Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp

--- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B (A ≠ 0)
  • Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng liên hợp

    Có rất nhiều phương cách giải PT Vô tỉ nhưng bản thân tôi thích nhất là PP lượng liên hợp vì tính tự nhiên của nó. Trong bài viết này tôi giới thiệu với các bạn một số suy nghĩ về phương pháp này.

    Cho hàm số , xác định trên .

    Ta biết là nghiệm phương trình .

    Mà theo định lí Bơzu nếu là nghiệm của đa thức thì

    . Từ đây ta có nhận xét:

    Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta có thể đưa phương trình về dạng và khi đó việc giải phương trình quy về giải phương trình . Ta xét ví dụ sau:

    Ví dụ 1: Giải phương trình: (HVKTQS 2000).

    Giải: Điều kiện : .

    Ta thấy là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến vì khi đó và là những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: nên ta biến đổi phương trình như sau: , vấn đề còn lại của chúng ta là phải phân tích ra thừa số (Chú ý khi thì ), vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạng

    điều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : nên ta biến đổi :

    .

    Suy ra phương trình đến đây ta chỉ cần giải phương trình:

    .

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

    Nhận xét: 1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức:

    hai biểu thức và ta gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp.

    2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từ đó ta mới định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES .

    Ví dụ 2: Giải phương trình : (THTT).

    Giải: Điều kiện : .

    Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trên bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.

    Ta có:

    .

    Mặt khác vô nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: .

    * Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là:

    (Điều kiện : ).

    * Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình (*) vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minh phương trình (*) vô nghiệm. Thay vào phương trình (*) thì do đó ta tìm cách chứng minh VT(*) < VP(*).

    Ví dụ 3: Giải phương trình : (THTT).

    Giải: Điều kiện: .

    Ta thấy phương trình có một nghiệm nên ta phân tích ra thừa số .

    Ta có:

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

    Ví dụ 4: Giải phương trình: .

    Giải: Điều kiện: .

    Nhận thấy phương trình có một nghiệm .

    Phương trình

    Kết hợp với phương trình ban đầu ta có :

    (*) thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình.

    Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .

    Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai.

    Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệm tương đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặc biệt là khi tất cả các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúng ta phải xử lí thế nào? Ta xét các ví dụ sau:

    Ví dụ 5: Giải phương trình :

    .

    Giải: Do nên .

    Bằng máy tính ta thấy được phương trình không có nghiệm hữu tỉ, mà chỉ có hai nghiệm vô tỉ. Ta thấy nếu (*) thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta phân tích ra thừa số .

    Ta có:

    (do nên khi đặt làm thừa số thì biểu thức trong dấu (.) luôn dương ).

    là nghiệm của phương trình đã cho.

    Chú ý : Mẫu chốt của bài toán là ta có nhận xét (*), từ đó ta mới định hướng

    tìm cách phân tích ra thừa số . Tuy nhiên trong nhiều bài toán thì việc tìm được nhân tử chung không còn đơn giản vậy nữa.

    Ví dụ 8: Giải phương trình: .

    Giải:

    Với phương trình ta không gặp được sự may mắn như phương trình trên, bằng cách sử dụng MTBT ta thấy phương trình có hai nghiệm vô tỉ, nếu ta linh hoạt một chút ta sẽ nghĩ đến thừa số chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm . Vấn đề tam thức ở đây là tam thức nào? Các bạn thử nghĩ xem nếu biết hai nghiệm của tam thức thì ta có thể xác định được tam thức đó hay không? Chắc chúng ta sẽ trả lời là có nhờ vào định lí đảo của định lí Viet. Áp dụng định lí Viet ta tính được ( sử dụng MTBT) . Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích là tam thức nên ta biến đổi như sau:

    Phương trình

    là nghiệm của phương trình.

    Chú ý : 1) Để tạo ra thừa số ngoài cách biến đổi như trên ta còn có thể làm cách khác như sau:

    Cách 2: Vì không là nghiệm phương trình nên.

    Phương trình

    Vì (*) vô nghiệm, nên phương trình có hai nghiệm: .

    2) Nếu như chúng ta không có máy tính để xác định được thừa số chung là thì ta là thế nào ?.

    Trước hết ta thêm một lượng vào hai vế:

    .

    Ta chọn m,n sao cho: , từ đây ta có: .

    3) Ta thấy cả hai cách biến đổi đều làm xuất hiện thừa số chung . Tuy nhiên cách thứ 2 sẽ thuận lợi hơn cách thứ nhất vì ở cách thứ 2 sau khi đặt thừa số ta chỉ còn phải giải quyết phương trình (*), còn với cách thứ nhất thì ta phải giải quyết biểu thức trong dấu (.) phức tạp hơn nhiều. Hơn nữa với cách biến đổi thứ hai chúng ta dễ sáng tạo ra các bài toán hơn cách thứ nhất.

    Ví dụ 9: Giải phương trình : .

    Giải: Điều kiện : .

    Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta có:

    Phương trình . Bằng cách làm như đã nêu ở phần nhận xét ta tìm được , do đó ta thêm vào hai vế của phương trình lượng :

    Phương trình

    (1).

    * Nếu

    .

    Khi đó (1) đúng là một nghiệm của phương trình.

    * Nếu

    Ta có: (a) có hai nghiệm và

    (b)

    .

    Vậy phương trình có bốn nghiệm: .

    Khi muốn thêm bớt bằng cách nhân, chia một biểu thức thì ta phải kiểm tra xem biểu thức đó có luôn khác không hay không ?

    Ví dụ 10: Giải phương trình:

    .

    Giải: Đk : .

    Đặt : ( I)

    Ta thấy phương trình có nghiệm .Ta biến đổi như sau:

    (Vì hai pt: và vô nghiệm ). .

    Kết hợp ( I) và ( II) ta có hệ :

    .

    Thay vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ nghiệm thỏa mãn.

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

    Ví dụ 11 : Giải bất phương trình : .

    Giải: Điều kiện :

    Bất phương trình .

    .

    Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình : .

    VÀ dĩ nhiên là thêm mấy bài tập để các bạn luyện tập

    Giải các phương trình sau:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5) .

    6)

    7) )

    8)

    9)

    10)

    11)

    12)

    13)

    Nguyễn Tất Thu @ 21:00 20/02/2012

    Số lượt xem: 12843

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

    --- Bài mới hơn ---

  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Họ và tên : Đặng Việt Anh

    Lớp : 10A3

    Trường : THPT Ân Thi

    Nhóm :. . . . . .

    Gồm hs:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

    I, Tư tưởng đặt ẩn phụ

    Xác định phương trình cơ bản:

    Ví dụ: phương trình t2 – 3t + 2

    + chọn t = ( phương trình có dạng

    + chọn t = ( phương trình có dạng

    II, Các phương pháp đặt ẩn phụ

    1, Đặt 1 ẩn phụ

    Một số kiểu đặt thường gặp

    + ( Ta nên đặt t = (

    + ( Ta nên đặt

    + ( Ta nên đặt

    2, Chia làm xuất hiện ẩn phụ

    Chia 2 vế phương trình cho hoặc x, x2 đại lượng thích hợp.

    Trước khi chia cho 1 lượng nào đó ta phải kiểm tra lượng đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không

    III, Bài tập hướng dẫn

    Bài tập 1: Giải phương trình

    Bài giải:

    B1: Đặt ()

    B2: Biến đổi căn thức bằng cách bình phương

    (1)

    Ta nhận thấy

    B3: Thay vào phương trình

    Giải pt ta được nghiệm không thỏa mãn điều kiện )

    B4: Thay t =1 vào (1) ta sẽ được nghiệm x.

    t=1 (

    ( phương trình có 2 nghiệm x=0 (TM) và x=-2 (TM).

    KL: x=0 và x=-2 là nghiệm của pt

    Bài tập 2: Giải phương trình .

    Bài giải:

    Tương tự như các bước trên:

    Đk:

    Đặt

    (2)

    Thay vào pt:

    Giải pt có 2 nghiệm ( loại không thỏa mãn điều kiện)

    Thay t=5 vào (2)

    Giải pt suy ra x=143 (KTM) x=3(TM)

    KL: x=3 là nghiệm của pt

    Thay vào phương trình:

    (loại ktm đk)

    Thay t=2 vào (3)

    Giải pt suy ra cả 2 đều TM

    KL:

    Ví dụ 4: giải pt

    Bài giải:

    Bình phương khử căn:

    Chia cả 2 vế cho ta đc:

    Đặt

    loại t=0 vì k tm đk

    Thay t=5 vào pt

    Thay x=1 và x=4 vào pt ta thấy x=4 là nghiệm thỏa mãn còn x=1 không thỏa mãn

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ
  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Đề tài SKKN “Giải PT vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ”

    NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

    PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VỚI CÁCH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

    A. Lý do chọn đề tài

    Toán học là môn học cơ bản trong nhà trường phổ thông, đối với học sinh môn toán nói chung và môn đại số nói riêng là một môn học khó. Bởi vậy không ít học sinh dù đã cố gắng xong kết quả môn toán nói chung và phân môn đại số nói riêng còn thấp so với yêu cầu. Để nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện các nhà trường nói chung, các giáo viên trực tiếp giảng dạy nói riêng cần phải có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng môn đại số của học sinh THPT

    Nhằm mục đích nâng cao chất lượng học sinh khi học môn đại số nói chung và phương trình vô tỉ nói riêng, nên tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm ”Phương trình vô tỉ với cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ”

    B. Mục đích nghiên cứu đề tài

    Xây dựng những dạng bài tập cơ bản và phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ. Giúp học sinh nâng cao trách nhiệm trong học tập, khắc phục tính chủ quan tự mãn, đặc biệt là phát triển năng lực tự đánh giá. Giúp người thầy tự điều chỉnh hoạt động dạy và học cho phù hợp.

    C. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

    Đối tượng: Học sinh lớp 10, 11 trường THPT Tuần Giáo.

    Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu các dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ.

    D. Nhiệm vụ nghiên cứu

    + Giúp học sinh khối 10, 11 nắm chắc kiến thức cơ bản về phương trình vô tỉ với cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

    + Học sinh hứng thú học và đạt kết quả cao.

    E. Phương pháp nghiên cứu

    + Nghiên cứu phương trình vô tỉ, đặc biệt với cách giải đặt ẩn phụ

    + Lấy ý kiến

    + Thử nghiệm sư phạm

    F. Nội dung nghiên cứu: Giải PT vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

    Khi giải pt dạng , chúng ta đều biết phải bình phương hai vế để khử căn bậc hai. Vậy với pt , và một số pt dạng khác có giải được bằng phương pháp đó không? Đây là câu hỏi mà nhiều học sinh chưa trả lời được. Qua nhiều năm dạy học sinh THPT tôi rút ra được kinh nghiệm giải pt vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

    I. Dạng 1 : Sử dụng ẩn phụ để chuyển PT ban đầu thành 1 pt với ẩn phụ.

    1)Các phép đặt ẩn phụ thường gặp :

    PT chứa và f(x)

    Đặt t = ( t 0 ) f(x) = t2

    PT chứa , và . = k ( k= const)

    Đặt t= ( t 0 ) =

    PT chứa ± ; và f(x) + g(x) = k ( k= const)

    Đặt t = ± = ±

    PT chứa Đặt x = sint với thoặc x = cost với t

    PT chứa Đặt x = tant với thoặc x = cott với t

    PT dạng đặt ta thu được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta thu được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta được pt bậc hai

    2) Chú ý : Với PT vô tỉ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.

    3) Các ví dụ :

    VD1 : GPT : + = 3 (1)

    Đặt t = x2 – 3x + 3 Ta có : t = Đk t

    Khi đó (1) có dạng + = 3

    t + t + 3 + 2 = 9

    = 3 – t

    t = 1

    x2 – 3x + 3 = 1

    KL : PT có 2 nghiệm x= 1 ; x = 2.

