Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác

--- Bài mới hơn ---

  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải Toán 10 Bài 2. Hàm Số Y = Ax + B
  • Cđ Pt Đt Y = Ax + B Chuyen De Viet Phuong Trinh Duong Thang Yax B Doc
  • Trên Tập Số Phức, Phương Trình: (Z^4+4=0) Có Bao Nhiêu Nghiệm?
  • Giải Phương Trình 6 Ẩn
  • Trong các kí thì chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giác này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí do mà các em học sinh thường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều công thức biến đổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình đã cho. Trong chuyên đề này tôi xin trao đổi một chút kinh nghiệm nho nhỏ với các em học sinh đang học lớp 11,12 và những em đang ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH năm tới.

    Trước hết thì các bạn cần nắm được nh ữ ng phương trình lượng giác thường gặp. Trong những phương trình này tôi xin bàn với các bạn một chút về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos.

    Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậc hai mà trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao hơn. Minh chứng là đề thi khối B – 2008

    “Giải phương trình : ( ĐH Khối B – 2008 ).”

    Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi là đẳng cấp bậc k nếu .

    Từ đây ta có thể định nghĩa được phương trình đẳng cấp bậc k đối với phương trình chứa sin và cos là phương trình có dạng trong đó:

    Tuy nhiên ta xét phương trình : mới nhìn ta thấy đây không phải là phương trình đẳng cấp, những các bạn lưu ý là nên ta có thể viết lại phương trình đã cho như sau: , dễ thấy phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc 3. Do vậy với phương trình lượng giác thì ta có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp như sau:

    “Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.”

    Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình một hàm số là .

    Ví dụ: Giải các phương trình sau

    1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nêu trên

    2)

    Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì đã có phương pháp giải).

    Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta không ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực. Không riêng gì phương trình lượng giác không mẫu mực mà đối với mọi phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit.. để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi phương trình đã có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phương trình tích và đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác.

    Giải phương trình : (Trích đề thi ĐH Khối A – 2008 )

    Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện hai cung và cung . Các bạn lưu ý là ta luốn tính được giá trị đúng các giá trị lượng giác của các cung có dạng trong đó nên điều đầu tiên ta nghĩ tới là sử dụng công thức cộng để phá bỏ hai cung đó

    Ta có:

    Nên phương trình đã cho

    * Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho chúng ta ngoài cách đã nêu ở trên ta có thể làm theo cách khác như sau:

    .

    .

    * Ta thấy sau khi phá bỏ hai cung và cung thì trong phương trình chỉ còn lại một cung duy nhất nên ta dẽ biến đổi hơn. Điều này cũng hoàn toàn tự nhiên thôi phải không các bạn? Khi giải các bài toán toán học hay các bài toán trong cuộc sống đặc biệt là bài toán so sánh thì điều chúng ta cần làm là đưa về cùng một đơn vị hay là cùng một dạng. Chẳng hạn tôi xin nêu ví dụ đơn giản nhưng vô cùng thú vị mà tôi thường hỏi các em học sinh là 5 quả cam trừ 3 quả cam còn mấy quả ? và học sinh chỉ cười và trả lời ngay bằng hai quả. Thế tôi hỏi tiếp 5 quả cam trừ 3 quả táo bằng bao nhiêu? Lúc này trên khuôn mặt các em không còn những nụ cười nữa mà thay vào đó là một sự tò mò và cuối cùng thì các em trả lời là không trừ được, dĩ nhiên câu hỏi tiếp theo là vì sao? Các em trả lời là vì không cùng một loại!

    Chắc các em hiểu tôi muốn nói điều gì rồi chứ ?

    Vậy nguyên tắc thứ nhất tôi xin đưa ra cho các bạn là:

    Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối D – 2006 ).

    Lời giải:

    Vận dụng nguyên tắc trên ta sẽ chuyển hai cung và về cung

    Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta có:

    Đặt .

    Ta có:

    Từ đây các bạn tìm được

    Chú ý : * Trong SGK không đưa ra công thức nhân ba tuy nhiên các em cũng nên biết công thức này nếu trong lúc khó khăn có thể mang ra sử dụng vì chứng minh nó không mấy khó khăn

    * Cách giải trên không phải là cách giải duy nhất và cũng không phải là cách giải hay nhất nhưng cách giải đó theo tôi nó tự nhiên và các bạn dẽ tìm ra lời giải nhất. Cách giải ngắn gọn và đẹp nhất đối với phương trình trên là ta biến đổi về phương trình tích như sau

    PT Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 Chú ý Ví dụ 5 Biến đổi tích thành tổng và ngược lại Ví dụ 7 Ví dụ 8 Ví dụ 9 Ví dụ 10 [/B]: Giải phương trình ( ĐH Khối D – 2003 ).

    Phương trình

    Trên là một số nguyên tắc chung thường được sự dụng trong các phép biến đổi phương trình lượng giác. Mục đích của các phép biến đổi đó là nhằm :

    1. Đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là đưa về phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác).

    Ví dụ 1: Giải phương trình : ( ĐH Công Đoàn – 2000).

    Phương trình . Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho (do ), ta được phương trình :

    thỏa điều kiện .

    Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về của phương trình cho hoặc sử dụng công thức và chuyển phương trình ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên.

    ( Ví dụ 2: Giải phương trình : ĐH Khối B – 2003 ).

    Phương trình

    (do )

    .

    Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: và .

    ( Ví dụ 3: Giải phương trình : HVBCVT TPHCM – 2001 ).

    Nên phương trình

    Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức

    .

    .

    Ví dụ 4: Giải phương trình: ( ĐH Khối D – 2005 ).

    Nên phương trình .

    .

    : Tức là ta biến đổi phương trình 2. Đưa phương trình về phương trình dạng tích về dạng

    . Khi đó việc giải phương trình ban đầu được quy về giải hai phương trình : .

    Trong mục đích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung.

    * Các biểu thức ; ; ; nên chúng có thừa số chung là .

    * Các biểu thức có thừa số chung là .

    * có thừa số chung . Tương tự có thừa số chung .

    Giải phương trình: Ví dụ 1: ( ĐH Khối B – 2005 ).

    Phương trình

    .

    .

    Ngoài cách biến đổi trên, ta có thể biến đổi cách khác như sau

    Phương trình

    Mặc dù hai cách biến đổi trên khác nhau nhưng chúng đều dựa trên nguyên tắc “ . đưa về một cung”.

    Giải phương trình: Ví dụ 2: ( Dự bị Khối D – 2003 ).

    Phương trình

    .

    Phương trình

    .

    Giải:

    Phương trình

    ( Lưu ý : ).

    Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý là có ba công thức để thay nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Pp Giải Pt Lượng Giác_Có Lời Giải Pp Giai Phuong Trinh Luong Giac Co Loi Giai Doc

    --- Bài mới hơn ---

  • Một Số Phương Pháp Giải Các Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Tìm Điều Kiện Của Tham Số M Để Phương Trình Lượng Giác Có Nghiệm
  • Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Dạy Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Các Dạng Toán Bất Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Logarit Cách Giải Và Bài Tập
  • Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 0 7/12/2017

    B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    1. Một số phương trình lượng giác mẫu mực

    1.1. Phương trình lượng giác cơ bản

    1.3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

    1.4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

    1.5 Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx

    1.6 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

    1.7 Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

    2. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

    2.1 Phương pháp đặt ẩn số phụ

    2.2 Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích

    2.3 Một số phương pháp khác

    2.3.1 Phương pháp đưa về tổng các biểu thức không âm

    2.3.3 Phương pháp phản chứng

    2.3.4 Phương pháp đoán nghiệm

    2.3.5 Phương pháp đưa về tích

    3. Một số dạng đặc biệt của phương trình lượng giác

    3.1 Phương trình lượng giác có chứa tham số

    3.1.1. Đưa phương trình lượng giác có chứa tham số về dạng phương trình lượng giác cơ bản

    3.1.2. Biện luận và giải phương trình lượng giác có chứa tham số bằng phương pháp khảo sát hàm số

    3.2. Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối

    3.2.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

    3.2.3. Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối

    3.3. Phương trình lượng giác chứa căn thức

    3.3.1. Biến đổi tương đương

    3.3.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

    3. 7. Công thức biến đổi tích thành tổng

    * Chú ý :

    Nhìn chung có h ai phương pháp để giải phự ơng trình lượng giác là biến đổi phương trình về các phương trình lượng giác về dạng mẫu mực hay phương trình lượng giác dạng không mẫu mực.

    1. Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
    2. Dùng các công thức lượng giác đã biết biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình dạng cơ bản.
    3. Đối chiếu với điều kiện loại các nghiệm không thỏa mãn các điều kiện.

     Nghiệm của phương trình lượng giác là một tậ p hợp vô hạn và được biểu diễn d ưới dạng một họ nghiệm.

    2) Giải phương tr ình (2)

    (2)

    Đặt

     Nếu  là một số cho trước mà xác định thì phương trình tanx = tan  có nghiệm x = k  thoả điều kiện .

     Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x)  0 và cosQ(x)  0.

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Khi đó phương trình trở thành:

    Đặt

    So sánh với điều kiện (*) s uy ra nghiệm của phương trình là : ,

    Dạng phương trình:

    Điều kiện có nghiệm:

    Phương trình trở thành:

    Đặt . Khi đó và

    Phương trình trở thành:

    Nếu chia 2 vế cho a rồi ta đặt

    Đặt ta được phương trình lượng giác cơ bản

    Ví dụ minh họa

    Đặt . Khi đó và

    P hương trình (2) trở thành:

    (3)

    Điều kiện có nghiệm của phương trình:

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

    Dạng phương trình:

    ( a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)

     Xét , c hia hai vế của (1) cho ta được:

    P hương trình trở thành :

    Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo

    ; ;

    Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    (1)

     Xét , chia hai vế của cho ta được phương trình :

    (2) (2′)

    So sánh với điều kiện (*), suy ra nghiệm của (3) là ,

    Dạng phương trình

     Xét có là nghiệm của (1) hay không

    (2)

    Ví dụ minh họa

    Vì nên phương trình tr ên vô nghiệm .

    Do điều kiện (*) , chia hai vế của (2 ‘) cho ta được:

    (3)

     Xét , chia hai vế của (3′) cho ta được phương trình :

    Chú ý : Nế u là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx và cosx thì chia hai vế cho , ta được một phương trình bậc k the o .

    Dạng 1:

    Đặt

    Suy ra

    Chú ý : Ta cũng có thể đặt và làm tương tự như trên .

