Giải Tích Tổ Hợp To Hop Doc

--- Bài mới hơn ---

  • Tàn Tích Quỷ Ám: Giải Mã Mối Quan Hệ Bí Ẩn Đến Ba Thế Hệ
  • Lý Thuyết Diện Tích Xung Quanh Của Hình Lăng Trụ Đứng
  • Lý Thuyết & Bài Tập Sgk Bài 5: Diện Tích Xung Quanh Của Hình Lăng Trụ Đứng
  • Thực Hiện 6 Giải Pháp Tăng Cường Quản Lý, Bảo Vệ Và Phát Triển Rừng
  • Nhiều Giải Pháp Tăng Độ Che Phủ Rừng
  • CHƯƠNG II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

    §1 . QUI TẮC ĐẾM

    TÓM TẮT LÍ THUYẾT

    1) Số phần tử của tập hợp hữu hạn A kí hiệu N(A)

    2) Nếu A, B là các tập hợp hữu hạn thì

    N(A ( B) = N(A) + N(B) – N(A ( B)

    3) QUI TẮC CỘNG : Nếu A, B là các tập hữu hạn không giao nhau thì

    N(A ( B) = N(A) + N(B)

    4) Nếu X là tập hợp hữu hạn và A là tập hợp con của X thì

    N(X A) = N(X) – N(A)

    5) Nếu A1, A2, …, An là các tập hợp hữu hạn đôi một không giao nhau thì

    N(A1 ( A2 (… ( An) = N(A1) + N(A2) +… + N(An)

    6) QUI TẮC NHÂN : Gỉa sử ta phải thực hiện hai hành động liên tiếp. Nếu hành động

    thứ nhất có m kết quả và ứng với mỗi kết quả đó hành động thứ 2 có n kết quả, thì có mn

    kết quả của 2 hành động liên tiếp ấy

    QUI TẮC NHÂN MỞ RỘNG

    Gỉa sử phải thực hiện r hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có n1 kết quả, ứng

    với mỗi kết quả của hành động thứ nhất lại có n2 kết quả của hành động thứ 2,…, ứng với

    mỗi kết quả của hành động thứ r – 1 lại có nr kết quả của hành động thứ r. Khi đó ta có

    chúng tôi kết quả của r hành động liên tiếp đó

    BT1 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm :

    a) Một chữ số b) Hai chữ số

    c) Ba chữ số khác nhau d) Không quá 3 chữ số

    HD

    a) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên cần tìm

    Rõ ràng số các số tự nhiên cần tìm là N(A) = 5

    b) Gọi B là tập hợp cacù số tự nhiên cần tìm

    Có 5 cách chọn a, và 5 cách chọn b. Theo qui tắc nhân, số các số tự nhiên cần tìm là

    N(B) = 5.5 = 25

    c) Gọi C là tập hợp các số tự nhiên cần tìm

    Có 5 cách chọn a, sau khi chọn a thì còn lại 4 chữ số (do a, b, c khác nhau từng đôi) nên có 4 cách chọn b, và cuối cùng có 3 cách chọn c. Theo qui tắc nhân, số các số cần tìm là

    N(C) = 5.4.3 = 60

    d) Gọi D là tập hợp các số tự nhiên có 3 chứ số được tạo từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5

    Mỗi chữ số có 5 cách chọn vậy theo qui tắc nhân có

    N(D) = 53 = 125

    Gọi E là số các số tự nhiên không quá 3 chữ số cần tìm ta có:

    E = A ( B ( D và A, B, C đôi một không giao nhau

    Theo qui tắc cộâng số các số cần tìm là

    N(E) = N(A) + N(B) + N(D) = 5 + 25 + 125 = 155

    BL : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

    a) Chẵn gồm 4 chữ số b) Lẻ gồm 4 chữ số

    c) Chẵn không ít hơn 4 chữ số và không vượt quá 6 chữ số

    HD

    Một số tự nhiên được gọi là số tự nhiên chẵn (tương ứng lẻ) nếu và chỉ nếu chữ số tận cùng của nó là các số 0, 2, 4, 6, 8 (tương ứng 1, 3, 5, 7, 9)

    a) ĐS : 3.63 b) ĐS : 3.63

    c) Xét 3 trường hợp TH1 : Gồm 4 chữ số .TH2 : Gồm 5 chữ số. TH3 : Gồm 6 chữ số

    ĐS : 3(63 + 64 + 65)

    BT2 : Sử dụng qui tắc cộng, hãy cho biết số tam giác trong hình vẽ bên

    P

    HD

    Gọi A là tập hợp các tam giác trong tam giác MQR

    B là tập hợp các tam giác trong tam giác PQR không M

    có sự tham gia của đoạn MR

    C là tập hợp các tam giác trong tam giác PMR

    Q

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài 1; Giải Tích Tổ Hợp.
  • Chương 0 Bài Giảng Điện Tử Xstk
  • Cách Giải Bài Toán Quỹ Tích
  • Quỹ Tích Là Gì? Phương Pháp Giải Bài Toán Tìm Quỹ Tích
  • Tàn Tích Quỷ Ám
  • Bài 1; Giải Tích Tổ Hợp.

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Tích Tổ Hợp To Hop Doc
  • Tàn Tích Quỷ Ám: Giải Mã Mối Quan Hệ Bí Ẩn Đến Ba Thế Hệ
  • Lý Thuyết Diện Tích Xung Quanh Của Hình Lăng Trụ Đứng
  • Lý Thuyết & Bài Tập Sgk Bài 5: Diện Tích Xung Quanh Của Hình Lăng Trụ Đứng
  • Thực Hiện 6 Giải Pháp Tăng Cường Quản Lý, Bảo Vệ Và Phát Triển Rừng
  • Chương II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

    Bài 1: GIẢI TÍCH TỔ HỢP

    Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A hoặc B. Phương án A có thể thực hiện bởi m cách ; phương án B có thể thực hiện theo n cách. Khi đó, công việc có thể thực hiện bởi m + n cách.

    Mở rộng: Nếu một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án. Phương án thứ j có thể thực hiện bởi

    𝑛

    𝑗 cách

    𝑗=1,2,…,𝑘. Khi đó, công việc có thể thực hiện bởi

    𝑛

    1

    𝑛

    2

    𝑛

    𝑘 cách .

    Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo m cách, công đoạn B có thể làm theo n cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo 𝑚.𝑛 cách.

    Mở rộng: Nếu một công việc nào đó bao gồm k công đoạn. Công đoạn thứ j có thể làm theo

    𝑛

    𝑗 cách

    𝑗=1,2,…,𝑘. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo

    𝑛

    1

    𝑛

    2

    𝑛

    𝑘 cách.

    𝑁

    𝐴.𝐵=𝑁

    𝐴.𝑁

    𝐵

    (3)

    Chú ý: Khi giải các bài toán về phép đếm, người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây:

    PP trực tiếp: là PP giải thẳng vào các yêu cầu bài toán đặt ra, nói một cách nôm na “hỏi gì, đếm nấy”.

    PP gián tiếp: dựa trên nguyên lí “đếm những cái không cần đếm, để biết những cái cần đếm”. Đó chính là phép lấy phần bù.

    Số phần tử của tập hợp A kí hiệu là:

    𝐴

    Phép đếm không lặp: mỗi phần tử cần đếm chỉ xuất hiện tối đa 1 lần, không có sự lặp lại.

    Phép đếm có lặp: mỗi phần tử cần đếm có thể xuất hiện nhiều lần. Để giải các bài toán về phép đếm có lặp, người ta quy về phép đếm không lặp.

    Dạng 1: Sử dụng quy tắc đếm

    Cần phân biệt 2 hành động

    Xảy ra độc lập: Quy tắc cộng (hay/ hoặc)

    Xảy ra liên tiếp: Quy tắc nhân (và)

    B1: Một hộp có chứa 8 bóng đèn màu đỏ và 5 bóng đèn màu xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó?

