Top #10 Xem Nhiều Nhất Giải Pt Và Biện Luận Mới Nhất 5/2022 # Top Like

--- Bài mới hơn ---

Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”

Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay

Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp

Chuyên đề môn Toán lớp 10

Chuyên đề Toán học lớp 10: Giải và biện luận phương trình bậc hai được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề: Giải và biện luận phương trình bậc hai

I. Lý thuyết & Phương pháp giải

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax ² + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax ² + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

– Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

– Trường hợp 2: a ≠0. Ta lập Δ = b ² – 4ac. Khi đó:

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm (kép): x = -b/2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Lưu ý:

– Phương trình ax ² + bx + c = 0 có nghiệm

– Phương trình ax ² + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Phương trình (m-1)x ² + 3x – 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:

Hướng dẫn:

Với m = 1, phương trình trở thành 3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3

Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với m ≠1, ta có Δ = 9 + 4(m-1) = 4m + 5

Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0

Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm

Bài 2: Phương trình (x ² – 3x + m)(x – 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:

Hướng dẫn:

Phương trình (x ² – 3x + m)(x – 1) = 0 ⇔

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Bài 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn m ∈ {-10; -9; -8;…; -1} ∪ {4; 5; 6;…; 10}

Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = -x ² – 2x + 3 và y = x ² – m có điểm chung

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm -x ² – 2x + 3 = x ² – m

Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇔ Δ’ = 1 – 2(-m-3) ≥ 0 ⇔ m ≥ -7/2

Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = 2x + m tiếp xúc với parabol (P): y = (m-1)x ² + 2mx + 3m – 1

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm (m-1)x ² + 2mx + 3m – 1 = 2x + m

⇔ (m-1)x ² + 2(m-1)x + 2m – 1 = 0 (*)

Để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

Với nội dung bài Giải và biện luận phương trình bậc hai chúng tôi xin giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô nội dung cần nắm vững phương pháp giải và biện luận cách giải phương trình bậc hai….

--- Bài cũ hơn ---

Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai

Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất

Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ

4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay

Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ

--- Bài mới hơn ---

Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai

Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai

Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”

Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay

Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình

Giải và biện luận phương trình bậc nhất

Lý thuyết & Phương pháp giải

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ minh họa

a. Giải phương trình khi m = 0

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x – 1 = 0 ⇔ x = 1/6

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6

b. Ta có (m ² – 7m + 6)x + m ² – 1 = 0 ⇔ (m-1)(m-6)x + (m-1)(m+1) = 0

Nếu (m-1)(m-6) ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -(m+1)/(m-6)

Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.

Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 (Vô lí). Khi đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m – 4)x = m – 2 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m ² – 5m + 6)x = m ² – 2m vô nghiệm.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m ² – 1)x = m – 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho nghiệm đúng với ∀x ∈ R hay phương trình có vô số nghiệm khi

Bài 5: Cho phương trình m ² x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.

Hướng dẫn:

Phương trình viết lại (m ² – 4)x = 3m – 6.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ≠ -2

Bài 6: Cho hai hàm số y = (m + 1) ² x – 2 và y = (3m + 7)x + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.

Hướng dẫn:

Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

(m + 1) ² x – 2 = (3m + 7)x + m có nghiệm duy nhất

⇔ (m ² – m – 6)x = 2 + m có nghiệm duy nhất

Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn nên

m ∈ {-10; -9; -8;…; -4; -2; -1; 0; 1; 2; 4;…; 10}

Vậy 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp

--- Bài cũ hơn ---

Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ

4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay

Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ

Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn

Cđ Một Số Dạng Pt Vô Tỷ Và Cách Giải

--- Bài mới hơn ---

Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai

Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”

Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay

Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

A/ Giải và biện luận: Phương trình

– : phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0.

+ pt(2) vô nghiệm.

+ : pt(2) có nghiệm kép .

+ : pt(2) có 2 nghiệm phân biệt ;

Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương trình.

B/ Hệ thức Vi-et

 Hai số là hai nghiệm của phương trình khi và chỉ khi chúng thỏa các hệ thức: .

 Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét:

– Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

– Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:

( Điều kiện tồn tại hai số trên là )

– Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức có hai nghiệm thì nó có thể phân tích thành nhân tử

Chuyên đề : Giải và biện luận phương trình bậc hai : Tóm tắt lý thuyết A/ Giải và biện luận: Phương trình : phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0. : Đặt + pt(2) vô nghiệm. + : pt(2) có nghiệm kép . + : pt(2) có 2 nghiệm phân biệt ; Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương trình. B/ Hệ thức Vi-et Hai số là hai nghiệm của phương trình khi và chỉ khi chúng thỏa các hệ thức: . Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: ( Điều kiện tồn tại hai số trên là ) Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức có hai nghiệm thì nó có thể phân tích thành nhân tử Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai: + + + C/ Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình: Cho phương trình . Đặt trong đó là 2 nghiệm của phương trình (2) 1/ Pt(2) vô nghiệm 2/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm 3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt 4/Pt(2) có VSN 5/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu 6/ Pt(2) có 2 nghiệm dương 7/ Pt(2) có 2 nghiệm âm 8/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương 9/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm 10/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương 11/Pt(2) có nghiệm kép 12/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm Các dạng bài tập áp dụng: I/ Dạng : Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc 2: Phương pháp: Đặt điều kiện: (Tìm tập xác định của phương trình). Quy đồng khử mẫu, quy về phương trình bậc hai. Giải phương trình, so với điều kiện để nhận nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình Giải Điều kiện: Nghiệm phương trình Bài tập: Giải các phương trình 1/ 2/ II/ Dạng: Giải và biện luận phương trình: Ví dụ: Giải và biện luận phương trình Giải * * + : Phương trình vô nghiệm. + : Phương trình có nghiệm kép . + : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Kết luận: + m < 1: Phương trình vô nghiệm + m = 1: phương trình có nghiệm x = -2 + m = 2: phương trình có nghiệm + phương trình có 2 nghiệm phân biệt Bài tập áp dụng: 1/ 2/ 3/ 4/ III/ Dạng : Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, chứng minh phương trình luôn có nghiệm: Phương pháp: tính nếu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 5x + ( m – 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt Giải Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Ví dụ 2: cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện Giải a) Ta có b) Theo vi ét ta có Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình x2 + ( 2m – 1 )x – m = 0 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất Bài tập 2:Cho phöông trình baäc hai x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0 a)Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät b) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm laø 2, tìm nghieäm coøn laïi c) Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm x1 vaø x2 thoaû maõn Bài tập 3: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå caùc nghieäm cuûa phöông trình a) Thoaû maõn b) Thoaû maõn Bài tập 4: Cho phöông trình a) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät b) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thoaû maõn c) Chöùng toû raèng A = ñoäc laäp vôùi m Bài tập 5: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x2 – 2( m – 2)x + m – 1 = 0 a ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để c) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m giải HD: c) (1) Lấy (1) chia cho (2) ta có: II/ Dạng 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Phương pháp tính rồi xét = 0 thì phương trình có nghiệm kép Ví dụ 1:Tìm m để phương trình có nghiệm kép tìm n kép đó Giải Phương trình có nghiệm kép khi Nghiệm kép đó là Bài tập: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm kép đó IV/ Dạng : Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung Ví dụ 1: Tìm m để hai phương trình sau và có nghiệm chung tìm nghiệm chung đó Giải Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có và Trừ vế với vế của mỗi phương trình ta được ( m – 1)(x0 – 1) = 0 Nếu m = 1 thì hai phương trình đã cho trở thành x2 + x +1 = 0 Phương trình này vô nghiệm do Vậy do đó x0 = 1 Thay x0 = 1 vào phương trình (1)ta được m = -2 -Với m = -2 thì phương trình x2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x1= x2 = 1 Phương trình x2 +x – 2 = 0 có nghiệm x3 = 1; x4 = -2 Vậy nghiệm chung x0 = 1 Bài tập 1: với giá trị nào của m thì hai phương trình sau và có ít nhất một nghiệm chung tìm nhiệm chung đó. Bài tập 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung và V/ Dạng : Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện. Ví dụ: Định m để phương trình có 2 nghiệm bằng nhau và tìm nghiệm đó. Giải: phương trình đã cho có nghiệm kép Với Với Vậy m = 0 thì nghiệm x = -1 m = 4 thì nghiệm x = 3 Bài tập 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó. 1/ 2/ 3/ Bài tập 2: Chứng tỏ phương trình sau có nghiệm với mọi m thuộc R 1/ 2/ 3/ 4/ Bài tập 3: Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm với mọi m thuộc R 1/ 2/ 3/

--- Bài cũ hơn ---

Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất

Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ

4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay

Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ

Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn

--- Bài mới hơn ---

Hướng Dẫn Trả Lời Câu Hỏi Và Bài Tập Sgk Gdcd Lớp 10 Bài 12: Công Dân Với Tình Yêu, Hôn Nhân Và Gia Đình

Giáo Án Giáo Dục Công Dân 10

Câu Hỏi Tự Luận Gdcd 10 Bài 12

Trắc Nghiệm Gdcd 10 Bài 12 (Có Đáp Án): Công Dân Với Tình Yêu, Hôn Nhân Và Gia Đình (Phần 1).