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    (1)

    Khi đó trở thành:

    Khi đó (2)

    Đặt

    Điều kiện: (* * )

    Khi đó trở thành:

    Đặt . Điều kiện: (*)

    Suy ra

    Khi đó trở thành: (nhận)

    Với

    Vậy nghiệm của ( 3 ) là , ,

    Suy ra

    Vậy nghiệm của (4 ) là ,

    Dạng 2:

    Đặt

    Khi đó phương trình trở thành:

    G iải phương trình lượng giác cơ bản , suy ra x

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Đặt . Điều kiện: (*)

    Suy ra

    (2)

    Đặt . Điều kiện: (*)

    Suy ra

    Khi đó trở thành :

    Đặt . Điều kiện: (* * )

    Suy ra

    Khi đó trở thành:

    (với )

    Giải phương trình

    Ví dụ mimh họa

    Điều kiện:

    Đặt , điều kiện . Khi đó

    trở thành:

    Vậy nghiệm của (1) là , , ,

    Điều kiện:

    (2)

    Đặt , điều kiện . Khi đó

    trở thành:

    Dạng 2:

    Đặt . Khi đó

    Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có) , suy ra t

    Giải phương trình

    Ta có

    Ta có:

    Đây là phương trình cơ bản của cot2x

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Vậy nghiệm của (1 ) là , ,

    Điều kiện:

    Khi đó

    Vậy nghiệm của (2) là , ( với )

    Phương pháp

    Một số dạng phương trình thường gặp

    1. f (sinx, cosx) = 0 , đặt

    2. f (sin 2 x, sinxcosx) = 0 , đ ặt

    3. f (sinx, cos2x) = 0 , đ ặt ,

    4 . f (cosx, cos2x) = 0 , đ ặt ,

    5. f , đ ặt ,

    6 . f , đ ặt ,

    7. f , đ ặt ,

    8. f , đặt ,

    K hi đó ,

    9. f ,đặt ,

    10. Dạng: , đặt

    11. Dạng: h oặc .

    12. , đ ặt ,

    h oặc

    13. , đ ặt ,

    Ví dụ minh họa

    (3)

    Khi đó phương trình trở thành:

    Điều kiện:

    So sánh với điều kiện (*), suy ra nghiệm của (5) là ,

    Khi đó

    Phương trình trở thành:

    (7)

    Đặt

    Điều kiện:

    Với

    Phương pháp

    c) và có thừa số chung .

    d) và có thừa số chung .

    Ví dụ minh họa

    (1)

    (2)

    (3)

    4) Giải phương trình (4 )

    Điều kiện:

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    (1)

    Kế t hợp với (*), suy ra nghiệm của (1) là:

    (2)

    Ví dụ minh họa

    (1)

    (2)

    Ta có

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Do đó (vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

    (2)

    (vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

    Ta có

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    Ta có

    (2.2)

    Ta có

    (vô nghiệm)

    Ta có

    Ví dụ minh họa

    hoặc

    hoặc ,

    Phương pháp

    + Chọn một giá trị đặc biệt thay vào phương trình nếu thỏa thì là nghiệm của phương trình.

    + Dùng tính chất đơn điệu chứng minh nghiệm trên là duy nhất.

    Ví dụ minh họa

    Đặt

    + Khi

    + Khi

    Như vậy nghiệm của (1) là

    2) Giải phương trình với (2)

    Đặt

    N ên đồ thị của hàm số cắt tại một điểm duy nhất .

    Ví dụ minh họa

    Giải các phương trình sau:

    hoặc

    hoặc

    hoặc

    (vô nghiệm)

    Phương pháp

    + Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác

    + Kết hợp những kiế n thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước.

    Ví dụ minh họa

    1) Định m để phương trình (1) có nghiệm

    Vậy phương trình (1) có nghiệm khi

    2) Định m để phương trình (2) có nghiệm trên khoảng

    Với thì nên chia hai vế của (2) cho ta được :

    Khi đó

    Giả sử

    tăng trên khoảng có nghiệm

    .

    Giả sử phương trình lượng giác phụ thuộc m có dạng: (1) . Định m để phương trình (1) có nghiệm .

    Phương pháp

    5) (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm khi và chỉ khi có điểm chung với

    Ví dụ minh họa

    (1) có nghiệm.

    (1)

    (2) có nghiệm.

    Đặt

    Khi đó

    Xét hàm số

    Ta có

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên, phương trình (2) có nghiệm khi

    3) Cho phương trình (3 ) . Định m để (3 ) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn .

    Với , đặt . Khi đó

    (3) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt trên .

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bài toán tương đương

    Đặt

    Xét

    Do đó

    Bảng biến thiên

    3.2 . Phương trình lượng giác chứa dấu trị tuyệt đối

    Phương pháp

    • Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
    • Chọn lựa phương pháp thực hiện thích hợp
    • Kiểm tra điều kiện nghiệm của phương trình
    • Một số phương pháp khử dấu trị tuyệt đối

    3.2.1. Sử dụng định nghĩa

    Dạng 1:

    + Kết luận (tập nghiệm của (1) là hợp của hai tập nghiệm (2),(3)).

    hoặc

    Ví dụ minh họa:

    (1)

    (2)

    (2.2)

    Kiểm tra điều kiện (2.1)

    Do đó họ nghiệm này bị loại

    Do đó họ nghiệm này thỏa (2.1)

    (3)

    Phương pháp

    .

    .

    .

    .

    Ví dụ minh họa

    (1)

    Khi đó phương trình trở thành

    Vậy nghiệm của (1) là , ,

    Do đó

    Nên điều kiện của t là

    Phương pháp giải

    Ví dụ minh họa

    (1)

    Vậy tập nghiệm của (1) là

    (2)

    Vậy tập nghiệm của (2) là và

    (3)

    Phương pháp

    Dạng 1: (với điều kiện f(x), g(x) có nghĩa)

    (f(x), g(x), h(x) có nghĩa)

    Ví dụ minh họa

    Kết hợp với điều kiện , suy ra nghiệm của (1) là

    (2)

    (3)

    Kiểm tra điều kiện (3.1)

    Một số phép đặt ẩn phụ thường gặp

     và (k: hằng số), ta đặt , điều kiện . Khi đó

     và (k =const) , ta đặt .

    Khi đó

    Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình vô tỉ như sau:

    Ví dụ minh họa:

    1) Giải phương trình (1)

    Đặt

    Ta có

    Suy ra

    Vậy nghiệm của (1) là ,

    Vậy nghiệm của (2) là , , (với )

    Vậy nghiệm c ủa (3) là , ,

    Nếu phương trình vô tỷ có dạng:

     thì ta đặt với hoặc với .

     thì ta đặt với hoặc với .

     thì ta đặt với hoặc với

     hoặc thì ta đặt

    Ví dụ minh họa

    Đặt

    (do (**)) (2′)

    Đặt

    Khi đó phương trình (2′) trở thành :

    (***)

    Do (**) nên từ (***) ta có:

    Giải các phương trình sau:

    Điều kiện:

    Khi đó (1)

    (4)

    (6)

    + Xét , chia hai vế của (6′) cho ta được :

    (8)

    (vô nghiệm)

    Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

    (9)

    + Xét , c hia hai vế phương trình cho , ta được :

    (10)

    (11)

    (12)

    Đặt

    Khi đó (13)

    Phương trình trở thành:

    Vậy nghiệm của (14) là ,

    Đặt . Khi đó

    Phương trình trở thành:

    Với

    Với

    (16)

    Khi đó (18 )

    Với mọi m, phương trình đã cho luôn có nghiệm

    Ta có

    Vậy giá trị m cần tìm là

    21) Cho phương trình (21) . Tìm m để phương trình có nghiệm

    Đặt . Ta có

    Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán tương đương

    (22)

    Vậy nghiệm của (22) là ,

    (23)

    Ta có

    Do đó ( vô nghiệm )

    Giải các phương trình sau:

    24) Định m để phương trình có đúng hai nghiệm

    25) Cho phương trình tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn: .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • 30 Câu Trắc Nghiệm: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Đáp Án (Phần 1)
  • Để Giải Các Phương Trình Mũ Ta Thường Sử Dụng Các Phương Pháp Sau Đây:
  • Tổng Hợp Kiến Thức Về Logarit Và Cách Giải Toán Logarit
  • Giải Phương Trình Mũ Và Logarit Bằng Phương Pháp Hàm Số
  • Giải Phương Trình Lượng Giác Bằng Phương Pháp Biến Đổi Công Thức Lượng Giác

    --- Bài mới hơn ---

  • Chương Iii. §3. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Học Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Mà Học Sinh Nào Cũng Phải Biết
  • Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Cực Hay, Có Đáp Án
  • Chuyên Đề Phương Trình Chứa Căn Thức
  • Bài viết hướng dẫn cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi công thức lượng giác thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

    1. Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác

    Khi giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác … để đưa về dạng góc cơ bản.

    Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $frac1{sin x} + frac1{sin left( {x – frac{{3pi }2} right)}}$ $ = 4sin left( frac{{7pi }4 – x} right).$

    b. $sin ^4x + cos ^4x$ $ = frac78cot left( x + frac{pi 3} right)cot left( frac{pi 6 – x} right).$

    c. $frac{{{sin ^4}2x + {cos ^4}2x}}{tan left( {frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right)}}$ $ = cos ^44x.$

    a. Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung $x – frac{3pi }2$ và $frac{7pi }4 – x$ mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa đưa $2$ cung này về cùng một cung $x$. Để làm được điều đó ta có thể sử dụng công thức cộng cung hoặc công thức về các góc đặc biệt.

    Điều kiện: $sin x ne 0$, $cos x ne 0$ $ Leftrightarrow sin 2x ne 0$ $ Leftrightarrow x ne kfracpi 2,k in Z.$

    $PT Leftrightarrow frac1{sin x} + frac1{cos x}$ $ = – 2sqrt 2 left( cos x + sin x right)$ $ Leftrightarrow left( sin x + cos x right)left( sqrt 2 sin 2x + 1 right) = 0.$

    Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là: $x = – fracpi 4 + kpi $, $x = – fracpi 8 + kpi $, $x = frac{5pi }8 + kpi $ $left( k in Z right).$

    b. Điều kiện: $sin left( x + frac{pi 3} right).sin left( frac{pi 6 – x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos left( 2x + frac{pi 6} right) ne cos fracpi 2 = 0.$

    Do $left( x + frac{pi 3} right) + left( frac{pi 6 – x} right) = fracpi 2$ nên $PT Leftrightarrow sin ^4x + cos ^4x = frac78$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^22x = frac78$ $ Leftrightarrow sin 2x = pm frac12$. Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pm fracpi {12} + kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    c. Nhận xét: Từ tổng hai cung $left( frac{pi 4 – x} right) + left( frac{pi 4 + x} right) = fracpi 2$ nên $tan left( frac{pi 4 – x} right)tan left( frac{pi 4 + x} right) = 1.$

    Điều kiện 1: $cos left( frac{pi 4 – x} right)cos left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x + cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$

    Điều kiện 2: $sin left( frac{pi 4 – x} right)sin left( frac{pi 4 + x} right) ne 0$ $ Leftrightarrow frac12left( cos 2x – cos frac{pi 2} right) ne 0$ $ Leftrightarrow cos 2x ne 0.$

    $PT Leftrightarrow sin ^42x + cos ^42x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 1 – frac12sin ^24x = cos ^44x$ $ Leftrightarrow 2cos ^44x – cos ^24x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos ^24x = 1

    cos ^24x = – frac12left( loại right)

    endarray right.$ $ Leftrightarrow sin 4x = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    sin 2x = 0

    cos 2x = 0left( loại right)

    endarray right.$

    Vậy phương trình có nghiệm $x = kfracpi 2.$

    2. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức biến đổi tích thành tổng

    Khi giải phương trình lượng giác mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của $sin$ (hoặc $cos$) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích.

    a. Nhận xét: Bài có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số $sin$ (hàm số $cos$) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý: $x + 6x$ $ = 2x + 5x$ $ = 3x + 4x.$ Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích.