    VD 2 :GPT : 2×2 + = 8x + 13 (2)

    ĐK : x2 – 4x -5 0 x -1 hoặc x 5

    PT ( 2 ) = -2×2 + 8x + 13 (2′)

    Đặt y = ĐK y 0 Ta có y2 = x2 – 4x – 5

    PT ( 2′) y = – 2y2 + 3

    2y2 + y – 3 = 0 loại

    Với y = 1 x2 – 4x – 5 = 1 x2 – 4x – 6 = 0 tm ĐK

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ.

    Trong chương trình Toán ở phổ thông cơ sở (PTCS), phổ thông trung học (PTTH) và nhất là ở trong các đề thi tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng thường gặp nhiều bài toán về giải phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ. Ngay cả ở chương trình Đại học sư phạm hoặc Cao đẳng sư phạm cũng yêu cầu sinh viên phải học và nắm vững các kỹ năng này (ở các môn đại số sơ cấp, thực hành giải toan, phương pháp dạy học toán,…). Tuy nhiên khi gặp loại toán này, đa số học sinh-sinh viên còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ, do đó không đạt điểm tố đa.

    Một số định lý về phương trình và bất phương trình vô tỷ:

    Định lý 1:

    Phương trình tương đương với hệ: .

    Định lý 2:

    Bất phương trình tương đương với hệ: .

    Định lý 3:

    Bất phương trình tương đương với hệ: .

    Định lý 4:

    Bất phương trình tương đương với hệ:

    Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ:

    Phương pháp 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn.

    Một trong các nguyên tắc để giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn. Thông thường chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để bổ dấu căn của phương trình hoặc bất phương trình. Thường chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần và khi đó sẽ đưa phương trình và bất phương trình vô tỷ về dạng mà ta có thể giải dễ dạng hơn.

    Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (1).

    Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là

    Ta xét các khả năng có thể xảy ra sau đây:

    1. Nếu : Khi đó (1)( (2)

    Do nên hai vế của (2) không âm, ta có thể bình phương hai vế, khi đó ta được:

    Bất phương trình cuối cùng đúng với mọi x thoả mãn , vậy là nghiệm của bất phương trình đã cho.

    2. Nếu : Khi đó 1+x(1-x . Khi đó ta có

    (1)(

    Nghiệm nà bị loại.

    Vậy nghiệm của bất phương trình là .

    Xét dấu của vế trái của 2 ta có:

    Vậy nghiệm của bất phương trình là: x(-13/6 và x(3.

    Ví dụ 3: Giải bất phương trình: (1).

    Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là 10-x2(0(10 (x2 (

    . Với điều kiện đó ta có: (1) (2)

    Xét phương trình :

    Xét dấu vế trái của (2) ta có:

    Vậy nghiệm của bất phương trình là: .

    Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ.

    Một số bài toán về giải phương trình và bất phương trình có chứa căn thức có thể giải được nhờ việc đưa thêm vào các ẩn phụ để phá căn thức hoặc có thể đưa về các phương trình hoặc bất phương trình đại số. Thông thường có thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu hai căn thức) nào đó. Thường gặp 3 dạng ẩn phụ sau:

    Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình hay bất phương trình với một ẩn mới.

    Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đưa về một hệ hai phương trình hai ẩn.

    Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình với hai ẩn (phương pháp sử dụng phương trình bậc hai).

    Ví dụ 4: Giải bất phương trình: (1).

    Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là. Đặt t=, do (1 nên t(1. Khi đó ta có . Phương trình (1) trở thành: t=1,t=-3 (loại). Vậy ta có t=1

    . Vậy ta có x=1.

    Ví dụ 5: Giải

    --- Bài cũ hơn ---

  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
  • Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn
  • Cđ Một Số Dạng Pt Vô Tỷ Và Cách Giải
  • Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  • Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại (Kiểu) I
  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng
  • Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Tiết 47: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • Giáo Án Toán Đại Số 8 Tiết 47: Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
  • 1/ Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Khi giải các phương trình ta thường phải dùng các phép biến đổi tương đương.

    2/ Một phương trình được gọi là phương trình hệ quả của phương trình cho trước nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình đã cho. Khi giải phương trình, nếu ta dùng phép biến đổi đưa phương trình đã cho về một phương trình hệ quả thì ta phải thử lại.

    Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2+bx+c (a khác 0), f(x) có hai nghiệm x1;x2 thoả mãn:

    x1<<x2 khi và chỉ khi af()<0.

    f(x) có hai nghiệm trong khoảng khi và chỉ khi :

    f(x) có một nghiệm nằm trong , nghiệm còn lại nằm ngoài khi và chỉ khi .

    4/ Một số kiến thức trong lý thuyết hàm số :

    Hàm số y=f(x) xác định trên D. Khi đó phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D khi và chỉ khi g(m) thuộc vào tập giá trị của f(x) trên D.

    Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D, x0 thuộc D sao cho f(x0)=m ( trong đó m là hằng số ) thì phương trình f(x) =m có nghiệm duy nhất trên D.

    Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D , x0 thuộc D sao cho f(x0)= g(x0) thì phương trình f(x) =g(x) có nghiệm duy nhất trên D.

    5/ Nội dung phương pháp cần và đủ :

    Bài toán đặt ra là : tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) nào đó.Khi giải bài toán này bằng phương pháp điều kiện cần và đủ ta tiến hành theo các bước sau :

    Bước 1 : (tìm điều kiện cần)

    Giả sử phương trình đã cho đã thoả mãn tính chất (P).Ta đi tìm điều kiện ràng buộc của m. Giả sử điều kiên ràng buộc của m là m.

    Bước2  : (tìm điều kiện đủ) :

    Với m ta kiểm tra lại xem khi đó phương trình f(x,m)=0 đã thoả mãn tính chất (P) chưa.ở bước này nói chung ta thường thay các giá trị cụ thể của m vào để xét, những giá trị của m mà làm cho phương trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) là đáp số bài toán.

    Phần II

    Một số dạng phương trình

    vô tỉ thường gặp.

    Dạng 1 : dùng phép biến đổi tương đương

    .

    Thực tế ta hay gặp trường hợp n=1.ở dạng (**) học sinh yếu thường hay mắc sai lầm như sau: đặt điều kiện f(x) sau đó luỹ thừa 2n hai vế của phương trình để khử căn rồi giải phương trình này , sau đó kiểm tra điều kiện f(x) thấy thoả mãn, kết luận đó là nghiệm phương trinh. ở (*) cũng vậy , mặc dù đơn giản nhưng học sinh cũng hay quên điều kiện f(x) hoặc g(x) không âm.

    Bài tập áp dụng: giải phương trình:

    .

    .

    .

    .

    Dạng 2 :

    Phương pháp giải dạng này là : tìm tập xác định của phương trình đã cho rồi bình phương hai vế ,thu gọn để quy về dạng I. Khi gặp phương trình dang: học sinh thường mắc sai lầm là: sau khi tìm tập xác định của phương trình đã cho đem bình phương hai vế , thu gọn để quy về dạng I. Trường hợp này rất nhiều khi ta thu được phương trình hệ quả( Do chưa chắc đã có: với mọi x thuộc tập xác định của phương trình). Giáo viên cần lưu ý học sinh điều này. Ta nên hướng dẫn học sinh chuyển sang vế phải để quy về dạng 2.

    Ví dụ: giải phương trình:

    HD:

    Pt có tập xác định là: D=

    Ta có:

    Vậy nghiệm phương trình là x=0.

    Bài tập áp dụng: giải phương trình:

    III/ Dạng 3: Dùng tính chất của hàm số:

    Cơ sở lý thuyết:

    Cho f xác định trên D = (a ;b)

    f tăng (đồng biến) khi

    f giảm (nghịch biến) khi

    Định lý: Nếu f có đạo hàm trên D = (a , b) và f không phải là hằng số thì:

    f tăng trên D.

    f giảm trên D.

    Tính chất: Nếu f đơn điệu thì phương trình f(x0 = 0 có tối đa một nghiệm và nếu chỉ ra được nghiệm thì đó chính là nghiệm duy nhất.

    Từ đó ta có ứng dụng để giải phương trình hoặc chứng minh sự tồn tại nghiệm.

    Cách giải:

    Các vế của phương trình thường chứa các hàm số một biến. Tính chất của hàm số không thể không ảnh hưởng tới cách giải các bài toán đặt ra. Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng các tính chất của hàm số giúp ta tìm được cách giải hợp lý và hiệu quả.

    *Chú ý:

    -Trong nhiều trường hợp HS sau khi nhẩm được nghiệm thì vội vàng kết luận tính duy nhất của nghiệm, mà quên đi cơ sở kết luận nghiệm phải dựa vào tính chất của hàm số có mặt trong bài toán đó.

    -Ta có thể lập bảng biến thiên để giải quyết bài toán dễ dàng hơn.

    Một số ví dụ:

    Ví dụ 1: Giải phương trình:

    Giải: Ta viết lại phương trình:

    Và nên

    Phương trình: (*)

    Xét

    nên f nghịch biến. Hơn nữa f(1) = 0

    Do đó (*)

    Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 1

    Ví dụ 2: Tìm a để phương trình có nghiệm:

    Giải: Xét y = f(x) =, D = R thì f là hàm lẻ.

    Ta có :

    Đặt

    nên g đồng biến.

    Bảng biến thiên:

    x

    0

    +

    y

    1

    -1

    Vậy điều kiện để PT có nghiệm là

    Ví dụ 3: Giải phương trình:

    HD: Với phương trình vô tỷ này ta có thể chuyển vế, bình phương rồi khử dấu căn như cách thông thường. Tuy nhiên, nếu ta chú ý đến miền xác định của các hàm số và ta thấy ngay phương trình đã cho chỉ xác định với x = 2. Hơn nữa, x = 2 thoả mãn PT.

    Vậy nghiệm của PT là x = 2.

    Ví dụ 4: Giải phương trình:

    HD: Đây là một ví dụ về phương trình vô tỉ mà có thể dùng cách giải thông thường là bình phương 2 vế để khử căn. Tuy nhiên ta không vội làm điều đó mà để ý rằng: để PT có nghĩa thì

    Vậy PT vô nghiệm.

    Ví dụ 5: giải phương trình

    Giải. Nếu ta bình phương để khử căn thức thì sẽ được một phương trình bậc 4 đầy đủ, việc giải nó rất phức tạp, nên ta tìm cách giải khác.

    Trước hết ta để ý rằng x = 3 nghiệm đúng phương trình. Nhưng khác với các ví dụ trước, hàm số ở vế trái không phải là hàm đơn điệu trong miền xác định của nó: . Tuy nhiên nếu ta xét khoảng

    Thì vế trái là hàm số đơn điệu tăng do đó x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho trong khoảng . Bây giờ ta xét đoạn . Ta có với thì , vế trái nên phương trình không có nghiệm trong đoạn .

    Đáp số: x=3.

    Ví dụ 6: giải phương trình:

    HD:

    Pt đã cho có tập xác định là: D=. Ta dễ kiểm tra hàm đồng biến trên D. Mà f(2)=3. Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=2.

    Pt đã cho có tập xác định là: D=. Ta dễ kiểm tra hàm đồng biến trên D, hàm g(x)= nghịch biến trên D . Mà f(0)=g(0). Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=0.

    Bài tập áp dụng: giải phương trình:

    .

    .

    IV.Dạng 4: đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai

    Ví dụ: giải phương trình:

    .

    .

    .

    HD:

    a. Đặt y=.Ta được pt: y2-y-20 = 0

    Nghiệm y = -4 bị loại.Với y = 5 ta tìm được các nghiệm x = 6 ; x = -3.

    Ta được phương trình : y2-y-6=0

    Nghiệm y=-2 bị loại.

    Với y=3 ta được .Trong phần dùng tính đơn điệu của hàm số ta đã tìm được nghiệm duy nhất của pt này là x = 2. Vậy pt ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2.

    c. Phần này phép đặt ẩn phụ ở phần này được gọi là không hoàn toàn.Cụ thể như sau :

    Đặt y=. Ta được phương trình : y2-(x+3)y+3x=0

    Với y=3 ta được :

    Với y=x ta được : . PT vô nghiệm.

