Đề Xuất 5/2022 # Xác Suất Thống Kê Của Tống Đình Quỳ # Top Like

Xem 11,385

Cập nhật nội dung chi tiết về Xác Suất Thống Kê Của Tống Đình Quỳ mới nhất ngày 19/05/2022 trên website Expressrotaryhotpot.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến nay, bài viết này đã thu hút được 11,385 lượt xem.

--- Bài mới hơn ---

  • Đề Cương Môn Xác Suất Thống Kê
  • Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 6 Kinh Tế Quốc Dân
  • Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 3 Kinh Tế Quốc Dân
  • Bộ Đề Thi Và Lời Giải Xác Suất Thống Kê
  • Giải Bài Tập Chương 2 Xác Suất Thống Kê Neu
  • Published on

    1. 1. TỐNG ĐÌNH QUỲ GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Tái bán lần thử năm) NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA – HÀ NỘI
    2. 2. LỜI NÚI ĐẨU Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành khoa học đang giữ vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng râi và phong phú của đời sống con người. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, nhu cầu hiểu biết và sử dụng các công cụ ngẫu nhiên trong phân tích và xử lý thông tin ngày càng trở nên đặc biệt cần thiết. Các kiến thức và phương pháp của xác suất và thống kê đă hỗ trợ hữu hiệu các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như vật lý, hóa học, sinh y học, nông học, kinh tế học, xã hội học, ngôn ngữ học… Trong một chục năm gần đây, giáo trình xác suất thông kê đã trở thành cơ sở của nhiều ngành học trong các trường đại học và cao đẳng, từ đó xuất hiện nhu cầu học tập và nghiên cứu ứng dụng rất lớn, nhất là đôi với sinh viên các ngành khoa học không chuyên về toán. Để thoả mãn yêu cầu đó, giáo trình này cố gắng đáp ứng đòi hỏi của đông đảo sinh viên nhằm hiểu biết sâu sắc hơn các khái niệm và phương pháp tính xác suất và thông kê để học tập đạt hiệu quả cao hơn cũng như ứng dụng môn học vào ngành học và môn học khác. Giáo trình xác suất thống kê được viết cho thời gian giảng dạy là 60 tiết học. Do đối tượng sinh viên rất đa dạng với trình độ toán cơ bản khác nhau, chúng tôi đã cố gắng tìm những cách tiếp cận đơn giản và hợp lý, và như vậy đã buộc phải bớt đi phần nào sự chặt chẽ hình thức (vốn rất đặc trưng cho toán học) để giúp bạn đọc tiếp cận dễ dàng hơn bản chất xác suất của các vấn đề đặt ra và tăng cường kỹ năng phân tích, xử lý các tình huống, từ đó dần dần hình thành một hệ thống khái niệm khá đầy đủ để đi sâu giải quyết các bài toán ngày càng phức tạp hơn. Giáo trình được chia thành 6 chương gồm 3 chương dành cho phần xác suất và 3 chương cho phần phân tích thống kê. Nhũmg khái niệm và công thức cơ bản được trình bày tương đối đơn giản, dễ hiểu và được
    3. 4. Chương I sự KIỆN NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÂC SUẤT■ m §1.KHÁI NIỆM Mỏ ĐẦU 1.1. Sự kiện ngẫu nhiên Khái niệm thường gặp trong lý thuyết xác suất là sự kiện (mà không thể định nghĩa chặt chẽ). Sự kiện đưỢc hiểu như là một sự âệc. một hiện tượng nào đó của cuộc sông tự nhiên và xã hội. Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộ điều kiện, gọi là một phép thử, có thể có nhiều kễt cục khác nhau. Thí dụ 1.1. Gieo một con xúc sắc đồng chât trên một mặt phẳng (phép thử). Phép thử này có 6 kết cục là: xuất hiện mặt 1, mặt 2,…, mặt 6 chấm. Mỗi kết cục này cùng với các kết quả phức tạp hơn như: xuất hiện mặt có sô”chấm chẵn, mặt có sô” chấm bội 3, đều có thể coi là các sự kiện. Như vậy kết cục của một phép thử là một trưòng hỢp riêng của sự kiện. Để cho tiện lợi sau này, ta ký hiệu sự kiện bằng các chữ cái in hoa A, c, … Sự kiện được gọi là tất yếu, nếu nó chắc chắn xảy ra, và đưỢc gọi là bất khả. nếu nó không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Còn nếu sự kiện có thể xảy ra hoặc không sẽ đưỢc gọi là sự kiện ngẫu nhiên. Từ đó, theo một nghĩa nào đó, có thể coi các sự kiện tâ’t yếu, ký hiệu là ư, và bât khả, ký hiệu là V, như các trường hỢp riêng của sự kiện ngẫu nhiên. Thí dụ, dưói những điều kiện xác định, nưốc đóng báng ở 0’^C là sự kiện tất yếu; khi gieo một con xúc xắc, việc xuât hiện mật bảv chà”m là sự kiện bất khả… 5
    4. 5. Để mô tả một phép thử người ta xác định tập hỢp các kết cục có thể có. Tập hỢp tất cả các kết cục của một phép thử (đưỢc gọi là các sự kiện sơ cấp, ký hiệu là coỊ) tạo thành không gian các sự kiện sơ cấp, ký hiệu là Q = {cúịj i e /}, I là tập chỉ sô”, có thể vô hạn (đếm đưỢc hoặc không đếm đưỢc). Dễ thấy trong thí dụ 1 .1 , nếu ký hiệu Aị -sự kiện xuất hiện mặt i chấm (i = 1,6) thì Q = A2, A3, A4, A5, Ag} = {A„ i = 1,6}. Trong nhiều hiện tưỢng hàng loạt khi thực hiện nhiều lần cùng một phép thử, ta thây tần suất xuất hiện một sự kiện A nào đó chênh lệch không nhiều so vói một sô’ đặc trưng cho khả năng xuất hiện A. Số đó đưỢc gọi là xác suất xuất hiện A và được ký hiệu là P(A). Như vậy nếu viết P(A) – p c6 nghĩa là xác suâ^t xảy ra sự kiệnA là bằngp. Một câu hỏi tự nhiên là. Do đâu có sự kiện ngẫu nhiên? Và chúng ta có thể nhận biêt đưỢc chúng không? Thực ra mỗi sự kiện đều xảy ra theo quv luật nào đó; song do điều kiện Lhiêu tri thức, thông tin và phương tiện cần thiết (cả về kinh phí, thiết bị lẫn thòi gian) nên ta không có khả năng nhận thức dầy dủ về sự kiện đó. Vấn đề càng trỏ nên khó khàn hơn khi chỉ cần có một sự thay dổi bâ”t ngò dù rất nhỏ của bộ điều kiện dã làm thay đổi kết cục của phép thử. Cho nên bài toán xác định bản chất xác suâ^t của một sự kiện bất kỳ trong một phép thử tùy ý là không thể giải đưỢc. 1.2. Phép toán và quan hệ của các sự kiện Về mặt toán học, việc nghiên cứu quan hệ và phép toán trên tập các sự kiện cho phép ta xác định chúng thực chất hơn. (i) Tổng của A và B, ký hiệu là A + 5 , chỉ sự kiện khi có xuất hiện ít nhất một trong hai sự kiện trên. (ii) Tích của A và B, ký hiệu là AB, chỉ sự kiện khi có xuâ”t hiện đồng thồi cả hai sự kiện trên. 6
    5. 8. Có thể dùng tính chất của mạng song song và nốì tiếp để có một biểu diễn khác gọn hơn: A =A,(A2+A 3). Trong nhiều bài tập, việc xác định sô”lượng các sự kiện sơ cấp đưa đến sử dụng các kết quả của lý thuyết tổ hỢp. 1.3. Giải tích kết hợp Việc đếm sô” các kết cục của một phép thử dựa vào mô hinh: chọn hú họa ra k phần tử từ n phần tử cho trưốc. Nếu phân biệt thứ tự các phần tử chọn ra, ta có khái niệm chỉnh hỢp; nếu thứ tự không phân biệt, ta có tổ hợp. (i) Chinh hỢp: chỉnh hỢp chập k từ nỉà một nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n đã cho. Đó chính là một nhóm gồm k phần tử khác nhau được xếp theo thứ tự nhất định. Sô” các chỉnh hỢp như vậy, ký hiệu là (k < TÌ). = n{n – l)…(n – Ã+ 1) = ^ (1 .1) {n-k) (ii) Chỉnh hỢp lặp: chỉnh hợp lặp chập Ấỉ từ n là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử có thể giống nhau lấy từ n đã cho. Đó chính là một nhóm gồpn k phần tử có thể lặp lại và được xếp theo thứ tự nhất định, số các chỉnh hỢp lặp như vậy, ký hiệu lặ ĂÌ=n”. (1 .2) (iii) Hoán vị: hoán vị của n là một nhóm gồm n phần tử đưỢc sắp xếp theo một ‘thứ tự nào đó. Rõ ràng số các hoán vị như vậy, ký hiệu là p„, chính là số các chỉnh hỢp A” và p„ = n .(1.3) (iv’ Tổ hỢp: tổ hỢp chập ^ từ n là một nhóm(không phân biệt i;!ứ tự) gồm k phần tử khác nhau lấy từn đãcho.Số các tổ’ hỢp chúng tôi vậy, ký hiệu là (k < n) 9
    6. 13. Khái niệm “rơi đồng khả năng vào G” có nghía là điểm gieo có thể rơi vào bất kỳ điểm nào của G và xác suất để nó rơi vào một miền con nào đó của G tỷ lệ vói độ đo của miền ấy, mà không phụ thuộc vào vị trí và hình dạng của miền. Thí dụ 2.4. Đưòng dây điện thoại ngầm nôl một tổng đài với một trạm dài Ikm. Tính xác suất để dây đứt tại nơi cách tổng đài không quá lOOm. Giải. Rõ ràng nếu dây điện thoại đồng chất, khả năng nó bị đứt tại một điểm bất kỳ là như nhau, nên tập hỢp các kết cục đồng khả năng có thể biểu thị bằng đoạn thẳng nối tổng đài với trạm. Các kết cục thuận lợi cho A – sự kiện chỗ đứt cách tổng đài không quá lOOm – được biểu thị bằng đoạn thẳng có độ dài lOOm. Từ đó theo (2.2) P(A) = 100/1000 = 0,1. Một số bài toán thực tế khác có thể đưa về mô hình dạng trên. Chú ý rằng theo cách định nghĩa này thì sự kiện có xác suất bằng 0 vẫn có thể xảy ra (chảng hạn mũi tên bắn trúng một điểm cho trưóc…)- Tính chất này rất đặc trưng cho các biến ngẫu nhiên liên tục sẽ nghiên cứu ở chương II. 2.2. Định nghĩa thống kê Điều kiện đồng khả năng của các kết cục một phép thử không phải lúc nào cũng được bảo đảm. Có nhiều hiện tượng xảy ra không theo các yêu cầu của định nghĩa cổ điển, chẩng hạn khi tính xác suất một đứa trẻ sắp sinh là con trai, ngày mai tròi mưa vào lúc chính ngọ, v.v… Có một cách khác để xác định xác suất của một sự kiện. Giả sử tiến hành một loạt “1 phép thử cùng loại, nếu sự kiện A nào đó xuất hiện trong mj phép thử thì ta gọi mj/rỉ, là tần suất xuất hiện A trong loạt phép thử đã cho. Tương tự với loại phép thử thứ hai, thứ ba… ta có các tần suất tương ứng m jn2, rnJn:Ị,… 14
    7. 15. Một thí dụ khác: có thể cho rằng xác suất phân rã của một nguyên tử Ra”^®sau 100 năm là 0,04184 (với độ chính xác tôi 5 chữ số sau dấu phảy); ở đây số lượng nguyên tử tham gia thí nghiệm rất lớn (cỡ 10^®- 10^’*). Có thể kiểm tra được rằng xác suất định nghĩa theo thống kê thỏa mãn các tính chất trình hày ở mục trước. Chú ý ỉà trong định nghĩa phải có điều kiện các phép thử lặp ỉại nhu nhau, điều này trên thực tế không dễ bảo đảm nên tần suất có thể phụ thuộc vào thời gian. Mặc dù vậy phương pháp xác định xác suất theo tần suất có phạm vi ứng dụng rất lớn trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật. Mặt khác, điểm xuất phát để xây dựng lý thuyết