    $PT Leftrightarrow left( sin 6x + sin x right)$ $ + left( sin 5x + sin 2x right) + left( sin 4x + sin 3x right) = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin frac{7x}2left( cos frac{{5x}2 + cos fracx2 + cos frac{3x}2} right) = 0$ $ Leftrightarrow 4sin frac{7x}2cos frac{3x}2left( 2cos x + 1 right) = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm $x = frac{k2pi }7$, $x = fracpi 3 + frac{k2pi }3$, $x = pm frac{2pi }3 + k2pi $ $left( k in Z right).$

    b. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nhân ba của $sin$ và $cos$ nhưng lời giải sẽ phức tạp hơn. Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng.

    $PT Leftrightarrow frac12left( cos 4x + cos 2x right)cos ^2x$ $ + frac12left( cos 4x – cos 2x right)sin ^2x$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }8$

    $ Leftrightarrow cos 4xleft( {{sin ^2}x + {cos ^2}x} right)$ $ + cos 2xleft( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$ $ = frac{2 – 3sqrt 2 }4$ $ Leftrightarrow cos 4x + cos ^22x = frac{2 – 3sqrt 2 }4$

    $ Leftrightarrow cos 4x = – frac{sqrt 2 }2$ $ Leftrightarrow x = pm frac{3pi }{16} + kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$

    c. $PT Leftrightarrow 1 – cos 2x + sin x$ $ – sin 2x + cos 3x – cos x = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin ^2x + sin x$ $ – 2sin xcos x – 2sin 2xsin x = 0$

    $ Leftrightarrow sin xleft( 2sin x – 2cos x – 2sin 2x + 1 right) = 0$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    sin x = 0

    2left( sin x – cos x right) – 4sin xcos x + 1 = 0

    endarray right.$

    Đáp số: $x = kpi $, $x = pm fracpi 3 + k2pi $, $x = – fracpi 6 + k2pi $, $x = frac{7pi }6 + k2pi $ $(k ∈ Z).$

    d. $PT Leftrightarrow 2sin xcos x + sin x$ $ – sin ^3x + cos x – cos ^3x = 0$

    $ Leftrightarrow 2sin xcos x + sin xcos ^2x$ $ + cos xsin ^2x = 0$ $ Leftrightarrow sin xcos xleft( 2 + sin x + cos x right) = 0.$

    Đáp số: $x = kfracpi 2$ $(k ∈ Z).$

    a. Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số $sin$ và tổng hai cung $frac{6x + 2x}2 = 4x$ mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích.

    $PT Leftrightarrow cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2cos 2x + 1 right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 4x = 0

    cos 2x = – frac12

    endarray right.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + frac{kpi }4$, $x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k ∈ Z).$

    b. $PT Leftrightarrow frac{1 – cos 6x}x – frac{1 + cos 8x}2$ $ = frac{1 – cos 10x}2 – frac{1 + cos 12x}2$

    $ Leftrightarrow left( cos 12x + cos 10x right) $ $- left( cos 8x + cos 6x right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos 11xcos x – 2cos 7xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow cos xleft( cos 11x – cos 7x right) = 0$ $ Leftrightarrow cos xsin 9xsin 2x = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = kfracpi 9$, $x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    c. Điều kiện: $cos x ne 0.$

    $PT Leftrightarrow frac12left[ 1 – cos left( {x – frac{pi 2} right)} right]frac{{{sin ^2}x}}{{{cos ^2}x}}$ $ = frac12left( 1 + cos x right)$ $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)sin ^2x = left( 1 + cos x right)cos ^2x$

    $ Leftrightarrow left( 1 – sin x right)left( 1 + cos x right)left( sin x + cos x right) = 0.$

    Đáp số: Kết hợp với điều kiện ta được: $x = pi + k2pi $, $x = – fracpi 4 + kpi $ $left( k in Z right).$

    d. $PT Leftrightarrow frac{1 + cos 6x}2cos 2x$ $ – frac{1 + cos 2x}2 = 0$ $ Leftrightarrow cos chúng tôi 2x – 1 = 0$

    $ Leftrightarrow cos 8x + cos 4x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow 2cos ^24x + cos 4x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow cos 4x = 1 Leftrightarrow x = kfracpi 2$ $left( k in Z right).$

    a. $PT Leftrightarrow sin 7x – sin x$ $ – left( 1 – 2{{sin ^2}2x} right) = 0$ $ Leftrightarrow 2cos chúng tôi 3x – cos 4x = 0$ $ Leftrightarrow cos 4xleft( 2sin 3x – 1 right) = 0.$

    Vậy phương trình có nghiệm: $x = fracpi 8 + kfracpi 4$, $x = fracpi {18} + kfrac{2pi }3$, $x = frac{5pi }{18} + kfrac{2pi }3$ $(k∈Z).$

    b. $left( {1 + cos 2x right)^2} + left( {1 + sin 2x right)^2} = 1$ $ Leftrightarrow sin 2x + cos 2x = – 1$

    $ Leftrightarrow sqrt 2 cos left( 2x – frac{pi 2} right) = – 1$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 2 + kpi

    x = – fracpi 4 + kpi

    endarray right.left( k in Z right)$

    c. $PT Leftrightarrow – sqrt 3 cos x + sin x = 0$ $ Leftrightarrow frac12sin x – frac{sqrt 3 }2cos x = 0$ $ Leftrightarrow sin left( x – frac{pi 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$

    d. $PT Leftrightarrow 3tan ^3x – tan x$ $ + frac{3left( {1 + sin x right)}}{{{cos ^2}x}} – 4left( 1 + sin x right) = 0$

    $ Leftrightarrow tan xleft( 3{{tan ^2}x – 1} right)$ $ + left( 1 + sin x right)left( 3{{tan ^2}x – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( 3{{tan ^2}x – 1} right)left( tan x + 1 + sin x right) = 0$

    Trường hợp 1: $tan x = pm frac1{sqrt 3 }$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $left( k in Z right).$

    Trường hợp 2: $1 + sin x + tan x = 0$ $ Leftrightarrow sin x + cos x + sin xcos x = 0$ (phương trình đối xứng với $sin$ và $cos$).

    Giải phương trình này được: $x = fracpi 4 pm arccos left( frac{{sqrt 2 – 1}2} right) + k2pi $ $left( k in Z right).$

    4. Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức)

    Ví dụ 6. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $left( {sin frac{x2 + cos fracx2} right)^2} + sqrt 3 cos x = 2.$

    b. $cot x – tan x + 4sin 2x = frac2{sin 2x}.$

    c. $tan x = cot x + 2cot ^32x.$

    d. $tan x + cot x = 2left( sin 2x + cos 2x right).$

    a. $PT Leftrightarrow 1 + 2sin fracx2cos fracx2$ $ + sqrt 3 cos x = 2$ $ Leftrightarrow sin x + sqrt 3 cos x = 2$

    $ Leftrightarrow frac12sin x + frac{sqrt 3 }2cos x = 1$ $ Leftrightarrow sin left( x + frac{pi 3} right) = frac12$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = – fracpi 6 + k2pi

    x = fracpi 2 + k2pi

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    b. Nhận xét: Từ sự xuất hiện của $cot x – tan x$ và $sin 2x$ ta xem chúng có mối quan hệ nào?

    Ta có: $cot x – tan x$ $ = frac{{{cos ^2}x – {sin ^2}x}}{sin xcos x}$ $ = 2frac{cos 2x}{sin 2x}$. Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau:

    Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow 2frac{cos 2x}{sin 2x} + 4sin 2x$ $ = frac2{sin 2x}cos 2x + 2sin ^22x = 1$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 1

    cos 2x = – frac12

    endarray right.$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $(k∈Z).$

    Chú ý: Ta có thể đặt $t = tan x$ $ Rightarrow cot x = frac1t$, $sin 2x = frac{2t}{1 – {t^2}}$ đưa phương trình về ẩn $t$ để giải.

    c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} – frac{cos x}{sin x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow – 2frac{cos 2x}{sin 2x} = 2cot ^32x$ $ Leftrightarrow cot 2x + cot ^32x = 0$

    $ Leftrightarrow cot 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2$ $(k∈Z).$

    d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{sin x}{cos x} + frac{cos x}{sin x}$ $ = 2left( sin 2x + cos 2x right)$ $ Leftrightarrow frac2{sin 2x} = 2left( sin 2x + cos 2x right)$

    $ Leftrightarrow 1 = sin ^22x + sin 2xcos 2x$ $ Leftrightarrow cos ^22x = sin 2xcos 2x$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    tan 2x = 1

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 4 + kfracpi 2

    x = fracpi 8 + kfracpi 2

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    . Giải các phương trình lượng giác sau:

    a. $cos ^6x – sin ^6x = frac{13}8cos ^22x.$

    b. $frac{2left( {{{cos ^6}x + {sin ^6}x} right) – sin xcos x}}{sqrt 2 – 2sin x} = 0.$

    c. $frac{{{cos ^4}x + {sin ^4}x}}{5sin 2x}$ $ = frac12cot 2x – frac1{8sin 2x}.$

    d. $cot x = tan x + frac{2cos 4x}{sin 2x}.$

    a. Nhận xét: Xuất hiện $cos ^6x – sin ^6x$ ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức $a^3 – b^3.$

    $PT Leftrightarrow left( {{cos ^2}x – {sin ^2}x} right)$$left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x + {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$

    $ Leftrightarrow cos 2xleft( 1 – frac{12{sin ^2}2x + frac14{sin ^2}2x} right)$ $ = frac{13}8cos ^22x$ $ Leftrightarrow cos 2xleft( 8 – 2{{sin ^2}2x – 13cos 2x} right) = 0$

    $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    2cos ^22x – 13cos 2x + 6 = 0