    B2: Trong một lớp có 30 học sinh, trong đó có 18 em giỏi Toán, 14 em giỏi Văn và 10 em không giỏi môn nào. Hỏi có bao nhiêu em giỏi cả Văn lẫn Toán?

    B3: Chợ Bến Thành có bốn cửa Đông, Tây, Nam, Bắc. Một người đi chợ (đi vào mua hàng rồi đi ra). Hỏi có bao nhiêu cách đi vào và đi ra biết rằng khi vào và ra phải đi hai cửa khác nhau?

    B4: Một lớp học có 18 học sinh nam và 20 học sinh nữ.

    Nếu GVCN chọn một HS tham dự trại thì có bao nhiêu cách chọn?

    Nếu GVCN chọn một HS nam và một HS nữ thì có bao nhiêu cách chọn?

    B5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có sáu chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

    Hoán vị: 1 phép hoán vị của n phần tử là một sự sắp xếp theo một thứ tự nhất định của n phần tử đó.

    Số phép hoán vị của n phần tử là:

    𝑃

    𝑛=𝑛!=1.2.3….𝑛 (4)

    Chỉnh hợp: Gọi 𝑁

    𝐴=𝑛. Cho 1≤𝑘≤𝑛

    Một phép chỉnh hợp chấp k của n phần tử là một sự sắp xếp theo một thứ tự nhất định của k phần tử lấy trong số n phần tử đã cho (hay là một cách sắp xếp thứ tự k phần tử khác nhau).

    Tổ hợp: Gọi 𝑁

    𝐴=𝑛

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chương 0 Bài Giảng Điện Tử Xstk
  • Cách Giải Bài Toán Quỹ Tích
  • Quỹ Tích Là Gì? Phương Pháp Giải Bài Toán Tìm Quỹ Tích
  • Tàn Tích Quỷ Ám
  • ‘tàn Tích Quỷ Ám’: Mối Quan Hệ Thần Bí Giữa Ba Thế Hệ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng liên hợp

    Có rất nhiều phương cách giải PT Vô tỉ nhưng bản thân tôi thích nhất là PP lượng liên hợp vì tính tự nhiên của nó. Trong bài viết này tôi giới thiệu với các bạn một số suy nghĩ về phương pháp này.

    Cho hàm số , xác định trên .

    Ta biết là nghiệm phương trình .

    Mà theo định lí Bơzu nếu là nghiệm của đa thức thì

    . Từ đây ta có nhận xét:

    Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta có thể đưa phương trình về dạng và khi đó việc giải phương trình quy về giải phương trình . Ta xét ví dụ sau:

    Ví dụ 1: Giải phương trình: (HVKTQS 2000).

    Giải: Điều kiện : .

    Ta thấy là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến vì khi đó và là những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: nên ta biến đổi phương trình như sau: , vấn đề còn lại của chúng ta là phải phân tích ra thừa số (Chú ý khi thì ), vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạng

    điều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : nên ta biến đổi :

    .

    Suy ra phương trình đến đây ta chỉ cần giải phương trình:

    .

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

    Nhận xét: 1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức:

    hai biểu thức và ta gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp.

    2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từ đó ta mới định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES .

    Ví dụ 2: Giải phương trình : (THTT).

    Giải: Điều kiện : .

    Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trên bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.

    Ta có:

    .

    Mặt khác vô nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: .

    * Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là:

    (Điều kiện : ).

    * Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình (*) vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minh phương trình (*) vô nghiệm. Thay vào phương trình (*) thì do đó ta tìm cách chứng minh VT(*) < VP(*).

    Ví dụ 3: Giải phương trình : (THTT).

    Giải: Điều kiện: .

    Ta thấy phương trình có một nghiệm nên ta phân tích ra thừa số .

    Ta có:

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

    Ví dụ 4: Giải phương trình: .

    Giải: Điều kiện: .

    Nhận thấy phương trình có một nghiệm .

    Phương trình

    Kết hợp với phương trình ban đầu ta có :

    (*) thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình.

    Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .

    Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai.

    Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệm tương đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặc biệt là khi tất cả các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúng ta phải xử lí thế nào? Ta xét các ví dụ sau:

    Ví dụ 5: Giải phương trình :

    .

    Giải: Do nên .

    Bằng máy tính ta thấy được phương trình không có nghiệm hữu tỉ, mà chỉ có hai nghiệm vô tỉ. Ta thấy nếu (*) thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta phân tích ra thừa số .

    Ta có:

    (do nên khi đặt làm thừa số thì biểu thức trong dấu (.) luôn dương ).

    là nghiệm của phương trình đã cho.

    Chú ý : Mẫu chốt của bài toán là ta có nhận xét (*), từ đó ta mới định hướng

    tìm cách phân tích ra thừa số . Tuy nhiên trong nhiều bài toán thì việc tìm được nhân tử chung không còn đơn giản vậy nữa.

    Ví dụ 8: Giải phương trình: .

    Giải:

    Với phương trình ta không gặp được sự may mắn như phương trình trên, bằng cách sử dụng MTBT ta thấy phương trình có hai nghiệm vô tỉ, nếu ta linh hoạt một chút ta sẽ nghĩ đến thừa số chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm . Vấn đề tam thức ở đây là tam thức nào? Các bạn thử nghĩ xem nếu biết hai nghiệm của tam thức thì ta có thể xác định được tam thức đó hay không? Chắc chúng ta sẽ trả lời là có nhờ vào định lí đảo của định lí Viet. Áp dụng định lí Viet ta tính được ( sử dụng MTBT) . Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích là tam thức nên ta biến đổi như sau:

    Phương trình

    là nghiệm của phương trình.

    Chú ý : 1) Để tạo ra thừa số ngoài cách biến đổi như trên ta còn có thể làm cách khác như sau:

    Cách 2: Vì không là nghiệm phương trình nên.

    Phương trình

    Vì (*) vô nghiệm, nên phương trình có hai nghiệm: .

    2) Nếu như chúng ta không có máy tính để xác định được thừa số chung là thì ta là thế nào ?.

    Trước hết ta thêm một lượng vào hai vế:

    .

    Ta chọn m,n sao cho: , từ đây ta có: .

    3) Ta thấy cả hai cách biến đổi đều làm xuất hiện thừa số chung . Tuy nhiên cách thứ 2 sẽ thuận lợi hơn cách thứ nhất vì ở cách thứ 2 sau khi đặt thừa số ta chỉ còn phải giải quyết phương trình (*), còn với cách thứ nhất thì ta phải giải quyết biểu thức trong dấu (.) phức tạp hơn nhiều. Hơn nữa với cách biến đổi thứ hai chúng ta dễ sáng tạo ra các bài toán hơn cách thứ nhất.

    Ví dụ 9: Giải phương trình : .

    Giải: Điều kiện : .

    Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta có:

    Phương trình . Bằng cách làm như đã nêu ở phần nhận xét ta tìm được , do đó ta thêm vào hai vế của phương trình lượng :

    Phương trình

    (1).

    * Nếu

    .

    Khi đó (1) đúng là một nghiệm của phương trình.

    * Nếu

    Ta có: (a) có hai nghiệm và

    (b)

    .

    Vậy phương trình có bốn nghiệm: .

    Khi muốn thêm bớt bằng cách nhân, chia một biểu thức thì ta phải kiểm tra xem biểu thức đó có luôn khác không hay không ?

    Ví dụ 10: Giải phương trình:

    .

    Giải: Đk : .

    Đặt : ( I)

    Ta thấy phương trình có nghiệm .Ta biến đổi như sau:

    (Vì hai pt: và vô nghiệm ). .

    Kết hợp ( I) và ( II) ta có hệ :

    .

    Thay vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ nghiệm thỏa mãn.

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

    Ví dụ 11 : Giải bất phương trình : .

    Giải: Điều kiện :

    Bất phương trình .

    .

    Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình : .

    VÀ dĩ nhiên là thêm mấy bài tập để các bạn luyện tập

    Giải các phương trình sau:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5) .

