Giải Sbt Toán 12 Bài 1: Số Phức. Biểu Diễn Hình Học Số Phức

--- Bài mới hơn ---

  • Giải Sbt Toán 12 Bài 1: Hệ Tọa Độ Trong Không Gian
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 5: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Logarit
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Giải Sbt Toán 12 Bài Tập Ôn Tập Cuối Năm
  • Giải Sbt Toán 12 Ôn Tập Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 1: Số phức. Biểu diễn hình học số phức, chắc chắn nội dung tài liệu sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn môn Toán.

    Giải SBT Toán 12 bài 1

    Câu 4.1 trang 202 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Tìm các số thực x, y thỏa mãn:

    a) 2x + 1 + (1 – 2y)i = 2 – x + (3y – 2)i

    b) 4x + 3 + (3y – 2)i = y +1 + (x – 3)i

    c) x + 2y + (2x – y)i = 2x + y + (x + 2y)i

    Hướng dẫn làm bài

    a) x=1/3,y=3/5

    b) x=−7/11,y=−6/11

    c) x = y = 0

    Câu 4.2 trang 202 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Cho hai số phức α=a+bi,β=c+di. Hãy tìm điều kiện của a, b, c , d để các điểm biểu diễn αα và ββ trên mặt phẳng tọa độ:

    a) Đối xứng với nhau qua trục Ox;

    b) Đối xứng với nhau qua trục Oy;

    c) Đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba;

    d) Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

    Hướng dẫn làm bài

    a) a = c, b = – d

    b) a = – c, b = d

    c) a = d, b = c

    d) a = – c, b = – d

    Câu 4.3 trang 203 sách bài tập (SBT) – Giải tích

    Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

    a) Phần thực của z bằng phần ảo của nó;

    b) Phần thực của z là số đối của phần ảo của nó;

    c) Phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó cộng với 1;

    d) Modun của z bằng 1, phần thực của z không âm.

    Hướng dẫn làm bài

    a) Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và góc pần tư thứ ba.

    b) Đường phân giác của góc phần tư thứ hai và góc phần tư thứ tư.

    c) Đường thẳng y = 2x + 1

    d) Nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm bên phải trục Oy.

    Câu 4.4 trang 203 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 87 và hình 88?

    Hướng dẫn làm bài

    a) Phần thực của z thuộc đoạn trên trục Oy.

    a) Phần thực của z không vượt quá phần ảo của nó;

    b) Phần ảo của z lớn hơn 1;

    c) Phần ảo của z nhỏ hơn 1, phần thực của z lớn hơn 1.

    Hướng dẫn làm bài

    Câu 4.6 trang 203 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Tìm số phức z, biết:

    c) z=z

    d) z=−z

    Hướng dẫn làm bài

    a) z=±2i

    b) z=±(2√5+i√5)

    d) z là một số thuần ảo.

    Câu 4.7 trang 203 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Có thể nói gì về các điểm biểu diễn hai số phức z 1 và z 2, biết:

    Hướng dẫn làm bài

    a) Các điểm biểu diễn z 1 và z 2 cùng nằm trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ O.

    b) Các điểm biểu diễn z 1 và z 2 đối xứng với nhau qua trục Ox.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Sbt Toán 12 Bài 1: Nguyên Hàm
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 4: Hàm Số Mũ. Hàm Số Logarit
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng
  • Giải Bài Tập Sbt Toán 12 Bài 3
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 3: Ứng Dụng Hình Học Của Tích Phân
  • Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức

    --- Bài mới hơn ---

  • Nâng Cao Toán Lớp 8
  • Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa
  • Xem Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa
  • Phản Ứng Oxi Hoá Khử, Cách Lập Phương Trình Hoá Học Và Bài Tập
  • Phản Ứng Oxi Hóa Khử Là Gì? Ví Dụ Phương Trình Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Giải phương trình bậc 2 số phức

    A. Phương pháp giải & Ví dụ

    – Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

    Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0( a;b;c ∈ R;a ≠ 0).

    Xét Δ = b 2 – 4ac, ta có

    + Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x = .

    + Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:

    + Chú ý.

    Mọi phương trình bậc n: luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

    Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0( a; b;c ∈ R;a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x 1;x 2 (thực hoặc phức).

    – Phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

    Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

    – Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

    + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.

    + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x= -1.

    – Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

    Ví dụ minh họa

    – Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

    Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

    – Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.

    – Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

    – Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.

    – Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

    Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z 2 – z + 1 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có a = 1 ; b = -1 ; c = 1 nên Δ = b 2 – 4ac = -3 < 0

    Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là

    Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 + √5 = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Chọn đáp án B

    Ví dụ 3:Trong C , nghiệm của phương trình z 3 – 8 = 0 là :

    Hướng dẫn:

    Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:

    Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

    Ví dụ 4:Trong C , phương trình z 2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :

    Phương trình có hai nghiệm phức là:

    Chọn đáp án A.

    Ví dụ 5: Cho z = 1 – i. Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z:

    Hướng dẫn:

    Chọn đáp án A.

    Ví dụ 6: Trong C , phương trình (z 2 + i)(z 2– 2iz – 1) = 0 có nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Chọn đáp án A.

    Ví dụ 7:Trong C , phương trình có nghiệm là:

    (1 ± √3)i B. (5 ± √2)i C. (1 ± √2)i D.(2 ± √(5)i)

    Hướng dẫn:

    Chọn đáp án A.

    B. Bài tập vận dụng

    Câu 1:Trong C, phương trình 2x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm là:

    Đáp án : A Giải thích :

    Câu 2:Trong C , phương trình z 2 – z + 1 = 0 có nghiệm là:

    Đáp án : D Giải thích :

    Δ = b 2 – 4ac = -3 < 0

    Câu 3:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 = -5 + 12i là:

    Đáp án : A Giải thích :

    Do đó phương trình có hai nghiệm là

    Câu 4: Trong C , phương trình z 4-6z 2 + 25 = 0 có nghiệm là:

    Đáp án : D Giải thích :

    Đáp án : D Giải thích :

    Câu 6: Phương trình z 2 + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1 + 2i. Tổng 2 số a và b bằng:

    A. 0 B. C. 3 D. -1

    A. 5 B. 6 C. 4 D. 7

    Đáp án : B Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    A.-7 B. – 8 C.-4 D. 8

    Đáp án : D Giải thích :

    Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z 2 – 6z + 13 = 0. Tính

    A. √17 và 4 B. √17 và 5 C. √17 và 3 D. √17 và 2

    Đáp án : B Giải thích :

    A.5 B.√13 C. 2√13 D. √20

    Đáp án : D Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    A. 3 B. 2 C. 4 D. 1

    Đáp án : C Giải thích :

    Ta có:

    Câu 12: Cho phương trình z 2 + mz – 6i = 0. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m = +(a + bi) (a,b ∈ R) có dạng . Giá trị a+2b là:

    A. 0 B. 1 C. -2 D. -1

    Đáp án : D Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    Câu 13:Gọi z 1;z 2;z 3;z 4 là các nghiệm phức của phương trình Giá trị của là :

    Đáp án : B Giải thích :

    Với mọi , ta có:

    Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Đề Tài:phương Pháp Giải Pt Nghiệm Nguyên
  • 9 Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Giải 9 Bài Pt Mũ & Log Bằng Ẩn Số Phụ
  • Số Phức Và Các Chuyên Đề Thptqg

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Bài 1,2,3,4, 5,6,7 Trang 45,46 Sgk Hình Học 10: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ
  • Bài Tập Về Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số
  • Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số
  • Đề Kiểm Tra 1 Tiết Giải Tích 12 Chương 1 Có Đáp Án (Ma Trận Đề Thi) Lần 2
  • Giải Bài Tập Sgk Giải Tích 12 Nâng Cao Chương 1
  • MỤC LỤC

    I – LÝ THUYẾT CHUNG 3

    II – CÁC DẠNG BÀI TẬP 5

    DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 5

    A – CÁC VÍ DỤ 5

    B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 6

    C – ĐÁP ÁN 13

    DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT 14

    A – CÁC VÍ DỤ 14

    B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 15

    C – ĐÁP ÁN 22

    DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 23

    A – CÁC VÍ DỤ 23

    B – BÀI TẬP 23

    C – ĐÁP ÁN 27

    DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT 28

    A – CÁC VÍ DỤ 28

    B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 30

    C – ĐÁP ÁN 30

    DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC 31

    A – CÁC VÍ DỤ 31

    B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 34

    C – ĐÁP ÁN 38

    DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TẬP HỢP ĐIỂM 39

    A – CÁC VÍ DỤ 39

    B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 41

    C – ĐÁP ÁN 48

    DẠNG 7: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 49

    A – CÁC VÍ DỤ 49

    B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 51

    C – ĐÁP ÁN 51

    I – LÝ THUYẾT CHUNG

    1. Khái niệm số phức

    ( Tập hợp số phức: C

    ( Số phức (dạng đại số) :

    (a, b, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = -1)

    ( z là số thực ( phần ảo của z bằng 0 (b = 0)

    z là thuần ảo ( phần thực của z bằng 0 (a = 0)

    Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

    ( Hai số phức bằng nhau:

    Chú ý:

    2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi trong mp(Oxy) (mp phức)

    3. Cộng và trừ số phức:

    ( (

    ( Số đối của z = a + bi là -z = -a – bi

    ( biểu diễn z, biểu diễn z` thì biểu diễn z + z’ và biểu diễn z – z’.