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    cos 2x = 0

    cos 2x = frac12

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left[ beginarrayl

    x = fracpi 4 + kfracpi 2

    x = pm fracpi 6 + kpi

    endarray right.$ $left( k in Z right).$

    b. Điều kiện: $sin x ne frac1{sqrt 2 }$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl

    x ne fracpi 4 + k2pi

    x ne frac{3pi }4 + k2pi

    endarray right.$

    $PT Leftrightarrow 2left( {{cos ^4}x + {sin ^4}x – {sin ^2}x{cos ^2}x} right)$ $ – sin xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow 2 – 6sin ^2xcos ^2x – sin xcos x = 0$

    $ Leftrightarrow 3sin ^22x + sin 2x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $ $(k∈Z).$

    Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: $x = frac{5pi }4 + k2pi $ $left( k in Z right).$

    c. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{1 – frac{12{sin ^2}2x}}{5sin 2x}$ $ = frac12frac{cos 2x}{sin 2x} – frac1{8sin 2x}$ $ Leftrightarrow cos ^22x – 5cos 2x + frac94 = 0$

    $ Leftrightarrow cos 2x = frac12$ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 6 + kpi $ $(k∈Z).$

    d. Điều kiện: $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne kfracpi 2.$

    $PT Leftrightarrow frac{2cos 2x}{sin 2x} = frac{2cos 4x}{sin 2x}$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 2x = – frac12$ $ Leftrightarrow x = pm frac{2pi }3 + kpi $ $(k∈Z).$

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Nhanh Chóng
  • Giải Hệ Pt Bằng Pp Thế Vnxike2 Ppt
  • Chương Iv. §3. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giáo Án Đại Số Lớp 9 Tiết 50: Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Giáo Án Môn Đại Số Lớp 9 Năm 2009
  • Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

    --- Bài mới hơn ---

  • Lý Thuyết Giải Các Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Thường Gặp
  • Giáo Án Đại Số 11 Chương 1 Tiết 11: Thực Hành Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Bằng Máy Tính Bỏ Túi Casio Fx 500Ms
  • Phương Trình Hóa Học Đầy Đủ Chi Tiết Nhất
  • Kỹ Thuật Giải Phương Trình Hàm
  • Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Hàm Số Lượng Giác
  • Giải phương trình lượng giác cơ bản

    A. Phương pháp giải

    + Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx= m thì phương trình này có hai họ nghiệm là:

    Chú ý: phương trình sinx= m chỉ có nghiệm khi: – 1 ≤ m ≤ 1.

    + Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx=m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:

    + Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx= m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

    + Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

    + Các trường hợp đặc biệt :

    * Sinx=0 ⇔ x=kπ

    * Sinx= 1 ⇔ x= π/2+k2π

    * Sinx= -1 ⇔ x= (-π)/2+k2π

    * cos= 0 ⇔ x= π/2+kπ

    * cosx= 1 ⇔ x=k2π

    * cosx=- 1 ⇔ x= π+k2π

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1. Hỏi x=7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?

    A. 2sinx – √3=0.

    B. 2sinx+ √3=0.

    C. 2cosx- √3=0

    D.2cosx+ √3=0.

    Lời giải

    Chọn A

    Cách 1.

    Với x=7π/3 , suy ra .

    Cách 2. Thử x=7π/3 lần lượt vào các phương trình.

    Ví dụ 2. Giải phương trình sin(2x/3- π/3)=0.

    A. x=kπ (k∈Z)

    B. .

    C. .

    D. .

    Lời giải.

    Chọn D.

    Ta có : sin(2x/3- π/3)=0.

    ⇔ 2x/3- π/3=kπ (k∈Z)

    ⇔ 2x/3= π/3+kπ ⇔ x= π/2+ k3π/2 ( k∈Z).

    Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y= sin3x và y= sinx bằng nhau?

    A.

    B.

    C.

    D.

    Lời Giải.

    Chọn B.

    Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: sin 3x= sinx

    Ví dụ 4. Giải phương trình cot(3x-1)= -√3

    A.

    B.

    C.

    D.

    Lời Giải.

    Chọn A.

    Ta có cot(3x-1)= -√3 ⇒ cot(3x-1)= cot(-π/6) .

    ⇔ 3x-1= (-π)/6+kπ ⇔ x= 1/3- π/(18 )+k. π/3 = 1/3+ 5π/(18 )+(k-1). π/3

    Đặt k- 1=l suy ra nghiệm phương trình x= 1/3+ 5π/(18 )+l. π/3

    A. sinx= √2/2

    B. sinx= √2/2

    C. cotx= 1

    D.cot2x = 1

    Lời giải

    Chọn C.

    Ta có: tanx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

    Xét đáp án C, ta có cotx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

    Cách 2. Ta có đẳng thức tanx=1/cotx . Kết hợp giả thiết tanx=1, ta được cotx=1. Vậy hai phương trình tanx= 1 và cotx= 1 là tương đương.

    Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm?

    A. 1

    B. 2

    C. 3

    D. Vô số.

    Lời giải

    Chọn C.

    Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx= a.

    Do đó, phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi

    Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

    Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos(2x- π/3)-m=2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

    A. T= 6

    B. T=3

    C. T= – 3

    D. T= – 6

    Lời giải

    Chọn D.

    Phương trình cos(2x- π/3)-m=2 ⇔ cos(2x- π/3)= m+2.

    Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

    – 1 ≤ m+2 ≤ 1 ⇔ – 3 ≤ m ≤ -1.

    Mà m nguyên nên m∈{-3;-2;-1}

    Suy ra: T= – 3+ ( -2)+ (-1)= – 6

    Ví dụ 8. Giải phương trình: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

    A. -π/12+kπ

    B. π/12+kπ

    C. -π/3+kπ

    D. -π/4+kπ

    Lời giải

    Ta có: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

    ⇔ π/3+x= π/4+kπ ( k∈Z)

    ⇔ x= π/4- π/3+kπ= (-π)/12+kπ

    Chọn D .

    Ví dụ 9. Giải phương trình: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2

    A. x= π/3+4kπ hoặc x= (- π)/3+k4π)

    B. x= π/12+4kπ hoặc x= (- π)/12+k4π)

    C. x= π/3+4kπ hoặc x= (- 7π)/3+k4π)

    D. Đáp án khác

    Lời giải

    Ta có: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2 hay cos⁡((x+ π)/4)= cos π/3

    Chọn C

    Ví dụ 10. Giải phương trình : sinx= 2/5

    A. x= α+k2π hoặc x= – α+k2π

    B. x= α+k2π hoặc x= π+ α+k2π

    C. x= α+kπ hoặc x= π- α+kπ

    D. x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

    Với sinα= 2/5

    Lời giải

    Vì – 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5

    Khi đó sinx= 2/5 ⇔ sinx= sinα nên x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

    Chọn D

    Ví dụ 11. Giải phương trình tanx= 2

    A. 2+ kπ

    B. arctan 2+ kπ

    C.2+ k2π

    D. arctan 2+ k 2π

    Lời giải

    Ta có: tanx = 2 ⇒ x= arctan2+ kπ ( k∈Z)

    Chọn B.

    Ví dụ 12. Giải phương trình : cot⁡(π/3+x)=cot(π+x)/2

    A. π/3+ k4π

    B. π/3+ k2π

    C. π/3+ kπ

    D. π/6+ kπ

    Lời giải

    Ta có: cot⁡(π/3+x)=cot (π+x)/2

    ⇒ π/3+x= (π+x)/2+kπ với k∈Z

    ⇒ x- x/2= π/2- π/3+kπ

    ⇒ x/2= π/6+kπ x=π/3+ k2π

    Chọn B.

    Ví dụ 13. Giải phương trình cos(40 0+ x)= cos( 80 0 -x)

    D. Cả A và C đúng

    Lời giải

    Chọn A.

    Ví dụ 14. Giải phương trình: cos(x+ 10 0) = 1/3

    A.

    B.

    C.

    D.

    Lời giải

    Ta có: cos( x+10 0) = 1/3

    Chọn C.

    C. Bài tập vận dụng

    Câu 1: Giải phương trình cos(π/3-x)=0

    A. – π/2+l2π

    B. – π/3+l2π

    C. π/6+l2π

    D. – π/6+l2π

    Câu 2: Phương trình: sin( 2x/3- π/3)=0 có nghiệm là:

    A.

    B.x=kπ .

    C.

    D.

    Câu 3: Nghiệm của phương trình: sinx.(2cosx-√3)=0 là:

    A.

    B.

    C.

    D.

    Chọn A

    D.

    Câu 4:Cho phương trình sin(x-10 0) = 2m+ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm ?

    A. 1

    B.2

    C. 3

    D .4

    Câu 5: Giải phương trình sinx= -1/3

    A.

    B.

    C.

    D.

    Chọn C.

    Ta có: sinx=-1/3

    D.

    Câu 6: Giải phương trình cot x = 3

    A. arccot 3 + k. π ( k∈Z)

    B. arctan 3 + k. π ( k∈Z)

    C. arccot 3 + k. 2π ( k∈Z)

    D. – arccot 3 + k. π ( k∈Z)

    Câu 7: Giải phương trình cos(x+ π)/3= (- 1)/2

    A.

    B.

    C.

    D.

    Chọn B

    Câu 8: Giải phưởng trình sinx=sin⁡(2x- π/3)

    A.

    B.

    C.

    D.

    Chọn D.

    Câu 9:

    Câu 10: Giải phương trình tanx=(- √3)/3

    A. – π/6+kπ

    B. π/6+kπ

    C. – π/3+kπ

    D. π/3+k2π

    Câu 11: Giải phương trình cot( x- π/2)=cot⁡( (π/4-x)

    A. 3π/8+kπ

    B. 3π/8+kπ/2

    C. 3π/4+kπ/2

    D. 3π/4+kπ

    Câu 12: Giải phương trình tanx = cot( x+ π/3)

    A. π/12+ kπ

    B. π/6+ kπ/2

    C. π/12- kπ/2

    D. π/3+ kπ

    Câu 13: Giải phương trình sinx = cosx

    A. π/4+k2π

    B. π/4+kπ

    C. π/2+kπ

    D. Đáp án khác

    Lời giải

    Ta có: sinx = cosx

    ⇒ sinx= sin(π/2-x)

    .

    Chọn B.

    Câu 14: Nghiệm của phương trình sin3x= cosx là:

    A. .

    B. .

    C. .

    D. .

    Lời giải

    Chọn A.

    Ta có: sin3x= cosx

    .

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giai Thừa Với Bài Toán Tổ Hợp
  • Giai Thừa Lớn Chứa Giai Thừa Bé Và Ứng Dụng
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 Es Plus
  • Giải Toán 10 Bài 2. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn
  • Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình
  • Phương Trình Lượng Giác (Đầy Đủ)

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Toán Lớp 10 Bài 1: Mệnh Đề
  • Dạy Học Sinh Dạng Toán Có Lời Văn Ở Lớp 1
  • Hướng Dẫn Giải Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • 5 Bước Giải Bài Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • Bài Tập Toán Cao Cấp 2 Có Lời Giải Mp3 Ogg For Free
  • I/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.