    6)

    7) )

    8)

    9)

    10)

    11)

    12)

    13)

    Nguyễn Tất Thu @ 21:00 20/02/2012

    Số lượt xem: 12843

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Bổ Túc Về Giải Tích Tổ Hợp

    --- Bài mới hơn ---

  • Tóm Lược Một Số Kiến Thức Về Đại Số Tổ Hợp Ứng Dụng Trong Tin Học
  • Môn Giải Tích Tiếng Anh Là Gì? Mục Đích Của Việc Học Môn Giải Tích
  • Công Thức Giải Tích Các Phép Toán Vector Và Tensor
  • Sách Giáo Khoa Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao
  • Ôn Tập Chương Iii. Nguyên Hàm. Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung một số các tính chất nhất định nào đó. Mỗi đối tượng thuộc tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp.

    Các ví dụ về tập hợp:

    – Tập hợp sinh viên trong trường đại học nào đó.

    – Tập hợp N mọi số tự nhiên.

    – Tập hợp R mọi số thực.

    Muốn xác định một tãp hợp, có thể dùng một trong hai cách:

    a) Liệt kê mọi phần tử của nó, chẳng hạn: A = {a, b, c, d} là tập hợp bốn chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái tiếng Việt.

    b) Chỉ ra một đặc tính đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

    Thí dụ: là tập hợp số thực thỏa mãn tính chất .

    Tập hợp có số phần tử hữu hạn được gọi là tập hợp hữu hạn. Còn tập hợp có số phần tử là vô hạn được gọi là tập hợp vô hạn.

    Tập hợp vô hạn được chia làm hai loại:

    Tập hợp vô hạn đếm được. Thí dụ: tập hợp tất cả các số nguyên dương: 1, 2, 3, …

    Tập hợp vô hạn không đếm được. Thí dụ: tập hợp tất cả các điểm của một đường thẳng, tập hợp tất cả các số thực trong khoảng (0, 2) là những tập hợp không đếm được.

    Quy tắc nhân được phát biểu như sau:

    Một công việc nào đó được chia làm hai giai đoạn, có n1 cách hoàn thành giai đoạn I và có n2 cách hoàn thành giai đoạn II. Khi đó sẽ có tất cả: n = n1.n2 cách hoàn thành công việc.

    Thí dụ: Ta muốn đi từ vị trí A đến vị trí B. Trên đường đi ta muốn ghé qua vị trí C. Có 2 cách đi từ A đến C và có 3 cách đi từ C tới B. Ki đó ta có tất cả n = 2.3 = 6 cách đi khác nhau từ A đến B.

    Một cách tổng quát, ta phát biểu quy tắc nhân:

    Giả sử một công việc nào đó được chia làm k giai đoạn. có n1 cách hoàn thành giai đoạn thứ I, có n2 cách hoàn thành giai đoạn thứ II,…, có nk cách hoàn thành giai đoạn cuối cùng. Khi đó sẽ có tất cả: cách hoàn thành công việc.

    Chỉnh hợp chập k của n phần tử () là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho.

    Thí dụ: cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử đó là: 23, 25, 32, 35, 52, 53.

    Như vậy từ n phần tử ta có thể tạo nên nhiều chỉnh hợp chập k khác nhau. Chỉnh hợp này khác chỉnh hợp kia hoặc bởi có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp.

    Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là:

    (1.1)

    Trong đó: n! = n(n -1)(n -2) … 2.1 ; 0! = 1

    3.3 Thí dụ: Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khóa biểu trong mỗi ngày.

    Giải: Vì mỗi cách xếp thời khóa biểu trong một ngày là việc ghép 2 môn trong số 6 môn học. Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp trước sau giữa hai môn. Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 từ 6 phần tử.

    Do đó có tất cả: cách

    Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, …, k lần trong nhóm tạo thành.

    Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp, nên k có thể lớn hơn n. Chẳng hạn cho ba phần tử 2, 3, 5. Các chỉnh hợp lặp chập 2 của ba phần tử sẽ là:

    22 23 25

    32 33 35 52 53 55

    Số chỉnh lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là:

    Ta thành lập công thức tổng quát để tính . Muốn vậy ta lập luận như sau: để có một chỉnh hợp lặp chập k ta có thể chọn phần tử thứ nhất theo n cách. Phần tử thứ hai cũng có n cách chọn … phần tử thứ k cũng có n cách chọn ( vì mỗi phần tử có thể chọn lại nhiều lần). Vì vậy theo quy tắc nhân ta có: n . n … n = cách thành lập một chỉnh hợp lặp chập h khác nhau từ n phần tử đã cho.

    Do đó: (1.3)

    4.3 Thí dụ: Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số 1 … 2 … 9. Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu máy.

    Giải: Ở đây mỗi số của máy là một chỉnh hợp lặp chập 3 từ 9 phần tử đã cho. Vậy có thể đánh số được: máy.

    Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử đã cho.

    Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là

    Theo định nghĩa ta thấy các hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau bởi thứ tự sắp xếp giữa các phần tử mà thôi. Một hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do đó:

    Vậy (1.4)

    5.3 Thí dụ: Một bàn có 4 học sinh ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi?

    Ta thấy mỗi cách xếp chỗ cho 4 học sinh là một hoán vị của 4 phần tử. Do đó số cách sắp xếp là: cách

    Tổ chập k của n phần tử ( ) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.

    Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là

    6.2 – Công thức tính:

    Từ định nghĩa tổ hợp ta thấy tổ hợp cũng chính là một chỉnh hợp (không lặp). Nhưng các chỉnh hợp nếu chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp của các phần tử được coi như cùng một tổ hợp mà thôi.

    Giả sử từ n phần tử ta có thể thành lập tổ hợp chập k khác nhau. Ta đem hoán vị các phần tử trong các tổ hợp này thì mỗi tổ hợp sẽ tạo ra k! chỉnh hợp, mà ta có tất cả tổ hợp. Vậy ta có đẳng thức:

    6.3 Thí dụ: Có mười đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lượt (tức hai đội bất kỳ trong mười đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận). Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu.

    Giải: Ta thấy mỗi trận đấu giữa hai đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (vì hai đội thi đấu với nhau thì không cần phân biệt thứ tự). Do đó số trận đấu cần tổ chức là:

    6.4 – Các tính chất của tổ hợp:

    1)

    Chứng minh:

    2)

    3)

    7. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:

    Nhị thức Newton là lũy thừa bậc nguyên dương của tổng hai số hạng trong đó a, b là hằng số thực tùy ý, n = 1, 2, 3, …

    Đôi lời

    --- Bài cũ hơn ---

  • Số E Là Gì ?
  • Luận Văn: Phương Pháp Xây Dựng Độ Đo Và Tích Phân, Hot, 9Đ
  • Giáo Trình Giải Tích Số
  • Nhiều Giải Pháp Tăng Độ Che Phủ Rừng
  • Thực Hiện 6 Giải Pháp Tăng Cường Quản Lý, Bảo Vệ Và Phát Triển Rừng
  • Chuyên Đề Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp

    --- Bài mới hơn ---

  • Bộ Đề Kiểm Tra 1 Tiết Môn Toán Lớp 11
  • Chuyên Đề: Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Lý Thuyết Hệ Phương Trình Có Cấu Trúc Đặc Biệt Toán 10
  • Chuyên Đề Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Các Công Thức Lượng Giác Toán 10 Đầy Đủ Nhất
  • 1

    Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

    PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

    1. Hoán vị

    * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của nó theo một thứ tự

    được gọi là một hoán vị của n phần tử của A .

    * Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử là nP n! 1.2.3. … .n  .

    Quy ước: 0P 0! 1  .

    2. Chỉnh hợp

    * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) và số nguyên k với 1 k n  . Mỗi cách lấy ra k phần

    tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

    của A .

    * Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần là

     

         kn

    n!A n n 1 n 2 … n k 1

    n k !

         

    .

    Quy ước: 0nA 1 .

    3. Tổ hợp

    * Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) và số nguyên k với 1 k n  . Mỗi cách lấy ra k phần

    tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A .

    * Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử là:

     

         kk n

    n

    n n 1 n 2 … n k 1A n!C

    k ! k ! n k ! k !