Gdcd 10 Bài 9 Giải Bài Tập

TRƯỜNG THPT TRẦN ĐẠI NGHĨA TÂY NINH

GIÁO DỤC CÔNG DÂN

KHỐI 10

GV :NGUY?N VAN PHONG

CHƯƠNG TRÌNH GDCD LỚP 10

PHẦN 1

PHẦN 2

CD với việc hình thành

thế giới quan,

phương pháp luận khoa học

Công dân với

Đạo đức

Bài 1



Th? gi?i quan duy v?t v

Phuong php lu?n bi?n ch?ng

1.-Thế giới quan và phương pháp luận

2.- Chủ nghĩa duy vật biện chứng – sự thống nhất hữu cơ giữa thế giới quan duy vật và phương pháp luận biện chứng

Nội dung bài học

?

Để nhận thức thế giới chung quanh

con người đã xây dựng nên nhiều môn

khoa học khác nhau, em hãy cho biết

có những môn khoa học nào? Và đối tượng

nghiên cứu của nó là gì?

Sự biến đổi chất

Môn Sinh

Môn Sử

Môn Toán

Môn Hoá

Sự phát triển loài người

N/c lịch sử của XH loài người

hoặc lịch sử của dân tộc

N/c quy luật vận động

Về những con số …

Ngoài các môn khoa học trên còn có môn nào nghiên cứu nghiên cứu những vấn đề chung nhất phổ biến nhất của thế giới không? Gọi là gì?

Triết học

Vậy môn Triết học là gì?

Đối tượng nghiên cứu của

bộ môn này là gì?

?

Là hệ thống các quan điểm lí luận

chung nhất về thế giới và vị trí của con người

trong thế giới đó



I.- Thế giới quan và phương pháp luận

1.- Vai trò thế giới quan

phương pháp luận của triết học

Khẳng định ý thức có trước và là cái sản sinh ra thế giới tự nhiên



2.- Thế giới quan duy vật và

thế giới quan duy tâm

BÀI TẬP

Trong các luận điểm sau đây, hãy xác định

luận điểm nào là duy tâm – duy vật

a.- Tất cả các hành động xâm lược là sự biểu hiện

bản lĩnh bành trướng xâm lược của con người

b.- Chiến tranh bắt đầu từ trí óc của con người.

c.- Chiến tranh là do sự sở hữu KT tư nhân sinh ra.

d.- Chiến tranh là sự thực hiện những mục đích

cá nhân và những tham vọng bá quyền

BÀI TẬP

Đoạn thơ sau đây thể hiện quan

điểm triết học nào?

Ngẫm hay muôn sự tại trời

Trời kia đã bắt làm người có thân

Bắt phong trần phải phong trần

Cho thanh cao mới được phần thanh cao.

Siêu hình

Là xem xét sự vật một

cách phiến diện chỉ

thấy chúng tồn tại độc

lập, không phát triển,

áp dụng máy móc đặc

tính của sự vật này

vào sự vật khác



Theo em 2 phương pháp biện chứng và siêu hình chúng ta chọn phương pháp nào? Tại sao? Cho ví dụ.

Bài tập

II.- Chủ nghĩa duy vật biện chứng –

sự thống nhất hữu cơ giữa thế giới quan duy vật

Và phương pháp luận biện chứng

Thế giới vật chất

luôn luôn vận động

và phát triển theo

những quy luật

khách quan

Những quy luật khách

quan được con người

nhận thức và xây dựng

thành phương pháp luận

Thống nhất hữu cơ với nhau



Dặn dò

Xem trước bài 2 : Thế giới vật chất

tồn tại khách quan

Tổ 1 ,2,3 thuyết trình phần 1,2,3

CHC CC EM

--- Bài cũ hơn ---

Gdcd 10 Bài 7: Thực Tiễn Và Vai Trò Của Thực Tiễn Đối Với Nhận Thức

Hướng Dẫn Giải Bài 1 2 3 4 5 6 Trang 23 Sgk Gdcd 10

Hướng Dẫn Giải Bài 1 2 3 4 5 Trang 11 Sgk Gdcd 10

Giải Bài Tập 2 Gdcd 10 Bài 14

Câu 2 Trang 33 Sgk Gdcd 10

--- Bài mới hơn ---

Lt+Bài Tập Điện Xoay Chiều Hot(Có Lời Giải Chi Tiết)

60 Bài Tập Điện Xoay Chiều Có Giải Chi Tiết

32 Bt Dđxc Hay Và Khó (Có Lời Giải Chi Tiết)

100 Câu Điện Xoay Chiều

Một Số Bài Tập Điện Xoay Chieu Có Đồ Thị

Nội dung bài giảng

Bài toán biện luận theo R,L,C là một bài ập nếu học sinh không có phương pháp thì sẽ rất dễ gây nhầm lẫn vì bài toán này có cả biện luận theo R , biện luận theo L, biện luận theo C và biện luận theo w trong mỗi trường hợp này lại có nhiều trường hợp nhỏ khác. Do đó để có thể hoàn thành tốt các bài tập trắc nghiệm về biện luận theo R, L, C và w học sinh cần nắm được phương pháp chung để giải bài toán biện luận, và với mỗi trường hợp biện luận thì với những trường hợp khó biến đổi thì học sinh ghi nhớ kết quả còn các trường hợp khác em có thế để tự xây dựng.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BIỆN LUẬN

I- Một số kiến thức toán học cần vận dụng khi gặp các dạng bài tìm cực trị

Trong phần điện xoay chiều, chúng ta thường gặp bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một đại lượng vật lí khi có một yếu tố biến thiên, tùy vào từng bài toán cụ thể, ta sẽ chọn một trong các phương pháp sau đây:

Phương pháp 1: Dùng bất đẳng thức Côsi

+ Áp dụng cho 2 số dương a,b

Phương pháp 2:

+ Định lí hàm số cosin trong tam giác: a ² = b ² + c ² – 2.b.c.cosA

(cosα) _max = 1 ⇔ α = 0°; (sinα) _max = 1 ⇔ α = 90°

Phương pháp 3: Dựa vào hàm số bậc 2: y = f(x) = ax² + bx + c (a # 0)

+ Đồ thị:

Phương pháp 4: Dùng đạo hàm

Nội dung:

+ Hàm số y = f(x) có cực trị khi f'(x) = 0

+ Giải phương trình f'(x) = 0

+ Lập bảng biến thiên tìm cực trị.

+ Vẽ đồ thị nếu đề bài yêu cầu khảo sát sự biến thiên.

Ngoài các phương pháp trên còn có một số phương pháp khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại

lượng vật lí. Tùy theo biểu thức của đại lượng vật lí có dạng hàm số nào mà áp dụng bài toán để giải. Có

những hàm số không có cực trị, chỉ có tính đồng biến hoặc nghịch biến ta tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

trong miền nào đó.

Trong đoạn [a,b]: f(b) lớn nhất khi x = b

f(a) nhỏ nhất khi x = a.

II- Lưu ý chung

Bài toán điện xoay chiều thường có 3 cách giải, tùy theo dữ kiện bài toán, đọc đề bắt buộc ta phải biết nên

đi theo con đường nào. Cách giải dùng máy tính cầm tay là nhanh nhất nhưng chỉ áp dụng cho những bài

mạch này lệch pha với điện áp đoạn mạch khác hoặc bài toán có nhiều giá trị điện áp. Còn không thấy những

dữ kiện như trên thì chỉ còn cách là đại số, tức là phải lập các phương trình hay hệ phương trình liên hệ giữa

đại lượng đã cho và đại lượng cần tìm. Tất nhiên, có những bài toán mà ta chỉ cần hiểu và nhớ công thức, áp

dụng vào là có kết quả nhanh chóng, chắng hạn P = P _max, cos ²φ hay I = I _max.cosφ; U _R = U _Rmax.cosφ, và

nhiều công thức khác nữa, vì vậy trong quá trình học ta phải nhớ và biết cách vận dụng một cách linh hoạt.

Danh sách các bài trắc nghiệm luyện tập

--- Bài cũ hơn ---

7 Dạng Bài Tập Dòng Điện Xoay Chiều Hay Và Khó Trong Đề Thi Thpt Qg

Học Giải Sách Bài Tập Lý 9

Học Giải Sách Bài Tập Lý 12 Nâng Cao

Giới Thiệu Sách Tháng 11_Cuốn Sách ” 500 Bài Tập Vật Lí Thcs”

Giải Sbt Tiếng Anh 6 Unit 8: What Are You Doing?