    1. Phương trình: .

    + Nếu (hay )

    thì phương trình vô nghiệm

    + Nếu (hay )

    Khi đó:

    VD 01. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) ; b) ;

    c) ; d) ;

    e) ; f) ; g) ;

    h) ; i) ; j) ;

    Lưu ý:

    (1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm sin (arcsin) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

    (2). Các trường hợp đặc biệt:

    2. Phương trình: .

    + Nếu (hay )

    thì phương trình vô nghiệm

    + Nếu (hay )

    Khi đó:

    VD 02. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) ; b) ;

    c) ; d) ;

    e) ; f) ; g) ;

    h) ; i) ; j) ;

    Lưu ý:

    (1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm cos (arccos) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

    (2). Các trường hợp đặc biệt:

    3. Phương trình: ,

    VD 03. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) ; b) ; c) ;

    d) ; e) ; f) ;

    Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan (arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

    4. Phương trình: ,

    VD 04. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) ; b) ; c) ;

    d) ; e) ; f) ;

    Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan (arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:

    5. Mở rộng:

    Mở rộng 1. Sử dụng MTBT để giải phương trình lượng giác:

    VD 05. Giải các phương trình sau:

    a) b) c)

    Mở rộng 2. (Cung chứa bội):

    VD 06. Giải các phương trình sau:

    a) b) c)

    Mở rộng 3. (Cung chứa tổng):

    VD 07. Giải các phương trình sau:

    a) b) c)

    d) e) f)

    g) h) i)

    Mở rộng 4. Phương trình tích (đơn giản):

    A.B = 0

    VD 08. Giải các phương trình sau:

    a) b) c)

    d) e) f)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Trắc Nghiệm Lượng Giác Có Đáp Án
  • Chuyên Đề : Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
  • Bài 6: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình (Tiếp Theo)
  • Giải Bài 35,36,37,38,39,40 Trang 19,20 Sgk Toán 6 Tập 1: Phép Cộng Và Phép Nhân
  • Đáp Án Lưu Hoằng Trí Lớp 9
  • Trắc Nghiệm Lượng Giác (Kèm Lời Giải)

    --- Bài mới hơn ---

  • Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Giáo Án Chủ Đề Tự Chọn 11 Tiết 7: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Phương Trình Lượng Giác Và Ứng Dụng (Nâng Cao)
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác
  • Phương Trình Lượng Giác Có Điều Kiện
  • Không còn điều gì tuyệt vời hơn khi các em có trong mình bộ sách Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Với bộ sách hiện được bán ở các nhà sách trên cả nước, nhưng điều tuyệt vời hơn nữa là chúng được chúng tôi tạo thành một đề thi thử online đi kèm lời giải chi tiết, chắc chắn rằng với cách này sẽ giúp các em tăng khả năng tiếp thu hơn nhiều lần.

    Ở phần Trắc nghiệm nâng cao phần lượng giác, với bộ sách này khoảng 76 trang chủ yếu là thực hành theo hình thức trắc nghiệm có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết, để nắm sâu hơn chúng ta nên tải về in thành sách hoặc thi thực hành tiếp theo link thử bên dưới.

    Các em nếu không muốn mất thời gian tải đề về in để làm bài thì có thể Ôn thi theo chuyên đề – Toán lớp 11 (kèm đáp án và lời giải chi tiết)  hoàn toàn miễn phí tại đường link này. Đáp án và lời giải sẽ hiển thị ngay dưới mỗi câu trả lời khi các em thi xong, nếu thấy hay nhấn like, share, theo dõi Fanpage Hoctai.

    MỤC LỤC

    • HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
    • A – LÝ THUYẾT CHUNG
      • CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
        • I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
        • II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
        • III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
          • Hai cung đối nhau
          • Hai cung bù nhau
          • Hai cung phụ nhau
          • Hai cung hơn nhau
          • Hai cung hơn nhau
          • Với k là số nguyên
        • IV. CÔNG THỨC CỘNG
        • V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG
      • HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
        • MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
          • DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
          • DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
          • DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX
          • DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX
          • DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX
          • DẠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH
    • B – BÀI TẬP
      • HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
      • PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
      • PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ
    • C – HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

    Nếu các em không mình mất thời gian tải và in đề làm bài thì có thể tham gia thi online miễn phí có kèm lời giải chi tiết tại chúng tôi .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Trắc Nghiệm Phương Trình Mũ Và Logarit File Word
  • Giải Phương Trình Mũ Logarit Hay Và Khó Lớp 12
  • Chuyên Đề Bất Phương Trình
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Căn, Bất Phương Trình Chứa Căn
  • Tổng Hợp Đề Kiểm Tra 1 Tiết Toán 11 Chương 1 Đại Số (Có Đáp Án)
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác Có Điều Kiện
  • Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp
  • Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Toán Lớp 11
  • Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Lý Thuyết Hệ Phương Trình Có Cấu Trúc Đặc Biệt Toán 10
  • Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa va thì cần điều kiện để và có nghĩa. Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản . Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại. 1.1-Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. a) Giải và biện luận phương trình (1) Do nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau -Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt. -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= . Ta có: Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt. Ví dụ 1: Giải phương trình Giải: Ta nhận thấy không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt = Khi đó ta có: Vậy phương trình có 2 họ ngiệm Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Do nên Vậy phương trình có hai họ nghiệm . b) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng đi biện luận (b) theo m Bước 1: Nếu phương trình vô nghiệm . Bước 2: Nếu ta xét 2 khả năng: -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt, giả sử góc. Khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt khi đó đặt = .Ta có: Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: Do nên Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Vì và không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc sao cho Ta có: Vậy phương trình có hai họ nghiệm . c) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình Giải : Do nên ta có: Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt . Từ đó ta có Vậy phương trình có một họ nghiệm. d) Giải và biện luận phương trình lượng giác Ta cũng đi biện luận theo Bước1: Đặt điều kiện Bước 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng -Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (1) Giải: Điều kiện (*) Ta có: (1) Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Ta nhận thấy nên ta có Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức. 1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp. 1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng 1: (1) Cách giải: Đặt , điều kiện Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo , giải tìm chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm Dạng 2: (2) Cách giải: Đặt điều kiện ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo , giải tìm rồi tìm Dạng 3: (3) Cách giải: Điều kiện Đặt ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo , chú ý khi tìm được nghiệm cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: (4) Cách giải: Điều kiện Đặt . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Phương trình (1) Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện Ta có: Ta thấy không thoả mãn điều kiện. Do đó (*) Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2 Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: Bài 6: Giải phương trình: Bài 7: Giải phương trình: Bài 8: Giải phương trình Bài 9: Giải phương trình 1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với a)Định nghĩa: Phương trình trong đó a, b, c và được gọi là phương trình bậc nhất đối với b) Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước Bước 1:Kiểm tra -Nếu < phương trình vô nghiệm -Nếu khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho , ta được Vì nên tồn tại góc sao cho Khi đó phương trình (1) có dạng Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải Cách 2: Thực hiện theo các bước Bước 1: Với thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không? Bước 2: Với Đặt suy ra Khi đó phương trình (1) có dạng Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x. * Dạng đặc biệt: . . . Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng , và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác . Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1) Giải : Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho ta được Đặt . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng Vậy phương trình có 2 nghiệm Cách 2:-Ta nhận thấy là nghiệm của phương trình -Với . Đặt ,lúc đó Phương trình (1) sẽ có dạng Hay Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Ta biến đổi phương trình (2) Ta có: Suy ra < Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau Ví Dụ 3: Giải phương trình Giải : Cách 1:Thực hiện phép biến đổi (3) Đặt Phương trình (3) sẽ được viết thành Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai họ nghiệm Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn. Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt và ta cũng thu được nghiệm chẵn (*) trong đó là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 4: Giải phương trình: Giải: (4) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Bài tập: Giải các phương trình sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với và . a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với , là phương trình. (1) trong đó a, b, c, d b) Cách giải : Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử hoặc . Chẳng hạn nếu chia cho ta làm theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra: xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không? Bước 2: Với chia cả hai vế cho lúc đó phương trình (1) trở thành Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình đã cho về phương trình Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát trong đó Khi đó ta cũng làm theo 2 bước : Bước 1: Kiểm tra xem có phải là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Nếu .Chia cả hai vế của phương trình trên cho ta sẽ được phương trình bậc n theo . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : (1) Giải: Cách 1: Phương trình (1) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Cách 2: +) Thử với vào phương trình (1) ta có vô lí. Vậy không là nghiệm của phươngtrình. +)Với Chia cả hai vế của phương trình cho ta được Vậy phương trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải : Ta nhận thấy có thể biểu diễn được qua . Luỹ thừa bậc ba biểu thức ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải Phương trình (2) +) Xét với . Khi đó phương trình có dạng mâu thuẫn Vậy phương trình không nhận làm nghiệm +) Với . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho ta được : . Đặt phương trình có được đưa về dạng: Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình . Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất. Ví Dụ 3: Giải phương trình: (3) Giải : Điều kiện Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng : Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ta được : (do vô nghiệm) nên: Phương trình (*) Vậy phương trình có một họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng Đặt ta được : Vậy phương trình có một họ nghiệm Bài tập : Giải các phương trình sau : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1.2.4-Phương trình đối xứng đối với và . a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với và là phương trình dạng trong đó (1) b) Cách giải: Cách 1: Do nên ta đặt . Điều kiện Suy ra và phương trình (1) được viết lại: Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải Cách 2: Đặt thì nên phương trình (1) trở thành . Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình bằng cách đặt và lúc đó Ví Dụ Minh Hoạ : Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Cách 1: Đặt điều kiện . Lúc đó Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng Với không thoả mãn điều kiện nên (*) Cách 2: Đặt . Khi đó phương trình có dạng (*’) Ta thấy không thoả mãn Do đó (*’) Vậy phương trình có hai họ nghiệm *Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải phương trình Cách giải: Phương trình (1) có thể viết *Quy ước: Khi có nhiều dấu trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới Ví Dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: Ta có (2) Ta có (3) (4) (6) Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm. Bài toán 2: Giải phương trình: với (1) Cách giải: Ta có: Đến đây chúng ta đã biết cách giải Tương tự cho phương trình Ví Dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Điều kiện (3) Giải (4) Giải (5): Đặt (*) Suy ra . Phương trình (5) trở thành Kết hợp với điều kiện (*) thì bị loại Với ta có Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy phương trình có ba họ nghiệm Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2. Ví dụ 4: Giải phương trình: Giải : Ta có: Phương trình (1) có dạng Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Ví Dụ 5: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện: Phương trình (2) (loại) Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng và . * Phương trình có dạng Cách giải: Bước 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về dạng đại số Bước 2: Giải phương trình loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x Ví dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình Giải: Phương trình (1) Đặt , phương trình (2) trở thành hay Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2) Giải: Điều kiện Ta có: Phương trình (2) (3) Đặt , phương trình (3) có dạng Với thì nên (4) Suy ra ( thoả mãn điều kiện(2)). Vậy là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Bài tập:Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG. Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp. Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau: 1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp. Ví Dụ: Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện (*) Khi đó (1) Thay vào (*) xem có thoả mãn hay không ? Suy ra không thoả mãn (*) . Vậy phương trình (1) vô nghiệm . 1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác). Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình. Ví Dụ: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện Khi đó phương trình (1) Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác. sin cos Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 1.3.3- Phương pháp đại số. Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số. * Ví Dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện Khi đó (1) Gía trị này là nghiệm của (1) nếu Điều này đúng vì là số lẻ còn là số chẵn Vậy nghiệm của phương trình là Bài tập: 1: Tìm các nghiệm thuộc của phương trình 2: Giải phương trình: 3: Giải phương trình: 4: Giải phương trình: 5: Giải phương trình: 6: Giải phương trình:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác Và Ứng Dụng (Nâng Cao)
  • Giáo Án Chủ Đề Tự Chọn 11 Tiết 7: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Trắc Nghiệm Lượng Giác (Kèm Lời Giải)
  • Bài Tập Trắc Nghiệm Phương Trình Mũ Và Logarit File Word
  • Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