       

      

    .

    Quy ước: 0nC 0 .

    * Hai tính chất cơ bản của số tổ hợp:

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    2

    +) k n kn nC C

     .

    +) k k k 1n 1 n nC C C

       (Hằng đẳng thức Pa-xcan).

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    3

    PHẦN 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH

    Loại 1. Tính toán trên các số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp

    A. Một số ví dụ

    Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau

    1)

    n

    k 2

    k 1 11

    k! n!

     

    với n , n 2 .

    2)    3 n n nn n 2n 3nP C C C 3n ! với n .

    3)

    n

    2

    k 2 k

    1 n 1

    nA

     với n ; n 2 .

    Giải

    1) Ta có

    n

    k 2

    k 1

    k !

      

    n

    k 2

    1 1

    k 1 ! k !

     

      

     

     

    1 1 1 1 1 1…

    1! 2! 2! 3! n 1 ! n!

        

                    

    11

    n!

      (ĐPCM).

    2) Ta có  3 n n nn n 2n 3nP C C C    

     

     

     

     

    3 2n ! 3n !n!n! . .

    n! n n ! n! 2n n ! n! 3n n !

      

          

    3 2n ! 3n !n!n! . .

    n!0! n!n! n! 2n !

     3n ! (ĐPCM).

    3) Với mọi k nguyên, 2 k n  ta có

     

     2k

    k !A k k 1

    k 2 !

      

     2k

    1 1 1 1

    k k 1 k 1 kA

      

     

    .

    Do đó

    n

    2

    k 2 k

    1

    A

    n

    k 2

    1 1

    k 1 k

     

       

    1 1 1 1 1 1…

    1 2 2 3 n 1 n

         

                    

    11

    n

     

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    4

    n 1

    n

     (ĐPCM).

    Ví dụ 2. Giải các phương trình, bất phương trình và hệ sau

    1) n 1 n 2n 2 n 2 n

    5C C A

    2

       .

    3) Tính giá trị của biểu thức

     

    4 3

    n 1 nA 3AM

    n 1 !

     

    biết rằng

    2 2 2 2

    n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C 149       .  1

    Giải

    ĐK: n nguyên, n 3 .

    Ta có  VT 1  

     

       

     

     

     

    n 1 ! n 2 ! n 3 ! n 4 !

    2. 2.

    2! n 1 ! 2!n! 2! n 1 ! 2! n 2 !

       

       

      

                 

    n n 1 n 3 n 4

    n 1 n 2 n 2 n 3

    2 2

      

           

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    6

     21 6n 24n 282  

    23n 12n 14   .

    Do đó  1  23n 12n 14 149    23n 12n 135 0   

     

     

    thoûa maõn

    loaïi

    x 5

    x 9

     

     

    .

    Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức sau

    1) k k 1 k 2 k 3 kn n n n n 3C 3C 3C C C

      

        ,  1

    với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn 3 k n  .

    2) k k 1 k 1 k 1 k 1n n 1 n 2 k k 1C C C … C C

       

           ,  1

    với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn k n .

    Giải

    1) Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có

     VP 1 k k 1n 2 n 2C C   

       k k 1 k 1 k 2n 1 n 1 n 1 n 1C C C C        

    k k 1 k 2

    n 1 n 1 n 1C 2C C

     

        

         k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3n n n n n nC C 2 C C C C         

    k k 1 k 2 k 3

    n n n nC 3C 3C C

         

     VT 1 (ĐPCM).

    2) Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có

    k k k 1

    n n 1 n 1C C C

      

    k k k 1

    n 1 n 2 n 2C C C

       

    k k k 1

    k 1 k kC C C

       .

    Cộng từng vế các đẳng thức trên, giản ước k kn 1 k 1C … C   ở hai vế, ta được

    knC

    k 1 k 1 k 1 k

    n 1 n 2 k kC C … C C

      

         

    k 1 k 1 k 1 k 1n 1 n 2 n 2 k 1C C … C C

       

            (chú ý:

    k k 1

    k k 1C 1 C

      ).

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    7

    Ví dụ 5. Chứng minh

    1 1 1 1 2

    1! 2! 3! n!

        ,  1

    với *n .

    Giải

    Ta có

     1  1 1 1 1

    2! 3! n!

       .  2

    Lại có

    1 1 2 1 1 1

    2! 1.2 1.2 1 2

        ,

    1 1 3 2 1 1

    3! 2.3 2.3 2 3

        ,

    1 1 4 3 1 1

    4! 3.4 3.4 3 4

        ,

     

     

     

    n n 11 1 1 1

    n! n 1 n n 1 n n 1 n

     

       

      

    .

    Cộng từng vế n 1 đẳng thức, bất đẳng thức nói trên, ta thu được

     VT 2 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 2 2 3 3 4 n 1 n

           

                          

    11 1

    n

       (ĐPCM).

    Ví dụ 6. Cho *n . Tìm  k2n

    k 0;2n

    max C

    .

    Giải

    1) Với k 0;2n 1  , xét tỷ số

     

       

     

     

    k 1

    2n

    k

    2n

    2n ! k ! 2n k !C 2n kT .

    k 1 ! 2n k 1 ! 2n ! k 1C

      

      

       

    .

    Ta có T 1  2n k 1

    k 1

     12k n   k 0;n 1  , chú ý rằng dấu “ ” không xảy ra.

    Thay từng giá trị của k vào T ta được

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    8

    1 0 n 1 n n 1 2n 1 2n

    2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C C

               .

    Vậy  k n2n 2n

    k 0;2n

    max C C

     .

    Ví dụ 7. k k 1 k

    n 1 n 1 n

    n 1 1 1 1

    n 2 C C C 

     

      

       

    với k,n , 0 k n  .

    5) n 2 n 1 2 nn k n k n kA A k A

     

        với n ,

    *k , k 2 .

    6) 2 2 2 5k n 1 n 3 n 5 n 5P A A A nk !A    với

    *n .

    7)  n 1 2 3 n 1P 1 P 2P 3P … n 1 P        với n ; n 2 .

    8)

     2 3 n1 n n n

    n 2 2 n 1

    n n n

    n n 1C C C

    C 2 3 n

    2C C C 

        với *n .

    9)

    2 3 n

    1 2n n n

    n n 11 2 n 1

    n n n

    C C C

    C 2 3 … n C

    C C C

    

         với *n .

    10)  1.1! 2.2! 3.3! … n.n! n 1 !      với *n .

    11)

    n

    kk 1

    k 1 1

    P

     với *n .

    Bài 2. Chứng minh

    1) k 4 k k 1 k 2 k 3 k 4n 4 n n n n nC C 4C 6C 4C C

        

          , với k , n , 0 k n 4   ;

    2) n 1 n 1 n 1 n 1 nn n 1 n 2 2n 1 2nC C C C C

       

           với *n .

    Bài 3. Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

    1)

     

     

    n! n 1 ! 1

    n 1 ! 6

     

    .

    2)

     

     

    n 1 !

    72

    n 1 !

    .

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    10

    3)  

     

     

       

    n 1 ! n n 1 !1 5 . 5

    n 2 n 1 n 3 !4! 12 n 3 n 4 !2!

      

      

         

    .

    4) 3nA 20n .

    5) 5 4n n 2A 18A  .

    6) 5n 3 n n 5P 72A P  .

    7)

       

    4

    n 4A 15

    n 2 ! n 1 !

     

     

    .

    8) y yy 1x x 1 x 1A : A : C 21: 60 :10

       .

    9)

    x x

    y y

    x x

    y y

    2A 5C 90

    5A 2C 80

      

     

    .

    Bài 4. Cho *n . Tìm  k2n 1

    k 0;2n 1

    max C 

     

    .

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    11

    C. Đáp số

    Bài 3

    1) 2 , 3 . 2) 8 . 3) 5 , 6 . 4) 6 .

    5) 10 . 6) 7 . 7) 3 , 4 , 5 . 8)    x;y 7;3 .

    9)    x;y 2;5 .