    Vậy nghiệm của pt đã cho là :

    Bài tập áp dụng: giải phương trình:

    (x+5)(2-x)=3.

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    x+.

    (4x-1).

    2(1-x).

    V. Dạng 5: các pt vô tỉ quy về pt chứa dấu giá trị tuyệt đối.

    Ví dụ: giải phương trình:

    .

    HD:

    Nhân cả hai vế của phương trình với ta được:

    Bài tập áp dụng: giải phương trình:

    .

    .

    .

    .

    VI. Dạng 6: giải pt vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp.

    Ví dụ: giải phương trình: .

    Nếu ta dùng phép bình phương để khử căn thì ta thu được pt vẫn còn rất phức tạp, không quy được về các dạng quen thuộc. Khi đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi xem các số liệu trong bài toán có gì đặc biệt. Trong bài tập này ta thấy (4x+1)-(3x-2)=x+3. Do đó ta nghĩ đến việc nhân cả hai vế của pt với liên hợp của vế trái. Lưu ý khi nhân cả hai vế của pt với u(x) ta cần quan tâm xem liệu u(x) có luôn khác 0 trên tập xác định của pt hay không. Nếu có ta phải xét riêng trường hợp này.

    HD:

    Pt có tập xác định D = .Ta thấy .

    Do vậy pt đã cho tương đương với: 5(x+3)=(x+3)

    (Vì x+3 . Bằng phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số ta tìm được nghiệm duy nhất của pt là x=2.

    Bài tập áp dụng: giải phương trình:

    .

    .

    .

    4(x+1)2=(2x+10)(1-2.

    VII. Dạng 7: phương pháp lượng giác hoá.

    Ví dụ: giải phương trình:

    HD:

    Pt đã cho có tập xác định là: D= . Với mọi x thuộc D, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : .

    Dấu bằng xảy ra .

    . Dấu bằng xảy ra .

    Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=3.

    Ta cũng có thể dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá vế trái.

    c.

    HD :

    Dễ thấy pt có tập xác định là R. áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có :

    Dấu bằng xảy ra

    Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 0.

    d. .

    HD :

    Pt có tập xác định D=, áp dụng bđt Côsi ta có:

    .

    Dấu bằng xảy ra .

    Vậy pt có nghiệm duy nhất x=1/16.

    đ. .

    HD :

    Ta thấy : .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 1.

    . Dấu bằng xảy ra

    Vậy nghiệm pt là .

    e.

    HD:

    +) Thay x = n; x= n+1 vào pt thấy thoả mãn.

    +) Nếu x < n thì . Do vậy mọi x < n không là nghiệm của pt.

    +) Nếu n < x < n+1thì :

    . Suy ra mọi x thoả n < x < n+1 cũng không là nghiệm pt.

    Vậy pt đã cho có hai nghiệm: x1=n ; x2=n+1.

    g. . (*)

    Trong bài này học sinh rất dễ mắc sai lầm là đem chia cả hai vế của phương trình cho được pt: . Giáo viên nên tạo ra lời giải theo hướng này và yêu cầu học sinh tìm chỗ sai trong lời giải.

    HD:

    Pt có tập xác định

    +) Nếu thì (*) . Ta thấy . Do vậy mọi không là nghiệm pt.

    +)Thay x=0 vào pt thấy thoả mãn.

    +) Nếu thì (*) . Ta thấy . Do vậy mọi cũng không là nghiệm pt.

    Vậy pt có nghiệm duy nhất x=0.

    h. .

    HD

    +) Trước tiên ta đi chứng minh bđt :

    Dấu bằng ở bđt này xảy ra

    +) áp dụng bđt trên ta có :

    Dấu bằng xảy ra

    Bài tập áp dụng: giải phương trình:

    .

    .

    .

    .

    .

    XI. Dạng 11: các pt vô tỉ có chứa tham số.

    Đối với các pt vô tỉ có chứa tham số ta thường gặp các loại câu hỏi sau:

    +) Tìm m để pt có nghiệm trên D.

    +)Tìm m để pt có nghiệm duy nhất.

    +) Biện luận theo m số nghiệm của pt.

    Ví dụ1: tìm m để phương trình:

    a. có nghiệm.

    HD:

    Cách 1: pt trên có tập xác định là R. Xét hàm : f(x)= .

    Ta có f’(x)=. .

    Dễ tính được :

    Ta có bảng:

    x

    f’(x)

    – 0 +

    f(x)

    Nhìn vào bbt ta thấy pt có nghiệm khi và chỉ khi .

    Cách 2 : pt đã cho

    Pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt (*) có nghiệm thuộc .Ta dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai được đáp số như trên.

    b. có nghiệm trên (0 ;1).

    HD :

    Đặt y = . Bằng cách lập bbt của hàm u(x)= 2x-x2 trên khoảng (0 ;1) ta được tập giá trị của y trên (0 ;1) cũng là (0 ;1). Ta được pt : y2+y = 1-m (*) .

    Pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm trên (0 ;1)

    Xét hàm f(y) = y2+y trên (0 ; 1). Ta thấy f(y) đồng biến trên (0 ;1) , do vậy hay tập giá trị của f(y) trên (0 ;1) là (0 ;2). Vậy pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi : 0< 1-m <2 hay -1 < m < 1.

    Bài này học sinh thường mắc sai lầm là khi đặt ẩn phụ : y = v(x) học sinh thường không tìm hoặc tìm không chính xác tập giá trị của y trên D. Sau đó lập luận pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt ẩn y có nghiêm. GV chú ý phân tích kỹ giúp học sinh tránh sai lầm này.

    c. có 4 nghiệm phân biệt.

    HD :

    Pt có tập xác định là

    Bài 4 : Biện luận theo m số nghiệm pt:

    .

    .

    .

    Phần III :

    Một số khó khăn, thuận lơị và những quan điểm khi dạy học phần này.

    *) Khó khăn :

    Khi giải phương trình nhiều khi học sinh không nắm vững phép biến đổi đó tương đương hay hệ quả.

    Kĩ năng tính toán của học sinh còn kém, một số học sinh khi biến đổi căn thức còn mắc nhiều sai lầm chẳng hạn như :

    Đối với học sinh lớp 10,việc vận dụng các định lý đảo về dấu tam thức bậc hai còn hạn chế. Khi vận dụng vào các dạng toán chứa tham số các em hay bỏ xót trường hợp hoặc đủ trường hợp nhưng tính toán không chính xác. Đối với học sinh lớp 12 khi lập bảng biến thiên ở các chứa tham sô các em tính các nhánh vô cực nhiều khi còn khó khăn.

    *) Thuận lợi : chuyên đề này kiến thức không trìu tượng, có thể nói là khá dễ dạy, học sinh dễ thu lượm được các dạng cơ bản.

    2. Một số quan điểm khi dạy học phần này :

    Dạy cho đối tượng đại chà những dạng cơ bản, cho học sinh khá giỏi cả chuyên đề. Chú ý rèn kĩ năng tính toán cho học sinh.

    Đối với học sinh lớp 10 , dạng có chứa tham số chỉ dừng ở mức độ nhất định, không nên quá sa đà vào dạng này.Những bài nào có thể dùng bbt của hàm bậc hai thì ta nên hướng dẫn học sinh theo hướng đó, không nên dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai làm phức tạp bài toán.

    Khi học sinh học đến các dạng pt lượng giác , mũ , logarit, ta nên lồng ghép những loại này với phương trình vô tỉ.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bàn Về Phương Trình Kế Toán Cơ Bản
  • Bài Tập Có Lời Giải Về Tài Sản Và Nguồn Vốn
  • Chuyên Đề Hóa Học 8: Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 8 Cân Bằng Phương Trình Hóa Học
  • Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao Lớp 11
  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Số
  • Cđ Một Số Dạng Pt Vô Tỷ Và Cách Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn
  • Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay
  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Published on

