

Ví dụ:Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương

3

2,

5

2. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:

Giải các hệ trên suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là:

2;3,

3;2, −1;−2, (−2;−1

--- Bài cũ hơn ---

Đề Tài:phương Pháp Giải Pt Nghiệm Nguyên

9 Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên

Giải 9 Bài Pt Mũ & Log Bằng Ẩn Số Phụ

Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai

Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết

--- Bài mới hơn ---

Phương Trình Lượng Giác Có Điều Kiện

Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp

Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Toán Lớp 11

Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên

Lý Thuyết Hệ Phương Trình Có Cấu Trúc Đặc Biệt Toán 10

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa va thì cần điều kiện để và có nghĩa. Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản . Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại. 1.1-Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. a) Giải và biện luận phương trình (1) Do nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt. -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= . Ta có: Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt. Ví dụ 1: Giải phương trình Giải: Ta nhận thấy không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt = Khi đó ta có: Vậy phương trình có 2 họ ngiệm Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Do nên Vậy phương trình có hai họ nghiệm . b) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng đi biện luận (b) theo m Bước 1: Nếu phương trình vô nghiệm . Bước 2: Nếu ta xét 2 khả năng: -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt, giả sử góc. Khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt khi đó đặt = .Ta có: Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: Do nên Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Vì và không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc sao cho Ta có: Vậy phương trình có hai họ nghiệm . c) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình Giải : Do nên ta có: Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt . Từ đó ta có Vậy phương trình có một họ nghiệm. d) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng đi biện luận theo Bước1: Đặt điều kiện Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (1) Giải: Điều kiện (*) Ta có: (1) Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Ta nhận thấy nên ta có Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức. 1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp. 1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng 1: (1) Cách giải: Đặt , điều kiện Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo , giải tìm chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm Dạng 2: (2) Cách giải: Đặt điều kiện ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo , giải tìm rồi tìm Dạng 3: (3) Cách giải: Điều kiện Đặt ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo , chú ý khi tìm được nghiệm cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: (4) Cách giải: Điều kiện Đặt . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Phương trình (1) Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện Ta có: Ta thấy không thoả mãn điều kiện. Do đó (*) Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2 Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: Bài 6: Giải phương trình: Bài 7: Giải phương trình: Bài 8: Giải phương trình Bài 9: Giải phương trình 1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với a)Định nghĩa: Phương trình trong đó a, b, c và được gọi là phương trình bậc nhất đối với b) Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước Bước 1:Kiểm tra -Nếu < phương trình vô nghiệm -Nếu khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho , ta được Vì nên tồn tại góc sao cho Khi đó phương trình (1) có dạng Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải Cách 2: Thực hiện theo các bước Bước 1: Với thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không? Bước 2: Với Đặt suy ra Khi đó phương trình (1) có dạng Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x. * Dạng đặc biệt: . . . Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng , và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác . Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1) Giải : Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho ta được Đặt . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng Vậy phương trình có 2 nghiệm Cách 2:-Ta nhận thấy là nghiệm của phương trình -Với . Đặt ,lúc đó Phương trình (1) sẽ có dạng Hay Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Ta biến đổi phương trình (2) Ta có: Suy ra < Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau Ví Dụ 3: Giải phương trình Giải : Cách 1:Thực hiện phép biến đổi (3) Đặt Phương trình (3) sẽ được viết thành Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai họ nghiệm Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn. Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt và ta cũng thu được nghiệm chẵn (*) trong đó là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 4: Giải phương trình: Giải: (4) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Bài tập: Giải các phương trình sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với và . a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với , là phương trình. (1) trong đó a, b, c, d b) Cách giải : Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử hoặc . Chẳng hạn nếu chia cho ta làm theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra: xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không? Bước 2: Với chia cả hai vế cho lúc đó phương trình (1) trở thành Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình đã cho về phương trình Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát trong đó Khi đó ta cũng làm theo 2 bước : Bước 1: Kiểm tra xem có phải là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Nếu .Chia cả hai vế của phương trình trên cho ta sẽ được phương trình bậc n theo . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : (1) Giải: Cách 1: Phương trình (1) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Cách 2: +) Thử với vào phương trình (1) ta có vô lí. Vậy không là nghiệm của phươngtrình. +)Với Chia cả hai vế của phương trình cho ta được Vậy phương trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải : Ta nhận thấy có thể biểu diễn được qua . Luỹ thừa bậc ba biểu thức ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải Phương trình (2) +) Xét với . Khi đó phương trình có dạng mâu thuẫn Vậy phương trình không nhận làm nghiệm +) Với . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho ta được : . Đặt phương trình có được đưa về dạng: Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình . Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất. Ví Dụ 3: Giải phương trình: (3) Giải : Điều kiện Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng : Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ta được : (do vô nghiệm) nên: Phương trình (*) Vậy phương trình có một họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Đặt ta được : Vậy phương trình có một họ nghiệm Bài tập : Giải các phương trình sau : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1.2.4-Phương trình đối xứng đối với và . a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với và là phương trình dạng trong đó (1) b) Cách giải: Cách 1: Do nên ta đặt . Điều kiện Suy ra và phương trình (1) được viết lại: Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải Cách 2: Đặt thì nên phương trình (1) trở thành . Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình bằng cách đặt và lúc đó Ví Dụ Minh Hoạ : Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Cách 1: Đặt điều kiện . Lúc đó Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng Với không thoả mãn điều kiện nên (*) Cách 2: Đặt . Khi đó phương trình có dạng (*’) Ta thấy không thoả mãn Do đó (*’) Vậy phương trình có hai họ nghiệm *Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải phương trình Cách giải: Phương trình (1) có thể viết *Quy ước: Khi có nhiều dấu trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Ta có (2) Ta có (3) (4) (6) Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm. Bài toán 2: Giải phương trình: với (1) Cách giải: Ta có: Đến đây chúng ta đã biết cách giải Tương tự cho phương trình Ví Dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Điều kiện (3) Giải (4) Giải (5): Đặt (*) Suy ra . Phương trình (5) trở thành Kết hợp với điều kiện (*) thì bị loại Với ta có Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy phương trình có ba họ nghiệm Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2. Ví dụ 4: Giải phương trình: Giải : Ta có: Phương trình (1) có dạng Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Ví Dụ 5: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện: Phương trình (2) (loại) Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng và . * Phương trình có dạng Cách giải: Bước 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về dạng đại số Bước 2: Giải phương trình loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x Ví dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Phương trình (1) Đặt , phương trình (2) trở thành hay Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện Ta có: Phương trình (2) (3) Đặt , phương trình (3) có dạng Với thì nên (4) Suy ra ( thoả mãn điều kiện(2)). Vậy là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Bài tập:Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG. Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp. Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau: 1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp. Ví Dụ: Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện (*) Khi đó (1) Thay vào (*) xem có thoả mãn hay không ? Suy ra không thoả mãn (*) . Vậy phương trình (1) vô nghiệm . 1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác). Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình. Ví Dụ: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện Khi đó phương trình (1) Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác. sin cos Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 1.3.3- Phương pháp đại số. Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số. * Ví Dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện Khi đó (1) Gía trị này là nghiệm của (1) nếu Điều này đúng vì là số lẻ còn là số chẵn Vậy nghiệm của phương trình là Bài tập: 1: Tìm các nghiệm thuộc của phương trình 2: Giải phương trình: 3: Giải phương trình: 4: Giải phương trình: 5: Giải phương trình: 6: Giải phương trình:

--- Bài cũ hơn ---

Phương Trình Lượng Giác Và Ứng Dụng (Nâng Cao)

Giáo Án Chủ Đề Tự Chọn 11 Tiết 7: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực

Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực

Trắc Nghiệm Lượng Giác (Kèm Lời Giải)

Bài Tập Trắc Nghiệm Phương Trình Mũ Và Logarit File Word

--- Bài mới hơn ---

Chuyên Đề Bất Phương Trình

Giải Phương Trình Mũ Logarit Hay Và Khó Lớp 12

Bài Tập Trắc Nghiệm Phương Trình Mũ Và Logarit File Word

Trắc Nghiệm Lượng Giác (Kèm Lời Giải)

Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực

Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2

Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.

Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).

2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là

3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn

Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.

4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Ví dụ 1. Giải phương trình

$$sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

cup left{ { – 1} right}$.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$left$.

--- Bài cũ hơn ---

Tổng Hợp Đề Kiểm Tra 1 Tiết Toán 11 Chương 1 Đại Số (Có Đáp Án)

Tuyển Chọn Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 Cơ Bản

Chiến Thắng 30/4 Mở Trang Mới Trong Sự Nghiệp Xây Dựng Và Bảo Vệ Tổ Quốc

Cuộc Chiến Chấm Dứt 45 Năm Trước Qua Cái Nhìn Của Du Học Sinh!

Sự Thật Về Cuộc Di Tản Trước Giải Phóng Miền Nam Năm 1975 – Viện Nghiên Cứu Phát Triển Phương Đông