Giai Thừa Lớn Chứa Giai Thừa Bé Và Ứng Dụng

--- Bài mới hơn ---

  • Giai Thừa Với Bài Toán Tổ Hợp
  • Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Lý Thuyết Giải Các Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Thường Gặp
  • Giáo Án Đại Số 11 Chương 1 Tiết 11: Thực Hành Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Bằng Máy Tính Bỏ Túi Casio Fx 500Ms
  • Phương Trình Hóa Học Đầy Đủ Chi Tiết Nhất
  • Trước tiên, chúng ta cần hiểu “Giai thừa” là gì?

    1. Định nghĩa

    Cho

    là số tự nhiên dương. Tích của

    số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến

    được gọi là n – giai thừa. Kí hiệu là

    Như vậy, kí hiệu là một số nguyên dương được tính bởi công thức

    hoặc

    Ví dụ

    • Tích của 1 số từ 1 đến 1
    • Tích của 2 số liên tiếp, từ 1 đến 2
    • Tích của 3 số liên tiếp, từ 1 đến 3
    • Tích của 4 số liên tiếp, từ 1 đến 4
    • Tích của 5 số liên tiếp, từ 1 đến 5

    Theo định nghĩa trên, khái niệm

    chỉ được định nghĩa với

    là một số tự nhiên lớn hơn không. Về sau để tiện sử dụng và phù hợp với một số công thức tính toán, người ta “mở rộng” khái niệm Giai thừa cho trường hợp

    bằng 0 và định nghĩa – hay qui ước:

    . Bạn có thể Google hoặc xem trên Wikipedia để tìm hiểu thêm về quy ước này!

    Quy ước: Điều kiện xác định

    Với quy ước trên, từ giờ trở đi chúng ta cần nhớ

    Kí hiệu

    chỉ có nghĩa khi

    hay

    Tiếp theo, chúng ta cùng tìm hiểu xem Giai thừa có tính chất gì đặc biệt.

    2. Tính chất giai thừa

    Hãy quay lại ví dụ ở trên, quan sát các giai thừa khi viết chúng ở dạng tích các số tự nhiên liên tiếp và cố gắng tìm ra một mối liên hệ nào đó giữa các giai thừa lớn so với các giai thừa bé hơn. Chẳng hạn, giữa và hay giữa và ?

    Bạn có thấy mối quan hệ gì không?

    Đây chính là tính chất đặc trưng của Giai thừa: Một giai thừa lớn luôn có thể biểu diễn qua một giai thừa bé hơn. Chúng ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng “khẩu quyết” cho dễ nhớ là: “Giai thừa lớn chứa giai thừa bé”. Bây giờ hãy xem khẩu quyết này lợi hại thế nào 😀

    3. Ví dụ

    Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

    Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức sau:

    Phân tích

    * Nhận xét, biểu thức đã cho gồm các tỉ số mà tử và mẫu đều là các giai thừa, do đó ta có thể áp dụng định nghĩa để viết từng giai thừa thành tích các thừa số rồi rút gọn. Nhưng rõ ràng, làm như thế sẽ khiến biểu thức của ta rất cồng kềnh vì có rất nhiều thừa số.

    * Để ý rằng, ở mỗi tỉ số đều chứa những giai thừa lớn và giai thừa nhỏ. Như vậy, ta có thể biểu diễn giai thừa lớn theo giai thừa nhỏ hơn rồi rút gọn. Chẳng hạn , do đó

    * Tương tự như vậy, cho các giai thừa còn lại: và . Từ đó, ta sẽ rút gọn được biểu thức một cách dễ dàng hơn.

    Lời giải

    Ta có

    Do đó:

    – Cách thứ nhất là: Áp dụng định nghĩa Giai thừa, viết các giai thừa dưới dạng tích số từ 1 đến rồi rút gọn các thừa số chung.

    – Cách thứ hai là: Quan sát xem giai thừa nào lớn hơn, rồi giữ nguyên giai thừa bé và biểu diễn giai thừa lớn theo giai thừa bé để rút gọn.

    Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

    Rút gọn biểu thức sau:

    Phân tích

    * Nhận xét, không giống như ví dụ trước, ở ví dụ này xuất hiện giai thừa có chứa biến . Tuy nhiên, điều đó không quan trọng! Điều quan trọng là phải nhìn ra giai thừa nào là giai thừa lớn và giai thừa nào là giai thừa bé hơn.

    * Dễ thấy, lớn hơn một đơn vị, do đó và

    Ví dụ 3: Giải phương trình chứa ẩn trong giai thừa

    Giải phương trình

    Phân tích

    * Chà, một phương trình lạ mắt, một phương trình ẩn mà lại nằm trong giai thừa! Lạ quá, từ xưa đến giờ chúng ta chỉ giải các phương trình mà ẩn nằm trong đa thức, căn thức và gần đây nhất là trong đối số của hàm lượng giác thôi. Giờ ẩn lại nằm trong giai thừa! Vậy làm thế nào để tìm đây? 1

    * Bình tĩnh một chút, hãy nhớ lại xem các “sư phụ” 😀 thường bảo chúng ta làm gì khi gặp những “phương trình mới mẻ”, những phương trình mà chúng ta chưa biết giải? À, “khẩu quyết” 2 hay dùng khi đó là “đưa nó về phương trình đã biết giải” hay “quy lạ về quen”. Vậy hãy thực hiện vài phép rút gọn vế trái xem phương trình có thể trở thành như thế nào?

    * Dễ thấy rằng là bé nhất nên ta sẽ biểu diễn các giai thừa còn lại theo , khi đó vế trái của phương trình đã cho trở thành

    Tốt rồi, giai thừa đã bị “biến mất”, vế trái trở thành 1 biểu thức quen thuộc với tử là bậc nhất còn mẫu là bậc hai với ẩn , trong khi vế phải là hằng số. Do đó, nhân chéo, chuyển vế và rút gọn thì phương trình đã cho trở thành một phương trình bậc hai quen thuộc.

    * Trước khi thực hiện lời giải, chú ý rằng chúng ta đang giải phương trình có chứa ẩn trong giai thừa nên phải có điều kiện cho ẩn. Dễ thấy, điều kiện ở đây là .

    Lời giải

    * Điều kiện:

    * Ta có:

    * Do đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình

    ™, ™

    * Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm

    – Chúng ta cũng được dịp ôn lại một khẩu quyết rất hay dùng khi giải các bài toán về phương trình: “Đưa phương trình đã cho về phương trình đã biết giải” hay tư tưởng “Quy lạ về quen”

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 Es Plus
  • Giải Toán 10 Bài 2. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn
  • Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình
  • Đại Số 10/chương Iii/§1. Đại Cương Về Phương Trình
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Giai Thừa Với Bài Toán Tổ Hợp

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Lý Thuyết Giải Các Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Thường Gặp
  • Giáo Án Đại Số 11 Chương 1 Tiết 11: Thực Hành Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Bằng Máy Tính Bỏ Túi Casio Fx 500Ms
  • Phương Trình Hóa Học Đầy Đủ Chi Tiết Nhất
  • Kỹ Thuật Giải Phương Trình Hàm
  • (HNM) – Số đếm được hình thành từ xa xưa trong lịch sử. Khi toán học phát triển, một số nhà toán học khi làm toán lại quan tâm đến tích của những số đếm đầu tiên như 1 x 2, 1 x 2 x 3… Người ta gọi tích của n số đếm đầu tiên là n giai thừa, kí hiệu là n!. Chẳng hạn, 2! = 1 x 2 = 2, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.