    Bài 4  k n n 12n 1 2n 1 2n 1

    k 0;2n 1

    max C C C   

     

      .

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    12

    Loại 2. Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán …

    Vậy theo quy tắc nhân thì số cách phân công là 4 1 4 11 2 12 3 8 2n n C C C C 207900  .

    Ví dụ 7. [ĐHD06] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5

    học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ

    sao cho 4 học sinh đó thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như

    vậy?

    Giải

    Nếu bỏ qua điều kiện 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp thì số cách chọn là 41 12n C .

    Bây giờ ta đếm số cách chọn mà 4 học sinh đó bao gồm học sinh của cả 3 lớp. Để làm như vậy

    ta có sau phương án sau.

    +) Phương án 1: Chọn 2 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H. Theo quy tắc

    nhân, số cách thực hiện phương án này là 2 1 12 5 4 4n C C C .

    +) Phương án 2: Chọn 1 học sinh lớp T, 2 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H. Theo quy tắc

    nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 2 13 5 4 4n C C C .

    +) Phương án 3: Chọn 1 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 2 học sinh lớp H. Theo quy tắc

    nhân, số cách thực hiện phương án này là 1 1 23 5 4 4n C C C .

    Số cách chọn 4 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là

    4 2 1 1 1 2 1 1 1 2

    1 2 3 4 12 5 4 4 5 4 4 5 4 4n n n n C C C C C C C C C C 225        .

    Ví dụ 8. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4

    cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 em học

    sinh A , B , C , D , E , F , mỗi em một cuốn. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng sách sao cho sau

    khi tặng, mỗi loại sách : văn học, âm nhạc, hội hoạ, thầy vẫn còn ít nhất một cuốn.

    Giải

    Ta thấy tổng hai loại sách bất kỳ đều lớn hơn 6 nên không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại

    sách.

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    16

    Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là 612A 665280 .

    Số cách chọn sao cho không còn sách văn là 56A .7 5040 .

    Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc là 4 26 8A .A 20220 .

    Số cách chọn sao cho không còn sách hoạ là 3 36 9A .A 60408 .

    Số cách chọn cần tìm là  665280 – 5040 20220 60480 579600   .

    Ví dụ 9. Hỏi từ 10 chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6

    chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1 .

    Giải

    Giả sử 1 2 3 4 5 6A a a a a a a là số cần lập. Để lập số A , ta lần lượt làm như sau

    *) Bước 1: Chọn vị trí cho chữ số 0 . Vì 1a 0 nên bước này có số cách thực hiện là 1n 5

    cách.

    *) Bước 2: Chọn vị trí cho chữ số 1 . Ta có hai phương án thực hiện bước này.

    +) Phương án 1: 1a 1 . Số cách chọn 4 vị trí còn lại là

    4

    2 8n A .

    +) Phương án 2: 1a 1 . Vì 1a 1 và chữ số 0 đã chiếm một vị trí nên để chọn vị trí

    cho chữ số 1 có 3n 4 cách. Vì  1a 0;1 nên có 4n 8 cách chọn 1a . Số cách chọn

    3 chữ số cho 3 vị trí còn lại là 35 7n A . Theo quy tắc nhân thì số cách thực hiện

    phương án 2 là 36 3 4 5 7n n n n 32A  .

    Theo quy tắc cộng, số cách thực hiện bước 2 là 4 37 2 6 8 7n n n A 32A    .

    Theo quy tắc nhân, số cách lập số A là  4 31 7 8 7n .n 5 A 32A 42000   .

    Ví dụ 10. Tính tổng các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 ,

    4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

    Giải

    * Giả sử 1 2 3 4 5A a a a a a là số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó để lập số A ta lần lượt làm

    như sau

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    17

    +) Bước 1: Chọn 5a . A chẵn  5a chia hết cho 2   a 2;4;6;8 . Như vậy, bước này có

    1n 4 cách thực hiện.

    +) Bước 2: Chọn các chữ số còn lại. Mỗi một cách chọn các chữ số 1a , 2a , 3a , 4a là một chỉnh

    hợp chập 4 của 8 phần tử    51;2;3;4;5;6;7;8;9 a nên số cách chọn các chữ số này là

    4

    2 8n A .

    Theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là 41 2 8n n n 4.A 6720   .

    * Để tính tổng các số lập được, ta tính tổng từng vị trí.

    +) Vì vai trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là giống nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số này ở

    hàng đơn vị là n 1680

    4

     . Từ đây suy ra tổng các chữ số ở hàng đơn vị là

     1680 2 4 6 8 33600    .

    +) Nếu cố định 4a 1 thì có 4 cách chọn 5a ,

    3

    7A cách chọn các vị trí còn lại. Như vậy số lần

    chữ số 1 xuất hiện ở vị trí hàng chục là 374.A 840 . Vì vai trò của các chữ số 1 , 3 , 5 , 7 , 9 là

    như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở vị trí hàng chục cũng là 840 .

    Tổng số lần xuất hiện các chữ cố 2 , 4 , 6 , 8 ở vị trí hàng chục là 6720 5.840 2520  . Vì vai

    trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở vị trí hàng

    chục cũng là 2520 630

    4

     .

    Như vậy, tổng các chữ số hàng đơn vị là    840 1 3 5 7 9 630 2 4 6 8 33600         .

    Tương tự, tổng các chữ số hàng trăm, hàng nghìn và hàng vạn bằng nhau và bằng 33600 .

    Vậy tổng các số lập được là  33600 1 10 100 1000 10000 33600.11111 373329600      .

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    18

    B. Bài tập

    Bài 1. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số

    đôi một khác nhau thỏa mãn thêm điều kiện

    1) là số chẵn.

    2) chia hết cho 5 .

    Bài 2. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được

    lập từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

    Bài 3. Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được

    lập từ các chữ số 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

    Bài 4. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số.

    Biết chữ số 1 xuất hiện đúng hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau.

    Bài 5. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số.

    Biết chữ số 1 có thể không xuất hiện hoặc xuất hiện một số chẵn lần, còn các chữ số còn lại đôi

    một khác nhau.

    Bài 6. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số chia hết

    cho 2 . Biết chữ số 2 xuất hiện hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau.

    Bài 7. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một

    khác nhau và trong các chữ số có chữ số 2 và chữ số 4 .

    Bài 8. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số

    biết rằng trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó.

    Bài 9. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số

    thỏa mãn một trong hai điều kiện: trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn

    chữ số đứng sau nó hoặc trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số

    đứng sau nó.

    Bài 10. Một trường Phổ thông trung học có 280 nam sinh và 325 nữ sinh.

    1) Có bao nhiêu cách chọn ra 11 học sinh.

    2) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ.

    3) Giả sử trong các học sinh nam có một bạn bạn tên là Long và trong các nữ sinh có một bạn tên

    là Ngọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ nhưng không đồng thời có

    hai bạn Long và Ngọc.

    Bài 11. Trong một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong số đó có nam sinh Hưng và

    nữ sinh Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp gồm 6 người từ những học sinh ưu tú với yêu cầu có

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    19

    ít nhất hai nữ sinh, ngoài ra ban cán sự không đồng thời có cả Hưng và Hoa. Hỏi có bao nhiêu

    cách lập ban cán sự này.

    Bài 12. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Hỏi có bao nhiêu cách

    lập một đoàn công tác 3 người từ các nhà khoa học nói trên sao cho trong đoàn có cả nam và nữ,

    có cả nhà toán học và nhà vật lý.

    Bài 13. Một trường trung học có 8 thầy dạy toán, 5 thầy dạy lý và 3 thầy dậy hóa học. Hỏi có

    bao nhiêu cách cử 3 thầy thuộc đủ cả 3 bộ môn đó đi đại hội.

    Bài 14. Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Hỏi có

    bao nhiêu cách lập ra một hội đồng thường trực gồm 3 người từ những thành viên nói trên sao

    cho trong đó có ít nhất 1 nam.