xác suất như là một khoa học cũng chính là việc quan sát tính ổn định thông kê của các tẩn suất của vô vàn các hiện tượng thực tế. Từ đó dễ hiểu vì sao có thể định nghĩa lỵ thuyết xác suất như là một khoa học nghiên cứu các mô hình toán học của các hiện tưđng ngẫu nhiên có tầii suất ổn định. 2.3. Định nghĩa tiên để Các định nghĩa cổ điển và thống kê của xác suất có nhiều hạn chế để xây dựng một lý thuyết tổng quát. Khái niệm cổ điển không dùng được trong trường hỢp không thể xây dựng một hệ thống đầy đủ các sự kiện đồng khả năng. Trong khi đó, tần suất chỉ là một giá trị xấp xỉ để đánh giá xác suất, chưa kể đòi hỏi là sô”quan sát phải rất lớn và giá trị tần suất tìm được phải lốn hơn nhiều sai sô”đo và cả sai số tính toán. Chúng ta bắt đầu từ hệ thống các tiên đề dưới dạng do Kôn-mô-gô-rôp phát biểu. Các tiên đề đó (giông như các tiên đề toán học khác) đưỢc thừa nhận là đúng đắn, tất nhiên căn cứ vào kinh nghiệm cuộc sôVig và hoạt động thực tiễn. Cách tiếp cận này liên hệ chặt chẽ lý thuyết xác suất với lý thuyết hàrn sô’ và tập hỢp. Cách xác định xác suất theo tiên đề sẽ chứa 16
    8. 19. trường hỢp là không thể. Vì vậy dựa vào thực tê và trực giác mà ta thừa nhận các sự kiện độc lập trong các bài tập sau này. Công thức tương đương của (3.2), có để ý đến (3.1) là: P(AB) = P{A)P{B). (3.3) Đinh nghĩa 3. Ta nói bộ sự kiện Ai, Ag, độc lập (hay độc lập trong tổng thể) nếu P(a X . . . A,^) = P(A,;)P(A. )… P ( ) (3.4) vói mọi dãy (ỉi, ik) gồm các số nguyên khác nhau lấy từ {1 , 2, n}. Thí dụ 3.3. Gieo hai lần một đồng tiền, và ta có 4 kết cục đồng khả năng iS – ký hiệu mặt sấp, N – mặt ngửa) fì = {SS, SN, NS, NN]. Rõ ràng các sự kiện A = SS +SN, B = s s + NS, c = s s + NN là độc lập từng đôi do P{A) = P(B) = P ( 0 – -; còn P{AB) 2 P(AC) = P{BƠ) ~ – thỏa mãn (3.3). Tuy nhiên chúng không 4 độc lập trong tổng thể do P{ABC) = – ^ P{A)P(B)P(C) = 4 8 Như vậy không nên nhầm lẫn hai khái niệm độc lập trong các định nghĩa 2 và 3. Khái niệm độc lập trong tổng thể kéo theo độc lập từng đôi (do (3.3) là trường hỢp riêng của (3.4) khi k – 2), nhưng ngưỢc lại nói chung không đúng. 3.2. Công thức cộng và nhân xác suất l. Công thức nhân xác suất P(AB) = P(A)P(B IA) = P(B)P(A IB). {8.5) Đó là hệ quả trực tiếp suy ra từ (3.1). Từ (3.5) có thể dẫn ra các kết quả quan trọng: 20
    9. 20. (i) Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P{A)P{B) (xem 3.3)). (ii) Mở rộng cho tích n sự kiện P{AA,…A„) = = P{A,)P{A, IA,)P(A., IA,A,)..,P(A„ I (3.6) (iii) Nếu A,A;,, … A„ độc lập trong tổng thể, thì: p A: 1= 1 P(A). /^1 2. Cồng thức cộng xác suất P(A ^B) = P(A) -f P{B) – P(AB). (3.7) Việc chứng minh công thức trên không có gì quá phức tạp (nhất là từ các tiên để của mục 2.3). Từ (3.7) có thể dẫĩl ra các kết quả sau: (i) Nêu A, B xung khác, thì P(A + B) = P(A) + P(B), (ii) Mở rộng cho tổng n sự kiện p + ( – ir ‘ ‘P(A,A,…A„). (iii)Nếu Aj, A2, xung khắc từng đôi (3.8) p Các công thức (3.5) – (3.8) cho ta các công cụ hiệu quả để tính xác suất các sự kiện phức tạp qua xác suất các sự kiện đơn giản hơn. Thí dụ 3.4, Hai cọc bài được lấy từ một bộ bài tú lơ khơ, cọc thứ nhất gồm 4 con át, cọc thứ hai gồm 4 con ka. Rút ngẫu nhiên từ mỗi cọc bài ra một con bài, tính các xác suất đế 21