--- Bài mới hơn ---

Chuyên Đề: Rèn Kỹ Năng Giải Phương Trinh Đại Số 8

Chuyên Đề: Phương Trình Lớp 8

Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8

Đề Cương Ôn Hkii Lớp 8 (New)

Giải Bài Tập Ngữ Văn Lớp 8 Bài 18: Nhớ Rừng

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU

Trang 2

1/ Lí do chọn đề tài

Trang 2

2/ Mục đích nghiên cứu

Trang 2

3/ Nhiệm vụ nghiên cứu

Trang 3

4/ Pham vi và đối tượng nghiên cứu

Trang 3

5/ Phương pháp nghiên cứu

Trang 3

CHƯƠNG I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Trang 3

1/ Cơ sở lý luận

Trang 3

2/ Cơ sở thực tiễn

Trang 4

CHƯƠNG II: Các biện pháp

Trang 5

1/ Những giải pháp mới của đề tài.

Trang 5

2/ Các phương trình thường gặp

Trang 5

3/ Các dạng bất phương trình thường gặp

Trang 15

CHƯƠNG III: Thực nghiệm sư phạm

Trang 22

1/ Mục đích thực nghiệm

Trang 22

2/ Nội dung thực nghiệm

Trang 22

3/ Kết quả thực nghiệm và một số chú ý

Trang 31

PHẦN III: KẾT LUẬN

Trang 33

Tài lệu tham khảo

Trang 35

Chương II . Các biện pháp

1. Những giải pháp mới của đề tài

( Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:

– Sắp xếp các dạng phương trình bất phương trình theo các mức độ.

– Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình và bất phương trình.

– Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.

– Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình và bất phương trình.

– Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.

a) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản

+ Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0.

+ Phương pháp giải phương trình tích.

+ Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

+Bất phương trình dạng: (hoặc , , )

b) Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ năng giải phương trình và phương trình

+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phương, khai thác bài toán.(nâng cao)

+ Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phương trình và bất phương trình thường gặp

2. Các phương trình thường gặp

a. Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình

( Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).

( Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:

Phương pháp chung:

– Thực hiện bỏ dấu ngoặc.

– Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c.

( Chú ý: Nếu a 0, phương trình có nghiệm x =

Nếu a = 0, c 0, phương trình vô nghiệm

Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)

Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Giải: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)

5 – x + 6 = 12 – 8x

– x + 8x = 12 – 11

7x = 1

x = Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)

Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)

x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)

-2x = 7 (sai từ trên)

x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)

Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là:

Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc

Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế

Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái

Lời giải đúng: (2) x – 1 – 2x + 1 = 9 – x

x – 2x + x = 9

0x = 7

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:

Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc

--- Bài cũ hơn ---

Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 4: Phương Trình Tích

Các Dạng Toán Về Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Bài Tập Vận Dụng

Unit 1 Lớp 8 A Closer Look 1

Giải Bài Tập Sbt Tiếng Anh Lớp 8 Chương Trình Mới Unit 1: Leisure Activities

Giải Sbt Tiếng Anh Lớp 8 Unit 1: Leisure Activities

--- Bài mới hơn ---

Luyện Tập Phần Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Sách Giáo Khoa Toán Lớp 8

Lý Thuyết Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Hay, Chi Tiết

Chuyên Đề 3, 4 : Phương Trình Tích, Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu

Bài 5, Tiết 47: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu

Toán 8 Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Sbt

Với phương trình chứa ẩn ở mẫu khi giải đã hay nhầm lẫn điều kiện rồi, giờ lại thêm biện luận nữa thì chắc chắn không tránh khỏi nhiều sai sót. Trong quá trình giảng dạy thầy thấy có một vấn đề mà đa số học sinh hay mắc phải khi biện luận nghiệm phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Bài toán: Giải và biện luận nghiệm của phương trình sau theo tham số m: $frac{2m-1}{x-2}=m-3$

Cách giải của học sinh thứ 1:

Điều kiện: $xneq 2$

Ta có:

$frac{2m-1}{x-2}=m-3$

$Rightarrow 2m-1=(m-3)(x-2)$

$Rightarrow 2m-1=mx-2m-3x+6$

$Rightarrow (m-3)x=4m-7$

Tới đây bạn ý xét 2 trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Xét $m-3=0 Rightarrow m=3$

Khi đó ta có phương trình: $0.x=5$ (vô lý)

Vậy với $m=3$ phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: Xét với $m-3 neq 0 Rightarrow mneq 3$

Khi đó phương trình có nghiệm là: $x=frac{4m-7}{m-3}$.

Vậy với $mneq 3$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=frac{4m-7}{m-3}$.

Các bạn hãy cho biết lời giải của bạn học sinh trên đã chính xác chưa?

Nếu chưa chính xác các bạn có thể giúp bạn ấy tìm ra sai sót nào trong lời giải được không?

Nếu các bạn cho là chính xác rồi thì hãy giúp thầy thay giá trị $m=frac{1}{2}$ vào phương trình xem sao? ( giá trị này của m không thuộc vào tập nghiệm mà học sinh trên kết luận)

Nếu thay $m=frac{1}{2}$ vào phương trình ta có: $frac{0}{x-2}=frac{-5}{2} Rightarrow 0=frac{-5}{2}$ (vô lý)

Tức là với $m=frac{1}{2}$ phương trình không có nghiệm. Vậy kết luận $m neq 3$ phương trình có nghiệm là chưa chính xác.

Giờ làm thế nào để tìm ra được giá trị $m=frac{1}{2}$ làm phương trình vô nghiệm. Chúng ta cùng tìm hiểu lời giải của bạn học sinh thứ 2.

Cách giải của học sinh thứ 2:

Điều kiện: $xneq 2$

Ta có:

$frac{2m-1}{x-2}=m-3$

$Rightarrow 2m-1=(m-3)(x-2)$

$Rightarrow 2m-1=mx-2m-3x+6$

$Rightarrow (m-3)x=4m-7$

Tới đây bạn học sinh này của chúng ta cũng xét 2 trường hợp như học sinh 1. Xem ra lời giải không khác gì so với lời giải của bạn học sinh thứ 1 nhỉ? Chúng ta cứ xem tiếp xem có chuyện lạ gì sảy ra không vậy.

Trường hợp 1: Xét $m-3=0 Rightarrow m=3$

Khi đó ta có phương trình: $0.x=5$ (vô lý)

Vậy với $m=3$ phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: Xét với $m-3 neq 0 Rightarrow mneq 3$

Khi đó ta có: $x=frac{4m-7}{m-3}$

Vì điều kiện của bài toán là $x neq 2$ nên để $x=frac{4m-7}{m-3}$ là nghiệm của phương trình thì $frac{4m-7}{m-3} neq 2 Leftrightarrow 4m-7 neq 2m-6 Leftrightarrow m neq frac{1}{2}$

Vậy:

• Với $ m neq frac{1}{2}, m neq 3$ thì phương trình có nghiệm duy nhất: $x=frac{4m-7}{m-3}$
• Với $ m=frac{1}{2}, m=3$ thì phương trình vô nghiệm.

À! Đọc hết tới đây mới phát hiện ra là có sự khác biệt rõ rệt phải không các bạn. Chúng ta thấy lời giải của bạn học sinh thứ 2 chặt chẽ đầy đủ hơn học sinh thứ 1 rất nhiều. Vì thế mới tìm được đầy đủ giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm và vô nghiệm.

Sai lầm khi biện luận nghiệm của phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Nhờ cách giải của bạn học sinh thứ 2 mà các bạn đã biết được tại sao giá trị $m=frac{1}{2}$ lại làm cho phương trình vô nghiệm. Điều mà nhiều học sinh không phát hiện ra được.
• Cũng nhờ lời giải của bạn học sinh 2 mà các em có thêm được một kết luận chính xác cho trường hợp phương trình vô nghiệm. Không chỉ $m=3$ làm cho phương trình vô nghiệm (như kết luận của học sinh 1) mà $m=frac{1}{2}$ cũng làm cho phương trình vô nghiệm.
• Đa số học sinh khi gặp bài toán dạng này thường làm như học sinh thứ 1, mà quên mất rằng chúng ta cần xét điều kiện tồn tại của nghiệm xem có thỏa mãn không? giống như cách làm của học sinh thứ 2.

Với hai lời giải của bài toán trên chắc chắn đã giúp chúng ta tránh được sai sót, sai lầm khi biện luận nghiệm phương trình chứa ẩn ở mẫu. Hãy rèn luyện thật tốt kĩ năng giải toán và luôn tìm ra cho mình cách giải hay và chính xác.

Hãy cho biết suy nghĩ của bạn về bài giảng trên và đừng quên Subscriber, like fanpage để luôn là người nhận được bài giảng mới nhất, sớm nhất.