    Bài 15. Có bao nhiêu cách xếp 3 người bạn nam và 2 bạn nữ vào một cái ghế dài sao cho bất kỳ

    ai đều ngồi bên cạnh ít nhất một người cùng giới.

    Bài 16. Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách xếp 10 học

    sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đừng liền nhau.

    Bài 17. Có 10 câu hỏi trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập. Thầy giáo có bao nhiêu

    cách để lập ra một đề thi gồm 3 câu, trong đó có cả lý thuyết và bài tập từ 10 câu hỏi nói trên.

    Bài 18. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 cảnh sát làm

    nhiệm vụ ở khu vực A, 4 cảnh sát làm nhiệm vụ ở khu vực B và 2 người còn lại trực tại đồn.

    Bài 19. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn và dán 3 tem

    thư lên 3 bì thư.

    Bài 20. Có 7 nghệ sĩ, trong đó có 4 nam và 3 nữ, tham gia một buổi biểu diễn mà mỗi người

    phải biểu diễn đúng một tiết mục.

    1) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho trong chương trình ấy xen kẽ hết nam lại đến

    nữ nghệ sĩ biểu diễn.

    2) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho 2 tiết mục đầu và tiết mục sau cùng là do

    nam biểu diễn.

    Bài 21. Có bao nhiêu cách xếp 10 vật phân biệt vào 4 hộp phân biệt sao cho hộp thứ nhất chứa

    3 vật, hộp thứ hai chứa 2 vật, hộp thứ ba chứa 2 vật, hộp thứ tư chứa 3 vật.

    Bài 22. Đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, 7 nam, trong đó có danh thủ nam là Đường Ngọc

    Hưng và danh thủ nữ là Lý Thu Thủy. Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia gồm 3

    nữ và 4 nam từ đội dự tuyển nói trên sao cho trong đội phải có cả nam lẫn nữ và có mặt hai danh

    thủ.

    THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: chúng tôi

    20

    Bài 23. Chia nhóm 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình

    thành hai tổ có số học sinh bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia mà mỗi tổ đều có học sinh

    giỏi và có ít nhất là 2 học sinh khá.

    Bài 24. Tổ I gồm 10 người và tổ II gồm 9 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm câu lạc

    bộ bóng bàn gồm 8 thành viên sao cho mỗi tổ có ít nhất hai người thuộc câu lạc bộ này.

    Bài 25. Trong một lớp có 33 người trong đó có 7 nữ và 26 nam. Có bao nhiêu cách chia lớp

    thành ba tổ sao cho: tổ 1 gồm 10 người, tổ 2 gồm 11 người, tổ 3 gồm 12 người và mỗi tổ có

    ít nhất hai nữ.

    Bài 26. Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4

    cặp anh em sinh đôi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh

    trên đi dự đại hội Cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào.

    Bài 27. Một đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối

    12 , 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 . Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội

    đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn đi.

    Bài 28. Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 em

    trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Lượng Giác Có Điều Kiện
  • Các Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác
  • Phương Trình Lượng Giác Và Ứng Dụng (Nâng Cao)
  • Giáo Án Chủ Đề Tự Chọn 11 Tiết 7: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Chương Viii: Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp Và Bài Tập Áp Dụng

    --- Bài mới hơn ---

  • Bàn Về Hai Dạng Toán Của Giải Tích Tổ Hợp
  • Chương Ii. §2. Hoán Vị
  • Những Lưu Ý Khi Giải Bài Toán Bất Phương Trình Dành Cho Học Sinh Lớp 9
  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 4: Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
  • Chuyên Đề Phương Trình Nghiệm Nguyên
  • Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có n cách thực hiện phương án A mcách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách.

    Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A B . Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n. m cách.

    + Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

    + Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: P n=n!=n(n-1)(n-2)…1.

    + Chú ý: 0! = 1

    ⇒ Vậy có P 5 = 5! = 120 cách sắp.

    Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.

    ° Lời giải:

    + Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.

    ⇒ Vậy có 4.24 = 96 số.

    + Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤k≤n) là:

    Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n≥1). Mỗi cách chọn ra k (n ≥ k ≥ 1) phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

    + Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1≤k≤n) là:

    II. Bài tập áp dụng Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

    Trường hợp 1. Chọn 1 học sinh nam. có 308 cách

    Trường hợp 2. Chọn 1 học sinh nữ. Có 325 cách

    Vậy, có 308 + 325 = 633 cách chọn một học sinh tham dự cuộc thi trên.

    P(x) =ax 3+bx 2+cx+d mà ác hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3,-2,0,2,3}. Biết rằng.

    a) Các hệ số tùy ý;

    b) Các hệ số đều khác nhau.

    a) Có 4 cách chọn hệ số a (vì a≠0). Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 4 cách chọn hệ số d. Vậy có. 4.5.5.5 =500 đa thức.

    b) Có 4 cách chọn hệ số a (a≠0).

    – Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b.

    – Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c.

    – Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d.

    Theo quy tắc nhân ta có. 4.4.3.2=96 đa thức.

    Chọn học sinh nam ta có 15 cách chọn

    Ứng với 1 học sinh nam, chọn 1 học sinh nữ có 25 cách chọn

    Vậy số cách chọn là 15. 25=375 cách.

    Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ra số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.

    a) Hỏi lập được bao nhiêu số?

    b) Có bao nhiêu số lẻ?

    a) Số tự nhiên có bốn chữ số dạng là: abcd

    Có 7 cách chọn a

    Có 6 cách chọn b

    Có 5 cách chọn c

    Có 4 cách chọn d

    Vậy có 7.6.5.4 = 840 số

    b) Cách tính các số lẻ:

      Cách 1. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số dạng:abcd

    Vì số lẻ nên tận cùng là số lẻ nên d có 4 cách chọn.

    Có 6 cách chọn a

    Có 5 cách chọn b

    Có 4 cách chọn c

    Vậy có 4.6.5.4 = 480 số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau

      Cách 2. Số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau dạng: abc1 hoặc abc3 hoặc abc5 hoặc abc7

    + Xét số dạng abc1

    chọn a có 6 cách

    chọn b có 5 cách

    chọn c có 4 cách

    Vậy có 6.5.4 = 120 số lẻ dạng abc1

    + Tương tự các trường hợp còn lại. Vậy có 4.120 = 480 số lẻ có bốn chữ số được lập từ các số đã cho.

    a) Hỏi lập được bao nhiêu số.

    b) Có bao nhiêu số chia hết cho 5.

    a) Số tự nhiên có 3 chữ số dạng: abc

    Có 6 cách chọn a vì a≠0.

    Có 6 cách chọn b

    Có 5 cách chọn c

    Vậy có 6.6.5 = 180 số

    b) Số tự nhiên có 3 chữ số và chia hết cho 5 dạng: ab0 hoặc ab5

    + Xét số dạng ab0

    Có 6 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 6.5 = 30 số

    + Xét số dạng ab5

    Có 5 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 5.5 = 25 số

    ⇒ Tổng số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5 là 30+25=55 số

    Mỗi cách xếp 8 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 8 phần tử.

    Vậy số cách xếp 8 người thành hàng dọc là: 8! = 8.7.6.5.4.3.2 = 40320 (cách xếp)

    Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 5 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bởi số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có có thể tạo bao nhiêu tín hiệu nếu.

    a) Cả 5 lá cờ đều được dùng;

    b) Ít nhất một lá cờ được dùng.

    a) Nếu dùng cả 5 lá cờ thì một tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ.

    Vậy có: 5! =120 tín hiệu được tạo ra.

    b) Mỗi tín hiệu được tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả.

    . Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.

    Để xác định số cách xếp ta phải làm theo các công đoạn như sau.

    1. Chọn 3 nam từ 6 nam. có C36 cách.
    2. Chọn 2 nữ từ 5 nữ. có C25 cách.
    3. Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau. có 5! Cách.

    Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thầy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Có bao nhiêu cách lập sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai.