    10. 21. a) cả 2 con là con cơ, b) có ít nhất 1 con cơ. Cũng câu hỏi như vậy nhưng thay điều kiện đầu bài: trộn cọc bài và rút hú họa từ đó ra 2 con bài. Giải. Gọi A – con bài thứ nhất là cơ, B -con bài thứ hai là cơ. Để ý rằng thuật ngữ “thứ nhất”… chỉ để phân biệt hai con bài chứ không để chỉ thứ tự nào cả. Trong trường hợp hai cọc bài riêng rẽ, dễ thấy A và B độc lập. Từ đó a) Xác suất cần tìm là P(AB), để ý đến (3.3) ta có: P(AB)^P(A)P(B) = ị . ị = ~ . 4 4 16 b) Sự kiện ta quan tâm là A + 5, theo (3.7): P(A + B )-P (A ) + P (B )-P (A fi) = i + ỉ – ^ = ^ . 4 4 16 16 Trường hỢp trộn lẫn hai cọc bài thành một thì A, B không còn độc lập nữa. Tuy nhiên các xác suất P(A) và P(B) đều bằng 2/8 = 1/4 do vai trò hai quân bài như nhau. Từ đó; a) Dùng công thức (3.5): P(AB) = P(A)P(B IA) = Ị .ị = ^ 4 7 28 b) Một lần nữa theo (3.7): P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = i + ỉ – – = – . 4 4 28 28 Thí dụ 3.5. Ba xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn với xác suất bắn trúng của từng ngưòi tương ứng là 0,7; 0,8 và 0,9. Tính các xác suất: a) có hai ngưòi bắn trúng, b) có ít nhất một người bắn trượt. Giải. Gọi A, là sự kiện xạ thủ thứ i bắn trúng (i = 1 , 2, 3) và P(A,) = o’7; PCA^) = 0,8; P(A,) = 0,9. 22
    11. 22. a) Nếu gọi A là sự kiện có đúng 2 người bắn trúng thì: A = A, A, + Aj A2A3+ A1A2A3. Dùng tính xung khắc của các sô’ hạng và tính độc lập của các Aị và A, (75^ỉ), ta có: P(A) = P(A,A,A,) + P{A, A,A3 ) + P(A ) = P(A)P(A,)P(Ã^) + P(A,)P(Ã;)P(A3) + P(Ã)P(A,)(/43) = 0,7.0,8.(1 – 0,9) + 0,7.(1 – 0,8).0,9 + (1 – 0,7).0,8.0,9 = 0,398. b) Nếu gọi B là sự kiện có ít nhất một người bắn trượt, thì B là sự kiện không có ai bắn trượt hay cả ba đều bắn trúng. Rõ ràng việc tính P{B) dễ dàng hơn nhiều so vối tính P{B) theo cách trực tiếp, từ đó P{B) = l – P { B ) = – P { A , A ^ , ) = 1 – 0,7.0,8.0,9 = 0,496. Thí dụ 3.6. Cho một mạch điện gồm 4 linh kiện như hình 1.3, trong đó xác suất hỏng của từng linh kiện trong một khoảng thời gian nào đó tương ứng là 0,2; 0,1; 0,05 và 0,02. Tìm xác suất để mạng hoạt động tốt trong khoảng thòi gian đó, với giả thiết là các linh kiện làm việc độc lập với nhau và các dây luôn tô”t. Giải. Gọi Ai là sự kiện linh kiện thứ ỉ làm việc tốt (ỉ = 1,4). Sử dụng cá( tính chất của mạng song song và nổl tiếp, gọi A là sự kiện mạng hoạt động tốt, khi đó A =Ai(Ã2+Ắ3)A4. Để ý rằng từ giả thiết đầu bài ta luôn có Ai, A4và A2 + A3 độc lập, nên: Hinh 1.3 PiA).= P(A,)PiA,+Ạ,)P{A,). (3.9) 23
    12. 23. Ta cần tính P { + Ag), và do A;j không xung khắc, nên P(A, + A3 ) = P(A,) + P(A3 ) – P(A,A3 ). Thay vào (3.9), để ý rằng P{A.ịA^ = P{A2)P{Aị) và giả thiết của đầu bài P(A) = P{A,), trong đó í và T là các nhiệt độ thấp nhất và cao nhất của phản ứng trong khoảng thời gian trên. Về mặt hình thức, có thể định nghĩa biến ngẫu nhiên như là một hàm số có giá trị thực xác định trên không gian các sự kiện sơ cấp (sao cho nghịch ảnh của một khoảng sô’ là một sự kiện). Để phân biệt sau này ta kí hiệu X, Y,… là các biến ngẫu nhiên, còn X, 3′, … ìà giá trị của các biến ngẫu nhiên đó. Như 39