Và nếu bạn có ý tưởng hay về một bài toán nào đó trong chương trình phổ thông hãy gửi ngay cho thầy nếu bạn muốn chia sẻ tới tất cả mọi người.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

--- Bài cũ hơn ---

Chuyên Đề Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Lớp 8: Lý Thuyết Và Cách Giải

Đs8.tuần 22.tiết 48. Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Thức(Tt)

Giáo Án Môn Đại Số 8

Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu Lớp 8A1

Skkn Một Số Phương Pháp Giúp Học Sinh Lớp 9 Học Tốt Giải Phương Trình Có Chứa Ẩn Ở Mẫu Skkn Nam 20122013 Doc

--- Bài mới hơn ---

Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn

Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ

4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay

Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ

Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất

Published on

1. 1. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc MỤC LỤC PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………………………………….. Trang 2 I/ Lí do chọn đề tài ………………………………………………………………………………………. Trang 2 II/ Mục đích nghiên cứu đề tài ………………………………………………………………………. Trang 2 III/ Phạm vi nghiên cứu – đối tượng nghiên cứu……………………………………………… Trang 3 IV/ Các phương pháp nghiên cứu và tiến hành ……………………………………………….. Trang 3 PHẦN II – NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI…………………………………………………………… Trang 3 I/ Cơ sở lý luận……………………………………………………………………………………………. Trang 3 II/ Cơ sở thực tiễn………………………………………………………………………………………… Trang 4 III/ Nội dung và phương pháp nghiên cứu…………………………………………………….. Trang 5 1. Khái niệm phương trình vô tỉ…………………………………………………………………….. Trang 5 2. Phương pháp chung………………………………………………………………………………….. Trang 5 3. Phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản………………………………………………… Trang 6 3.1) Phương pháp nâng lên luỹ thừa ……………………………………………………………. Trang 6 3.2) Phương pháp đưa về pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ……………………… Trang 13 3.3) Phương pháp đặt ẩn phụ ……………………………………………………………………… Trang 15 3.4) Phương pháp đưa về hệ phương trình……………………………………………………. Trang 20 3.5) Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức…………………………………………………….. Trang 25 3.6) Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất …………………………………………… Trang 28 3.7) Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp – Trục căn thức………………………… Trang 29 IV/ Kết quả…………………………………………………………………………………………………. Trang 31 PHẦN III. KẾT LUẬN………………………………………………………………………………… Trang 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………………………………. Trang 32 PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU. I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc nắm được các phương trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phương trình đó với những đối tượng là học sinh đại trà, ngoài ra mở rộng các phương trình đó ở dạng khó hơn, phức tạp hơn đối với đối tượng học sinh khá – giỏi. Thực trạng số lượng bài về phương trình vô tỷ trong SGK rất ít và là những bài đơn giản thường đưa về phương trình trị tuyệt đối hoặc bình phương mất căn đưa về Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 1
2. 3. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc IV- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN HÀNH : 1. Phương pháp nghiên cứu: + Tham khảo thu thập tài liệu. + Phân tích, tổng kết kinh nghiệm. + Kiểm tra kết quả chất lượng học sinh. + Đưa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện. + Phương pháp điều tra, trắc nghiệm. + Ngoài ra tôi còn sử dụng một số phương pháp khác. 2. Phương pháp tiến hành: Thông qua các dạng phương trình vô tỉ cơ bản đưa ra phương pháp giải, hướng khắc phục những sai lầm thường gặp và đưa ra các dạng bài tập tự giải. PHẦN II- NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I- CƠ SỞ LÝ LUẬN: Như chúng ta biết Toán học là một môn khoa học công cụ, nó giữ một vai trò chủ đạo trong các nhà trường cũng như đối với các ngành khoa học khác. Toán học như một kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say, ham muốn khám phá và thấy được Toán học cũng thú vị, lãng mạn không kém những môn khoa học khác. Các bậc phụ huynh, các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn mơ ước học giỏi bộ môn Toán, tuy nhiên để đạt được điều đó thật chẳng dễ dàng gì. Hiện nay, trong các nhà trường đặc biệt là nhà trường THCS, ngoài việc dạy kiến thức cơ bản cho HS thì việc dạy cách học, cách nghiên cứu và phát triển kiến thức cho các em rất được chú trọng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ môn Toán, bản thân mỗi người giáo viên phải tự mình tìm ra những phương pháp giải sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và kích thích lòng ham muốn học Toán của các em, từ đó tìm ra được những học sinh có năng khiếu về bộ môn này, để có thể bồi dưỡng các em trở thành những học sinh giỏi, có ích cho xã hội. Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vôi tỉ. Phương trình vô tỉ là một đề tài lý thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỉ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi, học hỏi và phát triển tư duy. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 3
3. 5. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 35 học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về giải phương trình vô tỉ như sau: Điểm dưới 5 Điểm 5 – 6 Điểm 7 – 8 Điểm 9 – 10 SL % SL % SL % SL % 18 51.4 12 34.3 4 11.4 1 2.9 Một trong những nguyên nhân dẫn tới những khó khăn trên của HS đó là các em chưa phân biệt được các dạng phương trình vô tỉ và phương pháp giải nó, việc tìm tòi, khám phá về phương trình vô tỉ cũng gặp rất nhiều khó khăn vì các tài liệu về phương trình vô tỉ cũng chưa nhiều. Để giúp các em HS nắm đúng, nắm chắc từng dạng và phương pháp giải từng dạng từ đó phát triển năng lực tư duy nhằm đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm ”Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS ” áp dụng cho khối THCS với hy vọng phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em HS khi gặp dạng phương trình này và cũng là một tài liệu nhỏ để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp. III- NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ: a) Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. b) Các ví dụ: a) 11 =−x b) 2173 =+−+ xx c) 12 +− xx =3 d) 3 23 33 2 1 1 4 11 x x x xx − − − = +− 2. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Để giải phương trình vô tỉ ta tìm cách khử dấu căn. Cụ thể: – Tìm ĐK của phương trình. – Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học. – Giải phương trình vừa tìm được. – So sánh kết quả với ĐK rồi kết luận nghiệm. 3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN: 3.1. Phương pháp 1: Phương pháp nâng lên luỹ thừa: a) Dạng 1: ( )f x c= (c là hằng số) (1) Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ Sơ đồ cách giải: – Nếu c < 0 phương trình (1) vô nghiệm. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 5
4. 8. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 2 2 22 (x) 0 (x) 0 g(x) 0 g(x) 0 (x) g(x) 0 2 (x).g(x) (x) g(x) 4 (x).g(x) (x) g(x) f f c f f c f f c f ≥  ≥ ≥  ⇔ ≥ ⇔  − − ≥   = − −   = − −  * Chú ý: Nếu ta có: ( ) g( )f x x c− = thì ta giải như sau: ( ) 2 2 (x) 0 (x) 0 ( ) g( ) ( ) g( ) g(x) 0 g(x) 0 f(x) g(x) c 2 (x)f(x) g( ) f f f x x c f x x c c gx c  ≥ ≥  − = ⇔ = + ⇔ ≥ ⇔ ≥    = + += +  2 2 22 2 (x) 0 (x) 0 g(x) 0 g(x) 0 (x) g(x) c 0 2 (x) (x) g(x) c 4 (x) (x) g(x) c f f f c g f c g f ≥  ≥ ≥  ⇔ ≥ ⇔  − − ≥   = − −   = − −  Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 3 1 0x x+ + − = (1) Gợi ý: Ta có: 3 2 3 0 2 3 1 0 2 1 0 1 x x x x x x  + = = −  + + − = ⇔ ⇔  − =  = (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 2 1 5x x− + − = (1) Gợi ý: ĐK 1 1 0 11 2 1 0 2 x x x x x ≥ − ≥  ⇔ ⇔ ≥  − ≥ ≥  Ta có: ( ) 2 1 2 1 5 1 2 1 25x x x x− + − = ⇔ − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 27 3 0 2 1 2 1 27 3 4 2 3 1 27 3 x x x x x x x − ≥ ⇔ − − = − ⇔  − + = − 2 1 9 1 9 55 150 725 0 145 x x xx x x x ≤ ≤ ≤ ≤  ⇔ ⇔ ⇔ ==  − + =   = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 5 Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 2 9 3 2x x x+ − − − = Gợi ý: Ta có: 2 2 2 2 9 3 2 9 3 2x x x x x x+ − − − = ⇔ + = − − + Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 8
5. 9. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 1 13 21 13 1 1323 0 21 13 9 3 2 82 16 3 16 644 3 8 x x x x x xx x x x x x x xx x x  − ≤  − ≤  + − − ≥  ≥  ⇔ ⇔+   ≥+ = − − + ⇔   ≥ −   − − = + + − − = +   2 1 13 8 1 13 2 8 42 1 13 281 13 2 152 4 15 32 112 0 28 15 x x x x xx x x x x  − − ≤ ≤ − − ≤ ≤  =+  ≥ ⇔ ⇔ ⇔ − +   =≥  =   − − = −  =  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 28 4; 15 −      e) Dạng 5: ( ) g( ) ( )f x x h x+ = (1) – Đặt điều kiện: (x) 0 g(x) 0 h(x) 0 f ≥  ≥  ≥ – Bình phương hai vế của (1), ta có: 2 2 (x)g(x) (x) (x) g(x)f h f⇔ = − − . Trở lại dạng 2 * Chú ý: Giải tương tự với dạng: ( ) g( ) ( )f x x h x− = với điều kiện ( ) ( )f x h x≥ Ví dụ 1: Giải phương trình: 8 2 7 1 7 4x x x x+ + + + + − + = (1) Gợi ý: ĐK: 2 7 0 7 7 7 8 2 7 0 1 0 1 0 2 1 7 36 01 7 0 2 x x x x x x x x x x x xx xx x x  + ≥  ≥ − ≥ −≥ −    + + + ≥ ⇔ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥    + ≥ +   ≤ −+ − ≥ + − + ≥    ≥ Ta có: (1) ( ) 2 7 1 1 7 4x x x⇔ + + + + − + = Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 9