    ♦ TH1. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q. Khi đó ta cần chọn 2 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 2 trong 4 cô (trừ cô Q)

    ♦ TH2. hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P. Khi đó ta cần chọn 3 trong 6 thầy còn lại (trừ thầy P) rồi chọn 1 trong 4 cô (trừ cô Q)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Các Dạng Toán Bất Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Logarit Cách Giải Và Bài Tập
  • Dạy Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số
  • Tìm Điều Kiện Của Tham Số M Để Phương Trình Lượng Giác Có Nghiệm
  • Một Số Phương Pháp Giải Các Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực
  • Giai Thừa Với Bài Toán Tổ Hợp

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • Lý Thuyết Giải Các Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Thường Gặp
  • Giáo Án Đại Số 11 Chương 1 Tiết 11: Thực Hành Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Bằng Máy Tính Bỏ Túi Casio Fx 500Ms
  • Phương Trình Hóa Học Đầy Đủ Chi Tiết Nhất
  • Kỹ Thuật Giải Phương Trình Hàm
  • (HNM) – Số đếm được hình thành từ xa xưa trong lịch sử. Khi toán học phát triển, một số nhà toán học khi làm toán lại quan tâm đến tích của những số đếm đầu tiên như 1 x 2, 1 x 2 x 3… Người ta gọi tích của n số đếm đầu tiên là n giai thừa, kí hiệu là n!. Chẳng hạn, 2! = 1 x 2 = 2, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.

    Những nhà toán học nổi tiếng như Legendre, Gauss, James Stirling, Vandermonde… sử dụng cách viết 1 x 2 x 3 x 4… trong các định lí hay công thức toán học của mình. Người đầu tiên dùng kí hiệu n! là nhà toán học người Pháp Christian Kramp (1760-1826) vào năm 1808. Ông tốt nghiệp ngành y khoa nhưng lại quan tâm nhiều đến toán học. Ông đã viết một số sách về y khoa và đến năm 1793 thì xuất bản sách viết về tinh thể học. Năm 1794, Kramp trở thành giảng viên dạy toán, lý, hóa. Năm 1809, ông được bổ nhiệm làm giáo sư. 8 năm sau, ông được bầu vào Viện Hàn lâm khoa học Pháp. Việc đưa kí hiệu n! vào giúp cho mọi người giảm đáng kể thời gian công sức, góp phần đáng kể vào sự phát triển của toán học.

    Dựa vào khái niệm giai thừa, ta thấy (n + 1)! = (n + 1) x n!. Chẳng hạn với n = 4 thì 5! = 5 x 4!. Thật vậy, 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5, còn 5 x 4! = 5 x (1 x 2 x 3 x 4). Do đó 5! = 5 x 4!. Người ta gọi (n + 1)! = (n + 1) x n! là một công thức truy hồi. Muốn tính giai thừa của một số, ta tính theo giai thừa của số bé hơn. Biết 4! = 24, muốn tính 6!, ta có thể làm như sau: 5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120, 6! = 6 x 5! = 6 x 120 = 720.

    Bây giờ ta giải thích tại sao phải có kí hiệu 0! và 1!. Theo khái niệm ở trên thì n! chỉ tích của n số đếm đầu tiên. Theo công thức truy hồi thì 2! = 2 x 1! hay 2 = 2 x 1!, từ đó 1! = 1. Đến bài toán tổ hợp, chẳng hạn tính số đoạn thẳng nối 2 điểm. Đáp số rõ ràng là 1. Tức là 2C2 = 1 hay 2! : (2! x (2 – 2)!) = 1. Từ đó 2 : (2 x 0!) = 1, 2 x 0! = 2, 0! = 1. Vậy để đầy đủ các khái niệm giai thừa cho các số tự nhiên, người ta quy ước 0! = 1! = 1.

    Kết quả kỳ trước. Trong hình vuông 3 x 3 có tất cả 36 hình chữ nhật. Phần thưởng trao cho các bạn: Phương Minh Tuấn (7B, THCS Tân Mai); Trần Nhật Huy (7A7, THCS Ngô Sĩ Liên); Phạm Trần Duy Hưng, Phạm Trần Quang Nguyên (P506, C2, TT Quỳnh Mai).

    Câu hỏi kỳ này: Nối các đỉnh của hình vuông được 6 đoạn thẳng. Theo em thì dùng công thức nào để tính? Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giai Thừa Lớn Chứa Giai Thừa Bé Và Ứng Dụng
  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 Es Plus
  • Giải Toán 10 Bài 2. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn
  • Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình
  • Đại Số 10/chương Iii/§1. Đại Cương Về Phương Trình
  • Chuyên Đề Bài Tập Trắc Nghiệm Tổ Hợp Xác Suất Violet, Bài Tập Chuyên Đề Tổ Hợp Xác Suất Violet

    --- Bài mới hơn ---

  • Lời Giải Hay Toán 9 Sbt
  • Đề Ôn Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Có Đáp Án Chi Tiết
  • Các Bài Toán Về Trung Bình Cộng Lớp 4
  • Bài Tập Kế Toán Thuế Xuất Nhập Khẩu Có Lời Giải
  • Lời Giải Thích Trong Tiếng Tiếng Anh
  • Đang xem: Trắc nghiệm tổ hợp xác suất violet

    quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Bài tập trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp có đáp án, hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp lý thuyết, Chuyên đề hoán vị chỉnh hợp tổ hợp violet, giải phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Bài tập trắc nghiệm quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Chuyên đề hoán vị chỉnh hợp tổ hợp violet, Bài tập trắc nghiệm chuyên đề tổ hợp xác suất, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp toanmath, Công thức hoán vị, Bài tập tự luận tổ hợp xác suất, Tổ hợp chỉnh hợp, quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Cách tính to hợp, chỉnh hợp, Chuyên de to hợp xác suất, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Công thức tính số hoán vị Pn là, Chủ đề tổ hợp

    Giải phương trình Tổ hợp Hoán vị Chỉnh hợp

    quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Bài tập trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp có đáp án, hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp lý thuyết, Chuyên đề hoán vị chỉnh hợp tổ hợp violet, giải phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Bài tập trắc nghiệm quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Chuyên đề hoán vị chỉnh hợp tổ hợp violet, Bài tập trắc nghiệm chuyên đề tổ hợp xác suất, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp toanmath, Công thức hoán vị, Bài tập tự luận tổ hợp xác suất, Tổ hợp chỉnh hợp, quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Cách tính to hợp, chỉnh hợp, Chuyên de to hợp xác suất, Bằng số sánh hoán vị, chỉnh hợp, to hợp, Trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, Công thức tính số hoán vị Pn là, Chủ đề tổ hợp

    Chuyên đề tổ hợp, phương trình, bất phương trình, hệ pt tổ hợp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đề Cương Ôn Tập Về Phương Trình Đường Thẳng
  • Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 Cơ Bản Có Đáp Án Chi Tiết.
  • Cảm Nhận Về Nhạc Phẩm “Giải Phóng Ðiện Biên” Của Ðỗ Nhuận
  • Bài Tập Toán Đố Dạng Phân Số Lớp 6 Hk 2 (Có Lời Giải Chi Tiết)
  • Bài Tập Lời Giải Kết Cấu Thép 1
  • Ôn Tập Chương Ii. Tổ Hợp. Xác Suất

    --- Bài mới hơn ---

  • Kiểm Tra 45 Ph Chương 2 Đại Số 11
  • Giáo Án Giải Tích 12
  • Ôn Tập Chương I Giải Tích 12
  • Toán 12 Ôn Tập Chương 1 Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
  • Bài 5 Ôn Tập Chương 1 Giải Tích 12
  • BÀI GIẢNG: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

    GIÁO VIÊN: ĐÀO THÙY LINH

    Lớp 11a2

    Tiết : 37- ÔN TẬP CHƯƠNG 2

    Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2

    TỔ HỢP – XÁC SUẤT

    I – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

    Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2

    -Ghép các nội dung ở các tấm bìa màu xanh + màu vàng hoặc màu hồng + màu vàng sao cho hợp lý !

    Phần thi KHỞI ĐỘNG

    Thời gian : 5 Phút

    10 điểm dành cho mỗi ý trả lời đúng!