    --- Bài mới hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • 200 Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 Có Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 7: Phép Vị Tự
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 6: Phép Vị Tự (Nâng Cao)
  • Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

    A. Phương pháp giải & Ví dụ

    Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là

    x = α + k2π, k ∈ Z

    và x = π-α + k2π, k ∈ Z.

    Nếu α thỏa mãn điều kiện và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.

    Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là

    x = arcsina + k2π, k ∈ Z

    và x = π – arcsina + k2π, k ∈ Z.

    Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là

    x = α + k2π, k ∈ Z

    và x = -α + k2π, k ∈ Z.

    Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết α = arccos a.

    Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là

    x = arccosa + k2π, k ∈ Z

    và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

    Các trường hợp đặc biệt: – Phương trình tanx = a (3)

    Điều kiện:

    Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết α = arctan a.

    Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là

    x = arctana + kπ,k ∈ Z

    – Phương trình cotx = a (4)

    Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

    Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết α = arccot a.

    Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là

    x = arccota + kπ, k ∈ Z

    Ví dụ minh họa

    Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) sinx = sin(π/6) c) tanx – 1 = 0

    b) 2cosx = 1. d) cotx = tan2x.

    Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

    b) 2sin(2x – 40º) = √3

    Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

    Đáp án và hướng dẫn giải

    Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) sin⁡x = sin⁡π/6

    b)

    c) tan⁡x=1⇔cos⁡x= π/4+kπ (k ∈ Z)

    d) cot⁡x=tan⁡2x

    Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

    ⇔ cos⁡x (cos⁡x – 2 sin⁡x )=0

    b) 2 sin⁡(2x-40º )=√3

    ⇔ sin⁡(2x-40º )=√3/2

    Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) sin⁡(2x+1)=cos⁡(3x+2)

    b)

    ⇔ sin⁡x+1=1+4k

    ⇔ sin⁡x=4k (k ∈ Z)

    ⇔sin⁡x = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)

    B. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Giải các phương trình sau

    a) cos(3x + π) = 0

    b) cos (π/2 – x) = sin2x

    Lời giải:

    Bài 2: Giải các phương trình sau

    a) chúng tôi = 1

    Lời giải:

    Bài 3: Giải các phương trình sau

    Lời giải:

    Bài 4: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.

    Lời giải:

    Bài 5: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx + (√3+1)cosx = 2√2 sin2x

    Lời giải:

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    phuong-trinh-luong-giac.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Trang 28, 29 Sgk Giải Tích 11: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Bài Ôn Tập Chương 1 Đại Số Lớp 10: Bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9,10, 11,12,13, 14,15 Sgk Trang 24, 25
  • Giải Bài Tập Trang 24, 25 Sgk Đại Số 10: Ôn Tập Chương 1 Giải Bài Tập Môn Toán Lớp 10
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Ôn Tập Chương 1 (Nâng Cao)
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Ôn Tập Chương 1
  • Phương Trình Lượng Giác Chứa Căn Và Phương Trình Lượng Giác Chứa Giá Trị Tuyệt Đối

    --- Bài mới hơn ---

  • Kiến Thức Cơ Bản Đại Số Lớp 10: Phương Trình Và Hệ Phương Trình
  • Tính Toán Ma Trận Và Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Mathematica
  • Chuyên Đề “Phương Trình Nghiệm Nguyên”
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa – Khử – Du Học & Lao Động
  • PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH

    LƯỢNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

    A) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN

    Cách giải : Áp dụng các công thức

    A 0 B

    A B

    0

    A B A

    ≥ ≥⎧ ⎧= ⇔ ⇔⎨ ⎨ B= =⎩ ⎩

    2

    B 0

    A B

    A B

    ≥⎧= ⇔ ⎨ =⎩

    Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng

    giác nên ta xử lý điều kiện B bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ 0≥

    các bài toán quá phức tạp.

    Bài 138 : Giải phương trình ( )5cos x cos2x 2sin x 0 *− + =

    ( )* 5cos x cos2x 2sin x⇔ − = −

    2

    sin x 0

    5cos x cos2x 4sin x

    ≤⎧⇔ ⎨ − =⎩

    ( ) (2 2

    sin x 0

    5cos x 2cos x 1 4 1 cos x

    ≤⎧⎪⇔ ⎨ − − = −⎪⎩ )

    = 2

    sin x 0

    2cos x 5cos x 3 0

    ≤⎧⇔ ⎨ + −⎩

    ( )

    sin x 0

    1cos x cos x 3 loại

    2

    ≤⎧⎪⇔ ⎨ = ∨ = −⎪⎩

    ≤⎧⎪⇔ π⎨ = ± + π ∈⎪⎩

    π⇔ = − + π ∈

    sin x 0

    x k2 , k

    3

    x k2 , k

    3

    Bài 139 : Giải phương trình

    3 3 3 3sin x cos x sin x cot gx cos xtgx 2sin2x+ + + =

    Điều kiện :

    cos x 0

    sin 2x 0

    sin x 0 sin 2x 0

    sin 2x 0

    sin2x 0

    Lúc đó :

    ( ) 3 3 2 2* sin x cos x sin x cos x cos xsin x 2sin2x⇔ + + + =

    ( ) ( )2 2sin x sin x cos x cos x cos x sin x 2sin2x⇔ + + + =

    ( ) ( )2 2sin x cos x sin x cos x 2sin 2x⇔ + + =

    ( )2

    sin x cos x 0

    sin x cos x 2sin2x

    + ≥⎧⎪⇔ ⎨ + =⎪⎩

    ( )

    sin x 02 sin x 0

    44

    sin2x 1 nhận do sin2x 01 sin2x 2sin2x

    ( )

    ⎧ π ⎧ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨π π π⎪ ⎪= + π ∈ = + π ∨ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

    sin x 0 sin x 0

    4 4

    5x k , k x m2 x m2 loại , m

    4 4 4

    π⇔ = + π ∈ x m2 ,m

    4

    Bài 140 : Giải phương trình ( )π⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

    21 8sin chúng tôi 2x 2sin 3x *

    4

    +

    Ta có : (*)

    2 2

    sin 3x 0

    4

    1 8sin2x cos 2x 4sin 3x

    4

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π⎛ ⎞⎪ + = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ +

    ( )

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π⎡ ⎤⎪ + + = − +⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

    sin 3x 0

    4

    1 4 sin 2x 1 cos 4x 2 1 cos( 6x )

    2

    ( ) (

    sin 3x 0

    4

    1 4sin2x 2 sin6x sin2x 2 1 sin6x

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎪ ⎜ ⎟⇔ ⎝ ⎠⎨⎪ + + − = +⎩ )

    ⎧ π ⎧ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨ π π⎪ ⎪= = + π ∨ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

    sin 3x 0 sin 3x 0

    4 4

    1 5sin 2x x k x k , k

    2 12 12

    So lại với điều kiện sin 3x 0

    4

    π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

    Khi x k thì

    12

    π• = + π

    sin 3x sin 3k cosk

    4 2

    π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ⎡= ⎢−⎢⎣

    1 , nếu k chẵn nhận

    1, nếu k lẻ loại

    π• = + π5Khi x k thì

    12

    π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = + π = − + π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

    3sin 3x sin 3k sin k

    4 2 2

    ⎞⎟⎠

    ( )

    ( )

    −⎡= ⎢⎢⎣

    1,nếu k chẵn loại

    1, nếu k lẻ nhận

    Do đó ( ) ( )π π⇔ = + π ∨ = + + π ∈ 5* x m2 x 2m 1 ,m

    12 12

    Bài 141 : Giải phương trình ( )1 sin2x 1 sin2x 4cos x *

    sin x

    − + + =

    Lúc đó : ( )* 1 sin2x 1 sin2x 2sin2x⇔ − + + =

    ( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 )

    2 22 2 1 sin 2x 4sin 2x

    sin2x 0

    ⎧⎪ + − =⇔ ⎨ ≥⎪⎩

    2 21 sin 2x 2sin 2x 1

    sin2x 0

    ⎧⎪ − =⇔ ⎨ ≥⎪⎩

    2 4 2

    2

    1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1

    1sin 2x

    2

    sin2x 0

    ⎧ − = −⎪⎪⇔ ≥⎨⎪ ≥⎪⎩

    +

    ( )2 2sin 2x 4sin 2x 3 0

    1sin 2x

    2

    ⎧ − =⎪⇔ ⎨ ≥⎪⎩

    ⎧ −= ∨ =⎪⎪⇔ ⎨⎪ ≥⎪⎩

    3 3sin 2x sin 2x

    2 2

    2sin 2x

    2

    3sin2x

    2

    ⇔ =

    π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ 22x k2 2x k2 , k

    3 3

    π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ x k x k , k

    6 3

    Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trị tuyệt đối

    ( ) ≠⎧⎪⇔ ⎨ − + + =⎪⎩

    ⇔ − + + =

    sin x 0

    *

    cos x sin x cos x sin x 2sin 2x

    cos x sin x cos x sin x 2sin 2x

    Bài 142 : Giải phương trình ( )+ + + =sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 *

    Đặt

    sin

    3t sin x 3 cos x sin x cos x

    cos

    3

    π

    = + = + π

    1t sin x 2sin x

    3 3cos

    3

    π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

    ( ) + =* thành t t 2

    ⇔ = −

    − ≥ ≤⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨= − + − + =⎩ ⎩

    ≤⎧⇔ ⇔ =⎨ = ∨ =⎩

    2 2

    t 2 t

    2 t 0 t 2

    t 4 4t t t 5t 4 0

    t 2

    t 1

    t 1 t 4

    Do đó ( ) *

    π π π π π⎛ ⎞⇔ + = ⇔ + = + π + = + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