6. 10. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 7 1 1 7 4 1 7 3 7 3 7 0 7 3 1 7 9 7 6 7 5 7 15 7 3 7 9 2(t/ m) x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + + + − + = ⇔ + − + = − +  − + ≥ + ≤  ⇔ ⇔  + − + = + + − + + =   ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 1 1 2x x x x− + + + = + (1) Gợi ý: ĐK: 2 1 0 1 1 0 1 2 2 0 x x x x x x x  − + ≥ ≥ − + ≥ ⇔ ⇔ ≥ −  ≥ − + ≥ Ta có: (1) 2 2 2 1 1 2 ( 1)( 1) 4 4x x x x x x x x⇔ − + + + + − + + = + + ( ) 3 3 3 2 3 2 2 2 1 4 2 1 2 1 1 4 4 1 0 4 4 0 4 4 0 2 2 2 (t/ m) 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ + = + + =  ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = +  = − Vậy tập nghiệm của phương trình là: { }0;2 2 2;2 2 2S = + − g) Dạng 6: ( ) ( ) ( )f x g x h x+ = Sơ đồ cách giải: ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (x) 0 (x) 0 ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) (x) g(x) f x f x g x g x h h f x g x f x g x h x f x g x h x f ≥ ≥   ≥ ≥  ⇔ ⇔ ≥ ≥    + + = = − −  Đến đây bài toán trở lại dạng 2 Chú ý: Giải tương tự với dạng: ( ) ( ) ( )f x g x h x− = Ta có: ( ) ( ) ( ) (x) g(x) f(x)f x g x h x h− = ⇔ + = ⇒ Bài toán trở lại dạng 6 Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 4 4 2x x x+ + − = (1) Điều kiện: 4 3 4 0 3 4 0 4 4 0 0 x x x x x x x − ≥+ ≥  − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥   ≥ ≥   Ta có: (1) ( ) ( )3 4 4 2 3 4 4 4x x x x x⇔ + + − + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 3 4 4 4 3 4 4 0 43 4 x x x x x x x x x − =⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =  = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 10
7. 11. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Ví dụ 2: Giải phương trình: 1+x – 7−x = x−12 Gợi ý: ⇔ 1+x = x−12 + 7−x (1) ĐK: 12×7 7x 12x 1x 07x 0x12 01x ≤≤⇔      ≥ ≤ −≥ ⇔      ≥− ≥− ≥+ (2) Bình phương hai vế ta được: )7x)(x12(27xx121x −−+−+−=+ ⇔ )7x)(x12(24x −−=− (3) Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thỏa mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được: (x – 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) ⇔ 5×2 – 84x + 352 = 0 Phương trình này có 2 nghiệm x1 = 5 44 và x2 = 8 đều thoả mãn (2). Vậy x1 = 5 44 và x2 = 8 là nghiệm của phương trình. h) Dạng 7: ( ) g( ) (x) (x)f x x h k+ = + Sơ đồ cách giải: Điều kiện: (x) 0 g(x) 0 (x) 0 k(x) 0 f h ≥  ≥  ≥  ≥ Bình phương hai vế của phương trình, ta có: (x) g(x) 2 (x)g(x) (x) k(x) 2 (x)k(x)f f h h+ + = + + ( )2 (x)g(x) (x)k(x) (x) k(x) f(x) g(x)f h h⇔ − = + − − ⇒ Bài toán trở lại dạng 5 Ví dụ 1: Giải phương trình : 1+x + 10+x = 2+x + 5+x (1) Gợi ý: ĐK :        ≥+ ≥+ ≥+ ≥+ 05 02 010 01 x x x x ⇔        −≥ −≥ −≥ −≥ 5 2 10 1 x x x x ⇔ x ≥ -1 (2) Bình phương hai vế của (1) ta được: x+1 + x+ 10 + 2 )10)(1( ++ xx = x+2 + x+ 5 + 2 )5)(2( ++ xx ⇔ 2 + )10)(1( ++ xx = )5)(2( ++ xx (3) Với x ≥ -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được: )5x)(2x()10x)(1x()10x)(1x(44 ++=++++++ Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 11
8. 12. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ⇔ 1x)10x)(1x( −−=++ Điều kiện ở đây là x ≤ -1 (4) Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)    −≤ −≥ 1 1 x x ⇔ x = -1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1). Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 1 2 16 2 4 2 9x x x x+ + + = + + + (1) Gợi ý: ĐK: 1 2 1 0 2 2 16 0 8 1 2 4 0 2 2 2 9 0 9 2 x x x x x x x x x − ≥+ ≥  + ≥ ≥ − −  ⇔ ⇔ ≥  + ≥ ≥ −   + ≥ − ≥  Ta có: (1) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 16 2 2 1 2 16 2 4 2 9 2 2 4 2 9x x x x x x x x⇔ + + + + + + = + + + + + + 2 2 4 34 16 2 4 26 36x x x x⇔ + + + = + + (2) Hai vế của (2) không âm. Bình phương hai vế của (2), ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 34 20 4 4 34 16 4 26 36 4 34 16 2 4 2 4 0 2 0(t/ m) 04 34 16 4 16 16 x x x x x x x x x x x x xx x x x ⇔ + + + + + = + + ⇔ + + = − + − + ≥ ≤  ⇔ ⇔ ⇔ =  =+ + = − +  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0 * Nhận xét : Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn thì phải có điều kiện để cả hai vế của phương trình đều không âm. Với hai số dương a, b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1,2,3…..) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn thức, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đều dương đây là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan, còn thiếu sót khi sử dụng phương pháp này. Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với nhau . * Bài tập áp dụng: 1. 42 −x = x- 2 5. x−1 = x−6 – )52( +− x 2. 41 2 ++ xx = x+ 1 6. 3 1−x + 3 2−x = 3 32 −x 3. x−1 + x+4 =3 7. x + 1x + = 1−x + 4+x 4. 3 45+x – 3 16−x =1 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 12
9. 13. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 3.2. Phương pháp 2: Phương pháp đưa về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Sơ đồ cách giải: 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x f x g x f x g x f x f x g x  ≥  == ⇔ = ⇔  ≤  = − Ví dụ 1: Giải phương trình: 416249 2 +−=+− xxx (1) Gợi ý: ĐK:    ≥+− ≥+− 04 016249 2 x xx ⇔    ≤ ∀≥− 4 0)43( 2 x xx ⇔ x ≤ 4 Ta có: (1) ⇔ 43 −x = -x + 4⇔    −=− +−=− 4x4x3 4x4x3 ⇔    = = 0x 2x (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 = 2; x2 = 0 Ví dụ 2: Giải phương trình: 442 +− xx + 1682 +− xx = 5 (1) Gợi ý: ĐK: x∀ ∈R Ta có: (1) ⇔ 2 2 ( 2) ( 4) 5x x− + − = ⇔ 2−x + 4−x = 5 Ta xét các khoảng: + Khi x < 2 ta có (2) ⇔ 2 – x + 4 – x = 5 ⇔ 6 – 2x = 5 ⇔ x = 0,5 (thoả mãn x < 2) + Khi 2 ≤ x < 4 ta có (2) ⇔ x – 2 + 4 – x = 5 ⇔ 0x + 2 = 5 (phương trình vô nghiệm) + Khi x ≥ 4 ta có (2) ⇔ x – 2 + x – 4 = 5 ⇔ 2x – 6 =5 ⇔ x =5,5 (thoả mãn x ≥ 4) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 = 0,5; x2 = 5,5 Ví dụ 3: Giải phương trình: 314 +−− xx + 816 +−− xx = 1 (1) Gợi ý: ĐK: x ≥ 1 Ta có: (1) ⇔ 414)1( +−−− xx + 916)1( +−−− xx = 1 ⇔ 2 )21( −−x + 2 )31( −−x = 1⇔ 21 −−x + 31 −−x =1 (2) – Nếu 1 ≤ x < 5 ta có (2) ⇔ 2- 1−x + 3 – 1−x = 1 ⇔ 1−x =2 ⇔ x = 5 không thuộc khoảng đang xét – Nếu 5 ≤ x < 10 thì (2) ⇔ 1−x – 2 + 3 – 1−x = 1 ⇔ 0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 13
10. 14. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc – Nếu x ≥ 10 thì (2) ⇔ 1−x – 2 + 1−x – 3 = 1 ⇔ 31x =− ⇔ x = 10 (thỏa mãn). Vậy phương trình có vô số nghiệm: 5 ≤ x ≤ 10 Nhận xét : Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối được sử dụng để giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc như trên, song trong thực tế cần lưu ý cho học sinh một số vấn đề sau: – Áp dụng hằng đẳng thức 2 A = A – Học sinh thường hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên giáo viên cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm . * Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1) 2 2 1 5x x+ + = 11) 4 4 3x x− + = 2) 2 6 9 2 1x x x− + = − 12) 4 4 5 2x x x+ + = + 3) 2 2 2 1 4 4 4x x x x− + + + + = 13) 2 1 4 4 10x x x x− + − − + = 4) 2 2 2 6 9 2 8 8 2 1x x x x x x− + + + + = − + 14) 2 2 4 4 6 9 1x x x x− + + − + = 5) 2 1 2 1 2x x x x+ − + − − = 15) 3 2 4 4 4 1x x x x− − − + − − = 6) 6 2 2 11 6 2 1x x x x+ − + + + − + = 16) 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x− + − + + + − = 7) 2 2 2 2 1 5 0x x x x+ − + + − = 17) 45224252642 =−−−+−++ xxxx 8) 2 4 4 2 10x x x− + + = 18) 2 2 1 2 8x x x− + + = 9) 1 1 2 2 4 x x x+ + + + = 19) 05261 4 1 2 =−−++ xx 10) 3 2 1 2 1 2 x x x x x + + − + − − = 20) 2 4 4 2x x x− + = − 3.3. Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ: a) Dạng 1: Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường: Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt ( )t f x= và chú ý điều kiện của t . Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 14
11. 15. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn “. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2×2 + 3x + 932 2 ++ xx = 33 Gợi ý: ĐK: ∀ x ∈R Phương trình đã cho tương đương với: 2×2 + 3x + 9 + 932 2 ++ xx – 42= 0 (1) Đặt 932 2 ++ xx = t (t ≥ 0) (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ t) Ta có: (1) ⇔ t2 + t – 42 = 0 Phương trình này có hai nghiệm: t1 = 6 , t2 = -7 < 0 (loại) Từ đó ta có: 932 2 ++ xx = 6 ⇔ 2×2 + 3x -27 = 0 Phương trình này có hai nghiệm x1 = 3, x2 = – 2 9 Cả hai nghiệm này đều là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2: Giải phương trình: x + 4 x = 12 (1) Gợi ý: ĐK: x ≥ 0 Đặt 4 x = t (t ≥ 0) ⇒ x = t2 , ta có: (1) ⇔ t2 + t -12 = 0 Phương trình có 2 nghiệm là t = 3 và t = – 4 (loại) Với t = 3 ⇒ 4 x = 3 ⇒ x = 81(thỏa mãn) Vậy x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 3: Giải phương trình: 1+x + x−3 – )3)(1( xx −+ = 2 (1) Gợi ý: ĐK:    ≥− ≥+ 03 01 x x ⇔    ≤ −≥ 3 1 x x ⇔ 3×1 ≤≤− Đặt 1+x + x−3 = t ≥ 0 ⇒ t2 = 4 + 2 )3)(1( xx −+ ⇒ )3)(1( xx −+ = 2 42 −t (2) Thay vào (1) ta được: (1) 2 2 4t t 2 = − −⇔ ⇔ t2 – 2t = 0 ⇔ t(t-2)= 0 ⇔    = = 2 0 t t + Với t = 0 ⇒ 1+x + x−3 = 0⇒    =− =+ 0x3 01x (vô nghiệm) ⇒ phương trình vô nghiệm. + Với t = 2: (2)⇒ )3)(1( xx −+ = 0 ⇒ x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = -1; x2 = 3 Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = (1) Gợi ý: ĐK: 1x ≥ Nhận xét. 2 2 1. 1 1x x x x− − + − = Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 15