    I – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

    1. Hoán vị :

    2. Chỉnh hợp :

    3. Tổ hợp:

    4. Nhị thức Newton :

    Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2

    5. Các loại biến cố thường gặp

    6. Các quy tắc tính xác suất

    a) Xác suất của biến cố A:

    b) A, B là hai biến cố xung khắc :

    c) Biến cố đối:

    d) A, B là hai biến cố độc lập:

    e) A, B là hai biến cố bất kì :

    I – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

    1. Hoán vị :

    2. Chỉnh hợp :

    3. Tổ hợp:

    4. Nhị thức Newton :

    Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2

    I – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

    5. Các loại biến cố thường gặp: Chắc chắn, không thể, hợp, đối, xung khắc, bất kì, độc lập (7)

    6. Các quy tắc tính xác suất

    a) Xác suất của biến cố A:

    b) A, B là hai biến cố xung khắc :

    c) Biến cố đối:

    Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2

    I – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

    6. Các quy tắc tính xác suất

    e) A, B là hai biến cố bất kì :

    d) A, B là hai biến cố độc lập:

    Tiết : 37 – ÔN TẬP CHƯƠNG 2

    SỐ ĐIỂM DÀNH CHO 3 ĐỘI….?….

    Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng

    Hệ số của trong khai triển biểu thức bằng:

    A. 1752 B. -1272 C.1272 D.-1752

    Câu 2: Tham khảo BGD – ĐT 2022

    Một hộp có 5 quả cầu xanh, 6 quả cầu đỏ. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để được 2 quả cùng màu

    A. 5/22 B. 6/11 C.5/11 D.8/11

    Câu 3: MĐ 103 BGD – ĐT 2022

    Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên, xác suất để chọn được 2 số có tổng là một số chẵn bằng:

    A. 11/21 B. 221/441 C.10/21 D.1/2

    10 phút

    Phần thi Chung sức

    Câu 1: MĐ 102 BGD – ĐT 2022

    Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng

    Câu 2: Tham khảo BGD – ĐT 2022

    Câu 3: MĐ 103 BGD – ĐT 2022

    Phần thi Chung sức

    -1272. ĐÁP ÁN : B

    5/11. ĐÁP ÁN : C

    10/21. ĐÁP ÁN : C

    Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng

    Phần thi Chung sức

    KẾT THÚC PHẦN THI CHUNG SỨC SỐ ĐIỂM CỦA BA ĐỘI….????

    Phần thi VỀ ĐÍCH

    A

    C

    D

    B

    MĐ 101 BGD – ĐT 2022:Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được 2 số có tổng là một số chẵn là:

    C

    Phần thi VỀ ĐÍCH

    Đáp án

    Buổi học ngày hôm nay đến đây là kết thúc!

    Xin chân trọng cảm ơn quý thầy cô giáo đã quan tâm và tới dự giờ

    KÍNH CHÚC QUÝ THẦY CÔ SỨC KHỎE!

    --- Bài cũ hơn ---

  • Full Toán 11 Chuong 2 To Hop Xac Suat
  • Bai Tap Trac Nghiem Chuong 2 Ds
  • On Tap Dai So 11 Chuong 2 To Hop Xat Suat
  • Đề Kiểm Tra 45′ Giải Tích 11 Chương 2
  • Chương Iii. §2. Tích Phân
  • Bài Tập Hoán Vị Chỉnh Hợp Tổ Hợp 11 (Có Đáp Án)

    --- Bài mới hơn ---

  • 60 Cau Trac Nghiem Chuong Dai So To Hop Có Dap An
  • 320 Bài Tập Trắc Nghiệm Chương 2 Tổ Hợp Xác Suất Có Đáp Án
  • Đáp Án Trò Chơi Qua Sông Iq Logic 1
  • Đáp Án Game Qua Sông Iq Đầy Đủ (32 Câu)
  • Soạn Bài Rút Gọn Câu Sách Bài Tập Ngữ Văn 7 Tập 2
  • bài tập hoán vị chỉnh hợp tổ hợp 11 (có đáp án)

    §2 HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

    A. LÝ THUYẾT

    1. Hoán vị: Cho một tập hợp A có n phần tử (). Bài toán hoán vị là bài toán sắp xếp, đổi chỗ n phần tử đó vào n vị trí tương ứng.

    Định lý: Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Chú ý:

    2. Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với . Bài toán chỉnh hợp là bài toán chọn k phần tử trong n phần tử, cách chọn này có phân biệt thứ tự (công việc, chức vụ…)

    Định lý: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là .

    3. Tổ hợp: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với . Bài toán tổ hợp là bài toán chọn k phần tử trong n phần tử, cách chọn này không phân biệt thứ tự.

    Định lý: Gọi là số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) thì:

    4. Hai tính chất cơ bản của số Cnk

    Tính chất 1: Cnk = Cnn-k Tính chất 2: Cnk-1 + Cnk = Cn+1k

    B. BÀI TẬP

    Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh ( trong đó có 2 bạn A và B) đứng thành một hàng dọc để chào cờ sao cho trong đó có hai bạn A và B đứng kề nhau? (240)

    Cho 10 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn.

    a/ Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu là hai trong số 10 điểm đã cho ?

    b/ Có bao nhiêu véctơ có gốc và ngọn trùng với hai trong số 10 điểm đã cho ?

    c/ Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là ba trong số 10 điểm đã cho ?

    Một họ 4 đường thẳng song song cắt một họ khác gồm 3 đường thẳng song song (không song song với 4 đường ban đầu). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên ? (18)

    Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song nhau. Trên d1 lấy 5 điểm, trên d2 lấy 3 điểm. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm đã chọn ? (45)

    Trên 3 cạnh của một tam giác lần lượt cho 4 , 5 , 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của nó được lấy từ các điểm đã cho? (Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các điểm đã cho?) (421)

    Có 4 bi xanh, 3 bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 viên bi trong đó có bi xanh ít hơn bi đỏ?

    Trên một giá sách có 4 cuốn sách Toán , 5 cuốn sách Lý và 6 cuốn sách Hóa. Cần chọn 3 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu 3 cuốn sách đó cùng một môn.

    Một nhóm có 4 học sinh khối 10, 5 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho có đúng 1 học sinh khối 11

    Có 7 bút xanh, 3 bút đỏ. Có bnhiêu cách chọn ra 3 bút sao cho luôn có đủ 2 loại bút xanh và đỏ? (84)

    Có 3 bi trắng, 4 bi vàng, 6 bi đen (tất cả bi đều khác nhau). Có bao nhiêu cách chọn ra:

    2 bi cùng màu? b) 3 bi khác màu? c) 3 bi có 2 màu khác nhau?

    Trong một cuộc đua thuyền có 16 thuyền cùng xuất phát. Hỏi có bao nhiêu khả năng xếp loại?

    4 thuyền về đích đầu tiên ? b) 3 thuyền về nhất, nhì, ba ?

    Một tổ có 7 nam và 5 nữ. Người ta cần chọn ra 4 em để tham gia đồng diễn thể dục, yêu cầu có ít nhất hai em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

    Từ một hộp có 3 quả cầu trắng, 4 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 quả sao cho trong 5 quả cầu đó có ít nhất 1 quả màu đỏ? (Phải có bi đỏ)

    Có 4 bạn nam và 3 bạn nữ. Có bao nhiêu cách xếp họ thành 1 hàng sao cho?

    Họ ngồi tùy ý? b)Nam nữ ngồi xen kẽ? (144)

    Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:

    a) Một cách tuỳ ý?

    b) Theo từng môn?

    c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?

    Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào 1 ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

    6 người

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tn Tổ Hợp. Xác Suất Có Đáp Án Chi Tiết
  • Tóm Tắt Lý Thuyết Phương Trình Mặt Phẳng Và Bài Tập Trắc Nghiệm Có Lời Giải
  • Các Dạng Bài Tập Toán Phương Trình Mặt Phằng Oxyz Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
  • Bài 4. Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Tuongvi Doc
  • Giải Bài Tập Sgk Ôn Tập Chương Iv: Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100