    13. 39. vậy, X mang tính ngẫu nhiên, còn X là giá trị cụ thể quan sát được khi phép thử đã tiến hành (trong thống kê được gọi là thể hiện của X). Việc xác định một biến ngẫu nhiên bằng tập các giá trị của nó rõ ràng lả chưa đủ. Bước tiếp theo là phải xác định xác suất của từng giá trị hoặc từng tập các giá trị. Vì thế ở tiết sau ta sẽ phải dùng tổi khái niệm vể phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. 1.2. Phân loại Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc, nếu tập giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử. Thí dụ: sô” điểm thi cửa một học sinh, sô”cuộc gọi điện thoại của một tổng đài trong một đơn vị thòi gian, sô”tai nạn giao thông, … Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục, nếu tập giá trị của nó lấp kín mộc khoảng trên trục số^(sô”phần tử của tập giá trị là vô hạn khỏng đếm đưỢc theo lý thuyết sô). Thí dụ: huyêt áp của một bệnh nhân, độ dài của chi tiết máy, tuổi thọ của một loại bóng đèn điện tử, … Như vậy miền giá trị của một biến ròi rạc sẽ là một dãy sô” Xi, %2, x„,… có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Miền giá trị của một biến liên tục sẽ là một đoạn (3. la) Vi ” nếu X là biến liên tục có hàm m ậ t độ f{x), X e R, thì: EX= xfix)dx. (3.1b) Từ (3.1) ta thấy kỳ vọng chính là tổng có trọng sô”của tất cả các giá trị của X, hay còn là trị trung bình của biến ngẫu nhiên (phân biệt với trung bình cộng của các giá trị). Trong thực tế, nếu quan sát các giá trị của X nhiều lần và lấy trung bình cộng, thì khi sô” quan sát càng lớn sô” trung bình đó càng gần tới kỳ vọng EX, vì vậy kỳ vọng còn được gọi là trị trung binh của biến X mà không sỢnhầm lẫn. Thí dụ 3.1. Xét lại thí dụ 2,1 với X là sô”chấm xuất hiện khi gieo một con xúc sắc. Theo (3.la) E X = ỉ ( l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5. 6 Như vậv trong trưòng hỢp xác suất đưỢc phân phối đều trên tập giá trị, kỳ vọng chính là trung bình cộng của các giá trị ấy. EX – 3,5 còn có nghĩa là nếu gieo nhiều lần sô” chấm trung bình thu được sẽ là 3,5. Thí dụ 3.2. Tìm kỳ vọng của biến X trong thí dụ 2.3. Giải. TI eo (3.la) ta có: l X = 0.0,064 + 1.0,288 + 2.0,432 + 3.0,216 = 1,8. Thí dụ 3 3. Tìm kỳ vọng của biến X trong thí dụ 2,6. Giải. Trước hết ta phải tìm hàm mật độ của X, theo (2.3a) – 2), x e và gọi nó là m ôm en trung tâm cấp k; cũng rõ ràn g phương sai là m ôm en trung tâm cấp 2 vx= . Mômen có vai trò quan trọng trong thông kê và ứng dụng xác suâ”t. Giữa chúng (mômen gốc và mômen trung tâm) có các liên hệ sau: 55
    14. 56. piXị) = i= ĩ,n . n Dễ dàng, nếu X – ^/(n) và từ (4.1), ta có ngay: E X ^ ^ – V X rì^ -1 2 12 2. Phân phối đều liên tục Định nghĩa 2. Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối đều liên tục trên ), nếu X có hàm mật độ (a < 6): f{x) = 1 , x e b – a a; 6] 0, X Ể a; b . (4.2) Đồ thị của hàm f(x) cho trên hình 4.1. Bằng tính toán đơn giản có thể tìm được: nếu X ~ 6]) thì: EX vx = a +b 12 Phân phối đều ^/([0: 1 ]) có vai trò rất quan trọng trong mô phỏng các sô”ngẫu nhiên. Hình 4.14.2. Phân phối nhị thức 1. Phân phối Béc-nu-li Định nghĩa 3. Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối Béc-nu-li, ký hiệu làX ~ nêu hàm xác suất của nó có dạng: p(x) = pY~”, X= 0 và 1. (4.3) 57