    4. Nhân hai số phức :

    (

    (

    5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là

    ( ;

    ( z là số thực ( ; z là số ảo (

    ( : (*) có hai nghiệm phân biệt , ( là 1 căn bậc hai của ()

    ( : (*) có 1 nghiệm kép:

    Chú ý: Nếu z0 ( C là một nghiệm của (*) thì cũng là một nghiệm của (*).

    10. Dạng lượng giác của số phức (dành cho chương trình nâng cao)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Những Bài Toán Giải Tích Chọn Lọc Tô Văn Ban
  • Pgs Nguyễn Xuân Thảo: Dạy Toán Bằng Cả Tâm Huyết Với Nghề
  • Ứng Dụng Tích Phân Tính Giới Hạn Của Dãy Số
  • Đề Thi Cuối Học Kỳ 3 Năm Học 2022
  • Đề Thi Cuối Học Kỳ Ii Năm Học 2022
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác

    --- Bài mới hơn ---

  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải Toán 10 Bài 2. Hàm Số Y = Ax + B
  • Cđ Pt Đt Y = Ax + B Chuyen De Viet Phuong Trinh Duong Thang Yax B Doc
  • Trên Tập Số Phức, Phương Trình: (Z^4+4=0) Có Bao Nhiêu Nghiệm?
  • Giải Phương Trình 6 Ẩn
  • Trong các kí thì chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giác này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí do mà các em học sinh thường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều công thức biến đổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình đã cho. Trong chuyên đề này tôi xin trao đổi một chút kinh nghiệm nho nhỏ với các em học sinh đang học lớp 11,12 và những em đang ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH năm tới.

    Trước hết thì các bạn cần nắm được nh ữ ng phương trình lượng giác thường gặp. Trong những phương trình này tôi xin bàn với các bạn một chút về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos.

    Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậc hai mà trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao hơn. Minh chứng là đề thi khối B – 2008

    “Giải phương trình : ( ĐH Khối B – 2008 ).”

    Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi là đẳng cấp bậc k nếu .

    Từ đây ta có thể định nghĩa được phương trình đẳng cấp bậc k đối với phương trình chứa sin và cos là phương trình có dạng trong đó:

    Tuy nhiên ta xét phương trình : mới nhìn ta thấy đây không phải là phương trình đẳng cấp, những các bạn lưu ý là nên ta có thể viết lại phương trình đã cho như sau: , dễ thấy phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc 3. Do vậy với phương trình lượng giác thì ta có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp như sau:

    “Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.”

    Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình một hàm số là .

    Ví dụ: Giải các phương trình sau

    1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nêu trên

    2)

    Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì đã có phương pháp giải).

    Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta không ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực. Không riêng gì phương trình lượng giác không mẫu mực mà đối với mọi phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit.. để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi phương trình đã có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phương trình tích và đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác.

    Giải phương trình : (Trích đề thi ĐH Khối A – 2008 )

    Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện hai cung và cung . Các bạn lưu ý là ta luốn tính được giá trị đúng các giá trị lượng giác của các cung có dạng trong đó nên điều đầu tiên ta nghĩ tới là sử dụng công thức cộng để phá bỏ hai cung đó

    Ta có:

    Nên phương trình đã cho

    * Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho chúng ta ngoài cách đã nêu ở trên ta có thể làm theo cách khác như sau:

    .

    .

    * Ta thấy sau khi phá bỏ hai cung và cung thì trong phương trình chỉ còn lại một cung duy nhất nên ta dẽ biến đổi hơn. Điều này cũng hoàn toàn tự nhiên thôi phải không các bạn? Khi giải các bài toán toán học hay các bài toán trong cuộc sống đặc biệt là bài toán so sánh thì điều chúng ta cần làm là đưa về cùng một đơn vị hay là cùng một dạng. Chẳng hạn tôi xin nêu ví dụ đơn giản nhưng vô cùng thú vị mà tôi thường hỏi các em học sinh là 5 quả cam trừ 3 quả cam còn mấy quả ? và học sinh chỉ cười và trả lời ngay bằng hai quả. Thế tôi hỏi tiếp 5 quả cam trừ 3 quả táo bằng bao nhiêu? Lúc này trên khuôn mặt các em không còn những nụ cười nữa mà thay vào đó là một sự tò mò và cuối cùng thì các em trả lời là không trừ được, dĩ nhiên câu hỏi tiếp theo là vì sao? Các em trả lời là vì không cùng một loại!

    Chắc các em hiểu tôi muốn nói điều gì rồi chứ ?

    Vậy nguyên tắc thứ nhất tôi xin đưa ra cho các bạn là:

    Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối D – 2006 ).

    Lời giải:

    Vận dụng nguyên tắc trên ta sẽ chuyển hai cung và về cung

    Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta có:

    Đặt .

    Ta có:

    Từ đây các bạn tìm được

    Chú ý : * Trong SGK không đưa ra công thức nhân ba tuy nhiên các em cũng nên biết công thức này nếu trong lúc khó khăn có thể mang ra sử dụng vì chứng minh nó không mấy khó khăn

    * Cách giải trên không phải là cách giải duy nhất và cũng không phải là cách giải hay nhất nhưng cách giải đó theo tôi nó tự nhiên và các bạn dẽ tìm ra lời giải nhất. Cách giải ngắn gọn và đẹp nhất đối với phương trình trên là ta biến đổi về phương trình tích như sau

    PT Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 Chú ý Ví dụ 5 Biến đổi tích thành tổng và ngược lại Ví dụ 7 Ví dụ 8 Ví dụ 9 Ví dụ 10 [/B]: Giải phương trình ( ĐH Khối D – 2003 ).

    Phương trình

    Trên là một số nguyên tắc chung thường được sự dụng trong các phép biến đổi phương trình lượng giác. Mục đích của các phép biến đổi đó là nhằm :

    1. Đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là đưa về phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác).

    Ví dụ 1: Giải phương trình : ( ĐH Công Đoàn – 2000).

    Phương trình . Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho (do ), ta được phương trình :

    thỏa điều kiện .

    Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về của phương trình cho hoặc sử dụng công thức và chuyển phương trình ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên.

    ( Ví dụ 2: Giải phương trình : ĐH Khối B – 2003 ).

    Phương trình

    (do )

    .

    Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: và .

    ( Ví dụ 3: Giải phương trình : HVBCVT TPHCM – 2001 ).

    Nên phương trình

    Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức

    .

    .

    Ví dụ 4: Giải phương trình: ( ĐH Khối D – 2005 ).

    Nên phương trình .

    .

    : Tức là ta biến đổi phương trình 2. Đưa phương trình về phương trình dạng tích về dạng

    . Khi đó việc giải phương trình ban đầu được quy về giải hai phương trình : .

    Trong mục đích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung.

    * Các biểu thức ; ; ; nên chúng có thừa số chung là .

    * Các biểu thức có thừa số chung là .

    * có thừa số chung . Tương tự có thừa số chung .

    Giải phương trình: Ví dụ 1: ( ĐH Khối B – 2005 ).

    Phương trình

    .

    .

    Ngoài cách biến đổi trên, ta có thể biến đổi cách khác như sau

    Phương trình

    Mặc dù hai cách biến đổi trên khác nhau nhưng chúng đều dựa trên nguyên tắc “ . đưa về một cung”.

    Giải phương trình: Ví dụ 2: ( Dự bị Khối D – 2003 ).

    Phương trình

    .

    Phương trình

    .

    Giải:

    Phương trình

    ( Lưu ý : ).

    Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý là có ba công thức để thay nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Trắc Nghiệm Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức

    --- Bài mới hơn ---

  • Chương Iii. §4. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Giáo Án Đại Số 10 Tiết 31: Luyện Tập Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai (Tiếp)
  • Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Một Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Và Bậc Hai (Nâng Cao)
  • Luận Văn Từ Bái Toán Giải Phương Trình Tới Bài Toán Quỹ Tích
  • Trắc nghiệm giải phương trình bậc 2 số phức

    A. z = -3 + 4i B. z = -2 + 4i

    C. z = -4 + 4i D. z = -5 + 4i

    Thay vào phương trình:

    Câu 2:Hai giá trị x 1 = a + bi ; x 2 = a – bi là hai nghiệm của phương trình nào :

    Đáp án : C Giải thích :

    Áp dụng định lý đảo Viet :

    Câu 3: Trong C , nghiệm của phương trình z 2 + 4z + 5 = 0 là:

    Câu 4:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 – 2z + 1 – 2i = 0 là

    Câu 5:Trong C , phương trình z 3 + 1 = 0 có nghiệm là:

    Câu 6: Trong C , phương trình z 4 – 1 = 0 có nghiệm là:

    A ±1;±2i B. ±2;±2i C. ±3; ±4i D. ±1;±i

    Câu 7:Phương trình z 3 = 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

    Đáp án : A Giải thích :

    Câu 8: Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z 2 + 2z + 2 = 0

    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

    Câu 9: Trong C , phương trình z 4 + 4 = 0 có nghiệm là:

    Câu 10:Tập nghiệm trong C của phương trình z 3 + z 2 + z + 1 = 0 là:

    A. {-i ; i ; 1 ; -1} B. {-i ; i ; 1 } C. {-i ; -1} D . {-i ; i ; -1}

    Câu 11:Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

    Đáp án : B Giải thích :

    Áp dụng định lý Viet, ta có: .