12. 18. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Đến đây ta tìm được u, v. Thay u, v vào thì tìm được x. Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 2 2 2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + + Gợi ý: ĐK: 1 2 x ≥ . Bình phương 2 vế ta có: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x+ − = + ⇔ + − = + − − Ta có thể đặt: 2 2 2 1 u x x v x  = +  = − khi đó ta có hệ: 1 5 2 1 5 2 u v uv u v u v  − = = − ⇔  + =  Vì , 0u v ≥ nên ( )21 5 1 5 2 2 1 2 2 u v x x x + + = ⇔ + = − . Giải tiếp ta ìm được x. Chú ý: Các phương trình dạng 2 2 u v mu nvα β+ = + có thể giải như VD4 và VD 5 c) Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Ví dụ 1: Giải phương trình: ( )2 2 2 3 2 1 2 2x x x x+ − + = + + (1) Gợi ý: Đặt 2 2t x= + ; 2t ≥ . Ta có: ( ) ( )2 2 2 3 (1)x 2 2 2 3 3 0 2 3 3 0 1 t x x x t x t x t x = + − + + − + = ⇔ − + − + = ⇔  = − Nếu t = 3 2 2 3 7x x⇔ + = ⇔ = ± Nếu t = x – 1 1 2x⇒ ≥ + . Ta có: 2 2 1 2 2 1 2 x x x x − + = − + ⇔ = (loại) Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) 2 2 1 2 3 1x x x x+ − + = + Gợi ý: Đặt: 2 2 3, 2t x x t= − + ≥ Ta có: ( ) 2 (1) 1 1x t x⇔ + = + ( )2 1 1 0x x t⇔ + − + = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 1 2 1 0 1 2 1 0 1 t x x x t x t x t x t x = ⇔ − + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔  = − Nếu t = 2 2 2 2 2 3 2 2 3 4 2 1 0 1 2x x x x x x x⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = ± Nếu t = x – 1 1 2x⇒ ≥ + . Ta có: x2 – 2x + 3 = x2 – 2x + 1 ⇒phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: ( )2 2 3 1 3 1x x x x+ + = + + (1) Gợi ý: Đặt 2 1; 1t x t= + ≥ Phương trình (1) trở thành: t2 – (x + 3)t + 3x = 0 ⇔ (t – x)(t – 3) = 0 3 t x t = ⇔  = Nếu t = x 2 1x x⇔ + = (vô nghiệm) Nếu t = 3 2 1 3 2 2x x⇔ + = ⇔ = ± . Vậy: 2 2x = ± d) Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 1 x− + 2+x =1 Gợi ý: ĐK: x ≥ -2 Đặt 2+x = t ≥ 0 2tx 2 −=⇒ . Khi đó: 3 1 x− = 3 2 3 t− Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 18
13. 20. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ⇔ 0)1u5)(1u( =−+ ⇔     = −= 5 1 u )loai(1u + Với u = 5 1 ta có: x = ( 5 1 )2 – 1 = 25 24− thỏa mãn điều kiện (1) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x = 25 24− . * Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau. + Tìm tập xác định của phương trình. + Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng f(x) g(x) ….= 0 (gọi là phương trình tích). Từ đó ta suy ra f(x) = 0; g( x) = 0;….. là những phương trình quen thuộc. + Nghiệm của PT là hợp nghiệm của các phương trình f(x) = 0; g(x) = 0;….. thuộc tập xác định . + Biết vận dụng, phối hợp một cách linh hoạt với các phương pháp khác như nhóm các số hạng, tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đưa về phương trình dạng tích quen thuộc đã biết cách giải. Bài tập áp dụng: 1. 673 −− xx = 0 2. 22 −− xx – 2 22 +− xx = 1−x 3. x(x+5) = 2 2253 2 −−+ xx 4. 2( x2 + 2x + 3) = 5 233 23 +++ xxx 3.4. Phương pháp 4: Phương pháp đưa về hệ phương trình: Các bước tiến hành: – Tìm điều kiện tồn tại của phương trình – Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung – Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 25 x− – 2 15 x− = 2 Gợi ý: ĐK: 0 ≤ x2 ≤ 15 Đặt: 2 25 x− = a (a ≥ 0) (* ); 2 15 x− = b ( b ≥ 0) ( ** ) Từ phương trình đã cho chuyển về hệ phương trình: Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 20
14. 21. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc (1)⇒      ≠+ +=+− =− 0 )(2))(( 2 ba bababa ba ⇔    =+ =− 5 2 ba ba ⇔       = = 2 3 2 7 b a + Với a = 2 7 ⇒ 25 – x2 = 4 49 ⇔ x2 = 4 51 ⇒ x = 2 51 ± (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 51 ± . Ví dụ 2: Giải phương trình: 35 3)3(5)5( −+− −−+−− xx xxxx = 2 (1) Gợi ý: ĐK: 3 ≤ x ≤ 5 Đặt     ≥=− ≥=− )0(3 )0(5 ttx uux Phương trình (1) trở thành hệ phương trình: (1) ⇔     =+− =+ 2 2 22 22 tutu tu ⇔ ut = 0 ⇔    = = 0t 0u + Với u = 0⇒ 5x0x5 =⇒=− (thỏa mãn) + Với t = 0 ⇒ 3x03x =⇒=− (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =3; x= 5. Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 2 x− + 1−x = 1 Gợi ý: ĐK: x ≥ 1 Đặt     ≥=− =− )0(1 23 ttx ux Khi đó: u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nên u3 + t2 = 1 Phương trình đã cho được đưa về hệ:    =+ =+ )2(1tu )1(1tu 23 Từ phương trình (1) ⇒ u = 1 – t. Thay vào phương trình (2) ta có: (2) ⇔ (1 – t)3 + t2 = 1 ⇔ t( t2 – 4t + 3) = 0 ⇔    =+− = 03t4t 0t 2 ⇔         = = = 3t 1t 0t + Với t = 0 ⇒ 01x =− ⇒ x = 1 (thỏa mãn) + Với t = 1⇒ 11x =− ⇒ x = 2 (thỏa mãn) + Với t = 3⇒ 31x =− ⇒ x = 10 (thỏa mãn) Vậy: x= 1; x =2 ; x = 10 là nghiệm của phương trình đã cho. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 21
15. 22. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 )1( +x + 3 2 )1( −x + 3 2 1−x = 1 Đặt: 3 1+x = a ; 3 1−x = b nên ta có: a2 = 3 2 )1( +x ; b2 = 3 2 )1( −x ; ab = 3 2 1−x . Ta được phương trình: a2 + b 2 + ab = 1 (1) Ta có:     −= += 1 1 3 3 xb xa Ta được phương trình: a3 – b3 = 2 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:     =++− =++ ⇔     =− =++ 1)abba)(ba( 1abba 2ba 1abba 22 22 33 22 Từ hệ phương trình, ta suy ra: a – b = 2 ⇒ b = a – 2 Thay vào phương trình (1) ta được: 3.(a -1)2 = 0 ⇒ a =1 Với a = 1, ta có: 3 1+x = 1 ⇒ x = 0 (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0 Ví dụ 5: Giải phương trình: 4 4 x x− + = Gợi ý: ĐK: 0 4 0 0 12 4 4 0 x x x x  ≥  + ≥ ⇒ ≤ ≤  − + ≥ Đặt 4y x= + ta có hệ phương trình: 2 2 4 4 44 x y x y y xy x  = − = −  ⇔  = += +  ( ) ( ) ( )2 2 22 1 0 44 x y x yx y x y x yx y   + − + =− = − −  ⇔ ⇔  = −= −   Vì x + y≠ 0 nên ta có hệ: 2 2 2 1 13 1 0 24 1 3 0 4 1 13 (loai) 2 xx y x x x x x y x  − + =− + = ⇒ = − − ⇔ + − = ⇒ = − − − =  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: 1 13 2 x − + = Ví dụ 6: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 3 23 3 3 1 3 1 9 1 1x x x+ + − + − = (1) Gợi ý: Đặt 3 3 3 1; 3 1u x v x= + = − Phương trình (1) trở thành hệ: 2 2 3 3 1 2 2 2 u v uv u v u v u v  + + = ⇒ − = ⇒ = + − = Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 22
16. 23. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Do đó: ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 3 6 3 0 3 1 0 1 1v v v v v v v v u+ + + + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ = Ta có: 3 3 3 1 1 0 3 1 1 x x x  + = ⇒ = − = − Vậy phương trình có nghiệm là: x = 0. Chú ý: Đối với phương trình có dạng: (x) (x)n na f b f c− + + = Ta thường đặt (x); (x)n nu a f v b f= − = + Khi đó, ta được hệ phương trình: n n u v c u v a b + =  + = + Giải hệ này ta tìm được u và v. Từ đó ta tìm được giá trị của x. Ví dụ 7: Giải phương trình: 3 1 1 1 2 2 x x+ + − = (1) Gợi ý: ĐK: 1 2 x ≤ Đặt : 3 1 1 ; 0 2 2 u x v x= + = − ≥ Ta được hệ: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 0 1 1 1 1 3 0 1 1 3 v u v v v v v v v u v v = + = ⇒ − = − ⇔ − − = ⇔ = + =  = Giải tiếp ta tìm được tập nghiệm của phương trình là: S = 1 1 17 ; ; 2 2 2 − −      Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 2 2 2 1x x x− = − (1) Gợi ý: Điều kiện: 1 2 x ≥ Ta có (1) 2 ( 1) 1 2 2 1x x⇔ − − = − Đặt 1 2 1y x− = − thì ta đưa về hệ sau: 2 2 2 2( 1) 2 2( 1) x x y y y x  − = −  − = − Trừ hai vế của phương trình ta được: ( )( ) 0x y x y− + = Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: 2 2x = + Ví dụ 9: Giải phương trình: 2 2 6 1 4 5x x x− − = + (1) Gợi ý: ĐK 5 4 x ≥ − Ta có: ( ) 2 2 1 4 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11x x x x x⇔ − − = + ⇔ − = + + Đặt 2 3 4 5y x− = + ta được hệ : 2 2 (2 3) 4 5 ( )( 1) 0 (2 3) 4 5 x y x y x y y x  − = + ⇒ − + − = − = + Với 2 3 4 5 2 3x y x x x= ⇒ − = + ⇒ = + Với 1 0 1 2 1 4 5x y y x x x+ − = ⇔ = − ⇔ − − = + (vô nghiệm) Kết luận: Nghiệm của phương trình là 2 3x = + Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 23
17. 25. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 5. Phương pháp 5: Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức: Các bước: * Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) và f(x) ≥ a; g(x) ≤ a (a là hằng số). Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a. * Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số) mà ta luôn có h(x) ≥ m; hoặc h(x) ≤ m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra. * Áp dụng các bất đẳng thức: Côsi; Bunhia côpxki, …. a) Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình: 1−x – 15 −x = 23 −x (1) Gợi ý: ĐK:      ≥− ≥− ≥− 023 015 01 x x x ⇔          ≥ ≥ ≥ 3 2 5 1 1 x x x 1x ≥⇔ Với x ≥ 1 thì x < 5x do đó 1−x < 15 −x Suy ra: Vế trái của (1) là số âm, còn vế phải là số không âm. Vậy phương trình vô nghiệm . Ví dụ 2: Giải phương trình: 1162 +− xx + 1362 +− xx + 4 2 54 +− xx = 3 + 2 (1) Gợi ý: Ta có: (1) ⇔ 2)3( 2 +−x + 4)3( 2 +−x + 4 2 1)2( +−x = 3 + 2 Mà 2)3( 2 +−x + 4)3( 2 +−x + 4 2 1)2( +−x ≥ 2 + 4 + 1 = 3 + 2 ⇒ VP = VT = 3 + 2 khi    =− =− 02x 03x    = = ⇔ 2x 3x (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài tập áp dụng: 1. 1−x – 1+x = 2 2. 62 +x = x – 2 12 −x 3. x−6 + 2+x = x2 – 6x +13 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 25
18. 26. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc b) Dạng 2: Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − − (1) Gợi ý: Ta có: (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 4 5 1 9 5 1x x x⇔ + + + + + = − + Mà: VT = ( ) ( ) 2 2 3 1 4 5 1 9 4 9 5x x+ + + + + ≥ + = VP = ( ) 2 5 1 5x− + ≤ ( ) 2 1 0 1 0 1VT VP x x x⇒ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − Vậy phương trình có nghiệm là: x = -1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 4−x + x−6 = x2 -10x + 27 (1) Gợi ý: ĐK: 4 ≤ x ≤ 6 Theo BĐT Côsi, ta có: 4−x 2 4×1 −+ ≤ x−6 2 x61 −+ ≤ 2 2 x61 2 4×1 x64xVT = −+ + −+ ≤−+−=⇒ Mà: VP= x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 ≥ 2 (∀ x) VPVT =⇒ khi: x- 4 = 6 – x 5x10x2 =⇒=⇔ (thỏa mãn) Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình (1) Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 2 2 6 15 6 18 6 11 x x x x x x − + = − + − + (1) Gợi ý: Ta có: (1) ( ) ( ) 2 2 4 1 3 9 3 2 x x ⇔ + = − + − + Mà: VT = ( ) 2 4 4 1 1 3 23 2x + ≤ + = − + VP = ( ) 2 3 9 3x − + ≥ ( ) 2 3 0 3 0 3VT VP x x x⇒ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2 24 6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x− + + − + + − + = + (1) Gợi ý: Ta có: (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 3 4 2 1 3 2x x x⇔ − + + − + + − + = + (*) Mà: VT = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 44 3 2 3 4 2 1 2 4 1 3 2x x x− + + − + + − + ≥ + + = + VP = 3 2+ Nên (*) xảy ra ( ) ( ) 2 2 3 0 3 22 0 x x xx  − = = ⇔ ⇔  =− = (vô lí) Vậy phương trình vô nghiệm. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 26