    15. 57. Ta thây mọi phép thử chỉ có hai kết cục đều có thê mô hình hóa bằng phân phôi này. Chẳng hạn một phép chỉ có kết cục A vối xác suất p và A với xác suất q = 1 ~ p. Xây dựng biến ngẫu nhiên X sao cho P(X = 1) = P(A) = p vầ P{X = 0) = P(Ãj= g, ta có X p). X 0 1 p(x) ợ p EX = o .ợ + l.p – p , v x = ơ q + p(l – p ) = pq. Trong thực tế phân phôi Béc-nu-li ít được sử dụng (có thể do nó quá đơn giản), tuy nhiên nó đưỢc dùng làm cơ sỏ để tìm luật phân phôi của các biến ngẫu nhiên khác. 2. Phân phối nhị thức Đây là một trong các phân phôi rât hay dùng trong thông kê hiện đại. ở chương I ta đã làm quen với lược đồ Béc-nu-li khi xét dãy n phép thử độc lập, giông nhau, trong mỗi phép thử sự kiện A xuất hiện với xác suâ^t p. Nếu gọi X là sô^ lần xuât hiện A trong dãy n phép thử đó, ta đã biết X có các giá trị từ 0 đến n với các xác suất tương ứng (ợ = 1 ~p): p(x) = (x) = x^O,n. (4.4) Định nghrĩa 4. Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối nhị thức, ký hiệu X – p) nếu hàm xác suât của nó có dạng (4.4). Bạn đọc hày tự xây dựng bảng phân phối xác suất của x~ p). Rõ ràng phân phôi Béc-nu-li ở trên là một trưòng hỢp riêng của phân phôi nhị thức khi n = 1 . Cần nhắc lại các điều kiện để có phân phôi nhị thức: 58
    16. 61. không còn la hảng sô nữa. Thí dụ ta có N sán phấm trong đó có m phế pbôm: nếu ta chọn không hoàn lại ra n sản phẩm và gọi X là sô”phế phẩm trong đó thì P(X = x) sẽ không còn cỉược tính theo (4.4) được nữa (để ý muôn tính theo (4.4) ta phải chọn có hoàn lại). Theo định nghĩa cổ điển, xác suất để trong n sản phẩm có đúng X phế phẩm chính là; X P (x) = ■ ■.r – 0, 1 , chúng tôi ^ ‘ r’n ■ Đinh nghĩa 6. Biên ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phôi siêu hinh học, ký hiệu là X – .’■TíiN, n, p). nếu hàm xác suâ^t được xác định theo công thức: /■ ‘IX X p(^) = = 0, 1, /7, (4.6) Để ý rằng trong công thức (4.6). nếu lùu ý đến thí dụ bên trên đinh ng’iìa, ta có p – – là tỷ lê phê phám lúc ban đaiu và N nếu đ ặt ợ = 1 – p thì (4.6) sẽ trớ th àn h : ^n-x ‘ X – 0, 1, n. Khi N rất lớn, xác suâ^t p sẽ ít thay đổi và khi đó ta có thê dùng lại (4.4) để xấp xỉ cho (4.6) và giả thiết p là hằng xác định không bị thay đểi đáng kể. Thí dụ 4.3. Trong một hộp đèn 15 bóng có 5 bóng kém châ^t lượng. Chọn ngảu nhiên ra 10 bóng (tất nhiên không hoàn lại), hãy lập bảng phân phôi xác suất của sô^bóng kém chất lượng trong mẫu chọn ra. Giải. Rõ ràng X tuân theo phân phôi siêu hình học với 1 _ . . N”= 15, = 10 và p = -. Dùng phần mểm đế tính theo (4.6), ta 3 có bảng phân phôi như sau: 62

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Giảng Xác Suất Thống Kê Hust
  • Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa Hà Nội
  • Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Bách Khoa
  • Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Đại Học Bách Khoa
  • Đáp Án Bài Tập Workbook More 1 Unit 4
  • Bạn đang đọc nội dung bài viết Xác Suất Thống Kê Của Tống Đình Quỳ trên website Expressrotaryhotpot.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!

  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100