    1 5sin x x k2 hay x k2 , k

    3 2 3 6 3 6

    π π⇔ = − + π ∨ = + π ∈ x k2 x k2 , k

    6 2

    Bài 143 : Giải phương trình

    ( ) ( ) ( )+ + = +3 tgx 1 sin x 2 cos x 5 sin x 3cos x *

    Chia hai vế của (*) cho cos x 0≠ ta được

    ( ) ( ) ( )* 3 tgx 1 tgx 2 5 tgx 3⇔ + + = +

    Đặt u tgx 1 với u= + ≥ 0

    x

    Thì 2u 1 tg− =

    (*) thành ( ) ( )2 23u u 1 5 u 2+ = +

    3 23u 5u 3u 10 0⇔ − + − =

    ( ) ( )2u 2 3u u 5 0⇔ − + + =

    ( )2u 2 3u u 5 0 vô nghiệm⇔ = ∨ + + =

    Do đó ( ) ⇔* tgx 1 2+ =

    tgx 1 4⇔ + =

    tgx 3 tg với

    2 2

    π π⎛ ⎞⇔ = = α − < α <⎜ ⎟⎝ ⎠ ,x k kα π⇔ = + ∈

    Bài 144 : Giải phương trình ( ) ( )11 cos x cos x cos2x sin4x *2− + =

    ( ) ( )* 1 cos x cos x cos2x sin 2x cos2x⇔ − + =

    ≥⎧⇔ − +⎨ =⎩

    cos x 0

    hay 1 cos x cos x sin 2x

    cos 2x 0

    =

    ⎧ ≥≥⎧ ⎪⎪⇔ ≥⎨ ⎨π= + π ∈⎪ ⎪⎩ + − =⎩

    2

    cos x 0cos x 0

    hay sin 2x 0

    2x k , k

    2 1 2 (1 cos x)cosx sin 2x

    ⎧ ≥≥⎧ ⎪⎪⇔ ≥⎨ ⎨π π= + ∈⎪ ⎪⎩ + − = ≥ ≥⎩

    2

    cos x 0cos x 0

    hay sin 2x 0

    x k , k

    4 2 1 2 (1 cos x)cosx sin 2x ( VT 1 VP )

    ≥⎧≥ ⎪⎧ ≥⎪ ⎪⇔ ⎨ ⎨π π= ± + π = ± + π ∈ =⎪ ⎪⎩ ⎪ − =⎩

    2

    cos x 0

    cos x 0 sin 2x 0

    hay5x h hay x h , h sin 2x 1

    4 4

    (1 cos x ) cos x 0

    π⇔ = ± + π ∈

    = =⎧ ⎧⎨ ⎨= ⇒ = = ⇒ = ⇒ =⎩ ⎩

    x h , h

    4

    sin 2x 1 sin 2x 1

    hay hay

    cos x 0 ( sin 2x 0 ) cos x 1 ( sin x 0 sin 2x 0 )

    π⇔ = ± + π ∈ x h , h

    4

    Bài 145 : Giải phương trình ( ) ( ) ( )3 3sin x 1 cot gx cos x 1 tgx 2 sin x cos x *+ + + =

    ( ) 3 3sin x cos x cos x sin x* sin x cos x 2 sin x cos

    sin x cos x

    + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x

    ( ) ( )2 2sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x⇔ + + =

    sin x cos x 0

    1 sin2x 2sin2x

    + ≥⎧⇔ ⎨ + =⎩

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪+ ≥⎧ ⎪ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨= π⎩ ⎪ = + π ∈⎪⎩

    sin x 0sin x cos x 0 4

    sin 2x 1

    x k , k

    4

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π⎪ + = + π ∈⎪⎩

    sin x 0

    4

    x k , k

    4 2

    ⎧ π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π π π⎪ + = + π + = + π ∈⎪⎩

    sin x 0

    4

    3x h2 hay x h2 , h

    4 2 4 2

    π⇔ = + π ∈ x h2 , h

    4

    Bài 146 : Giải phương trình ( )cos2x 1 sin2x 2 sin x cos x *+ + = +

    Điều kiện cos2x 0và sin x 0

    4

    π⎛ ⎞≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥

    Lúc đó : ( ) ( )22 2* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔ − + + = +

    ( ) ( )2 22 2cos x sin x cos x sin x 2 cos2x cos x sin x⇔ − + + + +

    ( )4 sin x cos x= +

    ( ) ( ) ( )cos x cos x sin x sin x cos x cos2x 2 sin x cos x⇔ + + + = +

    sin x cos x 0

    cos x cos2x 2

    + =⎡⇔ ⎢ + =⎣

    ( )

    tgx 1

    cos2x 2 cos x * *

    = −⎡⇔ ⎢ = −⎢⎣

    2

    tgx 1

    cos2x 4 4cos x cos x

    = −⎡⇔ ⎢ = − +⎣

    2tgx 1 cos x 4cosx 5 0⇔ = − ∨ + − =

    ( )tgx 1 cos x 1 cos x 5 loại⇔ = − ∨ = ∨ = −

    π⇔ = − + π ∨ = π ∈ x k x k2 , k

    4

    Thử lại : ( )π π⎛ ⎞• = − + π = − =⎜ ⎟⎝ ⎠x k thì cos2x cos 0 nhận4 2

    Và ( )sin x sin k 0 nhận

    4

    π⎛ ⎞+ = π =⎜ ⎟⎝ ⎠

    ( )• = π =x k2 thì cos 2x 1 nhận

    và ( )cos x cos 0 nhận

    4 4

    Do đó (*) π⇔ = − + π ∨ = π ∈ x k x k2 , k

    4

    Chú ý : Tại (**) có thể dùng phương trình lượng giác không mực

    ( ) cos x cos2x 2* *

    sin x cos x 0

    ⎧ + =⎪⇔ ⎨ + ≥⎪⎩

    2

    cos x 1

    cos2x 2cos x 1 1

    sin x cos x 0

    =⎧⎪⇔ = −⎨⎪ + ≥⎩

    =

    π ∈

    =⎧⇔ ⇔ =⎨ + ≥⎩

    cos x 1

    x 2k , k

    sin x cos x 0

    Cách khác

    ( ) ( )22 2* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔ − + + = +

    ( )⇔ + − + + = +2(cos x sin x).(cos x sin x ) cos x sin x 2 cos x sin x

    ( )

    cos x sin x 0

    cos x sin x 0 hay

    cos x sin x cos x sin x 2

    cos x sin x 0

    tgx 1 hay

    2cos x 2 cos 2x 4

    cos x sin x 0

    tgx 1 hay

    cos x cos 2x 2

    =⎧π⇔ = − + π ∈ ⎨ =⎩

    cos x 1

    x k , k hay

    cos 2x 14

    π⇔ = − + πx k hay = π ∈

    4

    x 2k , k

    BÀI TẬP

    1. Giải phương trình :

    a/ 1 sin x cosx 0+ + =

    b/

    2

    2

    4xcos cos x

    3 0

    1 tg x

    =−

    c/ sin x 3 cos x 2 cos2x 3 sin 2x+ = + +

    d/ 2sin x 2sin x 2 2sin x 1− + = −

    e/ = −−

    3tgx2 3sin x 3

    2 sin x 1

    f/

    2 4sin 2x cos 2x 1 0

    sin cos x

    + − =

    g/ + − + =28 cos 4x cos 2x 1 cos 3x 1 0

    h/ 2sin x sin x sin x cosx 1+ + + =

    k/ 25 3sin x 4 cos x 1 2cos x− − = −

    l/ 2cos2x cos x 1 tgx= +

    2. Cho phương trình :

    ( )1 sin x 1 sin x mcos x 1+ + − =

    a/ Giải phương trình khi m = 2

    b/ Giải và biện luận theo m phương trình (1)

    3. Cho f(x) = 3cos62x + sin42x + cos4x – m

    a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 0

    b/ Cho ( ) 2 2g x 2cos 2x 3cos 2x 1= + . Tìm tất cả các giá trị m để phương

    trình f(x) = g(x) có nghiệm.

    ( )ĐS : 1 m 0≤ ≤

    4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

    1 2cosx 1 2sin x m+ + + =

    ( )ĐS : 1 3 m 2 1 2+ ≤ ≤ +

    B) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI

    Cách giải : 1/ Mở giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa

    2/ Áp dụng

    A B A• = ⇔ = ±B

    ≥≥ ≥⎧⎧ ⎧• = ⇔ ⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨ <⎧= ± ==⎩ ⎩⎩ 2 2

    B 0B 0 A 0 A 0

    A B = −⎩A B A BA B A B

    Bài 147 : Giải phương trình ( )cos3x 1 3 sin3x *= −

    ( )

    2 2

    1 3 sin3x 0

    *

    cos 3x 1 2 3 sin3x 3sin 3x

    ⎧ − ≥⎪⇔ ⎨ = − +⎪⎩

    ⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − = − +⎩ 2 2

    1sin 3x

    3

    1 sin 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x

    ⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − =⎩ 2

    1sin 3x

    3

    4 sin 3x 2 3 sin 3x 0

    ⎧ ≤⎪⎪⇔ ⎨⎪ = ∨ =⎪⎩

    1sin 3x

    3

    3sin 3x 0 sin 3x

    2

    ⇔ =

    π⇔ = ∈

    sin 3x 0

    kx , k

    3

    Bài 148 : Giải phương trình ( )3sin x 2 cos x 2 0 *+ − =

    ( )* 2 cos x 2 3sin⇔ = − x

    2 2

    2 3sin x 0

    4cos x 4 12sin x 9sin x

    − ≥⎧⇔ ⎨ = − +⎩

    ( )

    ⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − = − +⎩ 2 2

    2sin x

    3

    4 1 sin x 4 12sin x 9sin x

    ⎧ ≤⎪⇔ ⎨⎪ − =⎩ 2

    2sin x

    3

    13sin x 12sin x 0

    ⎧ ≤⎪⎪⇔ ⎨⎪ = ∨ =⎪⎩

    2sin x

    3

    12sin x 0 sin x

    13

    ⇔ =

    ⇔ = π ∈

    sin x 0

    x k , k

    Bài 149 : Giải phương trình ( )sin x cos x sin x cos x 1 *+ + =

    Đặt t sin x cos x 2 sin x

    4

    π⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

    Với điều kiện : 0 t 2≤ ≤

    Thì 2t 1 2sin xcos= + x

    Do đó (*) thành :

    2t 1 t 1

    2

    − + =

    ( )