    1. 1. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc MỤC LỤC PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………………………………….. Trang 2 I/ Lí do chọn đề tài ………………………………………………………………………………………. Trang 2 II/ Mục đích nghiên cứu đề tài ………………………………………………………………………. Trang 2 III/ Phạm vi nghiên cứu – đối tượng nghiên cứu……………………………………………… Trang 3 IV/ Các phương pháp nghiên cứu và tiến hành ……………………………………………….. Trang 3 PHẦN II – NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI…………………………………………………………… Trang 3 I/ Cơ sở lý luận……………………………………………………………………………………………. Trang 3 II/ Cơ sở thực tiễn………………………………………………………………………………………… Trang 4 III/ Nội dung và phương pháp nghiên cứu…………………………………………………….. Trang 5 1. Khái niệm phương trình vô tỉ…………………………………………………………………….. Trang 5 2. Phương pháp chung………………………………………………………………………………….. Trang 5 3. Phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản………………………………………………… Trang 6 3.1) Phương pháp nâng lên luỹ thừa ……………………………………………………………. Trang 6 3.2) Phương pháp đưa về pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ……………………… Trang 13 3.3) Phương pháp đặt ẩn phụ ……………………………………………………………………… Trang 15 3.4) Phương pháp đưa về hệ phương trình……………………………………………………. Trang 20 3.5) Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức…………………………………………………….. Trang 25 3.6) Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất …………………………………………… Trang 28 3.7) Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp – Trục căn thức………………………… Trang 29 IV/ Kết quả…………………………………………………………………………………………………. Trang 31 PHẦN III. KẾT LUẬN………………………………………………………………………………… Trang 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………………………………. Trang 32 PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU. I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc nắm được các phương trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phương trình đó với những đối tượng là học sinh đại trà, ngoài ra mở rộng các phương trình đó ở dạng khó hơn, phức tạp hơn đối với đối tượng học sinh khá – giỏi. Thực trạng số lượng bài về phương trình vô tỷ trong SGK rất ít và là những bài đơn giản thường đưa về phương trình trị tuyệt đối hoặc bình phương mất căn đưa về Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 1
    2. 3. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc IV- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN HÀNH : 1. Phương pháp nghiên cứu: + Tham khảo thu thập tài liệu. + Phân tích, tổng kết kinh nghiệm. + Kiểm tra kết quả chất lượng học sinh. + Đưa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện. + Phương pháp điều tra, trắc nghiệm. + Ngoài ra tôi còn sử dụng một số phương pháp khác. 2. Phương pháp tiến hành: Thông qua các dạng phương trình vô tỉ cơ bản đưa ra phương pháp giải, hướng khắc phục những sai lầm thường gặp và đưa ra các dạng bài tập tự giải. PHẦN II- NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I- CƠ SỞ LÝ LUẬN: Như chúng ta biết Toán học là một môn khoa học công cụ, nó giữ một vai trò chủ đạo trong các nhà trường cũng như đối với các ngành khoa học khác. Toán học như một kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say, ham muốn khám phá và thấy được Toán học cũng thú vị, lãng mạn không kém những môn khoa học khác. Các bậc phụ huynh, các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn mơ ước học giỏi bộ môn Toán, tuy nhiên để đạt được điều đó thật chẳng dễ dàng gì. Hiện nay, trong các nhà trường đặc biệt là nhà trường THCS, ngoài việc dạy kiến thức cơ bản cho HS thì việc dạy cách học, cách nghiên cứu và phát triển kiến thức cho các em rất được chú trọng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ môn Toán, bản thân mỗi người giáo viên phải tự mình tìm ra những phương pháp giải sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và kích thích lòng ham muốn học Toán của các em, từ đó tìm ra được những học sinh có năng khiếu về bộ môn này, để có thể bồi dưỡng các em trở thành những học sinh giỏi, có ích cho xã hội. Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vôi tỉ. Phương trình vô tỉ là một đề tài lý thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỉ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi, học hỏi và phát triển tư duy. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 3
    3. 5. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 35 học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về giải phương trình vô tỉ như sau: Điểm dưới 5 Điểm 5 – 6 Điểm 7 – 8 Điểm 9 – 10 SL % SL % SL % SL % 18 51.4 12 34.3 4 11.4 1 2.9 Một trong những nguyên nhân dẫn tới những khó khăn trên của HS đó là các em chưa phân biệt được các dạng phương trình vô tỉ và phương pháp giải nó, việc tìm tòi, khám phá về phương trình vô tỉ cũng gặp rất nhiều khó khăn vì các tài liệu về phương trình vô tỉ cũng chưa nhiều. Để giúp các em HS nắm đúng, nắm chắc từng dạng và phương pháp giải từng dạng từ đó phát triển năng lực tư duy nhằm đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm ”Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS ” áp dụng cho khối THCS với hy vọng phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em HS khi gặp dạng phương trình này và cũng là một tài liệu nhỏ để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp. III- NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ: a) Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. b) Các ví dụ: a) 11 =−x b) 2173 =+−+ xx c) 12 +− xx =3 d) 3 23 33 2 1 1 4 11 x x x xx − − − = +− 2. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Để giải phương trình vô tỉ ta tìm cách khử dấu căn. Cụ thể: – Tìm ĐK của phương trình. – Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học. – Giải phương trình vừa tìm được. – So sánh kết quả với ĐK rồi kết luận nghiệm. 3. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN: 3.1. Phương pháp 1: Phương pháp nâng lên luỹ thừa: a) Dạng 1: ( )f x c= (c là hằng số) (1) Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ Sơ đồ cách giải: – Nếu c < 0 phương trình (1) vô nghiệm. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 5
    4. 8. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 2 2 22 (x) 0 (x) 0 g(x) 0 g(x) 0 (x) g(x) 0 2 (x).g(x) (x) g(x) 4 (x).g(x) (x) g(x) f f c f f c f f c f ≥  ≥ ≥  ⇔ ≥ ⇔  − − ≥   = − −   = − −  * Chú ý: Nếu ta có: ( ) g( )f x x c− = thì ta giải như sau: ( ) 2 2 (x) 0 (x) 0 ( ) g( ) ( ) g( ) g(x) 0 g(x) 0 f(x) g(x) c 2 (x)f(x) g( ) f f f x x c f x x c c gx c  ≥ ≥  − = ⇔ = + ⇔ ≥ ⇔ ≥    = + += +  2 2 22 2 (x) 0 (x) 0 g(x) 0 g(x) 0 (x) g(x) c 0 2 (x) (x) g(x) c 4 (x) (x) g(x) c f f f c g f c g f ≥  ≥ ≥  ⇔ ≥ ⇔  − − ≥   = − −   = − −  Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 3 1 0x x+ + − = (1) Gợi ý: Ta có: 3 2 3 0 2 3 1 0 2 1 0 1 x x x x x x  + = = −  + + − = ⇔ ⇔  − =  = (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 2 1 5x x− + − = (1) Gợi ý: ĐK 1 1 0 11 2 1 0 2 x x x x x ≥ − ≥  ⇔ ⇔ ≥  − ≥ ≥  Ta có: ( ) 2 1 2 1 5 1 2 1 25x x x x− + − = ⇔ − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 27 3 0 2 1 2 1 27 3 4 2 3 1 27 3 x x x x x x x − ≥ ⇔ − − = − ⇔  − + = − 2 1 9 1 9 55 150 725 0 145 x x xx x x x ≤ ≤ ≤ ≤  ⇔ ⇔ ⇔ ==  − + =   = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 5 Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 2 9 3 2x x x+ − − − = Gợi ý: Ta có: 2 2 2 2 9 3 2 9 3 2x x x x x x+ − − − = ⇔ + = − − + Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 8
    5. 9. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 1 13 21 13 1 1323 0 21 13 9 3 2 82 16 3 16 644 3 8 x x x x x xx x x x x x x xx x x  − ≤  − ≤  + − − ≥  ≥  ⇔ ⇔+   ≥+ = − − + ⇔   ≥ −   − − = + + − − = +   2 1 13 8 1 13 2 8 42 1 13 281 13 2 152 4 15 32 112 0 28 15 x x x x xx x x x x  − − ≤ ≤ − − ≤ ≤  =+  ≥ ⇔ ⇔ ⇔ − +   =≥  =   − − = −  =  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 28 4; 15 −      e) Dạng 5: ( ) g( ) ( )f x x h x+ = (1) – Đặt điều kiện: (x) 0 g(x) 0 h(x) 0 f ≥  ≥  ≥ – Bình phương hai vế của (1), ta có: 2 2 (x)g(x) (x) (x) g(x)f h f⇔ = − − . Trở lại dạng 2 * Chú ý: Giải tương tự với dạng: ( ) g( ) ( )f x x h x− = với điều kiện ( ) ( )f x h x≥ Ví dụ 1: Giải phương trình: 8 2 7 1 7 4x x x x+ + + + + − + = (1) Gợi ý: ĐK: 2 7 0 7 7 7 8 2 7 0 1 0 1 0 2 1 7 36 01 7 0 2 x x x x x x x x x x x xx xx x x  + ≥  ≥ − ≥ −≥ −    + + + ≥ ⇔ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥    + ≥ +   ≤ −+ − ≥ + − + ≥    ≥ Ta có: (1) ( ) 2 7 1 1 7 4x x x⇔ + + + + − + = Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 9
    6. 10. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 7 1 1 7 4 1 7 3 7 3 7 0 7 3 1 7 9 7 6 7 5 7 15 7 3 7 9 2(t/ m) x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + + + − + = ⇔ + − + = − +  − + ≥ + ≤  ⇔ ⇔  + − + = + + − + + =   ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 1 1 2x x x x− + + + = + (1) Gợi ý: ĐK: 2 1 0 1 1 0 1 2 2 0 x x x x x x x  − + ≥ ≥ − + ≥ ⇔ ⇔ ≥ −  ≥ − + ≥ Ta có: (1) 2 2 2 1 1 2 ( 1)( 1) 4 4x x x x x x x x⇔ − + + + + − + + = + + ( ) 3 3 3 2 3 2 2 2 1 4 2 1 2 1 1 4 4 1 0 4 4 0 4 4 0 2 2 2 (t/ m) 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ + = + + =  ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = +  = − Vậy tập nghiệm của phương trình là: { }0;2 2 2;2 2 2S = + − g) Dạng 6: ( ) ( ) ( )f x g x h x+ = Sơ đồ cách giải: ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (x) 0 (x) 0 ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) (x) g(x) f x f x g x g x h h f x g x f x g x h x f x g x h x f ≥ ≥   ≥ ≥  ⇔ ⇔ ≥ ≥    + + = = − −  Đến đây bài toán trở lại dạng 2 Chú ý: Giải tương tự với dạng: ( ) ( ) ( )f x g x h x− = Ta có: ( ) ( ) ( ) (x) g(x) f(x)f x g x h x h− = ⇔ + = ⇒ Bài toán trở lại dạng 6 Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 4 4 2x x x+ + − = (1) Điều kiện: 4 3 4 0 3 4 0 4 4 0 0 x x x x x x x − ≥+ ≥  − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥   ≥ ≥   Ta có: (1) ( ) ( )3 4 4 2 3 4 4 4x x x x x⇔ + + − + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 3 4 4 4 3 4 4 0 43 4 x x x x x x x x x − =⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =  = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 10
    7. 11. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Ví dụ 2: Giải phương trình: 1+x – 7−x = x−12 Gợi ý: ⇔ 1+x = x−12 + 7−x (1) ĐK: 12×7 7x 12x 1x 07x 0x12 01x ≤≤⇔      ≥ ≤ −≥ ⇔      ≥− ≥− ≥+ (2) Bình phương hai vế ta được: )7x)(x12(27xx121x −−+−+−=+ ⇔ )7x)(x12(24x −−=− (3) Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thỏa mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được: (x – 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) ⇔ 5×2 – 84x + 352 = 0 Phương trình này có 2 nghiệm x1 = 5 44 và x2 = 8 đều thoả mãn (2). Vậy x1 = 5 44 và x2 = 8 là nghiệm của phương trình. h) Dạng 7: ( ) g( ) (x) (x)f x x h k+ = + Sơ đồ cách giải: Điều kiện: (x) 0 g(x) 0 (x) 0 k(x) 0 f h ≥  ≥  ≥  ≥ Bình phương hai vế của phương trình, ta có: (x) g(x) 2 (x)g(x) (x) k(x) 2 (x)k(x)f f h h+ + = + + ( )2 (x)g(x) (x)k(x) (x) k(x) f(x) g(x)f h h⇔ − = + − − ⇒ Bài toán trở lại dạng 5 Ví dụ 1: Giải phương trình : 1+x + 10+x = 2+x + 5+x (1) Gợi ý: ĐK :        ≥+ ≥+ ≥+ ≥+ 05 02 010 01 x x x x ⇔        −≥ −≥ −≥ −≥ 5 2 10 1 x x x x ⇔ x ≥ -1 (2) Bình phương hai vế của (1) ta được: x+1 + x+ 10 + 2 )10)(1( ++ xx = x+2 + x+ 5 + 2 )5)(2( ++ xx ⇔ 2 + )10)(1( ++ xx = )5)(2( ++ xx (3) Với x ≥ -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được: )5x)(2x()10x)(1x()10x)(1x(44 ++=++++++ Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 11
    8. 12. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ⇔ 1x)10x)(1x( −−=++ Điều kiện ở đây là x ≤ -1 (4) Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)    −≤ −≥ 1 1 x x ⇔ x = -1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1). Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 1 2 16 2 4 2 9x x x x+ + + = + + + (1) Gợi ý: ĐK: 1 2 1 0 2 2 16 0 8 1 2 4 0 2 2 2 9 0 9 2 x x x x x x x x x − ≥+ ≥  + ≥ ≥ − −  ⇔ ⇔ ≥  + ≥ ≥ −   + ≥ − ≥  Ta có: (1) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 16 2 2 1 2 16 2 4 2 9 2 2 4 2 9x x x x x x x x⇔ + + + + + + = + + + + + + 2 2 4 34 16 2 4 26 36x x x x⇔ + + + = + + (2) Hai vế của (2) không âm. Bình phương hai vế của (2), ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 34 20 4 4 34 16 4 26 36 4 34 16 2 4 2 4 0 2 0(t/ m) 04 34 16 4 16 16 x x x x x x x x x x x x xx x x x ⇔ + + + + + = + + ⇔ + + = − + − + ≥ ≤  ⇔ ⇔ ⇔ =  =+ + = − +  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0 * Nhận xét : Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn thì phải có điều kiện để cả hai vế của phương trình đều không âm. Với hai số dương a, b nếu a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1,2,3…..) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn thức, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đều dương đây là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan, còn thiếu sót khi sử dụng phương pháp này. Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với nhau . * Bài tập áp dụng: 1. 42 −x = x- 2 5. x−1 = x−6 – )52( +− x 2. 41 2 ++ xx = x+ 1 6. 3 1−x + 3 2−x = 3 32 −x 3. x−1 + x+4 =3 7. x + 1x + = 1−x + 4+x 4. 3 45+x – 3 16−x =1 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 12
    9. 13. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 3.2. Phương pháp 2: Phương pháp đưa về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Sơ đồ cách giải: 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x f x g x f x g x f x f x g x  ≥  == ⇔ = ⇔  ≤  = − Ví dụ 1: Giải phương trình: 416249 2 +−=+− xxx (1) Gợi ý: ĐK:    ≥+− ≥+− 04 016249 2 x xx ⇔    ≤ ∀≥− 4 0)43( 2 x xx ⇔ x ≤ 4 Ta có: (1) ⇔ 43 −x = -x + 4⇔    −=− +−=− 4x4x3 4x4x3 ⇔    = = 0x 2x (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 = 2; x2 = 0 Ví dụ 2: Giải phương trình: 442 +− xx + 1682 +− xx = 5 (1) Gợi ý: ĐK: x∀ ∈R Ta có: (1) ⇔ 2 2 ( 2) ( 4) 5x x− + − = ⇔ 2−x + 4−x = 5 Ta xét các khoảng: + Khi x < 2 ta có (2) ⇔ 2 – x + 4 – x = 5 ⇔ 6 – 2x = 5 ⇔ x = 0,5 (thoả mãn x < 2) + Khi 2 ≤ x < 4 ta có (2) ⇔ x – 2 + 4 – x = 5 ⇔ 0x + 2 = 5 (phương trình vô nghiệm) + Khi x ≥ 4 ta có (2) ⇔ x – 2 + x – 4 = 5 ⇔ 2x – 6 =5 ⇔ x =5,5 (thoả mãn x ≥ 4) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 = 0,5; x2 = 5,5 Ví dụ 3: Giải phương trình: 314 +−− xx + 816 +−− xx = 1 (1) Gợi ý: ĐK: x ≥ 1 Ta có: (1) ⇔ 414)1( +−−− xx + 916)1( +−−− xx = 1 ⇔ 2 )21( −−x + 2 )31( −−x = 1⇔ 21 −−x + 31 −−x =1 (2) – Nếu 1 ≤ x < 5 ta có (2) ⇔ 2- 1−x + 3 – 1−x = 1 ⇔ 1−x =2 ⇔ x = 5 không thuộc khoảng đang xét – Nếu 5 ≤ x < 10 thì (2) ⇔ 1−x – 2 + 3 – 1−x = 1 ⇔ 0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 13