    Những nhà toán học nổi tiếng như Legendre, Gauss, James Stirling, Vandermonde… sử dụng cách viết 1 x 2 x 3 x 4… trong các định lí hay công thức toán học của mình. Người đầu tiên dùng kí hiệu n! là nhà toán học người Pháp Christian Kramp (1760-1826) vào năm 1808. Ông tốt nghiệp ngành y khoa nhưng lại quan tâm nhiều đến toán học. Ông đã viết một số sách về y khoa và đến năm 1793 thì xuất bản sách viết về tinh thể học. Năm 1794, Kramp trở thành giảng viên dạy toán, lý, hóa. Năm 1809, ông được bổ nhiệm làm giáo sư. 8 năm sau, ông được bầu vào Viện Hàn lâm khoa học Pháp. Việc đưa kí hiệu n! vào giúp cho mọi người giảm đáng kể thời gian công sức, góp phần đáng kể vào sự phát triển của toán học.

    Dựa vào khái niệm giai thừa, ta thấy (n + 1)! = (n + 1) x n!. Chẳng hạn với n = 4 thì 5! = 5 x 4!. Thật vậy, 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5, còn 5 x 4! = 5 x (1 x 2 x 3 x 4). Do đó 5! = 5 x 4!. Người ta gọi (n + 1)! = (n + 1) x n! là một công thức truy hồi. Muốn tính giai thừa của một số, ta tính theo giai thừa của số bé hơn. Biết 4! = 24, muốn tính 6!, ta có thể làm như sau: 5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120, 6! = 6 x 5! = 6 x 120 = 720.

    Bây giờ ta giải thích tại sao phải có kí hiệu 0! và 1!. Theo khái niệm ở trên thì n! chỉ tích của n số đếm đầu tiên. Theo công thức truy hồi thì 2! = 2 x 1! hay 2 = 2 x 1!, từ đó 1! = 1. Đến bài toán tổ hợp, chẳng hạn tính số đoạn thẳng nối 2 điểm. Đáp số rõ ràng là 1. Tức là 2C2 = 1 hay 2! : (2! x (2 – 2)!) = 1. Từ đó 2 : (2 x 0!) = 1, 2 x 0! = 2, 0! = 1. Vậy để đầy đủ các khái niệm giai thừa cho các số tự nhiên, người ta quy ước 0! = 1! = 1.

    Kết quả kỳ trước. Trong hình vuông 3 x 3 có tất cả 36 hình chữ nhật. Phần thưởng trao cho các bạn: Phương Minh Tuấn (7B, THCS Tân Mai); Trần Nhật Huy (7A7, THCS Ngô Sĩ Liên); Phạm Trần Duy Hưng, Phạm Trần Quang Nguyên (P506, C2, TT Quỳnh Mai).

    Câu hỏi kỳ này: Nối các đỉnh của hình vuông được 6 đoạn thẳng. Theo em thì dùng công thức nào để tính? Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giai Thừa Lớn Chứa Giai Thừa Bé Và Ứng Dụng
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 Es Plus
  • Giải Toán 10 Bài 2. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn
  • Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình
  • Đại Số 10/chương Iii/§1. Đại Cương Về Phương Trình
  • Pp Giải Pt Lượng Giác_Có Lời Giải Pp Giai Phuong Trinh Luong Giac Co Loi Giai Doc

    --- Bài mới hơn ---

  • Một Số Phương Pháp Giải Các Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Tìm Điều Kiện Của Tham Số M Để Phương Trình Lượng Giác Có Nghiệm
  • Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Dạy Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Các Dạng Toán Bất Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Logarit Cách Giải Và Bài Tập
  • Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 0 7/12/2017

    B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    1. Một số phương trình lượng giác mẫu mực

    1.1. Phương trình lượng giác cơ bản

    1.3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

    1.4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

    1.5 Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx

    1.6 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

    1.7 Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

    2. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

    2.1 Phương pháp đặt ẩn số phụ

    2.2 Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích

    2.3 Một số phương pháp khác

    2.3.1 Phương pháp đưa về tổng các biểu thức không âm

    2.3.3 Phương pháp phản chứng

    2.3.4 Phương pháp đoán nghiệm

    2.3.5 Phương pháp đưa về tích

    3. Một số dạng đặc biệt của phương trình lượng giác

    3.1 Phương trình lượng giác có chứa tham số

    3.1.1. Đưa phương trình lượng giác có chứa tham số về dạng phương trình lượng giác cơ bản

    3.1.2. Biện luận và giải phương trình lượng giác có chứa tham số bằng phương pháp khảo sát hàm số

    3.2. Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối

    3.2.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

    3.2.3. Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối

    3.3. Phương trình lượng giác chứa căn thức

    3.3.1. Biến đổi tương đương

    3.3.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

    3. 7. Công thức biến đổi tích thành tổng

    * Chú ý :

    Nhìn chung có h ai phương pháp để giải phự ơng trình lượng giác là biến đổi phương trình về các phương trình lượng giác về dạng mẫu mực hay phương trình lượng giác dạng không mẫu mực.

    1. Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
    2. Dùng các công thức lượng giác đã biết biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình dạng cơ bản.
    3. Đối chiếu với điều kiện loại các nghiệm không thỏa mãn các điều kiện.

     Nghiệm của phương trình lượng giác là một tậ p hợp vô hạn và được biểu diễn d ưới dạng một họ nghiệm.

    2) Giải phương tr ình (2)

    (2)

    Đặt

     Nếu  là một số cho trước mà xác định thì phương trình tanx = tan  có nghiệm x = k  thoả điều kiện .

     Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x)  0 và cosQ(x)  0.

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Khi đó phương trình trở thành:

    Đặt

    So sánh với điều kiện (*) s uy ra nghiệm của phương trình là : ,

    Dạng phương trình:

    Điều kiện có nghiệm:

    Phương trình trở thành:

    Đặt . Khi đó và

    Phương trình trở thành:

    Nếu chia 2 vế cho a rồi ta đặt

    Đặt ta được phương trình lượng giác cơ bản

    Ví dụ minh họa

    Đặt . Khi đó và

    P hương trình (2) trở thành:

    (3)

    Điều kiện có nghiệm của phương trình:

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

    Dạng phương trình:

    ( a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)

     Xét , c hia hai vế của (1) cho ta được:

    P hương trình trở thành :

    Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo

    ; ;

    Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    (1)

     Xét , chia hai vế của cho ta được phương trình :

    (2) (2′)

    So sánh với điều kiện (*), suy ra nghiệm của (3) là ,

    Dạng phương trình

     Xét có là nghiệm của (1) hay không

    (2)

    Ví dụ minh họa

    Vì nên phương trình tr ên vô nghiệm .

    Do điều kiện (*) , chia hai vế của (2 ‘) cho ta được:

    (3)

     Xét , chia hai vế của (3′) cho ta được phương trình :

    Chú ý : Nế u là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx và cosx thì chia hai vế cho , ta được một phương trình bậc k the o .

    Dạng 1:

    Đặt

    Suy ra

    Chú ý : Ta cũng có thể đặt và làm tương tự như trên .

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    (1)

    Khi đó trở thành:

    Khi đó (2)

    Đặt

    Điều kiện: (* * )

    Khi đó trở thành:

    Đặt . Điều kiện: (*)

    Suy ra

    Khi đó trở thành: (nhận)

    Với

    Vậy nghiệm của ( 3 ) là , ,

    Suy ra

    Vậy nghiệm của (4 ) là ,

    Dạng 2:

    Đặt

    Khi đó phương trình trở thành:

    G iải phương trình lượng giác cơ bản , suy ra x

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Đặt . Điều kiện: (*)

    Suy ra

    (2)

    Đặt . Điều kiện: (*)

    Suy ra

    Khi đó trở thành :

    Đặt . Điều kiện: (* * )

    Suy ra

    Khi đó trở thành:

    (với )

    Giải phương trình

    Ví dụ mimh họa

    Điều kiện:

    Đặt , điều kiện . Khi đó

    trở thành:

    Vậy nghiệm của (1) là , , ,

    Điều kiện:

    (2)

    Đặt , điều kiện . Khi đó

    trở thành:

    Dạng 2:

    Đặt . Khi đó

    Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có) , suy ra t

    Giải phương trình

    Ta có

    Ta có:

    Đây là phương trình cơ bản của cot2x

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Vậy nghiệm của (1 ) là , ,

    Điều kiện:

    Khi đó

    Vậy nghiệm của (2) là , ( với )

    Phương pháp

    Một số dạng phương trình thường gặp

    1. f (sinx, cosx) = 0 , đặt

    2. f (sin 2 x, sinxcosx) = 0 , đ ặt

    3. f (sinx, cos2x) = 0 , đ ặt ,

    4 . f (cosx, cos2x) = 0 , đ ặt ,

    5. f , đ ặt ,

    6 . f , đ ặt ,

    7. f , đ ặt ,

    8. f , đặt ,

    K hi đó ,

    9. f ,đặt ,

    10. Dạng: , đặt

    11. Dạng: h oặc .

    12. , đ ặt ,

    h oặc

    13. , đ ặt ,

    Ví dụ minh họa

    (3)

    Khi đó phương trình trở thành:

    Điều kiện:

    So sánh với điều kiện (*), suy ra nghiệm của (5) là ,

    Khi đó

    Phương trình trở thành:

    (7)

    Đặt

    Điều kiện:

    Với

    Phương pháp

    c) và có thừa số chung .

    d) và có thừa số chung .

    Ví dụ minh họa

    (1)

    (2)

    (3)

    4) Giải phương trình (4 )

    Điều kiện:

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    (1)

    Kế t hợp với (*), suy ra nghiệm của (1) là:

    (2)

    Ví dụ minh họa

    (1)

    (2)

    Ta có

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Do đó (vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

    (2)

    (vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

    Ta có

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Ta có

    (2.2)

    Ta có

    (vô nghiệm)

    Ta có

    Ví dụ minh họa

    hoặc

    hoặc ,

    Phương pháp

    + Chọn một giá trị đặc biệt thay vào phương trình nếu thỏa thì là nghiệm của phương trình.

    + Dùng tính chất đơn điệu chứng minh nghiệm trên là duy nhất.

    Ví dụ minh họa

    Đặt

    + Khi

    + Khi

    Như vậy nghiệm của (1) là

    2) Giải phương trình với (2)

    Đặt

    N ên đồ thị của hàm số cắt tại một điểm duy nhất .

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    hoặc

    hoặc

    hoặc

    (vô nghiệm)

    Phương pháp

    + Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác

    + Kết hợp những kiế n thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước.

    Ví dụ minh họa

    1) Định m để phương trình (1) có nghiệm

    Vậy phương trình (1) có nghiệm khi

    2) Định m để phương trình (2) có nghiệm trên khoảng

    Với thì nên chia hai vế của (2) cho ta được :

    Khi đó

    Giả sử

    tăng trên khoảng có nghiệm

    .

    Giả sử phương trình lượng giác phụ thuộc m có dạng: (1) . Định m để phương trình (1) có nghiệm .

    Phương pháp

    5) (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm khi và chỉ khi có điểm chung với

    Ví dụ minh họa

    (1) có nghiệm.

    (1)

    (2) có nghiệm.

    Đặt

    Khi đó

    Xét hàm số

    Ta có

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên, phương trình (2) có nghiệm khi

    3) Cho phương trình (3 ) . Định m để (3 ) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn .

    Với , đặt . Khi đó

    (3) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt trên .

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bài toán tương đương

    Đặt

    Xét

    Do đó

    Bảng biến thiên

    3.2 . Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối

    Phương pháp

    • Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
    • Chọn lựa phương pháp thực hiện thích hợp
    • Kiểm tra điều kiện nghiệm của phương trình
    • Một số phương pháp khử dấu trị tuyệt đối

    3.2.1. Sử dụng định nghĩa

    Dạng 1:

    + Kết luận (tập nghiệm của (1) là hợp của hai tập nghiệm (2),(3)).

    hoặc

    Ví dụ minh họa:

    (1)

    (2)

    (2.2)

    Kiểm tra điều kiện (2.1)

    Do đó họ nghiệm này bị loại

    Do đó họ nghiệm này thỏa (2.1)

    (3)

    Phương pháp

    .

    .

    .

    .

    Ví dụ minh họa

    (1)

    Khi đó phương trình trở thành

    Vậy nghiệm của (1) là , ,

    Do đó

    Nên điều kiện của t là

    Phương pháp giải

    Ví dụ minh họa

    (1)

    Vậy tập nghiệm của (1) là

    (2)

    Vậy tập nghiệm của (2) là và

    (3)

    Phương pháp

    Dạng 1: (với điều kiện f(x), g(x) có nghĩa)

    (f(x), g(x), h(x) có nghĩa)

    Ví dụ minh họa

    Kết hợp với điều kiện , suy ra nghiệm của (1) là

    (2)

    (3)

    Kiểm tra điều kiện (3.1)

    Một số phép đặt ẩn phụ thường gặp

     và (k: hằng số), ta đặt , điều kiện . Khi đó

     và (k =const) , ta đặt .

    Khi đó

    Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình vô tỉ như sau:

    Ví dụ minh họa:

    1) Giải phương trình (1)

    Đặt

    Ta có

    Suy ra

    Vậy nghiệm của (1) là ,

    Vậy nghiệm của (2) là , , (với )

    Vậy nghiệm c ủa (3) là , ,

    Nếu phương trình vô tỷ có dạng:

     thì ta đặt với hoặc với .

     thì ta đặt với hoặc với .

     thì ta đặt với hoặc với

     hoặc thì ta đặt

    Ví dụ minh họa

    Đặt

    (do (**)) (2′)

    Đặt

    Khi đó phương trình (2′) trở thành :

    (***)

    Do (**) nên từ (***) ta có:

    Giải các phương trình sau:

    Điều kiện:

    Khi đó (1)

    (4)

    (6)

    + Xét , chia hai vế của (6′) cho ta được :

    (8)

    (vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

    (9)

    + Xét , c hia hai vế phương trình cho , ta được :

    (10)

    (11)

    (12)

    Đặt

    Khi đó (13)

    Phương trình trở thành:

    Vậy nghiệm của (14) là ,

    Đặt . Khi đó

    Phương trình trở thành:

    Với

    Với

    (16)

    Khi đó (18 )

    Với mọi m, phương trình đã cho luôn có nghiệm

    Ta có

    Vậy giá trị m cần tìm là

    21) Cho phương trình (21) . Tìm m để phương trình có nghiệm

    Đặt . Ta có

    Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán tương đương

    (22)

    Vậy nghiệm của (22) là ,

    (23)

    Ta có

    Do đó ( vô nghiệm )

    Giải các phương trình sau:

    24) Định m để phương trình có đúng hai nghiệm

    25) Cho phương trình tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn: .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • 30 Câu Trắc Nghiệm: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Đáp Án (Phần 1)
  • Để Giải Các Phương Trình Mũ Ta Thường Sử Dụng Các Phương Pháp Sau Đây:
  • Tổng Hợp Kiến Thức Về Logarit Và Cách Giải Toán Logarit
  • Giải Phương Trình Mũ Và Logarit Bằng Phương Pháp Hàm Số
  • Đề Tài:phương Pháp Giải Pt Nghiệm Nguyên

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)
  • Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
  • Nâng Cao Toán Lớp 8
  • Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa
  • A. Những vấn đề chung

    I/ Lý do chọn đề tài:

    Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên là những bài toán khó. Đường lối chung để giải phương trình này là dựa vào đặc điểm của phương trình để thu hẹp miền chứa nghiệm.

    Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của mỗi học sinh, đối với mỗi dạng toán này cũng như việc tạo ra sự hứng thú say mê học tập của các em là việc rất cần thiết của các thầy cô giáo dạy toán. Do vậy tôi muốn trao đổi kinh nghiệm về một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên hay gặp trong chương trình toán cấp 2 mà tôi đã làm.

    II/ Mục đích:

    Giúp học sinh nắm được một số phương pháp cơ bản để giải phương trình nghiệm nguyên.

    III/ Nhiệm vụ:

    – Đưa ra các phương pháp và ví dụ minh hoạ

    – Rút kinh nghiệm

    IV/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

    – Đối tượng: các tài liệu về phương trình nghiệm nguyên

    – Phạm vi nghiên cứu: các bài toán về phương trình nghiệm nguyên trong chương trình toán cấp 2.

    V/ Phương pháp nghiên cứu:

    – Nghiên cứu tài liệu

    – Trao đổi kinh nghiệm

    – Tổng kết rút kinh nghiệm

    Thử lại:

    x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mãn phương trình đã cho.

    Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát:

    III/ Phương pháp dùng bất đẳng thức:

    1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn:

    Ví dụ 6: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

    Giải:

    Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x + y + z = x.y.z (1)

    Do x, y, z có vai trò như nhau ở trong phương trình (1) nên có thể sắp thứ tự các ẩn như sau:

    Giải:

    Do vai trò bình đẳng của x và y. Giả sử , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ y

    Ta có:

    (1)

    Mặt khác do

    Do đó

    nên (2)

    Từ (1) và (2) ta có : . Do y

    +Với y =4 ta được:

    + Với y = 5 ta được: loại vì x không là số nguyên

    + Với y = 6 ta được:

    Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6)

    3/ Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên:

    Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x sao cho 2x+3x=5x

    Giải:

    Chia hai vế cho 5x, ta được:

    (1)

    +Với x=0 vế trái của phương trình (1) bằng 2 (loại)

    + Với x = 1 thì vế trái của phương trình bằng 1 ( đúng)

    + Với x thì:

    Nên: ( loại)

    Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1

    4/ Sử dụng điều kiện của phương trình bậc hai có nghiệm

    Ta viết phương trình f(x; y) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai đối với một ẩn đã chọn. Chẳng hạn chọn ẩn x, khi đó y là tham số, điều kiện cần để phương trình có nghiệm là , để có nghiệm nguyên còn cần phải là số chính phương.

    Ví dụ 9:

    Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

    x+y+xy = x2+y2 (1)

    Giải:

    Phương trình (1) tương đương với: x2-(y+1)x+(y2-y) = 0 (2)

    Điều kiện để (2) có nghiệm là

    --- Bài cũ hơn ---

  • 9 Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Giải 9 Bài Pt Mũ & Log Bằng Ẩn Số Phụ
  • Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết
  • Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác
  • Phương Trình Bậc Hai, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Pt Chuyen De Phuong Trinh Bac Hai Dinh Ly Viet Giai Bai Toan Docx

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Tích Của Chúng
  • Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay Giải Nhanh Trắc Nghiệm Lượng Giác
  • Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác
  • Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết
  • Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọ i m.

    a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

    b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.

    a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

    a) Giải phương trình khi m = 0

    b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ). Tìm m sao cho .

    a) Giải phương trình khi m = -1.

    a) Giải phương trình khi m = 1 .

    b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.

    a) Giải phương trình khi m = 1 .

    a) Giải phương trình khi m = 1 .

    b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

    a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Tìm nghiệm còn lại

    a) Giải phương trình khi m = 4 .

    b) Tìm m để một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia

    d) Hai nghiệm cùng dấu

    a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại .

    b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện .

    Bài 18: Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 – 2(m – 1)x – 4 = 0. Tìm m để .

    a) Giải phương trình khi m = 1

    a) Giải phương trình khi m = 1 .

    b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

    c) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x 1 , x 2 là độ dài của hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng

    Bài 24: Tìm m để phương trình x 2 – 2(2m + 1)x + 4m 2 + 4m = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa điều kiện

    Bài 25: Cho phương trình x 2 – 2x – 2m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện

    a) Giải phương trình khi m = – 1

    a) Giải phương trình khi k = 1

    b) Tìm giá trị của k để phương trình có hai nghiệm thỏa điều kiện x 1 2 + x 2 2 =

    a) Tìm các nghiệm của phương trình theo m

    b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đều âm

    a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt

    a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

    b) Tìm m để tích hai nghiệm của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất

    a) Giải phương trình với m = 1

    a) Giải phương trình khi m = 0

    d) Xác định giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

    a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

    b) Tìm m để tỉ số hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2

    Bài 37: Cho phương trình x 2 – 2m x + m 2 – = 0

    a) Tìm m để phương trình có nghiệm và các nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau

    b) Tìm m để phương trình có nghiệm và các nghiệm là độ dài của hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 3

    Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa

    Bài 39 Cho phương trình

    a) Giải phương trình khi m = – 3

    a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m

    c) Tìm m để

    a) Giải phương trình khi m = 2

    Bài 44: Tìm m để phương trình 2x – 2m + m 2 – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt

    a) Tìm k để phương trình có nghiệm này bằng nửa nghiệm kia

    b) Tìm k để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm nhỏ nhất

    a) Giải phương trình khi m = – 1

    a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

    Bài 51 Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

    a) 4 nghiệm phân biệt

    b) 3 nghiệm phân biệt

    c) 2 nghiệm phân biệt

    a) Giải phương trình khi m = 1;

    b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

    a) Giải phương trình khi m = 2;

    a) Giải phương trình khi m = 2;

    b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

    BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH , HỆ PHƯƠNG TRÌNH

    Bài 1( Toán làm chung riêng):

    Hai người đồng thời đào chung một cái giếng có thể đào xong sau 2 ngày. Hỏi sau bao nhiêu ngày mỗi người đào riêng rẽ có thể xong cái giếng đó, biết để đào xong cái giếng đó một mình người thứ hai phải tốn 3 ngày nhiều hơn người thứ nhất đào một mình./.

    thì người thứ hai đào một mình xong cái giếng đó hết x + 3(ngày)

    Một ngày người thứ nhất đào được giếng, người thứ hai đào được , cả hai người đào được giếng. Theo bài ra ta có pt:

    Vậy để đào một mình người thứ nhất cần 3 ngày, người thứ hai cần 6 ngày.

    Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai làm được công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm trong bao lâu thì xong công việc.

    Theo bài ra ta có phương trình: ; x = 24 (giờ). Người thứ nhất làm một mình xong công việc hết 24 giờ, người thứ hai hết 48 giờ.

    Nếu hai người cùng làm chung một công việc thì trong giờ xong công việc. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc.

    Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất làm hết 4 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ.

    Bài toán 4 : Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1h30 phút bể sẽ đầy. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 20 phút rồi khóa lại và mở tiếp vòi thứ hai trong 15 phút thì sẽ đầy một phần năm bể. Hỏi nếu chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể.

    Giải ra ta được x = (h)

    Kết luận:

    Bài toán 5 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu từng vòi chảy riêng thì vòi I chảy trong 3 giờ, bằng lượng nước vòi II chảy trong 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu?

    * Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể một mình là x, một giờ chảy được phần bể, vòi II chảy được phần bể.

    Theo bài ra ta có phương trình:

    Giải phương trình được x =

    * Bài toán 6 : Nếu mở cả hai vòi chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể?

    2 giờ 55 phút = giờ. Trong một giờ cả hai vòi chảy được (bể).

    Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được (bể). vòi hai chảy được (bể)

    Ta có phương trình

    x = (loại)

    Trả lời: Vòi thứ nhất chảy một mình trong 5 giờ thì đầy bể, còn vòi thứ hai chảy trong 7 giờ thì đầy bể.

    Vậy chảy một mình vòi thứ nhất chảy hết 5 giờ, vòi thứ hai chảy hết 7 giờ.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Luyện Tập Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Phương Trình Bậc Hai Trong Java
  • Giải Phương Trình Bậc Nhất Trong Java
  • Bài Toán Phương Trình Bậc Nhất Trong Java
  • Giải Phương Trình Bậc 2 Trong Java Swing
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ.

    Trong chương trình Toán ở phổ thông cơ sở (PTCS), phổ thông trung học (PTTH) và nhất là ở trong các đề thi tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng thường gặp nhiều bài toán về giải phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ. Ngay cả ở chương trình Đại học sư phạm hoặc Cao đẳng sư phạm cũng yêu cầu sinh viên phải học và nắm vững các kỹ năng này (ở các môn đại số sơ cấp, thực hành giải toan, phương pháp dạy học toán,…). Tuy nhiên khi gặp loại toán này, đa số học sinh-sinh viên còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ, do đó không đạt điểm tố đa.

    Một số định lý về phương trình và bất phương trình vô tỷ:

    Định lý 1:

    Phương trình tương đương với hệ: .

    Định lý 2:

    Bất phương trình tương đương với hệ: .

    Định lý 3:

    Bất phương trình tương đương với hệ: .

    Định lý 4:

    Bất phương trình tương đương với hệ:

    Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ:

    Phương pháp 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn.

    Một trong các nguyên tắc để giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn. Thông thường chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để bổ dấu căn của phương trình hoặc bất phương trình. Thường chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần và khi đó sẽ đưa phương trình và bất phương trình vô tỷ về dạng mà ta có thể giải dễ dạng hơn.

    Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (1).

    Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là

    Ta xét các khả năng có thể xảy ra sau đây:

    1. Nếu : Khi đó (1)( (2)

    Do nên hai vế của (2) không âm, ta có thể bình phương hai vế, khi đó ta được:

    Bất phương trình cuối cùng đúng với mọi x thoả mãn , vậy là nghiệm của bất phương trình đã cho.

    2. Nếu : Khi đó 1+x(1-x . Khi đó ta có

    (1)(

    Nghiệm nà bị loại.

    Vậy nghiệm của bất phương trình là .

    Xét dấu của vế trái của 2 ta có:

    Vậy nghiệm của bất phương trình là: x(-13/6 và x(3.

    Ví dụ 3: Giải bất phương trình: (1).

    Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là 10-x2(0(10 (x2 (

    . Với điều kiện đó ta có: (1) (2)

    Xét phương trình :

    Xét dấu vế trái của (2) ta có:

    Vậy nghiệm của bất phương trình là: .

    Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ.

    Một số bài toán về giải phương trình và bất phương trình có chứa căn thức có thể giải được nhờ việc đưa thêm vào các ẩn phụ để phá căn thức hoặc có thể đưa về các phương trình hoặc bất phương trình đại số. Thông thường có thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu hai căn thức) nào đó. Thường gặp 3 dạng ẩn phụ sau:

    Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình hay bất phương trình với một ẩn mới.

    Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đưa về một hệ hai phương trình hai ẩn.

    Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình với hai ẩn (phương pháp sử dụng phương trình bậc hai).

    Ví dụ 4: Giải bất phương trình: (1).

    Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là. Đặt t=, do (1 nên t(1. Khi đó ta có . Phương trình (1) trở thành: t=1,t=-3 (loại). Vậy ta có t=1

    . Vậy ta có x=1.

    Ví dụ 5: Giải

    --- Bài cũ hơn ---

  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
  • Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn
  • Cđ Một Số Dạng Pt Vô Tỷ Và Cách Giải
  • Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  • Pt Mũ Có Lời Giải Chi Tiết

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Trong Excel Bằng Solver
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Cao Bằng Excel
  • Giải Hệ Phương Trình Trong Excel
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn Với Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Published on

    1. 1. PHƢƠNG TRÌNH MŨ.Phƣơng pháp 1: Đưa về cùng cơ số:Giải phương trình 2x 1 x 1 21): 4.9 3.2 3 3Hdẫn: (1) ( )2 x 3 1 x . 2 2 x 1 x 22) 7.3 5 3x 4 5x 3 3Hdẫn: (2) 3x 1 5x 1 ( )x 1 1 x 1 5 x 1 x3) 5 .8 x 500Hdẫn: 3( x 1) 3 x 1 x x 3 2 x 3 x x 3 x x 3(3) 5 .2 5 .2 5 2 5 (2 ) 1 x 3 0 x 3 x 3 1 x 3 x x 3 5 ( 1 ) (5.2 ) 1 1 5.2 x 1 x log 5 2 2x x x x x4) [ 5 27 4 3 ] 4 3 4 37 . ĐS: x=10.Phƣong pháp 2: Đặt ẩn phụ: x2 x 21) 2 22 x x 3. x2 xHdẫn: Đặt 2 t (t 0) . Phương trình trở thành: 4 t 4 x 1t 3 t t 1(l ) x 2 2x 52) 3 36.3x 1 9 0 . ĐS: x=-1; x=-2. 2 x2 2x 1 23) 3 28.3x x 9 0 . ĐS: x=-2; x=1. x4) 9 6 x 2.4 x 3 2x 3Hdẫn: Chia cả 2 vế cho 4x ta được phương trình ( ) ( )x 2 0 . ĐS: x=0 2 2 x x2 5 x2 55) 4 12.2x 1 8 0. x 3 x x2 5 t 2 x x2 5 1Hdẫn: Đặt 2 t (t 0) 9 t 4 x x2 5 2 x 4 2 2 2 x 3x 26) 4 4x 6x 5 42 x 3x 7 1 HVQHQT – D – 99 sin x sin x7) 7 4 3 7 4 3 4 ĐHL – 98 3x x 1 128) 2 6.2 1 ĐHY HN – 2000 3 x 1 x 2 2 2x 7 x9) x 6. 0,7 7 ĐHAN – D – 2000 100
    2. 6. +a=16 hoặc a≤0 : pt có nghiệm duy nhất+0<a<16 : pt có 2 nghiệm phân biệt sin 2 x 2Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 81 81cos x mHdẫn: 2 81Đặt t 81sin x t 1;81 . Phương trình trở thành: t m tKhảo sát hàm số ta được kết quả 18≤m≤82 4 2 x2 2 x2Bài 6: Cho phương trình 3 2.3 2m 3 0 a) Giải phương trình khi m=0 b) Xác định m để phương trình có nghiệm. 2 x2Giải: Đặt 3 t t 0;9 a) x=±1 3 t2 b) Khảo sát hàm số f (t ) ;t t 0;9 được -30≤m≤2 2 2 1 1 t2 1 t2Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 9 (a 2).31 2a 1 0 1 1 t2 64Hdẫn: Đặt t= 3 t 3;9 . Khảo sát hs được 4 a 7 x2 x2 1Bài 8: Cho phương trình 2 1 2 1 m 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm x2 2 1Hdẫn: Đặt 2 1 t t 1; . Phương trình trở thành: m t t 2 1Khảo sát hàm số f (t ) ; t 1; t được m 2 2 1 m 2 2 1 t x2 2 mx 2 2Bài 9: Cho phương trình 5 52 x 4mx 2 m x2 2mx m . Tìm m để phương trình có đúng 2nghiệm thuộc (0;2).Hdẫn: u x2 2mx 2Đặt 2 v u x2 2mx m v 2x 4mx 2 m uPhương trình trở thành 5 5u u 5v v 5v f (u) f (v) với f(t)=5t+t v uTa có f(t) là HSĐB trên R nên pt tương đương u=v g ( x) x2 2mx m 0 (*)Pt đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2) khi và chỉ khi pt (*) có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2). Khảo sát hàm sốta được kết quả không tồn tại m thoả mãn.Bài 10 :
    3. 7. Bµi tËp tæng hîp vÒ ph-¬ng tr×nh mòBµi 1: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: 8 2x x3 4 a) 2 8 3 b) 5 x 5x 1 5x 2 3x 3x 1 3x 2 x 1 9 x2 cos x cos x c) x2 2x 2 3 x2 2x 2 d) 2 x2 x 2 x2 e) 2 x 4.3 x 2 2 2 x 1.33 x 2Bµi 2: Gi¶i c¸c ph-ong tr×nh: x x a) 3 5 3 5 7.2 x 0 b) 8 x 18 x 2.27 x 2 3x 3 1 12 c) 8 x 2 x 20 0 d) 2 3 x 6.2 x 3.( x 1) 1 2 2x e) 53 x 9.5 x 27 .(125 x 5 x ) 64Bµi 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a) 4.33x 3x 1 1 9x b) 5.32 x 1 7.3x 1 1 6.3x 9x 1 0 d) 5lg x 50 x lg 5 f) 4.2 3 x 3.2 x 1 22x 2 24x 2Bµi 4: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: x log 2 log 2 2 x 1 2. log 2 x a) 2 x 48 b) 2.9 2 x log 2 6 x2 x d) 4.3 x 9.2 x 5.6 2 e) x 1 2 x 2 2x 1 42 3 2 3 2 3Bµi 5: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: a) 3 2 x 2 x 9 .3 x 9.2 x 0 b) x 2 3 2 x .x 2. 1 2 x 0 c) 9 x 2. x 2 .3 x 2 x 5 0 d) 3.25 x 2 3x 10 .5 x 2 3 x 0Bµi 6: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: 2 2 2 2 2 2 a) 4 x 3 x 2 4 x 6 x 5 4 2. x 3 x 7 1 b) 4 x x 21 x 2×1 1 c) 8.3 x 3.2 x 24 6 x d) 12.3 x 3.15 x 5 x 1 20 e) 2 x 3 x 1 6 xBµi 7: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: x a) x x log 2 3 x log 2 7 2 b) 2 x 1 32 x x c) 3 2 2 2 2 x 3 x 1 2 x 1 x 1 d) x x log 2 3 x log 2 5Bµi 8: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: 2 2 a) 3 x cos 2 x b) 4 x 2.x 2 x 1 .2 x x x x 2 1 x c) 7 5 3 2 2. 5 d) 2 cos x 2 x2 6 x e) 9.7 1 2 xBµi 9: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: 1 x2 1 2x x 1 x2 1 2 x2 x2 1 1 a) 4 2 x 1 b) 2 2 2 x 2 2 4. cos3 x x 1 x c) 2 x 3. cos x 2x 7. cos 3x d) 2 3 7 4 3 x 1

    Recommended

    --- Bài cũ hơn ---

  • Pp Giải Phương Trình Mũ, Logarit
  • Giải Toán Lớp 8 Bài 3: Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Chương Iii. §3. Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Tổng Hợp Lý Thuyết Về Phương Trình Đưa Được Về Dạng Ax + B = 0
  • Ptlg Bậc I Dạng Asin X + Bcosx = C Phuong Trinh Asinx Bcosx C Tg Tiet 4 Ppt
  • Giải Hệ Pt Bằng Phương Pháp Thế

    --- Bài mới hơn ---

  • Chủ Đề 11: Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • Phương Pháp Giải Một Số Dạng Phương Trình Môn Toán Ở Cấp Thcs
  • Giáo Án Đại Số Lớp 8 Tiết 42 Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Cách Giải Phương Trình Bậc Bốn
  • Bảng Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ,chi Tiết,dễ Hiểu
  • Ngày 15 / 12/ 2009

    Tiết 33: §3.GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

    A . Mục tiêu:

    – Giúp HS hiểu cách biến đổi hệ phương trình bằng qui tắc thế.

    – HS nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

    – HS không bị túng khi gặp các trường hợp đặc biệt ( hệ vô nghiệm hoặc hệ vô số nghiệm)

    b. Chuẩn bị:

    -GV: Bảng phụ có ghi sẵn qui tắc thế, chú ý và cách giải mẫu một số hệ phương trình.

    -HS: -Bảng phụ nhóm,bút dạ , giấy kẻ ô vuông.

    C. tiến trình dạy học:

    Hoạt động 1: tra bài cũ:

    HS 1: Làm BT 8a(SGK)

    HS 2: Làm BT 9b(SGK)

    Hoạt động 2:

    1. Quy tắc thế:

    – Xét hệ phương trình sau:

    – Từ pt (1) , hãy biểu diễn x theo y ?

    – Lấy kết quả trên thế vào chỗ của x trong pt (2) thì ta sẽ được pt nào ?

    – Có nhận xét gì về pt vừa tìm được ?

    – Dùng pt (1′) cho pt (1), pt (2′) cho pt (2)ta được hệ pt nào?

    – Hệ này như thế nào với hệ (I) ?

    – Giải hệ pt mới và kết luận nghiệm của hệ đã cho?

    – Qua ví dụ trên , hãy nêu quy tắc thế?

    – ở bước 1 ta có thể biểu diễn y theo x được không ? Ta được biểu thức nào ?

    Ví dụ1:Xét hệ phương trình:

    (I) x – 3y = 2 (1)

    -2x + 5y = 1 (2)

    B: Từ (1) ta có : x = 3y + 2 (1′)

    vào (2) ta được: -2(3y +2) + 5y = 1 (2′)

    B: (I) x = 3y + 2 (1′)

    -2(3y + 2) + 5y = 1 (2′)

    Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (-13 ; -5)

    Quy tắc thế : (SGK)

    Hoạt động 3:

    2. áp dụng:

    – áp dụng quy tắc thế để giải hệ phương trình sau.

    – HS đứng tại chỗ trình bày bài dưới sự hướng dẫn của GV.

    – GV cho HS quan sát minh hoạ bằng đồ thị của hệ pt này và kết luận.

    – HS thực hiện ?1(theo nhóm)

    – Sau đó GV thu bảng nhóm treo lên, HS lớp quan sát ,nhận xét.

    – Khi giải hệ pt bằng phương pháp đồ thị thì hệ vô nghiệm , vô số nghiệm có đặc điểm gì?

    – Khi giải hệ pt bằng phương pháp thế thì hệ vô số nghiệm hoặc vô nghiệm có đặc điểm gì?

    – Đọc chú ý (SGK)

    – HS đọc VD3 (SGK)

    – HS làm ?2 và ?3 SGK

    Ví dụ2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

    (I) 2x – y = 3 (1)

    x + 2y = 4 (2)

    Giải :

    Ta có :

    (I)

    Vậy hệ có một nghiệm duy nhất (2; 1)

    ?1. Giải hệ pt sau

    Nêu các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế?

    Làm BT 12a; 13a; 14a(SGK)

    Hoạt động 5:

    Hướng dẫn về nhà:

    Nắm vững hai bước giải hệ pt bằng phương pháp thế.

    Làm BT 13b;14b;15;16(SGK)

    Đọc trước §4.Giải hệ pt bằng phương pháp cộng đại số.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Kĩ Thuật Giải Hệ Phương Trình
  • Cđ Giải Hpt Không Mẫu Mực
  • Một Số Lưu Ý Khi Giải Phương Trình Lượng Giác
  • Chuyên Đề Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 4: Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng liên hợp

    Có rất nhiều phương cách giải PT Vô tỉ nhưng bản thân tôi thích nhất là PP lượng liên hợp vì tính tự nhiên của nó. Trong bài viết này tôi giới thiệu với các bạn một số suy nghĩ về phương pháp này.

    Cho hàm số , xác định trên .

    Ta biết là nghiệm phương trình .

    Mà theo định lí Bơzu nếu là nghiệm của đa thức thì

    . Từ đây ta có nhận xét:

    Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta có thể đưa phương trình về dạng và khi đó việc giải phương trình quy về giải phương trình . Ta xét ví dụ sau:

    Ví dụ 1: Giải phương trình: (HVKTQS 2000).

    Giải: Điều kiện : .

    Ta thấy là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến vì khi đó và là những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: nên ta biến đổi phương trình như sau: , vấn đề còn lại của chúng ta là phải phân tích ra thừa số (Chú ý khi thì ), vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạng

    điều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : nên ta biến đổi :

    .

    Suy ra phương trình đến đây ta chỉ cần giải phương trình:

    .

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

    Nhận xét: 1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức:

    hai biểu thức và ta gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp.

    2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từ đó ta mới định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES .

    Ví dụ 2: Giải phương trình : (THTT).

    Giải: Điều kiện : .

    Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trên bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.

    Ta có:

    .

    Mặt khác vô nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: .

    * Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là:

    (Điều kiện : ).

    * Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình (*) vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minh phương trình (*) vô nghiệm. Thay vào phương trình (*) thì do đó ta tìm cách chứng minh VT(*) < VP(*).

    Ví dụ 3: Giải phương trình : (THTT).

    Giải: Điều kiện: .

    Ta thấy phương trình có một nghiệm nên ta phân tích ra thừa số .

    Ta có:

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

    Ví dụ 4: Giải phương trình: .

    Giải: Điều kiện: .

    Nhận thấy phương trình có một nghiệm .

    Phương trình

    Kết hợp với phương trình ban đầu ta có :

    (*) thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình.

    Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .

    Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai.

    Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệm tương đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặc biệt là khi tất cả các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúng ta phải xử lí thế nào? Ta xét các ví dụ sau:

    Ví dụ 5: Giải phương trình :

    .

    Giải: Do nên .

    Bằng máy tính ta thấy được phương trình không có nghiệm hữu tỉ, mà chỉ có hai nghiệm vô tỉ. Ta thấy nếu (*) thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta phân tích ra thừa số .

    Ta có:

    (do nên khi đặt làm thừa số thì biểu thức trong dấu (.) luôn dương ).

    là nghiệm của phương trình đã cho.

    Chú ý : Mẫu chốt của bài toán là ta có nhận xét (*), từ đó ta mới định hướng

    tìm cách phân tích ra thừa số . Tuy nhiên trong nhiều bài toán thì việc tìm được nhân tử chung không còn đơn giản vậy nữa.

    Ví dụ 8: Giải phương trình: .

    Giải:

    Với phương trình ta không gặp được sự may mắn như phương trình trên, bằng cách sử dụng MTBT ta thấy phương trình có hai nghiệm vô tỉ, nếu ta linh hoạt một chút ta sẽ nghĩ đến thừa số chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm . Vấn đề tam thức ở đây là tam thức nào? Các bạn thử nghĩ xem nếu biết hai nghiệm của tam thức thì ta có thể xác định được tam thức đó hay không? Chắc chúng ta sẽ trả lời là có nhờ vào định lí đảo của định lí Viet. Áp dụng định lí Viet ta tính được ( sử dụng MTBT) . Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích là tam thức nên ta biến đổi như sau:

    Phương trình

    là nghiệm của phương trình.

    Chú ý : 1) Để tạo ra thừa số ngoài cách biến đổi như trên ta còn có thể làm cách khác như sau:

    Cách 2: Vì không là nghiệm phương trình nên.

    Phương trình

    Vì (*) vô nghiệm, nên phương trình có hai nghiệm: .

    2) Nếu như chúng ta không có máy tính để xác định được thừa số chung là thì ta là thế nào ?.

    Trước hết ta thêm một lượng vào hai vế:

    .

    Ta chọn m,n sao cho: , từ đây ta có: .

    3) Ta thấy cả hai cách biến đổi đều làm xuất hiện thừa số chung . Tuy nhiên cách thứ 2 sẽ thuận lợi hơn cách thứ nhất vì ở cách thứ 2 sau khi đặt thừa số ta chỉ còn phải giải quyết phương trình (*), còn với cách thứ nhất thì ta phải giải quyết biểu thức trong dấu (.) phức tạp hơn nhiều. Hơn nữa với cách biến đổi thứ hai chúng ta dễ sáng tạo ra các bài toán hơn cách thứ nhất.

    Ví dụ 9: Giải phương trình : .

    Giải: Điều kiện : .

    Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta có:

    Phương trình . Bằng cách làm như đã nêu ở phần nhận xét ta tìm được , do đó ta thêm vào hai vế của phương trình lượng :

    Phương trình

    (1).

    * Nếu

    .

    Khi đó (1) đúng là một nghiệm của phương trình.

    * Nếu

    Ta có: (a) có hai nghiệm và

    (b)

    .

    Vậy phương trình có bốn nghiệm: .

    Khi muốn thêm bớt bằng cách nhân, chia một biểu thức thì ta phải kiểm tra xem biểu thức đó có luôn khác không hay không ?

    Ví dụ 10: Giải phương trình:

    .

    Giải: Đk : .

    Đặt : ( I)

    Ta thấy phương trình có nghiệm .Ta biến đổi như sau:

    (Vì hai pt: và vô nghiệm ). .

    Kết hợp ( I) và ( II) ta có hệ :

    .

    Thay vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ nghiệm thỏa mãn.

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

    Ví dụ 11 : Giải bất phương trình : .

    Giải: Điều kiện :

    Bất phương trình .

    .

    Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình : .

    VÀ dĩ nhiên là thêm mấy bài tập để các bạn luyện tập

    Giải các phương trình sau:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5) .

    6)

    7) )

    8)

    9)

    10)

    11)

    12)

    13)

    Nguyễn Tất Thu @ 21:00 20/02/2012

    Số lượt xem: 12843

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Tính Kế Thừa Trong Java

    --- Bài mới hơn ---

  • Java: Bài Tập Phần Thừa Kế
  • Lập Trình Mạng Với Java
  • Giải Bài Tập Kinh Tế Vĩ Mô Chương 2
  • Bài Tập Kinh Tế Vĩ Mô Có Đáp Án Tham Khảo 2
  • Giải Bài Tập Kinh Tế Vĩ Mô Chương 3
  • Tư tưởng của kế thừa trong java là có thể tạo ra một class mới được xây dựng trên các lớp đang tồn tại. Khi kế thừa từ một lớp đang tồn tại bạn có sử dụng lại các phương thức và thuộc tính của lớp cha, đồng thời có thể khai báo thêm các phương thức và thuộc tính khác.

    Cú pháp của kế thừa trong java

    Sử dụng từ khóa extends để kế thừa.

    class Subclass-name extends Superclass-name { //methods and fields }

    Ví dụ về kế thừa trong java

    class Employee { float salary = 1000; } class Programmer extends Employee { int bonus = 150; } public class InheritanceSample1 { public static void main(String args) { Dog d = new Dog(); d.bark(); d.eat(); } }

    Output:

    Ví dụ về kế thừa nhiều cấp

    File: chúng tôi

    class Animal { void eat() { System.out.println("eating..."); } } class Dog extends Animal { void bark() { System.out.println("barking..."); } } class BabyDog extends Dog { void weep() { System.out.println("weeping..."); } } public class TestInheritance2 { public static void main(String args) { Cat c = new Cat(); c.meow(); c.eat(); // c.bark(); // compile error } }

    Kết quả:

    Câu hỏi: Tại sao đa kế thừa không được support trong java?

    Để giảm thiểu sự phức tạp và đơn giản hóa ngôn ngữ, đa kế thừa không được support trong java.

    Hãy suy xét kịch bản sau: Có 3 lớp A, B, C. Trong đó lớp C kế thừa từ các lớp A và B. Nếu các lớp A và B có phương thức giống nhau và bạn gọi nó từ đối tượng của lớp con, như vậy khó có thể xác đinh được việc gọi phương thức của lớp A hay B.

    Vì vậy lỗi khi biên dịch sẽ tốt hơn lỗi khi runtime, java sẽ print ra lỗi “compile time error” nếu bạn cố tình kế thừa 2 class.

    class A { void msg() { System.out.println("Hello"); } } class B { void msg() { System.out.println("Welcome"); } } public class C extends A,B { public static void main(String args[]) { C obj = new C(); obj.msg(); } }

    Kết quả:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lệnh If/else, Lệnh Switch/case Trong Java
  • 90 Câu Trắc Nghiệm Môn Kĩ Thuật Nghiệp Vụ Ngoại Thương (Đã Chỉnh Sửa)
  • Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Nâng Cao
  • Giải Bài 1,2,3,4 Trang 17 Sgk Giải Tích Lớp 11 (Bài Tập Hàm Số Lượng Giác)
  • Giải Bài Tập 2 Mặt Phẳng Song Song
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100