    2t 2t 3 0

    t 1 t 3 loại

    ⇔ + − =

    ⇔ = ∨ = −

    Vậy ( ) ⇔* 21 1 2sin xcos= + x

    ⇔ =

    π⇔ = ∈

    sin 2x 0

    kx , k

    2

    Bài 150 : Giải phương trình ( )sin x cos x 2sin 2x 1 *− + =

    Đặt ( )t sin x cos x điều kiện 0 t 2= − ≤ ≤

    Thì 2t 1 sin2= − x

    ( ) ( )2* thành: t 2 1 t 1+ − =

    ( )

    22t t 1 0

    1t 1 t loại dođiều kiện

    2

    ⇔ − − =

    ⇔ = ∨ = −

    khi t = 1 thì 21 1 sin2= − x

    ⇔ =

    π⇔ = ∈

    sin 2x 0

    kx , k

    2

    Bài 151 : Giải phuơng trình ( )4 4sin x cos x sin x cos x *− = +

    ( ) ( ) ( )2 2 2 2* sin x cos x sin x cos x sin x cos x⇔ + − = +

    cos2x sin x cos x⇔ − = +

    2

    cos2x 0

    cos 2x 1 2 sin x cos x

    − ≥⎧⎪⇔ ⎨ = +⎪⎩

    2

    cos2x 0

    1 sin 2x 1 sin2x

    ≤⎧⎪⇔ ⎨ − = +⎪⎩

    2

    cos2x 0

    sin2x sin 2x

    ≤⎧⎪⇔ ⎨ = −⎪⎩

    cos2x 0

    sin2x 0

    ≤⎧⇔ ⎨ =⎩

    2

    cos2x 0

    cos2x 1

    cos 2x 1

    ≤⎧⇔ ⇔⎨ =⎩

    = −

    π⇔ = + π ∈ x k , k

    2

    Bài 152 : Giải phương trình ( )23 sin2x 2cos x 2 2 2cos2x *− = +

    Ta có : ( ) ( )2 2* 2 3 sin x cos x 2cos x 2 2 2 2cos x 1⇔ − = + −

    3 1cos x sin x cos x cos x

    2 2

    ⎛ ⎞⇔ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

    =

    cos chúng tôi x cos x

    6

    π⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

    cos x 0 cos x 0

    cos x 0

    sin x 1 sin x 1

    6 6

    > <⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ∨ ∨π π⎨ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩ = −

    > <⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ∨ ∨π π π π⎨ ⎨− = + π ∈ − = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

    cos x 0 cos x 0

    cos x 0

    x k2 , k x k2 , k

    6 2 6 2

    > <⎧ ⎧π ⎪ ⎪⇔ = + π ∈ ∨ ∨π π⎨ ⎨= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩

    cos x 0 cos x 0

    x k , k 22 x k2 , k x k2 , k

    3 3

    π⇔ = + π ∈ x k , k

    2

    Bài 153 : Tìm các nghiệm trên ( )0,2π của phương trình :

    ( )sin3x sin x sin2x cos2x *

    1 cos2x

    − = +−

    Ta có : ( ) 2cos2xsin x* 2 co

    42 sin x

    s 2x π⎛ ⎞⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠−

    Điều kiện : sin x 0 x k≠ ⇔ ≠ π

    ( )* 2 cos2x 2 cos 2x

    4

    π⎛ ⎞⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠−

    ( )

    π⎛ ⎞⇔ = ± − + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

    π⇔ = + π ∈

    π π⇔ = + ∈

    π π∈ π = =

    2x 2x k2 , k

    4

    4x k2 , k

    4

    kx , k

    16 2

    9Do x 0, nên x hay x

    16 16

    Khi ( )x ,2∈ π π thì sinx < 0 nên :

    ( )

    ( )

    ( )

    π⎛ ⎞⇔ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

    π⎛ ⎞⇔ π − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

    π⇔ − = ± π − + π ∈

    π⇔ = + π ∈

    π π⇔ = + ∈

    * cos 2x cos 2x

    4

    cos 2x cos 2x

    4

    2x 2x k2 , k

    4

    54x k2 , k

    4

    5 kx , k

    16 2

    Do ( )x ,2∈ π π π π= ∨ = •21 29nên x x

    16 16

    Bài 154 Cho phương trình : 6 6sin x cos x a sin 2x (*)+ =

    Tìm a sao cho phương trình có nghiệm.

    Ta có :

    ( ) ( )

    ( )

    + = + − +

    = + −

    = −

    6 6 2 2 4 2 2 4

    22 2 2 2

    2

    sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x

    sin x cos x 3sin x cos x

    31 sin 2x

    4

    Đặt t = sin 2x điều kiện 0 t 1≤ ≤

    thì (*) thành : ( )− =231 t at * *

    4

    1 3 t a

    t 4

    ⇔ − = (do t = 0 thì (**) vô nghiệm)

    Xét ( ]= − =1 3y t trên D

    t 4

    0,1

    thì 2

    1 3y ‘ 0

    t 4

    = − − <

    Do đó : (*) có nghiệm 1a

    4

    ⇔ ≥ •

    Bài 155 Cho phương trình ( )= +2cos 2x m cos x 1 tgx *

    Tìm m để phương trình có nghiệm trên 0,

    3

    π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

    Đặt t = tgx thì

    Vậy : (*) thành: ( )21 t m 1 t * *− = + (chia 2 vế cho ) 2cos 0≠

    Khi 0 x

    3

    π≤ ≤ thì t 0, 3⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦

    Vậy (**)

    ( ) ( ) ( )2 1 t 1 t1 tm 1

    1 t 1 t

    − +−⇔ = = = − ++ + t 1 t

    Xét ( )y 1 t 1 t trên 0, 3⎡ ⎤= − + ⎣ ⎦

    Ta có

    ( ) ( ) ( )− − + + −= − + + =+ +

    − − ⎡ ⎤⇔ = < ∀ ∈ ⎣ ⎦+

    1 t 2 1 t 1 t

    y ‘ 1 t

    2 1 t 2 1 t

    3t 1y ‘ 0 t 0, 3

    2 1 t

    Do đó : (*) có nghiệm trên 0,

    3

    π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )1 3 1 3 m 1⇔ − + ≤ ≤ •

    BÀI TẬP

    1. Giải các phương trình

    2

    2

    a/ sin x cox 1 4sin2x

    b/ 4sin x 3 cos x 3

    1c/ tgx cot gx

    cos x

    1 1 1 1 3cosd/ 2 2

    sin x 1 cos x 1 cos x sin x

    1e/ cot gx tgx

    sin x

    f/ 2cos x sin x 1

    1 cos x 1 cos xg/ 4sin x

    cos x

    1 cos2x 1h/ 2 cos x

    sin x 2

    m/ cos2x 1

    − = −

    + =

    = +

    ⎛ ⎞++ − = − ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠

    = +

    − =

    + + − =

    − ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

    + +

    x

    3 3

    2

    sin x cos xsin2x

    2

    n/ cos x sin3x 0

    1r/ cot gx tgx

    sin x

    s/ cos x 2sin2x cos3x 1 2sin x cos2x

    tg x 1o/ tgx 1

    tgx 1 tgx 1

    p/ sin x cos x sin x cos x 2

    +=

    + =

    = +

    + − = + −

    = + +− −

    − + + =

    2. sin x cos x a sin 2x 1+ + =

    Tìm tham số a dương sao cho phương trình có nghiệm

    3. Cho phương trình: sin x cos x 4sin 2x m− + =

    a/ Giải phương trình khi m = 0

    b/ Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS 652 4 m

    16

    − ≤ ≤ )

    Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi ĐH Vĩnh Viễn)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Bài Tập Vận Dụng
  • Chuyên Đề: Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • Các Bài Toán Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích.
  • Kmno4 + Hcl = Kcl + Mncl2 + Cl2 + H2O
  • Kmno4 = O2 + Mno2 + K2Mno4
  • Trắc Nghiệm Lượng Giác Có Đáp Án

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác (Đầy Đủ)
  • Giải Toán Lớp 10 Bài 1: Mệnh Đề
  • Dạy Học Sinh Dạng Toán Có Lời Văn Ở Lớp 1
  • Hướng Dẫn Giải Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • 5 Bước Giải Bài Toán Có Lời Văn Lớp 1
  • CHỦ ĐỀ 1:

    HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

    BÀI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

    A. LÝ THUYẾT

    1. Giá trị lượng giác của cung .

    Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung có sđ :

    /

    Hình 1.1

    Gọi với tung độ của là , hoành độ là thì ta có:

    Các giá trị , , , được gọi là các giá trị lượng giác của cung .Các hệ quả cần nắm vững

    Các giá trị ; xác định với mọi . Và ta có:

    ;

    xác định với mọi .

    xác định với mọi .

    Dấu của các giá trị lượng giác của cung phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung trên đường tròn lượng giác (hình 1.2).

    /

    Hình 1.2

    Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau

    Góc phần tư

    Giá trị lượng giác

    I

    II

    III

    IV

    Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác

    /

    2. Công thức lượng giác

    Công thức cơ bản Cung đối nhau

    Công thức cộng Cung bù nhau

    Công thức đặc biệt

    Góc nhân đôi Góc chia đôi

    Góc nhân ba Góc chia ba

    STUDY TIP

    Ở đây từ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba ta có thể suy ra công thức góc chia đôi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức.

    Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích

    3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

    0

    0

    0

    1

    Không xác định

    0

    STUDY TIP

    Từ bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt ở bên ta thấy một quy luật như sau để độc giả có thể nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

    Các giá trị ở tử số tăng dần từ đến . Ngược lại đối với giá trị , tử số giảm dần từ về .

    BÀI:HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

    A. LÝ THUYẾT

    1. Hàm số và hàm số .

    Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với của góc lượng giác có số đo rađian bằng được gọi là hàm số , kí hiệu là .

    Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với của góc lượng giác có số đo rađian bằng được gọi là hàm số , kí hiệu là .

    Tập xác định của các hàm số là .

    Hàm số

    Nhận xét:Hàm số là hàm số lẻ do hà số có tập xác định là đối xứng và

    Hàm số tuần hoàn với chu kì .

    Sự biến thiên:

    Sự biến thiên của hàm số trên đoạn được biểu thị trong sơ đồ (hình 1.4) phía dưới:

    /

    Bảng biến thiên:

    Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn như sau:

    /

    STUTY TIP

    Khái niệm:

    Hàm số xác định trên gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số sao cho với mọi thuộc ta có .

    Số dương nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kì của hàm tuần hoàn.

    Đồ thị hàm số:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề : Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
  • Bài 6: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình (Tiếp Theo)
  • Giải Bài 35,36,37,38,39,40 Trang 19,20 Sgk Toán 6 Tập 1: Phép Cộng Và Phép Nhân
  • Đáp Án Lưu Hoằng Trí Lớp 9
  • Giúp Học Sinh Học Tốt Môn Toán Lớp 2 Sang Kien Kinh Nghiem Giup Hoc Sinh Hoc Tot Mon Toan Doc
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100