    10. 14. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc – Nếu x ≥ 10 thì (2) ⇔ 1−x – 2 + 1−x – 3 = 1 ⇔ 31x =− ⇔ x = 10 (thỏa mãn). Vậy phương trình có vô số nghiệm: 5 ≤ x ≤ 10 Nhận xét : Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối được sử dụng để giải một số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc như trên, song trong thực tế cần lưu ý cho học sinh một số vấn đề sau: – Áp dụng hằng đẳng thức 2 A = A – Học sinh thường hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên giáo viên cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm . * Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1) 2 2 1 5x x+ + = 11) 4 4 3x x− + = 2) 2 6 9 2 1x x x− + = − 12) 4 4 5 2x x x+ + = + 3) 2 2 2 1 4 4 4x x x x− + + + + = 13) 2 1 4 4 10x x x x− + − − + = 4) 2 2 2 6 9 2 8 8 2 1x x x x x x− + + + + = − + 14) 2 2 4 4 6 9 1x x x x− + + − + = 5) 2 1 2 1 2x x x x+ − + − − = 15) 3 2 4 4 4 1x x x x− − − + − − = 6) 6 2 2 11 6 2 1x x x x+ − + + + − + = 16) 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x− + − + + + − = 7) 2 2 2 2 1 5 0x x x x+ − + + − = 17) 45224252642 =−−−+−++ xxxx 8) 2 4 4 2 10x x x− + + = 18) 2 2 1 2 8x x x− + + = 9) 1 1 2 2 4 x x x+ + + + = 19) 05261 4 1 2 =−−++ xx 10) 3 2 1 2 1 2 x x x x x + + − + − − = 20) 2 4 4 2x x x− + = − 3.3. Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ: a) Dạng 1: Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường: Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt ( )t f x= và chú ý điều kiện của t . Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 14
    11. 15. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn “. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2×2 + 3x + 932 2 ++ xx = 33 Gợi ý: ĐK: ∀ x ∈R Phương trình đã cho tương đương với: 2×2 + 3x + 9 + 932 2 ++ xx – 42= 0 (1) Đặt 932 2 ++ xx = t (t ≥ 0) (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ t) Ta có: (1) ⇔ t2 + t – 42 = 0 Phương trình này có hai nghiệm: t1 = 6 , t2 = -7 < 0 (loại) Từ đó ta có: 932 2 ++ xx = 6 ⇔ 2×2 + 3x -27 = 0 Phương trình này có hai nghiệm x1 = 3, x2 = – 2 9 Cả hai nghiệm này đều là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2: Giải phương trình: x + 4 x = 12 (1) Gợi ý: ĐK: x ≥ 0 Đặt 4 x = t (t ≥ 0) ⇒ x = t2 , ta có: (1) ⇔ t2 + t -12 = 0 Phương trình có 2 nghiệm là t = 3 và t = – 4 (loại) Với t = 3 ⇒ 4 x = 3 ⇒ x = 81(thỏa mãn) Vậy x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 3: Giải phương trình: 1+x + x−3 – )3)(1( xx −+ = 2 (1) Gợi ý: ĐK:    ≥− ≥+ 03 01 x x ⇔    ≤ −≥ 3 1 x x ⇔ 3×1 ≤≤− Đặt 1+x + x−3 = t ≥ 0 ⇒ t2 = 4 + 2 )3)(1( xx −+ ⇒ )3)(1( xx −+ = 2 42 −t (2) Thay vào (1) ta được: (1) 2 2 4t t 2 = − −⇔ ⇔ t2 – 2t = 0 ⇔ t(t-2)= 0 ⇔    = = 2 0 t t + Với t = 0 ⇒ 1+x + x−3 = 0⇒    =− =+ 0x3 01x (vô nghiệm) ⇒ phương trình vô nghiệm. + Với t = 2: (2)⇒ )3)(1( xx −+ = 0 ⇒ x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = -1; x2 = 3 Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = (1) Gợi ý: ĐK: 1x ≥ Nhận xét. 2 2 1. 1 1x x x x− − + − = Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 15
    12. 18. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Đến đây ta tìm được u, v. Thay u, v vào thì tìm được x. Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 2 2 2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + + Gợi ý: ĐK: 1 2 x ≥ . Bình phương 2 vế ta có: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x+ − = + ⇔ + − = + − − Ta có thể đặt: 2 2 2 1 u x x v x  = +  = − khi đó ta có hệ: 1 5 2 1 5 2 u v uv u v u v  − = = − ⇔  + =  Vì , 0u v ≥ nên ( )21 5 1 5 2 2 1 2 2 u v x x x + + = ⇔ + = − . Giải tiếp ta ìm được x. Chú ý: Các phương trình dạng 2 2 u v mu nvα β+ = + có thể giải như VD4 và VD 5 c) Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Ví dụ 1: Giải phương trình: ( )2 2 2 3 2 1 2 2x x x x+ − + = + + (1) Gợi ý: Đặt 2 2t x= + ; 2t ≥ . Ta có: ( ) ( )2 2 2 3 (1)x 2 2 2 3 3 0 2 3 3 0 1 t x x x t x t x t x = + − + + − + = ⇔ − + − + = ⇔  = − Nếu t = 3 2 2 3 7x x⇔ + = ⇔ = ± Nếu t = x – 1 1 2x⇒ ≥ + . Ta có: 2 2 1 2 2 1 2 x x x x − + = − + ⇔ = (loại) Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) 2 2 1 2 3 1x x x x+ − + = + Gợi ý: Đặt: 2 2 3, 2t x x t= − + ≥ Ta có: ( ) 2 (1) 1 1x t x⇔ + = + ( )2 1 1 0x x t⇔ + − + = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 1 2 1 0 1 2 1 0 1 t x x x t x t x t x t x = ⇔ − + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔  = − Nếu t = 2 2 2 2 2 3 2 2 3 4 2 1 0 1 2x x x x x x x⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = ± Nếu t = x – 1 1 2x⇒ ≥ + . Ta có: x2 – 2x + 3 = x2 – 2x + 1 ⇒phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: ( )2 2 3 1 3 1x x x x+ + = + + (1) Gợi ý: Đặt 2 1; 1t x t= + ≥ Phương trình (1) trở thành: t2 – (x + 3)t + 3x = 0 ⇔ (t – x)(t – 3) = 0 3 t x t = ⇔  = Nếu t = x 2 1x x⇔ + = (vô nghiệm) Nếu t = 3 2 1 3 2 2x x⇔ + = ⇔ = ± . Vậy: 2 2x = ± d) Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 1 x− + 2+x =1 Gợi ý: ĐK: x ≥ -2 Đặt 2+x = t ≥ 0 2tx 2 −=⇒ . Khi đó: 3 1 x− = 3 2 3 t− Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 18
    13. 20. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ⇔ 0)1u5)(1u( =−+ ⇔     = −= 5 1 u )loai(1u + Với u = 5 1 ta có: x = ( 5 1 )2 – 1 = 25 24− thỏa mãn điều kiện (1) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x = 25 24− . * Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau. + Tìm tập xác định của phương trình. + Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng f(x) g(x) ….= 0 (gọi là phương trình tích). Từ đó ta suy ra f(x) = 0; g( x) = 0;….. là những phương trình quen thuộc. + Nghiệm của PT là hợp nghiệm của các phương trình f(x) = 0; g(x) = 0;….. thuộc tập xác định . + Biết vận dụng, phối hợp một cách linh hoạt với các phương pháp khác như nhóm các số hạng, tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đưa về phương trình dạng tích quen thuộc đã biết cách giải. Bài tập áp dụng: 1. 673 −− xx = 0 2. 22 −− xx – 2 22 +− xx = 1−x 3. x(x+5) = 2 2253 2 −−+ xx 4. 2( x2 + 2x + 3) = 5 233 23 +++ xxx 3.4. Phương pháp 4: Phương pháp đưa về hệ phương trình: Các bước tiến hành: – Tìm điều kiện tồn tại của phương trình – Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung – Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 25 x− – 2 15 x− = 2 Gợi ý: ĐK: 0 ≤ x2 ≤ 15 Đặt: 2 25 x− = a (a ≥ 0) (* ); 2 15 x− = b ( b ≥ 0) ( ** ) Từ phương trình đã cho chuyển về hệ phương trình: Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 20
    14. 21. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc (1)⇒      ≠+ +=+− =− 0 )(2))(( 2 ba bababa ba ⇔    =+ =− 5 2 ba ba ⇔       = = 2 3 2 7 b a + Với a = 2 7 ⇒ 25 – x2 = 4 49 ⇔ x2 = 4 51 ⇒ x = 2 51 ± (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 51 ± . Ví dụ 2: Giải phương trình: 35 3)3(5)5( −+− −−+−− xx xxxx = 2 (1) Gợi ý: ĐK: 3 ≤ x ≤ 5 Đặt     ≥=− ≥=− )0(3 )0(5 ttx uux Phương trình (1) trở thành hệ phương trình: (1) ⇔     =+− =+ 2 2 22 22 tutu tu ⇔ ut = 0 ⇔    = = 0t 0u + Với u = 0⇒ 5x0x5 =⇒=− (thỏa mãn) + Với t = 0 ⇒ 3x03x =⇒=− (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =3; x= 5. Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 2 x− + 1−x = 1 Gợi ý: ĐK: x ≥ 1 Đặt     ≥=− =− )0(1 23 ttx ux Khi đó: u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nên u3 + t2 = 1 Phương trình đã cho được đưa về hệ:    =+ =+ )2(1tu )1(1tu 23 Từ phương trình (1) ⇒ u = 1 – t. Thay vào phương trình (2) ta có: (2) ⇔ (1 – t)3 + t2 = 1 ⇔ t( t2 – 4t + 3) = 0 ⇔    =+− = 03t4t 0t 2 ⇔         = = = 3t 1t 0t + Với t = 0 ⇒ 01x =− ⇒ x = 1 (thỏa mãn) + Với t = 1⇒ 11x =− ⇒ x = 2 (thỏa mãn) + Với t = 3⇒ 31x =− ⇒ x = 10 (thỏa mãn) Vậy: x= 1; x =2 ; x = 10 là nghiệm của phương trình đã cho. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 21
    15. 22. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 )1( +x + 3 2 )1( −x + 3 2 1−x = 1 Đặt: 3 1+x = a ; 3 1−x = b nên ta có: a2 = 3 2 )1( +x ; b2 = 3 2 )1( −x ; ab = 3 2 1−x . Ta được phương trình: a2 + b 2 + ab = 1 (1) Ta có:     −= += 1 1 3 3 xb xa Ta được phương trình: a3 – b3 = 2 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:     =++− =++ ⇔     =− =++ 1)abba)(ba( 1abba 2ba 1abba 22 22 33 22 Từ hệ phương trình, ta suy ra: a – b = 2 ⇒ b = a – 2 Thay vào phương trình (1) ta được: 3.(a -1)2 = 0 ⇒ a =1 Với a = 1, ta có: 3 1+x = 1 ⇒ x = 0 (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0 Ví dụ 5: Giải phương trình: 4 4 x x− + = Gợi ý: ĐK: 0 4 0 0 12 4 4 0 x x x x  ≥  + ≥ ⇒ ≤ ≤  − + ≥ Đặt 4y x= + ta có hệ phương trình: 2 2 4 4 44 x y x y y xy x  = − = −  ⇔  = += +  ( ) ( ) ( )2 2 22 1 0 44 x y x yx y x y x yx y   + − + =− = − −  ⇔ ⇔  = −= −   Vì x + y≠ 0 nên ta có hệ: 2 2 2 1 13 1 0 24 1 3 0 4 1 13 (loai) 2 xx y x x x x x y x  − + =− + = ⇒ = − − ⇔ + − = ⇒ = − − − =  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: 1 13 2 x − + = Ví dụ 6: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 3 23 3 3 1 3 1 9 1 1x x x+ + − + − = (1) Gợi ý: Đặt 3 3 3 1; 3 1u x v x= + = − Phương trình (1) trở thành hệ: 2 2 3 3 1 2 2 2 u v uv u v u v u v  + + = ⇒ − = ⇒ = + − = Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 22
    16. 23. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Do đó: ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 3 6 3 0 3 1 0 1 1v v v v v v v v u+ + + + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ = Ta có: 3 3 3 1 1 0 3 1 1 x x x  + = ⇒ = − = − Vậy phương trình có nghiệm là: x = 0. Chú ý: Đối với phương trình có dạng: (x) (x)n na f b f c− + + = Ta thường đặt (x); (x)n nu a f v b f= − = + Khi đó, ta được hệ phương trình: n n u v c u v a b + =  + = + Giải hệ này ta tìm được u và v. Từ đó ta tìm được giá trị của x. Ví dụ 7: Giải phương trình: 3 1 1 1 2 2 x x+ + − = (1) Gợi ý: ĐK: 1 2 x ≤ Đặt : 3 1 1 ; 0 2 2 u x v x= + = − ≥ Ta được hệ: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 0 1 1 1 1 3 0 1 1 3 v u v v v v v v v u v v = + = ⇒ − = − ⇔ − − = ⇔ = + =  = Giải tiếp ta tìm được tập nghiệm của phương trình là: S = 1 1 17 ; ; 2 2 2 − −      Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 2 2 2 1x x x− = − (1) Gợi ý: Điều kiện: 1 2 x ≥ Ta có (1) 2 ( 1) 1 2 2 1x x⇔ − − = − Đặt 1 2 1y x− = − thì ta đưa về hệ sau: 2 2 2 2( 1) 2 2( 1) x x y y y x  − = −  − = − Trừ hai vế của phương trình ta được: ( )( ) 0x y x y− + = Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: 2 2x = + Ví dụ 9: Giải phương trình: 2 2 6 1 4 5x x x− − = + (1) Gợi ý: ĐK 5 4 x ≥ − Ta có: ( ) 2 2 1 4 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11x x x x x⇔ − − = + ⇔ − = + + Đặt 2 3 4 5y x− = + ta được hệ : 2 2 (2 3) 4 5 ( )( 1) 0 (2 3) 4 5 x y x y x y y x  − = + ⇒ − + − = − = + Với 2 3 4 5 2 3x y x x x= ⇒ − = + ⇒ = + Với 1 0 1 2 1 4 5x y y x x x+ − = ⇔ = − ⇔ − − = + (vô nghiệm) Kết luận: Nghiệm của phương trình là 2 3x = + Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 23
    17. 25. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 5. Phương pháp 5: Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức: Các bước: * Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) và f(x) ≥ a; g(x) ≤ a (a là hằng số). Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a. * Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số) mà ta luôn có h(x) ≥ m; hoặc h(x) ≤ m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra. * Áp dụng các bất đẳng thức: Côsi; Bunhia côpxki, …. a) Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình: 1−x – 15 −x = 23 −x (1) Gợi ý: ĐK:      ≥− ≥− ≥− 023 015 01 x x x ⇔          ≥ ≥ ≥ 3 2 5 1 1 x x x 1x ≥⇔ Với x ≥ 1 thì x < 5x do đó 1−x < 15 −x Suy ra: Vế trái của (1) là số âm, còn vế phải là số không âm. Vậy phương trình vô nghiệm . Ví dụ 2: Giải phương trình: 1162 +− xx + 1362 +− xx + 4 2 54 +− xx = 3 + 2 (1) Gợi ý: Ta có: (1) ⇔ 2)3( 2 +−x + 4)3( 2 +−x + 4 2 1)2( +−x = 3 + 2 Mà 2)3( 2 +−x + 4)3( 2 +−x + 4 2 1)2( +−x ≥ 2 + 4 + 1 = 3 + 2 ⇒ VP = VT = 3 + 2 khi    =− =− 02x 03x    = = ⇔ 2x 3x (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài tập áp dụng: 1. 1−x – 1+x = 2 2. 62 +x = x – 2 12 −x 3. x−6 + 2+x = x2 – 6x +13 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 25
    18. 26. Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc b) Dạng 2: Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − − (1) Gợi ý: Ta có: (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 4 5 1 9 5 1x x x⇔ + + + + + = − + Mà: VT = ( ) ( ) 2 2 3 1 4 5 1 9 4 9 5x x+ + + + + ≥ + = VP = ( ) 2 5 1 5x− + ≤ ( ) 2 1 0 1 0 1VT VP x x x⇒ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − Vậy phương trình có nghiệm là: x = -1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 4−x + x−6 = x2 -10x + 27 (1) Gợi ý: ĐK: 4 ≤ x ≤ 6 Theo BĐT Côsi, ta có: 4−x 2 4×1 −+ ≤ x−6 2 x61 −+ ≤ 2 2 x61 2 4×1 x64xVT = −+ + −+ ≤−+−=⇒ Mà: VP= x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 ≥ 2 (∀ x) VPVT =⇒ khi: x- 4 = 6 – x 5x10x2 =⇒=⇔ (thỏa mãn) Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình (1) Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 2 2 6 15 6 18 6 11 x x x x x x − + = − + − + (1) Gợi ý: Ta có: (1) ( ) ( ) 2 2 4 1 3 9 3 2 x x ⇔ + = − + − + Mà: VT = ( ) 2 4 4 1 1 3 23 2x + ≤ + = − + VP = ( ) 2 3 9 3x − + ≥ ( ) 2 3 0 3 0 3VT VP x x x⇒ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2 24 6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x− + + − + + − + = + (1) Gợi ý: Ta có: (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 3 4 2 1 3 2x x x⇔ − + + − + + − + = + (*) Mà: VT = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 44 3 2 3 4 2 1 2 4 1 3 2x x x− + + − + + − + ≥ + + = + VP = 3 2+ Nên (*) xảy ra ( ) ( ) 2 2 3 0 3 22 0 x x xx  − = = ⇔ ⇔  =− = (vô lí) Vậy phương trình vô nghiệm. Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 26

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  • Giải Toán 11 Bài 3. Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
  • Chỉ Cần 20 Bước Là Giải Được Bất Kỳ Khối Rubik Nào, Nhưng Mất 36 Năm Nghiên Cứu Ta Mới Tìm Ra Con Số 20 ‘thần Thánh’
  • Bí Kíp Giải Rubik Cực Chuẩn Chỉ Trong ‘nháy Mắt’
  • Giải Bài Toán Yêu Nhau Cau Sáu Bổ Ba
  • 4 Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Cực Hay

    --- Bài mới hơn ---

  • Pp Giải Pt&bpt Vô Tỷ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Nhất
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • 4 cách giải phương trình vô tỉ cực hay

    Phương pháp giải

    – Cách 1: Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế.

    + Phương trình

    + Phương trình √A = √B ⇔ A = B.

    – Cách 2: Đặt ẩn phụ.

    – Cách 3: Sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá.

    – Một số phương trình đặc biệt có cách giải riêng biệt khác.

    Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp bình phương để giải các phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    a) √x = 3 (đkxđ: x ≥ 0)

    Vậy phương trình có nghiệm x = 9.

    b) (đkxđ: x ≥ -1)

    ⇔ x + 1 = 4

    ⇔ x = 3 (t/m)

    Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

    c) (đkxđ: x ≥ -3/2 )

    ⇔ (x + 1)(x – 3) = 0

    ⇔ x = -1 hoặc x = 3

    Thử lại chỉ có giá trị x = 3 thỏa mãn phương trình.

    Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

    d) (đkxđ: x ≥ 1).

    ⇔ x – 1 = x 2 – 6x + 9

    ⇔ (x – 2)(x – 5) = 0

    ⇔ x = 2 hoặc x = 5

    Thử lại chỉ có giá trị x = 5 thỏa mãn.

    Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

    Hướng dẫn giải:

    a) Đặt

    Khi đó phương trình trở thành:

    ⇔ (t-3) (2t + 7/2) = 0 ⇔ t = 3 (T/M) hoặc t = -7/2(L).

    Với t = 3 thì

    ⇔ (x-1) (x+6) = 0

    ⇔ x = 1 hoặc x = -6

    Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1 và x = -6.

    b) Đặt ⇒ x = t 3.

    Với t = 1 ⇒ x = 1.

    Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

    c) (Đkxđ: x ≠ 0 và x – 1/x ≥ 0 ).

    Chia cả hai vế cho x ta được:

    Phương trình trở thành: t 2 + 2t – 3 = 0

    ⇔ (t-1)(t+3) = 0 ⇔ t = 1(t/m) hoặc t = -3(l)

    Với t = 1 ⇒

    Vậy phương trình có hai nghiệm

    d) Đặt

    Ta thu được hệ phương trình :

    ⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1.

    Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

    Ví dụ 3: Giải các phương trình sau đây:

    Hướng dẫn giải:

    a) Phương pháp giải: Phân tích thành nhân tử

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

    b)

    Điều kiện xác định : ⇔ x = 7.

    Thay x = 7 vào thấy không thỏa mãn phương trình.

    Vậy phương trình vô nghiệm.

    c) Phương pháp giải: Đánh giá

    VT = VP ⇔

    Vậy phương trình vô nghiệm.

    + TH1: Xét ⇔ x-1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10 .

    Phương trình trở thành:

    ⇔ x – 1 = 81/4 ⇔ x = 85/4 (t.m)

    + TH2: Xét (không tồn tại)

    + TH3: Xét ⇔ 5 ≤ x ≤ 10 .

    Phương trình trở thành:

    ⇔ 1 = 4 (vô nghiệm)

    + TH4: Xét ⇔ x ≤ 5.

    Phương trình trở thành:

    ⇔ x – 1 = 1/4 ⇔ x = 5/4 (thỏa mãn).

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5/4 và x = 85/4

    Bài tập trắc nghiệm tự luyện

    Bài 1: Nghiệm của phương trình là :

    A. x = 6 B. x = 3 C. x = 9 D. Vô nghiệm.

    Bài 2: Phương trình có số nghiệm là:

    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3.

    Đáp án: C

    ⇔ (x + 1)(x + 3) = 8

    ⇔ x 2 + 4x + 3 = 8

    Bài 3: Tổng các nghiệm của phương trình x – 5√x + 6 = 0 là:

    A. 5 B. 9 C. 4 D. 13.

    Đáp án: D

    Đkxđ: x ≥ 0.

    x – 5√x + 6 = 0

    Bài 4: Phương trình có nghiệm là:

    A. x = 4 B. x = -3 C. x = -3 và x = 4 D. Vô nghiệm.

    Đáp án: A

    (đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

    Bài 5: Phương trình có số nghiệm là:

    A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số.

    Đáp án: D

    Bài 6: Giải các phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    a) (đkxđ: x ≥ -3/2 )

    ⇔ 2x + 3 = 1/4

    ⇔ 2x = -11/4

    ⇔ x = -11/8

    Vậy phương trình có nghiệm x = -11/8 .

    b) (đkxđ: x ≥ 0)

    ⇔ 3x = 144

    ⇔ x = 48

    c) (đkxđ: x ≥ -1)

    ⇔ x + 1 = 25

    ⇔ x = 24.

    Vậy phương trình có nghiệm x = 24.

    Bài 7: Giải các phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    a)

    ⇔ x 2 – 2x – 4x + 8 = 0

    ⇔ (x – 2)(x – 4) = 0

    ⇔ x = 2 hoặc x = 4.

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 4.

    b)

    ⇔ 2x(x – 3) = 0

    ⇔ x = 0 hoặc x = 3.

    Thử lại chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình.

    Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

    ⇔ (x + 6)(x – 1) = 0

    ⇔ x = 1 hoặc x = -6

    Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 hoặc x = 1.

    ⇒ 4(x+1)(2x+3) = (21-3x) 2

    ⇔ 4(2x 2 + 2x + 3x + 3) = 441 – 126x + 9x 2

    ⇔ 8x 2 + 20x + 12 = 441 – 126x + 9x 2

    ⇔ x 2 – 146x + 429 = 0.

    ⇔ x 2 – 3x – 143x + 429 = 0

    ⇔ (x – 3)(x – 143) = 0

    ⇔ x = 3 hoặc x = 143.

    Thử lại cả hai đều thỏa mãn phương trình

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 143.

    Bài 8: Giải các phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    a)

    Đặt

    + Th1: ⇔ x = 1.

    + Th2: ⇔ x = -7.

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -7.

    b) (đkxđ: x ≥ -1)

    Đặt

    ⇔ (a – b)(a + b) – (a – b) = 0

    ⇔ (a – b)(a + b – 1) = 0

    ⇔ a = b hoặ a + b = 1

    + Th1: a = b ⇒

    ⇔ 2x + 3 = x + 1 ⇔ x = -2 < -1 (Loại)

    + Th2: a + b – 1 = 0.

    Mà a ≥ 1; b ≥ 0 nên a + b ≥ 1 hay a + b – 1 ≥ 0.

    Phương trình chỉ xảy ra ⇔ ⇔ x = -1 .

    Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

    c) (đkxđ: x 2 – 2x – 3 ≥ 0)

    Phương trình trở thành: t 2 + 3t – 4 = 0

    ⇔ t 2 + 4t – t – 4 = 0

    ⇔ (t + 4)(t – 1) = 0

    ⇔ t = -4 (L) hoặc t = 1 (T/M)

    Bài 9: Giải phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    (1)

    Ta có:

    ⇒ VT (1) = ≥ 2 + 3 = 5.

    VT = VP ⇔ ⇔ x = -1.

    Thử lại x = -1 là nghiệm của phương trình.

    Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

    Bài 10: Giải phương trình:

    Hướng dẫn giải:

    (Đkxđ: x ≥ -1 )

    + TH1:

    Khi đó phương trình trở thành:

    ⇔ x = 3 (t.m)

    + TH2: ⇔ x < 3.

    Khi đó phương trình trở thành:

    ⇔ 4 = 4 (đúng với mọi x)

    Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 3.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn
  • Cđ Một Số Dạng Pt Vô Tỷ Và Cách Giải
  • Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  • Giải Toán 11 Bài 3. Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
  • Chuyên Đề: Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Và Bài Tập Vận Dụng
  • Phương Trình Lượng Giác Chứa Căn Và Phương Trình Lượng Giác Chứa Giá Trị Tuyệt Đối
  • Kiến Thức Cơ Bản Đại Số Lớp 10: Phương Trình Và Hệ Phương Trình
  • Tính Toán Ma Trận Và Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Mathematica
  • Chuyên Đề “Phương Trình Nghiệm Nguyên”
  • CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bình phương 2 vế của phương trình Phương pháp Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Ví dụ Giải phương trình sau : Giải: Đk Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : Bình phương 2 vế ta được: Thử lại : l nghiệm Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : thì ta biến đổi 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm Ví dụ Bài 1 . Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : v Ta có thể trục căn thức 2 vế : Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : Dễ dàng chứng minh được : Bài 3. Giải phương trình : Giải :Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : , khi đĩ ta có hệ: b) Ví dụ Bài 4. Giải phương trình sau : Giải: Ta thấy : không phải là nghiệm Xét Trục căn thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= Bài 5. Giải phương trình : Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) 3. Phương trình biến đổi về tích Sử dụng đẳng thức Bài 1. Giải phương trình : Giải: Bi 2. Giải phương trình : Giải: + , không phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Bài 3. Giải phương trình: Giải: pt Bài 4. Giải phương trình : Giải: Đk: Chia cả hai vế cho : Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phương trình về dạng : Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đk: khi đó pt đ cho tương đương : Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Đk: phương trình tương đương : Bài 3. Giải phương trình sau : Giải : pttt II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ . Bài 1. Giải phương trình: Điều kiện: Nhận xét. Đặt thì phương trình có dạng: Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm được bốn nghiệm là: Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì phương trình trở thnh: ( với Từ đó ta tìm được các giá trị của Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : Giải: đk Đặt pttt Bài 5. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện: Chia cả hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải được. Bài 6. Giải phương trình : Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: Đặt t=, Ta có : Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a) . Phương trình dạng : Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp” Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đặt phương trình trở thnh : Tìm được: Bài 2. Giải phương trình : Bài 3: giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng nhất thứ ta được Đặt , ta được: Ta được : Bài 4. Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt ta hy biến pt trn về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt có nghiệm : b).Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Bài 1. giải phương trình : Giải: Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . Bài 3. giải phương trình : Giải: Đk . Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt . Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ Xuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . Bài 1. Giải phương trình : Giải : , ta có : , giải hệ ta được: Bài 2. Giải phương trình sau : Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : Bài 3. Giải các phương trình sau 5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trình: Đặt Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là Bài 2. Giải phương trình: Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau: Vậy Bài 8. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt . Khi đó ta được hệ phương trình: 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao hơn : Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khia triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ??? Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. Giải phương trình: Điều kiện: Ta có phương trình được viết lại là: Đặt thì ta đưa về hệ sau: Trừ hai vế của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: Bài 6. Giải phương trình: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trình như sau: Đặt ta được hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: Nghiệm của phương trình là Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ? Dạng hệ gần đối xứng Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau : Bài 1 . Giải phương trình: Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước : Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được. Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng ) Ta có hệ : Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm Nên ta phải có : , ta chọn được ngay Ta có lời giải như sau : Điều kiện: , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình như sau: khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn. Một cách tổng quát . Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được. Một số phương trình được xây dựng từ hệ. Giải các phương trình sau Giải (3): Phương trình : Ta đặt : Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này ! III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình : 2. Dùng bất đẳng thức Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trình: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau 3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc Bài tập IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình : , Rút gọn ta được phương trình Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau : Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta được: = Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ? Bài 1. Giải phương trình : Giải: Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài 2. Giải phương trình Giải . Đặt , ta có hệ : Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình Bài 3. Giải phương trình : V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Với mỗi số thực x có sao cho : Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với , sao cho Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán : Nếu : thì đặt với hoặc với Nếu thì đặt , với hoặc , với Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác X là số thực bất kỳ thi đặt : Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác ) 2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: (1) Nếu thay bằng ta lại có phương trình : (2) Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: (3) Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác . 3. Một số ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Với : thì (ptvn) ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : Bài 2. Giải các phương trình sau : DH: Đs: HD: chứng minh vô nghiệm Bài 3 . Giải phương trình sau: Giải: Lập phương 2 vế ta được: Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. Bài 4. .Giải phương trình Giải: đk: , ta có thể đặt Khi đó ptt: Phương trình có nghiệm : Bài 5 .Giải phương trình : Giải: đk Ta có thể đặt : Khi đó pttt. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bài tập tổng hợp Giải các phương trình sau (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng 1 : Phương trình Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình (chuyển về dạng 2) và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Bài 1: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 3: Cho phương trình: Giải phương trình khi m=1 Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 4: Cho phương trình: Giải phương trình khi m=3 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường. Nếu bài toán có chứa và khi đó đặt (với điều kiện tối thiểu là . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ). Nếu bài toán có chứa , và (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : , khi đó Nếu bài toán có chứa và khi đó có thể đặt: suy ra Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với Nếu bài toán có chứa ta có thể đặt với Bài 1: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) Bài 3: Cho phương trình: Giải phương trình với m=3 Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất Bài 4: Cho phương trình: Giải phương trình với Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 5: Cho phương trình: Giải phương trình với m = 9 Tìm m để phương trình có nghiệm. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát. Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích. Bài tập: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) 3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ. a) Dạng thông thường: Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trình: ta có thể đặt: từ đó suy ra . Khi đó ta có hệ Bài tập: Giải các phương trình sau: a) b) c) b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai: với Cách giải: Đặt: khi đó phương trình được chuyển thành hệ: Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba. với Cách giải: Đặt khi đó phương trình được chuyển thành hệ: Bài tập: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét: Với do đó là nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình Hướng 2: thực hiện theo các bước Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi đó Ví dụ: Giải phương trình : Giải: pt Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài tập: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Các Bài Toán Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích.
  • Kmno4 + Hcl = Kcl + Mncl2 + Cl2 + H2O
  • Kmno4 = O2 + Mno2 + K2Mno4
  • Kmno4 = Mno2 + O2 + K2Mno4
  • Hướng Dẫn Giải Phương Trình Bậc 2 Trong Java
  • Chuyên Đề Phương Trình Vô Tỉ Toán 9

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Nhân Liên Hợp
  • Bài 3 : Đồ Thị Hàm Số Y= Ax + B
  • Phương Trình Hàm Trên N
  • Lịch Sử Hình Thành Serie A Giải Đấu Số 1 Nước Ý
  • Giải Vô Địch Yoga Quốc Gia Lần Iii Năm 2022 Sẽ Diễn Ra Tại Đồng Nai
  • II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 1/ Thuyết minh : Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm 2/Các phương pháp giải phương trình vô tỉ 1. Phương pháp nâng lên lũy thừa a) Dạng 1: Û Ví dụ. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 b) Dạng 2: Ví dụ. Giải phương trình: (2) Giải: Với điều kiện x ≥ 2. Ta có: (2) Û Û Û Û Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6 c) Dạng 3: Ví dụ. Giải phương trình: (3) Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có: (3) Û Û Û Û 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 Û 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 Û 5x2 – 84x + 352 = 0 Û x1 = ; x2 = 8 Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = 8 d) Dạng 4: Ví dụ. Giải phương trình: (4) Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có: (4) Û Û Û Û Û 45 + 14x + 14 = 0 Với x ≥ 4 Þ vế trái của phương trình luôn là một số dương Þ phương trình vô nghiệm 2. Phương pháp trị tuyệt đối hóa Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Với điều kiện x ≤ 8. Ta có: – Nếu x < 2: (1) Þ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm) – Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) Þ x – 2 = 8 – x Û x = 5 HD: Đáp số: x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trình (2) Giải: (2) Û Û Đặt y = (y ≥ 0) Þ phương trình đã cho trở thành: – Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y Û y = –1 (loại) – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 Û y = 3 Với y = 3 Û x + 1 = 9 Û x = 8 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8 3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm Ví dụ 1. Giải phương trình Cách 1. điều kiện x ≥ 1 Với x ≥ 1 thì: Vế trái: Þ vế trái luôn âm Vế phải: ≥ 1 Þ vế phải luôn dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách 2. Với x ≥ 1, ta có: Û Û Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 Þ phương trình vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Giải: Ta có (1) Û Û Ta có: Vế trái ≥ . Dấu “=” xảy ra Û x = –1 Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất) Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2 Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải: Thử với x = 2. Ta có: (1) Û Nếu x VP Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x < : và Þ . Tương tự với < x < 2: Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Nếu 3x = –(2x + 1) Û x = thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng . Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Với : 3x < –2x – 1 < 0 Suy ra: Þ (1) không có nghiệm trong khoảng này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) không có nghiệm khi d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ. Giải phương trình Giải: điều kiện Với điều kiện . Nên: . Dấu “=” xảy ra Û Û 4. Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình: Û Þ PT vô nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Û x1 = 0; x2 = Ví dụ 3. Giải phương trình: (1) Giải. Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1). (1) Û Û x = 2 5. Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng một ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = y (y ≥ 0) Þy2 = x + 1 Û x = y2 – 1 Û x2 = (y2 – 1)2 Þ (2) Û (y2 – 1)2 + y – 1 = 0 Û y(y - 1)(y2 + y - 1) = 0. Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là: Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt = y (1) Û Û y3 + y2 – 2 = 0 Û (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 Û y = 1 Û x = 1 b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 (3) Giải. Đặt u = , v = (ĐK: x ≥ -1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1. Þ (3) Û 2(u2 + v2) = 5uv Û (2u - v)(u - 2v) = 0 Giải ra, xác định x. Kết quả là: x Î Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) Û Đặt: = u, = v (u, v ≥ 0)Þ u2 – v2 = 3. (1) Û (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 Û (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 Û (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất Ví dụ 3. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0): (1) Û b – a = a2 – b2 Û (a – b)(a + b + 1) = 0 Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) (1) Û Û u – (v2 – u2) – v = 0 c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) Û Đặt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0): (1) Û ab + c = b + ac Û (a – 1)(b – c) = 0 Û a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 2. Giải phương trình : Giải. Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0) Þ x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu Từ đó ta có hệ: Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: (8) Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có: d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình Ví dụ 1. Giải phương trình Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5 Cách 2: Đặt và . Ta có hệ: Û Û x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt = u , (u, v ≥ 0): ÞGiải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) Þ Û . Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 4. Giải phương trình: Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt (u, v ≥ 0) Þ Þ Ví dụ 5. Giải phương trình: Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt (u, v ≥ 0) Þ Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ 6. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) Þ (1) Û Ví dụ 7. Giải phương trình: Giải. Đặt (1) Û Þ kết quả 6. Giải và biện luận phương trình vô tỉ Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình: Giải. Ta có: Û – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û ≥ m + Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 4 Û m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm – Nếu –2 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: Giải. Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0:. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û + Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 3 Û m ≤ Tóm lại: – Nếu hoặc . Phương trình có một nghiệm: – Nếu hoặc : phương trình vô nghiệm Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: Giải. Điều kiện: x ≥ 0 – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành Þ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1 + Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = C.Một số sai lầm thường mắc phải Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: 1. Khi gặp bài toán: Giải phương trình = x - 2 (1) Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau điều kiện pt(1) là x (*) (1) 2x - 3 = x2 - 4x + 4 x2 - 6x + 7 = 0 Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + và x = 3 - . Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 - bị loại . Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 + . Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện x (*) để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là x = 3 + và x = 3 - . Theo tôi cách giải vừa nêu trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm của một số học sinh khi lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện x là điều kiện cần và đủ. 2. Khi gặp bài toán: Giải phương trình = Học sinh thường đặt điều kiện sau đó bình phương hai vế để giải phương trình Điều chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x + 1 0 là điều kiện cần và đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện . 3. Khi gặp bài toán: Giải phương trình (x + 1) = 0 Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: (x + 1) = 0 ó ó Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì đã mắc một sai lầm mà không đáng có. Rõ ràng x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình trên. Chú ý rằng: ở đây đã bị bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2). 4. Khi gặp bài toán: Giải phương trình = x2 -2x+3 Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến một phương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc phổ thông . 5. Khi gặp bài toán: Giải phương trình (x+2) = x+1 Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: (x+2) = x+1 =x+1 (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Nhận xét: Rỏ ràng x = -3 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm. Cần chú ý rằng: Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A < 0; B < 0 Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về phương trình vô tỉ 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 1 : = g(x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: chỉ cho học sinh thấy được rằng nếu khi bình phương hai vế để đi đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm pt = g(x) Điều kiện gx) 0 là điều kiện cần và đủ vì f(x) = g2(x) 0 . Không cần đặt thêm điều kiện fx) 0 b, Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình = x -2 . (1) Điều kiện x 2 (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 2x - 1 0) Khi đó pt(1) 2x - 1 = (x - 2)2 x2 - 4x + 4= 2x - 1 x2 - 6x + 5 = 0 đối chiếu với điều kiện (*) ta thu được nghiệm của phương trình (1) là x = 5 ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x 2 (*) để lấy nghiệm. + Ví dụ 2: Giải phương trình = x-1 . (2) .Nhận xét : Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 2x2- x -1 0 và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm. Ta có thể giải như sau: . Điều kiện: x 1 (**) Khi đó pt(2) 2x2 - x - 1 = (x -1)2 2x2 - x - 1 = x2 - 2x + 1 x2 + x -2 = 0 x+2)(x-1)=0 đối chiếu với điều kiện (**) ta thu được nghiệm pt(2) là x = 1 *Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động hơn trong cách đặt vấn đề bài giải : điều kiện phương trình là gì? đặt cái gì ? biến đổi như thế nào là biến đổi tương đương ? biến đổi như thế nào là biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp 2 * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: . (2) a. Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi pt(2) Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g(x) và f(x) vì f(x) = g(x) . b. Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình = , (1) .Điều kiện x -1, (*) pt (1) x + 1 = 2x -7 x = 8 (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm của phương trình là x = 8 . ! Lưu ý: Điều kiện x -1 , (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) nên ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng của phương trình. + Ví dụ 2: Giải phương trình = , (2) . Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm. . ĐK: x , (*). pt(2) x2 - x +1 = 2x -1 x2 - 3x -+2 = 0 Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm của phương trình là x = 1 và x=2 . + Ví dụ 3: Giải phương trình = (*) Tóm tắt bài giải (*) (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 3/ Giải pháp 3 : Hướng dẫn học sinh giải một số phương trình không mẫu mực (Phương trình không tường minh). + Ví dụ1: Giải phương trình - = 1 (2) Điều kiện x (**) Chuyển vế và bình phương hai vế ta được pt(2) = 1+ với điều kiện (**) nên hai vế luôn không âm , bình phương hai vế ta được. 2x + 1 = x + 1 + 2 x= 2 tiếp tục bình phương hai vế x2 = 4x (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 V x = 4. + Ví dụ2 : Giải phương trình : 2 + = + Lời giải : Ta có Pt 2 + = 2 + Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Lưu ý: Học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau Ta có : 2 + = + 2 + = 2 + = x=2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2. Nhận xét: Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho nhưng. Chú ý rằng: + Ví dụ 3: Giải phương trình = (3) Hướng dẫn : Đk (***) ! Lưu ý: Hệ điều kiện (***) rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể. Từ ĐK (***) nên hai vế không âm ,bình phương hai vế ta được pt(3) 7 - x2 + x = 3 - 2x - x2 x = - 2x - 4 x = -1 Thay giá trị của x = -1 vào hệ ĐK (***) , thoả mãn Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 + Ví dụ4 : Giải phương trình + = 3x + 2 - 16 , (4) HD: Điều kiện x -1 (****) NX: Đây là phương trình khá phức tạp nếu bình phương hai vế của phương trình ta cũng không thu được kết quả thuận lợi khi giải nên ta có thể giải như sau. Đặt + = t , (ĐK: t 0) 3x + 2 = t2 - 4 pt(4) t2 - t - 20 = 0 t = 5 (nhận) V t = - 4 (loại) . Với t = 5 2 =21 - 3x ( là phương trình thuộc dạng 1) x = 118 - (thoả mãn ĐK) Vậy nghiệm phương trình là x = 118 - + Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – 7x + 12 = Lời giải sai: Ta có x2 – 7x + 12 = (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = Giải (1) = (x-3)(x-4) Giải (2) = (x-3)(x-4) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 2 v x = 3 v x = 7. Nhân xét: Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau: Lời giải sai: Ta có: x2 – 7x + 12 = (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = = (x-3)(x-4) Giải ta có Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 và x = 7. HS có thể kết luận với x =3 và x = 7 là hai nghiệm thoả mãn của phương trình. Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x = 2 cũng thoả mãn. Chú ý rằng: Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp A ≤ 0 Bài tập Giải phương trình a. = 2x-5 b. = c. +x-4 = 0 HD: Biến đổi theo dạng 1 và dạng 2 2. Giải phương trình: x2 - x + = 1 HD: Đặt t = (t) ĐS: x = 0 v x = 1 3. Giải phương trình: + = HD: Đặt đk sau đó bình phương hai vế ĐS: x = 2 4. Giải phương trình: HD : ĐS : Nghiệm phương trình là : x = -3. 5. Giải phương trình: HD: ĐS: Nghiệm của phương trình là: x = 14 6. Giải phương trình: + = + 7. Giải phương trình: + = 4 8. Giải phương trình: x + = 2 9. Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3) 10. Giải phương trình: (4x - 1) = 2x3 + 2x +1 11. Giải phương trình: x2 - 1 = 2x 12. Giải phương trình: x2 + 4x = (x + 2)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Các Hệ Phương Trình Tuyến Tính
  • Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Hướng Dẫn Xoay Rubik 3X3X3 Theo Cách Đơn Giản Nhất
  • Cách Giải Rubik 3×3 Nâng Cao Theo Petrus Method
  • Cách Chơi Rubik 3×3 Dễ Hiểu Nhất Cho Người Mới
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Pp Liên Hợp
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Sử Dụng Biểu Thức Liên Hợp Cực Hay
  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Cực Hay
  • Môt Số Lưu Ý Khi Giải Pt Lượng Giác
  • I, Tư tưởng đặt ẩn phụ

    – Xác định phương trình cơ bản:

    Ví dụ: phương trình t2 – 3t + 2

    Họ và tên : Đặng Việt Anh Lớp : 10A3 Trường : THPT Ân Thi Nhóm :. . . . . . Gồm hs:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I, Tư tưởng đặt ẩn phụ Xác định phương trình cơ bản: Ví dụ: phương trình t2 - 3t + 2 + chọn t = à phương trình có dạng + chọn t = à phương trình có dạng II, Các phương pháp đặt ẩn phụ 1, Đặt 1 ẩn phụ Một số kiểu đặt thường gặp + à Ta nên đặt t = ( + à Ta nên đặt + à Ta nên đặt 2, Chia làm xuất hiện ẩn phụ Chia 2 vế phương trình cho hoặc x, x2 đại lượng thích hợp. Trước khi chia cho 1 lượng nào đó ta phải kiểm tra lượng đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không III, Bài tập hướng dẫn Bài tập 1: Giải phương trình Bài giải: B1: Đặt () B2: Biến đổi căn thức bằng cách bình phương (1) Ta nhận thấy B3: Thay vào phương trình Giải pt ta được nghiệm không thỏa mãn điều kiện ) B4: Thay t =1 vào (1) ta sẽ được nghiệm x. t=1 à à phương trình có 2 nghiệm x=0 (TM) và x=-2 (TM). KL: x=0 và x=-2 là nghiệm của pt Bài tập 2: Giải phương trình . Bài giải: Tương tự như các bước trên: Đk: Đặt (2) Thay vào pt: Giải pt có 2 nghiệm ( loại không thỏa mãn điều kiện) Thay t=5 vào (2) Giải pt suy ra x=143 (KTM) x=3(TM) KL: x=3 là nghiệm của pt Bài tập 3: Giải phương trình . Bài giải: ĐK: Rút gọn pt: Đặt +1 (3) Thay vào phương trình: (loại ktm đk) Thay t=2 vào (3) Giải pt suy ra cả 2 đều TM KL: Ví dụ 4: giải pt Bài giải: Bình phương khử căn: Chia cả 2 vế cho ta đc: Đặt loại t=0 vì k tm đk Thay t=5 vào pt Thay x=1 và x=4 vào pt ta thấy x=4 là nghiệm thỏa mãn còn x=1 không thỏa mãn

    Tài liệu đính kèm:

      giai_pt_vo_ti_bang_phuong_phap_dat_an_phu.doc

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”
  • Giải Pt Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Chuyên Đề Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100