--- Bài cũ hơn ---

Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti

Giải Toán 11 Bài 3. Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

Chỉ Cần 20 Bước Là Giải Được Bất Kỳ Khối Rubik Nào, Nhưng Mất 36 Năm Nghiên Cứu Ta Mới Tìm Ra Con Số 20 ‘thần Thánh’

Bí Kíp Giải Rubik Cực Chuẩn Chỉ Trong ‘nháy Mắt’

Giải Bài Toán Yêu Nhau Cau Sáu Bổ Ba

--- Bài mới hơn ---

Hướng Dẫn Trả Lời Câu Hỏi Và Bài Tập Sgk Gdcd Lớp 10 Bài 7: Thực Tiễn Và Vai Trò Của Thực Tiễn Đối Với Nhận Thức

Hướng Dẫn Trả Lời Câu Hỏi Và Bài Tập Sgk Gdcd Lớp 10 Bài 6: Khuynh Hướng Phát Triển Của Sự Vật Và Hiện Tượng

Giáo Án Giáo Dục Công Dân Lớp 10

Giải Bài Tập Sgk Gdcd 10 Bài 8: Tồn Tại Xã Hội Và Ý Thức Xã Hội

Gdcd 10 Bài 9: Con Người Là Chủ Thể Của Lịch Sử, Là Mục Tiêu Phát Triển Của Xã Hội

Câu 1: Hãy phân tích sự khác nhau giữa đối tượng nghiên cứu giữa Triết học với các môn khoa học cụ thể, cho ví dụ?