    Câu 12: Phương trình (2 + i) z 2 + az + b = 0 có hai nghiệm là 3 + i và 1 – 2i. Khi đó a = ?

    A. -9 – 2i B. 15 + 5i C. 9 + 2i D. 15 – 5i

    Đáp án : A Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    Câu 13:Giá trị của các số thực b, c để phương trình z 2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm là:

    Đáp án : C Giải thích :

    A. -7 B. 8 C. 15 D. 22

    Câu 15:Trên tập số phức, cho phương trình sau: (z + i) 4 + 4z 2 = 0 . Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau?

    1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực R .

    2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức C .

    3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực.

    4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức.

    5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức.

    6. Phương trình có hai nghiệm là số thực

    A. 0 B. 1 C. 3 D. 2

    Đáp án : D Giải thích :

    Câu 16:Giả sử z 1;z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 – 2z + 5 = 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z 1;z 2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

    A.I(1;1) B.I(-1;0) C. I(0;1) D.I(1;0)

    Câu 17:Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z 2 + mz + i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng -4i là:

    A.±(1-i) B.1-i C.±(1+i) D. -1-i

    Đáp án : A Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    Câu 18:Cho phương trình z 2 – mz + 2m – 1 = 0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm z 1;z 2 thỏa mãn z 12 + z 22 = 10 là:

    A. m = 2 ± 2√2i B. m = 2 + 2√2i C. m = 2 – 2√2i D. m = -2 – 2√2i

    Đáp án : A Giải thích :

    Theo Viet, ta có:

    Câu 19: Gọi z 1;z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 2z + 8 = 0, trong đó z 1 có phần ảo dương. Giá trị của số phức là:

    A. 12 + 6i B. 10 C. 8 D. 12 – 6i

    Câu 21:Phương trình x 4 + 2x 2 – 24x + 72 = 0 trên tập số phức có các nghiệm là:

    Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Phương Pháp Cộng Đại Số
  • Cách Giải Phương Trình Trùng Phương, Phương Trình Tích
  • Đề Tài Giải Phương Trình Có Chứa Dấu Căn Bậc Hai
  • Oxi Hóa Ancol Là Gì? Phương Trình Oxi Hóa Ancol Và Các Dạng Bài Tập
  • Bài Tập Cân Bằng Phương Trình Phản Ứng Oxi Hóa Khử
  • Số Phức Toán Lớp 12 Bài 1 Giải Bài Tập

    --- Bài mới hơn ---

  • Lý Thuyết & Giải Bài Tập Sgk Bài 1: Tứ Giác
  • Giải Bài Tập Trang 18 Sgk Toán 5: Ôn Tập Về Giải Toán
  • Giải Bài Tập Trang 44, 45 Sgk Toán Lớp 6 Tập 1: Ước Và Bội
  • Giải Bài 83,84,85, 86,87,88, 89,90 Trang 36 Sgk Toán 6 Tập 1: Tính Chất Chia Hết Của Một Tổng
  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 3 Trang 36 Câu 1, 2, 3 Tập 1 Đúng Nhất Baocongai.com
  • Số phức toán lớp 12 bài 1 giải bài tập được soạn và biên tập bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm giảng dạy môn toán. Đảm bảo chính xác dễ hiểu giúp các em nắm chắc kiến thức trọng tâm trong bài số phức lớp 12 và hướng dẫn giải các dạng bài tập số phức để các em hiểu rõ hơn.

    Bài 1. Số phức thuộc: Chương 4: Số phức

    I. Lý thuyết về số phức

    1. Phần thực và phần ảo của số phức, số phức liên hợp.

    a) Số phức z là biểu thức có dạng z = a + bi (a, b ∈ R, i 2 = -1) . Khi đó:

    + Phần thực của z là a, phần ảo của z là b và i được gọi là đơn vị ảo.

    + Tổng và tích của z và z− luôn là một số thực.

    Đặc biệt:

    + Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là z = a

    + Số phức z = 0 + bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (hay số thần ảo) và viết là

    + Số: 0 = 0 + 0 i vừa là số thực vừa là số ảo.

    2. Số phức bằng nhau.

    3. Biểu diễn hình học của số phức, mô đun của số phức.

    a) Biễu diễn hình học của số phức.

    + Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mặt phẳng tọa độ.

    + z và z− được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục 0x.

    b) Mô đun của số phức.

    II. Hướng dẫn giải bài tập sgk số phức lớp 12 bài 1

    Bài 1 trang 133 SGK Giải tích 12:

    Tính phần thực phần ảo của số phức x, biết:

    a) z = 1 – πi

    b) z = √2 – i

    c) z = 2 √2

    d) z = -7i

    Lời giải:

    a) Phần thực: 1, phần ảo: -π

    b) Phần thực: √2, phần ảo: -1

    c) Phần thực: 2 √2, phần ảo: 0

    d) Phần thực: 0, phần ảo: -7

    Bài 2 trang 133 SGK Giải tích 12:

    Tìm các số thực x và y, biết:

    a) (3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i

    b) (1 – 2x) – i√3 = √5 + (1 – 3y)i

    c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i

    Lời giải:

    a) (3x – 2) + (2y – 1).i = (x + 1) – (y – 5).i

    Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

    a) Phần thực của z bẳng -2

    b) Phần ảo của z bẳng 3

    c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1;2)

    d) Phần ảo của z thuộc đoạn

    Lời giải:

    a) Tập hợp các điểm thuộc đường thẳng x = -2

    b) Tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y = 3

    c) Tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng nằm giữa hai đường thẳng song song x = -1 và x = 2 (hình có gạch sọc)

    d) Phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng song song y = 1 và y = 3( kể cả các điểm thuộc hai đường thẳng đó).

    e) Các điểm thuộc hình chữ nhật với các cạnh nằm trên các đường thằng x = -2, x = 2 , y = -2, y = 2.

    Bài 4 trang 134 SGK Giải tích 12:

    a) z = -2 + i √3

    b) z = √2- 3i

    c) z = -5

    d) z = i√3

    Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện:

    Lời giải:

    Gọi số phức z = x + y.i có điểm biểu diễn là M(x; y).

    Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 1.

    Vậy tập hợp điểm M là hình vành khăn tâm O, bán kính đường tròn nhỏ bằng 1,đường tròn lớn bằng 2, không kể các điểm thuộc đường tròn nhỏ.

    Kiến thức áp dụng

    + Số phức z = x + yi được biểu diễn bởi điểm M(x; y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

    Bài 6 trang 134 SGK Giải tích 12: Tìm z, biết:

    a) z = 1 – i√2

    b) z = -√2 + i√3

    c) z = 5

    d) z = 7i

    Xem Video bài học trên YouTube

    Là một giáo viên Dạy cấp 2 và 3 thích viết lạch và chia sẻ những cách giải bài tập hay và ngắn gọn nhất giúp các học sinh có thể tiếp thu kiến thức một cách nhanh nhất

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Tập Toán 12 Chương 4 Bài 1: Số Phức
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 1: Số Phức (Nâng Cao)
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 1 : Số Phức
  • Giải Toán 10 Bài 1. Phương Trình Đường Thẳng
  • Giải Bài Tập 2 Trang 30 Toán 12
  • Các Dạng Toán Về Số Phức, Cách Giải Và Bài Tập

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Toán Lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4 Trang 138 Sgk Giải Tích
  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Trang 9 Tập 1 Câu 1, 2, 3 Đúng Nhất Baocongai.com
  • Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 5 Tập 2 Trang 6 Câu 1, 2, 3, 4
  • Sách Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 4 Trang 6 Tập 1 Câu 1, 2, 3 Đúng Nhất Baocongai.com
  • Bài 1,2,3,4,5 Trang 6 Sgk Toán Lớp 6 Tập 1: Tập Hợp, Phần Tử Của Tập Hợp
  • ♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

    ♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

    ♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

    ♦ w = 0 có đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

    ♦ w≠ 0 có đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

    – Cho phương trình bậc 2 số phức có dạng: Az 2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức cho trước, A≠0).

    – Khi đó: Δ = B 2 – 4AC

    – Cho z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r'(cosφ’ + isinφ’)

    II. Các dạng toán về Số phức và cách giải

    – Chú ý: Khi tính toán các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng hay hiệu 2 số phức,…

    b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u 1 = 1, bội q = (1 + i) 2 = 2i. Ta có:

    ° Ví dụ 1: Tìm số phức z thoả mãn

    thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

    – Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

    ° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

    – Cách giải: Sử dụng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

    – Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a – bi

    ♦ Loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta sử dụng kết quả

    – Đẻ z là số thực âm ⇔ a < 0 và b = 0.

    – Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

    – Theo bài ra,

    – Với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

    – Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và song song với Ox, đó là đường thẳng y = -3.

    – Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

    * Phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

    – Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

    ° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z nếu w 2 = z hay (x + yi) 2 = a + bi.

    ♦ Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sạ:

    ° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

    – Là phương trình có dạng: az 2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức a≠0

    ° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

    – Gọi m=a+bi với a,b∈R.

    ⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

    ⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm z 1=1+i; z 2=-2-3i.

    ° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

    a) Đặt t = z 2, khi đó pt trở thành:

    b) Nhận thấy z=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt cho z 2 ta được:

    ° Công thức De – Moivre: Là công thức nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler.

    ° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z 2012

    a) Ta có:

    b) Ta có:

    c) Ta có:

    – Vì z=-1 không phải là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

    Cách 1: Áp dụng bất đăng thức tam giác, ta có:

    Cách 2: Đặt z=x+iy⇒ z-3+4i=(x-3)+(y+4)i

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Toán 10 Bài 1. Các Định Nghĩa
  • Bài Tập Căn Bậc 2 Lớp 9 Chọn Lọc
  • Giải Bài Tập Sgk Toán Lớp 11. Chương 2. Bài 1. Quy Tắc Đếm
  • Bài 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 11,12,13,14,15 Trang 50,51 Sgk Đại Số 10: Ôn Tập Chương 2
  • Giải Bài Tập Sgk Toán 9 Bài 1: Căn Bậc Hai
  • Cđ Một Số Dạng Pt Vô Tỷ Và Cách Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn
  • Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Published on

    1. 1. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc MỤC LỤC PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………………………………….. Trang 2 I/ Lí do chọn đề tài ………………………………………………………………………………………. Trang 2 II/ Mục đích nghiên cứu đề tài ………………………………………………………………………. Trang 2 III/ Phạm vi nghiên cứu – đối tượng nghiên cứu……………………………………………… Trang 3 IV/ Các phương pháp nghiên cứu và tiến hành ……………………………………………….. Trang 3 PHẦN II – NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI…………………………………………………………… Trang 3 I/ Cơ sở lý luận……………………………………………………………………………………………. Trang 3 II/ Cơ sở thực tiễn………………………………………………………………………………………… Trang 4 III/ Nội dung và phương pháp nghiên cứu…………………………………………………….. Trang 5 1. Khái niệm phương trình vô tỉ…………………………………………………………………….. Trang 5 2. Phương pháp chung………………………………………………………………………………….. Trang 5 3. Phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản………………………………………………… Trang 6 3.1) Phương pháp nâng lên luỹ thừa ……………………………………………………………. Trang 6 3.2) Phương pháp đưa về pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ……………………… Trang 13 3.3) Phương pháp đặt ẩn phụ ……………………………………………………………………… Trang 15 3.4) Phương pháp đưa về hệ phương trình……………………………………………………. Trang 20 3.5) Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức…………………………………………………….. Trang 25 3.6) Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất …………………………………………… Trang 28 3.7) Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp – Trục căn thức………………………… Trang 29 IV/ Kết quả…………………………………………………………………………………………………. Trang 31 PHẦN III. KẾT LUẬN………………………………………………………………………………… Trang 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………………………………. Trang 32 PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU. I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc nắm được các phương trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phương trình đó với những đối tượng là học sinh đại trà, ngoài ra mở rộng các phương trình đó ở dạng khó hơn, phức tạp hơn đối với đối tượng học sinh khá – giỏi. Thực trạng số lượng bài về phương trình vô tỷ trong SGK rất ít và là những bài đơn giản thường đưa về phương trình trị tuyệt đối hoặc bình phương mất căn đưa về Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 1
    2. 3. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc IV- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN HÀNH : 1. Phương pháp nghiên cứu: + Tham khảo thu thập tài liệu. + Phân tích, tổng kết kinh nghiệm. + Kiểm tra kết quả chất lượng học sinh. + Đưa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện. + Phương pháp điều tra, trắc nghiệm. + Ngoài ra tôi còn sử dụng một số phương pháp khác. 2. Phương pháp tiến hành: Thông qua các dạng phương trình vô tỉ cơ bản đưa ra phương pháp giải, hướng khắc phục những sai lầm thường gặp và đưa ra các dạng bài tập tự giải. PHẦN II- NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I- CƠ SỞ LÝ LUẬN: Như chúng ta biết Toán học là một môn khoa học công cụ, nó giữ một vai trò chủ đạo trong các nhà trường cũng như đối với các ngành khoa học khác. Toán học như một kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say, ham muốn khám phá và thấy được Toán học cũng thú vị, lãng mạn không kém những môn khoa học khác. Các bậc phụ huynh, các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn mơ ước học giỏi bộ môn Toán, tuy nhiên để đạt được điều đó thật chẳng dễ dàng gì. Hiện nay, trong các nhà trường đặc biệt là nhà trường THCS, ngoài việc dạy kiến thức cơ bản cho HS thì việc dạy cách học, cách nghiên cứu và phát triển kiến thức cho các em rất được chú trọng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ môn Toán, bản thân mỗi người giáo viên phải tự mình tìm ra những phương pháp giải sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và kích thích lòng ham muốn học Toán của các em, từ đó tìm ra được những học sinh có năng khiếu về bộ môn này, để có thể bồi dưỡng các em trở thành những học sinh giỏi, có ích cho xã hội. Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vôi tỉ. Phương trình vô tỉ là một đề tài lý thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỉ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi, học hỏi và phát triển tư duy. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 3
    3. 5. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 35 học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về giải phương trình vô tỉ như sau: Điểm dưới 5 Điểm 5 – 6 Điểm 7 – 8 Điểm 9 – 10 SL % SL % SL % SL % 18 51.4 12 34.3 4 11.4 1 2.9 Một trong những nguyên nhân dẫn tới những khó khăn trên của HS đó là các em chưa phân biệt được các dạng phương trình vô tỉ và phương pháp giải nó, việc tìm tòi, khám phá về phương trình vô tỉ cũng gặp rất nhiều khó khăn vì các tài liệu về phương trình vô tỉ cũng chưa nhiều. Để giúp các em HS nắm đúng, nắm chắc từng dạng và phương pháp giải từng dạng từ đó phát triển năng lực tư duy nhằm đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm ”Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS ” áp dụng cho khối THCS với hy vọng phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em HS khi gặp dạng phương trình này và cũng là một tài liệu nhỏ để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp. III- NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ: a) Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. b) Các ví dụ: a) 11 =−x b) 2173 =+−+ xx c) 12 +− xx =3 d) 3 23 33 2 1 1 4 11 x x x xx − − − = +− 2. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Để giải phương trình vô tỉ ta tìm cách khử dấu căn. Cụ thể: – Tìm ĐK của phương trình. – Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học. – Giải phương trình vừa tìm được. – So sánh kết quả với ĐK rồi kết luận nghiệm. 3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN: 3.1. Phương pháp 1: Phương pháp nâng lên luỹ thừa: a) Dạng 1: ( )f x c= (c là hằng số) (1) Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ Sơ đồ cách giải: – Nếu c < 0 phương trình (1) vô nghiệm. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 5
    4. 8. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 2 2 22 (x) 0 (x) 0 g(x) 0 g(x) 0 (x) g(x) 0 2 (x).g(x) (x) g(x) 4 (x).g(x) (x) g(x) f f c f f c f f c f ≥  ≥ ≥  ⇔ ≥ ⇔  − − ≥   = − −   = − −  * Chú ý: Nếu ta có: ( ) g( )f x x c− = thì ta giải như sau: ( ) 2 2 (x) 0 (x) 0 ( ) g( ) ( ) g( ) g(x) 0 g(x) 0 f(x) g(x) c 2 (x)f(x) g( ) f f f x x c f x x c c gx c  ≥ ≥  − = ⇔ = + ⇔ ≥ ⇔ ≥    = + += +  2 2 22 2 (x) 0 (x) 0 g(x) 0 g(x) 0 (x) g(x) c 0 2 (x) (x) g(x) c 4 (x) (x) g(x) c f f f c g f c g f ≥  ≥ ≥  ⇔ ≥ ⇔  − − ≥   = − −   = − −  Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 3 1 0x x+ + − = (1) Gợi ý: Ta có: 3 2 3 0 2 3 1 0 2 1 0 1 x x x x x x  + = = −  + + − = ⇔ ⇔  − =  = (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 2 1 5x x− + − = (1) Gợi ý: ĐK 1 1 0 11 2 1 0 2 x x x x x ≥ − ≥  ⇔ ⇔ ≥  − ≥ ≥  Ta có: ( ) 2 1 2 1 5 1 2 1 25x x x x− + − = ⇔ − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 27 3 0 2 1 2 1 27 3 4 2 3 1 27 3 x x x x x x x − ≥ ⇔ − − = − ⇔  − + = − 2 1 9 1 9 55 150 725 0 145 x x xx x x x ≤ ≤ ≤ ≤  ⇔ ⇔ ⇔ ==  − + =   = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 5 Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 2 9 3 2x x x+ − − − = Gợi ý: Ta có: 2 2 2 2 9 3 2 9 3 2x x x x x x+ − − − = ⇔ + = − − + Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 8
    5. 9. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 1 13 21 13 1 1323 0 21 13 9 3 2 82 16 3 16 644 3 8 x x x x x xx x x x x x x xx x x  − ≤  − ≤  + − − ≥  ≥  ⇔ ⇔+   ≥+ = − − + ⇔   ≥ −   − − = + + − − = +   2 1 13 8 1 13 2 8 42 1 13 281 13 2 152 4 15 32 112 0 28 15 x x x x xx x x x x  − − ≤ ≤ − − ≤ ≤  =+  ≥ ⇔ ⇔ ⇔ − +   =≥  =   − − = −  =  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 28 4; 15 −      e) Dạng 5: ( ) g( ) ( )f x x h x+ = (1) – Đặt điều kiện: (x) 0 g(x) 0 h(x) 0 f ≥  ≥  ≥ – Bình phương hai vế của (1), ta có: 2 2 (x)g(x) (x) (x) g(x)f h f⇔ = − − . Trở lại dạng 2 * Chú ý: Giải tương tự với dạng: ( ) g( ) ( )f x x h x− = với điều kiện ( ) ( )f x h x≥ Ví dụ 1: Giải phương trình: 8 2 7 1 7 4x x x x+ + + + + − + = (1) Gợi ý: ĐK: 2 7 0 7 7 7 8 2 7 0 1 0 1 0 2 1 7 36 01 7 0 2 x x x x x x x x x x x xx xx x x  + ≥  ≥ − ≥ −≥ −    + + + ≥ ⇔ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥    + ≥ +   ≤ −+ − ≥ + − + ≥    ≥ Ta có: (1) ( ) 2 7 1 1 7 4x x x⇔ + + + + − + = Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 9
    6. 10. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 7 1 1 7 4 1 7 3 7 3 7 0 7 3 1 7 9 7 6 7 5 7 15 7 3 7 9 2(t/ m) x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + + + − + = ⇔ + − + = − +  − + ≥ + ≤  ⇔ ⇔  + − + = + + − + + =   ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 1 1 2x x x x− + + + = + (1) Gợi ý: ĐK: 2 1 0 1 1 0 1 2 2 0 x x x x x x x  − + ≥ ≥ − + ≥ ⇔ ⇔ ≥ −  ≥ − + ≥ Ta có: (1) 2 2 2 1 1 2 ( 1)( 1) 4 4x x x x x x x x⇔ − + + + + − + + = + + ( ) 3 3 3 2 3 2 2 2 1 4 2 1 2 1 1 4 4 1 0 4 4 0 4 4 0 2 2 2 (t/ m) 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ + = + + =  ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = +  = − Vậy tập nghiệm của phương trình là: { }0;2 2 2;2 2 2S = + − g) Dạng 6: ( ) ( ) ( )f x g x h x+ = Sơ đồ cách giải: ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (x) 0 (x) 0 ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) (x) g(x) f x f x g x g x h h f x g x f x g x h x f x g x h x f ≥ ≥   ≥ ≥  ⇔ ⇔ ≥ ≥    + + = = − −  Đến đây bài toán trở lại dạng 2 Chú ý: Giải tương tự với dạng: ( ) ( ) ( )f x g x h x− = Ta có: ( ) ( ) ( ) (x) g(x) f(x)f x g x h x h− = ⇔ + = ⇒ Bài toán trở lại dạng 6 Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 4 4 2x x x+ + − = (1) Điều kiện: 4 3 4 0 3 4 0 4 4 0 0 x x x x x x x − ≥+ ≥  − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥   ≥ ≥   Ta có: (1) ( ) ( )3 4 4 2 3 4 4 4x x x x x⇔ + + − + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 3 4 4 4 3 4 4 0 43 4 x x x x x x x x x − =⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =  = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 10
    7. 11. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Ví dụ 2: Giải phương trình: 1+x – 7−x = x−12 Gợi ý: ⇔ 1+x = x−12 + 7−x (1) ĐK: 12×7 7x 12x 1x 07x 0x12 01x ≤≤⇔      ≥ ≤ −≥ ⇔      ≥− ≥− ≥+ (2) Bình phương hai vế ta được: )7x)(x12(27xx121x −−+−+−=+ ⇔ )7x)(x12(24x −−=− (3) Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thỏa mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được: (x – 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) ⇔ 5×2 – 84x + 352 = 0 Phương trình này có 2 nghiệm x1 = 5 44 và x2 = 8 đều thoả mãn (2). Vậy x1 = 5 44 và x2 = 8 là nghiệm của phương trình. h) Dạng 7: ( ) g( ) (x) (x)f x x h k+ = + Sơ đồ cách giải: Điều kiện: (x) 0 g(x) 0 (x) 0 k(x) 0 f h ≥  ≥  ≥  ≥ Bình phương hai vế của phương trình, ta có: (x) g(x) 2 (x)g(x) (x) k(x) 2 (x)k(x)f f h h+ + = + + ( )2 (x)g(x) (x)k(x) (x) k(x) f(x) g(x)f h h⇔ − = + − − ⇒ Bài toán trở lại dạng 5 Ví dụ 1: Giải phương trình : 1+x + 10+x = 2+x + 5+x (1) Gợi ý: ĐK :        ≥+ ≥+ ≥+ ≥+ 05 02 010 01 x x x x ⇔        −≥ −≥ −≥ −≥ 5 2 10 1 x x x x ⇔ x ≥ -1 (2) Bình phương hai vế của (1) ta được: x+1 + x+ 10 + 2 )10)(1( ++ xx = x+2 + x+ 5 + 2 )5)(2( ++ xx ⇔ 2 + )10)(1( ++ xx = )5)(2( ++ xx (3) Với x ≥ -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được: )5x)(2x()10x)(1x()10x)(1x(44 ++=++++++ Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 11
    8. 12. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ⇔ 1x)10x)(1x( −−=++ Điều kiện ở đây là x ≤ -1 (4) Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)    −≤ −≥ 1 1 x x ⇔ x = -1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1). Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 1 2 16 2 4 2 9x x x x+ + + = + + + (1) Gợi ý: ĐK: 1 2 1 0 2 2 16 0 8 1 2 4 0 2 2 2 9 0 9 2 x x x x x x x x x − ≥+ ≥  + ≥ ≥ − −  ⇔ ⇔ ≥  + ≥ ≥ −   + ≥ − ≥  Ta có: (1) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 16 2 2 1 2 16 2 4 2 9 2 2 4 2 9x x x x x x x x⇔ + + + + + + = + + + + + + 2 2 4 34 16 2 4 26 36x x x x⇔ + + + = + + (2) Hai vế của (2) không âm. Bình phương hai vế của (2), ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 34 20 4 4 34 16 4 26 36 4 34 16 2 4 2 4 0 2 0(t/ m) 04 34 16 4 16 16 x x x x x x x x x x x x xx x x x ⇔ + + + + + = + + ⇔ + + = − + − + ≥ ≤  ⇔ ⇔ ⇔ =  =+ + = − +  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0 * Nhận xét : Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn thì phải có điều kiện để cả hai vế của phương trình đều không âm. Với hai số dương a, b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1,2,3…..) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn thức, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đều dương đây là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan, còn thiếu sót khi sử dụng phương pháp này. Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với nhau . * Bài tập áp dụng: 1. 42 −x = x- 2 5. x−1 = x−6 – )52( +− x 2. 41 2 ++ xx = x+ 1 6. 3 1−x + 3 2−x = 3 32 −x 3. x−1 + x+4 =3 7. x + 1x + = 1−x + 4+x 4. 3 45+x – 3 16−x =1 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 12
    9. 13. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 3.2. Phương pháp 2: Phương pháp đưa về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Sơ đồ cách giải: 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x f x g x f x g x f x f x g x  ≥  == ⇔ = ⇔  ≤  = − Ví dụ 1: Giải phương trình: 416249 2 +−=+− xxx (1) Gợi ý: ĐK:    ≥+− ≥+− 04 016249 2 x xx ⇔    ≤ ∀≥− 4 0)43( 2 x xx ⇔ x ≤ 4 Ta có: (1) ⇔ 43 −x = -x + 4⇔    −=− +−=− 4x4x3 4x4x3 ⇔    = = 0x 2x (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 = 2; x2 = 0 Ví dụ 2: Giải phương trình: 442 +− xx + 1682 +− xx = 5 (1) Gợi ý: ĐK: x∀ ∈R Ta có: (1) ⇔ 2 2 ( 2) ( 4) 5x x− + − = ⇔ 2−x + 4−x = 5 Ta xét các khoảng: + Khi x < 2 ta có (2) ⇔ 2 – x + 4 – x = 5 ⇔ 6 – 2x = 5 ⇔ x = 0,5 (thoả mãn x < 2) + Khi 2 ≤ x < 4 ta có (2) ⇔ x – 2 + 4 – x = 5 ⇔ 0x + 2 = 5 (phương trình vô nghiệm) + Khi x ≥ 4 ta có (2) ⇔ x – 2 + x – 4 = 5 ⇔ 2x – 6 =5 ⇔ x =5,5 (thoả mãn x ≥ 4) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 = 0,5; x2 = 5,5 Ví dụ 3: Giải phương trình: 314 +−− xx + 816 +−− xx = 1 (1) Gợi ý: ĐK: x ≥ 1 Ta có: (1) ⇔ 414)1( +−−− xx + 916)1( +−−− xx = 1 ⇔ 2 )21( −−x + 2 )31( −−x = 1⇔ 21 −−x + 31 −−x =1 (2) – Nếu 1 ≤ x < 5 ta có (2) ⇔ 2- 1−x + 3 – 1−x = 1 ⇔ 1−x =2 ⇔ x = 5 không thuộc khoảng đang xét – Nếu 5 ≤ x < 10 thì (2) ⇔ 1−x – 2 + 3 – 1−x = 1 ⇔ 0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 13
    10. 14. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc – Nếu x ≥ 10 thì (2) ⇔ 1−x – 2 + 1−x – 3 = 1 ⇔ 31x =− ⇔ x = 10 (thỏa mãn). Vậy phương trình có vô số nghiệm: 5 ≤ x ≤ 10 Nhận xét : Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối được sử dụng để giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc như trên, song trong thực tế cần lưu ý cho học sinh một số vấn đề sau: – Áp dụng hằng đẳng thức 2 A = A – Học sinh thường hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên giáo viên cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm . * Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1) 2 2 1 5x x+ + = 11) 4 4 3x x− + = 2) 2 6 9 2 1x x x− + = − 12) 4 4 5 2x x x+ + = + 3) 2 2 2 1 4 4 4x x x x− + + + + = 13) 2 1 4 4 10x x x x− + − − + = 4) 2 2 2 6 9 2 8 8 2 1x x x x x x− + + + + = − + 14) 2 2 4 4 6 9 1x x x x− + + − + = 5) 2 1 2 1 2x x x x+ − + − − = 15) 3 2 4 4 4 1x x x x− − − + − − = 6) 6 2 2 11 6 2 1x x x x+ − + + + − + = 16) 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x− + − + + + − = 7) 2 2 2 2 1 5 0x x x x+ − + + − = 17) 45224252642 =−−−+−++ xxxx 8) 2 4 4 2 10x x x− + + = 18) 2 2 1 2 8x x x− + + = 9) 1 1 2 2 4 x x x+ + + + = 19) 05261 4 1 2 =−−++ xx 10) 3 2 1 2 1 2 x x x x x + + − + − − = 20) 2 4 4 2x x x− + = − 3.3. Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ: a) Dạng 1: Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường: Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt ( )t f x= và chú ý điều kiện của t . Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 14
    11. 15. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn “. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2×2 + 3x + 932 2 ++ xx = 33 Gợi ý: ĐK: ∀ x ∈R Phương trình đã cho tương đương với: 2×2 + 3x + 9 + 932 2 ++ xx – 42= 0 (1) Đặt 932 2 ++ xx = t (t ≥ 0) (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ t) Ta có: (1) ⇔ t2 + t – 42 = 0 Phương trình này có hai nghiệm: t1 = 6 , t2 = -7 < 0 (loại) Từ đó ta có: 932 2 ++ xx = 6 ⇔ 2×2 + 3x -27 = 0 Phương trình này có hai nghiệm x1 = 3, x2 = – 2 9 Cả hai nghiệm này đều là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2: Giải phương trình: x + 4 x = 12 (1) Gợi ý: ĐK: x ≥ 0 Đặt 4 x = t (t ≥ 0) ⇒ x = t2 , ta có: (1) ⇔ t2 + t -12 = 0 Phương trình có 2 nghiệm là t = 3 và t = – 4 (loại) Với t = 3 ⇒ 4 x = 3 ⇒ x = 81(thỏa mãn) Vậy x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 3: Giải phương trình: 1+x + x−3 – )3)(1( xx −+ = 2 (1) Gợi ý: ĐK:    ≥− ≥+ 03 01 x x ⇔    ≤ −≥ 3 1 x x ⇔ 3×1 ≤≤− Đặt 1+x + x−3 = t ≥ 0 ⇒ t2 = 4 + 2 )3)(1( xx −+ ⇒ )3)(1( xx −+ = 2 42 −t (2) Thay vào (1) ta được: (1) 2 2 4t t 2 = − −⇔ ⇔ t2 – 2t = 0 ⇔ t(t-2)= 0 ⇔    = = 2 0 t t + Với t = 0 ⇒ 1+x + x−3 = 0⇒    =− =+ 0x3 01x (vô nghiệm) ⇒ phương trình vô nghiệm. + Với t = 2: (2)⇒ )3)(1( xx −+ = 0 ⇒ x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = -1; x2 = 3 Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = (1) Gợi ý: ĐK: 1x ≥ Nhận xét. 2 2 1. 1 1x x x x− − + − = Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 15
    12. 18. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Đến đây ta tìm được u, v. Thay u, v vào thì tìm được x. Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 2 2 2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + + Gợi ý: ĐK: 1 2 x ≥ . Bình phương 2 vế ta có: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x+ − = + ⇔ + − = + − − Ta có thể đặt: 2 2 2 1 u x x v x  = +  = − khi đó ta có hệ: 1 5 2 1 5 2 u v uv u v u v  − = = − ⇔  + =  Vì , 0u v ≥ nên ( )21 5 1 5 2 2 1 2 2 u v x x x + + = ⇔ + = − . Giải tiếp ta ìm được x. Chú ý: Các phương trình dạng 2 2 u v mu nvα β+ = + có thể giải như VD4 và VD 5 c) Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Ví dụ 1: Giải phương trình: ( )2 2 2 3 2 1 2 2x x x x+ − + = + + (1) Gợi ý: Đặt 2 2t x= + ; 2t ≥ . Ta có: ( ) ( )2 2 2 3 (1)x 2 2 2 3 3 0 2 3 3 0 1 t x x x t x t x t x = + − + + − + = ⇔ − + − + = ⇔  = − Nếu t = 3 2 2 3 7x x⇔ + = ⇔ = ± Nếu t = x – 1 1 2x⇒ ≥ + . Ta có: 2 2 1 2 2 1 2 x x x x − + = − + ⇔ = (loại) Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) 2 2 1 2 3 1x x x x+ − + = + Gợi ý: Đặt: 2 2 3, 2t x x t= − + ≥ Ta có: ( ) 2 (1) 1 1x t x⇔ + = + ( )2 1 1 0x x t⇔ + − + = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 1 2 1 0 1 2 1 0 1 t x x x t x t x t x t x = ⇔ − + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔  = − Nếu t = 2 2 2 2 2 3 2 2 3 4 2 1 0 1 2x x x x x x x⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = ± Nếu t = x – 1 1 2x⇒ ≥ + . Ta có: x2 – 2x + 3 = x2 – 2x + 1 ⇒phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: ( )2 2 3 1 3 1x x x x+ + = + + (1) Gợi ý: Đặt 2 1; 1t x t= + ≥ Phương trình (1) trở thành: t2 – (x + 3)t + 3x = 0 ⇔ (t – x)(t – 3) = 0 3 t x t = ⇔  = Nếu t = x 2 1x x⇔ + = (vô nghiệm) Nếu t = 3 2 1 3 2 2x x⇔ + = ⇔ = ± . Vậy: 2 2x = ± d) Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 1 x− + 2+x =1 Gợi ý: ĐK: x ≥ -2 Đặt 2+x = t ≥ 0 2tx 2 −=⇒ . Khi đó: 3 1 x− = 3 2 3 t− Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 18
    13. 20. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ⇔ 0)1u5)(1u( =−+ ⇔     = −= 5 1 u )loai(1u + Với u = 5 1 ta có: x = ( 5 1 )2 – 1 = 25 24− thỏa mãn điều kiện (1) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x = 25 24− . * Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau. + Tìm tập xác định của phương trình. + Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng f(x) g(x) ….= 0 (gọi là phương trình tích). Từ đó ta suy ra f(x) = 0; g( x) = 0;….. là những phương trình quen thuộc. + Nghiệm của PT là hợp nghiệm của các phương trình f(x) = 0; g(x) = 0;….. thuộc tập xác định . + Biết vận dụng, phối hợp một cách linh hoạt với các phương pháp khác như nhóm các số hạng, tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đưa về phương trình dạng tích quen thuộc đã biết cách giải. Bài tập áp dụng: 1. 673 −− xx = 0 2. 22 −− xx – 2 22 +− xx = 1−x 3. x(x+5) = 2 2253 2 −−+ xx 4. 2( x2 + 2x + 3) = 5 233 23 +++ xxx 3.4. Phương pháp 4: Phương pháp đưa về hệ phương trình: Các bước tiến hành: – Tìm điều kiện tồn tại của phương trình – Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung – Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 25 x− – 2 15 x− = 2 Gợi ý: ĐK: 0 ≤ x2 ≤ 15 Đặt: 2 25 x− = a (a ≥ 0) (* ); 2 15 x− = b ( b ≥ 0) ( ** ) Từ phương trình đã cho chuyển về hệ phương trình: Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 20
    14. 21. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc (1)⇒      ≠+ +=+− =− 0 )(2))(( 2 ba bababa ba ⇔    =+ =− 5 2 ba ba ⇔       = = 2 3 2 7 b a + Với a = 2 7 ⇒ 25 – x2 = 4 49 ⇔ x2 = 4 51 ⇒ x = 2 51 ± (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 51 ± . Ví dụ 2: Giải phương trình: 35 3)3(5)5( −+− −−+−− xx xxxx = 2 (1) Gợi ý: ĐK: 3 ≤ x ≤ 5 Đặt     ≥=− ≥=− )0(3 )0(5 ttx uux Phương trình (1) trở thành hệ phương trình: (1) ⇔     =+− =+ 2 2 22 22 tutu tu ⇔ ut = 0 ⇔    = = 0t 0u + Với u = 0⇒ 5x0x5 =⇒=− (thỏa mãn) + Với t = 0 ⇒ 3x03x =⇒=− (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =3; x= 5. Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 2 x− + 1−x = 1 Gợi ý: ĐK: x ≥ 1 Đặt     ≥=− =− )0(1 23 ttx ux Khi đó: u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nên u3 + t2 = 1 Phương trình đã cho được đưa về hệ:    =+ =+ )2(1tu )1(1tu 23 Từ phương trình (1) ⇒ u = 1 – t. Thay vào phương trình (2) ta có: (2) ⇔ (1 – t)3 + t2 = 1 ⇔ t( t2 – 4t + 3) = 0 ⇔    =+− = 03t4t 0t 2 ⇔         = = = 3t 1t 0t + Với t = 0 ⇒ 01x =− ⇒ x = 1 (thỏa mãn) + Với t = 1⇒ 11x =− ⇒ x = 2 (thỏa mãn) + Với t = 3⇒ 31x =− ⇒ x = 10 (thỏa mãn) Vậy: x= 1; x =2 ; x = 10 là nghiệm của phương trình đã cho. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 21
    15. 22. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 )1( +x + 3 2 )1( −x + 3 2 1−x = 1 Đặt: 3 1+x = a ; 3 1−x = b nên ta có: a2 = 3 2 )1( +x ; b2 = 3 2 )1( −x ; ab = 3 2 1−x . Ta được phương trình: a2 + b 2 + ab = 1 (1) Ta có:     −= += 1 1 3 3 xb xa Ta được phương trình: a3 – b3 = 2 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:     =++− =++ ⇔     =− =++ 1)abba)(ba( 1abba 2ba 1abba 22 22 33 22 Từ hệ phương trình, ta suy ra: a – b = 2 ⇒ b = a – 2 Thay vào phương trình (1) ta được: 3.(a -1)2 = 0 ⇒ a =1 Với a = 1, ta có: 3 1+x = 1 ⇒ x = 0 (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0 Ví dụ 5: Giải phương trình: 4 4 x x− + = Gợi ý: ĐK: 0 4 0 0 12 4 4 0 x x x x  ≥  + ≥ ⇒ ≤ ≤  − + ≥ Đặt 4y x= + ta có hệ phương trình: 2 2 4 4 44 x y x y y xy x  = − = −  ⇔  = += +  ( ) ( ) ( )2 2 22 1 0 44 x y x yx y x y x yx y   + − + =− = − −  ⇔ ⇔  = −= −   Vì x + y≠ 0 nên ta có hệ: 2 2 2 1 13 1 0 24 1 3 0 4 1 13 (loai) 2 xx y x x x x x y x  − + =− + = ⇒ = − − ⇔ + − = ⇒ = − − − =  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: 1 13 2 x − + = Ví dụ 6: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 3 23 3 3 1 3 1 9 1 1x x x+ + − + − = (1) Gợi ý: Đặt 3 3 3 1; 3 1u x v x= + = − Phương trình (1) trở thành hệ: 2 2 3 3 1 2 2 2 u v uv u v u v u v  + + = ⇒ − = ⇒ = + − = Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 22
    16. 23. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Do đó: ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 3 6 3 0 3 1 0 1 1v v v v v v v v u+ + + + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ = Ta có: 3 3 3 1 1 0 3 1 1 x x x  + = ⇒ = − = − Vậy phương trình có nghiệm là: x = 0. Chú ý: Đối với phương trình có dạng: (x) (x)n na f b f c− + + = Ta thường đặt (x); (x)n nu a f v b f= − = + Khi đó, ta được hệ phương trình: n n u v c u v a b + =  + = + Giải hệ này ta tìm được u và v. Từ đó ta tìm được giá trị của x. Ví dụ 7: Giải phương trình: 3 1 1 1 2 2 x x+ + − = (1) Gợi ý: ĐK: 1 2 x ≤ Đặt : 3 1 1 ; 0 2 2 u x v x= + = − ≥ Ta được hệ: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 0 1 1 1 1 3 0 1 1 3 v u v v v v v v v u v v = + = ⇒ − = − ⇔ − − = ⇔ = + =  = Giải tiếp ta tìm được tập nghiệm của phương trình là: S = 1 1 17 ; ; 2 2 2 − −      Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 2 2 2 1x x x− = − (1) Gợi ý: Điều kiện: 1 2 x ≥ Ta có (1) 2 ( 1) 1 2 2 1x x⇔ − − = − Đặt 1 2 1y x− = − thì ta đưa về hệ sau: 2 2 2 2( 1) 2 2( 1) x x y y y x  − = −  − = − Trừ hai vế của phương trình ta được: ( )( ) 0x y x y− + = Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: 2 2x = + Ví dụ 9: Giải phương trình: 2 2 6 1 4 5x x x− − = + (1) Gợi ý: ĐK 5 4 x ≥ − Ta có: ( ) 2 2 1 4 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11x x x x x⇔ − − = + ⇔ − = + + Đặt 2 3 4 5y x− = + ta được hệ : 2 2 (2 3) 4 5 ( )( 1) 0 (2 3) 4 5 x y x y x y y x  − = + ⇒ − + − = − = + Với 2 3 4 5 2 3x y x x x= ⇒ − = + ⇒ = + Với 1 0 1 2 1 4 5x y y x x x+ − = ⇔ = − ⇔ − − = + (vô nghiệm) Kết luận: Nghiệm của phương trình là 2 3x = + Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 23
    17. 25. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 5. Phương pháp 5: Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức: Các bước: * Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) và f(x) ≥ a; g(x) ≤ a (a là hằng số). Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a. * Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số) mà ta luôn có h(x) ≥ m; hoặc h(x) ≤ m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra. * Áp dụng các bất đẳng thức: Côsi; Bunhia côpxki, …. a) Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình: 1−x – 15 −x = 23 −x (1) Gợi ý: ĐK:      ≥− ≥− ≥− 023 015 01 x x x ⇔          ≥ ≥ ≥ 3 2 5 1 1 x x x 1x ≥⇔ Với x ≥ 1 thì x < 5x do đó 1−x < 15 −x Suy ra: Vế trái của (1) là số âm, còn vế phải là số không âm. Vậy phương trình vô nghiệm . Ví dụ 2: Giải phương trình: 1162 +− xx + 1362 +− xx + 4 2 54 +− xx = 3 + 2 (1) Gợi ý: Ta có: (1) ⇔ 2)3( 2 +−x + 4)3( 2 +−x + 4 2 1)2( +−x = 3 + 2 Mà 2)3( 2 +−x + 4)3( 2 +−x + 4 2 1)2( +−x ≥ 2 + 4 + 1 = 3 + 2 ⇒ VP = VT = 3 + 2 khi    =− =− 02x 03x    = = ⇔ 2x 3x (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài tập áp dụng: 1. 1−x – 1+x = 2 2. 62 +x = x – 2 12 −x 3. x−6 + 2+x = x2 – 6x +13 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 25
    18. 26. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc b) Dạng 2: Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − − (1) Gợi ý: Ta có: (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 4 5 1 9 5 1x x x⇔ + + + + + = − + Mà: VT = ( ) ( ) 2 2 3 1 4 5 1 9 4 9 5x x+ + + + + ≥ + = VP = ( ) 2 5 1 5x− + ≤ ( ) 2 1 0 1 0 1VT VP x x x⇒ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − Vậy phương trình có nghiệm là: x = -1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 4−x + x−6 = x2 -10x + 27 (1) Gợi ý: ĐK: 4 ≤ x ≤ 6 Theo BĐT Côsi, ta có: 4−x 2 4×1 −+ ≤ x−6 2 x61 −+ ≤ 2 2 x61 2 4×1 x64xVT = −+ + −+ ≤−+−=⇒ Mà: VP= x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 ≥ 2 (∀ x) VPVT =⇒ khi: x- 4 = 6 – x 5x10x2 =⇒=⇔ (thỏa mãn) Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình (1) Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 2 2 6 15 6 18 6 11 x x x x x x − + = − + − + (1) Gợi ý: Ta có: (1) ( ) ( ) 2 2 4 1 3 9 3 2 x x ⇔ + = − + − + Mà: VT = ( ) 2 4 4 1 1 3 23 2x + ≤ + = − + VP = ( ) 2 3 9 3x − + ≥ ( ) 2 3 0 3 0 3VT VP x x x⇒ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2 24 6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x− + + − + + − + = + (1) Gợi ý: Ta có: (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 3 4 2 1 3 2x x x⇔ − + + − + + − + = + (*) Mà: VT = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 44 3 2 3 4 2 1 2 4 1 3 2x x x− + + − + + − + ≥ + + = + VP = 3 2+ Nên (*) xảy ra ( ) ( ) 2 2 3 0 3 22 0 x x xx  − = = ⇔ ⇔  =− = (vô lí) Vậy phương trình vô nghiệm. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 26

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  • Giải Toán 11 Bài 3. Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
  • Chỉ Cần 20 Bước Là Giải Được Bất Kỳ Khối Rubik Nào, Nhưng Mất 36 Năm Nghiên Cứu Ta Mới Tìm Ra Con Số 20 ‘thần Thánh’
  • Bí Kíp Giải Rubik Cực Chuẩn Chỉ Trong ‘nháy Mắt’
  • Giải Bài Toán Yêu Nhau Cau Sáu Bổ Ba
  • Giải 9 Bài Pt Mũ & Log Bằng Ẩn Số Phụ

    --- Bài mới hơn ---

  • 9 Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Đề Tài:phương Pháp Giải Pt Nghiệm Nguyên
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)
  • Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
  • Giải 9 phương trình mũ và lôgarit

    bằng phương pháp đặt ẩn phụ

    *Giới thiêu :

    Sau khi NST gửi bài “Giải 18 phương trình mũ và lôgarit bằng một số phương pháp độc đáo”; Một số bạn hỏi về “Phương pháp đặt ẩn phụ” áp dụng như thế nào ? Xin giới thiệu bổ sung.

    Đối với một số phương trình mũ và lôgarit phức tạp hơn, chúng ta không thể sử dụng cách đưa về cùng một cơ số mà nên dùng PP đặt ẩn phụ để được phương trình hoặc hệ phương trình đại số thông thường. Chú ý: Khi đặt ẩn phụ, ta nên tìm điều kiện của ẩn phụ (tuỳ thuộc vào điều kiện của ẩn cần tìm).

    I.- Bồn bài toán mẫu

    Bài toán 1. Giải các phương trình mũ sau

    a) ; b) ; c) ; d) .

    Lời giải. a) Phương trình đã cho tương đương với Đặt thì phương trình trở thành .

    Đây là phương trình bậc hai với ẩn số , ta tìm được hoặc .

    Tuy nhiên nên chỉ có l à thoả mãn. Thay lại để tìm , ta có

    Vậy phương trình chỉ có một nghiệm .

    b) Đặt , ta có phương trình

    Phương trình bậc hai ẩn này chỉ có một nghiệm dương , suy ra

    .

    c) Điều kiện . Chia cả hai vế của phương trình cho , ta có

    Đặt , phương trình trở thành

    Phương trình bậc hai trên có hai nghiệm dương .

    Với thì .

    Với thì .

    Phương trình có hai nghiệm .

    d) Phương trình đã cho tương đương với Đặt thì phương trình trở thành Do nên hay . Từ đó suy ra

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

    Bài toán 2

    Giải các phương trình lôgarit sau

    a) ; b) ; c) ; d) .

    Lời giải.

    a) Điều kiện Đặt thì điều kiện của là và phương trình trở thành

    (thoả mãn). Với thì ; Với thì . Vậy phương trình đã cho có nghiệm .

    b) Điều kiện , đặt , phương trình trở thành

    Do đó nhận các giá trị là hoặc .

    Với thì ;

    Với thì ;

    Với thì . Vậy phương trình đã cho có nghiệm .

    c) Điều kiện . Phương trình đã cho tương đương với

    Đặt thì phương trình trở thành

    Với thì ;

    Với thì . Phương trình đã cho có nghiệm là và .

    d) Điều kiện . Phương trình đã cho tương đương với

    Đặt thì phương trình trở thành

    Đặt .

    Khi đó ta có hệ phương trình

    Giải ra ta được Từ đó suy ra

    và tìm được nghiệm của phương trình.

    (Nhận xét. Đối với một số phương trình ẩn , sau khi đặt ẩn phụ thì trong phương trình

    --- Bài cũ hơn ---

  • Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết
  • Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác
  • Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay Giải Nhanh Trắc Nghiệm Lượng Giác
  • Cách Tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Tích Của Chúng
  • Giải Sbt Toán 12 Ôn Tập Chương 4: Số Phức

    --- Bài mới hơn ---

  • Câu 1, 2, 3, 4 Trang 68 Vở Bài Tập (Sbt) Toán 3 Tập 1
  • Giải Sbt Toán 12: Đề Tự Kiểm Tra Giải Tích 12
  • Giải Sbt Toán 12 Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa
  • Giải Bài Tập Sbt Toán Hình 12 Bài 2: Khối Đa Diện Lồi Và Khối Đa Diện Đều
  • Giải Bài Tập Sbt Toán 12 Bài 2: Khối Đa Diện Lồi Và Khối Đa Diện Đều
  • VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 4: Số phức, với nội dung được tổng hợp chi tiết và chính xác sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

    Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 4

    Câu 4.33 trang 210 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Thực hiện các phép tính:

    a) (2 + 3i)(3 – i) + (2 – 3i)(3 + i)

    b) 2+i√2/1−i√2+1+i√2/2−i√2

    c) (1+i)(2+i)/2−i+(1+i)/(2−i)

    Hướng dẫn làm bài

    a) 18

    b) 3/2i√2

    c) 6/5(1+i)

    Câu 4.34 trang 210 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính:

    Hướng dẫn làm bài

    a) 1+4i√3

    b) – 11 – 2i

    c) 7−6i√2

    d) 2 – 11i

    Câu 4.35 trang 210 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Thực hiện các phép tính:

    a) (2+3i)2−(2−3i)2(2+3i)2−(2−3i)2

    b) (1+i)5(1−i)3(1+i)5(1−i)3

    Hướng dẫn làm bài

    a) 24i

    b) 2

    Câu 4.36 trang 211 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Giải các phương trình sau trên tập số phức:

    a) (1 + 2i)x – (4 – 5i) = -7 + 3i

    b) (3 + 2i)x – 6ix = (1 – 2i)[x – (1 + 5i)]

    Hướng dẫn làm bài

    a) (1+2i)x=−3−2i

    ⇒x=−3+2i/1+2i=−7−4i/5=−75+4/5.i

    b) (2−2i)x=−(11+3i)

    ⇒x=−11+3i/2(1−i)=−2−7/2.i

    Câu 4.37 trang 211 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Giải các phương trình sau trên tập số phức:

    a) 3x 2+(3+2i√2)x−(1+i) 3/1−i=i√8x

    b) (1−ix) 2+(3+2i)x−5=0

    Hướng dẫn làm bài

    ⇒x 1,2=−3±i√15/6

    ⇒x 1,2=3±i√7/2

    Câu 4.38 trang 211 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Tìm số phức z, biết:

    Hướng dẫn làm bài

    Đặt z = a+ bi , suy ra:

    Từ (**) suy ra các trường hợp sau:

    +) a = b = 0 ⟹ z = 0

    +) a=0,b≠0: Thay vào (*), ta có b 4=b 2 ⇒b=±1⇒z=±i

    +) b=0,a≠0: Tương tự, ta có a=±1⇒z=±1

    2a 2(2a 2 + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì a≠0)

    +a+bi=3+4i⇒b=4 và +a=3

    ⇒6a=−7⇒a=−7/6

    Vậy z=−7/6+4i

    Câu 4.39 trang 211 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình:

    Hướng dẫn làm bài

    Đặt z = x + yi, ta được hệ phương trình:

    Vậy z = 1 + i.

    Câu 4.40 trang 211 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Chứng tỏ rằng z−1/z+1 là số thực khi và chỉ khi z là một số thực khác – 1.

    Hướng dẫn làm bài

    Hiển nhiên nếu z∈R,z≠−1 thì z−1/z+1∈R

    Ngược lại, nếu z−1/z+1=a∈R thì z−1=az+a và a≠1

    Suy ra (1−a)z=a+1⇒z=a+1/1−a∈R và hiển nhiên z≠−1

    Câu 4.41 trang 211 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

    Tìm phần ảo của số phức z, biết z¯=(√2+i) 2(1−i√2)

    (Đề thi đại học năm 2010, khối A)

    Hướng dẫn làm bài

    z¯=(√2+i) 2(1−i√2)

    =(2+2√2i+i 2)(1−i√2)

    =(1+2√2)(1−i√2)

    =1−√2i+2√2i−4i 2

    =5+√2i

    ⇒z=5−√2i

    Phân ảo của số phức z=−√2

    (Đề thi Đại học năm 2009, khối D)

    Hướng dẫn làm bài

    Các điểm biểu diễn z nằm trên đường tròn tâm I(3; -4) bán kính 2.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Sbt Toán 12: Đề Kiểm Tra
  • Giải Sbt Toán 12 Ôn Tập Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và Hàm Số Logarit
  • Bài 1, 2, 3, 4 Trang 18, 19 : Bài 1 Khái Niệm Về Biểu Thức Đại Số
  • Giải Bài 10, 11, 12 Trang 6 : Bài 2 Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải
  • Giải Bài 11, 12, 13, 14 Trang 107 Sách Giáo Khoa Toán 6 Tập 1
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100