Hướng dẫn trả lời​:

Đối tượng nghiên cứu của các môn khoa học cụ thể: Mỗi môn khoa học cụ thể đi sâu nghiên cứu một bộ phận, một lĩnh vực riêng biệt nào đó có thế giới.

Ví dụ: Hóa học nghiên cứu sự cấu tạo, tính chất, sự biến đổi của các chất.

Sử học nghiên cứu lịch sử của xã hội loài người nói chung hoặc nghiên cứu lịch sử của một quốc gia, một dân tộc nói riêng.

Đối tượng nghiên cứu của triết học: Triết học nghiên cứu những vấn đề chung nhất, phổ biến nhất của thế giới, là hệ thống các quan điểm lí luận chung nhất về thế giới và vị trí của con người trong thế giới đó.

Ví dụ: Triết học nghiên cứu mối quan hệ giữa vật chất và ý thức, giữa tồn tại xã hội và ý thức xã hội, giữa lí luận và thực tiễn, nghiên cứu các quy luật chung nhất về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng.

Câu 2: Ở các ví dụ sau, ví dụ nào thuộc kiến thức khoa học cụ thể, ví dụ nào thuộc kiến thức triết học? Vì sao?

– Bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

– Mọi sự vật và hiện tượng đều có quan hệ nhân quả.

– Ngày 3/2/1930 là ngày thành lập Đảng Cộng sản Việt Nam

– Ở đâu có áp bức thì ở đó có đấu tranh

Hướng dẫn trả lời:

* Những ví dụ thuộc kiến thức khoa học cụ thể bao gồm:

Bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của 2 cạnh góc vuông.

Ngày 3-2-1930 là ngày thành lập Đảng Cộng sản Việt Nam.

Những ví dụ thuộc kiến thức triết học bao gồm:

Mọi sự vậtvà hiện tượng đều có quan hệ nhân quả.

Ở đâu có áp bức thì ở đó có đấu tranh

Câu 3: Dựa vào cơ sở nào để phân chia các hệ thống thế giới quan trong Triết học?

Cơ sở để giải quyết vấn đề cơ bản của Triết học là dựa trên nguyên tắc giải quyết mối quan hệ giữa vật chất và ý thức, giữa tư duy và tồn tại, xem cái nào có trước, cái nào có sau, cái nào quyết định cái nào và con người có nhận thức được thế giới hay không để phân chia các hệ thống thế giới quan: Thế giới quan duy vật và thế giới quan duy tâm.

Thế giới quan duy vật khẳng định: Vật chất là bản chất của thế giới. Vật chất là cái có trước, cái quyết định ý thức. Thế giới vật chất là tự có không do ai sáng tạo ra và cũng không mất đi.

Thế giới quan duy tâm cho rằng: Ý thức là cái có trước và là cái sản sinh ra giới tự nhiên.

Câu 4: Phân tích các yếu tố duy vật, duy âm về thế giới trong truyện và câu dẫn sau:

Truyện thần thoại Thần Trụ trời.

“Sống chết có mệnh, giàu sang do trời”. (Khổng tử)

Yếu tố duy tâm và duy vật trong câu chuyện thần thoại trụ trời là:

Yếu tố duy vật bao gồm: đất đá, cột chống trời…

Yếu tố duy tâm: Thần linh

Yếu tố duy tâm và duy vật trong câu “Sống chết có mệnh, giàu sang do trời” của Khổng Tử là:

Yếu tố duy vật: sống, chết, giàu , sang

Yếu tố duy tâm: Mệnh, trời.

Câu 5: Hãy nêu ý kiến của mình về các yếu tố biện chứng, siêu hình về phương pháp luận trong truyện, các câu tục ngữ và thành ngữ sau:

– Truyện ngụ ngôn Thầy bói xem voi.

– Tục ngữ, thành ngữ: Rút dây động rừng, Tre già măng mọc, Môi hở răng lạnh, Nước chảy đá mòn.

Truyện ngụ ngôn Thầy bói xem voi thuộc phương pháp luận siêu hình. Sở dĩ như vậy là vì các nhân vật trong truyện nhìn nhận sự vật phiến diện chỉ thấy chúng tồn tại trong trạng thái cô lập, máy móc, áp đặt, không nhìn một cách tổng thể.

Các câu tục ngữ thành ngữ: Rút dây động rừng, Tre già măng mọc, Môi hở răng lạnh, Nước chảy đá mòn thuộc phương pháp luận biện chứng. Bởi vì các sự vật trong câu có sự ràng buộc với nhau trong sự phát triển và vận động không ngừng của chúng.

--- Bài cũ hơn ---

Giải Bài Tập Sgk Gdcd 10 Bài 12: Công Dân Với Tình Yêu, Hôn Nhân Và Gia Đình

Câu 2 Trang 101 Sgk Gdcd 10

Giải Bài Tập Sgk Gdcd 10 Bài 2: Thế Giới Vật Chất Tồn Tại Khách Quan

Bài Tập 5 Trang 33 Sgk Gdcd 10

Giải Bài Tập Sgk Gdcd 10 Bài 4: Nguồn Gốc Vận Động, Phát Triển Của Sự Vật Và Hiện Tượng

--- Bài mới hơn ---

Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên

Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)

Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức

Nâng Cao Toán Lớp 8

Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phương Trình Oxi Hóa

A. Những vấn đề chung

I/ Lý do chọn đề tài:

Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên là những bài toán khó. Đường lối chung để giải phương trình này là dựa vào đặc điểm của phương trình để thu hẹp miền chứa nghiệm.

Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của mỗi học sinh, đối với mỗi dạng toán này cũng như việc tạo ra sự hứng thú say mê học tập của các em là việc rất cần thiết của các thầy cô giáo dạy toán. Do vậy tôi muốn trao đổi kinh nghiệm về một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên hay gặp trong chương trình toán cấp 2 mà tôi đã làm.

II/ Mục đích:

Giúp học sinh nắm được một số phương pháp cơ bản để giải phương trình nghiệm nguyên.

III/ Nhiệm vụ:

– Đưa ra các phương pháp và ví dụ minh hoạ

– Rút kinh nghiệm

IV/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

– Đối tượng: các tài liệu về phương trình nghiệm nguyên

– Phạm vi nghiên cứu: các bài toán về phương trình nghiệm nguyên trong chương trình toán cấp 2.

V/ Phương pháp nghiên cứu:

– Nghiên cứu tài liệu

– Trao đổi kinh nghiệm

– Tổng kết rút kinh nghiệm

Thử lại:

x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát:

III/ Phương pháp dùng bất đẳng thức:

1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn:

Ví dụ 6: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

Giải:

Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x + y + z = x.y.z (1)

Do x, y, z có vai trò như nhau ở trong phương trình (1) nên có thể sắp thứ tự các ẩn như sau:

Giải:

Do vai trò bình đẳng của x và y. Giả sử , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ y

Ta có:

(1)

Mặt khác do

Do đó

nên (2)

Từ (1) và (2) ta có : . Do y

+Với y =4 ta được:

+ Với y = 5 ta được: loại vì x không là số nguyên

+ Với y = 6 ta được:

Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6)

3/ Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên:

Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x sao cho 2x+3x=5x

Giải:

Chia hai vế cho 5x, ta được:

(1)

+Với x=0 vế trái của phương trình (1) bằng 2 (loại)

+ Với x = 1 thì vế trái của phương trình bằng 1 ( đúng)

+ Với x thì:

Nên: ( loại)

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1

4/ Sử dụng điều kiện của phương trình bậc hai có nghiệm

Ta viết phương trình f(x; y) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai đối với một ẩn đã chọn. Chẳng hạn chọn ẩn x, khi đó y là tham số, điều kiện cần để phương trình có nghiệm là , để có nghiệm nguyên còn cần phải là số chính phương.

Ví dụ 9:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

x+y+xy = x2+y2 (1)

Giải:

Phương trình (1) tương đương với: x2-(y+1)x+(y2-y) = 0 (2)

Điều kiện để (2) có nghiệm là

--- Bài cũ hơn ---

9 Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên

Giải 9 Bài Pt Mũ & Log Bằng Ẩn Số Phụ

Các Dạng Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai

Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết

Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác